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三、径向分布函数法中心分子第一层：第一配位圈 第二层：第二配位圈 . . .短程有序，远程无序1、 基本概念，基本定义首先定义一个新的函数---n 重相关函数 为当系统的位能E N = 0 ,则系统内分子是独立的，由分布函数公式可得到：g(r)r因此对于分子相互独立的系统，，对于分子间有相互作用的系统，相当于对分子独立性的校正，亦即表示了分子的相关性，因而称之为相关函数。
相关函数中，最重要的是二重相关函数g(2)，它可由X射线衍射实验和计算机分子模拟的机器实验结果获得，由式子可知表示如下上式即二重相关函数与位形积分的关系。
对于由球星对称分子构成的液体，仅取决于分子1和2的距离，即可写成g(r)，所以就有故上式中的分子相对函数g(r)就是分子的径向分布函数。
因，即第一个分子是任意分布的。
由于液体分子间存在相互作用，第二个分子不可能任意分布，而构成相对于中心分子的局部密度，相应的二重分布函数为将上式代入到中得到所以径向分布函数g(r)的物理意义可解释为：在一个中心分子周围距离为r处，分子的局部密度相对于本体密度的比值。
从径向分布函数g(r)可以计算液体的配位数：实际上N为中心分子周围分子的总数，而为距中心分子r处在r + dr壳层内的分子数目。
若将上式积分到第一配位圈的距离L处，即可得到配位数N(L)为N(L)实际上也是围绕中心分子，半径为r=L的球体内的分子数。
如图已知：r1,r2…rN 代表坐标系原点，指向分子1，2，… N 的向量，体系分子1，分子2分别出现在r1处的体系元 的几率为：称双重标明分布函数；：泛指（任意分子分布在r1， r2处的概率）：双重分布函数()()()NkT r r u N kT q u K KNTr id d de d d d e Q N N ττττττϕϕϕ............121/...21/1⎰⎰⎰⎰=-*===2τd ()()()KN kT r r r u d d d d e d d r r P N ϕττττττ213/,...,21212]......[,21⎰⎰-=()()()KN kTr r u d d e r r P N ϕττ⎰⎰-=......,3/...2121()()21212,ττd d r r P()()212,r r ρ()()()()()()()2122212212,,1,r r PNr r P N N r r ≈-=ρxy所以： （几率归一化性质）N 重分布函数：（n 重标明分布函数）（n 重分布函数）数密度径向分布函数定义由式子得到，与一指定分子相距r 处，分子局部密度与平均数密度之比；的定义：()()()()()221212212121,1,NN N d d r r d d r r P V≈-==⎰⎰⎰⎰ττρττ()()()KN n r r r u N n d d e r r r P N ϕττ⎰⎰+-=.........,1,...,2121()()()()()()n n n n r r P n N N M r r ,...1...1,...11+--=ρ()()V r P 111=()()11111==⎰⎰V d d r P ττ()()V Nr n =1ρzr 1xr 2d τ1 d τ2yr 12 ()()ρρr r g =()()()()()()()1221212..,21r g P P r r r r =ρ()12r g ()()()()r g V N r g V N V N r (2)12122⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=ρ所以：最简单的： 2、热力学的计算（用径向分布函数计算）由正则系统配分函数为 从而得到系统的能量为E式中第一项为体系的平均动能，第二项为体系的平均位能。
径向分布函数、角度分布函数电子云图形的绘制1.目的要求(1) 绘制波函数及其各种分布以及电子云的图像，观察各种函数的分布情况。
(2) 了解计算机绘图方法。
2.基本原理(1) 程序原理：本程序可绘制类氢原子的径向分布函数，角度分布函数及原子轨道、杂化轨道和分子轨道等电子几率密度图，绘制过程中的各函数形式列于下列各表中。
式中 ，n 为主量子数， =0.0529nm ，为波尔半径， Z 是有效核电荷，由Slater 规则计算得到的周期表中前四个周期元素的有效核电荷列于表Ⅱ-24-1中，下面简要叙述对各类图形的处理方案。
①径向分布函数图：径向分布函数D(r)=r 2R 2(r)反映了电子的几率随半径r 的分布情况， D(r)dr 代表半径r 到r+dr 两个球壳夹层内找到电子的几率。
其中R(r)为类氢原子的径向函数，本程序所采用的径向函数R(r)分别列于表Ⅱ-24-2中。
②角度分布函数图：波函数的角度部分 以及角度分布函数 表示同一球面不同方向上 或 的相对大小，本程序所采用的角度函数分别列于表Ⅱ-24-3中。
322232,),(,,,,sp d sp yz xz z zz Y Y f f f p p 角度分布图是画的X-Z 平面的截面图，其余角度分布图都是画的X-Y 平面的截面图。
角度分布函数图中，凡轨道形状相同，而仅方向不同者，则仅绘出一个图形作为代表。
2naZr=ρ0a ),,(φθψr nlm ),(φθψlm ),(2φθψlm ),,(φθψr nlm ),,(2φθψr nlm ),(φθψlm③等电子几率密度图：2),,(φθψr 称为电子几率密度函数，它描述在该轨道中的电子在三维空间的分布情况，为了在平面上表示出这种分布往往采用某一切面上的等值面图，程序按指定的轨道在该切面上逐点计算2ψ的值，及找出2maxψ的最大值，求出相对几率密度2max2/ψψ=P，该值在X-Y 平面上是位置坐标(x,y)的函数(对于23z d 轨道是在X-Z 平面)，绘图时不是将取值相同的点连成曲线，而是打印一系列符号表示相对几率密度的分布区域。
无序径向分布函数无序径向分布函数是一种在分析数据集时经常使用的统计工具，它能够展现数据点在空间中的分布情况。
它的全称是无序径向分布函数（Unordered Radial Distribution Function，简称uRDF），它主要用于研究分子间相互作用、凝聚态物理学、材料科学等领域。
在材料科学中，了解材料中原子或分子的分布是至关重要的。
无序径向分布函数可以帮助我们了解材料中原子的有序程度，即原子是否更倾向于聚集在一起或分散开来。
这对于探索材料的物理性质以及优化材料的设计具有重要意义。
无序径向分布函数的计算基于一系列数据点之间的距离。
通过计算每个数据点与其周围一定距离范围内的其他数据点的数量分布情况，我们可以获得一张径向分布函数图。
这张图将展示出数据点在空间中是聚集在一起的还是分散开来的特征。
对于一个均匀分布的系统，可以期望径向分布函数是一个平坦的直线；相反，对于有序分布的系统，我们会观察到峰值或起伏。
无序径向分布函数的应用非常广泛。
例如，在凝聚态物理学中，它可以帮助我们理解晶体中原子的排列方式，进而揭示材料的晶体结构。
通过分析无序径向分布函数，我们可以发现晶体中的周期性结构和对称性特征，这对于揭示晶体材料的物理性质和加工优化至关重要。
此外，无序径向分布函数也可以应用于分子动力学模拟和蛋白质折叠研究中。
分子动力学模拟是一种通过计算机模拟原子或分子之间相互作用的方法。
无序径向分布函数可以帮助我们了解蛋白质在折叠过程中原子的相互关系，从而推断出蛋白质的三维结构。
这对于揭示蛋白质的功能和研究相关疾病的治疗具有重要意义。
综上所述，无序径向分布函数在材料科学、凝聚态物理学和生物科学等领域中具有广泛的应用。
它可以帮助我们了解数据点在空间中的分布情况，并从中揭示出材料的结构性质和物理性质。
随着计算能力和数据处理算法的不断提升，无序径向分布函数的应用前景将更加广阔，有助于推动科学研究的进展。
径向分布函数、角度分布函数电子云图形的绘制1.目的要求(1) 绘制波函数及其各种分布以及电子云的图像，观察各种函数的分布情况。
(2) 了解计算机绘图方法。
2.基本原理(1) 程序原理：本程序可绘制类氢原子的径向分布函数，角度分布函数及原子轨道、杂化轨道和分子轨道等电子几率密度图，绘制过程中的各函数形式列于下列各表中。
式中 ，n 为主量子数， =0.0529nm ，为波尔半径， Z 是有效核电荷，由Slater 规则计算得到的周期表中前四个周期元素的有效核电荷列于表Ⅱ-24-1中，下面简要叙述对各类图形的处理方案。
①径向分布函数图：径向分布函数D(r)=r 2R 2(r)反映了电子的几率随半径r 的分布情况， D(r)dr 代表半径r 到r+dr 两个球壳夹层内找到电子的几率。
其中R(r)为类氢原子的径向函数，本程序所采用的径向函数R(r)分别列于表Ⅱ-24-2中。
②角度分布函数图：波函数的角度部分 以及角度分布函数 表示同一球面不同方向上 或 的相对大小，本程序所采用的角度函数分别列于表Ⅱ-24-3中。
322232,),(,,,,sp d sp yz xz z z z Y Y f f f p p 角度分布图是画的X-Z 平面的截面图，其余角度分布图都是画的X-Y 平面的截面图。
角度分布函数图中，凡轨道形状相同，而仅方向不同者，则仅绘出一个图形作为代表。
2na Zr=ρ0a ),,(φθψr nlm ),(φθψlm ),(2φθψlm ),,(φθψr nlm ),,(2φθψr nlm ),(φθψlm③等电子几率密度图：2),,(φθψr 称为电子几率密度函数，它描述在该轨道中的电子在三维空间的分布情况，为了在平面上表示出这种分布往往采用某一切面上的等值面图，程序按指定的轨道在该切面上逐点计算2ψ的值，及找出2max ψ的最大值，求出相对几率密度2max 2/ψψ=P ，该值在X-Y 平面上是位置坐标(x,y)的函数(对于23z d 轨道是在X-Z 平面)，绘图时不是将取值相同的点连成曲线，而是打印一系列符号表示相对几率密度的分布区域。
氧化物薄膜电学测试
氧化物薄膜电学测试是一种非常重要的测试方法，可以用来检测氧化物薄膜的电学性能。
下面就来具体介绍一下氧化物薄膜电学测试涉及的几个方面。
1. 径向分布函数测试
径向分布函数测试是一种常见的氧化物薄膜电学测试方法，它可以用来测量氧化物薄膜的表面形貌和结晶度。
测试时，可以用X射线衍射仪等设备对样品进行测试，并利用计算机等工具对数据进行处理和分析，从而得出氧化物薄膜的径向分布函数。
2. 介电常数测试
介电常数测试是一种通过测量介电常数来评估氧化物薄膜电学性能的方法。
测试时，可以利用介电恒定仪等仪器对样品进行测量，并计算出样品在不同频率下的介电常数。
通过比较不同样品的测试结果，可以评估它们在介电性能方面的差异。
3. 电容-电压测试
电容-电压测试是一种常用的测试方法，它可以用来测量氧化物薄膜的电容和电压关系，从而评估其电学性能。
测试时，可以用电容计等测量仪器对样品进行测试，并利用计算机等设备对测试数据进行处理和
分析，得出电容-电压曲线和相关的参数。
4. 氧化物薄膜形貌测试
氧化物薄膜形貌测试是一种能够对氧化物薄膜表面形貌进行分析和评估的方法。
测试时，可以利用原子力显微镜等高分辨率显微镜对样品表面进行测试，从而得出氧化物薄膜的表面形貌和相关的参数。
这些参数可以用来衡量氧化物薄膜的结晶度、粗糙度等特征，进而评估其电学性能。
综上所述，氧化物薄膜电学测试涉及多个方面，其中包括径向分布函数测试、介电常数测试、电容-电压测试以及氧化物薄膜形貌测试等方法。
这些测试方法可以相互补充，为评估氧化物薄膜的电学性能提供多方面的指导。
平均配位数 rdf
平均配位数是指一个化合物中每个离子或分子所配位的平均数。
配位数是描述离子或分子周围配位体的数量，它反映了化合物的空间构型和化学性质。
在化学研究中，平均配位数是一项重要的物理量，它可以用来比较不同化合物之间的配位情况，也可以用来研究化学反应的过程和机理。
在计算平均配位数时，一般使用一种叫做“径向分布函数(rdf)”的方法。
径向分布函数是指在一个化合物中，离子或分子与其周围配位体之间的距离的概率密度函数。
这个函数可以通过对化合物的结构进行分析得到，然后再对其进行数学计算，得到平均配位数。
平均配位数和径向分布函数在材料科学、化学工程、生物化学等领域都有广泛的应用。
例如，在材料科学中，平均配位数可以用来研究固体材料的晶体结构和稳定性，而径向分布函数则可以用来分析分子之间的相互作用。
在生物化学中，平均配位数可以用来研究生物分子的空间结构和功能，而径向分布函数则可以用来分析蛋白质和核酸分子的结构和稳定性。
总之，平均配位数和径向分布函数是化学研究中非常重要的物理量，它们可以帮助我们深入理解化合物的结构和性质，为化学研究提供重要的理论依据。
- 1 -。
lammps怎么径向分布函数
LAMMPS是一种分子动力学模拟软件，可以用来模拟各种物理和
化学现象。
而径向分布函数(RDF)是一种描述原子或分子间距离分布
的函数，可以用来研究分子之间的相互作用。
在LAMMPS中，可以使用compute rdf命令来计算RDF。
该命令
需要指定一个计算组，以及一组参考原子或分子。
计算组是需要计算RDF的原子或分子的集合，而参考原子或分子是用来确定分子间距离的原子或分子。
以下是一个示例LAMMPS输入文件中计算RDF的代码段：
# 定义计算组
group all_atoms type 1 2 3 4
# 定义参考原子
compute reference_atoms all_atoms rdf 1000
# 计算RDF
fix rdf all_atoms ave/time 1 1000 1000 c_reference_atoms[*] file rdf.dat mode vector
上述代码中，计算组包含类型为1、2、3和4的所有原子。
参考原子由compute rdf命令自动生成，计算1000个原子组成的格点上
的RDF。
fix rdf命令将每1000个时间步长计算一次RDF，并将结果保存在rdf.dat文件中。
通过使用LAMMPS中的计算组、参考原子和计算命令，可以轻松
地计算RDF并研究分子间的相互作用。
径向分布函数、⾓度分布函数电⼦云图形的绘制径向分布函数、⾓度分布函数电⼦云图形的绘制1.⽬的要求(1) 绘制波函数及其各种分布以及电⼦云的图像，观察各种函数的分布情况。
(2) 了解计算机绘图⽅法。
2.基本原理(1) 程序原理：本程序可绘制类氢原⼦的径向分布函数，⾓度分布函数及原⼦轨道、杂化轨道和分⼦轨道等电⼦⼏率密度图，绘制过程中的各函数形式列于下列各表中。
式中，n 为主量⼦数， =0.0529nm ，为波尔半径， Z 是有效核电荷，由Slater 规则计算得到的周期表中前四个周期元素的有效核电荷列于表Ⅱ-24-1中，下⾯简要叙述对各类图形的处理⽅案。
①径向分布函数图：径向分布函数D(r)=r 2R 2(r)反映了电⼦的⼏率随半径r 的分布情况， D(r)dr 代表半径r 到r+dr 两个球壳夹层内找到电⼦的⼏率。
其中R(r)为类氢原⼦的径向函数，本程序所采⽤的径向函数R(r)分别列于表Ⅱ-24-2中。
②⾓度分布函数图：波函数的⾓度部分以及⾓度分布函数表⽰同⼀球⾯不同⽅向上或的相对⼤⼩，本程序所采⽤的⾓度函数分别列于表Ⅱ-24-3中。
322232,),(,,,,sp d sp yz xz z zz Y Y f f f p p ⾓度分布图是画的X-Z 平⾯的截⾯图，其余⾓度分布图都是画的X-Y 平⾯的截⾯图。
⾓度分布函数图中，凡轨道形状相同，⽽仅⽅向不同者，则仅绘出⼀个图形作为代表。
2naZr=ρ0a ),,(φθψr nlm ),(φθψlm ),(2φθψlm ),,(φθψr nlm ),,(2φθψr nlm ),(φθψlm③等电⼦⼏率密度图：2),,(φθψr 称为电⼦⼏率密度函数，它描述在该轨道中的电⼦在三维空间的分布情况，为了在平⾯上表⽰出这种分布往往采⽤某⼀切⾯上的等值⾯图，程序按指定的轨道在该切⾯上逐点计算2ψ的值，及找出2maxψ的最⼤值，求出相对⼏率密度2max2/ψψ=P，该值在X-Y 平⾯上是位0.01≤P ＜0.02时⽤“：”，0.02≤P ＜0.1时⽤“／”，0.1≤P ＜0.25时⽤“O ”，0.25≤P ＜0.5时⽤“&”和P ＞0.5时⽤“#”符号表⽰。
vmd计算径向分布函数
VMD（Visual Molecular Dynamics）软件可以用来计算径向分布
函数，方法如下：
1. 打开VMD软件，并加载分子文件（如pdb格式）。
2. 在菜单栏中选择“Extensions”->“Analysis”，打开“Analysis”窗口。
3. 在“Analysis”窗口中选择“Radial Distribution Function”，打开“Radial Distribution Function”窗口。
4. 在“Radial Distribution Function”窗口中选择需要分析
的类型（如原子、分子、分子间距等），并设置参数（如bin size、range等）。
5. 点击“Compute”按钮开始计算径向分布函数，计算结果会显
示在窗口中，并可选择导出数据。
需要注意的是，计算径向分布函数需要有足够数量的数据点才能
得到准确的结果，因此需要选择合适的参数和范围。
另外，计算过程
也需要考虑计算时间，过多的数据点或范围可能会导致计算时间过长。
径向分布函数 ms径向分布函数（Radial Distribution Function，RDF）也称作径向分布密度函数，是反映物质的空间分布和排布规律的一种函数。
径向分布函数通常用于描述复杂分子体系的组装情况，如通过计算这些分子原子之间的距离的概率密度分布。
在介绍径向分布函数之前，我们需要先了解一下什么是原子团。
原子团是一组原子，它们之间的相互作用形成一个整体。
举个例子，如果把数个钠离子放在一起，它们会靠近彼此，形成一个总体称为“原子团”。
原子团的结构是由原子之间的相互作用决定的，而径向分布函数可以被用来研究这些相互作用之间的分布关系。
径向分布函数定义为在距离 $r$ 内和 $r + dr$ 之间发现各个原子对的概率密度之和，即：$$g(r) = \frac{1}{4 \pi r^2 \rho} \sum_i \sum_{j \ne i} \delta(r - r_{ij})$$其中 $r$ 是原子之间的距离，$\rho$ 是系统的密度， $\delta(r - r_{ij})$ 是单位函数，表示当原子 $i$ 和原子 $j$ 之间的距离为 $r$ 时其为 $1$ 否则为 $0$。
径向分布函数可以被用来研究两个原子之间的距离分布。
当 $g(r)$ 大于 $1$ 时表示存在原子之间的交互作用。
当 $g(r)$ 等于 $1$ 时表示原子间某个距离的概率密度等于理想气体中的概率密度，表示原子之间没有相互作用。
当 $g(r)$ 小于 $1$ 时表示原子间距离过远，没有相互作用。
径向分布函数的确定需要通过实验证实得到一个代表一定时间段内的平均分布，在实验中，通常通过散射技术、X射线衍射技术或者中子衍射技术来测量原子的相互距离分布。
同时，径向分布函数还可以通过计算机模拟来得到，计算机模拟通常在分子动力学中运用较为广泛。
径向分布函数在许多领域中都有应用。
例如，在材料科学中，宋体径向分布函数可以用来研究材料中原子间的排列方式，以及材料中的缺陷结构。
径向分布函数..三、径向分布函数法中心分子第一层：第一配位圈 第二层：第二配位圈 . . .短程有序，远程无序1、 基本概念，基本定义首先定义一个新的函数---n 重相关函数 为当系统的位能E N = 0 ,则系统内分子是独立的，由分布函数公式可得到：g(r)r因此对于分子相互独立的系统，，对于分子间有相互作用的系统，相当于对分子独立性的校正，亦即表示了分子的相关性，因而称之为相关函数。
相关函数中，最重要的是二重相关函数g(2)，它可由X射线衍射实验和计算机分子模拟的机器实验结果获得，由式子可知表示如下上式即二重相关函数与位形积分的关系。
对于由球星对称分子构成的液体，仅取决于分子1和2的距离，即可写成g(r)，所以就有故上式中的分子相对函数g(r)就是分子的径向分布函数。
因，即第一个分子是任意分布的。
由于液体分子间存在相互作用，第二个分子不可能任意分布，而构成相对于中心分子的局部密度，相应的二重分布函数为将上式代入到中得到所以径向分布函数g(r)的物理意义可解释为：在一个中心分子周围距离为r处，分子的局部密度相对于本体密度的比值。
从径向分布函数g(r)可以计算液体的配位数：实际上N为中心分子周围分子的总数，而为距中心分子r处在r + dr壳层内的分子数目。
若将上式积分到第一配位圈的距离L处，即可得到配位数N(L)为N(L)实际上也是围绕中心分子，半径为r=L的球体内的分子数。
如图已知：r1,r2…rN 代表坐标系原点，指向分子1，2，… N 的向量，体系分子1，分子2分别出现在r1处的体系元 的几率为：称双重标明分布函数；：泛指（任意分子分布在r1， r2处的概率）：双重分布函数()()()NkT r r u N kT q u K KNTr id d de d d d e Q N N ττττττϕϕϕ............121/...21/1⎰⎰⎰⎰=-*===2τd ()()()KN kT r r r u d d d d e d d r r P N ϕττττττ213/,...,21212]......[,21⎰⎰-=()()()KN kTr r u d d e r r P N ϕττ⎰⎰-=......,3/...2121()()21212,ττd d r r P()()212,r r ρ()()()()()()()2122212212,,1,r r PNr r P N N r r ≈-=ρzr 1r 2d τ1d τ2y所以： （几率归一化性质）N 重分布函数：（n重标明分布函数）（n重分布函数）数密度径向分布函数定义由式子得到，与一指定分子相距r 处，分子局部密度与平均数密度之比；()()()()()221212212121,1,NN N d d r r d d r r P V≈-==⎰⎰⎰⎰ττρττ()()()KN n r r r u N n d d e r r r P N ϕττ⎰⎰+-=.........,1,...,2121()()()()()()n n n n r r P n N N M r r ,...1...1,...11+--=ρ()()V r P 111=()()11111==⎰⎰V d d r P ττ()()V Nr n =1ρz r 1xr 2d τ1 d τ2yr 12 ()()ρρr r g =()()()()()()()1221212..,21r g P P r r r r =ρ的定义：所以：最简单的： 2、热力学的计算（用径向分布函数计算）由正则系统配分函数为 从而得到系统的能量为E式中第一项为体系的平均动能，第二项为体系的平均位能。
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已知正则系统中，体系压力可用下式表示式中，Q N 为位形积分，Q N = 。
又（压力公式）3、应用举例：()()()()drr r g r u r N r u N N U 202214221π⎰∞--≈-=()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎰∞0242123dr r r g r u V N kT N E πNT K N T V kT V F P ,,ln ⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-=ϕ()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰∞034611dr r r g dr r du V N kT V NkT P πVN =ρVan der Waals 方程中，a ，b 常数与T ，无关， 而这里推导出的是：均与T 有关，显然比Van der Waals 方程更好。
范德华方程本身也并不是一个精确的状态方程，它的参数a 、b 并未能确切地反应分子间的相互作用。
或：Van der Waals 模型：令： 则：（第一项：斥力 第二项：引力）()T a φT be β()()drr r g drr du VN V NkT P 302246π⎰∝-=()()dr r r g drr du VN NkT PV 30246π⎰∝-=()()σσσ≥⎪⎭⎫⎝⎛-=∞=r r u r u r r u ,,,60 ()()()()kTr u e r g r f drr du /,-==u(r)rσ ξ()()()()()()dre rf r dr e r f r dr r rg drr du kTr u kT r u /3/3304-∞--∞⎰⎰⎰+=σσξσπ⎰⎰∞-+=σσξσdrr f dr r f r u )()()(势能也可以表示为：引力部分：又,波尔兹曼积分:考虑到：所以，斥力部分为：引力部分：所以：简化，已知： （分子体积）所以：又：所以：⎰⎰∞∞-==σσ)()(u r u dr r f kTdrr f TkTdr r f dr r f er f eer f r ⎰=⎰⎰--∞--+--⎰⎰δξδσξσσσξσβσξσσ)(3)()(3)()(drr f udy )(=3σβT kTe -)()(30)(130T u dr e r f r r f kT φσσ≈⎰⎰∞-∞)(3232)(3230232303T u VNe KT V N NKT T e u kTe V N NKT PV T T φσπσπφσσπββ-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=3061πσυ=)(4)4(0020T Vu V N e V NV NKT NKT PV T φβ-+=00204,4v u N a NV b ==NKT Vbe vV T a P T=++)1)()((2βφ或： 其中：----Reinganum 方程a, b ---范德华方程相比，均为温度的函数。
KNT be V VT a P T=-+))()((2βφT T beV vbe V ββ-≈--1)1(。
