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08092高数B期末试卷A卷及答案

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浙江理工大学2008—2009学年第二学期《高等数学B 》期末试卷（A 卷）考生姓名： 班级： 学号：一、选择题（本题共6小题, 每小题4分，满分24分）1、下列方程中，是一阶线性微分方程有（ C ）（A ） xy y x dx dy 22+= （B ） 022=+'y y （C ）x x y y xcos sin 1=+' （D ） 02=+'+''y y y 2、下列级数中，属于条件收敛的是 ( D )（A ）()()∑∞=+-111n nnn （B ）()∑∞=-1sin 1n nn nn π（C ）()∑∞=-121n n n （D ）()∑∞=+-1131n n n3、微分方程2'''0y y y +-=的通解是（ D ）（A ）x x e c e c y 221--= （B ）x x e c e c y 221+=- （C ）2/21x x e c e c y -+= （D ）2/21x x e c e c y +=-4、若数项级数1nn a∞=∑收敛，n S 是此级数的部分和，则必有（ C ）（A ）1lim nn n n aa ∞→∞==∑ （B ） lim 0n n S →∞=（C ） n S 有极限 （D ）n S 是单调的 5、设D ：4122≤+≤y x ，则=+⎰⎰dxdy y x D 22（ A ）（A ）dr r d ⎰⎰21220πθ （B ）dr r d ⎰⎰41220πθ （C ）dr r d ⎰⎰1220πθ（D ）dr r d ⎰⎰2120πθ6、若1lim 4n n na a +→∞=，则幂级数20n n n a x ∞=∑的收敛半径R =（ B ）．（A ）2 （B ） 1/2 （C ） 4 （D ） 1/4二、填空题（本题共5小题, 每小题4分，满分20分） 1、 设()()xy xy z 2cos sin +=，则=∂∂yz。

2、 微分方程22,xy y e '=满足初始条件(0)2y =-的特解为 。

3、 交换累次积分的顺序210(,)xx dxf x y dy =⎰⎰ 。

4、要使级数1pn n∞=∑收敛，实数p 必须满足条件 。

5、幂级数21(2)4nnn x n ∞=-∑的收敛域为 (0,4) 。

三 计算题（本题共5小题, 每小题7分，满分35分）1、 设函数),(y x z z =由方程ze z y x =-+所确定，求x z∂∂及2z x y∂∂∂。

2、求⎰⎰Ddxdy x x sin ，其中D 是由x y =和2x y =所围成。

3、 求方程xe y y y -=+'+''23的通解。

4、求级数nx nn n ∑∞=--11)1(的收敛域及和函数。

5、 将函数2ln(12)x x --展开成x 的幂函数，并指出其收敛域。

四、应用题（本题共2小题, 每小题8分，满分16分）1、某工厂生产两种型号的机床，其产量分别为x 台和y 台，成本函数为xy y x y x c -+=222),( （万元）若市场调查分析，共需两种机床8台，求如何安排生产，总成本最少？最小成本为多少？2、利用二重积分的几何意义计算球面22223x y z a ++=与抛物面222(0)x y az a +=>所围公共部分立体的体积。

五、证明题（本题满分5分）设1nn b∞=∑是收敛的正项级数，11()nn n aa ∞+=-∑收敛， 试证1n n n a b ∞=∑绝对收敛。

2008—2009学年第二学期《高等数学B 》期末试卷（A 卷）答案一．CDDCAB二．1. ()()()xy xy x xy x sin cos 2cos - 2. ()⎰⎰1,yydx y x f dy． 3. 53p >4． 22xy e -=- 5．(4,4)- 三．,),,(.1ze z y x z y x F --+=则：z z y x e F F F --===1,1,1………1分.,11z z x e F F x z +=-=∂∂z z y e F F y z +=-=∂∂11………………3分. y z e e y x z z z ∂∂⋅⋅+-=∂∂∂22)1(1…………………………….5分. .)1(3z ze e +-=…………………………………..7分. 2. 解：dy x x dx dxdy x xx x D⎰⎰⎰⎰=2sin sin 10----------------------------------------3分 dx xxy x x 210sin ⎰=dx x x x ⎰-=10)sin (sin -----------4分 ⎰--=1sin 01cos xdx x x 1sin1=----------------------7分3．1,2,023212-=-==++r r r r ……………………………………1分 对应齐次方程通解：.221x xe C eC Y --+=…………………………..3分1,*==-b bxe y x ………………………………………………………5分所求通解：.221x x xxe e C e C y ---++=……………………………….7分.4. 11lim ==+∞→n nn a a R ………………………………………………..1分 ;1)1(,111收敛n x n n ∑∞=--=.1,11发散nx n ∑∞=--=收敛域（-1，1]………3分 dx xn x x S n n n x nn n 111011)1()1()(--∞=∞=-∑⎰∑-=-=⎰∑∞=---=xn n n dx x111})1({)1ln(110x dx xx+=+=⎰……….7分. 2111112ln(12)ln(1)(12)ln(1)ln(12),1ln(1)(1),3(1,1]4(2)211ln(12)(1),[,)622ln(1--2)(1)nn n n n n n n n n x x x x x x x x n x x x x x n nx x ∞-=∞∞-==--=+-=++----------+=-------------∈------------------=-=-∈-----=-∑∑∑5.由分且 分分分所以111112(1)211,[,)722n n n n n n n n n x x x x n n n -∞∞∞-===---=∈-----∑∑∑分=四、 1. 解：即求成本函数()y x c ,在条件8=+y x 下的最小值构造辅助函数 ())8(2,22-++-+=y x xy y x y x F λ（2分）解方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=-+='=++-='=+-='080402y x F y x F y x F y x λλλ 解得 3,5,7==-=y x λ （6分）这唯一的一组解即为所求，当这两种型号的机床分别生产5台和3台时，总成本最小，最小成本为： 2835325)3,5(22=⨯-⨯+=c （万）（8分）2、利用二重积分的几何意义计算球面22223x y z a ++=与抛物面222(0)x y az a +=>所围公共部分立体的体积解：22222232x y z a z a x y az⎧++=⎪⇒=⎨+=⎪⎩ 所求立体在xoy 面上的投影区域为：222:2D x y a +≤---------------------------2分 由二重积分的几何意义所求立体的体积为22)2Dx y V d a σ+=⎰⎰ ----------------------------------5分用极坐标计算得220)2ar V d rdr aπθ=⎰⎰--------------------------------------------7分352)6a π=-------------------------------------------------------------8分 五、证明： 因为11()nn n aa ∞+=-∑收敛,所以部分和1111()mm n n m n s a a a a ++==-=-∑有界,从而数列{}n a 有界即存在常数0M >，使||(1,2,3,)n a M n <=，故||(1,2,3,)n n n a b Mb n <=由于1nn b∞=∑是收敛的正项级数，由比较审敛法知，1n nn a b∞=∑绝对收敛.。

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08~09学年第二学期高等数学期末试卷(有答案).docx

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北京工业大学2008-2009学年第二学期期末 “高等数学(工)—2”课程试卷(A 卷)参考答案考试方式：闭卷考试时间：2009年6月29 口注：木试卷共四大题，满分100分一、单项选择题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。

在每小题给出的四 个选项中，只有一项符合题目要求，请将正确选项的字母写在括号内. 若函数z = f(x,y)在点(0,0)处间断,贝！J 必有(A)爲％5)不存在(B)在点(0,0)无定义(C) /(X,y)在点(0,0)不可微(D) 彳(0,0)工(0,0)不存在已知点(1,1)是函数f(x,y) = 2x^3y-x a-y b的一个极值点，其中°上是大于1 的实数，则(B) a = 3.b = 25. 若级数》Q ”发散且色工0,则下列结论正确的是n=l二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分•将答案填写在题中的横 线上.% >1(C)5>1(D )弘14丨n71=1发散(A) \\ma n 0(B) lim 川T8川一>81. 2.(C) a = 2,b = 2(D) a = 3= 33. 设曲面工为上半球面z = ^l-x 2-y 2,则曲面积分口疔(C)匹3+ y 2 + z 2JS=[]4. (A) 4兀(B) 2/r(D )T下列方程不是线性微分方程的是(A) y /+ xy = e x(B) y" + 2y' + y = sin x6.方程= X +j确定了隐函数z = z(x,j),贝9z = z(兀，刃在点(L 0,1)处的全微分为_________________________________ .7.设空间区域Q由锥面z = + b与平面*3围成，则三重积分\\\ /(x2 +尸+ z 2)dV在球面坐标下的三次积分为 __________________________ Q8.设有向曲线厶的方程为F+y2_2y = 0,方向为顺时针方向。

北京交通大学第二学期高等数学B(Ⅱ)期末考试试卷(A卷)及其答案

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北 方 交 通 大 学1999-2000学年第二学期高等数学B （Ⅱ）期末考试试卷（A 卷）答案一．填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分），请将合适的答案填在空中． 1．设y x e z 2=，则=dz ________________________．2．交换积分次序()=⎰⎰-221y ydx y x f dy， _______________________________．3．已知∑是介于两平面0=z 与H z =()0>H 之间的圆柱面222R y x =+()0>R ，则=++⎰⎰∑222z y x dS_______________． 4．设幂级数∑∞=0n nn xa 的收敛半径为3，则幂级数()∑∞=+-111n n nx na 的收敛区间为 _____．5．函数()22ln z y x u ++=在点()101，，A 处沿A 点指向()223，，-B 点方向的方向导数为_______________．答案： ⒈ ()dy x xydx e yx222+； ⒉ ()()⎰⎰⎰⎰-+2220211x x d x d y y x f dx dxdy y x f dx ，，；⒊ R Ha r c t a n 2π； ⒋ ()42，-； ⒌21． 二．选择填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）。

以下每道题有四个答案，其中只有一个答案是正确的，请选出合适的答案填在空中，多选无效．1．二元函数()y x f ，在点()00y x ，处两个偏导数()00y x f x ，与()00y x f y ，存在是()y x f ，在该点处连续的_____________ ． （A ）．充分而非必要条件； （B ）．必要而非充分条件； （C ）．充分必要条件； （D ）．既非必要条件又非充分条件． 2．设()22442y xy x y x y x f z ---+==，，由()()⎪⎩⎪⎨⎧=--==--=0224022433y x y y x f y x x y x f y x ，， 解得其驻点为()000，M 、()111，M 、()112，-M ，则______________ ．（A ）．()0M f 是函数()y x f ，的极小值；（B ）．()1M f 与()2M f 都是函数()y x f ，的极小值； （C ）．()0M f 是函数()y x f ，的极大值； ；（D ）．()1M f 与()2M f 都是函数()y x f ，的极大值； ． 3．设空间区域02222≥≤++Ωz R z y x ，：，00022221≥≥≥≤++Ωz y x R z y x ，，，：，则______________ ． （A ）．⎰⎰ΩΩ=14xy d z x y d z ； （B ）．⎰⎰ΩΩ=14xy d z xy d z ；（C ）．⎰⎰ΩΩ=14zx y d z zx y d z ； （D ）．⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=14xyzdxdydz xyzdxdydz．4．若级数∑∞=12n na收敛，则级数∑∞=1n na___________ ．（A ）．一定绝对收敛； （B ）．一定条件收敛； （C ）．一定发散； （D ）．可能收敛也可能发散．5．已知x y ωc o s 1=与x y ωcos 32=是微分方程02=+''y y ω的解，则2211y C y C y +=（1C 与2C 为任意常数）__________________．（A ）．是该方程的通解； （B ）．是该方程的解，但不是通解； （C ）．是该方程的一个特解； （D ）．不一定是该方程的解． 答案： ⒈ （D ）； ⒉ （B ）； ⒊ （C ）； ⒋ （A ）； ⒌ （B ）． 三．（本题满分8分）设二元函数⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=y x xy f xy z ，，其中函数f 具有二阶连续的偏导数，求y x z ∂∂∂2．解：211f yf y y x z '+'+=∂∂ ……3 所以，⎥⎦⎤⎢⎣⎡''⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+''+'-⎥⎦⎤⎢⎣⎡''⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+''+'+=∂∂∂22221221221112111f y x f x y f y f y x f x y f y x z 2231122111f yxf xy f y f ''+''+'-'+= (8)四．（本题满分8分）计算二重积分⎰⎰++Ddxdy y x y x 22，其中(){}1122≥+≤+=y x y x y x D ，：，． 解： 作极坐标变换 θθsin cos r y r x ==， 则积分区域D 变为20πθ≤≤，1cos sin 1≤≤+r θθ．因此，⎰⎰⎰⎰++=++1cos sin 12222sin cos θθπθθθrdr rr r d dxdy y x yx D (3)()⎰⎰++=1c o ss i n 12s i n c o s θθπθθθdr d ()⎰-+=21c o s s i nπθθθd ……5 22π-= (8)五．（本题满分8分） 试将函数()⎰-=xt dt ex f 02展成x 的幂级数（要求写出该幂级数的一般项并指出其收敛域）． 解：因为 ∑∞==0!n ntn t e ()+∞<<∞-t (2)则∑∞==02!2n nt n t e ()+∞<<∞-t ， (4)将上式两端逐项积分，得()⎰∑⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛==∞=xn n x tdt n t dt e x f 0020!2∑⎰∞==002!n x ndt n t()∑∞=++=012!12n n n n x ()+∞<<∞-x (8)六．（本题满分8分）设函数()u f 有二阶连续的导函数，而函数()y e f z xsin =满足方程x ze yzx z 22222=∂∂+∂∂ 试求函数()u f ．解：()y e u f x z x s i n '=∂∂，()y e u f yz x cos '=∂∂()()y e u f y e u f x z x x s i n s i n 2222'+''=∂∂， ()()y e u f y e u f yz xx s i n c o s 2222'-''=∂∂， ……3 代入原方程，得()()0=-''u f u f ……6 解方程，得()u u e C e C u f -+=21，其中1C 与2C 为任意常数． ……8 七．（本题满分8分） 计算曲线积分()()⎰-++Ly y dy e x dx xe 11222，其中L 为()4222=+-y x 在第一象限沿逆时针方向的半圆弧． 解：()y xe y x P 21+=，，()122-=y e x y x Q ，由 yPxe x Q y ∂∂==∂∂22 可知该曲线积分与路径无关． ……3 因此我们可取直线0=y 上从4=x 到0=x 这一段直线段，得()()⎰-++L yydy ex dx xe 11222()⎰+041dx x (6)12-= ……8 八．（本题满分8分） 计算曲面积分()()⎰⎰∑--++=yzdxdy dzdx y xdydz y I 412182，其中∑是由曲线⎩⎨⎧=-=01x y z ()31≤≤y 绕y 轴旋转一周所成的曲面，它的法线向量与y 轴正向的夹角恒大于2π． 解： 添加有向曲面31=∑y ： ()222≤+z x ，其法线方向与y 轴正向相同．则1∑+∑构成封闭曲面．设其所围空间区域为Ω，则由Gauss 公式，得 (2)()()⎰⎰∑--++=yzdxdy dzdx y xdydz y I 412182()()()()⎰⎰⎰⎰∑∑+∑--++---++=11412184121822yzdxdydzdx y xdydz y yzdxdy dzdx y xdydz y (5)()[]()⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω----+=12124418dzdx y dxdydz y y y ⎰⎰⎰⎰⎰≤+Ω+=22216z x dzdx dxdydz()ππ321312+-=⎰dy yπ34= (8)九．（本题满分8分） 设直线⎩⎨⎧=--+=++030z ay x b y x 在平面π上，而平面π与曲面22y x z +=相切于点()521，，-P ，试求常数a ，b ．解：在点()521，，-P 处曲面22y x z +=的法向量为{}(){}142122521--=-=-，，，，，，y x n， ……2 因此平面π的方程为()()()052412=--+--z y x即 0542=---z y x ， ……5 又由直线方程得()b x y +-=，()3-+-=b x a x z 代入平面π的方程，得()()0542=-++-++b x a x b x x ，因而，得 05=+a ，024=-+ab b ，所以，得 5-=a ，2=b ． ……8 十．（本题满分8分） 设x e y =是微分方程()x y x P y x =+'的一个解，求此微分方程满足初始条件02ln ==x y 的特解． 解：将x e y =代入微分方程()x y x P y x =+'，得()x xe x P x-=- (2)因此题中的微分方程为()x y x xey x x=-+'-，解此方程，得其通解为xe xx Cee y +-+=， (5)将初始条件02ln ==x y 代入，得21--=e C ，因此，所求特解为 21-+--=x e xx ee y ． (8)十一．（本题满分6分） 计算三重积分 ()⎰⎰⎰Ω++=dxdydz z y xI 222753 ，其中2220y x R z --≤≤Ω：．解：设22221R z y x ≤++Ω：，则 ()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ++=++=122222275321753dxdydz z y x dxdydz z y xI ……2 而⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩΩ==111222dxdydz z dxdydz y dxdydz x ()⎰⎰⎰Ω++=dxdydz z y x 22231504020154sin 31R d d d Rπρρϕϕθππ==⎰⎰⎰ ……4 所以，()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ++=++=122222275321753dxdydz z y x dxdydz z y x I ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩΩ11122275321dxdydz z dxdydz y dxdydz x⎰⎰⎰Ω⋅=121521dxdydz x 52R π= (6)。

高等数学A(下册)期末考试试题答案【B卷】

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高等数学A(下册)期末考试试题【B 卷】（补考卷）参考答案与评分标准 2009年6月（8月）一. 填空题【共5小题，每小题4分，共20分】 1、3π； 2、612x x y C e C e -=+； 3、113210x y z ---==-； 4、14xy +； 5、12a ．二. 试解下列各题【共5小题，每小题7分，共35分】1、解：该平面的法线向量12137231ij kn i j k =-=---- (3)∴所求的平面方程为(1)3(2)7(3)0x y z -+-+-=，即37280x yz ++-= (7)2、解：令 1t x =-，则级数化为为nn∞=..…【1】 1lim1n n n n a a ρ+→∞===，………………..…【3】 1R ⇒=，收敛区间1t <即02x << (4)当2x =时，级数成为1n ∞=0x =时，级数成为1n n ∞=，收敛....【6】 ∴所求的收敛域为[0,2).. (7)3、解：{}(,)01D xy x y=≤≤≤≤， (2)∴原式10dy =⎰ (4)133/210011(1)|29y y ==+=⎰ ………………【7】 4、解：2111()3212f x x x x x==-++++ (1)又01(1)(1)1n nn x x x ∞==-<+∑ (3)1001111(1)()(1)(2)221/2222n n n n n n n x x x x x ∞∞+====-=-<++∑∑………【5】 ∴21100011()(1)(1)(1)(1)(1)3222n n n n n n n n n n n x f x x x x x x ∞∞∞++=====---=--<++∑∑∑ (7)5、解：1222zxf yf x∂''=+∂ …………【2】 2zx y∂∂∂1112221222[(2)2]22[(2)2]x f y f x f y f y f x '''''''''=⋅-+⋅++⋅-+⋅ …………【6】 22212221124()4()f x y f xy f f '''''''=+-+- …………【7】 三、【9分】解：令23639026180x yf x y f y x ⎧=--=⎪⎨=-+=⎪⎩，得驻点(5,6)，(1,6)- (4)又6,6,2xx xy yy A f x B f C f ====-==.在驻点(5,6)处，2240,AC B -=>且300A =>，∴该函数在(5,6)处取得极小值(5,6)88f =-.….…【7】 在驻点(1,6)-处，2240,AC B -=-<∴该函数在(1,6)-处没有极值. ………………【9】 四、【10分】解：联立z =与22z x y =+消去z ，解得221x y +=，从而该立体Ω在xOy 面上的投影区域{}22(,)1xy D x y x y =+≤． (2)故所求的体积为221V dv d d πρθρρΩ==⎰⎰⎰⎰⎰ (6)1202)d πρρρ=⎰1423/20172(2)346ρπρπ⎡⎤=---=⎢⎥⎣⎦ (10)五、【10分】取1∑为1z =22(1)x y +≤的上侧，记Ω为由∑与1∑所围成的空间闭区域.由高斯公式，12222()x dydz y dzdx z dxdy x y z dv ∑+∑Ω++=++⎰⎰⎰⎰⎰ (4)2()2x y dv zdv ΩΩ=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰2221002x y zzdzdxdy +≤=+⎰⎰⎰13022z dz ππ==⎰ (6)又221122221x y x dydz y dzdx z dxdy z dxdy dxdy π∑∑+≤++===⎰⎰⎰⎰⎰⎰ (9)∴22I πππ=-=- (10)六、【10分】解：(1)证:令 211(,)[1()]()P x y y f xy yf xy y y=+=+，222(,)[()1]()x xQ x y y f xy xf xy y y=-=-. 则当0y >时，21()()P f xy xyf xy y y ∂'=-++∂，21()()Q f xy xyf xy x y∂'=+-∂. ……………【4】 从而P y ∂∂、Q x ∂∂在上半平面内处处连续，且恒有Q P x y∂∂=∂∂. ∴曲线积分I 在上半平面内与路径无关 (5)（2）由于I 与路径无关，故可取积分路径L 为由点2(3,)3A 到(3,2)B ，再到(1,2)C 的折线段，则2221[1()][()1]AB BC xI y f xy dx y f xy dy y y+=++-⎰212223331[(3)1][14(2)]2y f y dy f x dx y =-++⎰⎰……………….【8】 212122/333313(3)3[][]2(2)2x f y dy f x dx y =+++⎰⎰62264()()4f t dt f t dt =-++=-⎰⎰ (10)七、【6分】证明：所给级数的部分和11223341()()()(1)()n n n n s u u u u u u u u ++=+-+++-+-+111(1)n n u u ++=+- (3)又由lim 1n n nu →∞=，得1lim lim lim0n n n n n u nu n→∞→∞→∞=⋅=，……………【4】 从而1n s u → （n →∞） ∴ (5)因此，所给级数收敛. (6)。

福建省厦门市0809学年高二下学期期末考试理科数学

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福建省厦门市0809学年高二下学期期末考试理科数学数学〔理科〕试题试卷分A和B卷两部分，总分值为150分，考试时刻120分钟。

A卷〔共100分〕一、选择题：本大题共10个小题，每题5分，共50分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的，在答题卷上的相应题目的答题区域内作答。

1．复数，那么复数在复平面内的对应点在A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．一个物体的运动方程为其中的单位是米，的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是A．7米/秒B．6米/秒C．5米/秒D．8米/秒下面关于甲、乙两个工人一辈子产质量的讲法合理的是A．甲的产品质量比乙的产品质量好一些B．乙的产品质量比甲的产品质量好一些C．两人的产品质量一样好D．无法判定谁的质量好一些4．假设的展开式中的系数是80，那么实数的值是A．B．C．D．25．要从甲、乙、丙3名工人中选出2名分不上日班和晚班，那么不同的排班方法有A．2种B．3种C．6种D．9种6．函数的导函数．．．的图像如图，那么A．函数有1个极大值点，1个极小值点。

B．函数有2个极大值点，2个极小值点。

C．函数有3个极大值点，1个极小值点。

D．函数有1个极大值点，3个极小值点。

7．随机变量那么等于A．B．C．D．8．直线与抛物线所围成的图形面积是A．20 B．C．D．9．以下四个命题：①相关系数越大，两个变量的线性相关性越强；反之就越弱。

②残差平方和越小的模型，拟合的成效越好。

③用相关指数来刻画回来成效，越小，讲明模型的拟合成效越好。

④随机误差是衡量预报精确度的一个量，它满足正确命题的序号是A．①③B．②④C．①④D．②③10．平面内，在中，，在上的射影为，那么，拓展到空间，在三棱锥中，面在内的射影为，正确的结论是A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每题4分，共16分，在答题卷上的相应题目的答题区域内作答。

11．假设复数，那么_________。