利用夹逼准则求极限之令狐文艳创作

二次函数综合题型精讲精练令狐文艳主讲：姜老师题型一：二次函数中的最值问题例1：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣2，﹣4），O（0，0），B（2，0）三点．（1）求抛物线y=ax2+bx+c的解析式；（2）若点M是该抛物线对称轴上的一点，求AM+OM的最小值．解析：（1）把A（﹣2，﹣4），O（0，0），B（2，0）三点的坐标代入y=ax2+bx+c中，得解这个方程组，得a=﹣，b=1，c=0所以解析式为y=﹣x2+x．（2）由y=﹣x2+x=﹣（x﹣1）2+，可得抛物线的对称轴为x=1，并且对称轴垂直平分线段OB∴OM=BM∴OM+AM=BM+AM连接AB交直线x=1于M点，则此时OM+AM最小过点A作AN⊥x轴于点N，在Rt△ABN中，AB===4，因此OM+AM最小值为．方法提炼：已知一条直线上一动点M和直线同侧两个固定点A、B，求AM+BM最小值的问题，我们只需做出点A关于这条直线的对称点A’，将点B与A’连接起来交直线与点M，那么A’B就是AM+BM的最小值。

同理，我们也可以做出点B关于这条直线的对称点B’，将点A与B’连接起来交直线与点M，那么AB’就是AM+BM的最小值。

应用的定理是：两点之间线段最短。

A AB BM 或者 MA’B’例2：已知抛物线1C 的函数解析式为23(0)y ax bx a b =+-<，若抛物线1C 经过点(0,3)-，方程230ax bx a +-=的两根为1x ，2x ，且124x x -=。

（1）求抛物线1C 的顶点坐标.（2）已知实数0x >，请证明：1x x+≥2,并说明x 为何值时才会有12x x +=. （3）若抛物线先向上平移4个单位，再向左平移1个单位后得到抛物线2C ，设1(,)A m y ，2(,)B n y 是2C 上的两个不同点，且满足：090AOB ∠=，0m >，0n <.请你用含有m 的表达式表示出△AOB 的面积S ，并求出S 的最小值及S 取最小值时一次函数OA 的函数解析式。

利用夹逼定理求极限
夹逼定理是一种常用的求极限的方法，它适用于通过构造夹逼函数来确定极限值的情况。

夹逼定理的原理是，当存在两个数列lim an = lim bn = L，且对于所有n，都有an ≤ cn ≤ bn，那么有lim cn = L。

具体的步骤如下：
1. 首先，确定要求解的极限表达式。

2. 根据给定的函数表达式，找到一个或多个夹逼函数。

3. 判断夹逼函数的极限是否存在，并求出它们的极限值。

4. 利用夹逼定理，得出原极限的极限值。

以下是一个例子：
求lim (3n^2 - 2n + 1)/(2n^2 + 3n)。

解：首先，我们可以发现夹逼函数an = 3n^2/(2n^2 + 3n)和bn = (3n^2 + 4n)/(2n^2 + 3n)都可以夹住原函数。

然后，我们计算an和bn的极限：
lim an = lim (3n^2/(2n^2 + 3n)) = 3/2
lim bn = lim ((3n^2 + 4n)/(2n^2 + 3n)) = 3/2
根据夹逼定理，我们可以得出lim (3n^2 - 2n + 1)/(2n^2 + 3n) = 3/2。

所以，利用夹逼定理，我们成功求得了极限值。

通过构造夹逼函数，夹逼定理可以帮助我们确定复杂函数的极限值，但需要注意选择夹逼函数时要考虑函数的性质和区间的选择。

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利用夹逼准则求极限 夹逼准则的使用方法：定理1 用夹逼准则求极限，就是将数列放大和缩小.要求放大和缩小后的极限容易求出，此时常将其放大到最大项的整数倍，缩小到最小项的整数倍,并且此时两者极限相等，即两者是等价无穷小，此时就可以得到原数列极限的值。

题型1 夹逼准则常用于求若干项和的极限推论1 极限变化过程中最小项与最大项之比为1时可以使用夹逼准则求其极限. 证明：不妨设最小项为)(x α，最大项为)(x β，数列有n 项,则整数倍为n 倍， 由定理1可知.)()(lim 1)()(limx x x n x n βαβα==例1.求)21 (4)121(lim 222nn n n n ++++++∞→.解：.11lim 22lim 22lim 2121lim222222==++=++=++∞→∞→∞→∞→n n n n n n n n n n n n n由推论1，.1221 (4)1212122222→+≤++++++≤+←n n nn n n nn n由夹逼准则可得所求极限为1.例2。

求).1...2111(lim 222n n n n n n n n +++++++++∞→解：.11lim 111lim 2222=++++=++++∞→∞→n n n n n n n n n n n n由推论1,.011 (2111022222)→++≤+++++++++≤++←n n nn n n n n n n n n n n 由夹逼准则可得所求极限为0。

第四章不定积分令狐文艳教学目的与要求1．理解原函数概念、不定积分和定积分的概念。

2．掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元积分法与分部积分法。

3．求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。

在第二章中，我们讨论了怎样求一个函数的导函数问题，本章将讨论它的反问题，即要求一个导函数的原函数，也就是求一个可导函数，使它的导函数等于已知函数。

这是积分学的基本问题之一。

4.1 不定积分的概念与性质一原函数与不定积分的概念定义1 如果在区间上，可导函数的导函数为，即对任一，都有 或， 那末函数就称为（或）在区间上的原函数。

例如，x^2是2x 的原函数，lnx 是1/x 的原函数因，，故是的原函数。

注：1由此定义上问题是：已知f(x),如何去求原函数2．那一个函数具备何种条件，才能保证它的原函数一定存在呢？若存在是否唯一定理1：若f(x)在I 上连续，则f(x)在I 上一定有原函数。

注意：并不是任意在I 上有定义的函数都有原函数，反例⎩⎨⎧<≥=0,00,1)(x x x f定理2：设f(x)在区间I上有原函数，且F(x)是其中一个原函数，则1．f(x)的任意两个原函数相差一个常数2．F(x)+C也是f(x)的原函数定义2 在区间上，函数的带有任意常数项的原函数称为（或）在区间上的不定积分，记作。

其中记号称为积分号，称为被积函数，称为被积表达式，称为积分变量。

由此定义及前面的说明可知，如果是在区间上的一个原函数，那么就是的不定积分，即。

因而不定积分可以表示的任意一个原函数。

第一，如果有，那么，对任意常数C，显然也有，即如果是的原函数，那也是的原函数。

第二，当为任意常数时，表达式就可以表示的任意一个原函数。

也就是说，的全体原函数所组成的集合，就是函数族。

例 1 求.解由于=，所以是的一个原函数。

因此.例 2求.解 当时,由于=,所以是在内的一个原函数。

因此，在内， 当时，由于==，由上同理，在内，将结果合并起来，可写作例3、 已知()x F 是x xln 的一个原函数， 求：()x sin dF 解：x lnx(x)F /=例4、()x f 的导函数是x sin ，则()x f 的原函数21c x c x sin ++-，(1c 、2c 为任意常数)例5、在下列等式中，正确的结果是CA 、()⎰=x f (x)dx f / B、⎰=f(x)df(x)C 、⎰=f(x)(x)dx f dx dD 、⎰=f(x)(x)dx f d二基本积分表由于积分是微分的逆运算，因此可以有微分基本表导出积分表。

用微积分理论证明不等式的方法江苏省扬中高级中学 卞国文 212200高等数学中所涉及到的不等式，大致可分为两种:函数不等式(含变量)和数值不等式(不含变量)．对于前者，一般可直接或稍加变形构造一函数，从而可通过研究所构造函数的性质，进而证明不等式；对于后者，我们也可根据数值不等式的特点，巧妙的构造辅助函数，从而将数值不等式问题转化为函数的问题，研究方法正好与前者相似．微积分是高等数学中的重要内容，以它为工具能较好的研究函数的形态，有些常规方法难于证明的不等式，若能根据不等式的结构特征，巧妙的构造函数，将不等式问题转化为函数的问题，利用微积分理论研究函数的性质，应用函数的性质证明不等式．一、用导数定义证明不等式法1．证明方法根据－导数定义导数定义：设函数)(x f y =在点0x 的某个邻域内有定义，若极限xy x x x x x x f x f ∆∆→∆→=--lim lim 000)()(0存在，则称函数)(x f 在0x 可导，称这极限为函数)(x f y =在点0x 的导数，记作)(0x f y '=．2．证明方法：(1)找出0x ，使得)(0x f y '=恰为结论中不等式的一边；(2)利用导数的定义并结合已知条件去研究．3．例例1:设函数nx a x a x a x f n sin 2sin sin )(21+++= ，其中n a a a ,,21都为实数，n 为正整数，已知对于一切实数x ，有x x f sin )(≤，试证：1221≤+++n na a a ．分析：问题中的条件与结论不属于同一类型的函数，如果能找出它们之间的关系，无疑能帮助解决此题，可以看出：)0(221f na a a n '=+++ ．于是问题可以转化为证明1)0(≤'f ．证明：因nx na x a x a x f n cos 2cos 2cos )(21+++=' ．则nna a a f +++=' 212)0(．利用导数的定义得：x x f x x f x f x f f x x x )()(lim 0)0()()0(lim lim 000→→→==--='．由于x x f sin )(≤． 所以1sin )0(lim 0=≤'→x x f x ．即1221≤+++n na a a ．4.适用范围用导数定义证明不等式，此方法得适用范围不广，我们应仔细观察问题中的条件与结论之间的关系．有些不等式符合导数的定义，因此可利用导数的定义将其形式转化，以达到化繁为简的目的．二．用可导函数的单调性证明不等式法1.证明方法根据－可导函数的一阶导数符号与函数单调性关系定理 定理一：若函数)(x f 在),(b a 可导，则)(x f 在),(b a 内递增（递减）的充要条件是：),(),0)((0)(b a x x f x f ∈≤'≥'.定理二：设函数)(x f 在],[b a 连续，在),(b a 内可导，如果在),(b a 内0)(>'x f （或0)(<'x f ），那么)(x f 在],[b a 上严格单调增加（或严格单调减少）.定理三：设函数)(x f 在),(b a 内可导，若0)(>'x f （或0)(<'x f ），则)(x f 在),(b a 内严格递增（或严格递减）.上述定理反映了可导函数的一阶导数符号与函数单调性的关系，因此可用一阶导数研究函数在所讨论区间上的单调性.2.证明方法（1）构造辅助函数)(x f ，取定闭区间],[b a ；△如何构造辅助函数？①利用不等式两边之差构造辅助函数（见例2）；②利用不等式两边相同“形式”的特征构造辅助函数（见例3）； ③若所证的不等式涉及到幂指数函数，则可通过适当的变形（若取对数）将其化为易于证明的形式，再如前面所讲那样，根据不等式的特点，构造辅助函数（见例4）.(2)研究)(x f 在],[b a 上的单调性，从而证明不等式.3.例例2：证明不等式：)0(1)1ln(122>+>+++x x x x x .分析：利用差式构造辅助函数),0[,1)1ln(1)(22+∞∈+-+++=x x x x x x f ，则将要证明的结论转化为要证)0(,0)(>>x x f ，而0)0(=f ，因而只要证明)0(),0()(>>x f x f . 证明：令),0[,1)1ln(1)(22+∞∈+-+++=x x x x x x f ，易知)(x f 在),0[+∞上连续，且有),0(,0)1ln()(2+∞∈>++='x x x x f ，由定理二可知)(x f 在),0[+∞上严格单调增加，所以由单调性定义可知)0(,0)0()(>=>x f x f ，即01)1ln(122>+-+++x x x x .因此 )0(1)1ln(122>+>+++x x x x x .例3：求证：b ba ab a ba +++≤+++111.分析：不等式两边有相同的“形式”:AA +1：试构造辅助函数)0(,1)(≥+=x xx x f .利用定理二与在)(x f 在),0[+∞上的单调性证明不等式. 证明：设辅助函数)0(,1)(≥+=x x x x f .易知)(x f 在),0[+∞上连续，且有,0)1(1)(2>+='x x f )0(>x .则由定理二可知)(x f 在),0[+∞上严格单调增加.由ba b a +≤+≤0，有)()(b a f b a f +≤+，得到b b a ab a bb a ab a ba b a ba +++≤+++++=+++≤+++111111，所以原不等式成立.例4：证明：当0>x 时，2111)1(xx e x ++<+.分析：此不等式为幂指数函数不等式，若直接利用差式构造辅助函数将很难求其导数，更很难判断其在),0(+∞上的单调性，可对不等式两边分别取对数得到21)1ln()11(x x x +<++，化简得22)1ln()1(2x x x x +<++，在此基础上可利用差式构造辅助函数： )0)(1ln()1(22)(2≥++-+=x x x x x x f ，因0)0(=f ，因而只要证明)0(),0()(>>x f x f 即可. 证明：分别对不等式得两边取对数，有21)1ln()11(x x x +<++，化简有： 22)1ln()1(2x x x x +<++.设辅助函数)0(),1ln()1(22)(2≥++-+=x x x x x x f ，)1ln(22)(x x x f +-='，易知)(x f 在),0[+∞上连续，)(x f '也在),0[+∞上连续，因)0(,012)(>>+=''x xx x f ，根据定理二，得)(x f '在),0[+∞上严格单调增加，所以)0(,0)0()(>='>'x f x f .又由)(x f 在),0[+∞上连续，且0)(>'x f ，根据定理二可知)(x f 在),0[+∞上严格单调增加，所以)0(,0)0()(>=>x f x f ，即0)1ln()1(222>++-+x x x x ，因此)1ln()1(222x x x x ++>+，即2111)1(xx e x ++<+.4.适用范围利用函数单调性证明不等式，不等式两边的函数必须可导；对所构造的辅助函数)(x f 应在某闭区间上连续，开区间内可导，且在闭区间的某端点处)(x f 的值为0，然后通过在开区间内)(x f '的符号来判断)(x f 在闭区间上的单调性.三、函数的极值与最大、最小值证明不等式法1．证明方法根据－极值的充分条件定理定理四（极值的第一充分条件） 设)(x f 在0x 连续，在),(00δx ⋃内可导，（i ）若当),(00x x x δ-∈时，0)(≥'x f ,当),(00δ+∈x x x 时，0)(≤'x f ,则)(x f 在0x 取得极大值;(ii) 若当),(00x x x δ-∈时，0)(≤'x f ,当),(00δ+∈x x x 时，0)(≥'x f ,则)(x f 在0x 取得极小值.定理五（极值的第二充分条件） 设)(x f 在的某领域),(0δx ⋃内一阶可导，在0x x =处二阶可导，且0)(0='x f ，0)(0≠''x f ,(i)若0)(0<''x f ，则)(x f 在0x 取得极大值；(ii)若0)(0>''x f ，则)(x f在0x 取得极小值.极值和最值是两个不同的概念.极值仅是在某点的邻域内考虑，而最值是在某个区间上考虑.若函数在一个区间的内部取得最值，则此最值也是极值.极值的充分条件定理反映了可导函数的一阶导数符号或二阶导数在可疑点上的导数符号与函数极值的关系.2.证明方法（1）构造辅助函数)(x f ，并取定区间.△如何构造辅助函数？①当不等式两边均含有未知数时，可利用不等式两边之差构造辅助函数（见例5）；②当不等式两边含有相同的“形式”时，可利用此形式构造辅助函数（见例6）；③当不等式形如a x g ≥)(（或a x g ≤)(）（a 为常数）时，可设)(x g 为辅助函数（见例7）.(2)求出)(x f 在所设区间上的极值与最大、最小值.△极值与最大、最小值的求法①极值求法：（1）求出可疑点，即稳定点与不可导的连续点；（2）按极值充分条件判定可疑点是否为极值点.②最大、最小值的求法：（1）闭区间],[b a 上连续函数的最大、最小值的求法：先求出可疑点，再将可疑点处的函数值与端点b a ,处的函数值比较，最大者为最大值，最小者为最小值.（2）开区间),(b a 内可导函数的最大值、最小值的求法：若)(x f 在),(b a 内可导，且有唯一的极值点，则此极值点即为最大值点或最小值点.3.例例5：证明：当0>x 时有455+≥x x .分析：利用差式构造辅助函数)0(,45)(5>--=x x x x f ，这与前面利用函数单调性定义证明不等式中所构造辅助函数的方法相同，但由于)(x f 在),0(+∞上不是单调函数，（因对任意0,21>x x ，且)(5)()()(,2152512121x x x x x f x f x x ---=->，不能判断)(x f 的符号）.所以不能用可导函数的单调性证明此不等式，则可采用函数的极值方法试之.函数的单调性证明此不等式，则可采用函数的极值方法试之．证明：构造辅助函数)0(,45)(5>--=x x x x f ，则有 ),1)(1)(1(5)1)(1(555)(2224-++=-+=-='x x x x x x x f 令0)(='x f ，解得1±=x ，其中只有1=x 在区间),0(+∞内，由)1(45lim )(lim 511f x x x f x x =--=→→，有)(x f 在1=x 点连续．因当10<<x 时，0)(<'x f ，则)(x f 在)1,0(上为减函数；当1>x 时，0)(>'x f ，则)(x f 在),1(+∞上为增函数；由定理四可知，)(x f 在1=x 处取得极小值，即0)1(=f 为区间),0(+∞上的最小值，所以当0>x 时，有0)1()(=≥f x f ．故),0(0455>≥--x x x 即)0(455>+≥x x x ．例6：设0,0>>b a ，则b b ba b a )()11(1≥+++． 分析：此不等式两边含有相同的“形式”：B B A )(，可将不等式变形为b b b b b b a a 11)1()1(+++≥+，可构造辅助函数)0()1()(1>+=+x xx x f b b ． 证明：将不等式变形为bb b b b b a a 11)1()1(+++≥+，构造辅助函数)0()1()(1>+=+x x x x f b b ，则有b b b xb x x x x f 21)()1()(-+='-，令0)(='x f ，则有b x =．当b x <<0时，0)(<'x f ，所以)(x f 单调递减；当b x >时，0)(>'x f ，则)(x f 单调递增．因此，由定理四可知)(x f 在b x =时取得极小值，即最小值．所以当),0(+∞∈∀a ，有≥+=+b b a a a f 1)1()(b b b b b f 1)1()(++=，即)0,(,)()11(1>≥+++b a ba b a b b ． 例7：证明：若1>p ，则对于]1,0[中的任意x 有：121)1(1-≥-+≥p p p x x ．分析：显然设辅助函数)10(,)1()(≤≤-+=x x x x f p p ，若设121)(-=p x g ，由)10(0)1(211)0()0()0(1≤≤≠=-=-=-x F g f F p ，故很难用函数单调性的定义去证明．考虑到1)1()0(==f f ，不难看到不等式1)1(≤-+pp x x ，即为)(x f 与其端点1,0==x x 处的函数值的大小比较问题，因而可想到用最值方法试之．证明：设辅助函数为)10(,)1()(≤≤-+=x x x x f p p ，则10≤≤x 时，有： ],)1([)1()(1111------=--='p p p p x x p x p px x f 令0)(='x f 得11)1(---=p p x x ,解之得稳定点21=x ,因函数)(x f 在闭区间[0,1]上连续,因而在[0,1]上有最大值和最小值，已知121)211()21()21(,1)1()0(-=-+===p p p f f f .有,1}21,1{max )}({max 1]1,0[]1,0[==-∈∈p x x x f =∈)}({min ]1,0[x f x ,21}21,1{min 11]1,0[--∈=p p x 因此对一切1],1,0[>∈p x 时，有,1)(211≤≤-x f p 所以原不等式得证.4.适用范围（1）所设函数)(x f 在某闭区间上连续，开区间内可导，但在所讨论的区间上不是单调函数时；（2）只能证不严格的不等式而不能证出严格的不等式.四、用拉格朗日中值定理证明不等式法1.证明方法根据－拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理：若函数)(x f 满足下列条件：（I ）)(x f 在闭区间],[b a 上连续；（ⅱ）)(x f 在开区间),(b a 内可导，则在),(b a 内至少存在一点ξ，使得ab a f b f f --=')()()(ξ. 拉格朗日中值定理反映了函数或函数增量和可导函数的一阶导数符号之间的关系.2.证明方法①辅助函数)(x f ，并确定)(x f 施用拉格朗日中值定理的区间],[b a ；②对)(x f 在],[b a 上施用拉格朗日中值定理；③利用ξ与b a ,的关系，对拉格朗日公式进行加强不等式.3.例例8：证明：当x x xxx <+<+>)1ln(1,0. 分析：所证不等式中的函数)1ln(x +的导数为x+11，即所证不等式中含有函数及其导数，因而可用拉格朗日中值定理试之.由于01ln =，因此可构造函数的改变量1ln )1ln(-+x ，则相应自变量的改变量为x ，原不等式等价于：11)1(11)1ln(11<-+-+<+x n x x ，由不等式中间部分的形式可知，可利用拉格朗日中值定理去证明.证明：构造函数t t f ln )(=，因)(t f 在)0](1,1[>+x x 上连续，在)1,1(x +上可导，)(t f 在)0](1,1[>+x x 上满足拉格朗日条件，于是存在)1,1(x +∈ξ，使 ξξ1)(1)1()1()1(='=-+-+f x f x f ，因1111),1ln(1ln )1ln()1()1(<<++=-+=-+ξx x x f x f ，所以1)1ln(11<+<+x x x . 即)0(,)1ln(1><+<+x x x xx.4.适用范围当所证的不等式中含有函数值与一阶导数，或函数增量与一阶导数时，可用拉格朗日中值定理来证明.五、用柯西中值定理证明不等式法1.证明方法根据－柯西中值定理柯西中值定理：若⑴函数)(x f 与)(x g 都在闭区间],[b a 上连续；⑵)(x f 与)(x g 都在开区间),(b a 内可导；⑶)(x f '与)(x g '在),(b a 内不同时为0；⑷)()(b g a g ≠. 则在),(b a 内至少存在一点ξ，使得 )()()()()()(a g b g a f b f g f --=''ξξ . 柯西中值定理反映了两个函数或两个函数增量与它们一阶导数之间的关系.2.证明方法①构造两个辅助函数)(x f 和)(x g ，并确定它们施用柯西中值定理的区间],[b a ；②对)(x f 与)(x g 在],[b a 上施用柯西中值定理； ③利用ξ与b a ,的关系，对柯西公式进行加强不等式.3.例 例9：设20,π<<<>y x e a ，证明a a y x a a x x y ln )cos (cos ->-.分析：原不等式可等价于a a xy a a x xy ln cos cos -<--.可看出不等式左边可看成是函数ta t f =)(与t t g cos )(=在区间],[y x 上的改变量的商，故可用柯西中值定理证明之.证明：原不等式等价于a a x y a a x xy ln cos cos -<--，可构造函数t a t f =)(，t t g cos )(=,因),(t f )(t g均在],[y x 上连续，在),(y x 上可导，且0ln )(≠='a a t f t，由于20π<<<y x ，则y y g x x g t t g cos )(cos )(,0sin )(=≠=≠-='，所以),(t f )(t g 在],[y x 上满足柯西中值条件，于是存在),(y x ∈ξ，使得ξξξξsin ln cos cos )()()()()()(-=--=--=''aa x y a a x g y g x f y f g f x y ，又因),,(,y x e a ∈>ξ ,20π<<<y x 有1ln ,1sin 1,>><a a a x ξξ，得到ξξξξsin ln ln ,sin ln ln a a a a a a a a xx->-< ,因此a a xy a a x xy ln cos cos -<--,即a a y x a a x x y ln )cos (cos ->-.4.适用范围当不等式含有两个函数的函数值及其一阶导数，或两个函数的函数增量及其一阶导数时，可用柯西中值定理证明.六、上述二、三、四、五种方法小结前面二、三、四、五种方法中，均可利用差式构造函数，但有时应用导数研究函数单调性证明不等式，有时应用导数研究函数极值证明不等式，而有时应用拉格朗日中值定理或柯西中值定理证明不等式.三者有何区别：⑴若所证不等式含有函数值及其导数，宜用中值定理；若所证不等式),(),()(b a x x g x f ∈<，其两端函数)(),(x g x f 均可导，且)()()(a g a f a F -=或)()()(b g b f b F -=有一为0时，宜用函数的单调性.⑵若所证不等式的两端函数有不可导时，不能用函数单调性证明，宜用中值定理.⑶若所证不等式),(),()(b a x x g x f ∈<，两端函数)(),(x g x f 均可导，但)()()(x g x f x F -=不是单调的函数时，宜用函数的极值来证明.七、用函数的凹凸性证明不等式1.证明方法根据－凹凸函数定义及其定理和詹森不等式定义：设)(x f 为定义在区间I 上的函数，若对于I 上任意两点21,x x 和实数)1,0(∈λ，总有)()1()())1((2121x f x f x x f λλλλ-+≤-+,则称)(x f 为I 上的凸函数，若总有)()1()())1((2121x f x f x x f λλλλ-+≥-+,则称)(x f 为I 上的凹函数.定理六：设)(x f 为I 上的二阶可导函数，则)(x f 为I 上的凸函数（或凹函数）的充要条件是在I 上)0)((0)(≤''≥''x f x f 或 .命题（詹森不等式） 若)(x f 在],[b a 上为凸函数，对任意的)2,1(0],,[n i b a x i i =>∈λ且11=∑=n i i λ,则≤∑=)(1ni i i x f λ)(1i ni ix f ∑=λ.该命题可用数学归纳法证明.函数的凹凸性定理反映了二阶可导函数的二阶导数符号与凹凸函数之间的关系.2.证明方法：①定义证明法：将不等式写成定义的形式，构造辅助函数)(x f ，并讨论)(x f 在所给区间上的凹凸性.②詹森不等式法：对一些函数值的不等式，构造凸函数，应用詹森不等式能快速证此类不等式.3.例例10：证明：当0,0>>y x 时,2ln )(ln ln yx y x y y x x ++>+. 分析：不等式等价于：2ln)2(2ln ln yx y x y y x x ++>+.不等式两边含有相同“形式”：t t ln ,可设辅助函数)0(ln )(>=t t t t f .因此原不等式可化为要证)2(2)()(yx f y f x f +>+.只要证明)(t f在),0(+∞上为凸函数，即证)(x f 在),(y x 内0)(>''x f 即可.证明（定义证明法）：设)0(ln )(>=t t t t f .有)0(01)(,1ln )(>>=''+='t tt f t t f .则)(t f 在),0(+∞为凸函数.对任意)(0,0y x y x ≠>>，有)2(2)()(yx f y f x f +>+(取21=λ).(要使)(x f 与)(x g 的系数相同，当且仅当λλ-=1时成立，即21=λ).因此2ln)(ln ln yx y x y y x x ++>+.例11：若A,B,C是ABC ∆的三内角，则323sin sin sin ≤++C B A . 分析：不等式左边为x sin 的函数的和，考虑构造凸函数x x f sin )(-=.证明（詹森不等式）：令π<<-=x x x f 0,sin )(，则0sin )(>=''x x f .则)(x f 是),0(π上的凸函数,π<<C B A ,,0,取321λλλ==，由131=∑=i i λ，得到31321===λλλ，由詹森不等式结论得：)sin sin (sin 313sinC B A C B A ++-≤++-,因C B A ,,是ABC ∆的三内角，则π=++C B A ，可得233sin )sin sin (sin 31=≤++πC B A .即323sin sin sin ≤++C B A .4.适用范围当不等式可写成凹凸函数定义的形式或对一些函数值和且能够构造凸函数的不等式.八、用泰勒公式证明不等式法1.证明方法根据－泰勒定理泰勒定理：若函数)(x f 满足如下条件：⑴在闭区间],[b a 上函数)(x f 存在直到n 阶连续导数;⑵在开区间),(b a 内存在)(x f 的1+n 阶导数，则对任何),(b a x ∈，至少存在一点),(b a ∈ξ，使得:1)1()(2)()!1()()(!)()(!2)())(()()(++-++-++-''+-'+=n n nn a x n a f a x n a f a x a f a x a f a f x f . 泰勒公式揭示了多项式与函数之间的关系.2.证明方法①根据已知条件，围绕证明目标，选取恰当的点将函数在这些点展成泰勒展式；②根据已知条件，向着有利于证明目标不等式的方向对上面的展式作适当的处理，直到可以结合已知条件证出不等式为止.（注意具体的题目应用此方法时要灵活运用，有些题目在进行①前，要先对已知条件或证明目标进行适当的转化，以更有利于证明的进行，使②不会过于繁琐.）3.例例12：设函数)(x f 在]1,0[上二阶可导，)1()0(f f =,且2)(≤''x f ，试证明：1)(≤'x f .分析：根据题设条件，)(x f 在]1,0[上二阶可导，且函数值)1()0(f f =，2)(≤''x f ，可写出函数)(x f 在x 处的一阶泰勒公式，并取考察点0或1，利用相应的泰勒公式，对)(x f '作估计.证明：取10≤≤x ，由泰勒公式分别有：,0,)0)((21)0)(()()0(121x x f x x f x f f <<-''+-'+=ξξ 10,)1)((21)1)(()()1(222<<-''+-'+=ξξx f x x f x f f .由于)1()0(f f =，则将以上两式做差，整理得：],)1)(()([21)(2221x f x f x f -''-''='ξξ所以])1()()([21)(2221x f x f x f -''+''≤'ξξ)0)1(2(,1)1(21)1(])1(22[212222≥-≤--=-+=-+≤x x x x x x x x ．因此原不等式成立.4.适用范围当遇到含有函数或高阶导数，或函数增量与高阶导数，或要证的是导数（一阶或二阶）不等式时，可利用泰勒公式来证明有关的不等式.九、用幂级数展开式证明不等式法１．证明方法根据－几个重要的初等函数的幂级数展开式 几个重要的初等函数的幂级数展开式如下：),(,!1!2112+∞-∞∈+++++=x x n x x e n x ； ),(,)!12(1)1(!31sin 1213+∞-∞∈+--++-=--x x n x x x n n；),(,)!2(1)1(!41!211cos 242+∞-∞∈+-++-=x x n x x x n n；)1,0(,1112∈+++++=-x x x x xn ； ]1,1(,)1(3121)1ln(132-∈+-+++-=+-x nx x x x x nn ．初等函数是中学数学教学重点，某些初等函数可展开成幂级数，在展开式中添加或删去某些幂级数时， 可很快证明出某些含幂级数的不等式.2.证明方法先把初等函数展开成幂级数，然后在展开式中添加或删去某些幂级数即可快速证明此不等式.3.例例13:当)1,0(∈x ，证明x e xx211>-+. 证明：因x e x2,11-分别可写成幂级数展开式，有：=++++++=-+)1)(1(112 n x x x x xx)1,0(,22212∈+++++x x x x n ．),(,!2!2221222+∞-∞∈+++++=x x n x x enn x．则左边的一般项为nx 2，右边的一般项为!2n x n n ，因此当!22,3n n n>≥，所以)1,0(,112∈>-+x e xxx .4.适用范围当不等式中含有上面几个重要初等函数之一时，可用幂级数展开式法来证明此不等式.十、用定积分理论来证明不等式法1.证明方法根据－定积分的性质和变上限辅助函数理论定积分性质之一：设)(x f 与)(x g 为定义],[b a 在上的两格可积函数，若],[),()(b a x x g x f ∈≤ 则dx x g dx x f baba⎰⎰≤)()(.微积分学基本定理：若函数)(x f 在],[b a 上连续，则由变动上限积分],[,)()(b a x dt t f x xa∈=Φ⎰，定义的函数Φ在],[b a 上可导，而且)()(x f x =Φ'.也就是说，函数Φ是被积函数)(x f 在],[b a 上的一个原函数.微积分学基本定理沟通了导数和定积分这两个从表面看去似不相干的概念之间的内在联系.2.证明方法①利用定积分的性质证明不等式法：对可积函数)(x f ，)(x g ，先证出)()(x g x f ≤，然后由定积分的性质可证dx x g dx x f baba⎰⎰≤)()(（见例14）；②构造变上限辅助函数证明不等式法：对于含有定积分的不等式，可把常数变为变数构造辅助函数， 利用变上限积分⎰xadt t f )(及函数的单调性解决此类不等式（见例15）.3.例 例14：证明：⎰⎰≤2121ln ln xdx x xdx x .证明（利用定积分性质）：当]2,1[∈x 时，0ln ,>≤x x x ，则x x x x ln ln ≤.因x x ln ，x x ln 在]2,1[上均为连续函数.则xx x x ln ,ln 在]2,1[均可导.由定积分性质可知：⎰⎰≤2121ln ln xdx x xdx x ．例15：设)(x f 在],[b a 上连续，且单调递增，试证明dx x f b a dx x xf ba ba⎰⎰+≥)(2)(. 分析：可将此定积分不等式看成是数值不等式，并将常数b 变为变数t ，利用差式构造辅助函数：dx x f t a dx x xf t F tata ⎰⎰+-=)(2)()(，则要证0)()(=≥a Fb F .证明：（利用构造变上限辅助函数）：设辅助函数dx x f t a dx x xf t F ta ta⎰⎰+-=)(2)()(.显然0)(=a F ． 对],[b a t ∈∀，⎰⎰⎰-=--=+--='tat a t a dx x f t f dx x f t f a t t f t a dx x f t tf t F )]()([21)(21)(2)(2)(21)()(),(t a x ∈．因为)(x f 单调递增，则0)(≥'t F ，则)(t F 单调递增，所以)(,0)()(a b a F b F ≥=≥.因此dx x f b a dx x xf ba ba ⎰⎰+≥)(2)(.4.适用范围当不等式含有定积分（或被积函数)()(x g x f ≤时），可用定积分的性质来证明或构造上限辅助函数来证明.十一、引入参数证明不等式法1.证明方法根据－将对数值不等式的证明转化为对函数不等式的证明，用微积分理论研究函数的性质，从而证明不等式.%1．证明方法引入参数t ，构造辅助函数0])()([2≥-⎰dx x tg x f ba ，得到关于t 的二次多项式，利用判别式0≤∆来证明不等式.3.例例16：设)(),(x g x f 在区间],[b a 上连续，证明：dx x g dx x f dx x g x f b ab a b a ⎰⎰⎰≤)()())()((222（柯西－许瓦茨不等式）. 分析：欲证不等式是函数)(),(22x g x f ，以及)()(x g x f 的积分不等式，引入参数t ，考虑辅助函数 2)]()([x tg x f -在区间],[b a 上的积分.证明：利用定积分的性质易知0])()([2≥-⎰dx x tg x f ba ，即0)()()(2)(222≥+-⎰⎰⎰ba b a b a dx x f dx x g x f t dx x g t .这是关于t 的二次多项式不等式，因此，判别式：0)()(4))()((4222≤-=∆⎰⎰⎰ba b a b a dx x g dx x f dx x g x f ，即： dx x g dx x f dx x g x f ba b a b a ⎰⎰⎰≤)()())()((222．4.适用范围当积分式含有平方项)(2x f ，或)(2x f '的情形.参考文献：1．《高等数学选讲》2．《数学分析》3．《常微分选讲》。

高等数学公式令狐文艳导数公式： 基本积分表：ax x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='三角函数的有理式积分：一些初等函数： 两个重要极限：三角函数公式： ·诱导公式：⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x C x dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ·和差角公式： ·和差化积公式：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin(·倍角公式： ·半角公式： ·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ 高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式： 中值定理与导数应用： 曲率：定积分的近似计算： 定积分应用相关公式： 空间解析几何和向量代数： 多元函数微分法及应用 微分法在几何上的应用：),,(),,(),,(30))(,,())(,,())(,,(2)},,(),,,(),,,({1),,(0),,(},,{,0),,(0),,(0))(())(())(()()()(),,()()()(000000000000000000000000000000000000000000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z z z y x F y y z y x F x x z y x F z y x F z y x F z y x F n z y x M z y x F G G F F G G F F G G F F T z y x G z y x F z z t y y t x x t M t z z t y y t x x z y x M t z t y t x z y x z y x z y x yx y x x z x z z y z y -=-=-=-+-+-==⎪⎩⎪⎨⎧====-'+-'+-''-='-='-⎪⎩⎪⎨⎧===、过此点的法线方程：：、过此点的切平面方程、过此点的法向量：，则：上一点曲面则切向量若空间曲线方程为：处的法平面方程：在点处的切线方程：在点空间曲线ωψϕωψϕωψϕ方向导数与梯度：多元函数的极值及其求法：重积分及其应用： 柱面坐标和球面坐标： 曲线积分： 曲面积分： 高斯公式：⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω∑∑∑∑∑Ω∑=++==⋅<∂∂+∂∂+∂∂=++=++=∂∂+∂∂+∂∂dsA dv A ds R Q P ds A ds n A z R y Q x P ds R Q P Rdxdy Qdzdx Pdydz dv z R y Q x P n ndiv )cos cos cos (...,0div ,div )cos cos cos ()(成：因此，高斯公式又可写，通量：则为消失的流体质量，若即：单位体积内所产生散度：—通量与散度：—高斯公式的物理意义γβαννγβα斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系： 常数项级数： 级数审敛法：绝对收敛与条件收敛： 幂级数：函数展开成幂级数： 一些函数展开成幂级数： 欧拉公式： 三角级数： 傅立叶级数：周期为l 2的周期函数的傅立叶级数： 微分方程的相关概念：一阶线性微分方程：全微分方程：二阶微分方程：二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：0二阶常系数非齐次线性微分方程。

※第十三章极限令狐文艳●体系总览●考点目标定位1.数学归纳法、极限要求：（1）理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.（2）了解数列极限和函数极限的概念.（3）掌握极限的四则运算法则，会求某些数列与函数的极限.（4）了解函数连续的意义，理解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质.●复习方略指南极限的概念和方法是近代数学的核心内容，微积分学的基本概念、基本方法在现代实践中越来越多的被应用，并在现代数学及相关学科的研究中不断得到进一步的发展.本章的主要内容由两部分组成，一是数学归纳法，二是极限.学习极限时要注意数列极限和函数极限的联系和区别、函数的极限与函数连续性的渐进性.13.1 数学归纳法●知识梳理1.数学归纳法的定义：由归纳法得到的与自然数有关的数学命题常采用下面的证明方法：（1）先证明当n =n 0（n 0是使命题成立的最小自然数）时命题成立；（2）假设当n =k （k ∈N *， k ≥n 0）时命题成立，再证明当n =k +1时命题也成立，那么就证明这个命题成立，这种证明方法叫数学归纳法.2.数学归纳法的应用：①证恒等式；②整除性的证明；③探求平面几何中的问题；④探求数列的通项；⑤不等式的证明.特别提示（1）用数学归纳法证题时，两步缺一不可;（2）证题时要注意两凑：一凑归纳假设；二凑目标. ●点击双基 1.设f （n ）=11+n +21+n +31+n +…+n21（n ∈N *），那么f（n +1）－f （n ）等于A.121+nB.221+nC.121+n +221+n D.121+n －221+n解析：f （n +1）－f （n ）=21+n +31+n +…+n 21+121+n +221+n －（11+n +21+n +…+n 21）=121+n +221+n －11+n =121+n －221+n . 答案：D2.（2004年太原模拟题）若把正整数按下图所示的规律排序，则从2002到2004年的箭头方向依次为解析：2002=4×500+2，而a n =4n 是每一个下边不封闭的正方形左、上顶点的数.答案：D3.凸n 边形有f （n ）条对角线，则凸n +1边形有对角线条数f （n +1）为A.f （n ）+n +1B.f （n ）+nC.f （n ）+n －1D.f （n ）+n －2解析：由n 边形到n +1边形，增加的对角线是增加的一个顶点与原n －2个顶点连成的n －2条对角线，及原先的一条边成了对角线.答案：C4.用数学归纳法证明“（n +1）（n +2）·…·（n +n ）=2n·1·3·…·（2n －1）”，从“k 到k +1”左端需增乘的代数式为A.2k +1B.2（2k +1）C.112++k k D.132++k k解析：当n =1时，显然成立.当n =k 时，左边=（k +1）（k +2）·…·（k +k ），当n =k +1时，左边=（k +1+1）（k +1+2）·…·（k +1+k ）（k +1+k +1）=（k +2）（k +3）·…·（k +k ）（k +1+k ）（k +1+k +1） =（k +1）（k +2）·…·（k+k ）1)22)(12(+++k k k =（k +1）（k +2）·…·（k +k ）2（2k +1）.答案：B5.（2004年春季上海，8）根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n个图形中有_________个点.解析：观察图形点分布的变化规律，发现第一个图形只有一个中心点;第二个图形中除中心外还有两边，每边一个点;第三个图形中除中心点外还有三个边，每边两个点;…;依次类推，第n个图形中除中心外有n条边，每边n－1个点，故第n个图形中点的个数为n（n－1）+1.答案：n2－n+1●典例剖析【例1】比较2n与n2的大小（n∈N *）.剖析：比较两数（或式）大小的常用方法本题不适用，故考虑用归纳法推测大小关系，再用数学归纳法证明.解：当n=1时，21＞12，当n=2时，22=22，当n=3时，23＜32，当n=4时，24=42，当n=5时，25＞52，猜想：当n≥5时，2n＞n2.下面用数学归纳法证明：（1）当n=5时，25＞52成立.（2）假设n=k（k∈N *，k≥5）时2k＞k2，那么2k+1=2·2k=2k+2k＞k2+（1+1）k＞k2+C0k +C1k+C1 kk=k2+2k+1=（k+1） 2.∴当n=k+1时，2n＞n2.由（1）（2）可知，对n≥5的一切自然数2n＞n2都成立.综上，得当n=1或n≥5时，2n＞n2；当n=2，4时，2n =n 2；当n =3时，2n ＜n 2.评述：用数学归纳法证不等式时，要恰当地凑出目标和凑出归纳假设，凑目标时可适当放缩.深化拓展当n ≥5时，要证2n ＞n 2，也可直接用二项式定理证：2n=（1+1）n=C0n+C1n+C2n+…+C2-n n+C1-n n+Cn n＞1+n +2)1(-n n +2)1(-n n =1+n +n 2－n ＞n 2.【例2】 是否存在常数a 、b 、c 使等式1·（n 2－12）+2（n 2－22）+…+n （n 2－n 2）=an 4+bn 2+c 对一切正整数n 成立?证明你的结论.剖析：先取n =1，2，3探求a 、b 、c 的值，然后用数学归纳法证明对一切n ∈N *，a 、b 、c 所确定的等式都成立.解：分别用n =1，2，3代入解方程组 下面用数学归纳法证明.（1）当n =1时，由上可知等式成立; （2）假设当n =k +1时，等式成立，则当n =k +1时，左边=1·［（k +1）2－12］+2［（k +1）2－22］+…+k ［（k +1）2－k 2］+（k +1）［（k +1）2－（k +1）2］=1·（k 2－12）+2（k 2－22）+…+k （k 2－k 2）+1·（2k +1）+2（2k +1）+…+k （2k +1）=41k 4+（－41）k 2+（2k +1）+2（2k +1）+…+k （2k +1）=41（k +1）4－41（k +1）2.∴当n =k +1时，等式成立.由（1）（2）得等式对一切的n ∈N *均成立.评述：本题是探索性命题，它通过观察——归纳——猜想——证明这一完整的思路过程去探索和发现问题，并证明所得结论的正确性，这是非常重要的一种思维能力.【例3】（2003年全国）设a 0为常数，且a n =3n －1－2a n －1（n ∈N *）.证明：n ≥1时，a n =51[3n+（－1）n －1·2n］+（－1）n ·2n·a 0.剖析：给出了递推公式，证通项公式，可用数学归纳法证. 证明：（1）当n =1时，51［3+2］－2a 0=1－2a 0，而a 1=3－2a 0=1－2a 0.∴当n =1时，通项公式正确.（2）假设n =k （k ∈N *）时正确，即a k =51［3k+（－1）k －1·2k ］+（－1）k ·2k·a 0，那么a k +1=3k－2a k =3k－52×3k+52（－1）k·2k+（－1）k +1·2k +1a 0=53·3k+51（－1）k·2k +1+（－1）k +1·2k +1·a 0=51［3k +1+（－1）k ·2k +1］+（－1）k +1·2k +1·a 0.∴当n =k +1时，通项公式正确.由（1）（2）可知，对n ∈N *，a n =51［3n+（－1）n －1·2n ］+（－1）n ·2n·a 0.评述：由n =k 正确 n =k +1时也正确是证明的关键.深化拓展本题也可用构造数列的方法求a n . 解：∵a 0为常数，∴a 1=3－2a 0. 由a n =3n －1－2a n －1，得n n a 33=－1132--n n a +1， 即nna 3=－32·113--n n a +31. ∴n na 3－51=－32（113--n na －51）.∴{nn a 3－51}是公比为－32，首项为513230--a 的等比数列. ∴n na 3－51=（54－32a 0）·（－32）n －1.∴a n =（54－32a 0）·（－2）n －1×3+51×3n=51［3n +（－1）n －1·2n ］+（－1）n ·2n·a 0. 注：本题关键是转化成a n +1=ca n +d 型. ●闯关训练 夯实基础1.如果命题P （n ）对n =k 成立，则它对n =k +1也成立，现已知P （n ）对n =4不成立，则下列结论正确的是A.P （n ）对n ∈N*成立B.P （n ）对n ＞4且n ∈N*成立C.P （n ）对n ＜4且n ∈N*成立D.P （n ）对n ≤4且n ∈N*不成立解析：由题意可知，P （n ）对n =3不成立（否则n =4也成立）.同理可推得P （n ）对n =2，n =1也不成立.答案：D2.用数学归纳法证明“1+21+31+…+121-n ＜n （n ∈N *，n ＞1）”时，由n =k （k ＞1）不等式成立，推证n =k +1时，左边应增加的项数是A.2k －1B.2k－1 C.2kD.2k+1解析：左边的特点：分母逐渐增加1，末项为121-n ;由n =k ，末项为121-k 到n =k +1，末项为1211-+k =kk 2121+-，∴应增加的项数为2k.答案：C3.观察下表： 12 3 43 4 5 6 74 5 6 7 8 9 10 ……设第n 行的各数之和为S n ，则∞→n lim2n S n =__________.解析：第一行1=12， 第二行2+3+4=9=33， 第三行3+4+5+6+7=25=52， 第四行4+5+6+7+8+9+10=49=72.归纳：第n 项的各数之和S n =（2n －1）2，∞→n lim2n S n =∞→n lim （nn 12-）2=4.答案：44.如图，第n 个图形是由正n +2边形“扩展”而来（n =1，2，3，…），则第n －2个图形中共有____________个顶点.解析：观察规律：第一个图形有32+3=（1+2）2+（1+2）; 第二个图形有（2+2）2+（2+2）=42+4; 第三个图形有（3+2）2+（3+2）=52+5; …第n －2个图形有（n +2－2）2+（n +2－2）=n 2+n 个顶点. 答案：n 2+n5.已知y =f （x ）满足f （n －1）=f （n ）－lg an －1（n ≥2，n ∈N ）且f （1）=－lg a ，是否存在实数α、β使f （n ）=（αn 2+βn －1）lg a 对任何n ∈N *都成立，证明你的结论.解：∵f （n ）=f （n －1）+lg a n －1，令n =2，则f （2）=f（1）+f （a ）=－lg a +lg a =0.又f （1）=－lg a ， ∴⎩⎨⎧=+=+.1420αββα∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==.21,21βα ∴f （n ）=（21n 2－21n －1）lg a .证明：（1）当n =1时，显然成立.（2）假设n =k 时成立，即f （k ）=（21k 2－21k －1）lg a ，则n =k +1时，f （k +1）=f （k ）+lg a k=f （k ）+k lg a =（21k2－21k －1+k ）lg a =［21（k +1）2－21（k +1）－1］lg a .∴当n =k +1时，等式成立.综合（1）（2）可知，存在实数α、β且α=21，β=－21，使f （n ）=（αn 2+βn －1）lg a 对任意n ∈N *都成立.培养能力6.已知数列｛ｂn ｝是等差数列，ｂ1＝1，ｂ1＋ｂ2＋…＋ｂ10＝100．（1）求数列｛ｂn ｝的通项公式ｂn ； （2）设数列｛a n ｝的通项a n ＝lg （1＋nb 1），记S n 为｛a n ｝的前n 项和，试比较S n 与21lg ｂn ＋1的大小，并证明你的结论． 解：（1）容易得ｂn ＝2n －1. （2）由ｂn ＝2n －1，知S n ＝lg （1＋1）＋1g （1＋31）＋…＋lg （１＋121-n ）＝lg （１＋１）（１＋31）·…·（１＋121-n ）. 又211g b n ＋１＝1g12+n ，因此要比较S n 与211g b n ＋１的大小，可先比较（1＋１）（１＋31）·…·（１＋121-n ）与12+n 的大小.取n =1，2，3可以发现：前者大于后者，由此推测 （1+1）（1+31）·…·（１＋121-n ）＞12+n .① 下面用数学归纳法证明上面猜想：当n =1时，不等式①成立. 假设n =k 时，不等式①成立，即 （1＋1）（1＋31）·…·（１＋121-k ）＞12+k . 那么n =k +1时，（１＋１）（１＋31）·…·（１＋121-k ）（１＋121+k ）＞12+k （１＋121+k ） ＝1212)1(2+++k k k .又［1212)1(2+++k k k ］2－（32+k ）2＝121+k ＞０，∴1212)1(2+++k k k ＞32+k =.1)1(2++k∴当n =k +1时①成立.综上所述，n ∈N*时①成立． 由函数单调性可判定S n ＞211g b n ＋１.7.平面内有n 条直线，其中无任何两条平行，也无任何三条共点，求证：这n 条直线把平面分割成21（n 2+n +2）块.证明：（1）当n =1时，1条直线把平面分成2块，又21（12+1+2）=2，命题成立.（2）假设n =k 时，k ≥1命题成立，即k 条满足题设的直线把平面分成21（k 2+k +2）块，那么当n =k +1时，第k +1条直线被k 条直线分成k +1段，每段把它们所在的平面块又分成了2块，因此，增加了k +1个平面块.所以k +1条直线把平面分成了21（k 2+k +2）+k +1=21［（k +1） 2+（k +1）+2］块，这说明当n =k +1时，命题也成立.由（1）（2）知，对一切n ∈N *，命题都成立.探究创新8.（2004年重庆，22）设数列{a n }满足a 1=2，a n +1=a n +na 1（n =1，2，…）.（1）证明a n ＞12+n 对一切正整数n 都成立；（2）令b n =na n （n =1，2，…），判定b n 与b n +1的大小，并说明理由.（1）证法一：当n =1时，a 1=2＞112+⨯，不等式成立.假设n =k 时，a k ＞12+k 成立，当n =k +1时，a k +12=a k 2+21ka +2＞2k +3+21ka ＞2（k +1）+1，∴当n =k +1时，a k +1＞1)1(2++k 成立.综上，由数学归纳法可知，a n ＞12+n 对一切正整数成立.证法二：当n =1时，a 1=2＞3=112+⨯结论成立.假设n =k 时结论成立，即a k ＞12+k ，当n =k +1时，由函数f （x ）=x +x1（x ＞1）的单调递增性和归纳假设有a k +1=a k +ka 1＞12+k +121+k =12112+++k k =1222++k k =124842+++k k k ＞12)12)(32(+++k k k =32+k .∴当n =k +1时，结论成立. 因此，a n ＞12+n 对一切正整数n 均成立.（2）解：nn b b 1+=na n a n n 11++=（1+21na ）1+n n ＜（1+121+n ）1+n n =1)12()1(2+++n n n n =12)1(2++n n n =2141)21(2+-+n n ＜1.故b n +1＜b n . ●思悟小结1．用数学归纳法证明问题应注意：（1）第一步验证n =n 0时，n 0并不一定是1．（2）第二步证明的关键是要运用归纳假设，特别要弄清由k 到k +1时命题的变化．（3）由假设n =k 时命题成立，证n =k +1时命题也成立，要充分利用归纳假设，要恰当地“凑”出目标.2.归纳、猜想、论证是培养学生观察能力、归纳能力以及推理论证能力的方式之一.●教师下载中心 教学点睛1.数学归纳法中的归纳思想是比较常见的数学思想，因此要重视.2.数学归纳法在考试中时隐时现，且较隐蔽，因此在复习中应引起重视.只要与自然数有关，都可考虑数学归纳法，当然主要是恒等式、等式、不等式、整除问题、几何问题、三角问题、数列问题等联系得更多一些.拓展题例【例1】是否存在正整数m，使得f（n）=（2n+7）·3n+9对任意自然数n都能被m整除?若存在，求出最大的m值，并证明你的结论;若不存在，请说明理由.解：由f（n）=（2n+7）·3n+9，得f（1）=36，f（2）=3×36，f（3）=10×36，f（4）=34×36，由此猜想m=36.下面用数学归纳法证明：（1）当n=1时，显然成立.（2）假设n=k时，f（k）能被36整除，即f（k）=（2k+7）·3k+9能被36整除;当n=k+1时，［2（k+1）+7］·3k+1+9=3［（2k+7）·3k+9］+18（3k－1－1），由于3k－1－1是2的倍数，故18（3k－1－1）能被36整除.这就是说，当n=k+1时，f（n）也能被36整除.由（1）（2）可知对一切正整数n都有f（n）=（2n+7）·3n+9能被36整除，m的最大值为36.【例2】如下图，设P1，P2，P3，…，P n，…是曲线y=x 上的点列，Q1，Q2，Q3，…，Q n，…是x轴正半轴上的点列，且△OQ1P1，△Q1Q2P2，…，△Q n－1Q n P n，…都是正三角形，设它们1n（n+1）.的边长为a1，a2，…，a n，…，求证：a1+a2+…+a n=3证明：（1）当n=1时，点P1是直线y=3x与曲线y=x的交点，∴可求出P 1（31，33）.∴a 1=|OP 1|=32.而31×1×2=32，命题成立.（2）假设n =k （k ∈N *）时命题成立，即a 1+a 2+…+a k =31k（k +1），则点Q k 的坐标为（31k （k +1），0），∴直线Q k P k +1的方程为y =3[x －31k （k +1）].代入y =x，解得P k +1点的坐标为)).1(33,3)1((2++k k∴a k +1=|Q k P k +1|=33（k +1）·32=32（k +1）.∴a 1+a 2+…+a k +a k +1=31k （k +1）+32（k +1）=31（k +1）（k +2）.∴当n =k +1时，命题成立.由（1）（2）可知，命题对所有正整数都成立.评述：本题的关键是求出P k +1的纵坐标，再根据正三角形高与边的关系求出|Q k P k +1|.。

利用夹逼准则求极限夹逼准则（或称夹逼定理）是微积分中常用的一种方法，用于求解函数极限问题。

夹逼准则通常用于解决一些函数极限不存在或无法直接求解的情况。

夹逼准则的核心思想是，如果一个函数f(x)在一些点x0的左侧（或右侧）始终小于等于另一个函数g(x)，并且这两个函数的极限都等于L，则当x趋近于x0时，函数f(x)的极限也等于L。

夹逼准则可以形式化地表示如下：设函数f(x)与g(x)定义在点x0附近的一些开区间上（除去x0），且满足对于任意的x，都有f(x)≤g(x)。

如果lim┬(x→x₀)⁡f(x) = L ，lim┬(x→x₀)⁡g(x) = L ，则lim┬(x→x₀)⁡f(x) 也等于 L。

下面我们将利用夹逼准则来求解一个极限的例子。

例子：求极限lim┬(x→0)⁡sin(x)/x。

我们知道 sin(x) 是一个周期函数，且当x≠0 时，有 -1 ≤ sin(x) ≤ 1 ，因此对于任意的 x ，都有 -1/x ≤ sin(x)/x ≤ 1/x。

当 x 趋近于 0 时，-1/x 和 1/x 分别趋近于正无穷和负无穷，即lim┬(x→0)⁡(-1/x) = -∞ ，lim┬(x→0)⁡(1/x) = ∞。

根据夹逼准则，我们可以得到lim┬(x→0)⁡sin(x)/x = 0。

解析：根据夹逼准则，我们首先找到两个函数 f(x) 和 g(x) ，使得对于任意的 x ，都有f(x) ≤ sin(x)/x ≤ g(x)。

我们可以取f(x)=-1/x和g(x)=1/x。

对于任意的 x ，有f(x) ≤ sin(x)/x ≤ g(x)。

即 -1/x ≤ sin(x)/x ≤ 1/x ，当x≠0 时，该不等式恒成立。

然后我们再来看一下f(x)和g(x)的极限。

当 x 趋近于 0 时，-1/x 和 1/x 分别趋近于 -∞ 和∞ ，因此有lim┬(x→0)⁡(-1/x) = -∞ ，lim┬(x→0)⁡(1/x) = ∞。

6月25日B类判断15题15分、单项20题20分、多项15题30分、填空20题20分、案例题1题15分令狐文艳多选题（少选或错选都不给分）多用排除法，很多题答案全选，选项可以一带而过，个别选三四个的题目，只要记住错误的选项，排除即为正确的选项，简单记忆11．承包单位将承包的工程转包的，或者违反中华人民共和国建筑法规定进行分包的，（ ABDE ）。

A、没收违法所得，并处罚款B、责令改正C、直接追究单位的形式责任D、可以责令停业整顿，降低资质等级E、情节严重的，吊销资质证书13．建筑施工企业在施工中偷工减料的，使用不合格的建筑材料、建筑构配件和设备的，或者有其他不按照工程设计图纸或者施工技术标准施工的行为的，（ ABCD ）。

A、责令改正，并处罚款B、情节严重的，责令停业整顿，减低资质等级或者吊销资质证书C、造成建筑工程质量不符合规定的质量标准的，负责返工、修理，并赔偿因此造成的损失D、构成犯罪的，依法追究刑事责任E、直接追究单位的形式责任15．为了加强建设工程安全生产监督管理，保障人民群众生命和财产安全，根据（ AD ），制定《建设工程安全生产管理条例》。

A、《中华人民共和国建筑法》B、《中华人民共和国城市规划法》C、《建设工程质量管理条例》D、《中华人民共和国安全生产法》E、《建设工程勘察设计管理条例》18．《建设工程安全生产管理条例》中的建设工程指（ ABCDE ）。

A、土木工程B、建筑工程C、线路管道D、设备安装工程E、装修工程23．（ ABE ）应当对设计负责。

A、设计单位B、注册建筑师C、监理单位D、建设单位E、其他相关的注册执业设计人员25．根据《建设工程安全生产管理条例》，（ ABCE ）的建设工程，设计单位应当在设计中提出保障施工作业人员安全和预防生产安全事故的措施建议。

A、采用新结构B、采用新材料C、特殊结构D、特殊位置E、采用新工艺28．施工起重机械和整体提升脚手架、模板等自升式架设设施安装完毕后（ ABCE ）。

高中物理实验的十种思想方法令狐文艳一、直接比较法高中物理的某些实验，只需定性地确定物理量间的关系，或将实验结果与标准值相比较，就可得出实验结论的，这即是直接比较法。

如在“研究电磁感应现象”的实验中，可在观察记录的基础上，经过比较和推理，得出产生感应电流的条件和判定感应电流的方向的方法。

二、等效替代法等效替代法是科学研究中常用的一种思维方法。

对一些复杂问题采用等效方法，将其变换成理想的、简单的、已知规律的过程来处理，常可使问题的解决得以简化。

因此，等效法也是物理实验中常用的方法。

如在“验证力的平行四边形定则”的实验中，要求用一个弹簧秤单独拉橡皮条时，要与用两个弹簧秤互成角度同时拉橡皮条产生的效果相同——使结点到达同一位置O，即要在合力与分力等效的条件下，才能找出它们之间合成与分解时所遵守的关系——平行四边形定则；在“碰撞中的动量守恒”实验中，用小球的水平位移代替小球的水平速度；画电场中等势线分布时用电流场模拟静电场；验证牛顿第二定律时调节木板倾角，用重力的分力抵消摩擦力的影响，等效于小车不受阻力等等。

三、控制变量法控制变量法即在多因素的实验中，可以先控制一些物理量不变，依次研究某一个因素的影响。

如牛顿第二定律实验中可以先保持质量一定，研究加速度和力的关系；再保持力一定，研究加速度和质量的关系。

在研究欧姆定律的实验中，先控制电阻一定，研究电流与电压的关系，再控制电压一定，研究电流和电阻的关系。

四、累积法把某些用常规仪器难以直接准确测量的微小量累积将小量变大量测量，以提高测量的准确度减小误差。

如在缺乏高精密度的测量仪器的情况下测细金属丝的直径，常把细金属丝绕在圆柱体上测若干匝的总长度，然后除以匝数可求细金属丝的直径；测一张薄纸的厚度时，常先测量若干页纸的总厚度，再除以被测页数而求每页纸的厚度；在“用单摆测重力加速度” 的实验中，单摆周期的测定就是通过测单摆完成多次全振动的总时间除以全振动的次数，以减少个人反应时间造成的误差影响。

利用夹逼准则求极限夹逼准则是常用的一种极限求解方法，它可以帮助我们确定一个函数的极限，尤其在无法直接计算极限的情况下，夹逼准则往往是非常有用的。

夹逼准则的基本原理是：如果函数f(x)被两个其他函数g(x)和h(x)夹住，即在一些区间[a, b]上，对于任意x∈[a, b]，有g(x) ≤ f(x)≤ h(x)，同时满足lim(x→a)g(x) = lim(x→a)h(x) = L，那么lim(x→a)f(x) = L。

接下来，我们将从简单到复杂地介绍几个使用夹逼准则求解极限的例子。

例1：求极限lim(x→0)xsin(1/x)。

首先我们观察到0 ≤ ，xsin(1/x)，≤ ，x。

因为当x≠0时，有-，x，≤ sin(1/x) ≤ ，x。

所以，当x≠0时，我们得到0 ≤ ，xsin(1/x)，≤ ，x。

根据夹逼准则，我们有lim(x→0)0 ≤ lim(x→0)，xsin(1/x)，≤ lim(x→0)，x。

显然lim(x→0)0 = 0，同时lim(x→0)，x， = 0，所以根据夹逼准则，我们得到lim(x→0)xsin(1/x) = 0。

例2：求极限lim(x→∞)(2x³ + 3)/(x³ + 4x²)。

对于该函数，我们可以将其进行化简，得到lim(x→∞)(2 +3/x³)/(1 + 4/x)。

当x→∞时，3/x³和4/x都趋近于0，所以我们可以得到lim(x→∞)(2 + 3/x³)/(1 + 4/x) = lim(x→∞)2/1 = 2例3：求极限lim(x→0)(sin(3x)/x)。

首先我们观察到-1 ≤ sin(3x)/x ≤ 1，因为sin(3x)的值在[-1, 1]之间。

根据夹逼准则，我们得到-1 ≤ sin(3x)/x ≤ 1、因此，我们有lim(x→0)-1 ≤ lim(x→0)(sin(3x)/x) ≤ lim(x→0)1、显然lim(x→0)-1 = -1，同时lim(x→0)1 = 1，所以根据夹逼准则，我们得到lim(x→0)(sin(3x)/x) = 1例4：求极限lim(x→∞)(x² + 3)/(√(x⁴ + 1))。

初中数学常用公式定理（务必全部理解并记住）令狐文艳1、整数(包括：正整数、0、负整数)和分数(包括：有限小数和无限环循小数)都是有理数．如：－3，，0.231，0.737373…，，．无限不环循小数叫做无理数．如：π，－，0.1010010001…(两个1之间依次多1个0)．有理数和无理数统称为实数．2、绝对值：a≥0丨a丨＝a；a≤0丨a丨＝－a．如：丨－丨＝；丨3.14－π丨＝π－3.14．3、一个近似数，从左边笫一个不是0的数字起，到最末一个数字止，所有的数字，都叫做这个近似数的有效数字．如：0.05972精确到0.001得0.060，结果有两个有效数字6，0．4、把一个数写成±a×10n的形式(其中1≤a＜10，n是整数)，这种记数法叫做科学记数法．如：－40700＝－4.07×105，0.000043＝4.3×10－5．5、乘法公式(反过来就是因式分解的公式)：①(a＋b)(a－b)＝a2－b2．②(a±b)2＝a2±2ab＋b2．③a2＋b2＝(a＋b)2－2ab，(a－b)2＝(a＋b)2－4ab．6、幂的运算性质：①a m×a n＝a m＋n．②a m÷a n＝a m－n．③(a m)n＝a mn ．④(ab )n ＝a n b n ．⑤()n ＝n ．⑥a －n ＝1n a ，特别：()－n ＝()n ．⑦a 0＝1(a ≠0)．如：a 3×a 2＝a 5，a 6÷a 2＝a 4，(a 3)2＝a 6，(3a 3)3＝27a 9，(－3)－1＝－，5－2＝＝，()－2＝()2＝，(－3.14)º＝1，(－)0＝1．7、二次根式：①()2＝a (a ≥0)，②＝丨a 丨，③＝×，④＝(a ＞0，b ≥0)．如：①(3)2＝45．②＝6．③a ＜0时，＝－a -．④的平方根＝4的平方根＝±2．8、一元二次方程：对于方程：ax 2＋bx ＋c ＝0：①求根公式是x ＝242b b ac a -±-，其中△＝b 2－4ac 叫做根的判别式．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．注意：当△≥0时，方程有实数根．②若方程有两个实数根x 1和x 2，并且二次三项式ax 2＋bx ＋c可分解为a (x －x 1)(x －x 2)．③以a 和b 为根的一元二次方程是x 2－(a ＋b )x ＋ab ＝0．9、一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象是一条直线(b 是直线与y 轴的交点的纵坐标即一次函数在y 轴上的截距)当k ＞0时，y 随x 的增大而增大(直线从左向右上升)；当k＜0时，y随x的增大而减小(直线从左向右下降)．特别：当b＝0时，y＝kx(k≠0)又叫做正比例函数(y与x成正比例)，图象必过原点．10、反比例函数y＝(k≠0)的图象叫做双曲线．当k＞0时，双曲线在一、三象限(在每一象限内，从左向右降)；当k＜0时，双曲线在二、四象限(在每一象限内，从左向右上升)．因此，它的增减性与一次函数相反．11、统计初步：（1）概念：①所要考察的对象的全体叫做总体，其中每一个考察对象叫做个体．从总体中抽取的一部份个体叫做总体的一个样本，样本中个体的数目叫做样本容量．②在一组数据中，出现次数最多的数(有时不止一个)，叫做这组数据的众数．③将一组数据按大小顺序排列，把处在最中间的一个数(或两个数的平均数)叫做这组数据的中位数．（2）公式：设有n个数x1，x2，…，x n，那么：平均数为：12......nx x xxn；12、频率与概率：（1）频率=总数频数，各小组的频数之和等于总数，各小组的频率之和等于1，频率分布直方图中各个小长方形的面积为各组频率。

中考数学压轴题解题技巧令狐文艳数学压轴题是初中数学中覆盖知识面最广，综合性最强的题型。

综合近年来各地中考的实际情况，压轴题多以数学综合题的形式出现，常见题型有两类：函数型压轴题和几何形压轴题。

压轴题考查知识点多，条件也相当隐晦，这就要求学生有较强的理解问题、分析问题、解决问题的能力，对数学知识、数学方法有较强的驾驭能力，并有较强的创新意识和创新能力，当然，还必须具有强大的心理素质。

下面从知识角度和技术角度谈谈中考数学压轴题的解题技巧。

先以2009年河南中考数学压轴题为例：如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）.抛物线y=ax2+bx过A、C两点.(1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；(2)动点P从点A出发．沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D 运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E.①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G.当t 为何值时，线段EG最长?②连接EQ．在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形?请直接写出相应的t值.这是一道函数型压轴题。

函数型压轴题主要有：几何与函数相结合型、坐标与几何、方程与函数相结合型。

这些压轴题主要以函数为主线，涉及函数的图象、方程、点的坐标及线段长度、图形面积等问题。

先从知识角度来分析：（1）通过观察图象可以发现，直线AD和x轴平行，直线AB和y轴平行，因此，A点与D点的纵坐标相同，A点与B的横坐标相同，因此A的坐标为（4,8）.知道了点A的坐标，加上已知条件点C的坐标，利用待定系数法很容易可以求出抛物线的解析式。

此问在本题中占3分，解决此问的关键在于：①多角度、全方位观察图形；②熟练掌握待定系数法求抛物线解析式。

（2）这是个动态的问题，解决动态问题的一个根本方法就是化动为静，动静结合。

先看第一小问，当t为何值时，线段EG最长?我们通过观察图形，很容易能够发现t的变化，会导致点P位置的变化，点P位置的变化会引起点E位置的变化，而E点位置的变化直接决定了线段EF位置和长度的变化，而线段EF位置和长度的变化决定了线段EG位置和长度的变化，我们看到，问题最终就是回归到线段EG的长度之上。

§1等差数列公式：1、令狐文艳2、末项=首项+（项数-1）×公差ａn=ａ1+(ｎ－1) ×ｄ3、项数=（末项-首项）÷公差+1ｎ=(ａn－ａ1) ÷ｄ+1 4、中项定理：和=中间数×项数 S=中间数×ｎ（仅奇数列可用）注意：连续的奇数（或偶数）肯定是等差数列，公差一定是2.平方差公式：ａ2－ｂ2=(ａ＋ｂ) ×(ａ－ｂ)(ａ＋ｂ)(ａ－ｂ)=ａ2－ｂ2§2统筹与最优化时间统筹：单列和多列排队排序：快的在前，慢的在后（注意：每列不同位置的等待人数）。

过河问题（画图）快去快回，慢者结伴（5人以下常用，7人以上可尝试）。

地点统筹：1、点无大小奇数点选中间点，偶数点选中间段。

2、点有大小（一段法）轻往重移，小往大移§3整除特征：四大金刚：变形金刚：2×5=10 0.2×5=14×25=100 4×2.5=108×125=1000 8×1.25=1016×625=10000㈠末尾系：1、末1位：2、52、末2位：4、253、末3位：8、125㈡和系：1、数字和（弃9 法）：3、92、两位一截求和：33、99（重点）㈢差系：11奇数位数字和－偶数位数字和㈣截位系（三位一截）7、11、13奇段和－偶段和。

㈤试除法（适用于末尾未知）二部曲 1、用最大数试；992、检验。

综合就用：⑴拆数（拆成学过的数）⑵先考虑末尾系，再考虑其它。

§4加乘原理：1、加法原理：分类相加（类类独立）2、乘法原理：分步相乘，步步相关。

常规题型：1、排数字：⑴注意有无重复；⑵特殊位置优先处理；⑶“0”的出现①0不能放在首位②0和偶数同时出现必分类2、插旗子：按顺序分类讨论。

染色问题：1、排序：从邻圈最多开始排；2、染色：颜色数量。

§5流水行船：1、基本公式：①V顺=V船+V水②V逆=V船－V水③V船=（V顺＋V逆）÷2④V水=（V顺－V逆）÷2静水速度=船速V静= V船顺水速度=船速＋水速 V顺=V船+V水逆水速度=船速－水速 V逆=V 船－V水相遇追击：相遇：S和=Ｖ和×ｔ相遇追击：S差=Ｖ差×ｔ追击水面上：速度和、速度差与水速无关。

求多元函数极限的方法令狐文艳【摘要】对于大部分学生,尤其是初接触高等数学的同学而言,极限是一道很难过的关,因为那种“无限逼近”却又“无法达到”的抽象对于刚刚结束中学数学学习,习惯于具体图形分析、函数计算的同学来说,在思维上有了更高的要求。

而对于高等数学来讲,极限又是相当重要的基础,不管是函数连续性的验证,亦或是单侧导数的求解,极限都是很重要的一个环节,它就相当于一条线惯于始终,所以说学好极限,是学好高等数学的一个起点。

【1】【关键词】多元函数；求极限多种方法；求极限常出现的错误 【引言】之前学过如连续、导数微分和积分等都要用极和秋极限的方法，例如：利用定义来求极限、用柯西收敛准则、利用两边夹定理等等。

这些方法虽然简便易于理解和掌握，但对于一些特殊的极限题目很难解决，例如：设0a >，10a >，212(3)3n n n n a a a a a a++=+求lim n n a →∞的问题题目尽给出了第n 项和第n +1项的关系若用利用定义来求极限、用柯西收敛准则1!lim !nk n k n =→∞∑及求一些复合函数极限的问题本文将探讨一些特殊的求极限的方法，对某些用常见方法不易求解的题目运用此方法可以容易地解出。

【2】本文将从多个方面,通过利用极限的性质及相关概念和几个典型例题对常用求极限的方法进行解析，并列出容易出错的地方。

1 利用极限定义的思想观察函数的极限 例1、讨论当x→12时函数y =21x x +的极限。

我们列出了当x →1时某些函数值，考察函数的变化趋势，如下表所示。

从列表可以看出，当x 趋向于2时，y 就趋向于0.7，即x →2时，y =21x x +的极限是0.75。

2、利用四则运算法则求极限例2（1）求23321lim(4)x x x →-+（2）221lim 21x x x →-+解（2）221lim21x x x →-+=222lim(1)3lim(21)5x x x x →→-=+ 3、利用无穷小量与无穷大量的关系及无穷小量的性质求极限例3求01lim sin x x x→ 解因为0lim x x →=0，且1sin1x ≤即1sin x有界，所以01limsin x x x→=0 4、利用两个重要极限求极限例4 求11lim sin lim(1)x x x x x x→∞→∞- 解1limsin x x x→∞=1sin lim 1x xx→∞=1（因为x →∞时10x→）。

椭圆与双曲线的对偶性质--（必背的经典结论）令狐文艳椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2.PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y ya b +=.6.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=.7.椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PF S b γ∆=.8.椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c -,2(,0)F c 00(,)M x y ).9.设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10.过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11.AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。

12.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b+=+.13.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则过Po的弦中点的轨迹方程是22002222x x y yx y a b a b+=+.双曲线1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.2.PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4.以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）5.若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y ya b-=.6.若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b-=.7.双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t2F PFS b co γ∆=.8.双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c -,2(,0)F c当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--9.设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10.过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11.AB 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则0202y a x b K K AB OM =⋅，即0202y a x b K AB =。

第一讲 二次函数的定义令狐文艳知识点归纳：二次函数的定义：一般地，如果cb ac bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 二次函数具备三个条件，缺一不可：（1）是整式方程；（2）是一个自变量的二次式；（3）二次项系数不为0考点：二次函数的二次项系数不为0，且二次函数的表达式必须为整式例1、函数y=（m ＋2）x 22-m ＋2x －1是二次函数，则m=．例2、下列函数中是二次函数的有（）①y=x ＋x 1；②y=3（x －1）2＋2；③y=（x ＋3）2－2x 2；④y=21x ＋x ．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个例3、某商场将进价为40元的某种服装按50元售出时，每天可以售出300套．据市场调查发现，这种服装每提高1元售价，销量就减少5套，如果商场将售价定为x ，请你得出每天销售利润y 与售价的函数表达式．例4 、如图，正方形ABCD 的边长为4，P 是BC 边上一点，QP⊥AP 交DC 于Q ，如果BP=x ，△ADQ 的面积为y ，用含x 的代数式表示y ．训练题:1、已知函数y=ax 2＋bx ＋c （其中a ，b ，c 是常数），当a时，是二次函数；当a ，b 时，是一次函数；当a ，b ，c 时，是正比例函数．2、若函数y=(m 2+2m －7)x 2+4x+5是关于x 的二次函数，则m 的取值范围为。

3、已知函数y=(m －1)x 2m +1+5x －3是二次函数，求m 的值。

4、已知菱形的一条对角线长为a ，另一条对角线为它的3倍，用表达式表示出菱形的面积S 与对角线a 的关系．5、请你分别给a ，b ，c 一个值，让c bx ax y ++=2为二次函数，且让一次函数y=ax+b 的图像经过一、二、三象限 6．下列不是二次函数的是（）A ．y=3x 2＋4B ．y=－31x 2C ．y=52-xD ．y=（x ＋1）（x －2）7．函数y=（m －n ）x 2＋mx ＋n 是二次函数的条件是（）A ．m 、n 为常数，且m ≠0B ．m 、n 为常数，且m ≠nC ．m 、n 为常数，且n ≠0D ．m 、n 可以为任何常数 8．如图，校园要建苗圃，其形状如直角梯形，有两边借用夹角为135°的两面墙，另外两边是总长为30米的铁栅栏．（1）求梯形的面积y 与高x 的表达式；（2）求x 的取值范围．9．如图，在矩形ABCD 中，AB=6cm ，BC=12cm ．点P 从点A 开始沿AB 方向向点B 以1cm/s 的速度移动，同时，点Q 从点B开始沿BC 边向C 以2cm/s 的速度移动．如果P 、Q 两点分别到达B 、C 两点停止移动，设运动开始后第t 秒钟时，五边形APQCD 的面积为Scm 2，写出S 与t 的函数表达式，并指出自变量t 的取值范围．10．已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=4，AC=8．点D 在斜边AB 上，分别作DE ⊥AC ，DF ⊥BC ，垂足分别为E 、F ，得四边形DECF ．设DE=x ，DF=y ．（1）AE 用含y 的代数式表示为：AE=；（2）求y 与x 之间的函数表达式，并求出x 的取值范围；（3）设四边形DECF 的面积为S ，求S 与x 之间的函数表达式．第二讲 二次函数的图像和性质知识点归纳：1、求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线ab x 2-=. （2）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以抛物线上对称点的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.2、二次函数的图象及性质：（1）二次函数y=ax 2 (a ≠0）的图象是一条抛物线，其顶点是原点，对称轴是y 轴；当a ＞0时，抛物线开口向上，顶点是最低点；当a ＜0时，抛物线开口向下，顶点是最高点；a 越小，抛物线开口越大．（2）二次函数c bx ax y ++=2的图象是一条对称轴平行y 轴或者与y 轴重合的抛物线．要会根据对称轴和图像判断二次函数的增减情况。