含参变量的分离与讨论

第一节 问题中含变量或参数的分类讨论技巧类题解法提示数学问题中含有变量或参数，这些变量或参数取不同值时会导致不同的结果，因而需要对参数进行分类讨论.一般地，含参数的不等式，含参数的函数的单调区间与函数的最值、定义域，含参数的二元二次方程表示曲线类型的判定等，都要进行分类讨论.分类讨论的原则是不重复、不遗漏，讨论必须逐类进行，还必须要注意综合讨论的结果，使解题步骤完整.典型例题精析例1若对任意x ∈R ，不等式|x |≥ax 恒成立，则实数a 的取值范围是( ).A . a <-1B . |a |≤1C . |a |<1D . a ≥1解析：若x >0，则有a ≤1；若x =0，则有a ∈R ；若x <0，则有a ≥-1. 以上各种情况取交集得|a |≤1.答案：B规律总结：在解含参数的一元一次不等式时，要注意弄清引起分类讨论的主要原因，分类时要做到不重不漏.例2 (浙江高考)设x ∈R ，若x >0时，均有[(a -1)x -1](x 2-ax -1)≥0，则a =________.思路分析解析：对a 进行分类讨论，通过构造函数，利用数形结合解决.(1)当a =1时，不等式可化为：x >0时均有x 2-x -1≤0，由二次函数的图象知，显然不成立，所以a ≠1.(2)当a <1时，因为x >0，所以(a -1)x -1<0，不等式可化为：x >0时，均有x 2-ax -1≤0.因为二次函数y =x 2-ax -1的图象开口向上，所以不等式x 2-ax -1≤0在x ∈(0,+∞)上不能均成立，所以a <1不成立.(3)当a >1时，令ƒ(x )=(a -1)x -1，g (x )=x 2-ax -1，两函数的图象均过定点(0,-1)，因为a >1，所以ƒ(x )在x ∈(0,+∞)上单调递增，且与x 轴交点为(11a -,0)，即当x ∈(0,11a -)时，ƒ(x )<0，当x ∈(11a -,+∞)时，ƒ(x )>0. 又因为二次函数g (x )=x 2-ax -1的对称轴为02a x =>，则只需g (x )=x 2-ax -1 -1与x 轴的右交点与点1,0a -1骣÷ç÷ç÷ç桫重合，如图1-3-1所示，则命题成立，即1,01a 骣÷ç÷ç÷ç桫-在()g x 的图像上，所以有211011a a a 骣÷ç--=÷ç÷ç桫--，整理得2230a a -=，解得32a =，0a =（舍去）.综上可知32a =. 答案：32规律总结：若不等式0ax b + 的一次项系数含有参数，不等式20ax bx c ++ 的二次项系数含有参数，则这两个不等式都要分成0a ，0a =，0a 三种情况讨论，解这类问题不要漏掉0a =的情况.例3 已知函数1()ln 1a f x x ax x-=-+-，当12a £时，讨论()f x 的单调性. 思路分析：讨论()f x 的单调性，应先求'()f x ，利用'()f x 的正、负确定函数的单调区间，由于()f x 中含有参数a ，因此解不等式时要对参数a 进行讨论. 解：因为1()ln 1a f x x ax x -=-+- 所以2'22111()a ax x a f x a x x x--+-=-+=-，(0,)x ??. 令2()1h x ax x a =-+-，(0,)x ??，①当0a =时，()1h x x =-+，(0,)x ??，所以当(0,1)x ∈时，()0h x >，此时'()0f x <，函数()f x 单调递减； 当(1,)x ??时，()0h x ，此时'()0f x ，函数()f x 单调递增；②当0a ¹时，令'()0f x =，即210ax x a -+-=，解得11x =，211x a =-. a .当12a =时，12x x =，()0h x ³恒成立，'()0f x £，函数()f x 在(0,)+?上单调递减；b .当102a <<时，1110a->>， (0,1)x Î时，()0h x >，此时'()0f x <，函数()f x 单调递减；1(1,1)x a?时，()0h x <，此时'()0f x >，函数()f x 单调递增； 1(1,1)x a?时，()0h x >，此时'()0f x <，函数()f x 单调递减； c .当0a <时，由于110a -<， 当(0,1)x Î时，()0h x >，此时'()0f x <，函数()f x 单调递减；当(1,)x ??时，()0h x <，此时'()0f x >，函数()f x 单调递增； 综上所述：当0a £时，函数()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+?上单调递增；当12a =时，函数()f x 在(0,)+?上单调递减； 当102a <<时，函数()f x 在(0,1)上单调递减，在1(1,1)a -上单调递增，在11,1a 骣÷ç-÷ç÷ç桫上单调递减. 规律总结：（1）求函数()f x 的单调区间，应在定义域的限制之下解不等式'()0f x >或'()0f x <，（2）对于含参数的一元二次不等式，求解时应根据参数的取值范围进行讨论，讨论的情况有如下几种：①二次项系数为参数时，要讨论二次项系数的正负，②一元二次不等式对应的方程的判别式 与0的大小关系，③一元二次不等式对应的一元二次方程两根的大小.例4（福建高考）已知函数32()2f x x mx nx =++-的图像经过点(1,6)--且函数'()()6g x f x x =+的图像关于轴对称.（1）求m ，n 的值及函数()y f x =的单调区间；（2）若0a >时，求函数()y f x =在区间(1,1)a a -+内的极值；思路分析解：（1）由函数()f x 过点(1,6)--，得m -n =-3.由32()2f x x mx nx =++-，得'2()32f x x mx n =++，则'2()()63(26).g x f x x x m x n =+=+++因为()g x 的图像关于y 轴对称，所以26023m +-=´,所以m =-3， 代入①得n =0，所以'2()363(2)f x x x x x =-=-，由'()0f x >得2x >或0x <， 故()f x 的单调递增区间是(,0)-?和(2,)+?；由'()0f x <得02x <<，故()f x 的单调递减区间是(0,2).（2）由（1）得32()32f x x x =--，'()3(2)f x x x =-，由'()0f x =得x =0或x =2. 当x 变化时，'()f x 和()f x 的变化情况如下表：(,0)02+()00+()x f x f x -∞∞'+-（0,2）（2，）极大值极小值 由此可得：当01a <<时，()f x 在区间(1,1)a a -+内有极大值(0)2f =-，无极小值； 当a =1时，()f x 在区间(1,1)a a -+内无极值；当13a <<时，()f x 在区间(1,1)a a -+内有极小值(2)6f =-，无极大值； 当3a ³时，()f x 在区间(1,1)a a -+内无极值；综上所述：当01a <<时，()f x 有极大值-2，无极小值；当13a <<时，()f x 有极小值-6，无极大值；当a =1或3a ³()f x 无极值.方法提炼：求解含参数的函数的函数极值时要进行分类讨论，本题中引起分类 讨论的原因是区间(1,1)a a -+的位置关系不确定，因此需要根据(1,1)a a -+和 函数()y f x =的单调区间的相对关系进行讨论，求其极值.例5 平面内与两定点1(,0)A a -和2(,0)A a 0a 连线的斜率之积等于非零常数m 的轨迹，加上1A ，2A 两点所成的曲线C 可以是圆、椭圆或双曲线. 求曲线C 的方程，并讨论C 的形状与m 值得关系.思路分析：解：（1）设动点为M ，其坐标为（x ,y ），当x a 贡时，由条件可得1222MA MA y y y k k m x a x a x a ??=+--，即 222()mx y ma x a -=贡，又1(,0)A a -和2(,0)A a 的坐标满足222mx y ma -=，故依题意，曲线C 的方程为222mx y ma -=当1m <-时曲线C 的方程为22221x y a ma +=-，C 是焦点在y 轴上的椭圆； 当m =-1时，曲线C 的方程为，C 是圆心在原点的圆；当10m -<<时，曲线C 的方程为22221x y a ma+=-，C 是焦点在x 轴上的椭圆；当0m >时，曲线C 的方程为22221x y a ma -=-，C 是焦点在x 轴上的双曲线.规律总结：本题去轨迹的方法是直接法，求轨迹的方法还有相关点法（也叫代入 法）、交轨法等.注意“轨迹”和“轨迹的方程”的区别.例6 若0a >，设22()lg[2()1]x x x f x a ab b =+-+且()f x 恒为正值，求x 得取值范围.思路分析：函数()f x 的值恒为正等价于其真数值大于1，转化为不等式求解. 解： 依题意，要使()0f x >，则222()11x x x a ab b +-+>即22[()2()1]0x x x a a b b b+- .将上式因式分解，得2[()12][()10x x x a a b b b+++->. 因为20x b >，()10x a b++，所以()10x a b+-即()1x a b>， 两边取常用对数，得1lg()1)2a x b >，当0a b >>时，lg()0a b >，\1)lg 1)lg a b x a b= . 当0b a >>时，lg()0a b <，\1)lg 1)lg a b x a b<=. 当0a b =>时，lg()0a b=，而1)0<，此时x R Î, 综上所述：当0a b >>时，(lg 1),)a bx ?+?当0b a >>时，(,lg 1))a bx ??当0a b =>时，此时x R Î.方法提炼：含有双重参数的分类讨论问题，要尽可能地将两个参数变形成一个参数，然后根据变形后的一个参数进行讨论，若不能变形为一个参数，则应按两个参数中的一个为主，另一个为辅进行分类讨论.典题针对训练：1.当对数l o g(0a y x a a =? 且的图像至少经过区域0(,)/80,(,)30x y M x y x y x yR y 禳ì-?镲ï镲ï镲ï镲?=+-Ｎ眄?镲?镲?-?镲?ïî镲铪的一个点时，实数a 的取值范围为 . 2. 若函数()f x 的定义域是[,]a b ，且 0a b +>，求函数()()()g x f x f x =--的定义域.3. （安徽高考）已知函数2()(2ln )f x x a x x=-+-，0a >，讨论()f x 的单调性. 针对训练答案1.解析：区域M 所表示的平面区域如图1-3-2阴影部分，其中(3,3)A ,(5,3)B ,(4,4)C ,当01a <<时，显然 对数函数log a y x =的图像不可能与区域M 有公共点；当1a >时，若满足条件，由图形可知，当log a y x =过(4,4)C 时，a =当log a y x =过(5,3)B 时，a =\1a时，a a 2.解由a x b a x b ì＃ïïíï??ïî，得a x b b x aì＃ïïíï-＃-ïî. ① 由0a b +>得a b >-，b a >-，\当0a >时，不等式组①的解集为Æ，这时函数()g x 不存在；当0a =时，不等式组①的解集为0x =，这时函数()g x 的定义域为{}0； 当0a <时，不等式组①的解集为{}/x a xa ＃-，这时函数()g x 的定义域为[,]a b . 3.解：函数函数()f x 的定义域是(0,)+?，导函数2'2222()1a x ax f x x x x -+=+-=， 设2()2g x x ax =-+，二次方程()0g x =的判别式28a D =-.①当0D <时，有0a <<，此时对一切0x >都有'()0f x >； \()f x 是(0,)+?上的单调递增函数②当0D =时，有a =x =有'()0f x =，对其余的0x >都有'()0f x >， \()f x 也是(0,)+?上的单调递增函数③当0D >时，有a >，方程方程()0g x =有两个不同的实根12a x -=，22a x +=，120x x <<， 当x 变化时，'，的变化情况如下表：在()2a ++∞上单调递增。

专题11 分离参数法求解含参数问题分离参数法是高考数学中比较常见的数学思想方法，求参数的范围常常与分类讨论、方程的根与零点等基本思想方法相联系，其中与二次函数相关的充分体现数形结合及分类思想方法的题目最为常见.与二次函数有关的求解参数的题目, 相当一部分题目都可以避开二次函数,使用分离变量,使得做题的正确率大大提高，随着分离变量的广泛使用,越来越多的压轴题都需要使用该思想方法.一、分离参数，绕开分类讨论 1．已知函数()()221f x 2ax x lnx ax x =--+. （a ∈R ）． （1）当a ＝0时，求曲线y ＝f （x ）在（e ，f （e ）处的切线方程（e ＝2.718…） （2）已知x ＝e 为函数f （x ）的极值点，求函数f （x ）的单调区间．【答案】（1）x +y ﹣e ＝0．（2）单调递增区间为（0，1）和（e ，+∞），单调递减区间为（1，e ）． 【解析】（1）∵a ＝0，∴f （x ）＝﹣xlnx +x ，f ′（x ）＝﹣lnx ， 则直线的斜率k ＝f ′（e ）＝﹣lne ＝﹣1， f （e ）＝﹣elne +e ＝﹣e +e ＝0， 故所求切线方程为x +y ﹣e ＝0．（2）函数的导数f ′（x ）＝（2ax ﹣1）lnx ﹣ax ﹣1+ax +1＝（2ax ﹣1）lnx ， ∵x ＝e 为函数f （x ）的极值点，∴f ′（e ）＝2ae ﹣1＝0，解得a 12e=（经检验符合题意） 考点剖析例题赏析则f ′（x ）＝（1x e -）lnx x ee-=lnx ， 由f ′（x ）＝0得x ＝1或x ＝e ， 列表得2．已知函数()1x f x e-=，()ln g x x =.（1）若曲线()y f x =在1x =处的切线方程为y kx b =+，且存在实数t 使得()y k x t b =++与曲线()y g x =相切，求t 的值；（2）设函数()()()()111x af x g x g a ϕ=+-++-. ①若()0x ϕ>恒成立，求a 的取值范围；②若函数()x ϕ仅有两个不同的零点，求a 的取值范围. 【答案】（1）1t =-；（2）①1a >；②01a <<. 【解析】（1）由题意知()1x f x e -'=，()11f '=，()11f =，因而曲线()y f x =在1x =处的切线方程为y x =，故1k =，0b =， 则()y k x t b x t =++=+.曲线()y g x =在点()00,x y 处的切线方程为()0001ln y x x x x -=-，即001ln 1y x x x =+-.令011x =，0ln 1x t -=，得01x =，1t =-. （2）①由已知得()()ln 1ln 1xx ae x a ϕ=-++-，()1,x ∈-+∞，0a >.()0x ϕ>恒成立，即()()()ln ln 110x x ae ae x x +-+-+>恒成立，即()()()ln ln 11xxae aex x +>+++恒成立.设()ln h t t t =+，则()110h t t'=+>，()h t 单调递增，因而()11xae x x >+>-恒成立，即()11x x a x e+>>-恒成立. 令()()11x x s x x e +=≥-，则()xxs x e '=-， 当()1,0x ∈-时，()0s x '>，()s x 单调递增， 当()0,x ∈+∞时，()0s x '<，()s x 单调递减， 所以()()01s x s ≤=，从而1a >.②函数()x ϕ仅有两个不同的零点，即()0x ϕ=有两个不同的解， 即()()()ln ln 11xxae aex x +=+++有两个不同的解，根据①可知即()11xae x x =+>-有两个不同的解，即()11xx a x e +=>-有两个不同的解. 因为当()1,0x ∈-时，()s x 单调递增，当()0,x ∈+∞时，()s x 单调递减，()10s -=，当0x >时()0s x >，(0)1s =，x →+∞时，()0s x →，所以01a <<.3．已知函数ln 1()2x f x ax b x =--，2()g x ax bx =+.（1）当2a =，3b =-时，求函数()f x 在1x =处的切线方程，并求函数()f x 的最大值；（2）若函数()y f x =的两个零点分别为1x ，2x ，且12x x ≠，求证：12()12x x g +>. 【答案】（1）max ()(1)2f x f ==；（2）见解析【解析】（1）解：当2a =，3b =-时，()ln 3(0)x f x x x x =-+>，()221ln 'x x f x x--=， 则()'1f e =-，切点为1,3e e e ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，故函数()f x 在1x =处的切线方程为130x y e+--=. 令()21ln h x x x =--，则()21ln h x x x =--在()0,+∞是减函数，又()10h =，∴()0,1x ∈，()0h x >，()'0f x >，()1,x ∈+∞，()0h x <，()'0f x <，()f x 在()0,1上是增函数，在()1,+∞是减函数，()()max 12f x f ==.（2）证明：∵1x ，2x 是()f x 的两个零点，不妨设12x x <， ∴()()120f x f x ==，111ln 102x ax b x --=，222ln 102x ax b x --=，∴21111ln 02x ax bx --=，22221ln 02x ax bx --=， 相减得：()()221212121ln ln 02x x a x x b x x -----=()121212ln 102x x a x x b x x ⇒-+-=- ()()()11222121212ln102x x x x a x x b x x x x +⇒-+-+=-，()()12122121212ln0222x x x x x x x x a b x x +++⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭， ∴()()1122121212ln 222x x x x x x x x g g x x +++⎛⎫⎛⎫=⇒ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ()()1111222212121ln ln 221x x x x x x x x x x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭==-⎛⎫- ⎪⎝⎭， 令12x t x =，即证01t <<，()()1ln 121t t t +>-， ()()()()1ln 21211ln ln 02111t t t t t t t t t +-->⇔<⇔-<-++，令()()21ln 1t m t t t -=-+，()0,1t ∈，()()()()222114'011t m t t t t t -=-=>++，()()21ln 1t m t t t -=-+在()0,1上是增函数，又∵()10m =，∴()0,1t ∈，()0m t <，命题得证. 二、分离参数与函数单调性综合考查 4．已知函数()34ln f x x x a x=+---1在区间()0,2上至少有一个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)1,+∞ B ．[)2,4ln32-C ．12,4ln22⎛⎫-⎪⎝⎭D ．[)2,+∞ 【答案】A 【解析】()34ln f x x x a x =+---1则314ln a x x x +=+-，令()34ln g x x x x=+- ()()()22223134431x x x x g x x x x x ----+-='=-+-= 可得()g x 在（0,1）递减，在（1,2）递增，0x →时，()g x ∞→+，()1g =2,所以函数()34ln f x x x ax =+---1在区间()0,2上至少有一个零点转化为y=a+1与()34ln g x x xx =+-在区间()0,2上有交点，即a+1≥2, a ≥1.故选A. 5．若函数f(x)＝ax ＋1在区间(－1，1)上存在一个零点，则实数a 的取值范围是________． 【答案】(－∞，－1)∪(1，＋∞)【解析】由题意知，f(－1)·f(1)<0，即(1－a)(1＋a)<0，解得a<－1或a>1. 6．设是定义在上的偶函数，对任意，都有，且当时，．若函数在区间恰有3个不同的零点，则的取值范围是 ． 【答案】【解析】试题分析：因为函数是对任意，，都有，所以函数的周期T=4，函数是定义在上的偶函数，且当时，．若函数在区间恰有3个不同的零点，即函数与函数在区间的图象恰有3个不同交点，如下图所示，因为，由题意当时函数的值小于3，当，的值大于3，即且解得.三、分离参数证明不等式恒成立问题7．当x>3时，不等式11x a x +≥-恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(] ,3-∞B ．[) 3,+∞ C ．7,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．7 ,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】D 【解析】11x 1111x x x +=-++--,记t x 12=-> 1y t 1t=++在()2，∞+上单调递增， ∴117y t 12122t =++>++= ∴7a 2≤故选D8．已知f (x )＝3ax 2＋6x －1，a ∈R ．（1）当a ＝－3时，求证：对任意x ∈R ，都有f (x )≤0；（2）如果对任意x ∈R ，不等式f (x )≤4x 恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）13a ≤-【解析】（1）证明：当a ＝－3时，f(x)＝－9x 2＋6x －1， ∵Δ＝36－36＝0，且函数f(x)图象的开口方向向下， ∴对任意x ∈R 都有f(x)≤0.（2）解：由f(x)≤4x 对任意x ∈R 恒成立，得3ax 2＋6x －1≤4x 对任意x ∈R 恒成立， 即3ax 2＋2x －1≤0对任意x ∈R 恒成立．①当0a =时，不等式为210x -≤，故对任意x ∈R 不恒成立；②当0a ≠时，由题意得304120a a <⎧⎨=+≤⎩，解得13a ≤-.综上可得13a ≤-．∴实数a 的取值范围为1,3∞⎛⎤-- ⎥⎝⎦.9．已知函数f （x ）=log a11mx x +-（a ＞0且a ≠1）是奇函数， （1）求实数m 的值；（2）若a =12，并且对区间[3，4]上的每一个x 的值，不等式f （x ）＞（12）x +t 恒成立，求实数t 的取值范围．（3）当x ∈（r ，a -2）时，函数f （x ）的值域是（1，+∞），求实数a 与r 的值．【答案】（1）1；（2）98t <-；（3）21a r =+=. 【解析】（1）由f （x ）=log a11mx x +-（a ＞0且a ≠1）是奇函数， 得f （-x ）+f （x ）=log a11mx x ---+log a 11mx x +-=22211a m x log x --=0对于定义域内的任意x 恒成立， 即222111m x x-=-，得m 2=1，即m =±1． 当m =-1时，原函数化为f （x ）=11a xlog x--，定义域为{x |x ≠1}（舍去）， ∴m =1；（2）a =12时，f （x ）＞（12）x +t 等价于f （x ）-（12）x ＞t ， 令g （x ）=f （x ）-（12）x， 则g （x ）在区间[3，4]上递增，()9()38min g x g ==-， 故t ＜98-； （3）设u =1+21x -，则y =log a u ， ①当a ＞1时，∵函数f （x ）的值域是（1，+∞），即y ＞1，∴u =1+21x -（r ＜x ＜a -2）的值域为（a ，+∞）， 作出函数u =1+21x -（r ＜x ＜a -2）的图象，得r =1，且a =1+23a -，解得：a②当0＜a ＜1时，∵函数f （x ）的值域是（1，+∞），即y ＞1，∴u =1+21x -（r ＜x ＜a -2）的值域为（0，a ）， 作出函数u =1+21x -（r ＜x ＜a -2）的图象，得a -2=-1，解得：a =1，矛盾．综上，r =1，a10．已知函数11()2f x mx nx =++(,m n 是常数)，且(1)2f =，11(2)4f =. （1）求m,n 的值；（2）当)1,x ⎡∈+∞⎣ 时，判断()f x 的单调性并证明； （3）若不等式()()221246f xf xx +>-+成立，求实数x 的取值范围.【答案】（1）12m n =⎧⎨=⎩；（2）增函数，见详解；（3）5x <-或1x >.【解析】（1）111111(1)2,(2)22224=++==++=f m f m n n 12m n =⎧∴⎨=⎩ （2）证明：设121x x ≤<，则12121212121212121111()()()22221()(1)221()()2-=++-++=---=-f x f x x x x x x x x x x x x x x x121212121,0,1,21x x x x x x x x ≤<∴-<>∴>12()()0f x f x ∴-<，即12()()f x f x <∴()f x 在[1∞,+）上 单调递增.（3）222121,46(2)22+≥-+=-+≥x x x x∴只需221+246>-+x x x2450∴+->x x ，5∴<-x 或1x >.课堂练习1．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦都成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(－∞，0) B ．(－∞，－2] C ．613[,)-+∞ D ．[－2，＋∞)【答案】C【解析】因为不等式210x ax ++≥对一切2(0,]3x ∈等价于2112(0)3x a x x x x +-≤=+<≤恒成立， 设12()(0)3f x x x x =+<≤ ，易得()f x 在2(0,]3x ∈为减函数， 所以min 213()()36f x f ==， 即136a -≤，即136a ≥-， 即a 的取值范围是613[,)-+∞. 故选：C.2．若不等式()()2a 2x 2a 2x 40++++>对一切实数x 恒成立,则实数a 的取值范围是______. 【答案】[)2,2-【解析】①当20a +=,即2a =-时,40>恒成立;②当200a +>⎧⎨<⎩时, 不等式()()222240a x a x ++++>对一切实数x 恒成立,由()()220421620a a a +>⎧⎪⎨+-+<⎪⎩解得:22a -<<, 综合①②得,22a -≤<,所以填[)2,2- 3．已知函数()11x a f x a ⎛⎫=-⎪+⎝⎭（0a >且1a ≠）是定义在(),-∞+∞上的奇函数. （Ⅰ）求a 的值； （Ⅱ）求函数()f x 的值域；（Ⅲ）当1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦时，()22x t f x ⋅-≥恒成立，求实数t 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）2a =；（Ⅱ）(1,1)-；（Ⅲ）2t ≥【解析】解：（Ⅰ）()f x 是定义在(),-∞+∞奇函数，()00f ∴=即()00101a f a ⎛⎫=-= ⎪+⎝⎭解得2a =．经检验，函数为奇函数 （Ⅱ）()2121x f x =-+ 又20x >，211x ∴+> ∴20221x <<+，211121x -<-<+ ∴函数()f x 的值域(1,1)-．（Ⅲ）1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()22x t f x ⋅-≥恒成立，当[]1,2x ∈时，()22x t f x ⋅≥- 即2(1)2221x x t -≥-+ 即212221x x x t -≥-+在[]1,2x ∈恒成立， 1x ，22x ∴，∴(22)(21)21x x x t -+≥-在[]1,2x ∈恒成立， 设(22)(21)2()22121x x x x x u x -+==---，[]1,2x ∈ 下证()u x 在当[]1,2x ∈时是增函数．任取211x x >，则2121211221222()()22(22)(1)02121(21)(21)x x x x x x x x u x u x -=--+=-+>---- ∴当[]1,2x ∈时，()u x 是增函数，()max 10()23u x u ∴== max 10()3t u x ∴≥= ∴实数t 的取值范围为103t ≥． 当1,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()22x t f x ⋅-≥恒成立， 即()22xt f x ⋅≥- 即()22x t f x ⋅≥-在1,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭恒成立，112x ≤<，22x <， ∴(22)(21)21x x x t -+≥-在1,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭恒成立， 设(22)(21)2()22121x x x x x h x -+==-+--，1,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭可知函数在所给区间上单调递减，max 1()22h x h ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭max ()2t h x ∴≥=∴实数t 的取值范围为2t ≥．综上可得2t ≥4．已知函数()22x x f x -=+．（1）求证：函数()f x 是偶函数；（2）设a ∈R ，求关于x 的函数22222()x x y af x -=+-在[0,)x ∈+∞时的值域()g a 的表达式； （3）若关于x 的不等式()21x mf x m -≤+-在(0,)x ∈+∞时恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）见解析（2）2[24,),2,()[2,), 2.a a g a a a -+∞≤⎧=⎨--+∞>⎩（3）1,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦． 【解析】（1）函数()f x 的定义域为R ，对任意x R ∈，()()22x x f x f x --=+=， 所以，函数()f x 是偶函数．（2）()()()22222222222222x x x x x x x x y a a ----=+-+=+-+-， 令22x x t -+=，因为0x ≥，所以21x ≥，故2t ≥，原函数可化为222y t at =--，[)2,t ∈+∞，()222222y t at t a a =--=---图像的对称轴为直线t a =，当2a ≤时，函数222y t at =--在[)2,t ∈+∞时是增函数，值域为[)24,a -+∞； 当2a >时，函数222y t at =--在[]2,t a ∈时是减函数，在[),t a ∈+∞时是增函数，值域为)22,a ⎡--+∞⎣． 综上，()[))224,,2,2,, 2.a a g a a a ⎧-+∞≤⎪=⎨⎡--+∞>⎪⎣⎩ （3）由()21x mf x m -≤+-，得()121x m f x -⎡⎤-≤-⎣⎦， 当0x >时，21x >，所以()222x x f x -=+>，所以()110f x ->>，所以，()22121121221212x x xx x x xm f x ------≤==-+-+-恒成立． 令12x t =-，则0t <，()2221211212111x x x t t t t t t t t-===+--+-++-， 由0t <，得12t t +≤-，所以113t t +-≤-，110131t t-≤<+-． 所以，13m ≤-，即m 的取值范围为1,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦． 5．设()f x 是奇函数，()g x 是偶函数()()2x f x g x +=，且其中x ∈R .（1）求()f x 和()g x 的表达式，并求函数()()y f x g x =÷的值域（2）若关于x 的方程()()23f x g x λ+⎡⎤⎣⎦=⋅在区间()1,1-内恰有两个不等实根，求常数λ的取值范围 【答案】（1）()()2222,,22x x x x f x g x x R ---+==∈值域为()1,1.-（2）15,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】（1）由已知()()2,xf xg x x R +=∈①， 以x -代x ，得()()2xf xg x --+-=， 因为()f x 是奇函数，()g x 是偶函数， 所以()()2xf xg x --+=②， 联立①②可得()()2222,,22x x x xf xg x x R ---+==∈， ()()222222*********x x x x x x x f x y g x ----∴====-+++， 又220x >，2211x ∴+>，220221x <<+，于是2211121x -<-<+， ∴函数()()f x yg x =的值域为()1,1-； （2）题意即方程222222322x xx x λ--⎛⎫-+⋅+= ⎪⎝⎭在区间()1,1-内恰有两个不等实根. 显然0x =不是该方程的根，所以令()22012x xt x --=<< 由2222224x x t -=+-得22222212x x t -+=+，则原方程可变形为()2213t t λ++= 易知函数()t x 为偶函数，且在区间0,1内单调递增，所以30,4t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且题意转化为方程2321t t λ=--在区间30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭内有唯一实根(因为每一个30,4t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭在区间()1,1-内恰有两个x 值与之对应).易知()2321h t t t =--在区间30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递减， 又0t →时，()h t →+∞， 所以24315321348λ⎛⎫>⨯-⨯-= ⎪⎝⎭（此时每一个15 8λ>，在区间30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭内有且仅有一个t 值与之对应). 综上所述，所求常数λ的取值范围是15,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. 6．已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且525S =，2a 是1a 和5a 的等比中项. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列11n n a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭＋的前n 项和为n T ，若不等式4n k T <对任意的n *∈N 都成立，求整数k 的最小值. 【答案】（1）21n a n =-（2）最小值为2.【解析】因为53525S a ==，所以35a =；因为2a 是1a 和5a 的等比中项，所以2215a a a =，设公差为()0d d ≠，由题()()12111254a d a d a a d +=⎧⎪⎨+=+⎪⎩， 解得11a =，2d =.所以21n a n =-.（2）证明：()()111111212122121n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，11111111111233521212212n T n n n ⎛⎫⎛⎫∴=-+-+⋯+-=-< ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭. 所以142k ≥，2k ≥， 故整数k 的最小值为2.。

含参函数问题通常较为复杂，尤其在遇到含有多个参数的函数问题时，很多同学不知如何下手.解答含有多个参数的函数问题，关键在于合理处理参数，将问题简化为只含有一个参数或没有参数的函数问题.下面介绍三种解答含有多个参数的函数问题的方法.一、分离变量法当函数问题中出现多个参数时，可通过恒等变形，将其中一个已知取值范围的参数从函数式或不等式中分离出来，将问题转化成只含一个参数或没有参数的函数最值问题来求解.例1.已知当θ∈R 时，不等式a +cos2θ<5-4sin θ+5a -4恒成立，求实数a 的取值范围.解：由a +cos2θ<5-4sin θ+5a -4可得4sin θ+cos2θ<5a -4-a +5，要使上式恒成立，只需使5a -4-a +5大于4sin θ+cos2θ的最大值，设f (θ)=4sin θ+cos2θ，化简得f (θ)=-2sin 2θ+4sin θ+1=-2(sin θ-1)2+3≤3，可得5a -4-a +5>3，即5a -4>a -2，上式等价于ìíîïïa -2≥0，5a -4≥0，5a -4>(a -2)2，或{a -2<0，5a -4≥0，解得45≤a <8.该函数不等式中含有两个参数a 及θ，其中θ的取值范围已知，另一参数a 的范围即为所求，故可考虑运用参数分离法，将θ从不等式中分离出来；再将不含有θ的式子构造成关于a 的函数式，利用正弦函数和二次函数的有界性求得函数的最值，即可建立关于a 的新不等式，求得a 的取值范围.例2.设正数f ()x =e 2x 2+1x ,g ()x =e 2x e x ，对任意x 1,x 2∈()0,+∞，不等式g ()x 1k ≤f ()x 2k +1恒成立，求正数k 的取值范围.解：由g ()x 1k ≤f ()x 2k +1可得g ()x 1≤kf ()x 2k +1，所以kf ()x 2k +1≥[]g ()x 1max ，钱桂红。

专题17 参变分离法解决导数问题1.分离变量法在处理含参a 的函数(,)f x a 不等式和方程问题时，有时可以将变量分离出来，如将方程(,)0f x a =，转化为()()g x h a =这样就将把研究含参函数(,)f x a 与x 轴的位置关系的问题转化为不含参的函数()g x 与动直线()y h a =的位置关系问题，这种处理方法就叫分离变量法。

（1）优点：分离变量法可以将含参函数中的参数分离出去，避免直接讨论，从而简化运算； （2）解题过程中可能遇到的问题：①参数无法分离；②参数分离后的函数()y g x =过于复杂； ③讨论位置关系时可能用到()y g x =的函数极限，造成说理困难. 2.分类：分离参数法有完全分离参数法（全分参）和部分分离参数法（半分参）两种 注意事项：无论哪种分参方法，分参过程中需注意变量的正负对不等号的影响！ 一、单选题1．已知函数()ln f x x ax =-在区间()1,2上单调递增，则a 的取值范围是（） A ．(],1-∞ B ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．(),1-∞【解析】1()0f x a x '=-≥在区间()1,2上恒成立，即1a x≥在区间()1,2上恒成立， 显然1y x=在区间()1,2的最小值为12，所以12a ≤．故选：B ． 2．若函数()5ln f x x a x x=--在[)1,+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是（）A ．-⎡⎣B ．(,-∞C ．(],6-∞D ．(]0,6【解析】因为函数()f x 在[)1,+∞上是增函数， 所以()0f x '≥在[)1,+∞上恒成立，即()2510a f x x x '=+-≥，即5a x x≤+恒成立，又5x x +≥x =a ≤B 3．已知函数()e xf x mx x=-（e 为自然对数的底数），若()0f x >在()0,∞+上恒成立，则实数m 的取值范围是（） A ．(),2-∞B ．2e ,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．(],e -∞D ．2e ,4∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭【解析】若()0f x >在()0,∞+上恒成立，则2e xm x <在()0,∞+上恒成立等价于2e x min m x ⎛⎫< ⎪⎝⎭在()0,∞+上恒成立，令()()2e 0xh x x x =>，则()()()3e 20x x x h x x-'>=， 令()0h x '>，解得2x >，令()0h x '<，解得02x <<， 故()h x 在()0,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增，故()()2e 24minh x h ==，故2e 4m <.故选：B.4．关于x 的方程210x mx ++=在[]0,2内有解，则实数m 的取值范围（） A ．(],2-∞-B ．[)2,+∞C ．5,2∞⎛⎤-- ⎥⎝⎦D ．5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】当0x =时，可得10=显然不成立；当(]0,2x ∈时，由于方程210x mx ++=可转化为1m x x =--，(]0,2,x ∈令1y x x =--，可得222111x y x x-=-='，当01x <<时，0y '>，函数单调递增；当12x <<时，0y '<，函数单调递减， 所以当1x =时，函数1y x x=--取唯一的极大值，也是最大值，所以2max y =-，所以2y ≤-，即2m ≤-，所以实数m 的取值范围(],2-∞-.故选：A. 5．若函数()ln x f x x x ae =+没有极值点，则实数a 的取值范围是（）A ．1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,e ∞⎛⎤-- ⎥⎝⎦D ．1,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】由题意可得，()1ln 0x f x x ae '=++=没有零点， 或者有唯一解（但导数在点的两侧符号相同）， 即1ln xxa e +-=没有交点，或者只有一个交点但交点的两侧符号相同. 令1ln ()x x g x e+=，0x >，则1ln 1()x x x g x e --'=， 令1()ln 1h x x x=--则()h x 在()0,∞+上单调递减且()10h =， 所以当01x <<时，()0h x >，()0g x '>，()g x 单调递增， 当1x >时，()0h x <，()0g x '<，()g x 单调递减，故当1x =时，()g x 取得最大值1(1)g e=，又0x →时，()g x →-∞，x →+∞时，()0g x →， 结合图象可知，1a e -≥即1a e ≤-.故选：C.6．若对任意正实数x ，不等式()21xe a x -≤恒成立，则实数a 的范围是（）A ．ln 2122a ≤+ B ．ln 212a ≤+ C ．1ln 22a ≤+D ．ln 2122a ≥+ 【解析】因为不等式()2e 1xa x -≤恒成立，2e 0x >，所以21e xa x ≤+恒成立， 设()21e xf x x =+，则()min a f x ≤， 因为()221e x f x '=-+，令()0f x '=，则ln 22x =，所以当ln 2,2x ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，当ln 2,2x +∈∞⎛⎫⎪⎝⎭时，()0f x '>，所以()f x 在ln 2,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在ln 2,2+∞⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， 所以()min ln 21ln 2222f x f ⎛⎫==+⎪⎝⎭，所以ln 2122a ≤+，故选：A 7．已知函数()x f x a x xe =-+，若存在01x >-，使得()0 0f x ≤，则实数a 的取值范围为：（） A ．[0,)+∞B ．(,0]-∞C ．[1,)+∞D ．(,1]-∞【解析】由题意可得0x a x xe +≤-在()1,-+∞上能成立，所以x a x xe ≤-在()1,-+∞上能成立，令()()1x x xe h x x -=>-，则()()11xx h x e -+'=，令()()11x x x e m =-+，则()()02x x m x e +'=-<，所以()()11xx x e m =-+在()1,-+∞上单调递减，且()()000110e m -+⨯==，即()00h '=，因此()h x 在()1,0-上单调递增，在()0,∞+上单调递减，所以()()max 00h x h ==，所以0a ≤，故选：B.8．当0x >时，11e 2x a x->-恒成立，则a 的取值范围为（） A ．()1,+∞ B ．()e,∞+ C ．1,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．()2,+∞【解析】由11121e2e x x x a a x x --->-⇒>，设()121e x x f x x --=，则()()()2212121121e e x x x x x x f x x x --+-+-++'==，当()0,1x ∈时，()0f x '>，当(1,)x ∈+∞时，()0f x '<，所以函数()f x 在区间()0,1上递增，在区间(1,)+∞上递减，故()()11f x f ≤=，故1a >.故选：A.9．对任意0x >，不等式e ln()(1)0x ax a x -+-≥恒成立，则正数a 的最大值为（）A BC ．1eD ．e【解析】∵e ln()(1)0x ax a x -+-≥，∴ln()e ln()ln()e x ax x ax ax ax +≥+=+． 令()e x f x x =+，则不等式化为()(ln())f x f ax ≥． ∵()e (0)xf x x x =+>为增函数，∴ln()x ax ≥，即e xa x≤．令e ()=x g x x ，则2(1)e ()x x g x x'-=，当01x <<时，()0g x '<，即()g x 递减； 当1x >时，()0g x '>，即()g x 递增；所以()()min 1e e g x g a ⇒≤==．∴实数a 的最大值为e ．故选：D 10．已知函数21()()2x f x x x e -=-，若当1x >时，()10f x mx m -++≤有解，则实数m 的取值范围为（） A ．(,1]-∞B ．(,1)-∞-C ．(1,)-+∞D ．[1,)+∞【解析】()10f x mx m -++≤有解，即21(211)(1)1x x x e m x --+-≤--，设1t x =-，则0t >， 不等式转化成2(1)1tt emt 在0t >时有解，则2(1)1t t e mt 有解，记2(1)1()t t e h t t， 则322(1)1()t t t t e h t t，再令32()(1)1t g t t t t e ， 则32()(4)0t g t t t t e ，那么()g t 在0t >时递增，所以()(0)0g t g >=，于是()0h t '>，()h t 在0t >时递增，故20(1)1()lim t t t e h t t ，记()()21tt t e ϕ=-，0()(0)()lim(0)10t t h t t ，于是2(1)1t t e mt有解，只需要1m >-.故选：C 二、多选题11．已知函数()ln f x x ax =-有两个零点1x ，2x ，且12x x <，则下列选项正确的是（） A ．10,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭B ．()y f x =在(0,)e 上单调递增C ．126x x +>D ．若221,a e e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则212a x x a --<【解析】令()0f x =得ln x a x=，记ln ()xg x x = 21ln ()xg x x-'=，令()0g x '=得x e = 当(0,)x e ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增；当(,)x e ∈+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减；且0x →时，()g x →-∞，1(e)g e=，x →+∞时，()0g x →据题意知y a =的图象与()y g x =的图象有两个交点，且交点的横坐标为1x ，2x ， 所以10,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故A 选项正确；因为11()'-=-=ax f x a x x ，所以当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 递增， 因为10,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以1(0,)0,e a ⎛⎫⊆ ⎪⎝⎭，故B 选项正确；当1a e →时，1e a →，10f a ⎛⎫→ ⎪⎝⎭， 又因为()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，所以12,x e x e →→，所以1226x x e +→<，所以C 选项错误； 因为()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭递减，且221,a e e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以110,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，21,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，因为()1(1)0f a f x =-<=，所以11x >因为()2222ln 2ln 20f e f x a a ⎛⎫=-<-== ⎪⎝⎭，所以22x a <所以21221a x x a a--<-=，故D 选项正确 故选：ABD.12．已知函数()()1x f x x k e =-+在区间[11]-，上只有一个零点，则实数k 可取的值有（） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2【解析】由题意可知，()10x x k e -+=在区间[1,1]-上只有一个根， 等价于1xk x e =+在区间[1,1]-上只有一个根， 等价于y k =与1()xg x x e =+的图像有唯一一个公共点， 由1()x g x x e =+得1()1x g x e=-'，令()0g x '=得0x =， 当10x -≤<时，()0g x '<，则()g x 在[1,0)-上单调递减， 当01x <≤时，()0g x '>，则()g x 在(0,1]上单调递增，∴在区间[1,1]-内，当0x =时()g x 取极小值也是最小值，∴当()(0)1g x g ≥=， 又1(1)1g e =+，(1)1g e -=-，且111e e ->+，则满足条件的k 的取值范围是{}11(1,1]e e⋃+-，所以k 可取的值为1、2.故选:CD.13．设函数()f x =为自然对数的底数).若存在[]0,1b ∈使()()f f b b =成立，则实数a 的取值可以是（） A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】易知()f x 在定义域内单调递增，若()f b b >，则()()()f f b f b b >>，若()f b b <，则()()()f f b f b b <<.故存在[]0,1b ∈使()()f f b b =成立，则()f b b =，即()f x x =在[]0,1上有解.故[]2e ,0,1x x a x x x =+∈=-，设[]2e ,0,1()x g x x x x +∈-=，则e 1(2)x g x x =-+'，令2e 1,2e ()()x x h x h x x '=+--=，在[)0,ln 2上()0,()h x h x '<单减，在(]ln 2,1上()0,()h x h x '>单增，故()(ln 2)32ln 20h x h ≥=->即()0g x '>，()g x 在[]0,1上单增，又(0)1,(1)e g g ==，故1e a ≤≤. 故选：BC.14．已知定义在R 上的奇函数()f x 在(,0]-∞上单调递增，则“对于任意的(0,1]x ∈，不等式2(2)(ln )0x f ae x f x x x ++-≥恒成立”的充分不必要条件可以是（） A ．10a e-≤<B ．4312a e e ≤< C ．3211a e e ≤< D ．1a e e≤<【解析】奇函数()f x 在(,0]-∞上单调递增，则在(0,)+∞上也单调递增，即()f x 是R 上的单增函数； 222(2)(ln )0(2)(ln )(ln )x x f ae x f x x x f ae x f x x x f x x x ++-≥⇔+≥--=-，则22ln xae x x x x +≥-，(0,1]x ∈，即22ln xx x x xa e --≥在(0,1]x ∈上恒成立；令22ln ()xx x x xg x e --=，则222(22ln 1)(2ln )43(1)ln ()x x x xx x e x x x x e x x x x g x e e -------+-+-'==(1)(3ln )x x x x e ---=，(0,1]x ∈记()ln 3h x x x =--，1()10h x x'=-≤恒成立，即()h x 单减， 又3311()0h e e=>，(1)20h =-<，则必有0(0,1]x ∈，使000()ln 30h x x x =--=，故0(0,)x x ∈，()0h x >，0(,1]x x ∈，()0h x <，因此0(0,)x x ∈，()0g x '>，()g x 单增，0(,1]x x ∈，()0g x '<，()g x 单减，因此0020000000002ln (ln )2()()x x x x x x x x x x g x g x e e----≤==， 由0300000ln 30ln 3,x x x x x x e---=⇒-==代入得00030003321()()x x x x x e g x g x e e e--≤===，故若使22ln xx x x xa e --≥在(0,1]x ∈上恒成立，则031()a g x e ≥=， 根据充分不必要条件的定义可以判断C 、D 正确，A 、B 错误；故选：CD. 三、填空题 15．若函数21()e 2x f x x a =-是R 上的减函数，则实数a 的最小值为_______ 【解析】由题意得，()e 0x f x x a '=-≤在R 上恒成立，即e xxa ≥在R 上恒成立， 令1()=,()=e ex x x xg x g x -'，当1x <时，()0g x '>，()g x 递增，当1x >时，()0g x '<，()g x 递减， 故max 1()=g(1)=eg x ，故1e a ≥，即函数a 的最小值为1e ，16．已知函数()()e ln xf x m x m =+∈R ，若对任意正数12,x x ，当12x x >时，都有()()1212f x f x x x ->-成立，则实数m 的取值范围是______．【解析】由()()1212f x f x x x ->-得，()()1122f x x f x x ->- 令()()g x f x x =-，∴()()12g x g x >，∴()g x 在()0,∞+单调递增，又∵()()e ln x g x f x x m x x =-=+-，∴()e 10x mg x x'=+-≥，在()0,∞+上恒成立，即()1e x m x ≥- 令()()1e x h x x =-，则()()e 110xh x x '=-++<∴()h x 在()0,∞+单调递减，又因为()()01e 00h =-⨯=，∴0m ≥．17．已知函数()333sin x x x f x =+-，若对任意的()0,x ∈+∞，不等式()()ln 20f x f ax -+≤恒成立，则实数a 的取值范围为___________.【解析】因为()()()()()()3333sin 33sin f x x x x x x x f x -=-+---=-+-=-，所以()f x 为奇函数，因为()()22333cos 331cos 0x x x x f x '=+-=+-≥，所以()f x 为R 上的增函数，由(ln 2)()0f x f ax -+≤得(ln 2)()()f x f ax f ax -≤-=-，则ln 2x ax -≤-， 因为,()0x ∈+∞，所以ln 2x a x--≥．令ln 2()(0)x g x x x-=>，则()23ln xg x x -'=，令()0g x '=，得3e x =， 当30e x <<时，()0g x '>，()g x 单调递增，当3e x >时，()0g x '<，()g x 单调递减，故()()33max 1e e g x g ==，所以31e a -≥，即31ea ≤-， 所以实数a 的取值范围为31,e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.18．已知(0,2)x ∈，若关于x 的不等式21e 2x k x x x <+-恒成立，则实数k 的取值范围是________． 【解析】依题意，知220+->k x x ，即22>-k x x 对任意(0,2)x ∈恒成立，从而0k ≥，因此由原不等式，得2e 2<+-x k x x x 恒成立．令2e ()2=+-xf x x x x ，则2e ()(1)2⎫⎛'=-⋅+⎪ ⎝⎭x f x x x ．令()0f x '=，得1x =．当(1,2)x ∈时，()0f x '>．函数()f x 在(1,2)上单调递增；当(0,1)x ∈时，()0f x '<，函数()f x 在(0,1)上单调递减，所以min ()(1)e 1<==-k f x f ，故实数k 的取值范围是[0,e 1)-．四、解答题19．已知函数21()ln 2f x x x =-.（1）求函数()f x 在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值(参考数据：ln 20.7≈)；（2）若不等式2()(2)f x a x >-有解，求实数a 的取值范围.【解析】（1）求导得：211()x f x x x x-'=-=，令()0f x '>可得112x <<，令()0f x '>可得12x <<，于是函数()f x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，在(1,2)单调递减，于是当1x =时，()f x 取最大值为12-，又111ln 0.825228f ⎛⎫=-≈- ⎪⎝⎭，(2)ln 22 1.3f =-≈-，于是当2x =时，()f x 取最小值为ln 22-综上：当1x =时，()f x 取最大值为12-，当2x =时，()f x 取最小值为ln 22-（2）原不等式即为：221ln (2)2x x a x ->-，可化简为2ln 122x a x -<-记2ln 1()2x g x x =-，则原不等式有解可转化为2()a g x -<的最大值求导得：312ln ()xg x x '-=，于是函数()g x 在上单调递增，在)+∞上单调递减于是：()max 11g22g x e ==-，于是11222a e -<-，解得：5122a e>-.20．已知函数()2()ln f x x ax x =+，a R ∈.（1）若()f x 的图像在1x =处的切线经过点(0,2)-，求a 的值； （2）当21x e <<时，不等式2()f x x <恒成立，求a 的取值范围. 【解析】（1）由题知()f x 的定义域为(0,)+∞.又()(2)ln f x x a x x a '=+++，则(1)1f a '=+.又因为(1)0f =，所以切点为(1,0). 所以02110a +=+-，解得1a =. （2）当21x e <<时，0ln 2x <<.当21x e <<时，不等式2()f x x <恒成立，即不等式ln xa x x<-，()2x e ∈1,恒成立. 设()ln x g x x x=-，()2x e ∈1,，则222ln 1(ln )ln 1()1(ln )(ln )x x x g x x x '--+=-=-. 因为2213(ln )ln 1ln 024x x x ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭，所以()0g x '<.所以()g x 在()21,e 上单调递减，从而()22()2e g x g e >=-.要使原不等式恒成立，即()a g x <恒成立，故22ea ≤-.即a 的取值范围为2,2e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.21．已知函数()()212ln f x x ax x a R =-+∈，曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线l 的斜率为4.(1)求切线l 的方程；(2)若关于x 的不等式()2f x x bx +恒成立，求实数b 的取值范围.【解析】(1)函数()f x 的定义域为{}|0x x >，12()2f x x a x'=-+， 由题意知，(1)144f a '=-=，所以10a =，故2()1012ln f x x x x =-+，所以(1)9f =-，切点坐标为(1,9)- 故切线l 的方程为413y x =-．(2)由（1）知，2()1012ln (0)f x x x x x =-+>， 所以2()f x x bx ≤+，可化为：12ln 10x x bx -≤，即12ln 10xb x≥-在(0,)+∞上恒成立， 令12ln ()10x g x x =-，则212(1ln )()x g x x -'=， 当(0,e)x ∈时，()0g x '>，()g x 在(0,e)上单调递增，当(e,)x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 在(e,)+∞上单调递减， 所以当e x =时，函数()g x 取得最大值12(e)10eg =-， 故当1210e b ≥-时，12ln 10x b x≥-在(0,)+∞上恒成立， 所以实数b 的取值范围是1210,e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.22．已知函数()ln 1f x x mx =--．(1)若0x ∀>，不等式()0f x <恒成立，求m 的取值范围； (2)若曲线()y f x =存在过点(1,0)的切线，求证：1m ≥-．【解析】(1)由已知有()0f x <恒成立，即代表ln 10x mx --<恒成立， 因为0x >，故ln 1x m x->恒成立，令ln 1()x g x x -=()0x >，故22ln ()xg x x -'=， 令()0g x '>，解得：20x e <<，故()g x 在()20,e 上单调递增，在()2,e +∞上单调递减， 故()g x 在()0,+∞的最大值为221()g e e =， 故21m e >，所以m 的取值范围是21,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭； (2)：设切点为000(,ln 1)x x mx --，又因为1()f x m x'=-， 所以函数在0x x =处的切线斜率01k m x =-， 所以函数在0x x =处的切线方程为：0000(ln 1)()1m x y x mx x x ⎛⎫---=- ⎪⎝-⎭， 又切线经过点(1,0).故可得：00000(ln 1)(1)1m x x mx x ⎛⎫---=- ⎪⎝⎭-，化简整理可得：0001ln 2(0)m x x x =+->，令1()ln 2(0)h x x x x=+->，21()x h x x -'=，令()0h x '>，解得1x >，故()h x 在(0,1)上单调递减，(1,)+∞单调递增， 故()h x 在(0,)+∞的最小值为(1)1h =-，故：1m ≥-，得证．23．已知函数()()()x xf x e sinx ax a Rg x e cosx =-∈=(1)当0a =时，求函数f （x ）的单调区间；(2)若函数()()()F x f x g x =-在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有两个极值点，求实数a 的取值范围.【解析】(1)当0a =时，()e sin x f x x =，()e (sin cos )x f x x x '=+sin()4x x π+， 当224k x k ππππ<+<+，即32244k x k ππππ-<<+时，()0f x '>， 当2224k x k πππππ+<+<+，即372244k x k ππππ+<<+时，()0f x '<， 所以()f x 的增区间是32,2,44k k k ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ，减区间是372,2,44k k k ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭Z ． (2)()e sin e cos e (sin cos )x x x F x x ax x x x ax =--=--，()e (sin cos cos sin )2e sin x x F x x x x x a x a '=-++-=-，由题意2e sin 0x x a -=在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有两个不等实根，即2e sin x a x =有两个实根，设()2e sin x h x x =，则()2e (sin cos )sin()4x x h x x x x π'=+=+， ,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，35,444x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以324x ππ<<时，()0h x '>，()h x 单调递增， 34x ππ<<时，()0h x '<，()h x 单调递减， 所以34max 3()2e 4h x h ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中22e 2h ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0h π=， 所以当3242e 2e a ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2e sin x a x =在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有两个实根， 即当3242e 2e a ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数()F x 在,π2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上有两个极值点. 24．已知函数2()ln ()f x x x ax a =+∈R 的图象在点(1,(1))f 处的切线与直线(1e)y x =-平行（e 是自然对数的底数）.(1)求函数()f x 的解析式；(2)若2()2e f x kx x >-在(0,)+∞上恒成立，求实数k 的取值范围.【解析】(1)由题意得()2ln (0)f x x x x a x ++>'=，所以(1)1f a '=+，又()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线与直线(1e)y x =-平行，所以11e a +=-，解得a e =-，所以2()ln e f x x x x =-.(2)2()2e f x kx x >-在(0,)+∞上恒成立，即22ln e 0x x kx x -+>在(0,)+∞上恒成立，因为0x >，所以22ln e e ln x x x k x x x+<=+.令e ()ln g x x x =+，则221e e ()x g x x x x-=-='. 当(0,e)x ∈时，()0g x '<；当(e,)x ∈+∞时，()0g x '>. 所以函数e ()ln g x x x=+在(0,e)上单调递减，在(e,)+∞上单调递增， 所以()(e)2g x g ≥=，故2k <，即实数k 的取值范围是(,2)-∞.25．已知函数()()21e xax x f x a R -+=∈. (1)当2a =-时，求()f x 的单调区间；(2)当0x ≥时，()1f x ≤，求a 的取值范围.【解析】（1）2a =-时，()221e x x x f x --+=，()()()212e xx x f x +-'=， 令()1102f x x '=⇒=-，22x =.∴()f x 的单调递增区间为1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，()2,+∞，单调递减区间为1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭. （2）法一：常规求导讨论()()()()221212e e x x ax a x ax x x F -++----'==.①当0a ≤时，令()02f x x '=⇒=且当02x ≤<时，()0f x '<，()f x ；当2x >时，()0f x '>，()f x .注意到()01f =，2x ≥时，()0f x <符合题意. ②当12a =时，()()21220ex x f x --'=≤，()f x 在[)0,∞+上， 此时()()01f x f ≤=符合题意. ③当102a <<时，令()102f x x '=⇒=，21x a =， 且当()f x 在[)0,2上，12,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上，1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上， 此时()()01f x f ≤=符合题意. ③当102a <<时，令()102f x x '=⇒=，21x a =， 且当()f x 在[)0,2上，12,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上，1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上，此时只需1111111e 1e a aa a f a -+⎛⎫=≤⇒≥ ⎪⎝⎭，显然成立. ④当12a >时，令()110f x x a'=⇒=，22x =， 且当()f x 在10,a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上，1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上，()2,+∞上.此时只需()22411e 121e 24a f a -+=≤⇒<≤. 综上：实数a 的取值范围2e 1,4⎛⎤+-∞ ⎥⎝⎦. 法二：参变分离①0x =时，不等式显然成立.②当0x >时，2e 1x x a x +-≤，令()2e 1x x g x x +-=， ()()()33e 12e 2e 2x x x x x x g x x x ----+'==. 令()02g x x '=⇒=且当02x <<时，()0g x '<，()g x ；当2x >时，()0g x '>，()g x ，∴()()2min e 124g x g +==，∴2e 14a +≤. 26．已知函数()ln a f x x x x=++，a ∈R . （1）若()f x 在1x =处取得极值，求a 的值；（2）若()f x 在区间()1,2上单调递增，求a 的取值范围；（3）若函数()()g x f x x '=-有一个零点，求a 的取值范围.【解析】（1）因为()ln a f x x x x =++，则2221()1a x x a f x x x x +-'=-+=， 由于()'10f =，则221101a +-=，∴2a =， 当2a =时，()()222221212()1x x x x f x x x x x +-+-'=-+== 因为()f x 的定义域为()0,∞+，则()0f x '=时，1x =，当()0,1x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，当()1,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增，所以()f x 在1x =处取得极小值，所以2a =符合题意，故2a =.（2）()22'x x a f x x+-=，∴20x x a +-≥在()1,2x ∈恒成立， 即2a x x ≤+在()1,2x ∈恒成立，∴a 的取值范围为(],2-∞.（3）220x x a a x +--=在()0,x ∈+∞有1个根 即方程32a x x x -=--在()0,x ∈+∞有1个根，令32()h x x x x =--，0x >，则()()2()321131h x x x x x '=--=-+当()0,1x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减，当()1,x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增，且(0)0h =，(1)1h =-，x →+∞时，()h x →+∞，当0a -≥即0a ≤时，1个根；当1a -=-即1a =时，1个根，综上：a 的取值范围为(]{},01-∞.27．已知函数()ln x f x x =. （I ）求函数()f x 的单调区间和极值；（II ）若不等式()kx f x ≥在区间(0,)+∞上恒成立，求实数k 的取值范围.【解析】（I ）因为()()21ln 0x f x x x -'=>， 当()0,e x ∈时，()0f x '>，当()e,x ∈+∞时，()0f x '<，所以()f x 的单调增区间为()0,e ，单调减区间为()e,+∞；且()()1e ef x f ==极大，无极小值； （II ）因为()kx f x ≥在区间(0,)+∞上恒成立， 所以2ln x k x ≥在区间(0,)+∞上恒成立，设()()2ln 0x g x x x =>，则()max k g x ≥， 因为()()432ln 12ln 0x x x x g x x x x --'==>，当(x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增，当)x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减，所以()max 12eg x g ===，所以12e k ≥. 28．已知函数()()e e 0xf x x x=>．(1)求函数()f x 的最小值；(2)若不等式()ln 1f x x a x ≥++对于()1,x ∈+∞恒成立，求a 的取值范围．【解析】(1)求导：1e e 1e e ()x x f x x x++'=-，即e 1e ()(e)xf x x x +'=- 当()0,f x '<解得0e;x <<当()0,f x '>解得e x >()f x 的单调递减区间为()0,e ；单调递增区间为()e,+∞∴函数()f x 的最小值为(e)1f =(2)由（1）得()(e)1f x f ≥=，所以要使得()ln 1f x x a x ≥++恒成立，必须满足： (e)e lne 1e f a a ≥++⇒≤-，下面证明：当e a -≤时()ln 1f x x a x ≥++恒成立e a ≤e e ln 1l 1e n e e x x x a x x x x x ∴---≥-+-，∴只需证明e e eln 10x x x x-+-≥， 设e ()n 1e el x x x x x ϕ=-+-，则e e 1e e e e 11()()()1()e x x x x x x x x x x ϕ+⎛⎫'=---=⋅-⋅- ⎪⎝⎭由（1）得e e 10xx-≥且只在e x =取等号， ∴当0e x <<时，()0x ϕ'<，()ϕx 单调递减，∴当e x >时，()0x ϕ'>，()ϕx 单调递增 e ()()0x ϕϕ∴≥=.综上e a -≤．解法二：（变量分离）整理得：e1l e n xx x a x--≤ 只需m e in 1()l e n xx x a x--≤，先证明：e 1x x ≥+，构造()e 1x g x x =--，()e 1x g x '=-， 当0x >时，()0g x '≥，()g x 单调递增()(0)0g x g ≥=，从而证明得e 1x x ≥+ e ln e 11l e e e e n 11ln xx x x x x x x x x---=--≥-+--=-， 当仅且当n 0el x x -=即e x =处取得等号.e 1ln ln e e e ln xx x x x x---∴≥=-，∴e a -≤.， 解法三：（不分离）eln (ln )1e e eln 1(ln )10x x x x x x x a x --+-≥-+-+-≥得e a -≤下面证明当e a -≤时，e ln 10e xx a x x---≥ ∴只需证明e eeln 10xx x x -+-≥设e ()n 1e el xx x x xϕ=-+-， 则e e 1e e e e 11()()()1()e x xx x x x x x x x ϕ+⎛⎫'=---=⋅-⋅- ⎪⎝⎭由（1）得e e 10xx-≥且只在e x =取等号 ∴当0e x <<时，()0x ϕ'<，()ϕx 单调递减∴当e x >时，()0x ϕ'>，()ϕx 单调递增e ()()0x ϕϕ∴≥=.综上e a -≤．29．已知函数2213()ln ,()224f x x ax x g x x ax ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭. (1)若1a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；(2)若当1≥x 时，()()f x g x ≥恒成立，求a 的取值范围.【解析】(1)因为1()(1)ln 12f x x x x =-'+-，所以1(1)2'=-f ，又(1)0f =， 所以切线方程为1(1)2y x =--，即210x y +-= (2)由()()f x g x ≥知2213ln 2024x ax x x ax ⎛⎫--+≥ ⎪⎝⎭，因为1≥x 所以13ln (ln 2)24x x x a x -≥-，当2e x =时，R a ∈， 当2e x >时，13ln 24ln 2x x x a x -≤-，当21e x ≤<时，13ln 24ln 2x x x a x -≥- 构造函数13ln 24()ln 2x x x h x x -=-，2(2ln 5)(ln 1)()4(ln 2)x x h x x --'=- 当1e x <<时，()0h x '>，()h x 单调递增，当2e <e x <时，()0h x '<，()h x 单调递减， 故21e x ≤<时，max e ()(e)4h x h ==，因此e 4a ≥ 当522e e ,()0x h x '<<<，()h x 单调递减，当52e x >时，()0h x '>，()h x 单调递增，故2e x >时，5522min ()e e h x h ⎛⎫= ⎪⎭=⎝，因此52e a ≤，综上：52e ,e 4a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦30．已知函数()2ln ,f x x ax a R =-∈.(1)当0a =时，求曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程；(2)设函数()()ln 21g x f x x x =--+，若()0g x ≤在其定义域内恒成立，求实数a 的最小值；(3)若关于x 的方程()2ln f x x x =+恰有两个相异的实根12,x x ，求实数a 的取值范围，并证明121x x >.【解析】(1)当0a =时，()2ln f x x =，所以()2l 01n1=f =，()2f x x'=，所以()12f '=， 所以曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程为：()021y x -=-，即22y x =-(2)由题意得，()ln 21g x x ax x =--+，因为()0g x ≤在其定义域内恒成立，所以ln 210x ax x --+≤在()0,∞+恒成立，即ln 12x a x++≥在()0,∞+恒成立， 等价于ln 12maxx a x +⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，令()ln 1x h x x +=()0,∞+，所以()2ln x h x x -'=， 令()0h x '>解得01x <<，令()0h x '<解得1x >，所以函数()h x 在()0,1单调递增， 在()1,+∞单调递减，所以()()1=1h x h ≤，所以21a +≥，即1a ≥-，故a 的最小值为1-.(3)先证明必要性：由()2ln f x x x =+得2ln x ax x -=，即ln 0x x a x--=， 令()()ln 0x m x x a x x =-->，则()221ln x x m x x--'=， 设()21ln t x x x =--，则()12t x x x'=--，因为0x >，所以()0t x '<恒成立， 函数()t x 在()0,∞+单调递减，而()10t =，故在()0,1上()0t x >，()0m x '>， ()m x 单调递增，在()1,+∞上()0t x <，()0m x '<，()m x 单调递减，所以()()11max m x m a ==--.故方程()2ln f x x x =+恰有两个相异的实根只需：10a -->，所以实数a 的取值范围是(),1-∞-；再证明充分性：当(),1a ∞∈--时，方程()2ln f x x x =+恰有两个相异的实根，条件等价于2ln x ax x -=，即ln x x a x -=，即y a =与ln x y x x=-，当1a <-，0x >时有两个不同的交点，所以221ln x x y x--'=， 由上面必要性的证明可知函数在()0,1单调递增，在()1,+∞单调递减， 所以ln x y x x =-在0x >时的最大值为：ln11=11y =--，最小值趋近于负无穷， 所以当(),1a ∞∈--时，程()2ln f x x x =+恰有两个相异的实根，即充分性成立.下证：121x x >，不妨设12x x <，则1201x x <<<，2101x <<， 所以()121122111x x x m x m x x ⎛⎫>⇔>⇔> ⎪⎝⎭，因为()()120m x m x ==， 所以()()22122222221ln ln 1111x x m x m m x m x a a x x x x x ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪-=-=----- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭ 2222222222221lnln ln 11ln 1x x x x x x x x x x x x =--+=-++2222211ln x x x x x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭， 令()()11ln 1x x x x x x x ϕ⎛⎫=+-+> ⎪⎝⎭，则()211ln 0x x x ϕ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭， 所以()x ϕ在()1,+∞上单调递增，所以当1x >时，()()10x ϕϕ>=， 即2222211ln 0x x x x x ⎛⎫+-+> ⎪⎝⎭，所以()121m x m x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以121x x >.。