离散数学第八章一些特殊的图知识点总结

离散数学--一些特殊的图ppt教学共39页文档

40、人类法律，事物有规律，这是不容忽视的。— —爱献生
6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
Thank you
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36、如果我们国家的法律中只有某种神灵，而不是殚精竭虑将神灵揉进宪法，总体上来说，法律就会更好。—— 马克·吐温 37、纲纪废弃之日，便是暴政兴起之时。— —威·皮物特
38、若是没有公众舆论的支持，法律是丝毫没有力量的。 ——菲力普斯 39、一个判例造出另一个判例，它们迅速累聚，进而变成法律。 ——朱尼厄斯

本科离散数学_第8章

V
d ( ) d ( ) m

V
证明请读者自己完成。
第8章图的基本概念
假设V={v1，v2，…，vn}是n阶图G的顶点集，称d （v1），d（v2），…，d（vn）为G的度数列。如例8.1.2 中图8.１.1（a）的度数列为2，2，2，3，3。例8.1.2中图 8.1.1（c）的度数列为1，2，2，3，3，其中出度数列为 0，2，0，2，1，入度数列为1，0，2，1，2。
E，则称G′是G的子图，记作（1）若V′ V，E′ G。 G′ V或E′ E，则称G′是G的真子图，（2）若V′ G。记作G′ （3）若V′=V，E′E，则称G′是G的生成子图。 V且V′≠ ，设G1=〈V1,E1〉是G的子图，若V′ E1由端点均在V1中的所有边组成，则称G1是由V1导出的导出子图，记作G［V1］。若E1 E且E1≠ ， V1由 E1中边所关联的所有顶点组成，则称G1是由E1导出的导出子图，记作G［E1］。
第8章图的基本概念
【例8.1.5】在图8.1.2中，G1，G2，G3均是G的真子图，其中G1是G的由E1={e1，e2，e3，e4}导出的导出子图G［E1］；G2、G均是G的生成子图；G3是G的由 V3={a，d，e}导出的导出子图G［V3］，同时也是由 E3={e4，e5}导出的导出子图G［E3］。
第8章图的基本概念
2.子图在深入研究图的性质及图的局部性质时，子图的概念是非常重要的。所谓子图，就是适当的去掉一些顶点或一些边后所形成的图，子图的顶点集和边集是原图的顶点集和边集的子集。定义8.1.2 设G=〈V,E〉，G′=〈V′,E′〉均是图（同为有向或无向）。
第8章图的基本概念

工科离散数学第8章图

[定义8-3：度] 一个图G= <V,E>中，与结点v V关联的边数称作该结点的度（度
数）（degree），记作dG(v) ，或简记为d(v) 。有向图中，射出v的边数称为v的出度，记作d+(v) ，射入v的边数称为v的入度，记作d-(v) 。
注意：(1)也可用d+(v)表示入度，用 d-(v)作为出度。
图能提供对问题和已知信息的一种清晰和直观的表达。一般认为，图论（graph theory）作为数学的一个分支，起源于欧拉对著名的哥尼斯堡七桥问题的研究，但它的应用几乎遍布于科学研究与生产实践的每个领域。
8.1 图的基本概念
Discrete mathematics
[直观的图] 简单地说，图是由结点和结点之间的连线组成的图形，线长及结点位置无关紧要。图论关心的是图形的拓扑结构，即研究与大小、形状无关的点和线之间的关系。
8.1.2 结点的度与握手定理
Discrete mathematics
[定义8-4] 若G为无向图，称 (G)=maxv V{d(v)}为图G的最大度，称 δ(G)=minv V{d(v)}为图G的最小度。有向图G中，分别称
+(G)=maxv V{d+(v)} 、 δ+(G)=minv V{d+(v)}为最大出度和最小出度， -(G)=maxv V{d-(v)} 、 δ-(G)=minv V{d-(v)}为最大入度和最小入度。
01
命题逻辑
02
谓词逻辑
03
集合的概念与运算
目录
04 05
关系
函数
06
运算与代数系统
07
环、域、格、布尔代数
08
图论

离散数学王元元习题解答 (9)

第三篇图论第八章图8.1 图的基本知识内容提要8.1.1 图的定义及有关术语定义8.1 图（graph）G由三个部分所组成：（1）非空集合V(G)，称为图G的结点集，其成员称为结点或顶点（nodes or vertices）。

（2）集合E(G)，称为图G的边集，其成员称为边(edges)。

I（3）函数ΨG：E(G)→(V(G)，V(G))，称为边与顶点的关联映射（associatve mapping）。

这里（V(G)，V(G)）称为VG的偶对集，其成员偶对（pair）形如（u，v），u，v为结点，它们未必不同。

ΨG(e) = (u,v)时称边e关联端点u，v。

当(u,v)用作序偶时(V(G)，V(G)) =V(G)⨯V(G)，e称为有向边，e以u为起点,以v为终点, 图G称为有向图（directed graph）；当(u,v)用作无序偶对时，(u,v) = (v,u)，称e为无向边（或边），图G称为无向图（或图）。

图G常用三元序组< V(G)，E(G)，ΨG>,或< V，E，Ψ>来表示。

显然，图是一种数学结构，由两个集合及其间的一个映射所组成。

定义8. 2 设图G为< V，E，Ψ>。

（l）当V和E为有限集时，称G为有限图，否则称G为无限图。

本书只讨论有限图。

（2）当ΨG为单射时，称G为单图；当ΨG为非单射时，称G为重图，又称满足Ψ(e1) = Ψ(e2)的不同边e1,e2,为重边,或平行边。

（3）当Ψ(e)＝(v,v)（或<v,v>）时，称e为环（loops）。

无环和重边的无向单图称为简单图。

当G为有限简单图时，也常用（n，m）表示图G，其中n = |V |，m = |E |。

（4）Ψ为双射的有向图称为有向完全图；对每一(u，v)，u ≠v，均有e使Ψ(e)＝(u,v)的简单图称为无向完全图，简称完全图，n个顶点的完全图常记作K n。

（5）在单图G中，Ψ(e)＝(u,v)（或<u，v>）时，也用(u,v)(或<u,v>)表示边e，这时称u，v邻接e, u,v是e的端点（或称u为e的起点，v为e的终点）;也称e关联结点u , v 。

离散数学第8章图论及其应用

重要课题。
38
第八章图论及其应用例如图8-5中（a）与（b）均有6个结点，5条边；3个1度结点
，2个2度结点，1个3度结点。满足上述3个条件，然而并不同构。
因为在图8-5（a）中的结点x应和图8-5（b）中结点y对应，它们的度数均为3，而图8-5（a）中的结点x与两个度数为1 的结点邻接，图8-5（b）中结点y仅与一个度数为1的结点
E={e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7},
e1=(a,b),e2=(a,c),e3=(b,d),e4=(b,c),e5=(d,c),e6=(a,d),
e7=(b,b)
则图G可用图(a)或(b)表示。
一个图G可用一个图形来
表示且表示形式不唯一
6
第八章图论及其应用
有向图与无向图
• 在图G中，如果每条边都是有向边，则称该图为有向图； • 若每条边都是无向边，则称该图为无向图； • 如果有些边是有向边，另一些边是无向边，图G称为混合
•
(1)
(2)
37
第八章图论及其应用图之间的同构关系具有自反性、对称性和传递性.
若两图同构，则两图必然满足：（1）有相同结点数目；（2）有相同边数；（3）度数相同的结点数目相同；（4）有相同重数的边数相同，等等。
但这仅仅是必要条件而不是充分条件。
寻找一种简单有效的方法来判定图的同构，至今仍是图论中悬而未决的
• 若边e所对应的结点对是有序对〈a,b〉,则称e是有向边。a叫边e的始点,b叫边e的终点,统称为e的端点。 • 若边e所对应的结点对是无序对(a,b) ,则称e是无向边。 • 这时统称e关联顶点a和b，端点a和b是邻接的。
5
第八章图论及其应用
例设G=〈V,E〉,其中V={a,b,c,d},

离散数学第八章(第4讲)

韦尔奇·鲍威尔（WelchPowell）给出了一种对图的着色方法，步骤如下：
（1）将图G中的顶点按度数递减次序排列。（2）用第一种颜色对第一顶点着色，并将与已着色顶点不
邻接的顶点也着第一种颜色。（3）按排列次序用第二种颜色对未着色的顶点重复（2）。
用第三种颜色继续以上做法，直到所有的顶点均着上色为止。
4
5
6
定义1 ：设G=<V,E>是一个无向图，如果能够把G的所有结点和边画在平面上，且使得任何两条边除了端点外没有其它的交点，就称G是一个平面图。
判断一个图是否为平面图的简单方法是观察法：找出基本循环，将交叉的边分别放置在基本循环内或外而避免交叉。如下图所示：
但并非所有的图经过处理之后都可变为平面图。
2. 着色问题在地图上，相邻国家涂不同的颜色，最少需要多少种颜色？100多年前，有人提出了“四色猜想”，即只用四种颜色就能做到，但一直无法证明，直到1976年美国数学家才用电子计算机证明了这一猜想。地图着色自然是对平面图的面着色，利用对偶图，可将其转化为相对简单的顶点着色问题，即对图中相邻的顶点涂不同的颜色。
设m=k-1（k≥1）时公式成立，现在考虑m=k时的情况。因为在连通图上增加一条边仍为连通图，则有三种情况：
（1）所增边为悬挂边，此时G的面数不变，顶点数增1，公式成立。（2）在图的任意两个不相邻点间增加一条边，此时G的面数增1，边数增1，但顶点数不变，公式成立。
（3）所增边为一个环，此时G的面数增1，边数增 1
于是有 r 2 m n 2m l
故 m l (n 2)
l2
(r为G的面数)
推论1:设图G是一个包含n个结点,m条边的连通简单平面图，若n≥3,则m≤3n-6。

CH8一些特殊的图.ppt

若V1中任一顶点与V2中任一顶点均有且仅有一条边相关联，则称此二部图为完全二部图。
2/24/2021 4:35 PM
3
定理：一个无向图是二部图当且仅当G中无奇数长度的回路。
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4
基本术语
匹配二部图G=(V,E)中, 若ME, 且 M中任意两条边都没有公共顶点，则称M为G中的匹配。
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10
分析无奇数长度回路的只有图(3)，(4)，(5) ，因而它们都是二部图；也可根据定义，直接将两个顶点集找出，进而判断是否是二部图。一个图存在完美匹配的一个必要条件是具有偶数个顶点，只有图(4)具有偶数个顶点，并且它存在完美匹配，匹配数是3。
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具有哈密顿回路的图称为哈密顿图。不具有哈密顿回路但具有哈密顿通路的图称为半哈密顿图
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(1)是半哈密顿图: 存在哈密顿路，不存在哈密顿回路
当无奇度顶点时，是欧拉回路。
充分性：
若(1），(2)成立,构造欧拉通路或回路.
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L1: a, c, b L2: a, d, b,a L1+L2: a, d, b, a, c, b
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L1: a, c, b L2: a, d, b,a
问在以上3种情况下能否各选出3名不兼职的组长？
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8
解：设v1,v2,v3,v4,v5分别表示张、王、李、赵、陈。 u1,u2,u3分别表示物理组、化学组、生物组。在3种情况下作二部图分别记为G1,G2,G3，如图所示。

《离散数学》图论 (上)

12
无向图与有向图
v2
e1
e2
e3
v3
e4
v1
e5 (e1)={( v42, v24 )}
v4
(e2)={( v32, v23 )} (e3)={( v3, v4 )}
(e4)=({ v43, v34 )}
(e5)=({ v4,}v4 )
13
无向图与有向图
A B C
D E F
14
无向图与有向图
第八章图论
第八章图论
§8.1 基本概念
§8.1.1 无向图、有向图和握手定理 §8.1.2 图的同构与子图 §8.1.3 道路、回路与连通性 §8.1.4 图的矩阵表示
§8.2 欧拉图 §8.3 哈密尔顿图 §8.4 平面图 §8.5 顶点支配、独立与覆盖
2
无向图与有向图
3
无向图与有向图
一个无向图（undirected graph, 或graph） G 指一个三元组 (V, E, )，其中
vV
vV
24
特殊的图
假设 G=(V, E, ) 为无向图，若 G 中所有顶点都是孤立顶点，则称 G 为零图（null graph）或离散图（discrete graph）；若 |V|=n，|E|=0，则称 G 为 n 阶零图所有顶点的度数均相等的无向图称为正则图（regular graph），所有顶点的度数均为 k 的正则图称为k度正则图，也记作 k-正则图注：零图是零度正则图
19
握手定理
定理（图论基本定理/握手定理）
假设 G=(V, E, ) 为无向图，则deg(v) 2 E ， vV
即所有顶点度数之和等于边数的两倍。
推论
在任何无向图中，奇数度的顶点数必是偶数。

离散数学第八章

例.
数
学
第八章
一
些
特
殊
的图
图中(1)(2)(3) 不是欧拉图, (4) 是欧拉图.
离 8.2 欧拉图(即一笔画问题)
散数
例.
学
第八章
一
些
特
殊
的图
图1是欧拉图;
图2不是欧拉图, 但存在欧拉通路;
图3既不是欧拉图, 也不存在欧拉通路.
8.2 欧拉图(即一笔画问题)
离
散有向图的欧拉回路判定定理
特
殊
的
图
8.4 平面图
例
K5, K3,3是极小非平面图, K5任意删除一条边后所得图是极大平面图
离 8.4 平面图
散数
8.4.1 平面图的基本概念
学极大平面图、极小非平面图
定义8.8 设G为一个简单平面图, 如果在G中任意不相邻的
两个顶点之间再加一条边, 所得图为非平面图, 则称G为
第八
极大平面图.
章 ➢若在非平面图G中任意删除一条边, 所得图为平面图, 则
一些
称G为极小非平面图.
在3种情况下作二部图分别记为g满足t2的t条件所以存在从v的完备匹配图中粗边所示的匹配就是其中的一个即选张为物理组组长李为化学组组长不满足t条件但满足相异性条件因而也存在完备匹配图中粗边所示匹配就是其中的一个完备匹配
第八章一些特殊的图
8.1 二部图 8.2 欧拉图 8.3 哈密尔顿图 8.4 平面图
八
p(C-V1)= r≤V1
章
一些
一般说来,V1中的顶点在C上既有相邻的, 又有不相邻的, 因而总有 p(C-V1)≤ V1.
特又因为C是G的生成子图, 故

离散数学屈婉玲第八章ppt课件.ppt

f g={<a1,c1>,<a2,c2>,<a3,c2>}
g:B→C 和 f g:A→C是满射的, 但 f:A→B不是满射的.
18
反函数
反函数存在的条件 (1) 任给函数F, 它的逆F 1不一定是函数, 只是一个二元关系. (2) 任给单射函数 f:A→B, 则f 1是函数, 且是从ranf 到A的双
Z： 0 1 1 2 2 3 3 …
↓ ↓↓↓↓ ↓ ↓
N： 0 1 2 3 4 5 6 …
这种对应所表示的函数是：
f：Z
N,
f
(x)
2x 2x
1
0 x0
(4) 令 f :[π/2,3π/2]→[1,1] f(x) = sinx
10
某些重要函数
定义8.7 (1)设 f:A→B, 如果存在c∈B使得对所有的 x∈A都有 f(x)=c,
射函数, 但不一定是从B到A的双射函数 (3) 对于双射函数 f:A→B, f 1:B→A是从B到A的双射函数.
定理8.4 设 f:A→B是双射的, 则f 1:B→A也是双射的. 证明思路：先证明 f 1:B→A，即f 1是函数，且domf 1=B, ranf 1=A. 再证明f 1:B→A的双射性质.
|A|=m, |B|=n, 且m, n>0, |BA|=nm A=, 则BA=B={} A≠且B=, 则BA=A=
3
实例
例1 设A={1,2,3}, B={a,b}, 求BA.
BA={ f0, f1, … , f7}, 其中 f0 = {<1,a>,<2,a>,<3,a>} f1 = {<1,a>,<2,a>,<3,b>} f2 = {<1,a>,<2,b>,<3,a>} f3 = {<1,a>,<2,b>,<3,b>} f4 = {<1,b>,<2,a>,<3,a>} f5 = {<1,b>,<2,a>,<3,b>} f6 = {<1,b>,<2,b>,<3,a>} f7 = {<1,b>,<2,b>,<3,b>}

第8章一些特殊的图 [离散数学离散数学(第四版)清华出版社]PPT课件

若街道图（街道的交叉口为顶点）存在欧拉通路，显然此路是全程最短。
9/16/2020
第四部分：图论（授课教师：向胜军）
11
有向欧拉图的例子
❖一个模数转换中的应用举例：
旋转鼓设计：只需要16个物理触点便可以表示0-15总共16个不同的状态。
如何安排这16个触点使每转过一个触点都得到一个不同的二进制信号。
❖ 连通有向图D具有欧拉通路当且仅当D中除了两个顶点外，其余顶点的入度均等于出度。这两个特殊的顶点中，一个顶点的入度比出度大1，另一个顶点的入度比出度小1。
9/16/2020
第四部分：图论（授课教师：向胜军）
10
中国邮递员问题
(欧拉通路的应用)(加权图)
问题:
邮递员从邮局出发，走遍投递区域的所有街道，送完邮件后回到邮局，怎样使所走的路线全程最短。
第八章一些特殊的图
9/16/2020
§1 二部图 §2 欧拉图 §3 哈密尔顿图 §4 平面图
第四部分：图论（授课教师：向胜军）
1
§1 二部图
无向图G是二部图当且
仅当G中无奇数长度的
❖ 二部图(偶图)：G=<V1,V2,E>
回路。
❖ 完全二部图(完全偶图)：Kn,m，其中|V1| =n, |V2|=m.
（求布鲁英序列）
0000
❖每转一个触点，信号1234变成2345，
000
前者后三位决定了后者的前三位。因此，可把所
0001
1000
001
1001
0010 010 0100
100
有三位二进制数作顶点，从每一个顶点123到 234引一条有向边表示1234这个4位二进
制数，做出表示所有可能的码变换的有向图。于

离散数学第8章图论

软件学院
图论原理两个图同构的必要条件: 1.结点个数相等. 2.边数相等. 3.度数相同的结点数相等. 4.对应的结点的度数相等. 下面是同构的图:
a b c e d 3 5 1 4 2 b c d a f e 2 4 6 1 3 5
软件学院
图论原理

软件学院
图论原理
图的同构设G=<V,E>和G’=<V’,E’>是图,如果存在双射f:VV’ 且任何 vi,vj∈V,若边(vi,vj)∈E,当且仅当边(f(vi),f(vj))∈E’, (则称G与G’同构,记作G≌G’. (同构图要保持边的“关联”关系) 例如:右边所示的两个图: a b 1 4 G=<V,E> G’=<V’,E’> c d 3 2 构造映射f:VV’ a 1 b 2 c 3 d 4 a 1 b 2 c 3 d 4
c
d
v2
v4 v6 G2
v3
v5
f g h G1
软件学院
图论原理
欧拉通路的判定方法：定理：无向连通图G中结点a和b间存在欧拉通路的充分必要条件是a与b的次数均为奇数而其他结点的次数均为偶数。如果G有两个奇数度结点:就从一个奇数度结点出发,每当到达一个偶数度结点,必然可以再经过另一条边离开此结点, 如此重复下去,经过所有边后到达另一个奇数度结点如果G无奇数度结点,则可以从任何一个结点出发,去构造一条欧拉路. a b 1 2 c d 4 3
v3
是一个结点,则称此路是一个回路. 如果一条路中所有边都不同,则称此路为迹或简单通路. 如果一条回路中所有边都不同,则称此回路为闭迹或简单回路. 如果一条路中所有结点都不同,则称此路为基本通路. 如果一条回路中所有结点都不同,则称此路为基本回路. 一条基本通路一定是简单通路，但是一条简单通路不一定是基本通路

离散数学第8章图的基本概念课件

素数目等于结点vj的引入次数。即

deg(vi)=
和deg(vj)=
。
5.由给定简单图G的邻接矩阵A可计算出矩阵A的l次幂，
即Al。则第i行第j列上的元素alij便是G中从
结点vi到结点vj长度为l的通路的数目。
给出下面Байду номын сангаас理

定理设A为简单图G的邻接矩阵，则Al中的i行j列元素alij等于G中联结vi到vj的长度为l的通路的数目。
0 0 0 1 1 0 C 0 0 1 0 0 0 1 1 0 BC 1 1 0
例2
v5
v1 v2
v3
v4
0 0 A 1 0 0
1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 P 1 0 0 0 0 0 1 0 0
1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1
多重图、无向图及权图
则该有向图的邻接距阵为：
则该无向图的邻接距阵为：

已知加权的简单图G=<V,E>，定义一个矩阵
A=(aij)，其中：

aij=
{
ω, ω是边（vi,vj）的权
0， vi与vj没有边相连
则称A为图G的权矩阵
例: 权图
a
5
b
4
w(ab)=5 w(aa)=0 w(ac)=12 w(bd)= ∞ w(ad)=8
8
12
20
d
c
0 5 12 8 5 0 4 A 12 4 0 20 8 20 0

离散数学第8章图论及其应用

点集。由握手定理知
෍ de() + ෍ de() = 2
∈1
∈2
由于V2是偶数度数的结点集, 所以其度数之和, 必为
偶数, 而2|E|也为偶数, 故V1形成的结点度数之和只
能是偶数, 由此|V1|必为偶数。
23
【示例1】已知图G中有1个1度结点, 2个2度结点,
3个3度结点, 4个4度结点, 则G的边数是
第8章图论及其应用
1 图的基本概念
2 图的连通性
3 图的矩阵表示
4 最短路径与关键路径
5 树
1
主要内容
☞ 图的基本概念
☞ 图的连通性
☞ 图的矩阵表示
☞ 最短路径与关键路径
☞树
2
3
图论的前世今生
☞ 1736年，欧拉（L.Eular）发表了第一篇关于图论的论文，解决了
哥尼斯堡七桥问题，并因此被誉为图论之父。
d (v4 ) 0
(b)
注意孤
立点和
自回路
d (v1 ) d (v1 ) d (v1 ) 3 0 3

d (v2 ) d (v2 ) d (v2 ) 0 1 1

d
(
v
)

d
(
v
)

d
(v3 ) 3 1 4
3
3
d (v ) 0
☞ 完全图(Complete Graph): 任意两个不同的结点都邻接的
简单图称为完全图。个结点的无向完全图记为K。
17
8−1
图
的
基
本
概
念
§8−1−2 结点的度

离散数学第八章 (第2讲)

若某一个结点构成一个点割集，则称该结点为割点。
在下图中, { v2, v4 }, { v3 }和{ v5 }都是点割集, v3和v5都是割点。
练习：
设图G=<V,E>的结点集为V={v1,v2,v3},边集为 E={<v1,v2>,<v1,v3>},则G的割点是( )
A.{v1}
B.{v2}
C.{v3}
v10
e1 v21
e3 e2
e4
v32
e5
e6
e7
e8
v43
v54
路的其它概念
（1）在路 v0 e1 v1 … en vn 中，v0和vn分别称作路的起点与终点。（2）一条路中所有的边的数目称作路的长度。
（3）一条路中所有的边均不相同，则此路称作迹。
（4）一条路中所有的结点均不相同，则此路称作通路。
若G是强连通的，则G是单向连通的。若G是单向连通的，则G是弱连通的。反之，不成立。
A
A
A
B
C
(a)
B
C
(b)
B
C
(c)
练习：
下列各有向图是强连通图的是（
）.
定理：一个有向图是强连通的充要条件是：它包含一个回路，该回路至少包含每个结点一次。
A
D
B
C
定义：设Ｇ＝＜Ｖ，Ｅ＞为一简单有向图，且Ｇ’是Ｇ的子图。具有强连通性质的极大子图Ｇ’称为强分图；具有单侧连通性质的极大子图Ｇ’称为单侧图；具有弱连通性质的极大子图Ｇ’称为弱分图。
A
B
C
D
E
F
练习：
在下图中，求v1到v4长度分别为1，2，3的路分别有哪些？

离散数学第八章(第1讲)

（2）无向图，有向图
a
d
每一条边都是无向边的图称无向图。
b
c
每一条边都是有向边的图称有向图。 a
d
b
c
例：将右图用二元组表示为：Ｇ＝〈Ｖ，Ｅ〉其中Ｖ＝｛a，b，c，d｝Ｅ＝｛<a,b>,<b,a>,<b,d>,<d,a>,<d,d>,<c,c>｝则：Ｇ＝〈Ｖ，Ｅ〉= 〈｛a，b，c，d｝，｛<a,b>,<b,a>,<b,d>,<d,a>,<d,d>,<c,c>｝〉
A
最大度,记为：△(G)=max{d(v)| vV} B
E
最小度,记为：δ(G)=min{d(v)| vV}
D
C
定理1 (握手定理) ：每个图中，结点度数的总和等于边数的两倍。即
deg(v) 2 E
vV
证：∵每条边必关联两个结点，而一条边给于关联的每个结点的度数为1。故上述定理成立。
例：在一次10周年同学聚会上，想统计所有人握手的次数之和，应该如何建立该问题的图论模
a
h
b
c
g
d h
b
c
g
d
a
h
f （a）
f e
e
（b）
f （c）
（13）生成子图：如果G的子图包含G的所有结点，则称该子图为G的生成子图。
如下图，（b）、（c）都是（a）的生成子图。
v1
v4
v1
v4
v1
v4
v2
v3
（a）
v2
v3
v2
（b）

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