第1章 绪论 习题解答1-1解：每个消息的平均信息量为222111111()log 2log log 448822H x =--⨯- =1.75bit/符号1-2解：（1）两粒骰子向上面的小圆点数之和为3时有（1，2）和（2，1）两种可能，总的组合数为116636C C ⨯=，则圆点数之和为3出现的概率为 3213618p ==故包含的信息量为2321(3)log log 4.17()18I p bit =-=-=（2）小圆点数之和为7的情况有（1，6）（6，1）（2，5）（5，2）（3，4）（4，3），则圆点数之和为7出现的概率为761366p ==故包含的信息量为2721(7)log log 2.585()6I p bit =-=-=1-3 解：（1）每个字母的持续时间为2⨯10ms ，所以字母传输速率为4315021010B R Baud-==⨯⨯不同字母等可能出现时，每个字母的平均信息量为2()log 42H x == bit/符号 平均信息速率为4()100b B R R H x ==g bit/s（2）每个字母的平均信息量为222211111133()log log log log 5544441010H x =---- =1.985 bit/符号所以平均信息速率为4()99.25bB R R H x ==g (bit/s)1-4 解：（1）根据题意，可得：23(0)log (0)log 1.4158I P =-=-≈ 比特 21(1)log (1)log 24I P =-=-= 比特21(2)log (2)log 24I P =-=-= 比特 21(3)log (3)log 38I P =-=-= 比特（2）法一：因为离散信源是无记忆的，所以其发出的消息序列中各符号是无依赖的、统计独立的。
因此，此消息的信息量就等于消息中各个符号的信息量之和。
此消息中共有14个“0”符号，13个“1”符号，12个“2”符号，6个“3”符号，则该消息的信息量是： 14(0)13(1)12(2)6(3)I I I I I =+++ 14 1.41513212263≈⨯+⨯+⨯+⨯87.81≈ 比特此消息中共含45个信源符号，这45个信源符号携带有87.81比特信息量，则此消息中平均每个符号携带的信息量为287.81/45 1.95I =≈ 比特/符号法二：若用熵的概念计算，有222331111()log 2log log 1.906(/)884488H x bit =--⨯-=符号说明：以上两种结果略有差别的原因在于，它们平均处理方法不同，前一种按算术平均的方法进行计算，后一种是按熵的概念进行计算，结果可能存在误差。
这种误差将随消息中符号数的增加而减少。
1-5解：（1）221133()log log 0.8114444H x =--≈bit/符号（2）某一特定序列（例如：m 个0和100-m 个1）出现的概率为()()()()100-100-1210013,,,0144m mmmL P X P X X X P P ⎛⎫⎛⎫===⎡⎤⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭L所以，信息量为()()()100-12100213,,,log log 44200(100)log 3m mLI X X X P X m bit ⎧⎫⎪⎪⎛⎫⎛⎫=-=-⎨⎬⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎩⎭=--L（3）序列的熵()()10081/L X X bit H =H =序列1-6解：若系统传送二进制码元的速率为1200Baud ，则系统的信息速率为：21200log 21200b R =⨯= bit/s若系统传送十六进制码元的速率为2400Baud ，则系统的信息速率为： 22400log 169600bR =⨯= bit/s1-7解：该恒参信道的传输函数为()0()()dj t j H H e K e ωϕωωω-==冲激响应为0()()d h t K t t δ=-输出信号为0()()*()()d y t s t h t K s t t ==- 讨论：该恒参信道满足无失真传输的条件，所以信号在传输过程中无畸变。
1-8解：该恒参信道的传输函数为 00(sin )sin ()d d j t b T j t jb T H AeAe e ωωωωω---==⋅0(1sin )dj t A jb T e ωω-=+0[1()]2d j T j T j t jb A e e e j ωωω--=+-00()()22d d d j t j t T j t T Ab Ab Ae e eωωω----+=+-冲激响应为 00()()()()22d d d Ab Abh t A t t t t T t t T δδδ=-+-+---输出信号为 ()()*()y t s t h t =00()()()22d d d Ab Ab As t t s t t T s t t T =-+-+---1-9解：假设该随参信道的两条路径对信号的增益强度相同，均为0V 。
则该信道的幅频特性为：00()2cos2H V ωτω=当01(21),0,1,2,()n n H ωπωτ=+=L 时，出现传输零点； 当012,0,1,2,()n n H ωπωτ==L 时，出现传输极点；所以在nf nτ==kHz(n 为整数)时，对传输信号最有利；在111()()22f n n τ=+=+kHz(n 为整数)时，对传输信号衰耗最大。
1-10解：(1) 因为S/N =30dB,即1010log 30SdB N =，得：S/N=1000由香农公式得信道容量2log (1)S C B N =+23400log (11000)=⨯+ 333.8910/bit s ≈⨯（2）因为最大信息传输速率为4800b/s ，即信道容量为4800b/s 。
由香农公式2log (1)S C B N =+得：480034002121 2.661 1.66CBS N =-=-≈-=。
则所需最小信噪比为1.66。
第2章 信号与噪声分析习题解答2-1 解：(2)1(2)p x p x >=-≤数学期望：21()()024aax E x xp x dx x dx a a +∞+∞-∞-∞-====⎰⎰因为23222()()263aaa a x x a E x x p x dx dx a a ∞-∞--====⎰⎰所以方差：2222()()[()]033a a D x E x E x =-=-=2-2解：由题意随机变量x 服从均值为0，方差为4，所以02x -，即2x服从标准正态分布，可通过查标准正态分布函数22()t xx e dt--∞Φ=数值表来求解。
（1）020(2)1(2)1()1(1)22x p x p x p -->=-≤=-≤=-Φ10.84130.1587=-=（2）040(4)1(4)1()1(2)22x p x p x p -->=-≤=-≤=-Φ10.97720.0228=-=（3）当均值变为1.5时，则 1.52x -服从标准正态分布，所以1.52 1.5(2)1(2)1()1(0.25)22x p x p x p -->=-≤=-≤=-Φ10.59870.4013=-=1.54 1.5(4)1(4)1()1(1.25)22x p x p x p -->=-≤=-≤=-Φ10.89440.1056=-=2-3解：（1）因为随机变量θ服从均匀分布，且有02θπ≤≤，则θ的概率密度函数1()2f θπ=，所以有0[()][()cos()]E z t E m t t ωθ=+0[()][cos()]E m t E t ωθ•=+2001cos()2[()]t d E m t πωθθπ•+•=⎰0=000(,)[()cos()()cos()]z R t t E m t t m t t τωθτωωτθ•+=++++000[()()][cos()cos()]E m t m t E t t τωθωωτθ•=++++00011()[cos(22)cos ]22m R E t τωωτθωτ•=+++ 01()cos 2m R τωτ•=00cos (1),102cos (1),0120,ωτττωττττ⎧+-<<⎪⎪⎪=-≤<⎨⎪⎪⎪⎩其他 ()z R τ=由此可见，()z t 的数学期望与时间无关，而其相关函数(,)z R t t τ+仅与τ相关，因此()z t 是广义平稳的。
（2）自相关函数()z R τ的波形如图2-6所示。
图2-6（3）根据三角函数的傅氏变换对21,10()1,01()20,t t tri t t t Sa t ω+-≤<⎧⎪⎪=-≤<⇔⎨⎪⎪⎩其他可得平稳随机过程()z t 的功率谱密度()()j z x P R e d ωτωττ∞--∞=⎰01cos ()2j tri e d ωτωτττ∞-•-∞=⎰22001[()()]422Sa Sa ωωωω+-=+00cos 1(0)(1)|22x S R τωττ===-=2-4 解：（1）因为η，ε互不相关 所以0()X(t)[()cos ]x m t E E t ηεω==+00cos cos tE tE ωηωε=+又根据题目已知均值0E E ηε==，所以()0xm t =（2）自相关函数1212(,)[()()]x R t t E X t X t =⋅0102[()cos ()cos ]E t t ηεωηεω=++g220102cos cos [2]t t E ωωηηεε=++ 220102cos cos [2]t t E E E ωωηηεε=++220102cos cos []t t ηεωωσσ=+01024cos cos t t ωω=01201214[cos ()cos ()]2t t t t ωω=⨯++-00122cos 2cos ()t t ωτω=++ （12t t τ=-）（3）由（2）可知12(,)x R t t 不仅与τ有关还与12,t t 有关，所以为非广义平稳随机过程。
2-5解：根据图示可得()503X R ττ=- (10,10)τ∈-2[()](0)50X E X t R ==2(0)()502030X X X R R σ=-∞=-=因为，222[()][()]X E X t EX t σ=-所以，23050[()]EX t =-即()X EX t m ==则（1）x m =； （2）2[()](0)50X E X t R == （3）230x σ= 2-6解：（1）01101122001101111122011122101()[()()]{[cos()][cos[()]}{cos[()]cos()cos()cos[()]}{cos()cos[()]}cos 2R E X t X t E A A t A A t E A A A t A A t A t t A E A t t A A ττωθωτθωτθωθωθωτθωθωτθωτ=⋅+=+++++=+++++++++=++++=+（2）22210(0)[()]2A R E X t A ==+因为，0110[()][cos()]E X t E A A t A ωθ=++=所以，直流功率为220[()]E X t A =则，交流功率为22221[()][()]2A E X t E X t σ=-=对()R τ求傅里叶变换可得其功率谱密度221011()2()[()()]2X A P A πωπδωδωωδωω=+++-2-7 解：0000003553000001()()211122222()()cos 4j X X j j j R P e d e d e d e d Sa Sa ωτωωωωτωτωτωωωτωωπωωωπππωωωτωτωτππ+∞-∞---==++=+⎰⎰⎰⎰2-8 解：（1）()X P f 与()X R τ互为傅立叶变换1()()(1)X P f f f f δ=+-所以，对()X P f 做傅立叶变换得200()1()a X R f S f τπτ=+（2）直流功率为()1X R ∞=（3）交流功率为00(0)()11R R f f -∞=+-=2-9解：RC 低通滤波器的传递函数为11()11j c H j cR R j c ωωωω==++因此输出过程的功率谱密度为2002()()|()|2[1()]i n P P H cR ωωωω•==+相应地，自相关函数为001()()2j R P ed ωττωωπ∞-∞=⎰0141j n e d j cR ωτωπω∞-∞=+⎰||/04RCne RC τ-=2-10 解：（1）()[(23())(23()]Y R E X t X t ττ=+++[46()6()9()()]E X t X t X t X t ττ=+++++ 4669()X R τ=+++ 即自相关函数只与τ有关[()]23[()]235E Y t E X t =+=+= 即均值为常数所以()Y t 为宽平稳过程。
