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3-抽样分布与抽样误差

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23
t分布
﹡ 由于t分布曲线是一簇曲线，对应于每个自由度都有
一条曲线，因而其界值不像u曲线那样是固定值，而 是一个与自由度ν有关的值。
为方便起见，统计学家也编制了t界值表，应用时可 以查取相应自由度下某一概率对应的界值。
24
t分布
P (t ≤ − tα / 2 ,ν ) =
α
2
1-α
P (t ≥ tα / 2 ,ν ) =
29
分位数（临界点）
分位数（临界点）图示及结论
p * 记为Fp(m,n)
*
30 30
分位数（临界点）
定理：
u1−α = −uα t1−α (n) = −tα (n)
1 Fα ( m, n) = F 1−α ( n, m)
31
§2.3 正态总体常用抽样分布
我们做统计推断时往往认为或近似认为总体服从 正态分布，我们将这样的总体称为“正态总体”。
考虑样本均数均数
ν→∞
N (µ,σ2/n)
正态分布
t=
x−µ s/ n
t 分布
0
µ
t
27
F分布
构造性定义：设随机变量 X 与 Y 相互独立，并且
X ~ χ 2 ( m ) ， Y ~ χ 2 ( n) ，则随机变量 F =
X m Y n
服从自由
度为 ( m , n) 的 F 分布，记为 F ~ F ( m , n) 。
χ² 分 布
χ 2分布的特征
1）当x=n-2时，p(x)取到最大值； 2) 当 n=2 时, p(x) 与 E(1/2) 的密度函数相同；
3) E χ 2 =n; D χ 2 =2n
χ 2 分布的性质
设 ξ ~ χ 2 ( k1 ) ， η ~ χ 2 ( k 2 ) ， ξ 与 η 相 互 独 立 ， 则
14 6 14 7 14 8 14 9 15 0 15 1 15 2 15 3 15 4 15 5 15 6 15 7 15 8 15 9 16 0 16 1 16 2 16 3 16 5
n=5
n=20
400 300 200 700 600 500 900 800
样本均数
1000
1200
200 0
400
抽样分布
黄宗媛
Email: huangzy@
1
总 体
随机抽样
样 本
推断，估计
X,s
问题： 1. 如何通过样本的指标得到总体指标？ 2. 这种推断是否正确？如何判断？ 3. 所选样本是否真的来自于该总体？
2
任务：分析误差产生的原因，确定差异性质，排除干 扰，从而对整体特征进行正确判断。 途径：以统计量的抽样分布为基础，经两条途径
2
)
⋅ (1 +
t2
Γ( ) 2
ν
)
−
ν +1
2
−∞ < t < ∞
21
t分布
t 分布曲线
自由度分别为1，5，∞的 t 分布曲线
22
t分布
t 分布的特征 ﹡ 以0为中心，左右对称的单峰分布。 ﹡ 曲线的形态变化与自由度ν 的大小有关。
自由度ν越小，中间部分越低平，两端越伸展； 随自由度ν的增大，t曲线逐渐逼近正态曲线。
☞
抽样误差
由于抽样造成的样本统计量与总体参数之间的差异称为 抽样误差(sampling error). 我们重点考虑均数的抽样误差。
5
§2.1 均数的抽样分布与抽样误差
抽样误差在抽样研究中是不可避免的，但只要严格遵循 随机化原则进行抽样，抽样误差的大小是可以估计的。
例：已知某市16岁女中学生的身高分布服从均数μ =155.4cm， 标准差σ =5.3 cm的正态分布。现以固定n =10从该总体中 随机抽取100个样本，求得100个样本均数，如表2-1。
15
§2.1 均数的抽样分布与抽样误差
例：某地随机抽取20名健康男性测量其血液中葡萄糖含量。 测得：均数为39.5mg/100ml，标准差为0.69mg/100ml。 问其抽样误差有多大？ 解：本例中总体均数和方差均未知，故用估计式求：
s 0.69 SX = = = 0.15mg / 100ml n 20
600
800
100 0
14 8 14 8. 2 14 8. 4 14 8. 6 14 8. 8 14 9 14 9. 2 14 9. 4 14 9. 6 14 9. 8 15 1 15 1. 2 15 1. 4 15 1. 6 15 1. 8 15 2. 2 15 2. 4 15 2. 6 15 2. 8 15 3 15 3. 2 15 3. 4 15 3. 6 15 3. 8 15 4 15 4. 2 15 4. 4 15 4. 6 15 4. 8 15 5 15 5. 2 15 5. 4 15 5. 6 15 5. 8 15 6 15 6. 2 15 6. 4 15 6. 6 15 6. 8 15 7 15 7. 2 15 7. 4 15 7. 6 15 7. 8 15 8 15 8. 2 15 8. 4 15 8. 6 15 9 15 15 15 15 9. 9. 9. 2 4 6 9. 8 16 0 16 0. 2 16 0. 4 16 0. 6 16 0. 8 16 1
σX =
σ
n
s SX = n
样本均数标准误的估计值：
14
§2.1 均数的抽样分布与抽样误差
﹡ 在样本含量一定的情况下，标准误与标准差成正比。 当总体中观测值的变异较小时，估计的可靠程度高， 反之可靠程度低。 ﹡ 标准误与样本含量的平方根成反比。 样本含量越大，标准误越小。 ﹡ 标准误反映了抽样误差的大小。 标准误反映了样本均数间的离散程度，也反映了样本 均数与总体均数的差异。
2 2 2 χ 2 = X1 + X2 + + Xn
服从自由度为 n 的 χ 2 分布，记为 χ 2 ~ χ 2 ( n)
χ 2分布的密度函数：
n x −1 − 1 2 2 x e , x>0 n p ( x) = 2 2 Γ( n ) 2 x≤0 0,
1数的抽样分布与抽样误差
把这100个均数看作为X，即100个观察值，并编制成频数 表，如表2-2。
表 2-2 100个样本均数值的频数分布
组段 （cm） 151∼ 152∼ 153∼ 154∼ 155∼ 156∼ 157∼ 158∼ 159∼160 合计 频数 1 6 15 19 27 16 8 5 3 100
ξ ＋ η ￣ χ 2 ( k1 + k 2 )
t分布
构造性定义：设随机变量 X 与 Y 相互独立，并且
X ~ N ( 0,1) ， Y ~ χ ( n) ，则随机变量 T =
2
度为 n 的 t 分布，记为 T~ t ( n)
t分布的密度函数：
X Y n
服从自由
f (t ) =
1
πν
⋅
Γ(
ν +1 ν
α/2
α
2
α/2
-tα/2,ν tα/2,ν
P (− tα / 2 ,ν ≤ t ≤ tα / 2 ,ν ) = 1 − α
25
t分布
P (t ≥ tα ,ν ) = α
1-α
α
P (t < tα ,ν ) = 1 − α
26
N (µ,σ2)
正态分布
u=
X
x−µ
σ
N(0,1)
标准正态分布
µ
0
u
x−µ u= σ/ n 以固定样本含量n抽样
☞
参数估计：通过统计量估计总体参数；
☞ 假设检验：对预设的关于统计量的假设进行验证。
3
主要内容
§2.1 样本均数的抽样分布与抽样误差 §2.2
三大抽样分布
§2.3 正态总体常用的抽样分布
4
§2.1 均数的抽样分布与抽样误差
由于变异的普遍存在，科学研究的总体中同质研究对象的 观察单位间也会存在着个体差异。在抽样研究时，由样本计算 的样本统计量往往不等于总体参数。
X = 155.38cm ≈ 155.4cm
S X = 1.71cm
X
8
§2.1 均数的抽样分布与抽样误差
抽样试验（n=10）
9
§2.1 均数的抽样分布与抽样误差
抽样试验（n=30）
10
1000
1200
200
400
600
800
样本个数
1800 1600 1400 1200 1000 800 600 400 200 0
密度函数 :
m m+n −1 ( ) Γ m n 2 x 2 2 2 m n ， x > 0时 m+n p( x) = m n 2 ( ) ( ) Γ Γ ( ) + mx n 2 2 0， x ≤ 0时
28
F分布
F 分布的性质:
F ~ F (m, n) ⇒
1 F
~ F (n, m)
0
14 8. 6 9 2 5 8 1 4 7 8. 9. 9. 9. 0. 0. 0. 1 3 6 9 2 5 8 1 4 7 14 14 14 14 15 15 15 15 15 1. 1. 1. 2. 2. 2. 3. 3. 3. 4 3 6 9 2 5 8 1 4 7 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 4. 4. 4. 5. 5. 5. 6. 6. 6. 7 3 6 9 2 5 8 1 4 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 7. 7. 7. 8. 8. 8. 9. 9. 0 3 6 9 15 15 15 15 15 15 15 16 16 0. 0. 0. 16 16

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第三章抽样误差与假设检验详解演示文稿

第三章抽样误差与假设检验详解演示文稿

[ u (x ) / x]，也可变换为标准正
态分布N (0,1)。
（二）t分布
由于在实际工作中，往往σ是未知 的，常用s作为σ的估计值，为了与Z变 换区别，称为t 变换t = x ，统计量 t 值的分布称为t 分布。 sx
t分布有如下特征
1．以0为中心，左右对称的单峰分布；
2．t分布是一簇曲线，其形态变化与n（确切地 说与自由度ν）大小有关。自由度ν越小，t分布曲 线越低平；自由度ν越大，t分布曲线越接近标准 正态分布（u分布）曲线，如图4.1。
从什么分布，X 的抽样分布均近似正态。
抽样分布
图 抽样分布示意图
二．均数的抽样误差
如上所述，数理统计研究表明，抽样 误差具有一定的规律性，可以用特定的指 标来描述。这个指标称为标准误 （standard error SE）。
标准误除了反映样本统计量之间的离 散程度外，也反映样本统计量与相应总体 参数之间的差异，即抽样误差大小。
标准误的计算公式：
x / n
sx
s n
•意义：反映抽样误差的大小。标准误越小， 抽样误差越小，用样本均数估计总体均数的 可靠性越大。
•与样本量的关系：S 一定，n↑，标准误↓
例4.1 在某地随机抽查成年男子140人， 计算得红细胞均数4.77×1012/L，标准差 0.38 ×1012/L ，试计算均数的标准误。
第三章抽样误差与假 设检验详解演示文稿
优选第三章抽样误差 与假设检验
第三章 抽样误差与假设检验
熟悉： 1、抽样误差的概念 2、引起抽样误差的原因 3、均数的标准误的计算 4、标准差和标准误的区别
第一节 抽样分布与抽样误差
一．抽样研究 （一）抽样研究的意义
总体
统计学中的抽样误差分布

统计学中的抽样误差分布

统计学中的抽样误差分布在统计学中，抽样误差是指样本统计量与总体参数之间的差异。

当我们从总体中抽取一个样本，并用样本统计量来估计总体参数时，由于抽取的样本并不是总体的全部，因此存在抽样误差。

抽样误差的分布是统计学中一个重要的概念，它描述了抽样误差的概率分布情况。

本文将介绍统计学中的抽样误差分布。

一、抽样误差的产生原因抽样误差的产生主要有以下几个原因：1. 随机抽样：在统计学中，我们通常采用随机抽样的方法来获取样本。

由于样本是从总体中随机选择的，因此样本与总体之间的差异是不可避免的。

2. 样本大小：样本大小对抽样误差有影响。

样本越大，抽样误差越小；样本越小，抽样误差越大。

3. 总体分布的形状：总体分布的形状也会对抽样误差的分布产生影响。

当总体呈正态分布时，抽样误差往往服从正态分布。

二、抽样误差的分布在统计学中，常见的抽样误差分布有以下几种：1. 正态分布：当总体分布是正态分布，并且样本大小足够大时，根据中心极限定理，样本均值的抽样误差大致服从正态分布。

这也是许多统计推断方法的基础。

2. t分布：在实际应用中，当总体分布未知且样本大小较小的情况下，我们通常使用t分布来描述样本均值的抽样误差。

3. 二项分布：在二项分布中，我们关注的是成功与失败的次数。

当样本来自二项分布总体时，样本比例的抽样误差可以用二项分布来描述。

4. 指数分布：在某些情况下，我们关注的是事件发生的时间间隔。

当事件按照指数分布发生时，我们可以使用指数分布来描述事件发生时间的抽样误差。

三、抽样误差的影响抽样误差的分布对统计推断和决策具有重要影响：1. 置信区间：在统计推断中，我们常常需要给出一个参数的置信区间。

抽样误差的分布决定了置信区间的宽度，即置信水平的精度。

2. 假设检验：在假设检验中，我们常常需要计算p值来判断统计显著性。

抽样误差的分布决定了p值的计算方式。

3. 决策风险：在决策分析中，我们常常需要权衡风险和效益。

抽样误差的分布决定了决策的可靠性和风险程度。

研究方法——抽样的理论与实操

研究方法——抽样的理论与实操

研究方法——抽样的理论与实操抽样是一种常用的研究方法，它能够通过从总体中选择部分样本来代表整体，从而节省时间和资源。

本文将介绍抽样的理论基础和实操过程，并探讨各种抽样方法的优缺点。

一、抽样的理论基础1.总体与样本：总体是指研究对象的全体，而样本是从总体中抽取的一部分个体。

在进行抽样研究时，样本的特点应该能够代表总体的特征。

2.抽样误差：抽样误差是指由于样本选择的随机性而产生的误差。

抽样误差的大小与样本量有关，样本量越大，抽样误差越小。

3.抽样分布：根据中心极限定理，当样本容量足够大时，抽样分布会接近正态分布。

这意味着从同一总体中多次抽取样本时，样本统计量的分布会接近正态分布。

4.抽样方法的选择：在选择抽样方法时，需要考虑总体特点、研究目标和资源限制等因素。

常用的抽样方法包括随机抽样、分层抽样、整群抽样等。

二、抽样的实操步骤1.确定研究目标：在进行抽样研究之前，需要明确研究目标和所需信息。

确定研究问题有助于选择合适的抽样方法和样本量。

2.确定总体和抽样框架：总体是研究对象的范围，而抽样框架是总体中个体的列表或划分。

总体和抽样框架的确定直接影响到样本的代表性。

3.选择抽样方法：根据研究目标和总体特点，选择合适的抽样方法。

常用的抽样方法包括简单随机抽样、分层抽样、整群抽样、多阶段抽样等。

4.确定样本容量：样本容量的确定需要考虑抽样误差、置信水平和总体大小等因素。

通常，样本容量越大，抽样误差越小。

5.实施抽样：按照抽样方法进行样本的选择。

在实施抽样过程中，需要注意样本的随机性和代表性。

6.数据收集与分析：根据研究目标和设计，收集样本数据。

在数据分析中，需要使用合适的统计方法来推断总体参数。

三、抽样方法的优缺点1.简单随机抽样：优点是样本选择具有随机性，能够在一定程度上保证样本的代表性；缺点是不适用于总体存在分层特征的情况，且样本容量较大时工作量大。

2.分层抽样：优点是能够充分利用总体的分层特征，提高样本的代表性；缺点是需要提前了解总体分层特征，且分层抽样的过程相对复杂。

5.1 样本均数的抽样分布与抽样误差

5.1 样本均数的抽样分布与抽样误差

第五章 参数估计基础一、样本均数的抽样分布与抽样误差内 容1. 抽样误差和抽样分布2. 样本均数抽样分布和抽样误差1. 抽样误差和抽样分布n误差泛指实测值和真实值之差。

按其产生原因与性质分两 大类：系统误差和随机误差。

抽样误差是一种随机误差。

n抽样误差由于生物固有的个体变异，从某一总体中随机抽取一个样 本，所得样本统计量与相应总体参数往往是有差异的，这种 差异称为抽样误差(sampling error)。

n误差产生的原因n系统误差：由受试对象、研究者、仪器设备、研究方法等确定性 原因造成，有倾向性，可避免。

n随机误差：由多种无法控制的偶然因素引起的，无倾向性，不可 避免。

n抽样误差：产生的根本原因是个体变异、产生的直接原因是抽样。

n抽样分布n由于抽样误差存在，从同一总体中随机抽取若干份样本， 所得样本统计量是不一致的，差异无法避免但其存在一定的分布规律。

n 正态分布总体样本均数抽样分布的电脑试验n假定某年某地所有13岁女生的身高服从总体均数为155.4 cm ，总 体标准差为5.3cm 的正态分布 。

用计算机从该总体中 随机抽样，每次抽取30例组成一份样本，重复抽样100次，计算 每份样本的平均身高。

() 2 155.4,5.3 N 2. 样本均数抽样分布和抽样误差n电脑试验表明，正态分布总体样本均数抽样分布具有以 下特点：n样本均数恰好等于总体均数极其罕见；n样本均数之间存在差异；n样本均数围绕总体均数，中间多、两边少，左右基本对称，呈 近似正态分布；n样本均数间的变异小于原始变量值间的变异。

PERCENT30x MIDPOINT0 . 0 0 . 1 0 . 2 0 . 3 0 . 4 0 . 5 0 . 6 0 . 7 0 . 8 0 . 9 1 . 0 1 . 1 1 . 2 1 . 3 1 . 4 1 . 5 1 . 6 1 . 7 1 . 8 1 . 9 2 . 0 2 . 1 2 . 2 2 . 3 2 . 4 2 . 5 2 . 6 2 . 7 2 . 8 2 . 9 3 . 0 3 . 1 3 . 2 3 . 3 3 . 4 3 . 5 3 . 6 3 . 7 3 . 8 3 . 9 4 . 0 4 . 1 4 . 2 4 . 3 4 . 4 4 . 5 4 . 6 4 . 7 4 . 8 4 . 9 5 . 0n 非正态分布总体样本均数抽样分布的电脑实验n图 (a ) 是正偏峰分布原始数据对应的直方图，用计算机随机抽取 样本量分别为5, 10, 30和50的样本各1000份，计算样本均数并绘 制4个直方图。