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2016-2017学年福建省厦门市高二下学期期末数学试卷(理科)(解析版)

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2016-2017学年福建省厦门市高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）复数（i为虚数单位）在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）抛物线x2=4y上一点P（a，1）到焦点的距离是（）A．1 B．2 C．3 D．43．（5分）甲、乙、丙、丁4人站成一排，要求甲、乙相邻，则不同的排法数是（）A．6 B．12 C．18 D．244．（5分）在一次投篮训练中，甲、乙两人各投一次，设p：“甲投中”，q：“乙投中”，则“至少一人没有投中”可表示为（）A．（￢p）∨（￢q）B．p∨（￢q）C．（￢p）∧（￢q）D．p∨q 5．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，N为BB1的中点，则直线AN与B1C所成角的余弦值是（）A．B．C．D．6．（5分）已知正态分布密度函数φμ，σ（x）=，x∈（﹣∞，+∞），以下关于正态曲线的说法错误的是（）A．曲线与x轴之间的面积为1B．曲线在x=μ处达到峰值C．当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移D．当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“矮胖”7．（5分）若（1﹣x）n的二项展开式中仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中所有项的系数的绝对值之和是（）A．1 B．256 C．512 D．10248．（5分）现有红、黄、蓝三种颜色供选择，在如图所示的五个空格里涂上颜色，要求相邻空格不同色，则不同涂色方法的种数是（）A．24 B．36 C．48 D．1089．（5分）我国古代数学名著《九章算术》中记录割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在2﹣中“…”即代表无限次重复，但原式是个定制x，这可以通过方程2﹣=x解得x=1，类比之，=（）A．B．﹣1或2 C．2 D．410．（5分）已知函数f（x）=（x2+ax+b）e x+1的大致图象如图所示，则a、b的值可能是（）A．a=﹣1，b=2 B．a=3，b=﹣2 C．a=4，b=4 D．a=﹣1，b=﹣211．（5分）抛物线C：y2=2px（p＞0）与椭圆E：+=1（a＞b＞0）有相同焦点F，两条曲线在第一象限内的交点为A，若直线OA的斜率为2，则椭圆的离心率为（）A．B．C．﹣1 D．12．（5分）已知函数f（x）满足f（1+x）=f（1﹣x），且x≥1时，f（x）=xlnx，若不等式f（e x+1）≥f（ax+1）对任意x∈[0，3]恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[﹣e，e]B．[﹣，]C．[﹣e，]D．（﹣∞，e]二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）x2（1+）5展开式中的常数项是．14．（5分）（x +cosx ）dx= ．15．（5分）已知p ：a ≤m ，q ：函数f （x ）=sin2x ﹣ax 在[0，]上单调递增，若p 是q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是 ． 16．（5分）已知双曲线C ：﹣=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F （c ，0），双曲线C 上一点N 满足|ON |=c ，若双曲线的一条渐近线平分∠FON ，则双曲线的两条渐近线方程是 ．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）教育部考试中心在对高考试卷难度与区分性能分析的研究中，在2007至2016十年间对每年理科数学的高考试卷随机抽取了若干样本，统计得到解答题得分率x 以及整卷得分率y 的数据，如下表：（1）利用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程；（精确到0.01） （2）若以函数y=0.85﹣0.01来拟合y 与x 之间的关系，计算得到相关指数R 2=0.87，对比（1）中模型，哪一个模型拟合效果更好？参考公式：=，=﹣，R 2=1﹣参考数据：≈3.7，≈5，≈1.89，≈1.429，≈0.006，（y i﹣）2≈0.036其中表示（1）中拟合直线对应的估计值．18．（12分）已知函数f（x）=x3+ax2﹣6x+b（b＞0）在x=2处取得极值．（1）求f（x）的单调区间；（2）若f（x）有两个零点，求f（x）在x=1处的切线方程．19．（12分）某商场周年庆，准备提供一笔资金，对消费满一定金额的顾客以参与活动的方式进行奖励，顾客从一个装有大小相同的2个红球和4个黄球的袋中按指定规则取出2个球，根据取到的红球数确定奖励金额，具体金额设置如下表：现有两种取球规则的方案：方案一：一次性随机取出2个球；方案二：依次有放回取出2个球．（1）比较两种方案下，一次抽奖获得50元奖金概率的大小；（2）为使得尽可能多的人参与活动，作为公司负责人，你会选择哪种方案？请说明理由．20．（12分）如图，四边形ABCD为菱形，将△CBD沿BD翻折到△EBD的位置．（1）求证：直线BD⊥平面ACE；（2）若二面角E﹣BD﹣C的大小为60°，∠DBE=60°，求直线CE与平面ABE所成角的正弦值．21．（12分）已知圆C：x2+（y﹣）2=经过椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点F1、F2，点N为圆C与椭圆E的一个交点，且直线F1N过圆心C．（1）求椭圆E的方程；（2）直线l与椭圆E交于A、B两点，点M的坐标为（3，0），若•=﹣3，求证：直线l过定点．22．（12分）已知函数f（x）=ln（x+1）﹣ax，a∈R．（1）讨论f（x）的极值；（2）若≤ax对任意x∈[0，+∞）恒成立，求实数a的取值范围（其中e为自然对数的底数）．2016-2017学年福建省厦门市高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）复数（i为虚数单位）在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数在复平面上对应的点的坐标得答案．【解答】解：∵=，∴复数在复平面上对应的点的坐标为（），位于第一象限．故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2．（5分）抛物线x2=4y上一点P（a，1）到焦点的距离是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】求出抛物线的焦点坐标，利用抛物线的定义转化求解即可．【解答】解：抛物线x2=4y的焦点坐标（0，1），准线方程为：y=﹣1，由抛物线的定义可得：抛物线x2=4y上一点P（a，1）到焦点的距离是：2．故选：B．【点评】本题考查抛物线的定义、简单性质的应用，考查计算能力．3．（5分）甲、乙、丙、丁4人站成一排，要求甲、乙相邻，则不同的排法数是（）A．6 B．12 C．18 D．24【分析】根据题意，分2步进行分析：①、用捆绑法分析：将甲乙看成一个整体，考虑两人之间的顺序，②、将这个整体与丙、丁进行全排列，求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①、将甲乙看成一个整体，考虑两人之间的顺序，有A22=2种情况，②、将这个整体与丙、丁进行全排列，有A33=6种顺序，则有2×6=12种不同的排法；故选：B．【点评】本题考查排列、组合的应用，注意要求“甲、乙相邻”，需要用捆绑法分析．4．（5分）在一次投篮训练中，甲、乙两人各投一次，设p：“甲投中”，q：“乙投中”，则“至少一人没有投中”可表示为（）A．（￢p）∨（￢q）B．p∨（￢q）C．（￢p）∧（￢q）D．p∨q【分析】根据题意，分析可得￢p与￢q的意义，又由“至少一人没有投中”即“甲没有投中”或“乙没有投中”，由复合命题的意义即可得答案．【解答】解：根据题意，设p：“甲投中”，q：“乙投中”，则￢p表示甲没有投中，￢q表示乙没有投中，“至少一人没有投中”即“甲没有投中”或“乙没有投中”，则“至少一人没有投中”可表示为（￢p）∨（￢q）；故选：A．【点评】本题考查简易逻辑的性质以及应用，注意理解“至少一人没有投中”的含义．5．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，N为BB1的中点，则直线AN与B1C所成角的余弦值是（）A．B．C．D．【分析】建立空间直角坐标系，先求向量，，夹角的余弦值，可得异面直线所成角的余弦值，可得答案．【解答】解：分别以DA、DC、DD1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，可得D（0，0，0），A（2，0，0），N（2，2，1），B1（2，2，2），C（0，2，0），∴=（0，2，1），=（﹣2，0，﹣2），∴∴cos＜，＞==﹣，∴异面直线DE与B1C所成角的余弦值为，故选：D．【点评】本题考查异面直线所成的角，建立空间直角坐标系是解决问题的关键，属中档题．6．（5分）已知正态分布密度函数φμ，σ（x）=，x∈（﹣∞，+∞），以下关于正态曲线的说法错误的是（）A．曲线与x轴之间的面积为1B．曲线在x=μ处达到峰值C．当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移D．当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“矮胖”【分析】根据函数的性质判断．【解答】解：由概率之和为1可知A正确；∵﹣≤0，∴φ（x）≤，当且仅当x=μ时取等号，故B正确；当σ一定时，曲线的形状是固定的，曲线关于直线x=μ对称，故C正确；当μ一定时，曲线的对称轴固定，∴σ越小是，曲线的最大值越大，故曲线月高瘦，故D错误．故选D．【点评】本题考查了正态分布曲线的性质，属于基础题．7．（5分）若（1﹣x）n的二项展开式中仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中所有项的系数的绝对值之和是（）A．1 B．256 C．512 D．1024【分析】由（1﹣x）n的二项展开式中仅有5项的二项式系数最大，得到n=8，由此能求出展开式中所有项的系数的绝对值之和．【解答】解：∵（1﹣x）n的二项展开式中仅有第5项的二项式系数最大，∴n=8，∴展开式中所有项的系数的绝对值之和是：=28=256．故选：B．【点评】本题考查二项展开式中所有项的系数的绝对值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意二项式定理的合理运用．8．（5分）现有红、黄、蓝三种颜色供选择，在如图所示的五个空格里涂上颜色，要求相邻空格不同色，则不同涂色方法的种数是（）A．24 B．36 C．48 D．108【分析】根据题意，从左到右依次分析5个空格的涂色方法数目，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，先给左边第一个位置涂色，可以涂3种不同的颜色中的任意一种，有3种涂法，再给第二个位置涂色，只能涂剩余的两种中的一种有，有2种涂法，同理：第三、四、五个位置都只有2中涂法，则一共有3×2×2×2×2=48种涂色方法；故选：C．【点评】本题考查了排列、组合及简单的计数问题，解答此题的关键是正确分类，分类要做到不重不漏．9．（5分）我国古代数学名著《九章算术》中记录割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在2﹣中“…”即代表无限次重复，但原式是个定制x，这可以通过方程2﹣=x解得x=1，类比之，=（）A．B．﹣1或2 C．2 D．4【分析】通过已知得到求值方法：先换元，再列方程，解方程，求解（舍去负根），再运用该方法，注意两边平方，得到方程，解出方程舍去负的即可．【解答】解：由已知代数式的求值方法：先换元，再列方程，解方程，求解（舍去负根），可得要求的式子．令=m（m＞0），则两边平方得，则2+=m2，即2+m=m2，解得，m=2，m=﹣1舍去．故选：C．【点评】本题考查类比推理的思想方法，考查从方法上类比，是一道基础题．10．（5分）已知函数f（x）=（x2+ax+b）e x+1的大致图象如图所示，则a、b的值可能是（）A．a=﹣1，b=2 B．a=3，b=﹣2 C．a=4，b=4 D．a=﹣1，b=﹣2【分析】根据得f（0）=b+1＜0，排除A、C，利用导数求得函数的极小值点大于零，排除B，可得答案．【解答】解：结合图象，令x=0，可得f（0）=b+1＜0，∴b＜﹣1，故排除A、C．令f′（x）=（2x+a）e x=0，求得x=﹣，可得﹣是函数的极小值点，结合图象，﹣＞0，∴a＜0，故排除B，故选：D．【点评】本题主要考查函数的图象特征，利用导数研究函数的极值，属于中档题．11．（5分）抛物线C：y2=2px（p＞0）与椭圆E：+=1（a＞b＞0）有相同焦点F，两条曲线在第一象限内的交点为A，若直线OA的斜率为2，则椭圆的离心率为（）A．B．C．﹣1 D．【分析】由题意可得：=．设A（x0，2x0）．代入y2=2px．则=2px0，x0＞0，解得x0．把x=c代入椭圆方程可得：=1，y＞0．解得y=，可得p=．于是=2，进而得出离心率．【解答】解：由题意可得：=．设A（x0，2x0）．代入y2=2px．则=2px0，x0＞0，解得x0=．把x=c代入椭圆方程可得：=1，y＞0．解得y=．∴p=．∴=2，化为：+4﹣4=0，解得：=2﹣2．∴e====﹣1．故选：C．【点评】本题考查了椭圆与抛物线的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．（5分）已知函数f（x）满足f（1+x）=f（1﹣x），且x≥1时，f（x）=xlnx，若不等式f（e x+1）≥f（ax+1）对任意x∈[0，3]恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[﹣e，e]B．[﹣，]C．[﹣e，]D．（﹣∞，e]【分析】函数f（x）满足f（1+x）=f（1﹣x），可得函数f（x）的图象关于直线x=1对称．x≥1时，f（x）=xlnx，由于f′（x）＞0，可得函数f（x）单调递增；x ＜1时，函数f（x）单调递减．①当ax+1≥1时，由不等式f（e x+1）≥f（ax+1）对任意x∈[0，3]恒成立，可得a≥0，e x+1≥ax+1，即e x≥ax，对任意x∈[0，3]恒成立．x=0时恒成立．x∈（0，3]时a≤，令g（x）=，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．②当ax+1＜1时，ax＜0．由不等式f（e x+1）≥f（ax+1）化为f（1﹣e x）≥f（ax+1）对任意x∈[0，3]恒成立，a＜0．x＜1时，函数f（x）单调递减．可得1﹣e x≤ax+1，化简利用导数研究函数的单调性即可得出．【解答】解：函数f（x）满足f（1+x）=f（1﹣x），∴函数f（x）的图象关于直线x=1对称．x≥1时，f（x）=xlnx，∴f′（x）=lnx+1≥1＞0，因此函数f（x）单调递增；可得x＜1时，函数f（x）单调递减．e x+1＞1．①当ax+1≥1时，由不等式f（e x+1）≥f（ax+1）对任意x∈[0，3]恒成立，∴a≥0，e x+1≥ax+1，即e x≥ax，对任意x∈[0，3]恒成立．x=0时恒成立．x∈（0，3]时a≤，令g（x）=，g′（x）=，可得x=1时，函数g（x）取得极小值即最小值，g（1）=e．∴a≤e．∴0≤a≤e．②当ax+1＜1时，ax＜0．由不等式f（e x+1）≥f（ax+1）化为f（1﹣e x）≥f（ax+1）对任意x∈[0，3]恒成立，∴a＜0．∵x＜1时，函数f（x）单调递减．∴1﹣e x≤ax+1，即﹣e x≤ax．x=0时恒成立．当x∈（0，3]时，a≥﹣，令h（x）=﹣，h′（x）=，可得x=1时，函数h（x）取得极大值即最大值，h（1）=﹣e．∴﹣e≤a＜0．综上可得：﹣e≤a≤e．故选：A．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论方法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）x2（1+）5展开式中的常数项是40．【分析】先求出（1+）5展开式中含的项，再计算x2（1+）5展开式中的常数项．【解答】解：（1+）5展开式中的通项公式为：T r+1=•，当r=2时，•=；∴x2（1+）5展开式中的常数项是x2•=40．故答案为：40．【点评】本题考查了二项展开式通项公式的应用问题，是基础题．14．（5分）（x+cosx）dx=2．【分析】由于F（x）=x2+sinx为f（x）=x+cosx的一个原函数即F′（x）=f（x），根据∫a b f（x）dx=F（x）|a b公式即可求出值．【解答】解：∵（x2++sinx）′=x+cosx，∴（x+cosx）dx=（x2+sinx）=2．故答案为：2．【点评】此题考查学生掌握函数的求导法则，会求函数的定积分运算，是一道中档题15．（5分）已知p：a≤m，q：函数f（x）=sin2x﹣ax在[0，]上单调递增，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是（﹣∞，1）．【分析】由q：函数f（x）=sin2x﹣ax在[0，]上单调递增，先求出f（x）的导数，由题意可得f′（x）≥0恒成立，根据三角形函数的性质求出a的范围，再根据p是q的充分不必要条件即可求出m的取值范围【解答】解：∵函数f（x）=sin2x﹣ax在[0，]上单调递增，∴f′（x）=2cos2x﹣a≥0，在[0，]上恒成立，∴a≤2cos2x，∵x∈[0，]，∴2x∈[0，]，∴1≤2cos2x≤2，∴a≤1，∵p是q的充分不必要条件，p：a≤m，∴m＜1，故答案为：（﹣∞，1）【点评】本题考查导数的运用：求单调性，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离，考查函数的单调性的运用，属于中档题．16．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（c，0），双曲线C上一点N满足|ON|=c，若双曲线的一条渐近线平分∠FON，则双曲线的两条渐近线方程是y=±2x．【分析】设双曲线的左焦点为F'，连接NF'，可得NF'与渐近线平行，即有NF⊥NF'，设|NF'|=m，运用双曲线的定义和正切函数的定义，求得m，再由勾股定理和渐近线方程，即可得到所求．【解答】解：设双曲线的左焦点为F'，连接NF'，由双曲线的渐近线y=x垂直平分线段NF'，可得NF'与渐近线平行，即有NF⊥NF'，设|NF'|=m，由双曲线的定义可得|NF|=2a+m，由渐近线的斜率可得tan∠NF'F==，解得m=，在直角三角形NFF'中，可得（2c）2=m2+（2a+m）2，即有4c2=（）2+（）2，由c2=a2+b2，化简可得（b﹣a）2=a2，即为b=2a，则双曲线的两条渐近线方程是y=±x，即为y=±2x．故答案为：y=±2x．【点评】本题考查双曲线的渐近线方程的求法，注意运用双曲线的定义和垂直平分线的性质，以及勾股定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）教育部考试中心在对高考试卷难度与区分性能分析的研究中，在2007至2016十年间对每年理科数学的高考试卷随机抽取了若干样本，统计得到解答题得分率x以及整卷得分率y的数据，如下表：（1）利用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；（精确到0.01）（2）若以函数y=0.85﹣0.01来拟合y与x之间的关系，计算得到相关指数R2=0.87，对比（1）中模型，哪一个模型拟合效果更好？参考公式：=，=﹣，R2=1﹣参考数据：≈3.7，≈5，≈1.89，≈1.429，≈0.006，（y i﹣）2≈0.036其中表示（1）中拟合直线对应的估计值．【分析】（1）根据题意n=10，计算平均数与回归系数，写出线性回归方程；（2）根据相关指数R2=0.87，计算（1）中模型的相关指数R2≈0.83，比较得出（2）中拟合效果要好些．【解答】解：（1）根据题意，n=10，=x i=0.37，=y i=0.5，==≈0.67，=﹣=0.5﹣0.67×0.37≈0.25，∴y关于x的线性回归方程=0.67x+0.25；（2）以函数y=0.85﹣0.01来拟合y与x之间的关系，计算得到相关指数为R2=0.87，又（1）中模型，计算相关指数为R2=1﹣=1﹣≈0.83，∵0.87＞0.83，∴（2）中拟合效果要好些．【点评】本题考查了线性回归方程的求法与根据相关指数判断拟合效果的应用问题，是中档题．18．（12分）已知函数f（x）=x3+ax2﹣6x+b（b＞0）在x=2处取得极值．（1）求f（x）的单调区间；（2）若f（x）有两个零点，求f（x）在x=1处的切线方程．【分析】（1）求出f（x）的导数，由题意可得f′（2）=0，解方程可得a，再由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间；（2）由f（x）的单调区间，可得f（﹣1）为极大值b+，f（2）为极小值b﹣10，由b＞0且f（x）有两个零点，可得b=10，求得f（x）在x=1处切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到所求切线的方程．【解答】解：（1）函数f（x）=x3+ax2﹣6x+b（b＞0）的导数为f′（x）=3x2+2ax﹣6，由f（x）在x=2处取得极值，可得f′（2）=12+4a﹣6=0，解得a=﹣，即有f′（x）=3x2﹣3x﹣6，由f′（x）＞0，可得x＞2或x＜﹣1；由f′（x）＜0，可得﹣1＜x＜2．则f（x）的增区间为（﹣∞，﹣1），（2，+∞）；减区间为（﹣1，2）；（2）由f（x）=x3﹣x2﹣6x+b（b＞0），由f（x）的增区间为（﹣∞，﹣1），（2，+∞）；减区间为（﹣1，2），可得f（﹣1）为极大值b+，f（2）为极小值b﹣10，由f（x）有两个零点，可得b﹣10=0，即b=10，f（x）=x3﹣x2﹣6x+10的导数为f′（x）=3x2﹣3x﹣6，可得f（x）在x=1处的切线斜率为﹣6，切点为（1，），则f（x）在x=1处的切线方程为y﹣=﹣6（x﹣1），即为12x+2y﹣19=0．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值，考查方程思想和运算能力，属于中档题．19．（12分）某商场周年庆，准备提供一笔资金，对消费满一定金额的顾客以参与活动的方式进行奖励，顾客从一个装有大小相同的2个红球和4个黄球的袋中按指定规则取出2个球，根据取到的红球数确定奖励金额，具体金额设置如下表：现有两种取球规则的方案：方案一：一次性随机取出2个球；方案二：依次有放回取出2个球．（1）比较两种方案下，一次抽奖获得50元奖金概率的大小；（2）为使得尽可能多的人参与活动，作为公司负责人，你会选择哪种方案？请说明理由．【分析】（1）记在方案一下一次抽奖获得的奖金为随机变量ξ，在方案二下一次抽奖获得的奖金为随机变量η，方案二中，从6个球中任取一球，恰是红球的概率p=，利用古典概型求出P（ξ=50），利用相互独立事件概率乘法公式求出P （η=50），由P（ξ=50）＜P（η=50），得到第二种方案一次抽奖获得50元奖金概率更大．（2）求出选择方案一时的数学期望E（ξ）和选择方案二时的数学期望E（η），由E（ξ）＜E（η），作为公司负责人应选择方案一才能使尽可能多的人参与活动．【解答】解：（1）记在方案一下一次抽奖获得的奖金为随机变量ξ，在方案二下一次抽奖获得的奖金为随机变量η，方案二中，从6个球中任取一球，恰是红球的概率p=，则P（ξ=50）==，P（η=50）=（）2=，∵P（ξ=50）＜P（η=50），∴第二种方案一次抽奖获得50元奖金概率更大．（2）方案一：P（ξ=5）==，P（ξ=10）==，P（ξ=50）=，E（ξ）==，方案二：P（η=5）=（1﹣）2=，P（η=10）==，P（η=50）=（）2=，E（η）=，E（ξ）＜E（η），作为公司负责人应选择方案一才能使尽可能多的人参与活动．【点评】本题考查概率、离散型随机变量的数学期望等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．20．（12分）如图，四边形ABCD为菱形，将△CBD沿BD翻折到△EBD的位置．（1）求证：直线BD⊥平面ACE；（2）若二面角E﹣BD﹣C的大小为60°，∠DBE=60°，求直线CE与平面ABE所成角的正弦值．【分析】（1）连结AC、BD，交于点O，连结EO，推导出EO⊥BD，CO⊥BD，由此能证明BD⊥平面ACE．（2）以O为坐标原点，OB为x轴，OC为y轴，过O作平面ABCD的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线CE与平面ABE所成角的正弦值．【解答】证明：（1）连结AC、BD，交于点O，连结EO，∵四边形ABCD为菱形，∴EO⊥BD，CO⊥BD，∵EO∩CO=O，EO，CO⊂平面ACE，∴BD⊥平面ACE．解：（2）以O为坐标原点，OB为x轴，OC为y轴，过O作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，设AB=2，则C（0，，0），E（0，，），A（0，﹣，0），B（1，0，0），=（0，﹣，），=（﹣1，﹣，0），=（﹣1，，），设平面ABE的法向量=（x，y，z），则，取y=1，得=（﹣，1，﹣），设直线CE与平面ABE所成角为θ，则sinθ===．∴直线CE与平面ABE所成角的正弦值为．【点评】本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．21．（12分）已知圆C：x2+（y﹣）2=经过椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点F1、F2，点N为圆C与椭圆E的一个交点，且直线F1N过圆心C．（1）求椭圆E的方程；（2）直线l与椭圆E交于A、B两点，点M的坐标为（3，0），若•=﹣3，求证：直线l过定点．【分析】（1）由题意可知：丨F1N丨=3，根据中位线定理，即可求得丨NF2丨=2丨OC丨=，利用椭圆的定义，即可求得a的值，代入圆的方程，即可求得c的值，即可求得椭圆方程；（2）方法一：分类讨论，设直线l的方程，代入椭圆方程，根据向量的坐标运算，即可求得t的值，即可证明直线l过定点P（2，0）；方法二：同理，由图形的对称轴，直线l所过定点在x轴上，不妨设定点P（t，0）设直线l：y=k（x﹣2），代入椭圆方程，利用韦达定理及向量的坐标运算，即可求得•=﹣3．【解答】解：（1）由题意可知：圆心为（0，），半径r=，直线F1N过圆心C，则直线F1N过圆心的直径，则丨F1N丨=3，O，C分别为F1N及F1F2N中点，则OC为△NDF1F2的中位线，则丨NF2丨=2丨OC丨=，则2a=丨NF2丨+丨NF1丨=4，即a=2，将F2（c，0）代入圆方程，解得：c=，则b==，∴椭圆的标准方程为：；（2）证明：方法一：证明若直线l不平行x轴，这直线l：x=my+t，则，整理得：（m2+2）y2+2mty+t2﹣12=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则△=12m2﹣8t2+96＞0，则y1+y2=﹣，y1y2=，则•=（x1﹣3）（x2﹣3）+y1y2=﹣3，则﹣+（t﹣3）2+3=0，整理得：3t2﹣12t+12=0，解得：t=2，满足△＞0，直线l垂直y轴，设直线y=n，将y=n代入椭圆，整理得：x2=12﹣12n2，则x1x2=12n2﹣12，x1+x2=0，则•=﹣（x1﹣3）（x2﹣3）+y1y2=3n2﹣3=﹣3，解得：n=0，即直线l也过定点P（2，0），则直线l过定点P（2，0）．方法二：证明：由图形的对称轴，直线l所过定点在x轴上，不妨设定点P（t，0）若直线l垂直与x轴，直线l：x=t，代入椭圆方程，则A（t，），B（t，﹣）或A（t，﹣），B（t，），由•=﹣3，则（t﹣3）2﹣=﹣3，整理得：t2﹣4t+4=0，解得：t=2，（2）设直线l不垂直与x轴时，设直线l：y=k（x﹣2），联立方程：，整理得：（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣12=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，△=16（4k2+3）＞0由•=（x1﹣3）（x2﹣3）+y1y2=（x1﹣3）（x2﹣3）+k2（x1﹣2）（x1﹣2），=（1+k2）x1x2﹣（3+2k2）（x1+x2）+9+4k2，=，==﹣3，符合题意，综上可知：直线l恒过定点（2，0）．【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．22．（12分）已知函数f（x）=ln（x+1）﹣ax，a∈R．（1）讨论f（x）的极值；（2）若≤ax对任意x∈[0，+∞）恒成立，求实数a的取值范围（其中e为自然对数的底数）．【分析】（1）求出﹣a，（x＞﹣1），a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（﹣1，）上单调递增，无极值；当a＞0时，，当﹣1＜x＜时，f′（x）＞0，当x＞时，f′（x）＜0，由此能求出当a≤0时，f （x）无极值；当a＞0时，f（x）有极大值﹣lna+a﹣1，无极小值．（2）推导出≤ax，即ln（x+1）﹣axe x≤0，记F（x）=ln（x+1）﹣axe x （x≥0），只需F（x）max≤0，，由此利用导数性质及分类讨论思想能求出实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵函数f（x）=ln（x+1）﹣ax，a∈R，∴﹣a，（x＞﹣1），①当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（﹣1，）上单调递增，无极值；②当a＞0时，，当﹣1＜x＜时，f′（x）＞0，f（x）在（﹣1，）上单调递增；当x＞时，f′（x）＜0，f（x）在（，+∞）上单调递减．∴y=f（）=﹣lna+a﹣1，无极小值．极大值综上：当a≤0时，f（x）无极值；当a＞0时，f（x）有极大值﹣lna+a﹣1，无极小值．（2）∵≤ax对任意x∈[0，+∞）恒成立，∴≤ax，∴ln（x+1）﹣axe x≤0，记F（x）=ln（x+1）﹣axe x（x≥0），只需F（x）max≤0，∴，①当a≤0时，＞0，a（x+1）e x≤0，∴F′（x）＞0，F（x）在[0，+∞）上是单调递增函数，∴当x＞0时，F（x）＞F（0）=0，不合题意，舍去．②当a＞0时，．（i）当a≥1时，∵x≥0，∴a（x+1）2e x≥1，∴≤0，∴F（x）在[0，+∞）上单调递减，故当x≥0时，F（x）≤F（0）=0，符合题意．（ii）当0＜a＜1时，记g（x）=1﹣a（x+1）2e x，（x≥0），∴g′（x）=﹣a（x+1）（x+3）e x＜0，g（x）在[0，+∞）上单调递减，又g（0）=1﹣a＞0，g（﹣1）=1﹣＜0，∴存在唯一x0∈（0，），使得g（x0）=0，当0＜x＜x0时，g（x）＞g（x0）=0，从而＞0，即F（x）在（0，x0）上单调递增，∴当0＜x＜x0时，F（x）＞F（0）=0，不符合要求，舍去．综上，得a≥1．即实数a的取值范围是[1，+∞）．【点评】本题考查导数的运用、函数的单调性、极值、最值等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查分类讨论、化归与转化等数学思想，是中档题．。

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中学2016-2017学年高二下期末考试数学试卷含解析

中学2016-2017学年高二下期末考试数学试卷含解析

2016学年第二学期高二数学期末考试一、填空题(本大题满分54分)本大题共有12题，其中第1题至第6题每小题4分，第7题至第12题每小题5分，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，否则一律得零分．1. 的展开式中项的系数为______．【答案】【解析】的展开式的通项公式为，令，求得，可得展开式中项的系数为，故答案为10.2. 已知直线经过点且方向向量为，则原点到直线的距离为______.【答案】1【解析】直线的方向向量为，所以直线的斜率为，直线方程为，由点到直线的距离可知，故答案为1.3. 已知全集，集合,,若，则实数的值为___________.【答案】2【解析】试题分析：由题意，则，由得，解得．考点：集合的运算．4. 若变量满足约束条件则的最小值为_________.【答案】【解析】由约束条件作出可行域如图，联立，解得，化目标函数，得，由图可知，当直线过点时，直线在y轴上的截距最小，有最小值为，故答案为. 点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.5. 直线上与点的距离等于的点的坐标是_____________.【答案】或.【解析】解：因为直线上与点的距离等于的点的坐标是和6. 某学生在上学的路上要经过2个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，则这名学生在上学路上到第二个路口时第一次遇到红灯的概率是_______.【答案】【解析】设“这名学生在上学路上到第二个路口首次遇到红灯”为事件，则所求概率为，故答案为.7. 某学校随机抽取名学生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是，样本数据分组为，，，，．则该校学生上学所需时间的均值估计为______________．（精确到分钟）.【答案】34................点睛：本题考查频率分布直方图，解题的关键是理解直方图中各个小矩形的面积的意义及各个小矩形的面积和为1，本题考查了识图的能力；根据直方图求平均值的公式，各个小矩形的面积乘以相应组距的中点的值，将它们相加即可得到平均值.8. 一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种________.【答案】186【解析】试题分析：设取红球个，白球个，则考点：古典概型.9. 如图，三棱锥满足：，，，，则该三棱锥的体积V的取值范围是______．【答案】【解析】由于平面，，在中，，要使面积最大，只需，的最大值为，的最大值为，该三棱锥的体积V的取值范围是.10. 是双曲线的右支上一点，分别是圆和上的点，则的最大值等于_________.【答案】9【解析】试题分析：两个圆心正好是双曲线的焦点，，，再根据双曲线的定义得的最大值为.考点：双曲线的定义，距离的最值问题.11. 棱长为1的正方体及其内部一动点，集合,则集合构成的几何体表面积为___________.【答案】【解析】试题分析：.考点：几何体的表面积.12. 在直角坐标平面中，已知两定点与位于动直线的同侧，设集合点与点到直线的距离之差等于，，记,.则由中的所有点所组成的图形的面积是_______________.【答案】【解析】过与分别作直线的垂线，垂足分别为，，则由题意值，即，∴三角形为正三角形，边长为，正三角形的高为，且，∴集合对应的轨迹为线段的上方部分，对应的区域为半径为1的单位圆内部，根据的定义可知，中的所有点所组成的图形为图形阴影部分．∴阴影部分的面积为，故答案为.二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13. 已知为实数，若复数是纯虚数，则的虚部为（）A. 2B. 0C. -2D. -2【答案】C【解析】∵复数是纯虚数，∴，化为，解得，∴，∴，∴的虚部为，故选C.14. 已知条件：“直线在两条坐标轴上的截距相等”，条件：“直线的斜率等于”，则是的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件【答案】B【解析】当直线过原点时，直线在两条坐标轴上的截距相等，斜率可以为任意数，故不成立；当直线的斜率等于，可设直线方程为，故其在两坐标轴上的截距均为，故可得成立，则是的必要非充分条件，故选B.15. 如图，在空间直角坐标系中，已知直三棱柱的顶点在轴上，平行于轴，侧棱平行于轴．当顶点在轴正半轴上运动时，以下关于此直三棱柱三视图的表述正确的是（）A. 该三棱柱主视图的投影不发生变化；B. 该三棱柱左视图的投影不发生变化；C. 该三棱柱俯视图的投影不发生变化；D. 该三棱柱三个视图的投影都不发生变化．【答案】B【解析】A、该三棱柱主视图的长度是或者在轴上的投影，随点得运动发生变化，故错误；B、设是z轴上一点，且，则该三棱柱左视图就是矩形，图形不变．故正确；C、该三棱柱俯视图就是，随点得运动发生变化，故错误．D、与矛盾．故错误；故选B.点睛：本题考查几何体的三视图，借助于空间直角坐标系．本题是一个比较好的题目，考查的知识点比较全，但是又是最基础的知识点；从正面看到的图叫做主视图，从左面看到的图叫做左视图，从上面看到的图叫做俯视图，根据图中C点对三棱柱的结构影响进一步判断.16. 如图，两个椭圆，内部重叠区域的边界记为曲线，是曲线上任意一点，给出下列三个判断：①到、、、四点的距离之和为定值；②曲线关于直线、均对称；③曲线所围区域面积必小于．上述判断中正确命题的个数为（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】C【解析】对于①，若点在椭圆上，到、两点的距离之和为定值、到、两点的距离之和不为定值，故错；对于②，两个椭圆，关于直线、均对称，曲线关于直线、均对称，故正确；对于③，曲线所围区域在边长为6的正方形内部，所以面积必小于36，故正确；故选C.三、解答题(本大题满分76分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17. 已知复数满足，（其中是虚数单位），若，求的取值范围．【答案】或【解析】试题分析：化简复数为分式的形式，利用复数同乘分母的共轭复数，化简为的形式即可得到，根据模长之间的关系，得到关于的不等式，解出的范围.试题解析：，，即，解得或18. 如图，直四棱柱底面直角梯形，，，是棱上一点，，，，，.（1）求异面直线与所成的角；（2）求证：平面.【答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析：（1）本题中由于有两两垂直，因此在求异面直线所成角时，可以通过建立空间直角坐标系，利用向量的夹角求出所求角；（2）同（1）我们可以用向量法证明线线垂直，以证明线面垂直，，，，易得当然我们也可直线用几何法证明线面垂直，首先，这由已知可直接得到，而证明可在直角梯形通过计算利用勾股定理证明，，，因此，得证.（1）以原点，、、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.则，，，. 3分于是,,,异面直线与所成的角的大小等于. 6分（2）过作交于，在中，，，则，，，，10分，.又，平面. 12分考点：（1）异面直线所成的角；（2）线面垂直.19. 如图，圆锥的顶点为，底面圆心为，线段和线段都是底面圆的直径，且直线与直线的夹角为，已知，．（1）求该圆锥的体积；（2）求证：直线平行于平面，并求直线到平面的距离．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）利用圆锥的体积公式求该圆锥的体积；（2）由对称性得，即可证明直线平行于平面，到平面的距离即直线到平面的距离，由，求出直线到平面的距离.试题解析：（1）设圆锥的高为，底面半径为，则，，∴圆锥的体积；（2）证明：由对称性得，∵不在平面，平面，∴平面，∴C到平面的距离即直线到平面的距离，设到平面的距离为，则由，得，可得，∴，∴直线到平面的距离为．20. 阅读：已知，，求的最小值.解法如下：，当且仅当，即时取到等号，则的最小值为.应用上述解法，求解下列问题：（1）已知，，求的最小值；（2）已知，求函数的最小值；（3）已知正数，，求证：.【答案】（1）9（2）18（3）见解析【解析】试题分析：本题关键是阅读给定的材料，弄懂弄清给定材料提供的方法（“1”的代换），并加以运用.主要就是，展开后就可应用基本不等式求得最值.（1）；（2）虽然没有已知的“1”，但观察求值式子的分母，可以凑配出“1”：，因此有，展开后即可应用基本不等式；（3）观察求证式的分母，结合已知有，因此有此式中关键是凑配出基本不等式所需要的两项，如与合并相加利用基本不等式有，从而最终得出.（1），2分而，当且仅当时取到等号，则，即的最小值为. 5分（2），7分而，，当且仅当，即时取到等号，则，所以函数的最小值为. 10分（3）当且仅当时取到等号，则. 16分考点：阅读材料问题，“1”的代换，基本不等式.21. 设椭圆的长半轴长为、短半轴长为，椭圆的长半轴长为、短半轴长为，若，则我们称椭圆与椭圆是相似椭圆．已知椭圆，其左顶点为、右顶点为．（1）设椭圆与椭圆是“相似椭圆”，求常数的值；（2）设椭圆，过作斜率为的直线与椭圆仅有一个公共点，过椭圆的上顶点为作斜率为的直线与椭圆仅有一个公共点，当为何值时取得最小值，并求其最小值；（3）已知椭圆与椭圆是相似椭圆．椭圆上异于的任意一点，求证：的垂心在椭圆上．【答案】（1）或；（2）当时，取得最小值．（3）见解析【解析】试题分析：（1）运用“相似椭圆”的定义，列出等式，解方程可得s；（2）求得的坐标，可得直线与直线的方程，代入椭圆的方程，运用判别式为，求得，再由基本不等式即可得到所求最小值；（3）求得椭圆的方程，设出椭圆上的任意一点，代入椭圆的方程；设的垂心的坐标为，运用垂心的定义，结合两直线垂直的条件：斜率之积为，化简整理，可得的坐标，代入椭圆的方程即可得证．试题解析：（1）由题意得或，分别解得或.（2）由题意知：，，直线，直线，联立方程，整理得：.因为直线与椭圆仅有一个公共点，所以. ①联立方程，整理得：.因为直线与椭圆仅有一个公共点，所以. ②由①②得：.所以，此时，即.（3）由题意知：，所以，且.设垂心，则，即. 又点在上，有，. 则，所以的垂心在椭圆上.。

福建省厦门市高二下学期期末数学试卷(理科)

福建省厦门市高二下学期期末数学试卷(理科)

福建省厦门市高二下学期期末数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2018·大新模拟) 设集合，，则的元素个数为（）A . 6B . 5C . 3D . 22. （2分） (2017高二下·仙桃期末) 复数z满足z（2﹣i）=|1+2i|，则z的虚部为（）A .B .C . 1D . i3. （2分）已知tanα=﹣，且α是第二象限角，则cosα的值为（）A .B .C .D .4. （2分）设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数．当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)> 0，且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是（）A . (－3,0)∪(3，＋∞)B . (－3,0)∪(0,3)C . (－∞，－3)∪(3，＋∞)D . (－∞，－3)∪(0,3)5. （2分） (2015高二下·会宁期中) 某部门为了了解青年人喜欢户外运动是否与性别有关，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算K2=7.069，则所得到的统计学结论为：有（）把握认为“喜欢户外运动与性别有关”．附：（独立性检验临界值表）P（K2≥k0）0.050.0250.0100.0050.001k0 3.841 5.024 6.6367.87910.828A . 0.1%B . 1%C . 99%D . 99.9%6. （2分） (2016高一下·吉安期末) 下列命题一定正确的是（）A . 在等差数列{an}中，若ap+aq=ar+aδ ，则p+q=r+δB . 已知数列{an}的前n项和为Sn ，若{an}是等比数列，则Sk ， S2k﹣Sk ， S3k﹣S2k也是等比数列C . 在数列{an}中，若ap+aq=2ar ，则ap ， ar ， aq成等差数列D . 在数列{an}中，若ap•aq=a ，则ap ， ar ， aq成等比数列7. （2分）(2017·白山模拟) 若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为N≡n（mod m），例如10≡4（mod 6）．下面程序框图的算法源于我国古代闻名中外的（中国剩余定理），执行该程序框图，则输出的n等于（）A . 17B . 16C . 15D . 138. （2分）等比数列中，a3=6,前三项和，则公比（）A . 1B .C . 1或D . -1或9. （2分） (2017高二下·黄山期末) 设矩形ABCD，以A、B为左右焦点，并且过C、D两点的椭圆和双曲线的离心率之积为（）A .B . 2C . 1D . 条件不够，不能确定10. （2分）如图，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，∠DAB=60°，E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则P﹣DCE三棱锥的外接球的体积为（）A .B .C .D .11. （2分） (2017高二下·寿光期中) 把标号为1，2，3，4，5的五个小球全部放入标号为1，2，3，4的四个盒子中，不许有空盒且任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中，则不同的方法种数是（）A . 36B . 48C . 60D . 8412. （2分） (2015高二上·邯郸期末) 函数y=lnx+x在点（1，1）处的切线方程是（）A . 2x﹣y﹣1=0B . 2x+y﹣1=0C . x﹣2y+1=0D . x+2y﹣1=0二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分） (2016高二下·安徽期中) 设随机变量ξ服从正态分布N（1，s2），则函数f（x）=x2+2x+ξ不存在零点的概率为________．14. （1分）若（1+x+x2）6=a0+a1x+a2x2+…+a12x12 ，则a2+a4+…+a12=________15. （1分） (2015高三上·唐山期末) 如图，半径为1的圆O上有定点P和两动点A、B，AB= ，则的最大值为________．16. （2分） (2016高一下·宁波期中) 已知钝角△ABC的面积为，AB=1，BC= ，则角B=________，AC=________．三、解答题 (共8题；共80分)17. （10分） (2017高二下·中山月考) 已知，（）．（1）求并由此猜想数列的通项公式的表达式；（2）用数学归纳法证明你的猜想．18. （15分） PM2.5是衡量空气污染程度的一个指标，为了了解某市空气质量情况，从去年每天的PM2.5值的数据中随机抽取40天的数据，其频率分布直方图如图所示．现将PM2.5的值划分为如下等级PM2.5[0，100）[100，150）[150，200）[200，250]等级一级二级三级四级（1）根据样本空气质量PM2.5的数据的频率分布直方图完成下列分布表；PM2.5[0，50）[50，100）[100，150）[150，200）[200，250]天数________________________________________（2）估计该市在下一年的360天中空气质量为一级天气的天数；（3）在样本中，按照分层抽样的方法从一级天气，三级天气，四级天气的PM2.5值的数据中抽取5天的数据，再从这5个数据中随机抽取2个，求至少一天是一级天气的概率．19. （5分）(2017·焦作模拟) 在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，侧面ABB1A1是边长为2的正方形，点E，F分别在线段AA1、A1B1上，且AE= ，A1F= ，CE⊥EF．（Ⅰ）证明：平面ABB1A1⊥平面ABC；（Ⅱ）若CA⊥CB，求直线AC1与平面CEF所成角的正弦值．20. （10分）(2012·湖北) 设A是单位圆x2+y2=1上的任意一点，l是过点A与x轴垂直的直线，D是直线l与x轴的交点，点M在直线l上，且满足丨DM丨=m丨DA丨（m＞0，且m≠1）．当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求焦点坐标；（2）过原点且斜率为k的直线交曲线C于P、Q两点，其中P在第一象限，它在y轴上的射影为点N，直线QN交曲线C于另一点H，是否存在m，使得对任意的k＞0，都有PQ⊥PH？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．21. （10分） (2018高三上·汕头期中) 已知函数，，在处的切线方程为（1）若，证明：；（2）若方程有两个实数根，，且，证明：22. （10分）如图，点P是△ABC外接圆圆O在C处的切线与割线AB的交点．（1）若∠ACB=∠APC，求证：BC是圆O的直径；（2）若D是圆O上一点，∠BPC=∠DAC，AC= ，AB=2 ，PC=4，求CD的长．23. （10分）(2018·广元模拟) 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），以为极点，以轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为 .（1）求曲线的极坐标方程；（2）设直线与曲线相交于两点，求的值.24. （10分） (2016高三上·沈阳期中) 已知函数f（x）=|x+1|﹣|x|+a．（1）若a=0，求不等式f（x）≥0的解集；（2）若方程f（x）=x有三个不同的解，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共8题；共80分) 17-1、17-2、18-1、18-2、18-3、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、24-1、24-2、。

厦门市2016～2017学年第二学期高二年级理科数学质量检测答案 纯word 可编辑

厦门市2016～2017学年第二学期高二年级理科数学质量检测答案 纯word 可编辑

厦门市2016-2017学年度第二学期高二年级质量检测数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1~5：ABBAD 6~10：DBCCD 11~12：CA 第12题参考解答：解法1：由题意知()f x 关于1x =对称，且1x ≥时，'()ln 10f x x =+>，()f x ∴在[1,)+∞上单调递增，从而在(,1)-∞上单调递减；由(1)(1)xf e f ax +≥+知：（ⅰ）当0a ≥时，11ax +≥，11xe ax +≥+(*)，0x =时，21>，(*)式成立；(0,3]x ∈时，xe a x≤，令()xe h x x=，2(1)'()x e x h x x -=，令'()0h x ≤，得[0,1]x ∈；'()0h x ≥，得[1,3]x ∈， ()f x ∴在[0,1]单调递减，[1,3]单调递增；()f x ∴的最小值为(1)f e =,a e ∴≤ 0a e ∴≤≤.（ⅱ）当0a ≤时，11ax +<，2(1)11ax ax -+=->， 由()f x 关于1x =对称，知(1)(1)f ax f ax +=-，(1)(1)(1)x f e f ax f ax ∴+≥+=-，11x e ax +≥-，x e ax ∴≥-， 与（ⅰ）同理，可得0a e ≤-≤，0e a ∴-≤≤. 综上，[,]a e e ∈-.解法2：令()(1)F x f x =+，则()F x 为偶函数且在[0,)+∞单调递增，故原不等式可化为()()x F e F ax ≥对任意[0,3]x ∈恒成立，从而x e ax ≥，结合图像转化为切线问题求解即可.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．40 14．2 15．1m < 16．2y x =± 第16题参考解答： 解法一（几何法）：设左焦点为E ，连接EN 、NF ，点MON OF =,所以FON ∆为等腰三角形；OM 为FON ∠的角平分线，所以M 为NF 中点,NF OM ⊥.焦点(,0)F c 到渐近线0bx ay -=的距离d b ==从而在Rt FMO ∆中，OF c =，OM a =所以2NE a =，2NF b =，由双曲线定义：2NF NE a -=所以2ba=，从而渐近线方程为：2y x =± 解法二（参数法）：设过第一象限的渐近线的倾斜角为θ，则由角平分线，可设(cos 2,sin 2)N c c θθ其中2222222222222222222cos sin 1tan cos 2cos sin 1tan 2sin cos 2tan 22sin 2cos sin 1tan a b a b a b c ab ab a b c θθθθθθθθθθθθθθ⎧----====⎪⎪+++⎨⎪====⎪+++⎩化简可得222(,)a b ab N c c -满足双曲线方程22221x y a b-=代入可得所以2ba=，从而渐近线方程为：2y x =± 解法三（坐标法）：设过第一象限的渐近线的倾斜角为θ，则tan b a θ=则2222tan 2tan 21tan ON ab k a b θθθ===--，所以直线ON 方程为：222aby x a b=- 与双曲线联立可得222(,)a b abN c c-以下同上.三、解答题：本大题共6小题，共70分．17．本小题考查最小二乘法、相关指数2R 、拟合效果比较等统计学知识；考查数学阅读、数据分析与处理、运算求解等数学能力；考查统计概率思想。

福建省厦门市数学高二下学期理数期末考试试卷(理科)

福建省厦门市数学高二下学期理数期末考试试卷(理科)

福建省厦门市数学高二下学期理数期末考试试卷（理科）姓名:________班级:________成绩:________一、 选择题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） (2014·辽宁理) 设复数 z 满足（z﹣2i）（2﹣i）=5，则 z=（ ）A . 2+3iB . 2﹣3iC . 3+2iD . 3﹣2i2. （2 分） “因对数函数 y=logax 是增函数（大前提），而是对数函数（小前提），所以是增函数（结论）．”上面推理错误的是（ ）A . 大前提错导致结论错B . 小前提错导致结论错C . 推理形式错导致结论错D . 大前提和小前提都错导致结论错3. （2 分） (2016 高三上·桓台期中) 设函数 f（x）=x3﹣12x+b，则下列结论正确的是（ ）A . 函数 f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递增B . 函数 f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减C . 若 b=﹣6，则函数 f（x）的图象在点（﹣2，f（﹣2））处的切线方程为 y=10D . 若 b=0，则函数 f（x）的图象与直线 y=10 只有一个公共点4. （2 分） 用反证法证明命题：“三角形的内角至多有一个钝角”，正确的假设是（ ）A . 三角形的内角至少有一个钝角B . 三角形的内角至少有两个钝角第 1 页 共 14 页C . 三角形的内角没有一个钝角D . 三角形的内角没有一个钝角或至少有两个钝角5. （2 分） (2016 高二下·仙游期末) 设随机变量 ξ 服从正态分布 N（2，9），若 P（ξ＞c+1）=P（ξ＜c﹣ 1），则 c=（ ）A.1B.2C.3D.46. （2 分） (2015 高三上·石家庄期中) 设函数 f（x）的定义域为 R，x0（x0≠0）是 f（x）的极小值点，以 下结论一定正确的是（ ）A . ∀ x∈R，f（x）≥f（x0）B . ﹣x0 是 f（﹣x）的极大值点C . ﹣x0 是﹣f（x）的极小值点D . ﹣x0 是﹣f（﹣x）的极大值点7. （2 分） (2015 高二上·葫芦岛期末) 已知 x、y 的取值如下表，从散点图可以看出 y 与 x 线性相关，且回 归方程为 =0.7x+a，则 a=（ ）x23y2.534544.5A . 1.25B . 1.05C . 1.35D . 1.458. （2 分） 设函数在区间上连续，用分点第 2 页 共 14 页，把区间等分成 个小区间，在每个小区间 为小区间的长度)，那么 的大小（上任取一点 ），作和式A.与和区间有关，与分点的个数 和 的取法无关B.与和区间以及分点的个数 有关，与 的取法无关C.与和区间以及分点的个数 ， 的取法都有关D.与和区间以及 的取法有关，与分点的个数 无关(其中9. （2 分） 若 a= （1﹣3x2）dx+4，且（x+ 有项系数之和为（ ））n 的展开式中第 3 项的二项式系数是 15，则展开式中所A.﹣B.C.D.10. （2 分） (2016 高一下·黄山期末) 我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来 表示数值的算法，其理论依据是：设实数 x 的不足近似值和过剩近似值分别为 和 （a，b，c，d∈N*），则是 x 的更为精确的不足近似值或过剩近似值．我们知道 π=3.14159…，若令 ＜π＜ ，则第一次用“调日法”后得 是 π 的更为精确的过剩近似值，即 法”后可得 π 的近似分数为（ ）＜π＜，若每次都取最简分数，那么第四次用“调日A.B.第 3 页 共 14 页C.D.11. （2 分） (2019 高三上·赤峰月考) 已知数列 1，1，1，2，2，1，2，4，3，1，2，4，8，4，1，2，4，8，16，5，…，其中第一项是 ，第二项是 1，接着两项为 ， ，接着下一项是 2，接着三项是 ， ，，接着下一项是 3，依此类推.记该数列的前 项和为 ，则满足的最小的正整数 的值为（ ）A . 65B . 67C . 75D . 7712. （2 分） (2019 高三上·安徽月考) 函数的图像大致是（ ）A. B.C.D.二、 填空题 (共 4 题；共 5 分)13. （1 分） (2017 高二下·长春期中) ∫dx=________．14. （1 分） (2016·安庆模拟) 有 5 名优秀毕业生到母校的 3 个班去做学习经验交流，则每个班至少去一名第 4 页 共 14 页的不同分派方法种数为________．15. （2 分） (2018 高二下·陆川期末) 已知 为正整数，在二项式 式系数的和等于 79，则 的值为________，展开式中第________项的系数最大.的展开式中，若前三项的二项16. （1 分） 已知函数 f（x）=x3+ax2+bx+a2 在 x=1 处有极值为 10，则 f（2）等于________三、 解答题 (共 5 题；共 45 分)17. （10 分） (2016·南平模拟) 设函数 f（x）=ln（1+x）．（1） 若曲线 y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为 y=g（x），当 x≥0 时，f（x）≤ 最小值；（2） 当 n∈N*时，证明：．，求 t 的18. （5 分） (2017 高二下·南昌期末) 已知的展开式的各项系数之和等于展开式中的常数项，求展开式中含 的项的二项式系数．19. （5 分） (2018 高三上·德州期末) 某高中三年级共有人，其中男生人，女生人，为调查该年级学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）．（Ⅰ）应收集多少位女生样本数据？（Ⅱ）根据这个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示）．其中样本数据分组区间为：，，，，，超过 个小时的概率．．估计该年组学生每周平均体育运动时间第 5 页 共 14 页（Ⅲ）在样本数据中，有 位女生的每周平均体育运动时间超过 个小时．请完成每周平均体育运动时间与性别的列联表，并判断是否有的把握认为“该年级学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．附：20. （15 分） (2016 高二下·孝感期末) 已知函数 fn（x）= 足 an+1=f'n（an），a1=3．x3﹣（n+1）x2+x（n∈N*），数列{an}满（1） 求 a2，a3，a4；（2） 根据（1）猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明；（3） 求证：++…+＜．21. （10 分） (2017·淮安模拟) 已知函数 f（x）= 对数的底数）．（1） 求实数 a 的值；，直线 y= x 为曲线 y=f（x）的切线（e 为自然（2） 用 min{m，n}表示 m，n 中的最小值，设函数 g（x）=min{f（x），x﹣ （x）﹣cx2 为增函数，求实数 c 的取值范围．}（x＞0），若函数 h（x）=g四、 选做题 (共 2 题；共 20 分)第 6 页 共 14 页22. （10 分） 在直角坐标系 xoy 中，已知曲线 C1：（θ 为参数）．以原点 O 为极点，以 x 轴的非负半轴为极轴，与直角坐标系 xoy 取相同的单位长度，建立极坐标系．已知直线 l 的极坐标方程为 ρ（2cosθ﹣sinθ）=6．（1） 将曲线 C1 上的所有点的横坐标，纵坐标分别伸长为原来的 的参数方程和直线 l 的直角坐标方程；，2 倍后得到曲线 C2，试写出曲线 C2（2） 求曲线 C2 上求一点 P，使 P 到直线 l 的距离最大，并求出此最大值．23. （10 分） (2018 高三上·大连期末)已知函数.（1） 当时，解不等式；（2） 若存在，使成立，求 的取值范围.第 7 页 共 14 页一、 选择题 (共 12 题；共 24 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、二、 填空题 (共 4 题；共 5 分)13-1、 14-1、参考答案15-1、第 8 页 共 14 页16-1、三、 解答题 (共 5 题；共 45 分)17-1、17-2、第 9 页 共 14 页18-1、19-1、20-1、第 10 页 共 14 页20-2、20-3、21-1、21-2、四、选做题 (共2题；共20分) 22-1、22-2、23-1、23-2、。