高中数学学案：基本不等式及其简单应用(1)

3.4.2 基本不等式的应用（一）2一、知识与技能1.利用基本不等式证明一些简单不等式，巩固强化基本不等式2ba ab +≤；2.从不等式的证明过程去体会分析法与综合法的证明思路；3.对不等式证明过程的严谨而又规范的表达二、过程与方法1.采用探究法，按照联想、类比、思考、交流、逻辑分析、抽象应用的方法进行启发式教学；2.教师提供问题、素材，并及时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用；3.设计较典型的具有挑战性的问题，激发学生去积极思考，从而培养他们的数学学习兴趣三、情感态度与价值观1.通过具体问题的解决，让学生去感受、体验不等式的证明过程需要从理性的角度去思考，通过设置思考项，让学生探究，层层铺设，使学生感受数学、走进数学、培养学生严谨的数学学习习惯和良好的思维习惯；2.学习过程中，通过对问题的探究思考，广泛参与，培养学生严谨的思维习惯，主动、积极的学习品质，从而提高学习质量；3.通过对富有挑战性问题的解决，激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度，同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘，数学的简洁美，数学推理的严谨美，从而激发学生的学习兴趣2ba ab +≤； 2.对不等式证明过程的严谨而又规范的表达； 3.从不等式的证明过程去体会分析法与综合法的证明思路教学难点1.利用基本不等式证明一些简单不等式，巩固强化基本不等式2ba ab +≤； 2.对不等式证明过程的严谨而又规范的表达； 3.从不等式的证明过程去体会分析法与综合法的证明思路投影仪、胶片、三角板、刻度尺导入新课师 前一节课，我们通过问题背景，抽象出了不等式a 2+b 2≥2ab (a 、b ∈R)，然后以数形结合思想为指导，从代数、几何两个背景推导出基本不等式2b a ab +≤.本节课，我们将利用基本不等式2ba ab +≤ 来尝试证明一些简单的不等式(此时，老师用投影仪给出下列问题推进新课问题1.已知x 、y 都是正数，求证：(1)2≥+yxx y ； (2)（x ＋y ）（x 2＋y 2）（x 3＋y 3）≥８x 3y 3师 前面我们研究了可以用不等式和实数的基本性质来证明不等式，请同学们思考一下，第一小问是否可以用不等式和实数的基本性质来证明此不等式呢？ （思考两分钟） 生 不可以证明师 是否可以用基本不等式证明呢？ 生 可以（让学生板演，老师根据学生的完成情况作点评） 解：∵x 、y 都是正数，∴0＞y x ，0＞x y .∴22=∙≥+xy y x x y y x ，即2≥+xyy x师 这位同学板演得很好.下面的同学都完成了吗？ （齐声：完成） ［合作探究］师 请同学继续思考第二小问该如何证明？它是否能用一次基本不等式就能证明呢？（引导同学们积极思考）生 可以用三次基本不等式再结合不等式的基本性质师 这位同学分析得非常好.他对要证不等式的特征观察的很细致、到位生 ∵x ，y 都是正数，∴x 2＞0，y 2＞0，x 3＞0，y 3＞0.∴x ＋y ≥2xy ＞0，x 2＋y 2≥2x 2y 2＞0, x 3+y 3≥2x 3y 3＞0.∴可得（x ＋y ）（x 2＋y 2）（x 3＋y 3）≥2xy ·222y x ·222y x ＝８x 3y 3，即（x ＋y ）（x 2＋y 2）（x 3＋y 3）≥８x 3y3师 这位同学表达得非常好，思维即严谨又周到（在表达过程中，对条件x ，y 都是正数往往忽视） 师 在运用定理：ab ba ≥+2时，注意条件a 、b 均为正数，往往可以激发我们想到解题思路，再结合不等式的性质(把握好每条性质成立的条件)进行变形，进而可以得证(此时，老师用投影仪给出下列问题问题3.求证：2)2(222b a b a +≤+（此处留的时间可以长一些，意在激发学生自主探究问题，把探究的思维空间切实留给学生）师 利用完全平方公式，结合重要不等式：a 2＋b 2≥2ab ，恰当变形，是证明本题的关键（让学生板演，老师根据学生的完成情况作点评）解：∵a 2＋b 2≥2ab ，∴2（a 2＋b 2）≥a 2＋b 2＋2ab ＝（a ＋b ）2.∴2（a 2＋b 2）≥（a ＋b ）2不等式两边同除以4，得222b a +≥2)2(b a +，即2)2(222b a b a +≤+师 下面同学都是用这种思路解答的吗？ 生 也可由结论到条件去证明，即用作差法师 这位同学答得非常好，思维很活跃，具体的过程让同学们课后去完成［课堂练习］1.已知a 、b 、c 都是正数，求证：（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥８ab分析：对于此类题目，选择定理：ab ba ≥+2（a ＞0，b ＞0）灵活变形，可求得结果.∵a 、b 、c 都是正数，∴a ＋b ≥2ab ＞0,b ＋c≥2bc ＞0,c+a ≥2ac ＞∴（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥2ab ·2bc ·2ac ＝８ab即（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥８ab［合作探究］2.已知（a ＋b ）（x ＋y ）＞2（ay ＋bx ），求证：2≥--+--yx ba b a y x（老师先分析，再让学生完成） 师 本题结论中，注意yx ba b a y x ----与互为倒数，它们的积为1，可利用公式a ＋b ≥2ab ，但要注意条件a 、b 为正数.故此题应从已知条件出发，经过变形，说明yx ba b a y x ----与为正数开始证题(在教师引导下，学生积极参与下列证题过程生 ∵（a ＋b ）（x ＋y ）＞2（ay ＋bx ）∴ax ＋ay ＋bx ＋by ＞2ay ＋2bx∴ax －ay ＋by －bx ＞∴（ax －bx ）－（ay －by ）＞ ∴（a －b ）（x －y ）＞即a －b 与x －y 同号∴yx ba b a y x ----与均为正数 ∴22=--∙--≥----yx ba b a y x y x b a b a y x 与 (当且仅当y x b a b a y x --=--时取“＝∴2≥--+--yx ba b a y x师生共析 我们在运用重要不等式a 2＋b 2≥2ab 时，只要求a 、b 为实数就可以了.而运用定理：“2ba +≥ab ”时，必须使a 、b 满足同为正数.本题通过对已知条件变形(恰当地因式分解)，从讨论因式乘积的符号来判断yx ba b a y x ----与是正还是负，是我们今后解题中常用的方法课堂小结师 本节课我们研究了什么问题？同学们在本节课的研究过程中有什么收获呢？生 我们以基本不等式为基础，证明了另外一些重要、常用的不等式，并且在证明过程中进一步巩固了证明不等式常用的思想方法.（教师提出对重要、常用不等式的掌握要求）师 本节课我们用到重要不等式a 2＋b 2≥2ab ；两正数a 、b 的算术平均数（2b a +），几何平均数（ab ）及它们的关系)2(ab ba ≥+证明了一些不等式，它们成立的条件不同，前者只要求a 、b 都是实数，而后者要求a 、b 都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具(下一节我们将学习它们的应用).我们还可以用它们下面的等价变形来解决问题：222b a ab +≤，2)2(b a ab +≤师 同学们课后要进一步领会这些重要不等式成立的前提条件如何用.为下一节课基本不等式的实际应用打下坚实的基础布置作业课本第116页，Ｂ组第1题基本不等式2ba ab +≤的应用（一） 复习引入 例1 方法归纳基本不等式 例22ba ab +≤方法引导 小结 实例剖析（知识方法应用）示范解题利用基本不等式证明一些简单不等式，巩固强化基本不等式2ba ab +≤.以数学知识为载体，对学生的逻辑思维能力，各种思想方法的掌握，进而提高学生的数学素质与数学素养，这是高中数学教学的一项主要任务.在本节课的教学过程中，对一些不等式的证明不是直接给出，而是以设问方式的变化，引导学生思考，通过由特殊到一般的探索规律去解决问题。

基本不等式及其应用教案教学目的(1)使学生掌握基本不等式a2＋b2≥2ab(a、b∈R，当且仅当a=b时取“=”号)和a3＋b3＋c3≥3abc(a、b、c∈R+，当且仅当a=b=c时取“=”号)及其推论，并能应用它们证明一些不等式．(2)通过对定理及其推论的证明与应用，培养学生运用综合法进行推理的能力．教学过程一、引入新课师：上节课我们学过证明不等式的哪一种方法？它的理论依据是什么？生：求差比较法，即师：由于不等式复杂多样，仅有比较法是不够的．我们还需要学习一些有关不等式的定理及证明不等式的方法．如果a、b∈R，那么(a－b)2属于什么数集？为什么？生：当a≠b时，(a－b)2＞0，当a=b时，(a－b)2=0，所以(a－b)2≥0．即(a－b)2∈R+∪{0}．师：下面我们根据(a－b)2∈R+∪{0}这一性质，来推导一些重要的不等式，同时学习一些证明不等式的方法．二、推导公式1．奠基师：如果a、b∈R，那么有(a－b)2≥0．①把①左边展开，得a2－2ab＋b2≥0，∴a2＋b2≥2ab．②②式说明两个实数的平方和不小于它们的积的2倍．这就是课本中介绍的定理1，它是一个很重要的绝对不等式，对任何两实数a、b都成立．由于取“=”号这种特殊情况，在以后有广泛的应用，因此通常要指出“=”号成立的充要条件．②式中取等号的充要条件是什么呢？师：充要条件通常用“当且仅当”来表达．“当”表示条件是充分的，“仅当”表示条件是必要的．所以②式可表述为：如果a、b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”号)．以公式①为基础，运用不等式的性质推导公式②，这种由已知推出未知(或要求证的不等式)的证明方法通常叫做综合法．以公式②为基础，用综合法可以推出更多的不等式．现在让我们共同来探索．2．探索师：公式②反映了两个实数平方和的性质，下面我们研究两个以上的实数的平方和，探索可能得到的结果．先考查三个实数．设a、b、c∈R，依次对其中的两个运用公式②，有a2＋b2≥2ab；b2＋c2≥2bc；c2＋a2≥2ca．把以上三式叠加，得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca③(当且仅当a=b=c时取“=”号)．以此类推：如果a i∈R，i=1，2，…，n，那么有④(当且仅当a1=a2=…=a n时取“=”号)．④式是②式的一种推广式，②式就是④式中n=2时的特殊情况．③和④式不必当作公式去记，但从它们的推导过程中可以学到一种处理两项以上的和式问题的数学思想与方法——迭代与叠加．3．再探索师：考察两个以上实数的更高次幂的和，又能得到什么有趣的结果呢？先考查两个实数的立方和．由于a3＋b3=(a＋b)(a2－ab＋b2)，启示我们把②式变成a2－ab＋b2≥ab，两边同乘以a＋b，为了得到同向不等式，这里要求a、b∈R+，得到a3＋b3≥a2b＋ab2．⑤考查三个正实数的立方和又具有什么性质呢？生：由③式的推导方法，再增加一个正实数c，对b、c，c、a迭代⑤式，得到b3＋c3≥b2c＋bc2，c3＋a3≥c2a＋ca2．三式叠加，并应用公式②，得2(a3＋b3＋c3)≥a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)＋c(a2＋b2)≥a·2bc＋b·2ca＋c·2ab=6abc．∴a3＋b3＋c3≥3abc⑥(当且仅当a=b=c时取“=”号)．师：这是课本中的不等式定理2，即三个正实数的立方和不小于它们的积的3倍．同学们可能想到n个正实数的立方和会有什么结果，进一步还会想到4个正数的4次方的和会有什么结果，直至n个正数的n次方的和会有什么结果．这些问题留给同学们课外去研究．4．推论师：直接应用公式②和⑥可以得到两个重要的不等式．⑦(当且仅当a=b时取“=”号)．这就是课本中定理1的推论．⑧(当且仅当a=b=c时取“=”号)．这就是课本中定理2的推论．当a i∈R+(i=1，2，…，n)时，有下面的推广公式(在中学不讲它的证明)⑨(当且仅当a1=a2=…=a n时取“=”号)．何平均数．⑨式说明：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．这是一个著名的平均数不等式定理．现在只要求同学掌握n=2、3时的两个公式，即⑦和⑧．三、小结(1)我们从公式①出发，运用综合法，得到许多不等式公式，其中要求同学熟练掌握的是公式②、⑥、⑦、⑧．它们之间的关系可图示如下：(2)上述公式的证法不止综合法一种．比方公式②和⑥，在课本上是用比较法证明的．又如公式⑦也可以由①推出；用⑦还可以推出⑧；由⑦、⑧也可以推出②、⑥．但是不管哪种推导系统，其理论基础都是实数的平方是非负数．四个公式中，②、⑦是基础，最重要．它们还可以用几何法或三角法证明．几何法：构造直角三角形ABC，使∠C=90°，BC=a，AC=b(a、b∈R+)，则a2＋b2=c2表示以斜边c为边的正方形的面积．而如上左图所示，显然有(当且仅当a=b时取“=”号，这时Rt△ABC等腰，如上右图)．这个图是我国古代数学家赵爽证明勾股定理时所用过的“勾股方圆图”，同学们在初中已经见过．三角法：在Rt△ABC中，令∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b，则2ab=2·c sin A· c sin B=2c2sinAcos A=c2·sin2A≤c2=a2＋b2 (∵sin2A≤1)(当且仅当sin2A=1，A=45°，即a=b时取“=”号)．三、应用公式练习1．判断正误：以下问题的解法对吗？为什么？如果不对请予以改正．a、b∈R+．假设tgα、ctgα∈R+．解法就对了．这时需令α是第一、三象限的角．]改条件使a、b∈R+；②改变证法．a2＋ab＋b2≥2ab＋ab=3ab．]师：解题时，要根据题目的条件选用公式，特别注意公式中字母应满足的条件．只有公式①、②对任何实数都成立，公式⑥、⑦、⑧都要求字母是正实数(事实上对非负实数也成立)．2．填空：(1)当a________时，a n＋a－n≥________；(3)当x________时，lg2x＋1≥_________；(5)tg2α＋ctg2α≥________；(6)sinxcosx≤________；师：从上述解题中，我们可以看到：(1)对公式中的字母应作广义的理解，可以代表数，也可以代表式子．公式可以顺用，也可以逆用．总之要灵活运用公式．(2)上述题目中右边是常数的，说明左边的式子有最大或最小值．因此，在一定条件下应用重要不等式也可以求一些函数的最大(小)值．(3)重要不等式还可以用于数值估计．如说明任何自然数的算术平方根不大于该数加1之半．。

上海教育版数学高一上2.4《基本不等式及其应用》word教案2篇2.4（1）基本不等式及其应用一、教学内容分析基本不等式及其应用是高中教材中的一个重要内容.尽管基本不等式本身的证明并不困难，但它却是今后学习诸如不等式证明、求函数最值等时的有力工具，因此牢固掌握这两个基本不等式的形成、关系和变式等都是十分重要的.二、教学目标设计1、掌握两个基本不等式：a2+b2≥2ab（a、b∈R）、a+b2≥ab（a、b为任意正数），并能用于解决一些简单问题.2、理解两个基本不等式相应的几何解释.初步理解代换的数学方法.3、在公式的探求过程中，领悟数形结合的数学思想，进一步体会事物之间互相联系及一定条件下互相转化等辨证唯物主义观点.三、教学重点及难点重点两个基本不等式的知识发生过程和证明；基本不等式的应用.难点基本不等式的应用.四、教学用具准备电脑、投影仪五、教学流程设计新课引入基本不等式1及其证明基本不等式1的图形解释图形引入基本不等式2基本不等式2的证明基本不等式的简单应用（探索）课堂小结作业布置（含课外思考）六、教学过程设计一、新课引入在客观世界中，有些量的大小关系是永远成立的.例如，3>2、a2≥0（a∈R）、三角形任意两边之和大于第三边、三角形任意两边0 .当 ab 时， a bb之差小于第三边等等.二、新课讲授1、基本不等式 1基本不等式 1 对于任意实数 a 和 b ，有 a 2（1）基本不等式 1 的证明b 22ab ，当且仅当 a b 时等号成立.证明：因为 a 2b 2 2ab a b20 ，所以 a 2 b 2 2ab .当 ab 时， a b2 20 .所以，当且仅当 ab 时， a 2b 2 2ab 的等号成立.（2）基本不等式 1 的几何解释① 解释 1边长为 a 的正方形面积与边长为 b 的正方形面积之和大于等于以a 、b 为邻边长的矩形面积的 2 倍（当且仅当 ab 时等号成立）A已知正方形 ABCD ，分别在边 AD 、边 DC 上取点 E 、F ，使得 DE DF . 分别过点 E 、 F 作 EG BC 、FHAB ，垂足为 G 、 H . EG 和 HF 交于点 M .由几何画板进行动态计算演示，得到阴影部分的面积剩余部分的面积，当且仅当点 E 移至 AD 中点时等号成立.aMH FbB G C② 解释 2某届数学大会的会徽怎样的？三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中对勾股定理的证明可用现代数学表述为：如图所示，以 a 、b 、c 分别表示勾、股、弦，那么，ca b 表示“弦图”中两块“朱实”的面积， b a表示“中黄实”a中黄实的面积. 于是，从图中可明显看出，四块“朱实”的面积加上一个“中黄实”的面积就等于以 c 为边长的正方形“弦实”的面积，即朱实“弦图”的现代数学图示(a≥0，所以a+b≥ab.证明：因为a+b-2ab=(a-b )=0.当a≠b时，(a-b)>0.当a=b时，(a)+(b)≥2c2=(b-a)2+2ab=b2-2ab+a2+2ab=a2+b2[这就是勾股定理的一般表达式.由图可知：以c为边长的正方形“弦实”的面积≥四块“朱实”的面积即，a2+b2≥2ab（当且仅当a=b时等号成立）.2、基本不等式2观察下面这个几何图形.已知半圆O，D是半圆上任一点，AB是直径.DC O过D作DC⊥AB，垂足为C.显然有线段OD的长度大于等于垂线段DC的长度.A a b B设AC=a，CB=b，请用a、b来表示上述这个不等关系.（即且仅当a=b时等号成立.）a+b2≥ab，当基本不等式2对于任意正数a、b，有a+b2≥ab，当且仅当a=b时等号成立.我们把a+b2和ab分别叫做正数a、b的算术平均数和几何平均数.因此基本不等式2也可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.（1）基本不等式2的证明2222所以，当且仅当a=b时，a+b≥ab的等号成立. 2另证：因为a、b为正数，所以a、b均存在.由基本不等式1，得22a b，当且仅当a=b时等号成立.即a+b2≥ab，当且仅当a=b时等号成立.（2）基本不等式2的扩充证明：因为ab>0，所以a、b同号，并有>0，>0.矩形面积S=ab，正方形面积S'= ?≥ab，又由不等式的性质得?≥(ab)，即S'≥S.对于任意非负数a、b，有a+b≥ab，当且仅当a=b时等号成立. 2例1已知ab>0，求证：b a+≥2，并指出等号成立的条件.a bb aa b所以，b a b a b a+≥2?=2.当且仅当=，即a=b≠0时等号成立.a b a b a b[说明]1、体会代换的方法.2、用语言表述上述结论.3、思考：若ab<0，则代数式b a b a+的取值范围是什么？（+≤-2，当且仅当a b a ba=-b≠0时等号成立.）3、两个基本不等式的简单应用（1）几何问题例2在周长保持不变的条件下，何时矩形的面积最大？猜想：由几何画板电脑演示得出.A中点C折点MB解：设矩形的长、宽分别A aMbM'B为a、b（a、b∈R+）且a+b=m（定值），则同样周长的正方形的边长为a+b?22?a+b 2.由基本不等式2，得a+b?a+b?22?2?2由题意， a + b = m （定值），所以S ≤ ? = （定值）.当且仅当a = b ，即矩1 ? 1 ? y = x (1 - x ) = - x2 + x = - x - ? + （ 0 < x < 1 ），得0 < y ≤m ?2 m 2 ? 2 ?4形为正方形时，矩形的面积最大.[说明]当两个正数的和为定值时，它们的积有最大值.例如，若 0 < x < 1 时，有 x (1 - x ) ≤1 1，当且仅当 x = 时等号成立 .（事实上，由 4 22 ?2 ?411 ，当且仅当 x = 时等4 2号成立.）三、课堂小结略四、作业布置1、练习 2.4（1）2、思考题（1）通过查阅资料，了解这两个基本不等式其它的几何解释.（2 ）在面积保持不变的条件下，正方形的周长与矩形的周长之间有什么大小关系？（3）整理一些基本不等式的常用变式并给出证明.七、教学设计说明本堂课是《基本不等式及其应用》的第一节课，在学生熟练掌握不等式性质的前提下，介绍了两个基本不等式及其初步应用.尽管对于基本不等式而言证明不困难，但它却是今后学习诸如不等式证明、求函数最值等时的有力工具，因此牢固掌握这两个基本不等式是十分重要的.为了避免单纯地讲授基本不等式，本堂课借助计算机软件，采用以几何图形辅助代数知识讲授，由数到形，再由形到数的设计思路，将两个基本不等式的证明、解释及其在应用时的注意点穿插其中，并通过几何解释加强对基本不等式的感性认识，从而达到较好的教学效果.整堂课主要采用“观察——猜测——归纳——证明”的探索流程，让学生通过观察两式的大小关系、几何图形中线段的长度来猜测相应的结论，最后再由讨论、归纳得出两个基本不等式.在教学过程中始终“关注学生的思维发展”.例如，将教科书上例1的证明题改成了一道探索题，通过对有关过程的设计，进而培养学生自行探索、解决问题的能力.此外，为了培养学生“观察——猜测”的能力，借用了几何画板的有关功能，帮助学生进行有关的猜想与验证，使学生始终处于自我发现、自我探索的过程中.通过整堂课的教学，不仅要求学生对有关知识点的掌握，此外还对应初步理解代换的数学方法有一定要求，并在公式的探求过程中，继续领悟数形结合的数学思想.2.4（2）基本不等式及其应用一、教学目标设计1、进一步掌握两个基本不等式：a2b22ab（a、b R）、a b2ab（a、b为任意正数）2、利用基本不等式解决一些简单问题，如求最值或求取值范围的简单问题以及简单不等式的证明.3、进一步理解代换的数学方法.二、教学重点及难点基本不等式的简单应用.三、教学流程设计复习回顾基本不等式的应用（几何问题）基本不等式的应用（代数证明）拓广引申课堂小结作业布置（含课外思考）四、教学过程设计一、复习基本不等式1对于任意实数a和b，有a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时等号成立.基本不等式2对于任意正数a、b，有a+b2≥ab，当且仅当a=b时等号成立.我们把a+b2和ab分别叫做正数a、b的算术平均数和几何平均数.因此基本不等式2也可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.[说明]复习过程中需强调三点：1、两个基本不等式各自适用的范围.2、两个基本不等式各自等号成立的条件.3、两个基本不等式之间的联系.二、新课讲授（2）几何问题根据上节课的讨论，我们知道在周长保持不变的条件下，当且仅当矩形相邻两边相等即为正方形时，其面积最大.很自然我们会考虑下面的问题.例3在面积保持不变的条件下，何时矩形的周长最小？解：设矩形的长、宽分别为a、b（a、b∈R+）且ab=m（定值），则同样面积的正方形的边长为ab.矩形周长C=2(a+b)，正方形周长C'=4ab.由基本不等式2，得a+b≥ab，又由不等式的性质得2(a+b)≥4ab，即C≥C'. 2由题意，ab=m（定值），所以C≥4m（定值）.当且仅当a=b，即矩形为正方形时，矩形的周长最小.[说明]当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值.例如，若x≠0时，x+1≥2，当且仅当x=±1时等号成立.（一方面当x>0时，有x≥ 2，当且仅当 x = 1 时等号成立 .另一方面当 x < 0 时，有 (- x )+ - ? ≥ 2 ，即 c ca1 12 2x + 1 ? 1 ? x ? x ?x + 1 x≤ -2 ，当且仅当 x = -1 时等号成立.）两个正数的和为定值，则它们的积有最大值；两个正数的积为定值，则它们的和有最小值.这两个结论常常用于求解最值问题.在具体应用时，要注意“一正、二定、三等号”.（2）代数证明例 4 求证：对于任意实数a 、b 、 c ，有a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab +bc +ca ，当且仅当 a = b = c时等号成立证明：由基本不等式 1，得a 2 +b 2 ≥ 2ab ， b 2 +c 2 ≥ 2bc ，a 2 + c 2 ≥ 2ac ，把上述三个式子的两边分别相加，得 2 (a 2 +b 2 +c 2 )≥ 2 (ab + bc + ca ) ，即a 2 +b 2 +c 2 ≥ a b + b + ，当且仅当 a = b = c 时等号成立.另证： (a2+ b 2 + c 2)- (ab + bc + ca ) = 1 (2a 2+ 2b 2+ 2c 2- 2ab - 2bc - 2ca )2= 1 ?(a -b )2 + (b -c )2 + (a - c )2 ? ≥ 0 . 2 ? ?即a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca ，当且仅当 a = b = c 时等号成立.例 5 均值不等式链设 a 、b ∈ R + ，则 2 a+ b a 2 +b 2+a b≤ ab ≤ ≤（调和均值≤ 几何均值≤ 算术均值≤ 平方均值），当且仅当 a = b 时等号成立.证明：（1）由 a 、b ∈ R + ，得 1 1+a b ≥ 2 1 1 1 2= ? a b ab 1 1+a b≤ ab ，当且仅当a = b 时等号成立（2）ab ≤a + b2，当且仅当 a = b 时等号成立，已证.)≥(a+b)2=a+b1122①ab≤ ?，当且仅当a=b时等号成立.a+b?≥2ab?(a+b)2≥4ab?ab≤ ?，当且仅当a=b时等号+b 2≥a+b不等式a+b（3）由a2+b2≥2ab?2(a2+b22?a2+b2(a+b)2≥24a2+b22≥(a+b)24=a+b2.所以，当a、b∈R+时，有a+b a2+b2≤22，当且仅当a=b时等号成立.综合（1）、（2）、（3）得，当a、b∈R+时，有且仅当a=b时等号成立.[说明]事实上当a、b∈R时，有：a+b?22?2a+ba2+b2+a b≤ab≤≤，当②a2+b2a+b a+b≥≥222.证明：①由a22成立.?2?2②由a2+b2≥2ab?2(a2+b2)≥(a+b)2a2+b2(a+b)2≥24a2+b22≥(a+b)24=a+b2.即，a2+b2a+b a+b≥≥222.不等式a2+b2a+b≥22等号成立当且仅当a=b.a+b≥等号成立当且仅当a+b≥0. 22t 1 (1 + b ? 1 = ta +b )。

高中数学基本不等式教案设计（优秀3篇）篇一：高中数学教学设计篇一教学目标1、明确等差数列的定义。

2、掌握等差数列的通项公式，会解决知道中的三个，求另外一个的问题3、培养学生观察、归纳能力。

教学重点1、等差数列的概念；2、等差数列的通项公式教学难点等差数列“等差”特点的理解、把握和应用教具准备投影片1张教学过程（I）复习回顾师：上两节课我们共同学习了数列的定义及给出数列的两种方法通项公式和递推公式。

这两个公式从不同的角度反映数列的特点，下面看一些例子。

（放投影片）（Ⅱ）讲授新课师：看这些数列有什么共同的特点？1，2，3，4，5，6；①10，8，6，4，2，…；②生：积极思考，找上述数列共同特点。

对于数列①（1≤n≤6）；（2≤n≤6）对于数列②—2n（n≥1）（n≥2）对于数列③（n≥1）（n≥2）共同特点：从第2项起，第一项与它的前一项的差都等于同一个常数。

师：也就是说，这些数列均具有相邻两项之差“相等”的特点。

具有这种特点的数列，我们把它叫做等差数。

一、定义：等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与空的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。

如：上述3个数列都是等差数列，它们的公差依次是1，—2……二、等差数列的通项公式师：等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得。

若一等差数列的首项是，公差是d，则据其定义可得：若将这n—1个等式相加，则可得：即：即：即：……由此可得：师：看来，若已知一数列为等差数列，则只要知其首项和公差d，便可求得其通项。

如数列①（1≤n≤6）数列②：（n≥1）数列③：（n≥1）由上述关系还可得：即：则：=如：三、例题讲解例1：（1）求等差数列8，5，2…的第20项（2）—401是不是等差数列—5，—9，—13…的项？如果是，是第几项？解：（1）由n=20，得（2）由得数列通项公式为：由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n，使得—401=—5—4（n—1）成立解之得n=100，即—401是这个数列的第100项。

第32课时基本不等式的应用（1）【学习目标】1．利用平均值不等式求最大最小值，是对“能取等号”而言的.要注意不能取等号的情况. 2．最值定理如果a,b∈R+,a·b=P(定值),当且仅当a=b时,a+b有最小值____________;如果a,b∈R+,且a+b=S(定值),当且仅当a=b时,ab有最大值____________.【问题情境】1．若a,b∈R,则a2+b2≥2ab,当且仅当__________时取等号.2．设a,b∈R+,则称__________为a,b的算术平均值；称__________为a,b的几何平均值. 3．基本不等式的原形与变形①2ba+≥ab (当且仅当a=b时取等号)为原形.②变形有:a+b≥________；ab≤___________,当且仅当_________时取等号. 【展示点拨】用长为4a的铁丝围成一个矩形，怎样才能使所围成矩形的面积最大？【合作探究】例1 (1) 若x>0,求9()4f x xx=+的最小值; (2)若x<0,求9()4f x xx=+的最大值.例2．若x>0,y>0,且281x y+=,求xy的最小值.【学以致用】若1->x ，则x 为何值时11++x x 有最小值，最小值为多少？第32课时 基本不等式的应用（1）1．.函数y=x x 4+(x>0)的最小值为_______;2．.函数y=x x 4+ (321≤≤x ) 的最大值与最小值分别为_______;3．已知a>3,则____34的最小值为a a +-;4．函数21222+++=x x y 的最小值为_________;5．若等式1cos 22x x θ+=成立，则实数x 为_________.6．已知)0,0(235>>=+y x y x ，则xy 的最小值是 。

7．函数)0(321<--=x x x y 值域 。

基本不等式（1）教学目标(a)知识与技能：理解两个实数的平方和不小于它们之积的2倍的不等式的证明；理解两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的证明以及它的几何解释(b)过程与方法 ：本节学习是学生对不等式认知的一次飞跃。

要善于引导学生从数和形两方面深入地探究不等式的证明，从而进一步突破难点。

变式练习的设计可加深学生对定理的理解，并为以后实际问题的研究奠定基础。

两个定理的证明要注重严密性，老师要帮助学生分析每一步的理论依据，培养学生良好的数学品质(c)情感与价值：培养学生举一反三的逻辑推理能力，并通过不等式的几何解释，丰富学生数形结合的想象力（2）教学重点、难点教学重点：两个不等式的证明和区别教学难点：理解“当且仅当a=b 时取等号”的数学内涵（3）学法与教学用具先让学生观察常见的图形，通过面积的直观比较抽象出基本不等式。

从生活中实际问题还原出数学本质，可积极调动地学生的学习热情。

定理的证明要留给学生充分的思考空间，让他们自主探究，通过类比得到答案直角板、圆规、投影仪（多媒体教室）（4）教学设想1、设置情境(投影出图3.4-1)同学们,这是北京召开的第24届国际数学家大会的会标，大家想一想,你能通过这个简单的风车造型中得到一些相等和不等关系吗?提问1:我们把“风车”造型抽象成图3.4-2.在正方形ABCD 中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的长为a 、b ，那么正方形的边长为多少？面积为多少呢？生答：22a b +提问2：那4个直角三角形的面积和呢？生答：2ab提问3：好，根据观察4个直角三角形的面积和正方形的面积，我们可得容易得到一个不等式，222a b ab +≥。

什么时候这两部分面积相等呢？生答：当直角三角形变成等腰直角三角形，即a b =时，正方形EFGH 变成一个点，这时有222a b ab +=2、新课讲授（1）（板书）一般地，对于任意实数 a 、b ，我们有222a b ab +≥，当且仅当a b =时，等号成立。

基本不等式实际应用举例【学习目标】1．知识与技能（1）能够运用基本不等式解决生活中的应用问题；（2）进一步掌握用基本不等式求函数的最值问题；（3）审清题意，综合运用函数关系、不等式知识解决一些实际问题。

2．过程与方法整堂课要围绕分析题意、设未知量、找出数量关系进行求解这个中心来进行。

3．情感、态度与价值观（1）引发学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德；（2）进一步培养学习数学、应用数学的意识以及思维的创新性和深刻性。

【学习重难点】重点：对由基本不等式推导出的命题的理解以及利用此命题求某些函数的最值。

突破重点的关键是对基本不等式的理解。

难点：理解利用基本不等式求最值时的三个条件“一正，二定，三相等”。

【学习过程】自主学习【问题导思】若a＞0，b＞0，则ab、错误!2、错误!的大小关系如何？1．若a∈R，b∈R，则a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时等号成立。

2．若a>0，b>0则ab≤错误!2≤错误!，当且仅当a＝b时等号成立。

3．若a>0，b>0，则错误!≤ 错误!≤ 错误!，当且仅当a＝b时等号成立。

互动探究例1．长为50米的钢丝，截开后分别围成两个正方形，设两个正方形的边长分别为m，m，例2．某商场预计全年分批购入每台价值2 000元的电视机共3 600台，每批都购入台∈N*，且每批均需运费400元，贮存购入的电视机全年所付保管费与每批购入的电视机的总价值（不包括运费）成正比，若每批购入400台，则全年需用运输和保管总费用43600元。

现在全年只有24000元资金可以用于支付这笔费用，能否恰当地安排每批进货的数量，使资金够用？【思路探究】首先建立总费用与每批进货量之间的函数关系，再由基本不等式求总费用的最小值，与所给24000元比较。

规律方法1．本题中的函数模型属于“＝a＋错误!”型。

一般地，＝a＋错误!（≠0，a，b为常数且a＞0，b＞0的最值（或值域）可分以下几种情况：（1）若∈0，＋∞，则由基本不等式，可知当＝错误!时，取得最小值2错误!；若∈－∞，0，则由基本不等式，可知当＝－错误!时，取得最大值－2错误!；若∈－∞，0∪0，＋∞，则函数的值域为－∞，－2错误!∪[2错误!，＋∞；（2）若±错误!不在函数定义域内，则需要根据函数的单调性求最值及值域。