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径向分布函数
实验一 径向分布函数、角度分布函数电子云图形的绘制一、实验目的1．绘制波函数及其各种分布以及电子云的图像，观察各种函数的分布情况。
2．了解电脑绘图方法。
二、实验原理1．程序原理：本程序可绘制类氢原子的径向分布函数，角度分布函数及原子轨道、杂化轨道和分子轨道等电子几率密度图，绘制过程中的各函数形式列于以下各表中。
式中，n 为主量子数， =0.0529nm ，为波尔半径， Z 是有效核电荷，由Slater 规则计算得到的周期表中前四个周期元素的有效核电荷列于表中，下面简要表达对各类图形的处理方案。
①径向分布函数图：径向分布函数D(r)=r 2R 2(r)反映了电子的几率随半径r 的分布情况， D(r)dr 代表半径r 到r+dr 两个球壳夹层内找到电子的几率。
其中R(r)为类氢原子的径向函数，本程序所采用的径向函数R(r)分别列于表2－2中。
②角度分布函数图：的角度部分 以及角度分布函数 表示同一球面不同方向上 或 的相对大小，本程序所采用的角度函数分别列于表3－3中。
02na Zr=ρ0a ),,(φθψr nlm ),(φθψlm ),(2φθψlm ),,(φθψr nlm ),,(2φθψr nlm ),(φθψlm322232,),(,,,,sp d sp yz xz z z z Y Y f f f p p 角度分布图是画的X-Z 平面的截面图，其余角度分布图都是画的X-Y 平面的截面图。
角度分布函数图中，凡轨道形状相同，而仅方向不同者，则仅绘出一个图形作为代表。
③等电子几率密度图：2),,(φθψr 称为电子几率密度函数，它描述在该轨道中的电子在三维空间的分布情况，为了在平面上表示出这种分布往往采用某一切面上的等值面图，程序按指定的轨道在该切面上逐点计算2ψ的值，及找出2max ψ的最大值，求出相对几率密度2max 2/ψψ=P ，该值在X-Y 平面上是位置坐标(x,y)的函数(对于23z d 轨道是在X-Z 平面)，绘图时不是将取值相同的点连成曲线，而是打印一系列符号表示相对几率密度的分布区域。
径向分布函数、角度分布函数电子云图形的绘制
径向分布函数、角度分布函数电子云图形的绘制1.目的要求(1) 绘制波函数及其各种分布以及电子云的图像，观察各种函数的分布情况。
(2) 了解计算机绘图方法。
2.基本原理(1) 程序原理：本程序可绘制类氢原子的径向分布函数，角度分布函数及原子轨道、杂化轨道和分子轨道等电子几率密度图，绘制过程中的各函数形式列于下列各表中。
式中 ，n 为主量子数， =0.0529nm ，为波尔半径， Z 是有效核电荷，由Slater 规则计算得到的周期表中前四个周期元素的有效核电荷列于表Ⅱ-24-1中，下面简要叙述对各类图形的处理方案。
①径向分布函数图：径向分布函数D(r)=r 2R 2(r)反映了电子的几率随半径r 的分布情况， D(r)dr 代表半径r 到r+dr 两个球壳夹层内找到电子的几率。
其中R(r)为类氢原子的径向函数，本程序所采用的径向函数R(r)分别列于表Ⅱ-24-2中。
②角度分布函数图：波函数的角度部分 以及角度分布函数 表示同一球面不同方向上 或 的相对大小，本程序所采用的角度函数分别列于表Ⅱ-24-3中。
322232,),(,,,,sp d sp yz xz z zz Y Y f f f p p 角度分布图是画的X-Z 平面的截面图，其余角度分布图都是画的X-Y 平面的截面图。
角度分布函数图中，凡轨道形状相同，而仅方向不同者，则仅绘出一个图形作为代表。
2naZr=ρ0a ),,(φθψr nlm ),(φθψlm ),(2φθψlm ),,(φθψr nlm ),,(2φθψr nlm ),(φθψlm③等电子几率密度图：2),,(φθψr 称为电子几率密度函数，它描述在该轨道中的电子在三维空间的分布情况，为了在平面上表示出这种分布往往采用某一切面上的等值面图，程序按指定的轨道在该切面上逐点计算2ψ的值，及找出2maxψ的最大值，求出相对几率密度2max2/ψψ=P，该值在X-Y 平面上是位置坐标(x,y)的函数(对于23z d 轨道是在X-Z 平面)，绘图时不是将取值相同的点连成曲线，而是打印一系列符号表示相对几率密度的分布区域。
径向分布函数.doc
径向分布函数实验一径向分布函数、角度分布函数电子云图形的绘制一、实验目的1．绘制波函数及其各种分布以及电子云的图像，观察各种函数的分布情况。
2．了解计算机绘图方法。
二、实验原理1．程序原理：本程序可绘制类氢原子的径向分布函数，角度分布函数及原子轨道、杂化轨道和分子轨道等电子几率密度图，绘制过程中的各函数形式列于下列各表中。
式中2 Zr，n a为0主量子数，na 0=0.0529nm，为波尔半径， Z 是有效核电荷，由Slater规则计算得到的周期表中前四个周期元素的有效核电荷列于表 1.1 中，下面简要叙述对各类图形的处理方案。
①径向分布函数图：径向分布函数 D(r)=r 2R2(r)反映了电子的几率随半径r 的分布情况， D(r)dr 代表半径 r 到 r+dr 两个球壳夹层内找到电子的几率。
其中R(r)为类氢原子的径向函数，本程序所采用的径向函数R(r)分别列于表 2－2 中。
②角度分布函数图：nlm (r , , )的角度部分lm ( , )以及角度分布函数 2 lm( , )表示同一球面不同方向上所采用的角度函数nlm (r , , ) 或nlm ( r , , )的相对大小，本程序2lm ( , ) 分别列于表3－3 中。
p z , p z2 , f z3 , f xz2 , ( f yz2 ),Y sp ,Y d2sp3角度分布图是画的X-Z 平面的截面图，其余角度分布图都是画的 X-Y 平面的截面图。
角度分布函数图中，凡轨道形状相同，而仅方向不同者，则仅绘出一个图形作为代表。
③等电子几率密度图： (r , , ) 2称为电子几率密度函数，它描述在该轨道中的电子在三维空间的分布情况，为了在平面上表示出这种分布往往采用某一切面上的等值面图，程序按指定的轨道在该切面上逐点计算 2 的值，及找出max 2 的最大值，求出相对几率密度P 2 /max2，该值在 X-Y 平面上是位置坐标 (x,y)的函数 (对于3d z2轨道是在 X-Z 平面 )，绘图时不是将取值相同的点连成曲线，而是打印一系列符号表示相对几率密度的分布区域。
python计算径向分布函数的代码
python计算径向分布函数的代码Python是一种功能强大的编程语言，拥有广泛的应用领域。
其中一个重要的应用领域是科学计算和数据分析。
在这篇文章中，我们将探讨如何使用Python计算径向分布函数（Radial Distribution Function，简称RDF）。
径向分布函数是描述分子或原子之间距离分布的函数。
它可以用于研究固体的结构、液体的密度分布以及气体的分子运动等。
径向分布函数的计算方法相对简单，但对于大量的原子或分子数据，手动计算是不现实的。
因此，使用Python编写计算径向分布函数的代码是非常有必要的。
我们需要明确计算径向分布函数的原理。
给定一组原子的坐标，径向分布函数描述了不同距离范围内的原子对数密度。
具体来说，径向分布函数表示了每个距离范围内原子对数密度的变化情况。
通过计算不同距离范围内的原子对数密度，并将其归一化，我们可以得到径向分布函数。
在Python中，我们可以使用numpy和matplotlib等库来计算和绘制径向分布函数。
首先，我们需要将原子的坐标数据导入到Python中。
可以使用pandas库来读取和处理数据文件，以便我们能够方便地进行后续的计算和分析。
接下来，我们需要计算不同距离范围内的原子对数密度。
可以使用numpy库中的函数来计算两个原子之间的距离，并将其分为不同的距离范围。
然后，我们可以使用numpy的histogram函数来计算每个距离范围内的原子对数密度。
一旦我们计算出了不同距离范围内的原子对数密度，我们可以对其进行归一化。
通过除以总原子数和体积元素，我们可以得到每个距离范围内的归一化原子对数密度。
我们可以使用matplotlib库来绘制径向分布函数的图形。
通过将距离范围作为x轴，归一化原子对数密度作为y轴，我们可以得到一个描述原子之间距离分布的曲线图。
在实际的应用中，我们可能会遇到一些问题。
例如，如何选择合适的距离范围和间隔，以便得到准确的径向分布函数。
vmd计算径向分布函数
vmd计算径向分布函数
VMD（Visual Molecular Dynamics）软件可以用来计算径向分布
函数，方法如下：
1. 打开VMD软件，并加载分子文件（如pdb格式）。
2. 在菜单栏中选择“Extensions”->“Analysis”，打开“Analysis”窗口。
3. 在“Analysis”窗口中选择“Radial Distribution Function”，打开“Radial Distribution Function”窗口。
4. 在“Radial Distribution Function”窗口中选择需要分析
的类型（如原子、分子、分子间距等），并设置参数（如bin size、range等）。
5. 点击“Compute”按钮开始计算径向分布函数，计算结果会显
示在窗口中，并可选择导出数据。
需要注意的是，计算径向分布函数需要有足够数量的数据点才能
得到准确的结果，因此需要选择合适的参数和范围。
另外，计算过程
也需要考虑计算时间，过多的数据点或范围可能会导致计算时间过长。
lammps怎么径向分布函数
lammps怎么径向分布函数
LAMMPS是一种分子动力学模拟软件，可以用来模拟各种物理和
化学现象。
而径向分布函数(RDF)是一种描述原子或分子间距离分布
的函数，可以用来研究分子之间的相互作用。
在LAMMPS中，可以使用compute rdf命令来计算RDF。
该命令
需要指定一个计算组，以及一组参考原子或分子。
计算组是需要计算RDF的原子或分子的集合，而参考原子或分子是用来确定分子间距离的原子或分子。
以下是一个示例LAMMPS输入文件中计算RDF的代码段：
# 定义计算组
group all_atoms type 1 2 3 4
# 定义参考原子
compute reference_atoms all_atoms rdf 1000
# 计算RDF
fix rdf all_atoms ave/time 1 1000 1000 c_reference_atoms[*] file rdf.dat mode vector
上述代码中，计算组包含类型为1、2、3和4的所有原子。
参考原子由compute rdf命令自动生成，计算1000个原子组成的格点上
的RDF。
fix rdf命令将每1000个时间步长计算一次RDF，并将结果保存在rdf.dat文件中。
通过使用LAMMPS中的计算组、参考原子和计算命令，可以轻松
地计算RDF并研究分子间的相互作用。
原子径向分布函数
原子径向分布函数原子径向分布函数是用来描述原子在一个原子态系统中的径向分布情况的函数，可以用来帮助理解微观原子结构在物理状态下的变化情况。
原子径向分布函数是描述不同原子或不同原子系统表现在径向构造上的差异性数据，可以用来支持建立合理的原子模型，并有效地应用于材料研制和分子设计。
一般来说，原子径向分布函数在研究原子结构上具有重要意义。
由于原子径向分布函数是基于实验测量得出的，所以可以用来推导出原子间有关性质的信息，比如原子间的相互作用等。
原子径向分布函数可以用来描述描述物质的本征性质，如原子的坐标位置，原子的空间分布等，并可以将这些信息应用于以后的研究中，如计算物质的性质和测量物质的拉曼散射光谱等。
原子径向分布函数的计算依赖于现有的原子核电子结构理论，由于不同原子具有不同的电子结构，所以其径向分布函数也是不同的。
通常情况下，原子径向分布函数可以通过原子核电子结构理论模型求解而得，比如Hartree-Fock理论，Kohn-Sham理论等。
通常，原子径向分布函数是描述一个原子系统径向密度分布的函数，它可以用来计算原子的电子态以及原子结构的构造性质。
因此，原子径向分布函数可以作为一种技术手段，帮助我们更好地理解不同的物质的性质，以便发现和研究新的材料以及其结构和特性。
最后，原子径向分布函数也可以帮助我们更好地对原子的结构和特性研究，比如原子间的相互作用，这些探究将为后续的研究带来更多的有用信息。
另外，原子径向分布函数还可以提供重要的参考，为不同研究领域提供更好的科学背景，并可以用来推动科学技术的发展。
综上所述，原子径向分布函数是对原子态系统径向分布情况的定量描述，至关重要，可以用于更好地理解物质的性质，支持不同领域的研究，为科学技术的发展做出贡献。
液体 径向分布函数
液体径向分布函数液体径向分布函数是描述液体分子在空间中分布的一种重要统计量，广泛应用于材料科学、化学、物理等学科中的研究。
本文将具体介绍液体径向分布函数的定义、计算方法、物理意义以及应用。
液体中分子间相互作用很强，其分子间的距离分布是非均匀的，径向分布函数是刻画液体分子间距离分布的重要工具。
液体径向分布函数的定义为：在液体内，离分子中心距离为r的微元体积内有分子的平均数目与离分子中心距离为r的微元体积的比值。
即：$g(r)=\frac{1}{4\pi r^2 \rho}\frac{\sum_i \sum_{j\neq i}\delta(r-|r_i-r_j|)}{\sum_i 1}$ （1）其中，$\rho$为液体的密度，$r_i$为第i个分子的位置矢量。
从上式中可以看出，径向分布函数是一个距离的函数，表示距离为r的体积内所含分子数量与密度的比值，也称为“分子配位数”。
液体径向分布函数是通过计算在不同距离r上的微元体积内所含有的分子对数目，然后除以微元体积和粒子密度来得到的。
一般的，液体径向分布函数的计算方法分为以下两类：1.实验测定法：在实验中，可以通过X射线、中子散射等手段测定液体分子间的相互距离，进而得到径向分布函数。
2.计算机模拟方法：通过分子动力学模拟、分子动态学模拟等计算机模拟方法，可以计算出液体分子间的相互作用力，进而求解径向分布函数。
1.反映液体的壁效应：液体分子在固体表面附近的密度较大，径向分布函数可以反映出这种局部的密度变化，表征了液-固界面的结构。
2.描述分子自相似性：一般情况下，径向分布函数乘以体积元以后，是可以归一化的。
对于相同的液体，其径向分布函数在不同温度下呈现出自相似的特征，这表明液体在不同温度下具有相似的结构特征。
3.计算液体的热力学性质：液体径向分布函数是计算液体结构中间相互作用势能、压力、自由能等热力学性质的重要参数。
液体径向分布函数在化学、物理、材料科学等学科中应用广泛，主要应用包括以下几个方面：1.计算物质的相变和物性: 液体径向分布函数可以用于计算物质的相变和物性，如密度、粘度、热容等。
聚苯乙烯的径向分布函数
聚苯乙烯的径向分布函数聚苯乙烯（Polystyrene，简称PS）是一种经济、环保、耐高温的高分子材料，它具有优良的机械性能和电气性能，广泛应用于电子元件、医学仪器、汽车零部件等领域。
它的径向分布函数（Radial Distribution Function，RDF）可以反映它的结构性质，是研究其内部结构和性能的重要指标。
本文将详细阐述聚苯乙烯的径向分布函数，并对其应用进行探讨。
一、聚苯乙烯的径向分布函数聚苯乙烯是一种经济、环保、耐高温的高分子材料，具有优良的机械性能和电气性能，应用领域广泛。
它的径向分布函数（Radial Distribution Function，RDF）可以反映它的结构性质，是研究其内部结构和性能的重要指标。
聚苯乙烯的径向分布函数包括氢键、芳香环碳键和疏水性键等，氢键可以产生极大的非结构性结构，而芳香环碳键则具有良好的结构性结构，疏水性键可以促进聚苯乙烯的稳定性。
聚苯乙烯的径向分布函数的特点是，它的氢键和芳香环碳键的峰值分别处于1.8和2.9的位置，而疏水性键的峰值则处于3.7的位置。
二、聚苯乙烯的径向分布函数的应用1、可以用于推测聚苯乙烯的结构性质聚苯乙烯的径向分布函数可以反映它的结构性质，从而可以推测聚苯乙烯的结构性质。
例如，当聚苯乙烯的氢键峰值处于1.8的位置，则可以推测聚苯乙烯具有良好的结构性结构；而当芳香环碳键的峰值处于2.9的位置，则可以推测聚苯乙烯具有极大的非结构性结构；当疏水性键的峰值处于3.7的位置，则可以推测聚苯乙烯具有较强的稳定性。
2、可以用于确定聚苯乙烯的分子量聚苯乙烯的径向分布函数也可以用于确定聚苯乙烯的分子量。
当聚苯乙烯的芳香环碳键的峰值处于2.9的位置，则可以推测聚苯乙烯的分子量较大；而当聚苯乙烯的疏水性键的峰值处于3.7的位置，则可以推测聚苯乙烯的分子量较小。
三、结论聚苯乙烯的径向分布函数可以反映它的结构性质，是研究其内部结构和性能的重要指标。
原子轨道径向分布
原子轨道径向分布引言概述：原子轨道径向分布是描述原子中电子分布情况的重要概念。
它揭示了电子在原子核周围的概率分布，对于理解原子的结构和性质具有重要意义。
本文将从五个大点出发，详细阐述原子轨道径向分布的相关内容。
正文内容：1. 原子轨道的概念1.1 原子轨道的定义原子轨道是描述电子在原子中运动的概念，它是解释电子行为的数学函数。
原子轨道可以分为主量子数、角量子数和磁量子数等不同类型，每种类型的原子轨道具有不同的形状和能量。
1.2 原子轨道的径向分布原子轨道的径向分布是指电子在不同距离原子核的位置上的概率分布。
径向分布函数描述了电子在不同半径处的概率密度，反映了电子在原子中的分布情况。
不同类型的原子轨道具有不同的径向分布特征。
1.3 原子轨道的量子数对径向分布的影响不同的量子数对原子轨道的形状和径向分布有着明显的影响。
主量子数决定了原子轨道的能级，角量子数决定了原子轨道的形状，而磁量子数则决定了原子轨道的方向。
这些量子数的变化将导致原子轨道的径向分布发生相应的变化。
2. s轨道的径向分布2.1 s轨道的定义和特点s轨道是最简单的一种原子轨道，具有球对称的特点。
它的概率分布在原子核周围呈现出球形对称的分布，概率密度最大的位置在原子核附近。
2.2 s轨道的径向分布函数s轨道的径向分布函数可以用数学公式描述，一般为R(r) = A * e^(-r/a0)，其中R(r)表示径向分布函数，r表示距离原子核的距离，A和a0为常数。
2.3 s轨道的径向分布特征s轨道的径向分布特征是在原子核附近概率密度最大，随着距离的增加，概率密度逐渐减小。
s轨道的径向分布形状与主量子数有关，主量子数越大，s轨道的径向分布越分散。
3. p轨道的径向分布3.1 p轨道的定义和特点p轨道是比s轨道复杂一些的原子轨道，具有两个互相垂直的平面对称。
p轨道的概率分布在原子核周围呈现出两个球面对称的分布，概率密度最大的位置在原子核附近。
3.2 p轨道的径向分布函数p轨道的径向分布函数可以用数学公式描述，一般为R(r) = B * r * e^(-r/b0)，其中R(r)表示径向分布函数，r表示距离原子核的距离，B和b0为常数。
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三、径向分布函数法中心分子第一层：第一配位圈 第二层：第二配位圈 . . .短程有序，远程无序1、 基本概念，基本定义首先定义一个新的函数---n 重相关函数 为当系统的位能E N = 0 ,则系统内分子是独立的，由分布函数公式可得到：g(r)r因此对于分子相互独立的系统，，对于分子间有相互作用的系统，相当于对分子独立性的校正，亦即表示了分子的相关性，因而称之为相关函数。
相关函数中，最重要的是二重相关函数g(2)，它可由X射线衍射实验和计算机分子模拟的机器实验结果获得，由式子可知表示如下上式即二重相关函数与位形积分的关系。
对于由球星对称分子构成的液体，仅取决于分子1和2的距离，即可写成g(r)，所以就有故上式中的分子相对函数g(r)就是分子的径向分布函数。
因，即第一个分子是任意分布的。
由于液体分子间存在相互作用，第二个分子不可能任意分布，而构成相对于中心分子的局部密度，相应的二重分布函数为将上式代入到中得到所以径向分布函数g(r)的物理意义可解释为：在一个中心分子周围距离为r处，分子的局部密度相对于本体密度的比值。
从径向分布函数g(r)可以计算液体的配位数：实际上N为中心分子周围分子的总数，而为距中心分子r处在r + dr壳层内的分子数目。
若将上式积分到第一配位圈的距离L处，即可得到配位数N(L)为N(L)实际上也是围绕中心分子，半径为r=L的球体内的分子数。
如图已知：r1,r2…rN 代表坐标系原点，指向分子1，2，… N 的向量，体系分子1，分子2分别出现在r1处的体系元 的几率为：称双重标明分布函数；：泛指（任意分子分布在r1， r2处的概率）：双重分布函数()()()NkT r r u N kT q u K KNTr id d de d d d e Q N N ττττττϕϕϕ............121/...21/1⎰⎰⎰⎰=-*===2τd ()()()KN kT r r r u d d d d e d d r r P N ϕττττττ213/,...,21212]......[,21⎰⎰-=()()()KN kTr r u d d e r r P N ϕττ⎰⎰-=......,3/...2121()()21212,ττd d r r P()()212,r r ρ()()()()()()()2122212212,,1,r r PNr r P N N r r ≈-=ρxy所以： （几率归一化性质）N 重分布函数：（n 重标明分布函数）（n 重分布函数）数密度径向分布函数定义由式子得到，与一指定分子相距r 处，分子局部密度与平均数密度之比；的定义：()()()()()221212212121,1,NN N d d r r d d r r P V≈-==⎰⎰⎰⎰ττρττ()()()KN n r r r u N n d d e r r r P N ϕττ⎰⎰+-=.........,1,...,2121()()()()()()n n n n r r P n N N M r r ,...1...1,...11+--=ρ()()V r P 111=()()11111==⎰⎰V d d r P ττ()()V Nr n =1ρzr 1xr 2d τ1 d τ2yr 12 ()()ρρr r g =()()()()()()()1221212..,21r g P P r r r r =ρ()12r g ()()()()r g V N r g V N V N r (2)12122⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=ρ所以：最简单的： 2、热力学的计算（用径向分布函数计算）由正则系统配分函数为 从而得到系统的能量为E式中第一项为体系的平均动能，第二项为体系的平均位能。
位能 由证明：()()()r g V N r .22⎪⎭⎫⎝⎛=ρ()kTu e r g /-=K NTN Q kT kT F rϕϕ.!ln ln *⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=P K VK N V E E T kT NkT T kT E +=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=ϕϕln 23ln 2.2SdT PdV dT T F dV V F dF NV N T --=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=,,ϕϕln ln ,kT T T kT E TS E F NV -=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+=-=NV T F S ,⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-=NT V F P ,⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-=-U-U所以： 所以：（体系的位能函数）任一项的正则系统平均为：1：NV T kT E ,2ln ⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=ϕ()[]()()N kT r r u N N kT r r u VK d d e r r r u kTd d e T T N N ττττϕ...,..., (1)......1/,...2121/,..11--⎰⎰⎰⎰=∂∂=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂()()()N V T u d d e r r u V kT KNkTr r u NVK N ,,...,......ln 1/, (12)1--==⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⎰⎰ϕττϕ()()∑=ji ij ru q u φ()()()()[]()()()()()()()()()dr r r g r u V dr r r g r u d V d d r g r u V d d r r P r u d d d d e r u d d e r u u KN kTu K NkTr r u N 2021221122122121221213/211/, (21)41411,,............1,21ππτττττϕττττϕττ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∝---======drr d r g V r r P 221)2(4)(1),(πτ==分子2在分子1周围运动2：所以，（粒子数密度 ）所以：（液体能量公式）上式就是单原子分子流体的能量与径向分布函数的关系称之为能量方程。
已知正则系统中，体系压力可用下式表示式中，Q N 为位形积分，Q N = 。
又（压力公式）3、应用举例：()()()()drr r g r u r N r u N N U 202214221π⎰∞--≈-=()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎰∞0242123dr r r g r u V N kT N E πNT K N T V kT V F P ,,ln ⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-=ϕ()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰∞034611dr r r g dr r du V N kT V NkT P πVN=ρ()NkT be V V T a P T =⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+βφ2()TeT αφ=Van der Waals 方程中，a ，b 常数与T ，无关， 而这里推导出的是：均与T 有关，显然比Van der Waals 方程更好。
范德华方程本身也并不是一个精确的状态方程，它的参数a 、b 并未能确切地反应分子间的相互作用。
或：Van der Waals 模型：令： 则：（第一项：斥力 第二项：引力）势能也可以表示为：()T a φT be β()()drr r g drr du VN V NkT P 302246π⎰∝-=()()dr r r gdrr du VN NkT PV 30246π⎰∝-=()()σσσ≥⎪⎭⎫⎝⎛-=∞=r r u r u r r u ,,,60π()()()()kTr u e r g r f drr du /,-==r()()()()()()dre rf r dr e r f r dr r rg drr du kT r u kTr u /3/3304-∞--∞⎰⎰⎰+=σσξσπ⎰⎰∞-+=σσξσdrr f dr r f r u )()()(引力部分：又,波尔兹曼积分:考虑到：所以，斥力部分为：引力部分：所以：简化，已知： （分子体积）所以：又：所以：⎰⎰∞∞-==σσ)()(u r u drr f kTdrr f TkTdr r f dr r f er f eer f r⎰=⎰⎰--∞--+--⎰⎰δξδσξσσσξσβσξσσ)(3)()(3)()(drr f udy )(=3σβT kTe -)()(30)(130T u dr e r f r r f kT φσσ≈⎰⎰∞-∞)(3232)(3230232303T u VNe KT V N NKT T e u kTe V N NKT PV T T φσπσπφσσπββ-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=3061πσυ=)(4)4(0020T Vu V N e V NV NKT NKT PV T φβ-+=00204,4v u N a NV b ==NKT Vbe vV T a P T=++)1)()((2βφ或： 其中：----Reinganum 方程a, b ---范德华方程相比，均为温度的函数。
KNT be V VT a P T=-+))()((2βφT T beV vbe V ββ-≈--1)1(。