离散数学总结

离散知识点公式总结1. 集合论集合是离散数学中的基本概念，它是由一些确定的对象所组成的一个整体。

集合之间的运算包括并集、交集、差集、补集等。

其相关公式如下：- 并集：对于集合A和B，它们的并集定义为包含A和B中所有元素的集合，记作A∪B。

公式：A∪B={x|x∈A或x∈B}- 交集：对于集合A和B，它们的交集定义为同时属于A和B的所有元素的集合，记作A∩B。

公式：A∩B={x|x∈A且x∈B}- 差集：对于集合A和B，A与B的差集定义为属于A但不属于B的元素所组成的集合，记作A-B。

公式：A-B={x|x∈A且x∉B}- 补集：对于集合A，相对于全集合U而言，A的补集定义为全集合中不属于A的元素所组成的集合，记作A'。

公式：A'={x|x∈U且x∉A}2. 关系和函数关系是一种描述元素之间的对应关系的数学工具，而函数则是一种特殊的关系。

在离散数学中，关系和函数的定义和性质是非常重要的内容。

其相关公式如下：- 关系R：对于集合A和B，关系R定义为A和B的笛卡尔积中的元素对所组成的集合。

公式：R={(a,b)|a∈A且b∈B}- 函数f：对于集合A和B，如果f是从A到B的一个映射，那么对于任意元素a∈A，都有唯一的元素b∈B与之对应。

公式：f:A→B3. 图论图论是离散数学中的一个重要分支，它研究的是由顶点和边组成的数学结构。

图论的基本概念包括图的类型、路径和回路、连通性、树等。

其相关公式如下：- 有向图：对于图G=(V,E)，如果E中的边是有方向的，则称G为有向图。

公式：G=(V,E)，E={(u,v)|u,v∈V，u→v}- 无向图：对于图G=(V,E)，如果E中的边是无方向的，则称G为无向图。

公式：G=(V,E)，E={{u,v}|u,v∈V，u≠v}- 路径：在图G中，顶点v1,v2,...,vn的一个路径是图G中的一个顶点序列，其中相邻的顶点用一条边连接。

公式：v1,v2, (v)- 回路：在图G中，如果一条路径的起点和终点是同一个顶点，则称其为回路。

离散数学知识点总结总结离散数学知识点第二章命题逻辑1.→，前键为真，后键为假才为假；，相同为真，别同为假；2.主析取范式：极小项(m)之和；主合取范式：极大项(M)之积；3.求极小项时，命题变元的确信为1，否定为0，求极大项时相反；4.求极大极小项时，每个变元或变元的否定只能浮现一次，求极小项时变元别够合取真，求极大项时变元别够析取假；5.求范式时，为保证编码别错，命题变元最好按P,Q,R的顺序依次写；6.真值表中值为1的项为极小项，值为0的项为极大项；7.n个变元共有n2个极小项或极大项，这n2为(0~n2-1)刚好为化简完后的主析取加主合取；8.永真式没有主合取范式，永假式没有主析取范式；9.推证蕴含式的办法(=>)：真值表法；分析法(假定前键为真推出后键为真，假定前键为假推出后键也为假)10.命题逻辑的推理演算办法：P规则，T规则①真值表法；②直截了当证法；③归谬法；④附加前提法；第三章谓词逻辑1.一元谓词：谓词惟独一具个体，一元谓词描述命题的性质；多元谓词：谓词有n个个体，多元谓词描述个体之间的关系；2.全称量词用蕴含→，存在量词用合取^;3.既有存在又有全称量词时，先消存在量词，再消全称量词；第四章集合1.N，表示自然数集，1,2,3……，别包括0；2.基：集合A中别同元素的个数，|A|；3.幂集：给定集合A，以集合A的所有子集为元素组成的集合，P(A)；4.若集合A有n个元素，幂集P(A)有n2个元素，|P(A)|=||2A=n2；5.集合的分划：(等价关系)①每一具分划基本上由集合A的几个子集构成的集合；②这几个子集相交为空，相并为全(A)；6.集合的分划与覆盖的比较：分划：每个元素均应浮现且仅浮现一次在子集中；覆盖：只要求每个元素都浮现，没有要求只浮现一次；第五章关系1.若集合A有m个元素，集合B有n个元素，则笛卡尔A×B的基2种别同的关系；数为mn，A到B上能够定义mn2.若集合A有n个元素，则|A×A|=2n，A上有22n个别同的关系；3.全关系的性质：自反性，对称性，传递性；空关系的性质：反自反性，反对称性，传递性；全封闭环的性质：自反性，对称性，反对称性，传递性；4.前域(domR)：所有元素x组成的集合；后域(ranR)：所有元素y组成的集合；5.自反闭包：r(R)=RUI;x对称闭包：s(R)=RU1-R;传递闭包：t(R)=RU2R U3R U……6.等价关系：集合A上的二元关系R满脚自反性，对称性和传递性，则R 称为等价关系；7.偏序关系：集合A上的关系R满脚自反性，反对称性和传递性，则称R 是A上的一具偏序关系；8.covA={|x,y属于A，y盖住x}；9.极小元：集合A中没有比它更小的元素(若存在也许别唯一)；极大元：集合A中没有比它更大的元素(若存在也许别唯一)；最小元：比集合A中任何其他元素都小(若存在就一定唯一)；最大元：比集合A中任何其他元素都大(若存在就一定唯一)；10.前提：B是A的子集上界：A中的某个元素比B中任意元素都大，称那个元素是B的上界(若存在，也许别唯一)；下界：A中的某个元素比B中任意元素都小，称那个元素是B的下界(若存在，也许别唯一)；上确界：最小的上界(若存在就一定唯一)；下确界：最大的下界(若存在就一定唯一)；第六章函数2种别同的关系，有m n种别同的函1.若|X|=m,|Y|=n,则从X到Y有mn 数；2.在一具有n个元素的集合上，能够有22n种别同的关系，有n n种别同的函数，有n!种别同的双射；3.若|X|=m,|Y|=n，且m,满脚f(a*b)=f(a)^f(b),则f为由到的同态映射；若f是双射，则称为同构；第八章群1.广群的性质：封闭性；半群的性质：封闭性，结合律；含幺半群(独异点)：封闭性，结合律，有幺元；群的性质：封闭性，结合律，有幺元，有逆元；2.群没有零元；3.阿贝尔群(交换群)：封闭性，结合律，有幺元，有逆元，交换律；4.循环群中幺元别能是生成元；5.任何一具循环群必然是阿贝尔群；第十章格与布尔代数1.格：偏序集合A中任意两个元素都有上、下确界；2.格的基本性质：1) 自反性a≤a 对偶: a≥a2) 反对称性a≤b ^ b≥a => a=b对偶:a≥b ^ b≤a => a=b3) 传递性a≤b ^ b≤c => a≤c对偶:a≥b ^ b≥c => a≥c4) 最大下界描述之一a^b≤a 对偶avb≥aA^b≤b 对偶avb≥b5）最大下界描述之二c≤a,c≤b => c≤a^b对偶c≥a,c≥b =>c≥avb6) 结合律a^(b^c)=(a^b)^c对偶 av(bvc)=(avb)vc7) 等幂律a^a=a 对偶 ava=a8) 汲取律a^(avb)=a 对偶 av(a^b)=a9) a≤b a^b=a avb=b10) a≤c,b≤d => a^b≤c^d avb≤cvd11) 保序性b≤c => a^b≤a^c avb≤avc12）分配别等式av(b^c)≤(avb)^(avc) 对偶a^(bvc)≥(a^b)v(a^c)13）模别等式a≤c av(b^c)≤(avb)^c3.分配格：满脚a^(bvc)=(a^b)v(a^c)和av(b^c)=(avb)^(avc)；4.分配格的充要条件：该格没有任何子格与钻石格或五环格同构；5.链格一定是分配格，分配格必然是模格；6.全上界：集合A中的某个元素a大于等于该集合中的任何元素，则称a为格的全上界，记为1；(若存在则唯一)全下界：集合A中的某个元素b小于等于该集合中的任何元素，则称b为格的全下界，记为0；(若存在则唯一)7.有界格：有全上界和全下界的格称为有界格，即有0和1的格；8.补元：在有界格内，假如a^b=0,avb=1，则a和b互为补元；9.有补格：在有界格内，每个元素都至少有一具补元；10.有补分配格(布尔格)：既是有补格，又是分配格；11.布尔代数：一具有补分配格称为布尔代数；第十一章图论1.邻接：两点之间有边连接，则点与点邻接；2.关联：两点之间有边连接，则这两点与边关联；3.平庸图：惟独一具孤立点构成的图；4.简单图：别含平行边和环的图；5.无向彻底图：n个节点任意两个节点之间都有边相连的简单无向图；有向彻底图:n个节点任意两个节点之间都有边相连的简单有向图；6.无向彻底图有n(n-1)/2条边，有向彻底图有n(n-1)条边；7.r-正则图：每个节点度数均为r的图；8.握手定理：节点度数的总和等于边的两倍；9.任何图中，度数为奇数的节点个数必然是偶数个；10.任何有向图中，所有节点入度之和等于所有节点的出度之和；11.每个节点的度数至少为2的图必然包含一条回路；12.可达：关于图中的两个节点v,j v，若存在连接i v到j v的路，则称iv与j v相互可达，也称i v与j v是连通的；在有向图中，若存在i v到j v i的路，则称v到j v可达；i13.强连通：有向图章任意两节点相互可达；单向连通：图中两节点至少有一具方向可达；弱连通：无向图的连通；(弱连通必然是单向连通)14.点割集：删去图中的某些点后所得的子图别连通了，假如删去其他几个点后子图之间仍是连通的，则这些点组成的集合称为点割集；割点：假如一具点构成点割集，即删去图中的一具点后所得子图是别连通的，则该点称为割点；15.关联矩阵：M(G)，m是i v与j e关联的次数，节点为行，边为列；ij无向图：点与边无关系关联数为0，有关系为1，有环为2；有向图：点与边无关系关联数为0，有关系起点为1终点为-1，关联矩阵的特点：无向图：①行：每个节点关联的边，即节点的度；②列：每条边关联的节点；有向图：③所有的入度(1)=所有的出度(0);16.邻接矩阵：A(G)，a是i v邻接到j v的边的数目，点为行，点为ij列；17.可达矩阵：P(G)，至少存在一条回路的矩阵，点为行，点为列；P(G)=A(G)+2A(G)+3A(G)+4A(G)可达矩阵的特点：表明图中任意两节点之间是否至少存在一条路，以及在任何节点上是否存在回路；A(G)中所有数的和：表示图中路径长度为1的通路条数；2A(G)中所有数的和：表示图中路径长度为2的通路条数；3A(G)中所有数的和：表示图中路径长度为3的通路条数；4A(G)中所有数的和：表示图中路径长度为4的通路条数；P(G)中主对角线所有数的和：表示图中的回路条数；18.布尔矩阵：B(G)，v到j v有路为1，无路则为0，点为行，点为i列；19.代价矩阵：邻接矩阵元素为1的用权值表示，为0的用无穷大表示，节点自身到自身的权值为0；20.生成树：只拜访每个节点一次，通过的节点和边构成的子图；21.构造生成树的两种办法：深度优先；广度优先；深度优先：①选定起始点v；②挑选一具与v邻接且未被拜访过的节点1v；③从v动身按邻接方向接着拜访，当遇到一具节点所有邻接1点均已被拜访时，回到该节点的前一具点，再寻求未被拜访过的邻接点，直到所有节点都被拜访过一次；广度优先：①选定起始点v；②拜访与v邻接的所有节点1v,2v,……,k v,这些作为第一层节点；③在第一层节点中选定一具节点v为起点；1④重复②③，直到所有节点都被拜访过一次；22.最小生成树：具有最小权值(T)的生成树；23.构造最小生成树的三种办法：克鲁斯卡尔办法；管梅谷算法；普利姆算法；（1）克鲁斯卡尔办法①将所有权值按从小到大罗列；②先画权值最小的边，然后去掉其边值；重新按小到大排序；③再画权值最小的边，若最小的边有几条相同的，挑选时要满脚别能浮现回路，然后去掉其边值；重新按小到大排序；④重复③，直到所有节点都被拜访过一次；（2）管梅谷算法(破圈法)①在图中取一回路，去掉回路中最大权值的边得一子图；②在子图中再取一回路，去掉回路中最大权值的边再得一子图；③重复②，直到所有节点都被拜访过一次；（3）普利姆算法①在图中任取一点为起点v，连接边值最小的邻接点2v；1②以邻接点v为起点，找到2v邻接的最小边值，假如最小边值2比v邻接的所有边值都小(除已连接的边值)，直截了当连接，否则退回1。

离散数学课后总结(可以直接使用，可编辑实用优秀文档，欢迎下载）离散数学（课件上习题）第一章例1-1.1 判定下面这些句子哪些是命题。

⑴2是个素数。

⑵雪是黑色的。

⑶2021年人类将到达火星。

⑷如果a>b且b>c，则a>c 。

（其中a,b,c都是确定的实数）⑸x+y<5⑹请打开书！⑺您去吗？⑴⑵⑶⑷是命题例1-2.1 P：2是素数。

⌝P：2不是素数。

例1-2.2 P：小王能唱歌。

Q：小王能跳舞。

P∧Q：小王能歌善舞。

例1-2.3. 灯泡或者线路有故障。

（析取“∨”）例1-2.4. 第一节课上数学或者上英语。

（异或、排斥或。

即“⊽”）注意：P ⊽Q 与(P∧⌝Q)∨(Q∧⌝P ) 是一样的。

归纳自然语言中的联结词，定义了六个逻辑联结词，分别是：（1）否定“⌝”(2) 合取“∧”(3) 析取“∨”(4) 异或“⊽”(5) 蕴涵“→”(6) 等价“↔”例1-2.5：P表示：缺少水分。

Q表示：植物会死亡。

P→Q：如果缺少水分，植物就会死亡。

P→Q：也称之为蕴涵式，读成“P蕴涵Q”，“如果P则Q”。

也说成P是P→Q 的前件，Q是P→Q的后件。

还可以说P是Q的充分条件，Q是P的必要条件。

以下是关于蕴含式的一个例子P：天气好。

Q：我去公园。

1.如果天气好，我就去公园。

2.只要天气好，我就去公园。

3.天气好，我就去公园。

4.仅当天气好，我才去公园。

5.只有天气好，我才去公园。

6.我去公园，仅当天气好。

命题1.、2.、3.写成：P→Q命题4.、5.、6.写成：Q→P例1-2.6：P：△ABC 是等边三角形。

Q ：△ABC是等角三角形。

P↔Q ：△ABC 是等边三角形当且仅当它是等角三角形。

课后练习：填空已知P∧Q为T，则P为( )，Q为( )。

已知P∨Q为F，则P为( )，Q为( )。

已知P为F，则P∧Q为( )。

已知P为T，则P∨Q为( )。

已知P∨Q为T，且P为F ，则Q为( )。

已知P→Q为F，则P为( )，Q为( )。

第四章二元关系例1 设A={0,1}，B={a,b}，求A⨯B ，B⨯A，A⨯A 。

解：A⨯B={<0,a>,<0,b>,<1,a>,<1,b>}B⨯A={<a,0>,<b,0>,<a,1>,<b,1>}A⨯A={<0,0>,<0,1>,<1,0>,<1,1>}可见A×B≠B×A例2、关于笛卡尔乘积的几个证明1）如果A、B都是有限集，且|A|=m, |B|=n，则|A⨯B |=mn.证明：由笛卡尔积的定义及排列组合中的乘法原理，直接推得此定理。

2) A⨯Φ=Φ⨯B=Φ3) ⨯对∪和∩满足分配律。

设A,B,C是任意集合，则⑴A⨯(B∪C)= (A⨯B)∪(A⨯C)；⑵A⨯(B∩C)= (A⨯B)∩(A⨯C)；⑶(A∪B)⨯C= (A⨯C)∪(B⨯C)；⑷(A∩B)⨯C= (A⨯C)∩(B⨯C)证明⑴：任取<x,y>∈A⨯(B∪C)⇔x∈A ∧y∈B∪C ⇔x∈A ∧(y∈B∨y∈C)⇔( x∈A ∧y∈B)∨(x∈A∧y∈C)⇔<x,y>∈A⨯B∨<x,y>∈A⨯C⇔<x,y>∈(A⨯B)∪(A⨯C) 所以⑴式成立。

4)若C≠Φ，,则A⊆B⇔(A⨯C⊆B⨯C) ⇔(C⨯A⊆C⨯B).证明: 必要性：设A⊆B，求证A⨯C⊆B⨯C任取<x,y>∈A⨯C ⇔x∈A∧y∈C⇒x∈B∧y∈C (因A⊆B)⇔<x,y>∈B⨯C 所以, A⨯C⊆B⨯C.充分性：若CΦ≠, 由A⨯C⊆B⨯C 求证A⊆B取C中元素y, 任取x∈A⇒x∈A∧y∈C⇔<x,y>∈A⨯C⇒<x,y>∈B⨯C (由A⨯C⊆B⨯C )⇔x∈B∧y∈C⇒ x∈B 所以, A⊆B.所以A⊆B⇔(A⨯C⊆B⨯C)类似可以证明A⊆B ⇔(C⨯A⊆C⨯B).5) 设A、B、C、D为非空集合，则A⨯B⊆C⨯D⇔A⊆C∧B⊆D.证明: 首先,由A⨯B⊆C⨯D 证明A⊆C∧B⊆D.任取x∈A，任取y∈B，所以x∈A∧y∈B⇔<x,y>∈A×B⇒<x,y>∈C×D (由A⨯B⊆C⨯D )⇔x∈C∧y∈D 所以, A⊆C∧B⊆D.其次, 由A⊆C，B⊆D. 证明A⨯B⊆C⨯D任取<x,y>∈A×B<x,y>∈A×B ⇔ x∈A∧y∈B⇒ x∈C∧y∈D (由A⊆C，B⊆D)⇔<x,y>∈C×D 所以, A⨯B⊆C⨯D 证毕.例3、令A={1,2,3}给定A上八个关系如下：可见这八个关系中R1、R3、R4是自反的。

离散数学湖北省考研复习要点总结离散数学是湖北省考研数学专业中的一门重要课程，涵盖了离散结构、逻辑推理、图论、集合论等多个领域。

在复习时，我们需要重点掌握以下几个方面的知识点。

一、离散结构离散结构是离散数学的基础，其中包括了集合、排列、组合、关系和函数等概念。

1. 集合在集合的复习中，我们需要了解集合的基本运算，如并、交、差和补运算。

此外，还需要熟悉集合的性质，如幂集、空集和全集等。

2. 排列与组合排列与组合是离散数学中常见的问题类型，需要掌握它们的计算方法和应用。

在排列中，我们需要了解全排列、循环排列和无重排列等概念。

在组合中，我们需要了解组合数的计算方法和二项式定理等。

3. 关系与函数关系与函数是描述元素之间联系的数学工具。

在关系的学习中，我们需要了解关系的定义、性质和表示方法，如关系矩阵和关系图。

在函数的学习中，我们需要了解函数的定义、性质和表示方法，如函数的图像和函数的逆等。

二、逻辑推理逻辑推理是离散数学中的重要内容，它包括了命题逻辑和谓词逻辑两个方面。

1. 命题逻辑命题逻辑是研究命题之间关系的数学工具。

在命题逻辑的学习中，我们需要了解命题的定义、联结词的运算规则和真值表的应用。

此外，还需要熟悉命题逻辑的推理规则，如析取推理、假言推理和削弱推理等。

2. 谓词逻辑谓词逻辑是研究变量和谓词之间关系的数学工具。

在谓词逻辑的学习中，我们需要了解谓词的定义、量词的运算规则和约束条件的表示方法。

此外，还需要熟悉谓词逻辑的推理规则，如全称推理、存在推理和否定推理等。

三、图论图论是离散数学中的重点内容，它研究了图的基本概念、遍历算法和最短路径等问题。

1. 图的基本概念在图的学习中，我们需要了解图的定义、图的表示方法和图的性质，如有向图、无向图和完全图等。

此外，还需要熟悉图的基本运算，如图的并、交和差运算。

2. 遍历算法在遍历算法的学习中，我们需要了解深度优先搜索和广度优先搜索两种常见的算法。

此外，还需要熟悉拓扑排序和关键路径算法等。

注意/技巧：析取符号为V，大写字母Vx + y = 3不是命题前件为假时，命题恒为真运用吸收律命题符号化过程中要注意命题间的逻辑关系，认真分析命题联结词所对应的自然语言中的联结词，不能只凭字面翻译。

也就是说，在不改变原意的基础上，按照最简单的方式翻译通用的方法：真值表法VxP（x）蕴含存在xP（x）利用维恩图解题证明两个集合相等：证明这两个集合互为子集常用的证明方法：任取待证集合中的元素<,>构造相应的图论模型第一章命题逻辑命题和联结词命题的条件：表达判断的陈述句、具有确定的真假值。

选择题中的送分题原子命题也叫简单命题，与复合命题相对简单联结词的真值表要记住非（简单）合取（当且仅当P，Q都为真时，命题为真）析取（当且仅当P，Q都为假时，命题为假），P，Q可以同时成立，是可兼的或条件（→）（当且仅当P为真，Q为假时，命题为假）P是前件，Q是后件只要P，就Q等价于P→Q只有P，才Q等价于非P→非Q，也就是Q→PP→Q特殊的表达形式：P仅当Q、Q每当P双条件（↔）（当且仅当P与Q具有相同的真假值时，命题为真，与异或相反）命题公式优先级由高到低：非、合取和析取、条件和双条件括号省略条件：①不改变先后次序的括号可省去②最外层的括号可省去重言式（永真式）、矛盾式（永假式）、偶然式可满足式：包括重言式和偶然式逻辑等价和蕴含（逻辑）等价:这是两个命题公式之间的关系，写作“⇔”，要与作为联结词的↔区分开来。

如果命题公式A为重言式，那么A⇔T常见的命题等价公式：需要背过被标出的，尽量去理解。

关键是掌握公式是将哪个符号转换为了哪个符号，这对于解证明题有很大的帮助！验证两个命题公式是否等价：当命题变元较少时，用真值表法。

当命题变元较多时，用等价变换的方法，如代入规则、替换规则和传递规则定理：设A、B是命题公式，当且仅当A↔B是一个重言式时，有A和B逻辑等价。

蕴含:若A→B是一个重言式，就称作A蕴含B，记作A⇒B常见的蕴含公式的运用方法同上面的命题等价公式证明A⇒B：①肯定前件，推出后件为真②否定后件，推出前件为假当且仅当A⇒B且B⇒A时，A⇔B，也就是说，要证明两个命题公式等价，可以证明它们相互蕴含联结词的完备集新的联结词：条件否定、异或（不可兼或）、或非（析取的否定）、与非（合取的否定）任意命题公式都可由仅含{非，析取}或{非，合取}的命题公式来等价地表示全功能联结词集合极小全功能联结词集合对偶式对偶式：将仅含有联结词非、析取、合取（若不满足，需先做转换）的命题公式A中的析取变合取，合取变析取，T变F，F变T得到的命题公式A*称为A的对偶式范式析取式：否定+析取合取式：否定+合取析取范式：（合取式）析取（合取式）……析取（合取式）。

离散数学在密码学中的应用例题和知识点总结在当今数字化的时代，信息安全至关重要。

密码学作为保护信息安全的重要手段，其背后离不开离散数学的强大支撑。

离散数学中的众多概念和方法，为密码学提供了坚实的理论基础和有效的技术手段。

接下来，我们将通过一些具体的例题来深入理解离散数学在密码学中的应用，并对相关的知识点进行总结。

一、离散数学中的相关知识点1、数论基础整除、同余和模运算：在密码学中，常用于加密和解密算法，如RSA 算法就依赖于数论中的大整数分解难题。

素数和互素：素数在生成密钥和构建安全的密码系统中起着关键作用。

2、群论群的定义和性质：群是具有封闭性、结合律、单位元和逆元的代数结构。

循环群和置换群：在密码算法的设计和分析中有广泛应用。

3、有限域有限域的定义和运算：有限域的性质在加密算法如 AES 中得到应用。

4、图论图的基本概念：顶点、边、路径等。

网络安全中的图模型：用于分析网络中的信息流和漏洞。

二、例题分析1、 RSA 加密算法假设我们选取两个素数 p ＝ 11，q ＝ 13，计算 n ＝ p q ＝ 143，φ(n) ＝（p 1) （q 1) ＝ 120。

选取一个与φ(n) 互素的数 e ＝ 7，计算出 d 使得e d ≡ 1 （mod φ(n)），这里 d ＝ 103。

现在要加密明文 m ＝ 8，计算密文 c ＝ m^e mod n ＝ 8^7 mod 143 ＝ 11。

解密时，计算明文 m ＝ c^d mod n ＝ 11^103 mod 143 ＝ 8。

这个例子中，用到了数论中的素数、互素、模运算等知识。

2、基于置换群的加密考虑一个简单的置换群，如将字母表｛a, b, c, d, e} 置换为｛e, c, a, b, d}。

明文“hello”经过置换后变为“dclle”。

这里运用了群论中的置换群概念，通过对字符的置换实现加密。

三、离散数学在密码学中的具体应用1、密钥生成利用数论中的素数生成大整数，作为公钥和私钥的基础。

引言：离散数学是一门基础性的数学学科，广泛应用于计算机科学、电子信息等领域。

本文是《离散数学实验报告（二）》，通过对离散数学实验的深入研究和实践，总结了相关的理论知识和应用技巧，希望能够对读者对离散数学有更加深入的理解。

概述:本实验主要涉及离散数学中的集合、关系、图论等基本概念及其应用。

通过对离散数学的实验学习，深入掌握了这些概念和应用，对于在实际问题中的应用和拓展具有重要的意义。

正文内容：一、集合相关概念及应用1.定义：集合是由元素组成的无序的整体。

介绍了集合的基本概念、集合的表示法以及集合的运算。

2.集合的应用：介绍了集合在数学、计算机科学中的应用，如数据库的查询、关系代数等。

二、关系相关概念及应用1.定义：关系是一个元素与另一个元素之间的对应关系。

介绍了关系的基本概念、关系的表示方法及其运算。

2.关系的应用：介绍了关系在图像处理、社交网络分析等领域的应用，如图像中的像素点之间的关系、社交网络中用户之间的关系等。

三、图论基础知识及应用1.定义：图是由顶点和边组成的抽象的数学模型。

介绍了图的基本概念、图的表示方法和图的运算。

2.图论的应用：介绍了图论在路由算法、电子商务等领域的应用，如路由器的路由选择、电子商务中的商品推荐等。

四、布尔代数的概念及应用1.定义：布尔代数是一种基于集合论和逻辑学的代数系统。

介绍了布尔代数的基本概念、布尔表达式及其化简方法。

2.布尔代数的应用：介绍了布尔代数在电路设计、开关控制等方面的应用，如逻辑门电路的设计、开关控制系统的建模等。

五、递归的概念及应用1.定义：递归是一种通过调用自身来解决问题的方法。

介绍了递归的基本原理、递归的应用技巧。

2.递归的应用：介绍了递归在算法设计、树的遍历等方面的应用，如快速排序算法、树结构的遍历等。

总结：通过本次离散数学的实验学习，我深入掌握了集合、关系、图论等基本概念与应用。

集合的应用在数据库查询、关系代数等方面起到了重要的作用。

关系的应用在图像处理、社交网络分析等领域有广泛的应用。

离散数学知识点总结及应用
知识点1: 集合论
- 集合的定义和表示方法
- 集合的运算：并、交、差、补
- 集合的基本性质和定律
知识点2: 逻辑与命题
- 命题的定义和特性
- 命题的联结词：与、或、非
- 命题的真值表和逻辑运算
- 命题的充分条件和必要条件
知识点3: 关系与函数
- 关系的定义和性质
- 关系的类型：自反、对称、传递、等价
- 函数的定义和基本概念
- 函数的特性和图像
知识点4: 图论
- 图的基本概念和术语
- 图的存储结构：邻接矩阵、邻接表
- 图的遍历算法：深度优先搜索、广度优先搜索
- 最短路径算法：Dijkstra算法、Floyd-Warshall算法
知识点5: 组合数学
- 排列和组合的基本概念
- 排列和组合的计算方法
- 随机变量和概率分布
- 组合数学在密码学等领域的应用
知识点6: 布尔代数
- 布尔代数的基本运算：与、或、非
- 布尔函数的最小化方法
- 布尔代数的应用：逻辑电路设计、编码器等
知识点7: 计算理论
- 自动机的基本概念和分类
- 正则语言和正则表达式
- 文法的定义和性质
- 上下文无关文法和巴科斯范式
知识点8: 数论
- 整数的性质和基本运算
- 质数和分解定理
- 同余关系和同余方程
- 数论在加密算法中的应用
以上是离散数学中的一些主要知识点和应用场景的简要总结，希望对你的研究有所帮助。

离散数学基本公式离散数学是数学的一个重要分支，它主要研究的是非连续的、分离的对象，如集合、图论、数论、逻辑等。

在这些领域中，一些基本的公式和定理是理解和应用离散数学的关键。

以下是一些离散数学的基本公式：1、德摩根定律德摩根定律是布尔代数中的基本公式之一，它表示对于任何逻辑运算，如果我们把所有的否命题和原命题结合在一起，我们就会得到一个恒等式。

用符号表示为：P ∧ Q) ∨(¬P ∧¬Q) ≡ P ∨ QP ∨ Q) ∧(¬P ∨¬Q) ≡ P ∧ Q2.集合论中的互补律在集合论中，互补律表示对于任何集合A和它的补集A'，我们有：A ∪ A' = U,其中U是全集A ∩ A' = ∅,其中∅表示空集3.图论中的欧拉公式欧拉公式是图论中的一个基本公式，它表示对于一个连通无向图G，其顶点数v、边数e和欧拉数euler(G)之间有以下关系：euler(G) = v + e - 2其中euler(G)是图G的欧拉数，v是图G的顶点数，e是图G的边数。

这个公式在计算图的欧拉数或者判断一个图是否连通等方面都有重要应用。

4.数论中的费马小定理费马小定理是数论中的一个重要定理，它表示对于任何正整数n，如果它是质数p的幂次方，那么我们可以找到一个整数x，使得x的n 次方等于1（模p）。

用数学语言表示为：x^n ≡ x (mod p)其中n是正整数，p是质数，x是整数。

这个定理在密码学、计算机科学等领域都有广泛的应用。

5.逻辑中的排中律和反证法排中律是指对于任何命题P，P或非P必定有一个是真命题。

反证法则是通过假设相反的命题成立来证明原命题的一种方法。

在证明过程中，如果假设的相反命题成立会导致矛盾，那么原命题就一定是正确的。

这些公式和定理只是离散数学中的一小部分，但它们是理解和应用离散数学的基础。

在学习的过程中，我们还需要掌握更多的公式和定理，以及它们的应用方法。

离散数学知识点总结离散数学是现代数学的一个重要分支，它在计算机科学、信息科学、物理学等领域都有着广泛的应用。

下面就来对离散数学中的一些重要知识点进行总结。

一、集合论集合是离散数学的基础概念之一。

集合是由一些确定的、互不相同的对象组成的整体。

集合的表示方法有列举法和描述法。

集合之间的关系包括子集、真子集、相等。

集合的运算有并集、交集、补集等。

集合的并集是由属于两个或多个集合中的所有元素组成的集合。

交集则是由同时属于两个或多个集合的元素组成的集合。

补集是在给定的全集 U 中，不属于某个集合 A 的元素组成的集合。

集合的运算遵循一些基本的定律，如交换律、结合律、分配律等。

这些定律在解决集合相关的问题时非常有用。

二、关系关系是集合论中的一个重要概念，它描述了两个集合元素之间的某种联系。

关系可以用集合的形式表示，也可以用关系矩阵和关系图来表示。

关系的性质包括自反性、反自反性、对称性、反对称性和传递性。

不同性质的关系在实际应用中有着不同的意义。

等价关系是一种特殊的关系，它同时具有自反性、对称性和传递性。

等价关系可以将集合中的元素进行分类，形成等价类。

偏序关系也是一种常见的关系，它具有自反性、反对称性和传递性。

偏序关系可以用来描述元素之间的顺序关系，例如在集合的包含关系中。

三、函数函数是一种特殊的关系，它对于定义域中的每个元素，在值域中都有唯一的元素与之对应。

函数的类型包括单射函数、满射函数和双射函数。

函数的复合是将两个函数依次作用，得到一个新的函数。

函数的逆是在函数是双射的情况下存在的，并且逆函数的复合等于原函数。

四、图论图是由顶点和边组成的结构。

图可以分为无向图和有向图。

图的基本概念包括顶点的度、路径、回路、连通性等。

图的存储方式有邻接矩阵和邻接表。

邻接矩阵适合表示稠密图，而邻接表适合表示稀疏图。

图的遍历算法有深度优先搜索和广度优先搜索。

这两种算法在图的处理中经常被用到，例如寻找图中的路径、判断图的连通性等。

根据离散数学知识点总结离散数学是数学的一个分支，主要研究离散的结构和对象。

它在计算机科学、信息科学和电子工程等领域中扮演着重要的角色。

本文将根据离散数学的知识点进行总结。

一、集合论集合论是离散数学的基础，主要研究集合之间的关系和运算。

其中常用的概念有：- 并集：将两个或多个集合中的元素合并在一起，形成一个包含所有元素的新集合。

- 交集：取两个或多个集合中共有的元素，形成一个新集合。

- 补集：对于给定集合S，补集是指包含所有不属于S的元素的集合。

- 子集：如果一个集合的所有元素都属于另一个集合，那么这个集合是另一个集合的子集。

- 幂集：对于给定集合S，幂集是指包含S的所有子集的集合。

二、逻辑逻辑是研究推理和证明方法的学科。

在离散数学中，逻辑起到了重要的作用。

常见的逻辑概念包括：- 命题逻辑：研究命题之间的关系和运算，例如“与”、“或”、“非”等。

- 谓词逻辑：研究命题中的变量和量词，能够表达更复杂的命题关系。

- 推理规则：用于从已知命题推导出新命题的规则，例如包括假言推理、析取规则等。

三、图论图论是研究图及其性质的学科。

在离散数学中，图论常常用于描述和分析各种关系和网络。

图论的基本概念包括：- 图：由节点和边构成的结构，用于描述事物之间的联系和关系。

- 顶点和边：图中的基本元素，顶点表示节点，边表示节点之间的关系。

- 路径和环：路径是指经过一系列节点和边连接起来的序列，环是指起点和终点相同的路径。

- 连通性：描述图中节点之间连接的特性，如连通图、强连通图等。

四、组合数学组合数学是研究离散结构的组合和排列的学科。

它在离散数学中有广泛的应用。

常见的组合数学概念包括：- 排列：将一组对象按照一定的顺序排列。

- 组合：从一组对象中选择若干对象，不考虑顺序。

- 布尔代数：用于描述逻辑运算和布尔函数的代数系统。

- 生成函数：用多项式表示数列，方便研究其性质和计算。

以上是根据离散数学的知识点进行的简要总结。

离散数学在计算机科学和信息科学中有重要的应用，对于学习和理解这些知识点能够提升对离散结构的认识和应用能力。

第一章命题逻辑一、等价公式(真值表)1)常用联结词：┐否定∨析取∧合取→：条件∆：双条件当且仅当Q 取值为F 时P →Q 为F ，否则为T ★等价公式表(等值公式表)常用的其它真值表┐┐P<=>P 双重否定P ∨P<=>P P ∧P<=>P幂等律(P ∧Q)∧R<=>P ∧(Q ∧R)(P ∨Q)∨R<=>P ∨(Q ∨R)结合律P ∧Q<=>Q ∧P P ∨Q<=>Q ∨P交换律P ∧(Q ∨R)<=>(P ∧Q)∨(P ∧R)P ∨(Q ∧R)<=>(P ∨Q)∧(P ∨R)分配律P ∨(P ∧Q)<=>P P ∧(P ∨Q)<=>P 吸收┐(P ∧Q)<=>┐P ∨┐Q ┐(P ∨Q)<=>┐P ∧┐Q 德摩根P ∨F<=>P P ∧T<=>P 同一律P ∨T<=>T P ∧F<=>F 零律P ∨┐P<=>T P ∧┐P<=>F否定律常用的其它真值表P ┐P T F FTP Q P ∨Q T T T T F T F T T FFFP Q P ∧Q T T T T F F F T F F FFP Q P →Q (┐P ∨Q)T T T T F F F T T FFTP→Q<=>┐P ∨Q P ∆Q<=>(P→Q)∧(Q→P)P ∆Q<=>Q ∆PP ∆Q<=>(P ∧Q)∨(┐P ∧┐Q)┐(P ∆Q)<=>P ∆┐Q R ∨(P ∨┐P)<=>T R ∧(P ∧┐P)<=>F P→Q<=>┐Q→┐P ┐(P→Q)<=>P ∧┐Q (P→Q)∧(P→┐Q)<=>┐P P→(Q→R)<=>(P ∧Q)→R (P ∆Q)∆R<=>P ∆(Q ∆R)命题公式的类型：(1)若A在它的各种赋值下均取值为真，则称A为重言式或永真式。

离散数学知识点总结离散数学是数学中的一个分支，研究离散对象及其关系的数学理论。

它与连续数学形成鲜明的对比，连续数学主要研究连续对象和其性质。

离散数学在计算机科学、信息科学、电子工程等领域具有重要的应用价值。

下面将对离散数学的主要知识点进行总结。

1.命题逻辑：命题逻辑研究由命题符号组成的复合命题及其逻辑关系。

其中命题是一个陈述性的语句，可以是真或假。

命题逻辑包括命题的逻辑运算、真值表、命题的等价、充分必要条件等。

2.谓词逻辑：谓词逻辑是对命题逻辑的扩充，引入了量词、谓词和项。

它的研究对象是命题函数，可以表示个体之间的关系。

谓词逻辑包括谓词的运算、量词的运算、公理化和推理规则等。

3.集合论：集合论是研究集合及其操作的数学分支。

集合是一种由确定的对象组成的整体。

集合论包括集合的基本运算（交、并、差、补）、集合的关系（包含、相等、子集、真子集）以及集合的运算律和推导定理等。

5.组合数学：组合数学是研究物体的组合与排列问题的数学分支。

它包括排列、组合、分配、生成函数等内容，经常应用于计数和概率问题中。

6.图论：图论是用来描述物体间其中一种关系的图形结构的数学理论。

它研究的对象是由顶点和边构成的图，包括无向图、有向图、带权图等。

图论研究的内容包括图的性质、连通性、路径、回路、树、图的着色等。

7.代数系统：代数系统是一种由一组元素及其相应的运算规则构成的数学结构。

常见的代数系统有群、环、域、格等，它们分别研究了集合上的不同运算规律和结构。

8.布尔代数：布尔代数是一种应用于逻辑和计算机的代数系统。

它以真和假为基础，通过逻辑运算（与、或、非）构成了布尔代数。

布尔代数在计算机硬件设计和逻辑推理中广泛应用。

9.图的同构与图的着色：图的同构是指两个图在结构上相同，也就是说，它们具有相同的顶点和边的连接关系。

图的同构判断是一个NP难问题，需要借助于图的着色等方法来判断。

图的着色是给图的顶点分配颜色，使得相邻顶点的颜色不同。

离散数学的基础知识点总结第一章命题逻辑1.→，前键为真，后键为假才为假；<—>，相同为真，不同为假；2.主析取范式：极小项(m)之和；主合取范式：极大项(M)之积；3.求极小项时，命题变元的肯定为1，否定为0，求极大项时相反；4.求极大极小项时，每个变元或变元的否定只能出现一次，求极小项时变元不够合取真，求极大项时变元不够析取假；5.求范式时，为保证编码不错，命题变元最好按P,Q,R的顺序依次写；6.真值表中值为1的项为极小项，值为0的项为极大项；7.n个变元共有n2个极小项或极大项，这n2为(0~n2-1)刚好为化简完后的主析取加主合取；8.永真式没有主合取范式，永假式没有主析取范式；9.推证蕴含式的方法(=>)：真值表法；分析法(假定前键为真推出后键为真，假定前键为假推出后键也为假)10.命题逻辑的推理演算方法：P规则，T规则①真值表法；②直接证法；③归谬法；④附加前提法；第二章谓词逻辑1.一元谓词：谓词只有一个个体，一元谓词描述命题的性质；多元谓词：谓词有n个个体，多元谓词描述个体之间的关系；2.全称量词用蕴含→，存在量词用合取^;3.既有存在又有全称量词时，先消存在量词，再消全称量词；第四章集合1.N，表示自然数集，1,2,3……，不包括0；2.基：集合A中不同元素的个数，|A|；3.幂集：给定集合A，以集合A的所有子集为元素组成的集合，P(A)；4.若集合A有n个元素，幂集P(A)有n2个元素，|P(A)|=||2A=n2；5.集合的分划：(等价关系)①每一个分划都是由集合A的几个子集构成的集合；②这几个子集相交为空，相并为全(A)；6.集合的分划与覆盖的比较：分划：每个元素均应出现且仅出现一次在子集中；覆盖：只要求每个元素都出现，没有要求只出现一次；第五章关系1.若集合A有m个元素，集合B有n个元素，则笛卡尔A×B的基数2种不同的关系；为mn，A到B上可以定义mn2.若集合A有n个元素，则|A×A|=2n，A上有22n个不同的关系；3.全关系的性质：自反性，对称性，传递性；空关系的性质：反自反性，反对称性，传递性；全封闭环的性质：自反性，对称性，反对称性，传递性；4.前域(domR)：所有元素x组成的集合；后域(ranR)：所有元素y组成的集合；5.自反闭包：r(R)=RUI;x对称闭包：s(R)=RU1-R;传递闭包：t(R)=RU2R U3R U……6.等价关系：集合A上的二元关系R满足自反性，对称性和传递性，则R称为等价关系；7.偏序关系：集合A上的关系R满足自反性，反对称性和传递性，则称R是A上的一个偏序关系；8.covA={<x,y>|x,y属于A，y盖住x}；9.极小元：集合A中没有比它更小的元素(若存在可能不唯一)；极大元：集合A中没有比它更大的元素(若存在可能不唯一)；最小元：比集合A中任何其他元素都小(若存在就一定唯一)；最大元：比集合A中任何其他元素都大(若存在就一定唯一)；10.前提：B是A的子集上界：A中的某个元素比B中任意元素都大，称这个元素是B的上界(若存在，可能不唯一)；下界：A中的某个元素比B中任意元素都小，称这个元素是B的下界(若存在，可能不唯一)；上确界：最小的上界(若存在就一定唯一)；下确界：最大的下界(若存在就一定唯一)；第六章函数2种不同的关系，有m n种不同的函数；1.若|X|=m,|Y|=n,则从X到Y有mn2.在一个有n个元素的集合上，可以有22n种不同的关系，有n n种不同的函数，有n!种不同的双射；3.若|X|=m,|Y|=n，且m<=n，则从X到Y有A m n种不同的单射；4.单射：f:X-Y，对任意x,2x属于X,且1x≠2x，若f(1x)≠f(2x)；1满射：f:X-Y，对值域中任意一个元素y在前域中都有一个或多个元素对应；双射：f:X-Y，若f既是单射又是满射，则f是双射；5.复合函数：fºg=g(f(x));6.设函数f:A-B，g:B-C，那么①如果f,g都是单射，则fºg也是单射；②如果f,g都是满射，则fºg也是满射；③如果f,g都是双射，则fºg也是双射；④如果fºg是双射，则f是单射，g是满射；第七章代数系统1.二元运算：集合A上的二元运算就是2A到A的映射；2. 集合A上可定义的二元运算个数就是从A×A到A上的映射的个数，即从从A×A到A上函数的个数，若|A|=2,则集合A上的二元运算的个数为2*22=42=16种；3. 判断二元运算的性质方法：①封闭性：运算表内只有所给元素；②交换律：主对角线两边元素对称相等；③幂等律：主对角线上每个元素与所在行列表头元素相同；④有幺元：元素所对应的行和列的元素依次与运算表的行和列相同；⑤有零元：元素所对应的行和列的元素都与该元素相同；4.同态映射：<A,*>,<B,^>,满足f(a*b)=f(a)^f(b),则f为由<A,*>到<B,^>的同态映射；若f是双射，则称为同构；第八章群1.广群的性质：封闭性；半群的性质：封闭性，结合律；含幺半群(独异点)：封闭性，结合律，有幺元；群的性质：封闭性，结合律，有幺元，有逆元；2.群没有零元；3.阿贝尔群(交换群)：封闭性，结合律，有幺元，有逆元，交换律；4.循环群中幺元不能是生成元；5.任何一个循环群必定是阿贝尔群；第十章格与布尔代数1.格：偏序集合A中任意两个元素都有上、下确界；2.格的基本性质：1) 自反性a≤a 对偶: a≥a2) 反对称性a≤b ^ b≥a => a=b对偶:a≥b ^ b≤a => a=b3) 传递性a≤b ^ b≤c => a≤c对偶:a≥b ^ b≥c => a≥c4) 最大下界描述之一a^b≤a 对偶avb≥aA^b≤b 对偶avb≥b5）最大下界描述之二c≤a,c≤b => c≤a^b对偶c≥a,c≥b =>c≥avb6) 结合律a^(b^c)=(a^b)^c对偶av(bvc)=(avb)vc7) 等幂律a^a=a 对偶ava=a8) 吸收律a^(avb)=a 对偶av(a^b)=a9) a≤b <=> a^b=a avb=b10) a≤c,b≤d => a^b≤c^d avb≤cvd11) 保序性b≤c => a^b≤a^c avb≤avc12）分配不等式av(b^c)≤(avb)^(avc)对偶a^(bvc)≥(a^b)v(a^c)13）模不等式a≤c <=>av(b^c)≤(avb)^c3.分配格：满足a^(bvc)=(a^b)v(a^c)和av(b^c)=(avb)^(avc)；4.分配格的充要条件：该格没有任何子格与钻石格或五环格同构；5.链格一定是分配格，分配格必定是模格；6.全上界：集合A中的某个元素a大于等于该集合中的任何元素，则称a为格<A,<=>的全上界，记为1；(若存在则唯一)全下界：集合A中的某个元素b小于等于该集合中的任何元素，则称b为格<A,<=>的全下界，记为0；(若存在则唯一)7.有界格：有全上界和全下界的格称为有界格，即有0和1的格；8.补元：在有界格内，如果a^b=0,avb=1，则a和b互为补元；9.有补格：在有界格内，每个元素都至少有一个补元；10.有补分配格(布尔格)：既是有补格，又是分配格；11.布尔代数：一个有补分配格称为布尔代数；第十一章图论1.邻接：两点之间有边连接，则点与点邻接；2.关联：两点之间有边连接，则这两点与边关联；3.平凡图：只有一个孤立点构成的图；4.简单图：不含平行边和环的图；5.无向完全图：n个节点任意两个节点之间都有边相连的简单无向图；有向完全图:n个节点任意两个节点之间都有边相连的简单有向图；6.无向完全图有n(n-1)/2条边，有向完全图有n(n-1)条边；7.r-正则图：每个节点度数均为r的图；8.握手定理：节点度数的总和等于边的两倍；9.任何图中，度数为奇数的节点个数必定是偶数个；10.任何有向图中，所有节点入度之和等于所有节点的出度之和；11.每个节点的度数至少为2的图必定包含一条回路；12.可达：对于图中的两个节点v,j v，若存在连接i v到j v的路，则称i vi与v相互可达，也称i v与j v是连通的；在有向图中，若存在i v到j v的j路，则称v到j v可达；i13.强连通：有向图章任意两节点相互可达；单向连通：图中两节点至少有一个方向可达；弱连通：无向图的连通；(弱连通必定是单向连通)14.点割集：删去图中的某些点后所得的子图不连通了，如果删去其他几个点后子图之间仍是连通的，则这些点组成的集合称为点割集；割点：如果一个点构成点割集，即删去图中的一个点后所得子图是不连通的，则该点称为割点；15.关联矩阵：M(G)，m是i v与j e关联的次数，节点为行，边为列；ij无向图：点与边无关系关联数为0，有关系为1，有环为2；有向图：点与边无关系关联数为0，有关系起点为1终点为-1，关联矩阵的特点：无向图：①行：每个节点关联的边，即节点的度；②列：每条边关联的节点；有向图：③所有的入度(1)=所有的出度(0);16.邻接矩阵：A(G)，a是i v邻接到j v的边的数目，点为行，点为列；ij17.可达矩阵：P(G)，至少存在一条回路的矩阵，点为行，点为列；P(G)=A(G)+2A(G)+3A(G)+4A(G)可达矩阵的特点：表明图中任意两节点之间是否至少存在一条路，以及在任何节点上是否存在回路；A(G)中所有数的和：表示图中路径长度为1的通路条数；2A(G)中所有数的和：表示图中路径长度为2的通路条数；3A(G)中所有数的和：表示图中路径长度为3的通路条数；4A(G)中所有数的和：表示图中路径长度为4的通路条数；P(G)中主对角线所有数的和：表示图中的回路条数；18.布尔矩阵：B(G)，v到j v有路为1，无路则为0，点为行，点为列；i19.代价矩阵：邻接矩阵元素为1的用权值表示，为0的用无穷大表示，节点自身到自身的权值为0；20.生成树：只访问每个节点一次，经过的节点和边构成的子图；21.构造生成树的两种方法：深度优先；广度优先；深度优先：①选定起始点v；②选择一个与v邻接且未被访问过的节点1v；③从v出发按邻接方向继续访问，当遇到一个节点所1有邻接点均已被访问时，回到该节点的前一个点，再寻求未被访问过的邻接点，直到所有节点都被访问过一次；广度优先：①选定起始点v；②访问与v邻接的所有节点1v,2v,……,k v,这些作为第一层节点；③在第一层节点中选定一个节点v为起点；1④重复②③，直到所有节点都被访问过一次；22.最小生成树：具有最小权值(T)的生成树；23.构造最小生成树的三种方法：克鲁斯卡尔方法；管梅谷算法；普利姆算法；（1）克鲁斯卡尔方法①将所有权值按从小到大排列；②先画权值最小的边，然后去掉其边值；重新按小到大排序；③再画权值最小的边，若最小的边有几条相同的，选择时要满足不能出现回路，然后去掉其边值；重新按小到大排序；④重复③，直到所有节点都被访问过一次；（2）管梅谷算法(破圈法)①在图中取一回路，去掉回路中最大权值的边得一子图；②在子图中再取一回路，去掉回路中最大权值的边再得一子图；③重复②，直到所有节点都被访问过一次；（3）普利姆算法①在图中任取一点为起点v，连接边值最小的邻接点2v；1②以邻接点v为起点，找到2v邻接的最小边值，如果最小边值2比v邻接的所有边值都小(除已连接的边值)，直接连接，否则退回1v，1连接v现在的最小边值(除已连接的边值)；1③重复操作，直到所有节点都被访问过一次；24.关键路径例2 求PERT图中各顶点的最早完成时间, 最晚完成时间, 缓冲时间及关键路径.解：最早完成时间TE(v1)=0TE(v2)=max{0+1}=1TE(v3)=max{0+2,1+0}=2TE(v4)=max{0+3,2+2}=4TE(v5)=max{1+3,4+4}=8TE(v6)=max{2+4,8+1}=9TE(v7)=max{1+4,2+4}=6TE(v8)=max{9+1,6+6}=12 最晚完成时间TL(v8)=12TL(v7)=min{12-6}=6TL(v6)=min{12-1}=11TL(v5)=min{11-1}=10TL(v4)=min{10-4}=6TL(v3)=min{6-2,11-4,6-4}=2TL(v2)=min{2-0,10-3,6-4}=2TL(v1)=min{2-1,2-2,6-3}=0 缓冲时间TS(v1)=0-0=0TS(v2)=2-1=1TS(v3)=2-2=0TS(v4)=6-4=2TS(v5=10-8=2TS(v6)=11-9=2TS(v7)=6-6=0TS(v8)=12-12=0关键路径: v1-v3-v7-v825.欧拉路：经过图中每条边一次且仅一次的通路；欧拉回路：经过图中每条边一次且仅一次的回路；欧拉图：具有欧拉回路的图；单向欧拉路：经过有向图中每条边一次且仅一次的单向路；欧拉单向回路：经过有向图中每条边一次且仅一次的单向回路；26.（1）无向图中存在欧拉路的充要条件：①连通图；②有0个或2个奇数度节点；（2）无向图中存在欧拉回路的充要条件：①连通图；②所有节点度数均为偶数；（3）连通有向图含有单向欧拉路的充要条件：①除两个节点外，每个节点入度=出度；②这两个节点中，一个节点的入度比出度多1，另一个节点的入；度比出度少1；（4）连通有向图含有单向欧拉回路的充要条件：图中每个节点的出度=入度；27.哈密顿路：经过图中每个节点一次且仅一次的通路；哈密顿回路：经过图中每个节点一次且仅一次的回路；哈密顿图：具有哈密顿回路的图；28.判定哈密顿图（没有充要条件）必要条件：任意去掉图中n个节点及关联的边后，得到的分图数目小于等于n；充分条件：图中每一对节点的度数之和都大于等于图中的总节点数；29.哈密顿图的应用：安排圆桌会议；方法：将每一个人看做一个节点，将每个人与和他能交流的人连接，找到一条经过每个节点一次且仅一次的回路(哈密顿图)，即可；30.平面图：将图形的交叉边进行改造后，不会出现边的交叉，则是平面图；31.面次：面的边界回路长度称为该面的次；32.一个有限平面图，面的次数之和等于其边数的两倍；33.欧拉定理：假设一个连通平面图有v个节点，e条边，r个面，则v-e+r=2；34.判断是平面图的必要条件：(若不满足，就一定不是平面图)设图G是v个节点，e条边的简单连通平面图，若v>=3，则e<=3v-6；35.同胚：对于两个图G1,G2，如果它们是同构的，或者通过反复插入和除去2度节点可以变成同构的图，则称G1，G2是同胚的；36.判断G是平面图的充要条件：图G不含同胚于K3.3或K5的子图；37.二部图：①无向图的节点集合可以划分为两个子集V1，V2；②图中每条边的一个端点在V1，另一个则在V2中；完全二部图：二部图中V1的每个节点都与V2的每个节点邻接；判定无向图G为二部图的充要条件：图中每条回路经过边的条数均为偶数；38.树：具有n个顶点n-1条边的无回路连通无向图；39.节点的层数：从树根到该节点经过的边的条数；40.树高：层数最大的顶点的层数；41.二叉树：①二叉树额基本结构状态有5种；②二叉树内节点的度数只考虑出度，不考虑入度；③二叉树内树叶的节点度数为0，而树内树叶节点度数为1；④二叉树内节点的度数=边的总数(只算出度)；握手定理“节点数=边的两倍”是在同时计算入度和出度的时成立；⑤二叉树内节点的总数=边的总数+1；⑥位于二叉树第k层上的节点，最多有12 k个(k>=1)；⑦深度为k的二叉树的节点总数最多为k2-1个，最少k个(k>=1)；⑧如果有n个叶子，2n个2度节点，则0n=2n+1；42.二叉树的节点遍历方法：先根顺序（DLR）；中根顺序（LDR）；后根顺序（LRD）；43.哈夫曼树：用哈夫曼算法构造的最优二叉树；44.最优二叉树的构造方法：①将给定的权值按从小到大排序；②取两个最小值分支点的左右子树(左小右大)，去掉已选的这两个权值，并将这两个最小值加起来作为下一轮排序的权值；③重复②，直达所有权值构造完毕；45.哈夫曼编码：在最优二叉树上，按照左0右1的规则，用0和1代替所有边的权值；每个节点的编码：从根到该节点经过的0和1组成的一排编码；。

离散数学在密码学中的应用例题和知识点总结在当今数字化的时代，信息安全变得至关重要，而密码学作为保护信息安全的核心技术，其背后离不开离散数学的强大支撑。

离散数学中的诸多概念和方法，如群论、数论、图论等，在密码学的设计、分析和实现中发挥着关键作用。

下面，我们将通过具体的例题来深入探讨离散数学在密码学中的应用，并对相关知识点进行总结。

一、群论在密码学中的应用群是一种具有特定运算和性质的数学结构。

在密码学中，尤其是在公钥密码体制中，群论的应用十分广泛。

例如，在 DiffieHellman 密钥交换协议中，选取一个大素数 p 和一个整数 g，其中 g 是 p 的一个原根。

用户 A 随机选择一个整数 a（0 ＜ a＜ p 1）作为私钥，并计算 g^a mod p 发送给用户 B；用户 B 同样随机选择一个整数 b（0 ＜ b ＜ p 1）作为私钥，并计算 g^b mod p 发送给用户 A。

然后，用户 A 计算（g^b)＾a mod p，用户 B 计算（g^a)＾b mod p，最终双方得到相同的共享密钥 g^（ab) mod p。

这个过程中，基于有限循环群的性质，保证了密钥交换的安全性。

其核心知识点在于理解群的运算、原根的概念以及有限循环群的性质。

二、数论在密码学中的应用数论是研究整数性质的数学分支，在密码学中有着举足轻重的地位。

RSA 加密算法就是基于数论的经典应用。

首先选择两个大素数 p 和q，计算 n ＝ p q，然后计算欧拉函数φ(n) ＝（p 1)（q 1)。

接着选取一个整数 e（1 ＜ e ＜φ(n)），使得 e 与φ(n) 互质，得到公钥（n, e）。

再计算出 d，满足e d ≡ 1 （mod φ(n)），则私钥为（n, d）。

对于明文 m（0 ＜ m ＜ n），加密时计算 c ＝ m^e mod n，解密时计算 m ＝ c^d mod n。

这里涉及到的数论知识点包括素数的判定与生成、欧拉函数的计算、模运算、扩展欧几里得算法等。