不等式推理与证明复习

黄陂一中盘龙校区高二下期末考前复习1.设a 、b 、c 是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是 ( ) （A ）||||||c b c a b a -+-≤- （B ）a a a a 1122+≥+（C ）21||≥-+-b a b a （D ）a a a a -+≤+-+2132.若不等式x2＋ax ＋b<0的解集为{x|1<x<2}，则不等式x2＋ax ＋bx2－5x －6>0的解集为A ．{x|x<－1或1<x<2或x>6}B ．{x|x<－1或2<x<6} ( )C ．{x|x<－1或x>6}D ．{x|－1<x<2}3．若x ，y ∈R ，且2x 2＋y 2＝6x ，则x 2＋y 2＋2x 的最大值为 ( ) A ．14 B ．15 C.16 D ．17 4若a,b,c ＞0且a(a+b+c)+bc=4-23,则2a+b+c 的最小值为( )（A ）3-1 (B) 3+1 (C) 23+2 (D) 23-2 5．设不全相等的x i ∈(0，＋∞)(i＝1,2，…，n)，则在n 个数x 1＋1x2，x 2＋1x3，…，x n －1＋1xn ，x n ＋1x1中 ( ) A ．都不大于2 B 都不小于2 C 至多有n －1个大于等于2 D 至多有n －1个小于等于26.已知实数x 、y 、z 满足x+y+z=0,xyz ＞0记T=x 1＋y 1＋z 1,则（ ）A T ＞0B T=0C T ＜0D 以上都非7.设,,,,,a b c x y z 是正数,且22210a b c ++=,22240x y z ++=,20ax by cz ++=,则a b cx y z++=++A ．14 B ．13C ．12D ．34 （ ） 8．如果正数a b c d ，，，满足4a b cd +==，那么（ ）Ａ．ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一 Ｂ．ab c d +≥，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一 Ｃ．ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一Ｄ．ab c d +≥，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一 9．已知()f x 是定义域为正整数集的函数，对于定义域内任意的k ，若 ()2f k k ≥成立，则()()211f k k +≥+成立，下列命题成立的是（ ）A 、若()39f ≥成立，则对于任意1k ≥，均有()2f k k ≥成立；B 、若()416f ≥成立，则对于任意的4k ≥，均有()2f k k <成立；C 、若()749f ≥成立，则对于任意的7k <，均有()2f k k <成立；D 、若()425f =成立，则对于任意的4k ≥，均有()2f k k ≥成立。

10.设m ＞1，在约束条件1y xy mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩下，目标函数z=x+my 的最大值小于2，则m 的取值范围为A ．（1，1 B ．（1+∞）C ．（1,3 ）D ．（3，+∞） （ ）二．填空题11．已知两正数x,y 满足x+y=1,则z=11()()x y x y ++的最小值为_______ 12.已知0<a 1<a 2,0<b 1<b 2，且a 1＋a 2＝b 1＋b 2，a 1≠b 1，则关于三个数：a 1b 1＋a 2b 2；a 1b 2＋a 2b 1；a 1a 2＋b 1b 2的大小关系说法如下：①a 1b 1＋a 2b 2最大；②a 1b 2＋a 2b 1最小；③a 1a 2＋b 1b 2最小；④a 1b 2＋a 2b 1与a 1a 2＋b 1b 2大小不能确定，其中正确的有_______(将你认为正确说法前面的序号填上)．13.设,x y R ∈,且0xy ≠，则222211()(4)x y y x ++的最小值为_______ 。

14.已知集合{}1|349,|46,(0,)A x R x x B x R x t t t ⎧⎫=∈++-≤=∈=+-∈+∞⎨⎬⎩⎭，则集合A B ⋂=________.15.设函数()(0)2xf x x x =>+,观察:1()(),2x f x f x x ==+ 21()(()),34x f x f f x x ==+32()(()),78x f x f f x x ==+ 43()(()),1516xf x f f x x ==+根据以上事实，由归纳推理可得：当n N +∈且2n ≥时，1()(())n n f x f f x -== .三．解答题16.已知a>1，命题p ：a(x －2)＋1>0，命题q ：(x －1)2>a(x －2)＋1，若命题p 与q 同时成立，求x 的取值范围．17.某个体户计划经销A 、B 两种商品，据调查统计，当投资额为x(x≥0)万元时，经销A 、B商品中所获得的收益分别为f(x)万元与g(x)万元，其中f(x)＝x ＋1；g(x)＝2101(0x 3),1-x +9x-12(3<x 5)x x +⎧≤≤⎪+⎨⎪≤⎩，如果该个体户准备投入5万元经营这两种商品，请帮他制定一个资金投入方案，使他能获得最大收益，并求出其最大收益．18.（Ⅰ）设1,1,x y ≥≥证明;111xy y x xy y x ++≤++，（Ⅱ）c b a ≤≤<1，证明log log log log log log a b c b c a b c a a b c ++≤++.19. 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况。

在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数。

当桥上的的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当20200x ≤≤时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．（Ⅰ）当0200x ≤≤时，求函数()v x 的表达式;（Ⅱ）当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每小时）()().f x x v x =可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时）20.已知a∈R,函数3()42f x x ax a =-+ (1)求f(x)的单调区间 (2)证明:当0≤x≤1时,f(x)+ 2a ->0.21. 设函数()(,,)n n f x x bx c n N b c R +=++∈∈(1)设2n ≥,1,1b c ==-,证明:()n f x 在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭内存在唯一的零点;(2)设n 为偶数,(1)1f -≤,(1)1f ≤,求b+3c 的最小值和最大值;(3)设2n =,若对任意12,x x [1,1]∈-,有2122|()()|4f x f x -≤,求b 的取值范围;答案CABDD CCADA11. 254 12. ①③ 13.9 14. {|25}x x-≤≤15 .(21)2n nxx-+16. 解：依题意得2a(x2)10(x1)a(x2)1>⎧⎨>⎩－＋－－＋，∵a>1，∴1x>2-,(xa-)(x-2)>0a⎧⎪⎨⎪⎩.①当1<a<2时，则有1x>2-,x<a x>2a⎧⎪⎨⎪⎩或，而a－(2－1a)＝a＋1a－2>0，∴a>2－1a，∴2－1a<x<a或x>2.②当a＝2时，则x>32且x≠2.③当a>2时，则1x>2-,.x<2x>aa⎧⎪⎨⎪⎩或.∴x>a，或2－1a<x<2.综上知，当1<a<2时，x的取值范围是(2－1a，a)∪(2，＋∞)；当a＝2时，x的取值范围是(32，2)∪(2，＋∞)；当a>2时，x的取值范围是(2－1a，2)∪(a，＋∞)．17. 解：设投入B商品的资金为x万元(0≤x≤5)，则投A商品的资金为5－x万元，并设所获得的收入为S(x)万元．(1)当0≤x≤3时，f(x)＝6－x，g(x)＝10x＋1x＋1，S(x)＝6－x＋10x＋1x＋1＝17－[(x＋1)＋9x＋1]≤17－6＝11，当且仅当x＋1＝9x＋1，即x＝2时取“＝”号．(2)当3<x≤5时，f(x)＝6－x，g(x)＝－x2＋9x －12. S(x)＝6－x －x2＋9x －12＝－x2＋8x －6＝－(x －4)2＋10≤10，此时x ＝4. ∵10<11，∴最大收益为11万元．答：该个体户可对A 商品投入3万元，对B 商品投入2万元，这样可以获得11万元的最大收益． 18.证明：（I ）由于1,1≥≥y x ，所以,)(1)(1112xy x y y x xy xy y x xy y x ++≤++⇔++≤++将上式中的右式减左式，得,0)1)(1)(1(,1,1).1)(1)(1()1)(1()1)(()1)(1())()(()1)(()1)(())((22≥---≥≥---=+---=-+--+=+-+--=++-++y x xy y x y x xy y x xy xy xy y x xy xy y x y x xy xy y x xy xy x y 所以即然 从而所要证明的不等式成立.（II ）设,log ,log y c x b b a ==由对数的换底公式得.log ,1log ,1log ,1log xy c y b x a xy a a c b c ====于是，所要证明的不等式即为,111xy y x xy y x ++≤++ 其中.1log ,1log ≥=≥=c y b x b a故由（I ）立知所要证明的不等式成立.19.解：（Ⅰ）由题意：当020,()60x v x ≤≤=时；当20200,()x v x ax b ≤≤=+时设再由已知得1,2000,32060,200.3a a b a b b ⎧=-⎪+=⎧⎪⎨⎨+=⎩⎪=⎪⎩解得 故函数()v x 的表达式为60,020,()1(200),202003x v x x x ≤≤⎧⎪=⎨-≤≤⎪⎩（Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得60,020,()1(200),202003x x f x x x x ≤<⎧⎪=⎨-≤≤⎪⎩当020,()x f x ≤≤时为增函数，故当20x =时，其最大值为60×20=1200； 当20200x ≤≤时，211(200)10000()(200)[]3323x x f x x x +-=-≤=当且仅当200x x =-，即100x =时，等号成立。