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• MATHEMATICS n数学第三章基本初等函数（I）3. 1指数与指数函数3. 1.1实数指数幕及其运算【课标要求】1.理解有理指数幕的含义，会用幕的运算法则进行有关运算.2.了解实数指数幕的意义.【核心扫描】1-根式与分数指数幕的互化.（重点）2.根式的性质.（易混点）3.有理指数幕运算性质的应用.（难点）KEQIANTANJIUXUEXI》课前探究学习挑战自我［点点落实自学导引1."次方根的概念（1）如果存在实数兀，使得心,则X叫做。
的〃次方根.（2）当紡有意义的时候，式子黑叫做根式,这里"叫做根指数,a叫做被开方数.2.根式的性质（1）（般）"=丄（卅＞1 且〃UN+）；（卅为奇数且〃＞1, 〃WN+）（〃为偶数且卅＞1, 〃UN+）\a\3.分数指数幕的定义:(1)规定正数的正分数指数幕的意义是：in _Q 去二(Q〉() 9 "、m w N 9 且刃〉1 )；(2)规定正数的负分数指数幕的意义是(°〉()山、m. e N * ,且几 > 1)；(3)0的正分数指数幕为(),0的负分数指数幕4.有理数指数幕的运算性质(l}aa=ar+s(a>0,厂、泻Q)；(2)@丫= _(a>0,厂、$WQ)；(3YabY=arbr(a>0, b>0,胆Q)・试一试：分数指数幕血及（乙（nN,且叫"互质）的底数有何取值范围？提不（帀='Q,当m为奇数时，底数a e R,当m为偶数时,dM（）;_2l_ ["〃‘二石亍当尬为奇数时，HO且＜/ e R，当肌为偶数时，a > 0.想一想：防（〃WN+）与（裁）"（”WN+）对任意实数a都有意义吗？提示式子勺刁（“WN+）对任意实数a都有意义；而式子（第）"（〃WN+）,当n为奇数时，对任意实数a都有意义；当n 为偶数时，对负数a没有意义.名师点睛1.根式紡的符号：根式紡的符号由根指数〃的奇偶性及被开方数Q的符号共同确定；当〃为偶数时，。
上0,紡为非负实数；当〃为奇数时, 第的符号与。
的符号一致.2.进行幕的运算方法：在进行幕和根式的化简时，一般是先将根式化成幕的形式, 并化小数指数幕为分数指数幕，并尽可能地统一成分数指数幕形式，再利用幕的运算性质进行化简、求值、计算，以利于运算，达到化繁为简的目的.对于根式计算结果，并不强求统一的表示形式.一般地用分数指数幕的形式来表示.如果有特殊要求，则按要求给出结果.但结果中不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数，即结果必须化为最简形式.拓展：有关指数幕的几个结论①°>0 时,a h>0；②aHO 时，a°=l；③若 a =a,贝lj r=5（hl7^1,且Q H0）・IIA KETANGJIANGLIANHUDONG ・・02》课堂讲练互动循循善诱i触类旁通题型一根式的运算【例1】求下列各式的值：(1)(V(3-7T)6；4 I ------------------------ --「(2)V81 x \/9T；(3)(迈V125)三坂［思路探索］属于“根式”的运算.解(1)(V(3 -7T)6 = 13-TT I=TT-3；(2)Vsi X = ；34 X (3T X T) ]T21 14 I4二(34+T)T =3T X T= 3T=3(^.(3)原式二(5T -5T) 4-5T2 13 1=5T三5兀一5丁三5丁2 I3 1 5 5二5了—丁-5T_T =5i2 一5丁二垢-5板规律方法对于既含有分数指数幕，又含有根式的式子，一般把根式统一化成分数指数幕的形式，以便于计算.如果根式中的根指数不同，也应化成分数指数幕的形式.【训练1】求下列各式的值: ⑴慣乔(2)勺(—9)2； (3)p(a—疔；(4) p5_2&+ 解(1)勺(-3)—-3.(2)A/C-9?=A/81= A/3?==3.a~b (a〉b) (3)寸(a—疔彳0 (a=b)b~a(oVb)2©寸5+2&・+边）2 = （羽一边）+ （书+边题型二分数指数幕的运算【例2】求下列各式的值(1)( - 3 寻)峙+ (0. 002)4 -10 x ( J5-2)-1 + ( J2-I 7(2)(0. ()08 [厂丁 _ [ 3 x (丄」x 飞1 -(x 25 + ( 383、丄「丄|〒厂了飞 - 1() x()・()27丁；8 9(3)(2 斗)。
+2J ・(2+)詁一(().()1 严.［思路探索］属于幕的运算性质及分数指数幕的运算.（2）原式二［（咅）4_丄_ 4(3 x 1 )-•34X (4> +1() 3" 1() T2 0 I i I （）解 （1）原式二（- 1厂亍（3疋厂亍+（时厂丁 一」-+ 1 8 500 5-227 2 I l二（W ）「丁+（5（）0）丁 一1（）（ 6 + 2） +1 ———I-10、尺—10 ^5 — 2() + 1 = ——-.1X(3(3)原式严+#x時汁一(需汁f 1 1 16=1 +T"7o =T5-规律方法1 •注意分数指数幕的运算过程中四则运算的先后顺序；先幕运算，再乘除，最后加减.2.运算结果一般用分数指数幕表示，同时也要将其化为最简形式.【训练2］计算下列各式in 2 亠（）37（1）（2+严+（）"+（2 矛）+ 亦.__L / 7、（）「（ _ 2 ）'］峙 + 16 ~"八 +（2）（0.（）64）一3 _ （ _ 育）+ _（丿」I _（）・（）1 I 2 ・rzL37解（1）原式=（V）T+（T1?+ 27 - ■'48（）（）+ l6 J 十佬二丁+ ［（2）原式=0.4-' 一1 + （-2厂4 +「+（）• 110 | . 1丄+丄二空.=7■- "16 8 10 8（）题型三求值问题【例3】已知a寺+a 厂了= 2.求：(1 ) d + a -" ； (2) a2 +(i ~2审题指导本题考查了幕的运算性质及完全平方公式. 【解题流程】启+ a■二2 ---------- 两边平方得a + a~[ = 2 -- 》将(I +(i~ 1 - 2再两边平方求(t~ +(i~ 2》_ 规范解答］法一(1 =((1^ +-2 - 2~ - 2 =2.a + a~［二 2. ...................................... ............................. 4 分(2) a2 + a ~2 - ( a + rz ~1 )2— 2 = 22 - 2 二 2.a2 +a~2 =2・...................................................................... 8 分法二(1) i aT+a'T =29即Ja + — = 2，两边同乘以Ja,得a - 2 Ja + 1 = 0,(3)( a - a~~- a + a_ 2 二(~ -4 =0. ..................................................................................................................................... 12分【题后反思】CD 注意平方的相对性（°扌尸二^（口-亍尸二（（ 且a 与a 一"互为倒数②完全平方和、平方差等公式对分数指数猱仍然适用.Ja即(忆-1 )2 = 0, ］a = 1，/. a = 1.・・・a =1 + 1 = 1 + 1 =2. ........................................... 4分(2) rh ( I ) a 二 1 ，二(i 2 + a ~2 = 1 + 1 "2 = 2. .................... 8 分【训练3】已知+a'T=3,求下列各式的值:3 3解(1)将** +“詁二3两边平方，得a +「+2二9, 即 a +(i~x -7.(2)由于(A二(aT)3 -(aV)3,所以丄 _丄丄 _丄(辽- a ~T (i2 - a~l -a + a + 1 二8.方法技巧转化与化归思想在化简题中的应用在进行幕和根式的化简时，一般是先将根式向分数指数幕转化，将小数指数幕化为分数指数幕，并尽可能地统一成分数指数幕的形式，再进行运算化简.［示例】化简"丁 -（匚里二4.（厂亍• > I） hAC HUOYEGUIFANXUNLIAN03》活页规范训练［思路分析］根据有理数指数幕的运算法则化简.方法点评化简题目要明确转化的方向，如本题中都化为分 数指数幕，然后利用运算法则进行化简.解原式 2 1a~・庐 i r a~T ・ I)- I1) - (12二（用/帀三（（"）二（用」/用」二（用/厂十.单击此处进入AC HUOYEGUIFANXUNLIAN03》活页规范训练限时巩固i节节攀登。
