离散数学-章节练习-4-KEY
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11、设*是 S 上的二元运算，若存在零元和单位元 e，则|S| >1
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12、设<A,≼ >为偏序集, BÍ A, y∈B ，若"x(x∈B→y≼ x)
成立, 则称 y 为 A 的最小元
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13、若 V=<S,° >是封闭、可结合,则称 V 为半群。 ( )
14、<Z,+> 整数集上的加法独异点
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【参考答案】
1-10 ×√√√× √√×√√ 11-20 ××√√√ √√√√√ 21-23 ×√×
三、填空题
1．代数系统<N，+>的单位元是 0 。
2．代数系统<G，*>的单位元 e 的逆元是 e
。
3．对代数系统<S，*>，其中*是 S 上的二元运算，若存在 a
∈S，且对任意的 x S，都有 a*x=x*a=x，则称 a 为运算
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15、设 G 为群<G, °>且|G|>1，则 G 中没有零元。 ( )
16、设为群<G, * >，对于 a, bÎ G， 必存在唯一的 xÎ G，
使得 a*x=b。
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17、设<G, *>是群,若 G 存在一个元素 a，使得 G 中任意元素
都由 a 的幂组成，则称该群为循环群。 ( )
18、设°与*是集合 S 上的二种可交换的二元运算，若"x,yÎ S
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6、代数系统<Z, ×>的单位元是 1。
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7．若群<G,*>中的运算可交换，则称为交换群。 ( )
8、在代数系统<A,*>中如果元素
a
A
的左逆元
a
1 e
存在，则
它一定唯一且 a 1 ae1 。
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9、设<S,*>是群<G,*>的子群，则<G,*>中幺元 e 是<S,*>中
幺元。 ( )
10、设 A {x | x a b 3, a,b均为有理数 } ， +,·为 普通加法和乘法，则代数系统<A，+，·>是域。
9. 设°是集合 S 上的二元运算，如果集合 S 中的某元素 eL,
对"xÎ S 都有 eL°x=x ,则称 eL 为 ( C )
A、右单位元
B、右零元
C、左单位元
D、左零元
10. <Z,+> 整数集上的加法系统中 0 是
(A)
A 单位元
B 逆元
C 零元
D 陪集
11. 若 V=<S,°>是半群，则它具有下列那些性质 ( A )
“*”的 单位 元。
4．自然数乘法代数系统<N，X>的单位元是 1 。
5．集合 A 和 A 上的偏序关系≼ 一起叫做 偏序集 。
6．设°是集合 S 上的二元运算，如果集合 S 中的某元素 eL
对"xÎ S 都有 eL°x=x ,则称 eL 为 左单位元 。
7．某 xÎ S 若有 yLÎ S,使得 yL°x=e，则称 yL 为 左逆元 。
Î R，则 y0 是 B 的 最大元 。 11．设有代数系统<A,© >,在 A 上定义了等价关系 RÍ A´ A。
如果<a1,a2>，<b1,b2>Î R 时均有<a1© b1, a2© b2>Î R, 称 R 为 A 上关于© 的 同余关系 。 12．设<G, *>是群,若 G 存在一个元素 a，使得 G 中任意元素 都由 a 的幂 组成，则称该群为循环群。记成 G=<a>， a 称为该群的生成元。 13．设°与*是集合 S 上的二种可交换的二元运算，若"x,yÎ S 都有 x*(x°y)=x , x°(x*y)=x, 则称*与°是满足 吸收律 。
换律。 ( )
21、设<G,*>是群,若 G 存在一个元素 a，使得 G 中任意元素
都由 a 的幂组成，则称该群为交换群。 ( )
22、设<S, © >是半群,集合 BÍ S,且运算© 在 B 上封闭,则<B,
© >是半群。
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23 、设 G 为群 <G, °>且 |G|>1 ，则 G 中没 有单 位零元
A + B - C ÷ DX
7. 设 S={0 ， 1} ， * 为 普 通 乘 法 ， 则 < S , * > 是
( B)
A、半群，但不是独异点；
B、只是独异点设 R 是实数集合，“ ”为普通乘法，则代数系统<R ，
×> 是（ A ）。
A．群； B．环； C．半群 Ｄ.都不是
3. 设 Z 为整数集，A 为集合，A 的幂集为 P(A),+、-、/为数
的加、减、除运算，∩为集合的交运算，下列系统中是群的
代数系统的有
(B)
A.〈Z，+，÷〉
B.〈Z，÷〉
C.〈Z，－，÷〉
D.〈P(A)， 〉
4. 设 S={0 ， 1} ， * 为 普 通 乘 法 ， 则 < S , * > 是
A、封闭性、结合性
B、封闭性、交换性
C、有单位元
D、有零元
二、判断题
1．若半群<S,*>含有零元，则称为独异点。 ( )
2、代数系统<Z，×>的零元是 0
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3、<{e},*>是<G,*>的子群。
()
4、小于 6 阶群都是可交换群。
()
5、设*是 S 上的二元运算，若存在零元和单位元 e，则|S| >1
( B)
A、半群，但不是独异点；
B、只是独异点，但不是群；
C、群；
D、环，但不是群。
5. 设 f 是由群<G,☆>到群<G ,*>的同态映射，则 ker (f)
是(B)
A、G 的子群
B、G 的子群
C、包含 G
D、包含 G
6. 在 整 数 集 Z 上 , 下 列 哪 种 运 算 不 是 封 闭 的
(C )
8．H 是 G 的子群，aÎ G,H 的右陪集 Ha = {x | x=h°a, hÎ H}，
其中 a 称为 Ha 的 代表元或特征元 。 9．设°是 S 上的二元运算,若存在零元 q 与单位元 e,且集合
S 中至少有 2 个元素，则 q 与 e 的关系为 q≠e 。 10．设<A,R>是偏序集,BÍ A, y0Î B, 若"xÎ B,均有<x,y0>
离散数学 章节练习 4
范围：代数系统
一、单项选择题
1. <G,*>是群，则对*
(A)
A、有单位元，可结合 B、满足结合律、交换律
C、有单位元、可交换 D、有逆元、可交换
2. 设 N 和 Z 分别表示自然数和整数集合，则对减法运算封
闭的是 ( B )
A、N
B、{x÷2|x Z}
C、{x|x N 且 x 是素数} D、{2x+1| x Z }
都有 x*(x°y)=x , x°(x*y)=x 则称*与°是满足
吸收律
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19、设°是集合 S 上的二元运算，若"xÎ S 都有 x°x=x,
则称°在 S 上是幂等的,或者说运算° 在 S 上满足幂等
律。
()
20、设°是集合 S 上的二元运算，若"x,yÎ S 都有 x°y=y°x,
则称°在 S 上是可交换的,或者说运算° 在 S 上满足交
