高数二期末解答A卷

2010-2011高等数学Ⅱ(A 卷)参考答案一、选择题 (每题4分)1．D 2．C 3．B 4．D 二、填空题 (每题4分)5．μλ2=6．3412112242 x f xf x yf yf ''''''++-或3422121122122142x f xf x yf yf x yf x yf ''''''''''++-+- 7．π2 8．4811717- 9．⎪⎩⎪⎨⎧-=<<<<--=ππππ,0,,00,10,1)(x x x x s三、解答题 （每题8分）10．解：所求平面的法向量就是已知直线的方向向量， 于是)2,5,3()4,2,1(21-⨯-=⨯=n n n则)11,14,16(-=n， 在由平面的点法式方程，有0)3(11)0(14)2(16=++-+--z y x即065111416=---z y x ．11．解：0)(1sin)(lim )0,0()0(lim)0,0(2200=∆∆∆=∆-∆+='→∆→∆xx x xf x f f x x x ，同理0)0,0(='y f 。

记22)()(y x ∆+∆=ρ，而01sinlim)0,0()0,0(lim220==∆'-∆'-∆→→ρρρρρρyf x f z y x ，由可微的定义知),(y x f 在点)0,0(的可微。

12．解：由对称性⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=++zdv dv z y x 2)2(⎰⎰⎰=zD dxdy zdz 12⎰=122dz z π3102233z ππ=⨯=． 13．解：原式⎰--+=Ldy y x dx y x a )()(12dxdy a D⎰⎰-=)2(12 （格林公式） ππ2)2(122-=⨯-⨯=a a．14．解：（１）设2x t =，而n n nt n 121)1(1+-∑∞=的收敛域为]1,1(-， 于是121121)1(+∞=+-∑n n nx n 的收敛域为[1,1]-． （２）设)(121)1(121x s x n n n n=+-+∞=∑，则(0)0s =， 又 2212211)()1()(x x x xx s nn nn n+-=-=-='∑∑∞=∞=， 于是，x x dx x x s x s xarctan 1)0()(022+-=+-=-⎰， 即，()arctan s x x x =-+．（３）显然，2111(1)216n nn s n π+∞=-==++∑． 15．解：函数为 tsy x y x f =),(，0,>t s ，约束条件为 M y x =+，0>M ． 令 )(),,(M y x y x y x F ts-++=λλ， 则有，⎪⎩⎪⎨⎧=-+==+==+=--00011M y x F y tx F y sx F t s y t s x λλλ，解得驻点),(ts Mtt s Ms ++． 由于当),(y x 趋于边界0=x 或0=y 时，0),(→y x f ， 故当t s Ms x +=，ts Mt y +=时，ts y x 取最大值． 16．（６分）解：对x x x x x f ++=3422),(求导，得164),(2),(232221++='+'x x x x f x x x f ，而221(,)221f x x x x '=-+， 则x x x x x f x 244),(22322++='， 故122),(222++='x x x x f ．17．（５分）解：设a dxdy e y x zf dzdx e z y dydz ez x z z z=-++++⎰⎰∑]2),([)()(，则a xy y x f +=2),(．设0,1:22=≤+z y x D ，1∑是D 的下侧，Ω是1,∑∑所围区域，应用高斯公式与垂直性，有：dxdy e y x zf dzdx e z y dydz e z x a z z z ]2),([)()(1-++++=⎰⎰∑+∑dxdy e y x zf dzdx e z y dydz e z x z z z ]2),([)()(1-++++-⎰⎰∑⎰⎰⎰⎰⎰-++=ΩDd dv y x f z σ)2()),(2(，π2)22(-++=⎰⎰⎰Ωdv a xy z ，π2)2(-+=⎰⎰⎰Ωdv a zπ2)2(1-+=⎰⎰⎰zD dxdy dz a zππ2)1()2(21--+=⎰dz z a zππ2)1()2(21--+=⎰dz z a zππ2)3221(-+=a即，)321(23ππ--=a ， 则+=xy y x f 2),()321(23ππ--． 18．（５分）解：将D 分割成1D 和2D ，其中1D 关于y 轴对称，2D 关于x 轴对称，利用对称性，有=++⎰⎰xdxdy y x yf D](1[22+⎰⎰dxdy x D 1dxdy x D ⎰⎰2dxdy y x xyf D)(22++⎰⎰ dxdy y x xyf D )(222++⎰⎰002031+++=⎰⎰--x dy xdx522014-=-=⎰-dx x ．。

二期期末A 卷试题参考解答完成以下共14题,除最后两题各8分外其余各题各7分.一. 求一阶常微分方程x ydy e dx+=满足初始条件(0)0y =的解. 解 xy dy e dx e= x y dy e dx e =⎰⎰,y xe e C --=+代入初始条件(0)0y = C=－2, 于是,所求方程满足初始条件的解为 2.xye e -+=二. 计算二重积分,DI =⎰⎰其中为圆域 22.x y x +≤解cos 2cos 220I d πθπθπθθ-==⎰⎰⎰⎰2cos 20(1)r d πθθ=--⎰⎰cos 22232300022(1)(1sin )33r d d θππθθθ=--=-⎰⎰4.39π=-三. 验证数项级数1n ∞=+∑收敛,并求其和.解 111nnnn k k k S =====--∑∑∑))1=--=-lim 1n n n S S →∞→∞==-+- 11n =+-=-四. 若函数21sin()(),0,().xxt F x dt x F x t'=≠⎰求 解 2221sin()cos()()x x x t xt F x dt x t ⋅'=+⎰321sin cos()x x t xt dt x=+⎰3221sin 1cos()()2x x xt d xt x x=+⎰321sin 1sin()2x x xt x x =+331sin sin .22x x x x=- 五. 计算曲线积分22()(sin ),CI x y dx x y dy =--+⎰其中C 是圆周222x y x += 的上半部分,方向从点(0,0)(2,0).O A 到点解 22,(sin ),P x y Q x y =-=-+于是1,1,Q Py x∂∂=-=-∂∂ 由于,Q Py x∂∂=∂∂故积分和路径无关,于是 22()(sin ),CI x y dx x y dy =--+⎰322208.33x x dx ===⎰六.求解一阶常微分方程:220.dy y xy dx x-+= 解 令11,z y y-==则21,dz dy dx y dx =- 原方程化为 2121,dy x y dx x y -⋅=- 即2.dz z x dx x +=(*) 这是一个一阶线性方程.对应的齐次线性方程为20.dz z dx x += 分离变量,得 2,dz dx z x=- 2,dz dxz x =-⎰⎰2ln 2ln ln ln ,z x C Cx -=-+=即2.z Cx -=下面用常数变易法,令 2().z C x x -=则32()()2,dz C x C x dx x x'=-+ 代入原方程,得 322()()2()2,C x C x C x x x x x x'-++⋅=即2(),C x x x '=3(),C x x '=4().4x C x C =+于是得方程(*)的解为 44221,44x x C z C x x ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭故原方程的解为2414,.x y C z x C==+其中为任意常数 七.求解二阶非齐次方程的初值问题:1,(0)(0) 1.x y y e y y ''⎧+=+⎨'==⎩解 原方程可化为两个二阶非齐次方程1y y ''+=…① 和x y y e ''+=…②它们对应的齐次方程都是 0,y y ''+= 特征方程为 210,λ+=通解为12cos sin .y C x C x =+ 对方程①，设特解为,y C =代入后的C =1；对方程②，因1不是特征根，故设特解为,xy Ae =代入方程得 ,x x xAe Ae e +=由此得12.A =于是得原方程的通解为 121cos sin 1.2xy C x C x e =+++由定解条件： 11111(0)1,22y C C ==++⇒=-122201111(0)sin cos ,;222x y C x C x e C C ⎛⎫'==-++=+⇒= ⎪⎝⎭ 故本初值问题的解为1(cos sin ) 1.2xy x x e =-+++ 八.计算曲面积分,S I xdydz ydzdx zdxdy +=++⎰⎰其中S为锥面04,z z =≤≤取外侧.解 如图，A S ++⋃所围区域为Ω，由高斯定理3A S P Q R xdydz ydzdx zdxdy dV V x y z ++Ω⋃⎛⎫∂∂∂++=++=⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰ 4, 4.r h == 22116444333V r h πππ==⋅⋅=因此64.A S xdydz ydzdx zdxdy π++⋃++=⎰⎰又 244464.A A A xdydz ydzdx zdxdy zdxdy dxdy ππ+++++===⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰故 64640.S A S A I xdydz ydzdx zdxdy xdydz ydzdx zdxdy ππ++++⋃=++=-++=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰九.若函数01(),2nn f x x ∞==+∑求证:⑴函数()f x 在区间[0,+∞)上有连续的导数;⑵广义积分()f x dx +∞⎰发散.解 ⑴ 11(),[0,),22n nn u x x x =≤∈+∞+ 2211(),(),[0,),(2)2nn n n u x u x x x ''=-≤∈+∞+ 而级数20011,22n n n n ∞∞==∑∑均收敛，由M 判别法，函数项级数00()()n nn n u x u x ∞∞=='∑∑和 在区间[0,+∞)上一致收敛，于是01()2n n f x x ∞==+∑在区间[0,+∞)上有连续的导数.且201().(2)n n f x x ∞='=-+∑⑵01()2AA nn f x dx dx x∞++==+∑⎰⎰1ln(2)2A Annn n dx x x +∞∞+====++∑∑⎰022ln ln 22n nn A A ∞=⎛⎫++⎛⎫=≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑,().A →+∞→+∞ 即广义积分()f x dx +∞⎰发散.证毕十.求幂级数121(1)21n nn x n -∞=--∑的收敛半径,收敛域及和函数. 解 令2,u x =原级数为11(1)21n n n u n -∞=--∑. 记 1(1),21n n a n --=-则 1211lim lim 1, 1.21n n n na n l R a n l +→∞→∞-=====+故级数收敛半径为 由于当1x =时,数项级数11(1)21n n n -∞=--∑满足莱布尼兹判别法条件,从而收敛,故原幂级数的收敛区域为[－1,1]. 下面来求和函数.记121(1)(),21n nn f x x n -∞=-=-∑则 12111(1)()(),21n n n f x x g x x n -∞-=-==-∑ 于是2011()()arctan ,1x f x g x dt x x t===+⎰ 121(1)()()arctan .21n nn f x x xg x x x n -∞=-===-∑ 十一.把函数2()4x f x x-=-展开成(2)x -的幂级数,并求其收敛域.解 令2,t x =-则0002(2)11 1.222n n n nn n n t x x ∞∞∞===--⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑ 收敛域为{}{}{}212222204.2x x x x x x x x ⎧⎫-<=-<=-<-<=<<⎨⎬⎩⎭十二.验证瑕积分2⎰收敛, 并求其值.解 x =1为瑕点,而2121dx dx dx =+⎰⎰⎰1111111012221022;y x dx dx y dy y dy y =---==-===⎰⎰⎰⎰.1111221221122;y x dx dx y dy y =--====⎰⎰⎰故瑕积分2⎰收敛,且其值为2121dx dx dx =+⎰⎰⎰=4.十三.若02,α<≤讨论瑕积分111sin dx x xα⎰的敛散性. 解 令2111,,,y x dx dy x y y===-则于是112201111sin ()sin sin .y I dx y y dy dy x x y y αααα+∞-+∞⎛⎫==-⋅-= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰当12,()(2)sin I I ydy αα+∞===⎰都能够发散.当2102,0,,y A yαα-<<由于关于变量单调下降且趋于而对任意正常数积分一致有界:1sin 2.Aydy ≤⎰由Drichlet 判别法,积分21sin ()yI dy yαα+∞-=⎰收敛.下面讨论绝对收敛性: 当22sin 121,01,,y y yαααα---><<≤即时当而积分211dy y α+∞-⎰收敛,由比较判别法,广义积分21sin ()yI dy yαα+∞-=⎰绝对收敛; 当2222sin sin 1cos 221,12,,y y yy y yααααα-----≤≤<≥=即时 但由于此时广义积分21cos 2ydy y α+∞-⎰收敛,而广义积分211dy yα+∞-⎰发散,于是 广义积分211cos 2ydy y α+∞--⎰发散,即广义积分21sin ()y I dy yαα+∞-=⎰条件收敛. 十四.设()f x 在区间[0,+∞ )上单调递增且(0)0,lim ()2;x f f x →+∞== (1) 求证:级数1[()(1)]n f n f n ∞=--∑收敛并求其和;(2) 若函数()0,[0,),f x x ''<∈+∞求证:级数1()n f n ∞='∑也收敛.证 ⑴ 因()(1)0,lim ()lim ()2,n n x a f n f n f n f x →+∞→+∞=--≥==且故 1lim lim[()(1)]lim [()(0)]lim() 2.nn n n n n k S f k f k f n f f n →+∞→+∞→+∞→+∞==--=-==∑因此级数1[()(1)]n f n f n ∞=--∑收敛,其和为S =2.⑵ 由于()f x 在区间[0,+∞ )上单调递增,故级数1()n f n ∞='∑为正项级数.因 ()0,[0,),f x x ''<∈+∞故()f x ' 在此区间单调递减,而由拉格朗日中值定理,在区间( n －1,n ) 内,必有n ξ,使得()(1)()(),n f n f n f f n ξ''--=≥ 由于1[()(1)]n f n f n ∞=--∑收敛,由正项级数的比较判别法, 级数1()n f n ∞='∑收敛.。

高等数学A （二）考试试卷一、 填空题（每小题5分，共25分）1. 设2u 1sin ,2xu e x y x y π-=∂∂∂则在（，）处的值为_________。

2. 改变二次积分10(,)x I dx f x y dy =⎰⎰的积分次序，则I=_______________。

3. 设平面曲线Γ为下半圆周y =22()x y ds Γ+⎰=___________。

4. 若级数1n n u∞=∑的前n 项部分和是：1122(21)n S n =-+，则n u =______________。

5. 设)2,5,3(-=a ，(2,1,4)b =，(1,1,1)c =，若c b a ⊥+μλ，则λ和μ满足 。

二、 计算题（每小题10分，共70分）1. 求由方程xyz =(,)z z x y =在点(1,0,1)-处的全微分。

(10分)2. 设21()x t f x e dx -=⎰，求10()f x dx ⎰。

（10分） 3. 计算xzdxdydz Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由平面0,,1z z y y ===以及抛物柱面2y x =所围成的闭区域。

（10分）4. 计算dy xy ydx x L22+⎰，其中积分路径L 是xoy 平面上由点(2,0)A -顺次通过点(0,2)B 、(2,2)C 到点(2,4)D 的折线段。

（10分） 5. 把函数xx f 431)(+=展为1-x 的幂级数，并确定其收敛域。

6. 求点)3,2,1(-关于平面014=-++z y x 的对称点。

（10分）7. 要建造一个表面积为108平方米的长方形敞口水池，尺寸如何才能容积最大.。

（10分）三、证明题（5分）若0lim =∞→n n na ，且∑∞=+-+11])1[(n n n na a n 收敛于常数A ，试证明级数∑∞=1n n a 收敛。

答案课程名称：高等数学A(二) 试卷编号：5一、填空题。

（每小题5分，共25分）1.22e π，2.101(,)y dy f x y dx ⎰⎰，3.π，4.1(21)(21)n n -+， 5. 076=+μλ二、 计算题。