两条直线的交点坐标课件

人A数学选择性必修第一册
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1.已知直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝ 0，试求m为何值时，l1与l2：(1)重合；(2)平行；(3)垂直；(4)相交． 解析：当 l1∥l2(或重合)时： A1B2－A2B1＝1×3－(m－2)·m＝0，解得 m＝3，或 m＝－1. (1)当 m＝3 时，l1：x＋3y＋6＝0，l2：x＋3y＋6＝0，所以 l1 与 l2 重合． (2)当 m＝－1 时，l1：x－y＋6＝0，l2：－3x＋3y－2＝0，所以 l1∥l2. (3)当 l1⊥l2 时，A1A2＋B1B2＝0，m－2＋3m＝0，即 m＝12.
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4．要理解掌握两直线位置关系与两直线方程的系数的关系，即：
l1 与
l2 平行⇔kb11＝≠kb22，
(斜率
k
存
在
)
⇔
A1 A2
＝
B1 B2
≠
C1 C2
(A2B2C2≠0)
⇔
AB11BC22＝≠AB22BC11，；
l1 与
l2 重合⇔kb11＝＝kb22，
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2.分别求过直线l1：x＋3y－4＝0与l2：5x＋2y＋6＝0的交 点且与直线l：2x＋3y＝0垂直、平行的直线．
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相交直线系
过直线A1x＋B1y＋C1＝0(其中A1，B1不同时为0)与直线A2x＋B2y＋C2＝ 0(其中A2，B2不同时为0)交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋ B2y＋C2)＝0(其中λ为任意实数)．
[例1] 判断下列各对直线的位置关系．如果相交，求出交点坐标． (1)l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0； (2)l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0； (3)l1：x－y＋1＝0，l2：2x－2y＋2＝0. 分析：联立方程组，由解的情况确定两直线的位置关系；若方程组有 唯一解，此解就是交点坐标．

1．求经过两直线 2x－3y－3＝0 和 x＋y＋2＝0 的交点且与直 线 3x＋y－1＝0 平行的直线方程．
解： 法一：设所求的直线为 l，
由方程组2x＋x－y＋3y－2＝3＝0 0， 得xy＝ ＝－ －5753， . ∵直线 l 和直线 3x＋y－1＝0 平行， ∴直线 l 的斜率 k＝－3. ∴根据点斜式有 y－－75＝－3x－－35， 即所求直线方程为 15x＋5y＋16＝0.
法二：
∵直线 l 过两直线 2x－3y－3＝0 和 x＋y＋2＝0 的交点， ∴设直线 l 的方程为 2x－3y－3＋λ(x＋y＋2)＝0， 即(λ＋2)x＋(λ－3)y＋2λ－3＝0. ∵直线 l 与直线 3x＋y－1＝0 平行， ∴λ＋3 2＝λ－1 3≠2－λ－13，解得 λ＝121. 从而所求直线方程为 15x＋5y＋16＝0.
题型二 两点间距离公式的应用 【例 2】 试在直线 x－y＋4＝0 上求一点 P，使点 P 到点 M(－ 2，－4)，N(4,6)的距离相等．
思路点拨：有以下两种思路：①设出 P 点坐标，根据条件列 出方程，由此求出 P 点坐标；②由条件求出线段 MN 的中垂线方 程，与已知直线方程联立，可得 P 点坐标．
自学导引
1．两条直线的交点坐标
(1)直线的交点坐标：设两条直线的方程是 l1：A1x＋B1y＋C1＝ 0 ， l2 ： A2x ＋ B2y ＋ C2 ＝ 0 ， 两 条 直 线 的 交 点 坐 标 就 是 方 程
A1x＋B1y＋C1＝0， A2x＋B2y＋C2＝0
的解．
(2)两直线位置关系与方程组 的解的关系：
4．已知点 P(x,2)，Q(－2，－3)，M(1,1)，且|PQ|＝|PM|，则 x ＝________.

例3：无论m为何值，直线l：(m＋1)x－y－7m－4＝0恒过一定
点P，求点P的坐标.
解：∵(m＋1)x－y－7m－4＝0，
∴m(x－7)＋(x－y－4)＝0，
−7=0
∴
，
−−4=0
=7
∴
，
=3
∴点P的坐标为(7，3).
练3：已知直线l:(2a+3)x-(a-1)y +3a+7=0，a∈R.直线l过定点A，
此直线系方程少一条直线l2
例4: 求过两直线x-2y+4=0和x+y-2=0的交点，且满足下列条件的
直线l的方程。
(1)过点(2,1)；
(2)和直线3x-4y+5=0垂直;
(3)和直线2x-y+6=0平行
解: (1) 设经过两直线交点的直线方程为：
x 2 y 4 ( x y 2) 0
x 2 y 4 ( x y 2) 0
(1 ) x ( 2) y (4 2 ) 0
1
1
1

2
k
2
2
∴直线的方程为： 2 x y 2 0
A1 x B1 y C1 0
(1)过点(2,1)；
(2)和直线3x-4y+5=0垂直;
(3)和直线2x-y+6=0平行
解： (2) 设经过两直线交点的直线方程为：
x 2 y 4 ( x y 2) 0
1
(1 ) x ( 2) y (4 2 ) 0 k
隔离分家万事休．
提问：已知两条直线
1 : 1 + 1 + 1 = 0

l1∥l2
＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0的位置关系是________．
l1∥l2
[方程组无解，则l1与l2无公共点，从而l1∥l2．]
3．直线l1 ：4x－y＋3＝0与直线l2 ：3x＋12y－11＝0的位置关系是
l1⊥l2
________．
l1⊥l2
[由4×3＋(－1)×12＝0得l1⊥l2．]
15x＋5y＋16＝0
的直线方程为_________________．
2
因此l1与l2的斜率相等，但截距不相等，所以它们平行．
(2)l1：x－2y＋1＝0，l2：x＋2y＋5＝0．
[解]
− 2 + 1 = 0，
解方程组ቊ
可得x＝－3，y＝－1，
+ 2 + 5 = 0，
因此，l1与l2相交，而且交点坐标为(－3，－1)．
类型3 直线系过定点问题
【例3】 (1)直线mx－3y＋2m＋3＝0，当m变动时，所有直线都经
l1
l2
设这两条直线的交点为P，则点P既在直线__上，也在直线__上．所
以点P的坐标既满足直线l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也满足直线l2的
1 + 1 + 1 = 0，
方程A2x＋B2y＋C2＝0，即点P的坐标就是方程组 ቊ + + = 0
2
2
2
的解．
知识点2 两直线的位置关系和方程组解的个数的关系
第二章
直线和圆的方程
2.3 直线的交点坐标与距离公式
2.3.1 两条直线的交点坐标
1．会用解方程的方法求两条相交直线的交点坐标．(数学
学习 运算)
任务 2．会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系．(数学