径向分布函数图

三、径向分布函数法中心分子第一层：第一配位圈 第二层：第二配位圈 . . .短程有序，远程无序1、 基本概念，基本定义首先定义一个新的函数---n 重相关函数 为当系统的位能E N = 0 ,则系统内分子是独立的，由分布函数公式可得到：g(r)r因此对于分子相互独立的系统，，对于分子间有相互作用的系统，相当于对分子独立性的校正，亦即表示了分子的相关性，因而称之为相关函数。

相关函数中，最重要的是二重相关函数g(2)，它可由X射线衍射实验和计算机分子模拟的机器实验结果获得，由式子可知表示如下上式即二重相关函数与位形积分的关系。

对于由球星对称分子构成的液体，仅取决于分子1和2的距离，即可写成g(r)，所以就有故上式中的分子相对函数g(r)就是分子的径向分布函数。

因，即第一个分子是任意分布的。

由于液体分子间存在相互作用，第二个分子不可能任意分布，而构成相对于中心分子的局部密度，相应的二重分布函数为将上式代入到中得到所以径向分布函数g(r)的物理意义可解释为：在一个中心分子周围距离为r处，分子的局部密度相对于本体密度的比值。

从径向分布函数g(r)可以计算液体的配位数：实际上N为中心分子周围分子的总数，而为距中心分子r处在r + dr壳层内的分子数目。

若将上式积分到第一配位圈的距离L处，即可得到配位数N(L)为N(L)实际上也是围绕中心分子，半径为r=L的球体内的分子数。

如图已知：r1,r2…rN 代表坐标系原点，指向分子1，2，… N 的向量，体系分子1，分子2分别出现在r1处的体系元 的几率为：称双重标明分布函数；：泛指（任意分子分布在r1， r2处的概率）：双重分布函数()()()NkT r r u N kT q u K KNTr id d de d d d e Q N N ττττττϕϕϕ............121/...21/1⎰⎰⎰⎰=-*===2τd ()()()KN kT r r r u d d d d e d d r r P N ϕττττττ213/,...,21212]......[,21⎰⎰-=()()()KN kTr r u d d e r r P N ϕττ⎰⎰-=......,3/...2121()()21212,ττd d r r P()()212,r r ρ()()()()()()()2122212212,,1,r r PNr r P N N r r ≈-=ρxy所以： （几率归一化性质）N 重分布函数：（n 重标明分布函数）（n 重分布函数）数密度径向分布函数定义由式子得到，与一指定分子相距r 处，分子局部密度与平均数密度之比；的定义：()()()()()221212212121,1,NN N d d r r d d r r P V≈-==⎰⎰⎰⎰ττρττ()()()KN n r r r u N n d d e r r r P N ϕττ⎰⎰+-=.........,1,...,2121()()()()()()n n n n r r P n N N M r r ,...1...1,...11+--=ρ()()V r P 111=()()11111==⎰⎰V d d r P ττ()()V Nr n =1ρzr 1xr 2d τ1 d τ2yr 12 ()()ρρr r g =()()()()()()()1221212..,21r g P P r r r r =ρ()12r g ()()()()r g V N r g V N V N r (2)12122⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=ρ所以：最简单的： 2、热力学的计算（用径向分布函数计算）由正则系统配分函数为 从而得到系统的能量为E式中第一项为体系的平均动能，第二项为体系的平均位能。

谈波函数的径向分布函数径向分布函数是用来描述波函数在空间中的分布情况的函数，它表示在某一距离处，波函数的幅值具有特定的分布特征。

径向分布函数描述了波函数与观察空间每一点之间的耦合情况，可以用来判断波函数在各点出现的概率和散射特性。

二、波函数的径向分布函数的表示径向分布函数一般表示为:R(θ,φ) = |F(θ,φ)|其中R(θ,φ)是径向分布函数，F(θ,φ)是波函数，θ、φ是球坐标。

径向分布函数实际上是波函数在某点处的模平方。

三、径向分布函数的特性1.依照空间点与源点距离大小而变化，常见的波函数距离变化的情况有：近场改变为1/r、r^2、R^3、R^4等比例关系，而远场改变为1/R^2、1/R^3等比例关系；2.在空间中是一种多重性，即它的幅度并没有确定的最大值，特定空间点的径向分布函数值耦合周围空间点的函数值；3.处处是正实数，其总和值应该为1，否则就不属于自由空间；四、应用1.径向分布函数可以用于评价波函数在不同空间点的发射特性和接收特性，这是一种基于空间的信号模拟；2.可以用径向分布函数模型来模拟波在空间上的衰减，例如用于天线理论中的模拟；3.它可以作为一种模型用于更复杂的设备，如光学设备和声学设备等，辅助定位；4.用径向分布函数可以估算发射端和接收端之间的链路参数和路径损失，如Doppler移频模型中的衰落估计，无线电现场强度的估计等；五、需要注意的问题计算当前点的径向分布函数时，必须将整个波函数空间的数据收集，虽然它们之间可能没有任何直接联系，但是这可能会对计算速度产生很大影响，特别是在大量空间数据和波函数数据的情况下。

同时，在计算径向分布函数的过程中，波函数的空间连续性也是很重要的。

不同位置的波函数之间有连续性的关系，互相影响，这个关系必须满足才能更好地描述实际环境中波函数的分布特性。

六、结论径向分布函数是用以描述波函数在空间中的分布情况的函数，它可以用于判断波函数在各点出现的概率和散射特性，是用于模拟波在空间上的衰减、定位等领域的重要工具。

Materials Studio 案例2：水分子在1atm ，298K 下的径向分布和扩散系数计算目的：用Materials Studio （MS ）软件模拟计算1atm ，25℃下，500个水分子无定形体系的径向分布函数和扩散系数。

模块：Amorphous cell, Discover简介：径向分布函数g(r)：以流体系统中一个分子为目标分子，与其中心距离由r dr →间的分子数目为dN ，则2()4dN g r r drρπ=可理解为区域密度与平均密度的比。

分子扩散系数：在一个不流动的环境中，若某组分在空间各位置点上的浓度不同，则此组分的分子便可能从浓度高的地方传递到浓度低的地方。

这是靠分子扩散的方式传递的。

单位面积和传递速率与浓度梯度（即两点的浓度差除以这两点间的距离）成正比。

这比例常数称为分子扩散系数。

1.建立初始结构(1)建造一个的水分子运行MS ，新建一个Project 命名为water molecular 。

打开一个新的xsd 文档命名为H2O.xsd 。

在工具栏选择Sketch Atom 工具绘制一个水分子，如下图所示。

然后点击Clean 工具修正得到合理的几何构象。

(2)建造多分子水的无定型体系选择菜单栏Modules 上的Amorphous Cell ，在下拉列表中选择Construction ，打开Amorphous Cell Construction 对话框。

点击Add 按钮将水分子添加到体系中，单击Constituent molecules 栏中Number 下的数字，设为500。

相应的，温度298K ；Number of configurations 填1；Cell type 选Periodic cell(设置体系含有周期性边界条件)；水密度0.997g/cc 。

在Setup 选项卡中，选用Compass 力场；Job description 可设置任务名称。

点击Construct开始构建，在Project explorer中出现了一个新的名为Sketch 1 AC Constr 的文件夹。

第二节氢原子的波函数波函数氢原子是所有原子中最简单的原子，它核外仅有一个电子，电子在核外运动时的势能，只决定于核对它的吸引，它的Schrödinge r方程可以精确求解。

能够精确求解的还有类氢离子，如He+、Li2+离子等。

为了求解方便，要把直角坐标表示的ψ(x，y，z) 改换成球极坐标表示的ψ(r,θ，φ)，二者的关系如图8-3所示：r表示P点与原点的距离，θ、φ称为方位角。

x = r sinθcosφy = r sinθsinφz = r cosθ解出的氢原子的波函数ψn,l,m(r,θ，φ)及其相应能量列于表8-1中。

图8-3 直角坐标转换成球极坐标表8-1氢原子的一些波函数及其能量轨道ψn，l，m(r,θ, φ)R n，l (r)Y l，m (θ, φ)能量/J1sA1e-B rA1e-B r-2.18×10-182sA2re-B r/2A2re-B r/2-2.18×10-18/222p zA3re-B r/2cosθA3re-B r/2cosθ-2.18×10-18/222p xA3re-B r/2sinθcosφA3re-B r/2sinθcosφ-2.18×10-18/222p yA3re-B r/2sinθsinφA3re-B r/2sinθsinφ-2.18×10-18/22* A1、A2、A3、B均为常数为了方便起见，量子力学借用Bohr N H D理论中“原子轨道” (atomic orbit)的概念，将波函数仍称为原子轨道(atomic orbital)，但二者的涵义截然不同。

例如：Bohr N H D认为基态氢原子的原子轨道是半径等于52.9 pm的球形轨道。

而量子力学中，基态氢原子的原子轨道是波函数ψ1S(r,θ,φ)=A1e-Br，其中A1 和B均为常数，它说明ψ1S在任意方位角随离核距离r改变而变化的情况，它代表氢原子核外1s电子的运动状态，但并不表示1s电子有确定的运动轨道。

rdf 径向分布函数RDF径向分布函数（Radial Distribution Function）是一种常见的统计方法，主要用于描述固体物质中原子或分子之间的相互作用。

该方法的核心思想是通过量化物质中颗粒之间的相对距离对分子结构进行建模和分析。

下面将分步骤介绍RDF径向分布函数的基本原理和应用。

第一步：什么是RDF径向分布函数？RDF径向分布函数是一种用于描述粒子分布的函数。

它描述物质中两个颗粒之间的距离分布情况。

通过分析不同彼此之间颗粒距离概率分布的函数，可以更好地解释和描述固体物质中的粒子结构。

第二步：RDF径向分布函数的公式RDF径向分布函数的计算式如下：g(r) = V/(N*N*4*pi*r^2*dr)其中，g(r)为径向分布函数值；V为体积；N为颗粒数；pi为圆周率，r为颗粒间距；dr为间隔。

第三步：RDF径向分布函数的应用RDF径向分布函数是一种广泛应用的统计工具。

它可以用于凝聚态物理、化学等领域，主要有以下几个应用：1.描述物质的结构：通过分析某种物质中颗粒距离的分布情况，可以更好地解释物质的内部结构。

2.预测物质的性质：由于不同的粒子结构会影响物质特性和性质，通过RDF径向分布函数，可以预测物质的性质，从而为工业生产提供可靠参考。

3.分析物质的相互作用：通过分析原子或分子之间的相对距离，可以深入研究它们之间的相互作用、反应机理等。

4.开发新材料：RDF径向分布函数可以帮助制定新材料的合成方法，预测材料性质，并指导合成过程中的优化。

总之，RDF径向分布函数是一种重要的统计方法，可以在物理、化学等领域中广泛应用。

它的主要优点是能够深入研究物质的内部结构和相互作用，拓展研究领域，为科学研究和工程应用提供了可靠的分析和预测手段。