讲稿 第四章插值与拟合(1～3节)

• 代数多项式插值是最常用的插值方式，其内容也 是最丰富的，它又可分为以下几种插值方式： （1）非等距节点插值，包括拉格朗日插值、利用 均差的牛顿插值和埃特金插值； （2）非等距节点插值，包括利用差分的牛顿插值 和高斯插值等； （3）在插值中增加了导数的Hermite（埃尔米特） 插值； （4）分段插值，包括分段线性插值、分段Hermite （埃尔米特）插值和样条函数插值； （5）反插值。 • 按被插值函数的变量个数还可把插值法分为一元 插值和多元插值。
引言2---插值和拟合的联系与区别
联系：二者都是函数逼近的主要方法
• 区别： •运算过程上的区别：
– 拟合：是将数据点用最恰当的曲线描述出来，以反映问题的规律， 是特殊到一般的过程。 – 插值：是在知道曲线的形状后得出某些具体点的性质的过程,是 从一般到特殊。
•求解误差上的区别：
– 拟合：考虑观察值的误差（误差不可避免时）。以偏差的某种最 小为拟合标准
n n ik
0 i k 而： lk xi 1 i k
22
例1
x1 1, x2 2, x3 4, f ( x1 ) 8, f ( x2 ) 1, f ( x3 ) 5
求二次插值多项式。
解:
按拉格朗日方法，有：
L( x) y1l1 x y2l2 x y3l3 x ( x 2)( x 4) ( x 1)( x 4) ( x 1)( x 2) 8 1 5 (1 2)(1 4) (2 1)(2 4) (4 1)(4 2) 3x 2 16 x 21
4.2 插值方法 选用不同类型的插值函数，逼近的效 果就不同，一般有： （1）拉格朗日插值（lagrange插值） （2）分段线性插值 （3）Hermite （4）三次样条插值。

0
2
4
6
8
10
pp=spline (x,y) ….返回分段多项式的表示
yi=ppval(pp,xi)
或 yi=spline(x,y,xi)
plot(xi,yi)
[break, coefs,pieces,order]=unmkpp(pp)
……分解分段多项式表示
pp=mkpp(break,coefs)…形成分段多项式表示 其中
fprime = fnder(pp,dorder) 其中 pp:为样条函数的描述 dorder:求导的阶数 fprime:求导后的分段表达形式
fnint样条函数的积分
intgrf = fnint(pp)
intgrf = fnint(f,value)
其中
Pp:为样条函数的描述
fnplt样条函数的绘图
缺省情况： 使用各个端点附近的四个数据计 算斜率
当conds为1*2阶的矩阵时，可使两个边界点 具有不同的边界条件：如conds(i)=j,则给定 端点i处的j阶导数（j=0,1,2).
PP = CSAPE({X,Y}，Z, CONDS,VALCONDS) x=0:20; y=0:10; [xx,yy]=meshgrid(x,y); zz=(sin(xx)).^2+(cos(yy)).^2; pp=csape({x,y},zz'); fnplt(pp)
Break是断点/节点
Coefs是矩阵，其第i行是第i个三次多项式
pieces是分段多项式的数目
order 是每个多项式系数的数目（阶数-1）
i
断点
在每一个区间为多项式
x=0:0.1:3*pi; y=sin(x); pp=spline(x,y)

第4章 插值与拟合方法插值与拟合方法是用有限个函数值(),(0,1,,)i f x i n =⋅⋅⋅去推断或表示函数()f x 的方法，它在理论数学中提到的不多。

本章主要介绍有关解决这类问题的理论和方法，涉及的内容有多项式插值，分段插值及曲线拟合等。

对应的方法有Lagrange 插值，Newton 插值，Hermite 插值，分段多项式插值和线性最小二乘拟合。

4.1 实际案例4.2 问题的描述与基本概念先获得函数（已知或未知）()y f x =在有限个点n x x x ⋅⋅⋅,,10上的值x0x 1x … n x y0y 1y … n y 由表中数据构造一个函数P (x )作为f (x ) 的近似函数，去参与有关f (x )的运算。

科学计算中，解决不易求出的未知函数的问题主要采用插值和拟合两种方法。

1）插值问题的描述已知函数()y f x =在[a,b ]上的n +1个互异点x ,0处的函数值()i i y f x =，求f (x ) 的一个近似函数P (x )，满足()()(0,1,,)i i P x f x i n ==⋅⋅⋅ （4.1）● P (x ) 称为f (x )的一个插值函数;● f (x ) 称为被插函数;点i x 为插值节点; ● ()()(0,1,,)i i P x f x i n ==⋅⋅⋅称为插值条件; ● ()()()R x f x P x =-称为插值余项。

当插值函数P (x )是多项式时称为代数插值（或多项式插值）。

一个代数插值函数P (x )可写为0()()()mkm k k k P x P x a x a R ===∈∑若它满足插值条件（4.1），则有线性方程组20102000201121112012m m mm m nn m n n a a x a x a x y a a x a x a x y a a x a x a x y ⎧+++⋅⋅⋅=⎪+++⋅⋅⋅=⎪⎨⎪⎪+++⋅⋅⋅=⎩ （4.2）当m=n ，它的系数行列式为范德蒙行列式)(1110212110200j i ni j nnnn nn x x x x x x x x x x x D -∏==≤≤≤因为插值节点互异，0D ≠，故线性方程组（4.2）有唯一解，于是有定理 4.1 当插值节点互异时，存在一个满足插值条件()()(0,1i i P x f x i n ==⋅⋅⋅的n 次插值多项式。

二维插值的定义
第一种（网格节点）：
y
O
x
已知 mn个节点 其中 互不相同，不妨设
构造一个二元函数
通过全部已知节点,即
再用
计算插值，即
第二种（散乱节点）：
y



0
x
已知n个节点
其中 互不相同，
构造一个二元函数
通过全部已知节点,即
再用
计算插值，即
最邻近插值
y
( x1 , y2 ) ( x2 , y2 )
( x1 , y1 ) ( x2 , y1 )

x
O
注意：最邻近插值一般不连续。具有连续性的最简单 的插值是分片线性插值。
分片线性插值
速度最快，但平滑性差
linear
占有的内存较邻近点插值方法多，运算时间 也稍长，与邻近点插值不同，其结果是连续 的，但在顶点处的斜率会改变 运算时间长，但内存的占有较立方插值方法 要少，三次样条插值的平滑性很好，但如果 输入的数据不一致或数据点过近，可能出现 很差的插值结果 需要较多的内存和运算时间，平滑性很好 二维插值函数独有。插值点处的值和该点值 的导数都连续
x=0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 y=0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6
海拔高度数据为： z=89 90 87 85 92 91 96 93 90 87 82 92 96 98 99 95 91 89 86 84 82 84 96 98 95 92 90 88 85 84 83 81 85 80 81 82 89 95 96 93 92 89 86 86 82 85 87 98 99 96 97 88 85 82 83 82 85 89 94 95 93 92 91 86 84 88 88 92 93 94 95 89 87 86 83 81 92 92 96 97 98 96 93 95 84 82 81 84 85 85 81 82 80 80 81 85 90 93 95 84 86 81 98 99 98 97 96 95 84 87 80 81 85 82 83 84 87 90 95 86 88 80 82 81 84 85 86 83 82 81 80 82 87 88 89 98 99 97 96 98 94 92 87