七年级上册有理数与无理数 知识讲解和巩固练习

教师: 学生: 学科: 日期: 年月日星期: 时段:课题第1讲有理数学习目标与考点分析1、理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，能比较有理数的大小。

2、借助数轴理解相反数和绝对值的意义，掌握求有理数的相反数与绝对值的方法。

3、理解乘方的意义，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算4、会用科学记数法表示数(包括负指数幂的科学记数法)5、了解近似数，在解决实际问题中，会按问题的要求对结果取近似值。

学习重点难点1、有理数的实际意义。

2、求一个数的相反数、绝对值、倒数；在数轴上找出相应的数；数的比较大小。

3、用科学记数法表示一个数(含负指数幂的科学记数法)。

4、有理数基本概念(相反数、绝对值、倒数)的辨析及综合运用。

5、有理数的运算。

教学方法讲练结合教学过程【知识网络】1． 掌握有理数有关分类、数轴、相反数、近似数、有效数字和科学计数法等有关概念 2． 熟练去括号法则，以及有理数的有关运算数学符号的由来在文明和科学的发展过程中，人类创造用符号代替语言、文字的方法，这是因为符号比语言、文字更简练、更直观、更具一般性。

纵观历史，数学的发展创造了数学符号，新的数学符号的使用又反过来促进了数学的发展，历史是这样一步一步走过来的，并将这样一步步继续走下去，数学的每一个进步都必须伴随着新的数学符号的产生。

“+”是15世纪德国数学家魏德美所创造的。

它的意思是：在横线上加上一竖，表示增加 “-”也是德国数学家魏德美创造的。

它的意思是：从加号中减去一竖，表示减少“⨯”是18世纪美国数学家欧德莱最先使用的。

它的意思是：表示增加的另一种方法，因而把加好斜过来写“÷”是18世纪瑞士人哈纳创造的。

它的含义是分解的意思，因此用一条横线把两个原点分开“=”是16世纪英国学者列科尔德创造的。

列科尔德认为世界上再也没有比两条平行而相等的直线更相同了，所以用来表示两数相等。

17世纪初，法国数学家笛卡尔在他的《几何学》中，第一次使用“”表示根号17世纪德国数学家莱布尼茨在几何学中用“∽”表示相似，用“≌”全等。

7年级上册数学知识点训练题一、有理数1. 知识点：有理数的概念与分类题目：下列各数中，哪些是有理数？-3，(π)/(2)，0，0.32̇，√(9)，-sqrt[3]{8}。

解析：有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称。

-3是负整数，属于有理数。

(π)/(2)，π是无限不循环小数，所以(π)/(2)是无理数，不属于有理数。

0是整数，属于有理数。

0.32̇是无限循环小数，属于分数，是有理数。

√(9)=3，3是整数，属于有理数。

-sqrt[3]{8}=-2，-2是整数，属于有理数。

2. 知识点：数轴题目：在数轴上表示数-2，0，3，并比较它们的大小。

解析：先画出数轴，确定原点0，规定正方向（一般向右为正方向），再根据单位长度确定-2，0，3的位置。

从数轴上可以直观地看出-2<0<3。

因为在数轴上，左边的数总是小于右边的数。

3. 知识点：相反数与绝对值题目：求-5的相反数和绝对值，|3 π|的值。

解析：相反数是只有符号不同的两个数，所以-5的相反数是5。

绝对值是指一个数在数轴上所对应点到原点的距离，所以| 5|=5。

因为π≈3.14>3，所以3-π<0。

一个负数的绝对值是它的相反数，所以|3 π|=π 3。

二、整式的加减1. 知识点：整式的概念题目：下列式子中，哪些是整式？3x，(1)/(x)，x + y，√(x)，-2。

解析：整式为单项式和多项式的统称。

单项式是数或字母的乘积，单独的一个数或一个字母也是单项式；几个单项式的和叫做多项式。

3x是单项式，属于整式。

(1)/(x)分母含有字母，是分式，不属于整式。

x + y是多项式，属于整式。

√(x)不是整式，因为它不是单项式也不是多项式。

-2是单独的一个数，是单项式，属于整式。

2. 知识点：同类项与合并同类项题目：合并同类项：3x^2y+2x^2y 5x^2y。

解析：同类项是所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项。

这里3x^2y、2x^2y、-5x^2y是同类项。

人教七年级数学上册1.2有理数基础知识概括及同步练习题知识点1：有理数的有关概念有理数：整数和分数统称为有理数。

注：(1)有时为了研究的需要，整数也可以看作是分母为1的数，这时的分数包括整数。

但是本讲中的分数不包括分母是1的分数。

(2)因为分数与有限小数和无限循环小数可以互化，上述小数都可以用分数来表示，所以我们把有限小数和无限循环小数都看作分数。

(3)“0”即不是正数，也不是负数，但“0”是整数。

整数包括正整数、零、负整数。

例如：1、2、3、0、－1、－2、－3等等。

分数包括正分数和负分数，例如：1/2、0.6、－1/2、－0.6等等。

知识点2：有理数的分类(1) 按整数、分数的关系分类：(2) 按正数、负数与0的关系分类：注：通常把正数和0统称为非负数，负数和0统称为非正数，正整数和0称为非负整数（也叫做自然数），负整数和0统称为非正整数。

如果用字母表示数，则a>0表明a是正数；a<0表明a是负数；a≥0表明a是非负数；a≤0表明a是非正数。

知识点3：数轴数轴是理解有理数概念与运算的重要工具，数与表示数的图形（如数轴）相结合的思想是学习数学的重要思想。

正如华罗庚教授诗云：数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。

数缺形时少直觉，形少数是难入微。

数形结合百般好，隔裂分家万事非。

切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离！数与形的第一次联姻——数轴，使数与直线上的点之间建立了对应关系，揭示了数与形的内在联系，并由此成为数形结合的基础。

1.数轴的定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。

数轴的定义包含三层含义：(1) 数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；(2) 数轴有三要素——原点、正方向、单位长度，三者缺一不可；(3) 原点的选定、正方向的取向、单位长度大小的确定，都是根据实际需要“规定”的（通常取向右为正方向）。

2.数轴的画法：(1) 画一条直线（一般画成水平的直线）。

(2) 在直线上选取一点为原点，并用这点表示零（在原点下面标上“0”）。

z!"#$#%&!"#$%&'()*+,-./0+123445"6$&60+12-7.890:;<=344>"6$0?+**********?C-D0?EFG0344H"IJ0?K&60L'MNO+-PQRSTU0TVWXYZ 4知识点1 ：正数和负数（1）概念正数：大于0的数叫做正数。

负数：在正数前面加上负号“—”的数叫做负数。

注：0既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界线，是整数，自然数，有理数。

（不是带“—”号的数都是负数，而是在正数前加“—”的数。

） （2）意义：在同一个问题上，用正数和负数表示具有相反意义的量。

知识点2： 有理数（1）概念整 数：正整数、0、负整数统称为整数。

分 数：正分数、负分数统称分数。

（有限小数与无限循环小数都是有理数。

） 注：正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，正整数和零统称为非负整数，负整数和零统称为非正整数。

（2）分类：两种⑴按正、负性质分类： ⑵按整数、分数分类：正有理数 正整数 正整数 有理数 正分数 整数 0 零 有理数 负整数 负有理数 负整数 分数 正分数 负分数 负分数z知识点3：数轴（1）概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。

三要素：原点、正方向、单位长度（2）对应关系：数轴上的点和有理数是一一对应的。

比较大小：在数轴上，右边的数总比左边的数大 。

（3）应用 求两点之间的距离：两点在原点的同侧作减法，在原点的两侧作加法。

（注意不带“+”“—”号）【题型 1 正数与负数】【典例1】（2023•西乡塘区二模）在﹣2，0，0.5，3四个数中，是负数的是（ ） A ．﹣2 B ．0 C ．0.5 D ．3【答案】A【解答】解：在﹣2，0，0.5，3四个数中，是负数的是﹣2． 故选：A ．【变式1-1】（2023•安徽模拟）数1，，0，﹣2，﹣3中正数有（ ）个． A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】A【解答】解：在：1，，0，﹣2，﹣3中， 正数有：1，，共2个． 故选：A ．【变式1-2】（2022秋•防城港期末）下列各数中，是负数的是（ ） A ．0 B ．﹣C ．πD ．3【答案】B【解答】解：A ．0既不是正数，也不是负数，故选项不符合题意； B ．﹣是负数，故选项符合题意； C ．π是正数，故选项不符合题意；D．3是正数，故选项不符合题意；故选：B．【变式1-3】（2022秋•石楼县期末）下列各数：﹣2，0.8，﹣5，0，﹣3.14，8.3，﹣11，其中负数的有（ ）个．A．2B．3C．4D．5【答案】C【解答】解：负数有﹣2，﹣5，﹣3.14，﹣11，共4个，故选：C．【题型 2 相反意义的量表示】【典例2】（2023•船营区一模）中国是最早采用正负数表示相反意义的量并进行负数运算的国家．若气温上升7℃记作：+7℃，那么气温下降10℃可记作（ ）A．7℃B．10℃C．﹣10℃D．﹣7℃【答案】C【解答】解：若气温上升7℃记作：+7℃，那么气温下降10℃可记作﹣10℃．故选：C．【变式2-1】（2023•吉林一模）中国是世界上最早使用负数的国家，战国时期李悝所著的《法经》中已使用负数．如果公元前500年记作﹣500年，那么公元2023年应记作（ ）A．﹣2023年B．+1523年C．+2023年D．+2523年【答案】C【解答】解：∵公元前500年记作﹣500年，∴公元前为“﹣”，∴公元后为“+”，∴公元2023年就是公元后2023年，∴公元2023年应记作+2023年．故选：C．【变式2-2】（2022秋•佛山期末）下列四组量中，不具有相反意义的是（ ）A．海拔“上升200米”与“下降400米”B．温度计上“零上15℃”与“零下5℃”C．盈利100元与亏本25元D．长3米与重10千克【答案】D【解答】解：上升于下降具有相反意义，故A不符合题意；零上于零下具有相反意义，故B不符合题意；盈利于亏本具有相反意义，故C不符合题意；长度于质量步具有相反意义，故D符合题意；故选：D．【变式2-3】（2023•衡水二模）某日，四个城市的日平均气温如表所示：城市石家庄邢台保定张家口日平均气温/℃﹣110﹣6则日平均气温最低的是（ ）A．石家庄B．邢台C．保定D．张家口【答案】D【解答】解：∵﹣6＜﹣1＜0＜1，∴日平均气温最低的城市是张家口，故选：D．【典例3】（2023•长春模拟）班级组织了一次跳远比赛，若成绩以250cm为标准，小明跳出了253cm，记做+3cm，则小亮跳出了246cm应记作（ ）A．+4cm B．﹣4cm C．+6cm D．﹣6cm【答案】B【解答】解：246﹣250＝﹣4（cm），故选：B．【变式3-1】（2023•衡水二模）某品牌米线的包装袋上写着“300克±4%”，则下列不可能是米线的重量的是（ ）A．285克B．295克C．304克D．310克【答案】A【解答】解：∵300克±4%，即300×（1+4%）＝312，300×（1﹣4%）＝288z∴米线的重量为288～312克， 故选：A ．【变式3-2】（2022秋•武陵区期末）一实验室检测A 、B 、C 、D 四个元件的质量（单位：克），超过标准质量的克数记为正数，不是标准质量的克数记为负数，结果如图所示，其中最接近标准质量的元件是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解答】解：|﹣1.2|＝1.2；|﹣2.3|＝2.3；|0.9|＝0.9；|﹣0.8|＝0.8， ∵0.8＜0.9＜1.2＜2.3， ∴0.8最小． 故选：D【变式3-3】（2022秋•德州期末）某中学进行立定跳远测试，男生成绩合格标准定为1.85米，体育老师记录了甲、乙、丙、丁四位男生成绩如下表：（超出标准的部分记为“+”，不足标准的部分记为“﹣”），你认为立定跳远成绩最好的是（ ） 学生 甲 乙 丙丁成绩/米 +0.25+0.45 ﹣0.10 ﹣0.25A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁【答案】B【解答】解：∵﹣0.25＜﹣0.10＜+0.25＜+0.45， ∴四位男同学成绩最好的是乙； 故选：Bz【题型 3 相反意义的应用】【典例4】（2022秋•社旗县期末）有8筐白菜，以每筐25千克为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称后的纪录如下：回答下列问题：（1）这8筐白菜中最接近标准重量的这筐白菜重 千克． （2）这8筐白菜中最重的重 千克；最轻的重 千克． （3）若白菜每千克售价2元，则出售这8筐白菜可卖多少元？ 【答案】（1）24.5； （2）27；22； （3）389．【解答】解：（1）最接近标准重量的是纪录中绝对值最小的数，因而是25﹣0.5＝24.5（千克）， 故答案为：24.5；（2）∵记录中最大的数为2，最小的数为﹣3 ∴25+2＝27（千克），25﹣3＝22（千克） ∴这8筐白菜中最重的重27克；最轻的22千克，故答案为：27；22．（3）1.5﹣3+2﹣0.5+1﹣2﹣2﹣2.5＝﹣5.525×8+（﹣5.5）＝194.5（千克）194.5×2＝389（元），答：出售这8筐白菜可卖389元．【变式4-1】（2022秋•绥德县期末）某登山队5名队员以大本营为基地，向距离大本营500米的顶峰发起登顶冲击，假设向上走为正，向下走为负，行程记录如下：（单位：米）+115，﹣30，﹣45，+180，+25，﹣20，+30，+110，﹣25，+100 （1）他们有没有登上顶峰？如果没有登上顶峰，他们距离顶峰多少米？ （2）登山时，5名队员在行进中全程均消耗了氧气，每人每100米消耗氧气0.5升，求共使用了多少升氧气？【答案】（1）没有登上顶峰，他们距离顶峰60米；（2）他们共消耗了17 升氧气．【解答】解：（1）500﹣（115﹣30﹣45+180+25﹣20+30+110﹣25+100）＝60（米）．答：没有登上顶峰，他们距离顶峰60米；（2）115+30+45+180+25+20+30+110+25+100＝680（米），因为每人每100米消耗氧气0.5升，所以680×5÷100×0.5＝17（升），答：他们共消耗了17 升氧气．【变式4-2】（2022秋•枣阳市期末）某校积极开展劳动教育活动，七年级（2）班利用劳动课举行包饺子比赛，以小组为单位（共分7个小组），以包100个饺子为基准，将这7个小组所包饺子的数量（单位：个）记录如下：﹣8，+5，+3，﹣2，+3，+7，+6．（超过100个的部分记为“+”，不足100个的部分记为“﹣”）（1）包饺子数量最多的小组与数量最少的小组相差多少个？（2）本次活动该班共包饺子多少个？【答案】（1）包饺子数量最多的小组与数量最少的小组相差15个；（2）本次活动该班共包饺子714个．【解答】解：（1）由题意，得：包的最多的小组比基准多7个，包的最少的小组比基准少8个；+7﹣（﹣8）＝15（个）；答：包饺子数量最多的小组与数量最少的小组相差15个；（2）（﹣8+5+3﹣2+3+7+6）+7×100＝714（个）；答：本次活动该班共包饺子714个．【变式4-3】（2022秋•慈溪市期末）2022年足球世界杯在卡塔尔举行．某工厂设计了某款足球纪念品并进行生产，原计划每天生产10000个该款足球纪念品，但由于种种原因，实际每天的生产量与计划量相比有出入，下表是某一周的生产情况（超出记为正，不足记为负，单位：个）：星期一二三四五六日与计划量的差值+43﹣35﹣50+142﹣82+21﹣29（1）根据记录的数据可知，本周生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产多少个？（2）本周实际生产总量是否达到了计划数量？说明理由．（3）若该款足球纪念品每个生产成本25元，并按每个30元出售，则该工厂本周的生产总利润是多少元？【答案】（1）本周生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产224个；（2）本周实际生产总量达到了计划数量，理由见解析；（3）350050．【解答】（1）解：由表可知：因为本周生产量最多的一天是周四，最少的一天是周五，∴142﹣（﹣82）＝224（个）．答：本周生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产224个．（2）∵43+（﹣35）+（﹣50）+（+142）+（﹣82）+（+21）+（﹣29）＝43﹣35﹣50+142﹣82+21﹣29＝10．∵10＞0，∴本周实际生产总量达到了计划数量．（3）由利润＝总量×（单价﹣成本）有：（10000×7+10）×（30﹣25）＝70010×5＝350050（元）．答：该工厂本周的生产总利润是350050元．【题型 4 有理数的概念辨析】【典例5】（2022秋•朝阳区期末）下面的说法中，正确的是（ ）A．正有理数和负有理数统称有理数B．整数和小数统称有理数C．整数和分数统称有理数D．整数、零和分数统称有理数【答案】C【解答】解：A．正有理数、0和负有理数统称为有理数，故不符合题意；B．无限不循环小数是无理数，故不符合题意；C．整数和分数统称为有理数，故符合题意；D．整数包括零，故不符合题意．z故选：C ．【变式5-1】（2022秋•长沙期末）在﹣3.5，，0.3070809，0，中，有理数有（ ）个． A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】D【解答】解：在﹣3.5，，0.3070809，0，中，有理数有﹣3.5，，0.3070809，0，共4个，故选：D ．【变式5-2】（2022秋•南宫市期末）若有理数的分类表示为：，则“”表示的是（ ）A ．正有理数B ．负有理数C ．0D ．非负数【答案】C【解答】解：有理数包括：整数与分数，整数包括：正整数，0和负整数， 则“”表示的是0． 故选：C ．【变式5-3】（2022秋•颍州区期末）下列说法正确的是（ ） A ．3.14不是分数B ．不带“﹣”号的数都是正数C ．0是自然数也是正数D ．整数和分数统称为有理数 【答案】 Dz【解答】解：A 、3.14是分数，属于有理数，故A 不符合题意； B 、0不带“﹣”号，但不是正数，故B 不符合题意；C 、0是自然数，但既不是正数，也不是负数，故C 不符合题意；D 、整数和分数统称为有理数，说法正确，故D 符合题意． 故选：D ．【题型 5 有理数的分类】【典例6】（2022秋•宁陕县校级期中）把下列各数填入相应的大括号里： ﹣3，3.14，﹣0.1，80，﹣25%，0，正数集合：{ }； 整数集合：{ }； 负数集合：{ }； 正分数集合：{ }． 【答案】3.14，80，；﹣3，80，0；﹣3，﹣0.1，﹣25%；3.14，．【解答】解：﹣3，3.14，﹣0.1，80，﹣25%，0，，正数集合：{3.14，80，，}；整数集合：{﹣3，80，0，}； 负数集合：{﹣3，﹣0.1，﹣25%，}； 正分数集合：{3.14，，}．故答案为：3.14，80，；﹣3，80，0；﹣3，﹣0.1，﹣25%；3.14，．【变式6-1】把下列各数填入相应的集合里：﹣3.14，4.3，+72，0，，﹣6，﹣7.3，﹣12，0.4，﹣，，26．（1）正数集合：{ …}； （2）负数集合：{ …}； （3）正整数集合：{ …}； （4）负整数集合：{ …}；（5）非负数集合：{ …}． 【答案】（1）4.3，+72，，0.4，，26；（2）﹣3.14，﹣6，﹣7.3，﹣12，﹣；（3）+72，26；（4）﹣6，﹣12；（5）4.3，+72，0，，0.4，，26．【解答】解：（1）正数集合：{4.3，+72，，0.4，，26…}；故答案为：4.3，+72，，0.4，，26；（2）负数集合：{﹣3.14，﹣6，﹣7.3，﹣12，﹣…}；故答案为：﹣3.14，﹣6，﹣7.3，﹣12，﹣；（3）正整数集合：{+72，26…}；故答案为：+72，26；（4）负整数集合：{﹣6，﹣12…}；故答案为：﹣6，﹣12；（5）非负数集合：{4.3，+72，0，，0.4，，26…}．故答案为：4.3，+72，0，，0.4，，26．【变式6-2】（2022秋•雁塔区校级月考）把下列各数填在相应的横线上：5%，z﹣，﹣12，0，0.，﹣3.14，+6，0.101101110，．整数集合：{…}；正数集合：{…}；负分数集合：{…}；非负整数集合：{…}．【答案】﹣12，0，+6；5%，0.，+6，0.101101110，；﹣，﹣3.14；0，+6．【解答】解：整数集合：{﹣12，0，+6…}；z正数集合：{5%，0.，+6，0.101101110，…}；负分数集合：{﹣，﹣3.14…}； 非负整数集合：{0，+6…}； 故答案为：﹣12，0，+6； 5%，0.，+6，0.101101110，；﹣，﹣3.14； 0，+6．【题型 6 数轴的画法及应用】【典例7】（2022•苏州模拟）以下是四位同学画的数轴，其中正确的是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】D【解答】解：∵数轴要有三要素：单位长度，原点，正方向，并且数轴上表示的数从左到右增大，∴四个选项中只有选项D 符合题意， 故选：D ．【变式7-1】（2022•杭州模拟）下列说法中正确的是（ ）A ．数轴是一条射线B ．数轴上离开原点距离越远的点表示的数越大C ．数轴上的点所表示的数从左到右依次减小D ．任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示 【答案】D【解答】解：数轴是一条直线，A 说法错误；在数轴的负半轴上，到原点距离越远的点所表示的数一定越小，B 说法错误； 数轴上的点所表示的数从左到右依次增大，C 说法错误； 任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示，D 说法正确． 故选：D ．【变式7-2】（2021秋•凉州区校级期末）判断下列图中所画的数轴正确的个数是（ ）个．A．0B．1C．2D．3【答案】B【解答】解：数轴的三要素是：原点、正方向、单位长度，图（1）没有原点，故（1）不正确；图（2）满足数轴的定义，故（2）正确；图（3）所画负半轴上的数字排列顺序不对，故（3）错误；图（4）所画单位长度不一致，故（4）不正确．故选：B．【典例8】（2022秋•自贡期末）a，b为有理数，它们在数轴上对应点的位置如z图所示．则下列关系式正确的是（ ）A．﹣a＜﹣b＜b＜a B．﹣a＜b＜﹣b＜aC．﹣b＜b＜﹣a＜a D．a＜﹣b＜b＜﹣a【答案】B【解答】解：如图，由数轴可得，﹣a＜b＜﹣b＜a，故选：B．【变式8-1】（2023•贵阳模拟）有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）zA ．a +b ＞0B ．a ﹣b ＞0C ．ab ＞0D ．【答案】D【解答】解：由数轴可知b ＞0＞a ，且b ＜|a|， ∴a+b ＜0，故A 错误，不符合题意； a ﹣b ＜0，故B 错误，不符合题意； ab ＜0，故C 错误，不符合题意；，故D 正确，符合题意．故选：D ．【变式8-2】（2022秋•鼓楼区校级期末）如图，A ，B ，C ，D 是数轴上的四个点，已知a ，b 均为有理数，且a +b ＝0，则它们在数轴上的位置不可能落在（ ）A ．线段AB 上 B ．线段BC 上 C ．线段BD 上 D ．线段AD 上【答案】A【解答】解：∵a ，b 均为有理数，且a+b ＝0， ∴a ，b 位于原点两侧，∴a ，b 在数轴上的位置不可能落在线段AB 上．故选：A ．【变式8-3】（2022秋•江阴市期末）如图，数轴上的点A ，B 分别对应有理数a ，b ，下列结论正确的是（ ）A ．a +b ＞0B ．a ﹣b ＞0C ．ab ＞0D ．以上都不正确【答案】C【解答】解：由数轴可知，a ＜b ＜0， ∴a+b ＜0，故A 不符合题意； a ﹣b ＜0，故B 不符合题意；ab ＞0，故C 符合题意，D 不符合题意．【题型 7 数轴上的点所表示的数】【典例9】（2022秋•天津期末）已知数轴上点A到点B的距离是4，且点B所表示的数是2，则点A所表示的数是（ ）A．4或﹣4B．6或﹣2C．6或2D．﹣6或﹣2【答案】B【解答】解：∵点B到点A的距离是4．∵B表示2，∴A表示为2﹣4＝﹣2或2+4＝6．故选：B．【变式9-1】（2022秋•武冈市期末）点A为数轴上表示﹣2的点，当点A沿数轴移动5个单位长度到点B时，点B所表示的数为（ ）A．7或﹣3B．3或﹣7C．3或﹣3D．7或﹣7【答案】B【解答】解：向左移动5个单位长度对应的点表示﹣2﹣5＝﹣7，向右移动5个单位长度对应的点表示﹣2+5＝3，故选：B．【变式9-2】（2023•义乌市校级开学）如图，小明写作业时不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，判定墨迹盖住部分的整数的和是（ ）A．﹣1B．0C．1D．2【答案】C【解答】解：由图可知，被墨水盖住的整数为：﹣3，﹣2，1，2，3，相加为﹣3+（﹣2）+1+2+3＝1；故选：C【变式9-3】（2023•新邵县校级一模）在数轴上表示数﹣1和2021的两个点之间的距离为（ ）个单位长度．A．2022B．2021C．2020D．2019z【解答】解：|﹣1﹣2021|＝2022， 故选：A ．【题型 8 数轴中点规律问题】【典例10】（2023•新华区校级二模）如图，不完整的数轴上有A ，B 两点，原点在A 、B 之间，沿原点将负半轴折叠到正半轴上，点A 落在点B 左侧4个单位长度处，则线段AB 的中点表示的数为（ ）A ．2B ．﹣2C ．4D ．﹣4【答案】A【解答】解：根据题意可设点A 表示的数为a ，则折叠后的点A 的对称点为﹣a ， 因为点A 落在点B 左侧4个单位长度处，所以点B 表示的数为﹣a+4， 则AB ＝﹣a+4﹣a ＝4﹣2a ， 线段AB 的一半为2﹣a ，所以AB 中点为：﹣a+4﹣（2﹣a ）＝2， 故选：A ．【变式10-1】（2022秋•公安县期末）在数轴上，若点A ，B 表示的数分别是﹣3和5，点M 是线段AB 的中点，则M 表示的数为（ ） A ．1 B ．2C ．4D ．﹣4【答案】A【解答】解：∵点A ，B 表示的数分别是﹣3和5， ∴AB ＝5﹣（﹣3）＝8， ∵点M 是线段AB 的中点， ∴，∴点M 表示的数为：5﹣4＝1； 故选：A ．【变式10-2】（2022秋•江岸区期末）如图，在数轴上，点A 、B 表示的数分别是﹣19和3．点C 为线段AD 的中点，且BC ＝6BD ，则点C 表示的数为（ ）zA ．﹣9B ．﹣9.5C ．﹣10D ．﹣10.5【答案】A【解答】解：∵数轴上A ，B 两点所表示的数分别是﹣19和3， ∴AB ＝3+19＝22， 设BD ＝x ， ∵BC ＝6BD ， ∴BC ＝6x ， ∴CD ＝5x ，∵点C 为线段AD 的中点， ∴AD ＝2CD ＝10x ， ∴AB ＝11x ＝22， ∴x ＝2， ∴AC ＝5x ＝10，∴点C 所表示的数是﹣19+10＝﹣9． 故选：A ．1．（2022•襄阳）若气温上升2℃记作+2℃，则气温下降3℃记作（ ） A ．﹣2℃ B ．+2℃C ．﹣3℃D ．+3℃【答案】C【解答】解：∵气温上升2℃记作+2℃， ∴气温下降3℃记作﹣3℃． 故选：C ．2．（2022•益阳）四个实数﹣，1，2，中，比0小的数是（ ）A ．﹣B ．1C ．2D ．【答案】A【解答】解：根据负数都小于零可得，﹣＜0．故选：A．3．（2022•河池）如果将“收入50元”记作“+50元”，那么“支出20元”记作（ ）A．+20元B．﹣20元C．+30元D．﹣30元【答案】B【解答】解：∵收入50元，记作“+50元”．且收入跟支出意义互为相反．∴支出20元，记作“﹣20元”．故选：B．4．（2021•南京）北京与莫斯科的时差为5小时，例如，北京时间13：00，同一时刻的莫斯科时间是8：00．小丽和小红分别在北京和莫斯科，她们相约在各自当地时间9：00～17：00之间选择一个时刻开始通话，这个时刻可以是北京时间（ ）A．10：00B．12：00C．15：00D．18：00【答案】C【解答】解：由题意得，北京时间应该比莫斯科时间早5小时，当莫斯科时间为9：00，则北京时间为14：00；当北京时间为17：00，则莫斯科时间为12：00；所以这个时刻可以是14：00到17：00之间，所以这个时刻可以是北京时间15：00．故选：C．5．（2021•滨州）在数轴上，点A表示﹣2．若从点A出发，沿数轴的正方向移动4个单位长度到达点B，则点B表示的数是（ ）A．﹣6B．﹣4C．2D．4【答案】C【解答】解：由题意可得，点B表示的数为﹣2+4＝2，故选：C．z6．（2021•广州）如图，在数轴上，点A 、B 分别表示a 、b ，且a +b ＝0，若AB ＝6，则点A 表示的数为（ ）A ．﹣3B ．0C ．3D ．﹣6【答案】A【解答】解：∵a+b ＝0， ∴a ＝﹣b ，即a 与b 互为相反数． 又∵AB ＝6， ∴b ﹣a ＝6． ∴2b ＝6． ∴b ＝3．∴a ＝﹣3，即点A 表示的数为﹣3． 故选：A ．7．（2021•凉山州）下列数轴表示正确的是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】D【解答】解：A 选项，应该正数在右边，负数在左边，故该选项错误；B 选项，负数的大小顺序不对，故该选项错误；C 选项，没有原点，故该选项错误；D 选项，有原点，正方向，单位长度，故该选项正确； 故选：D ．8．（2020•乐山）数轴上点A 表示的数是﹣3，将点A 在数轴上平移7个单位长度得到点B ，则点B 表示的数是（ ） A ．4 B ．﹣4或10C ．4或﹣10D ．﹣10【答案】C【解答】解：如果A 向右平移得到，点B 表示的数是：﹣3+7＝4， 如果A 向左平移得到，点B 表示的数是：﹣3﹣7＝﹣10，z故点B 表示的数是4或﹣10． 故选：C ．9．（2020•临沂）如图，数轴上点A 对应的数是，将点A 沿数轴向左移动2个单位至点B ，则点B 对应的数是（ ）A ．﹣B ．﹣2C ．D ．【答案】A【解答】解：点A 向左移动2个单位， 点B 对应的数为：﹣2＝﹣． 故选：A ．10．（2020•湘潭）在数轴上到原点的距离小于4的整数可以为 ．（任意写出一个即可） 【答案】见试题解答内容【解答】解：在数轴上到原点的距离小于4的整数有：﹣3，3，﹣2，2，﹣1，1，0从中任选一个即可故答案为：3（答案不唯一，3，2，1，0，﹣1，﹣2，﹣3任意一个均可）；1．（2023•河北模拟）向东走2m ，记为+2m ，那么走﹣7m ，表示（ ） A ．向南走7m B ．向东走7mC ．向西走7mD ．向北走7m【答案】C【解答】解：向东走2m ，记为+2m ，那么走﹣7m ，表示向西走7m ． 故选：C ．2．（2022秋•河池期末）下列说法错误的是（ ） A ．0既不是正数，也不是负数B ．零上4摄氏度可以写成+4°C ，也可以写成4°CzC ．若盈利100元记作+100元，则﹣20元表示亏损20元D ．向正北走一定用正数表示，向正南走一定用负数表示 【答案】D【解答】解：A ．0既不是正数，也不是负数，正确，故不符合题意； B ．零上4摄氏度可以写成+4°C ，也可以写成4°C ，正确，故不符合题意； C ．若盈利100元记作+100元，则﹣20元表示亏损20元，正确，故不符合题意； D ．规定向正北走用正数表示，则向正南走才用负数表示，原说法错误，故符合题意． 故选：D ．3．（2023•海安市一模）手机移动支付给生活带来便捷．如图是小颖某天微伯账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），小颖当天微信收支的最终结果是（ ）A ．收入18元B ．收入6元C ．支出6元D ．支出12元【答案】B【解答】解：+18+（﹣12）＝6（元），即小颖当天微信收支的最终结果是收入6元．故选：B ．4．（2023•官渡区校级模拟）检查四个篮球的质量，把超过标准的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，结果如下表： 其中质量最好的是（ ）篮球编号 甲 乙 丙 丁与标准质量的差（g ） +4+7﹣3﹣8A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁【答案】C【解答】解：根据题意可得：超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克z数记为负数；观察图表，找绝对值最小的．易得|﹣3|＝3最小， 故3号球最接近标准质量，质量最好， 故选：C ．5．（2022秋•广西期末）在，﹣4，0，这四个数中，属于负整数的是（ ） A ．B ．C ．0D ．﹣4【答案】D【解答】解：∵﹣，都是分数， ∴选项A ，B 不符合题意； ∵0既不是正数，也不是负数， ∴选项C 不符合题意； ∵﹣4是负整数， ∴选项D 符合题意， 故选：D ．6．（2022秋•红河县期末）下列说法正确的是（ ） A ．0不是正数，不是负数，也不是整数 B ．正整数与负整数包括所有的整数C ．﹣0.6是分数，负数，也是有理数D ．没有最小的有理数，也没有最小的自然数【答案】C【解答】解：A 0不是正数也不是负数，0是整数，故A 错误； B 正整数于负整数不包括0，故B 错误； C ﹣0.6是分数，负数，有理数，故C 正确； D 0是最小的自然数，故D 错误； 故选：C ．7．（2023•晋安区校级模拟）如图，数轴的单位长度是1，若点A 表示的数是﹣1，则点B 表示的数是（ ）zA ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解答】解：∵数轴的单位长度为1，如果点A 表示的数是﹣1， ∴点B 表示的数是：﹣1+5＝4，故D 正确． 故选：D ．8.（2022秋•惠阳区期末）有理数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）A ．a ＞﹣1B ．﹣a ＜bC ．a +b ＜0D ．a ﹣b ＞0【答案】B【解答】解：观察数轴得：﹣2＜a ＜﹣1，2＜b ＜3， ∴A 选项错误，不符合题意； ∴1＜﹣a ＜2，∴﹣a ＜b ，故B 选项正确，符合题意； ∴|a|＜|b|，∴a+b ＞0，故C 选项错误，不符合题意； ∴a ﹣b ＜0，故D 选项错误，不符合题意； 故选：B ．9．（2022秋•沈丘县月考）已知数轴上A ，B 两点到原点的距离分别是3和9，则A ，B 两点间的距离是（ ） A ．6 B ．9或12C ．12D ．6或12【答案】D【解答】解：A 、B 两点表示的数同号时，A ，B 两点间的距离是9﹣3＝6或﹣3﹣（﹣9）＝6，A 、B 两点表示的数异号时，A ，B 两点间的距离是9﹣（﹣3）＝12或3﹣（﹣9）＝12，∴A ，B 两点间的距离是6或12． 故选：D ．10．（2022秋•文成县期中）点A、B在同一条数轴上，其中点A表示的数为1，若点B到点A的距离为4，则点B表示的数是（ ）A．3B．5C．3或﹣3D．5或﹣3【答案】D【解答】解：∵1+4＝5，1﹣4＝﹣3，∴点B表示的数是5或﹣3，故选：D．11．（2022秋•济南期中）如图，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是﹣14，10，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A落在射线CB上且到点B的距离为6，则C点表示的数是（ ）A．1B．﹣3C．1或﹣5D．1或﹣4【答案】C【解答】解：10+6＝16，10﹣6＝4，当A落在16对应的点时，C表示的数为：（16﹣14）＝1，z当A落在4对应的点时，C表示的数为：（4﹣14）＝﹣5，故选：C．12．（2023春•荣县月考）观察分析下列数据：0，﹣，，﹣3，2，﹣，3，…，根据数据排列的规律得到第16个数据应是（结果需化简）．【答案】见试题解答内容【解答】解：由题意知道：题目中的数据可以整理为：，（﹣1）2+1，…（﹣1）n+1，∴第16个答案为：．故答案为：．13．（2022秋•武侯区校级月考）把下列各数分别填入相应的集合里．0，，5，3.14，π，﹣3，0.1．（1）整数集合：{…}；（2）分数集合：{…}；（3）有理数集合：{…}；（4）非负数集合：{…}．【答案】（1）0，5，﹣3；（2），3.14，0.1；（3）0，，5，3.14，﹣3，0.1；（4）0，5，3.14，π，0.1．【解答】解：0，，5，3.14，π，﹣3，0.1．（1）整数集合：{0，5，﹣3，…}；故答案为：0，5，﹣3；（2）分数集合：{，3.14，0.1，…}；、故答案为：，3.14，0.1；z（3）有理数集合：{0，，5，3.14，﹣3，0.1，…}；故答案为：0，，5，3.14，﹣3，0.1；（4）非负数集合：{0，5，3.14，π，0.1，…}．故答案为：0，5，3.14，π，0.1．14．（2023•泰山区校级开学）自行车厂要生产一批相同型号的自行车，计划每天生产200辆．但由于各种原因，实际每天的生产量与计划量相比会有所差异．下表是工人在某周的生产情况：（超过200辆记为正，不足200辆记为负）星期一二三四五六日增减（辆）+5﹣3﹣4+13﹣10+15﹣9（1）根据记录可知，前三天共生产了辆；（2）生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产了辆；（3）该厂实行计件工资制，每生产一辆得100元，对于每天的计划生产量，若每多生产一辆再额外奖20元，若每少生产一辆则要扣20元，求工人这一周的工资总额是多少元．【答案】（1）598；（2）25；（3）工人这一周的工资总额是140840元．【解答】解：（1）由表格可得，（200+5）+（200﹣3）+（200﹣4）＝205+197+196＝598（辆），即前三天共生产了598辆，故答案为：598；（2）由表格可得，生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产了15﹣（﹣10）＝15+10＝25（辆），故答案为：25；（3）200×7×100+[5+（﹣3）+（﹣4）+13+（﹣10）+15+（﹣9）]×120＝140000+7×120＝140000+840＝140840（元），答：工人这一周的工资总额是140840元．15．（2022秋•长安区校级期末）某食品厂在产品中抽出20袋样品，检查其质量是否达标，超过标准的部分用正数表示，不足的部分用负数表示：﹣3﹣2﹣1.501 1.5 2.5与标准质量的差/克袋数1434323（1）这批样品的总质量比标准总质量多还是少？多或少几克？（2）若每袋的标准质量为200克，求这批样品平均每袋的质量是多少克？【答案】（1）这批样品的总质量比标准总质量少，少2克；（2）这批样品平均每袋的质量是199.9克．【解答】解：（1）（﹣3）×1+（﹣2）×4+（﹣1.5）×3+0×4+1×3+1.5×2+2.5×3＝﹣3﹣8﹣4.5+0+3+3+7.5＝﹣2（克），即这批样品的总质量比标准总质量少，少2克；（2）200×20﹣2＝4000﹣2＝3998（克），3998÷20＝199.9（克），即这批样品平均每袋的质量是199.9克．。

苏教版七年级上册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习【巩固练习】 一、选择题1．计算106×(102)3÷104之值为（ ）．A ．108B ．109C ．1010D ．10122． a b -与a 比较大小，必定为（ ）．A ．a b a -<B ．a b a ->C ．a b a -≤D ．这要取决于b 3．下列语句中，正确的个数是（ ）．①一个数与它的相反数的商为-1；②两个有理数之和大于其中任意一个加数；③若两数之和为正数，则这两个数一定都是正数；④若0m n <<，则mn n m <-． A ．0 B ．1 C ．2 D ．34．已知||5m =，||2n =，||m n n m -=-，则m n +的值是（ ）．A ．-7B ．-3C ．-7或-3D ．±7或±3 5．将一刻度尺如图所示放在数轴上（数轴的单位长度是1cm ），刻度尺上的“0cm”、“15cm”分别对应数轴上的 3.6x -和，则（ ）．A ．910x <<B ．1011x <<C ．1112x <<D ．1213x << 6．（2015•莒县一模）甲、乙两队合做修一条1200米的路，甲队独做4小时可以完成，乙队独做6小时可以完成，问两人合做2小时能修多少米？（ ） A ．600米 B ． 800 C ． 1000米 D ． 1200米 7．（2016•松江区三模）下列分数中，能化为有限小数的是（ ） A ．B ．C ．D ．8．记12n n S a a a =+++…，令12nn S S S T n+++=…，称n T 为1a ，2a ，…，n a 这列数的“理想数”．已知1a ，2a ，…，500a 的“理想数”为2004，那么8，1a ，2a ，…，500a 的“理想数”为( )A ．2004B ．2006C ．2008D ．2010 二、填空题9.（2015•湖州）计算：23×（）2= ．10．2011年成市承接产业转移示范区建设成效明显，第一季度完成固定资产投资238亿元，用科学记数法可记作________元．11．把下列各数填在相应的表示集合的大括号内：-3，-0.4，π，-|-4|，-227，0，4.262262226…（两个6之间依次增加一个“2”）．整 数{ …} 负分数{ …} 无理数{ …}．12．当a =________时，式子23(1)a --的值最大，这个最大值是________．13．如图，有理数,a b 对应数轴上两点A ，B ，判断下列各式的符号：a b +________0；a b -________0；()()________a b a b +-0； 2(1)ab ab +________0．14．已知,,a b c 满足()()()0,0a b b c c a abc +++=<，则代数式a b ca b c++的值是 15．某地探空气球的气象观测资料表明，高度每增加1千米，气温大约降低6℃．若该地地面温度为21℃，高空某处温度为-39℃，则此处的高度是 千米． 16．（2016•富顺县校级模拟）计算：1+2﹣3﹣4+5+6﹣7﹣8+9+…﹣2012+2013+2014﹣2015﹣2016+2017=______________.三、 解答题 17．计算：(1)22213151[4(4)]1417⎛⎫---⨯--⎪⎝⎭(2)323233351914321251943252⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯--⨯⨯-+⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭(3)200820097887⎛⎫⎛⎫⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(4)5231591736342--+- (5)111223++⨯⨯ (14950)+⨯ 18.（2015春•万州区期末）某服装店以每件82元的价格购进了30套保暖内衣，销售时，针对不同的顾客，这30套保暖内衣的售价不完全相同，若以100元为标准，将超过的钱数19．已知三个互不相等的有理数，即可以表示为1，a+b ，a 的形式，又可表示为0，b a，b的形式，且x 的绝对值为2，求200820092()()()a b ab a b ab x ++-+-+的值．20．一粒米微不足道，平时总会在饭桌上毫不经意地掉下几粒，甚至有些挑食的同学会把整碗米饭倒掉．针对这种浪费粮食现象，老师组织同学们进行了实际测算，称得500粒大米约重10克．现在请你来计算 （1）一粒大米重约多少克？（2）按我国现有人口13亿，每年365天，每人每天三餐计算，若每人每餐节约一粒大米，一年大约能节约大米多少千克？（用科学记数法表示）（3）假若我们把一年节约的大米卖成钱，按2元∕千克计算，可卖得人民币多少元？（用科学记数法表示）（4）对于因贫困而失学的儿童，学费按每人每年500元计算，卖得的钱可供多少名失学儿童上一年学？（5）经过以上计算，你有何感想和建议？【答案与解析】 一、选择题 1．【答案】 A【解析】126234664124841010(10)1010101010101010⨯÷=⨯÷=÷==． 2．【答案】 D【解析】当b 为0时，a b a -=；当b 为正数时，a b a -<；当b 为负数时，a b a -> 3．【答案】 B【解析】只有④正确，其他均错． 4．【答案】C【解析】n m ≥，2,5n m =±=-，所以7m n +=-或3- 5．【答案】C【解析】( 3.6)15,11.4x x --==6.【答案】C.【解析】根据题意得：2×（1200÷4+1200÷6）=2×（300+200）=1000（米），则两人合作2小时能修1000米．7．【答案】A 【解析】解：A 、=0.1235，故本选项正确；B 、=0.111111…，故本选项错误；C 、=0.083333…，故本选项错误；D 、=0.066666…，故本选项错误；故选A ．8．【答案】C【解析】∵ 1a ，2a ，…，500a 的“理想数”为2004，∴125002004500S S S +++=，∴ 125002004500S S S +++=⨯．8，1a ，2a ，…，500a 中，18S '=；218S S '=+；328S S '=+；…，5005008S S '=+ ∴ 8，1a ，2a ，…，500a 的理想数为：12350012500501888888501501501S S S S S S S T +++++++++⨯++++==850120045002008501⨯+⨯== 二、填空题9.【答案】2.【解析】23×（）2=8×=2. 10．【答案】102.3810⨯【解析】2(1)0a -≥，10a -=∴时，2(1)a -取到最小值，同时 23(1)a --取到最大值． 13．【答案】>， >， >， <【解析】由图可得：1,10a b >-<<,特殊值法或直接推理可得：0,0,ab a b <+>20,10a b ab ->+>．14．【答案】1【解析】()()()0,a b b c c a +++=又0abc <可得：三数必一负两正，不防设：0,0,0a b a c >=-<>，代入原式计算即可．15．【答案】10【解析】21-（-39）÷6×1=10（千米）. 16．【答案】1.【解析】解：1+2﹣3﹣4+5+6﹣7﹣8+9+…﹣2012+2013+2014﹣2015﹣2016+2017=（1+2﹣3﹣4）+（5+6﹣7﹣8）+…+（2013﹣﹣2014﹣2015﹣2016）+2017=（﹣4）×（2016÷4）+2017=（﹣4）×504+2017=﹣2016+2017=1.三、解答题17．【解析】(1)原式13151(1616)1417⎛⎫=---⨯-⎪⎝⎭1315101011417⎛⎫=---⨯=--=-⎪⎝⎭(2)原式322 33431942519435⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯--⨯+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦33916122525⎛⎫⎛⎫=-⨯-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭332⎛⎫=-⨯⎪⎝⎭=(3) 原式20082008788877⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2008788877⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯-⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦88177⎛⎫=⨯-=-⎪⎝⎭(4)原式5231 591736342=----++--5231 (59173)6342⎛⎫=--+-+--+-⎪⎝⎭11 01144 =-=-(5)原式1111223=-+-+…114950+-111112233⎛⎫⎛⎫=+-++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…11114914949505050⎛⎫+-+-=-=⎪⎝⎭18.【解析】解：7×（100+5）+6×（100+1）+7×100+8×（100﹣2）+2×（100﹣5）=735+606+700+784+190=3015，30×82=2460（元），3015﹣2460=555（元），答：共赚了555元．19．【解析】由1，a+b，a与0，ba，b相同，由ba得：分母有0a≠，所以0a b+=又由三数互不相等，所以1b =，ba a= 化简得：1a =-，1b =，0a b +=，1ab =-∴ 200820092()()()01142a b ab a b ab x ++-+-+=--+=．20．【解析】（1）10÷500≈0.02（克） 答：一粒大米重约0.02克．（2）0.02×1×3×365×1300000000÷1000=2.847×107（千克）答：一年大约能节约大米2.847×107千克．（3）2×2.847×107=5.694×107（元）答：可卖得人民币5.694×107元．（4）5.694×107÷500=1.1388×105答：可供113880名失学儿童上一年学．（5）一粒米虽然微不足道，但是我们一年节约下来的钱数大的惊人．所以提倡节约，杜绝浪费，我们要行动起来．。

华东师大版数学-七年级上册-第二章-有理数-巩固练习一、单选题1.在下列各数：﹣3，+8，3.14，0，π，，﹣0.4，2.75%，0.1010010001…中，有理数的个数是（）A. 6个B. 7个C. 8个D. 9个2.一个数的相反数是最大的负整数，则这个数是（）A. －1B. 1C. 0D. ±13.定义运算a⊗b=a（1﹣b），下面给出的关于这种运算的四个结论中正确的是（）A. 2⊗（﹣2）=﹣4B. a⊗b=b⊗aC. （﹣2）⊗2=2D. 若a⊗b=0，则a=04.6912的相反数是（）A. ﹣6912B.C. ﹣1269D. ﹣5.如果a＜0，那么a和它的相反数的差的绝对值等于（）A. aB. 0C. 2aD. -2a6.去年五月奥运圣火在高度约为8848米的珠峰项上传递，创造了世界之最．这个高度的百万分之一相当于 ( )A. 一间教室的高度B. 一块黑板的宽度C. 一张讲桌的高度D. 一本数学课本的厚度7.如果ab＜0，那么下列判断正确的是（）A. a＜0，b＜0B. a＞0，b＞0C. a≥0，b≤0D. a＜0，b＞0或a＞0，b＜08.用四舍五入按要求对分别取近似值，其中错误的是（）A. 0.1（精确到0.1）B. 0.06（精确到千分位）C. 0.06(精确到百分位)D. 0.0602（精确到0.0001）9.某天股票A开盘价为12元，上午12:00跌1.0元，下午收盘时又涨了0.2元，则股票A的收盘价是（）A. 0.2元B. 9.8元C. 11.2元D. 12元二、填空题10.﹣9的绝对值是________ ．11.计算：3﹣（﹣5）+7=________；计算﹣2﹣|﹣6|的结果是________．12.如果|x|+y2=5，且y=﹣1，则x=________．13.已知数m小于它的相反数且数轴上表示数m的点与原点相距3个单位的长度，将该点m向右移动5个单位长度后，得到的数是________．14.若x＜0，化简=________15.绝对值小于10的所有整数的和为________，积为________.16.数轴上到原点的距离小于2 个单位长度的点中，表示整数的点共有________个．三、解答题17.某种植物适宜生长在温度为18℃～20℃的山区，已知山区海拔每升高100米,气温下降0.5℃,现在测出山脚下的平均气温为22℃，问该植物种在山的哪一部分为宜？（假设山脚海拔为0米）18.在数轴上表示下列各数：0，，，，，，并用“＜”号连接．四、综合题19.“十一”黄金周期间，武汉东湖风景区在7天假期中每天旅游人数变化如下表（正号表示人数比前一天多，负号表示比前天少）（1）若9月30日的旅客人数为4.2万人，则10月4日的旅客人数为________万人；（2）七天中旅客人数最多的一天比最少的一天多________万人（3）如果每万人带来的经济收入约为100万元，则黄金周七天的旅游总收入约为多少万元？20.某支股票上周末的收盘价格是10.00元，本周一到周五的收盘情况如下表：（“+”表示股票比前一天上涨，“﹣”表示股票比前一天下跌）（1）周一至周五这支股票每天的收盘价各是多少元？（2）本周末的收盘价比上周末收盘价是上涨了，还是下跌了？________．（3）这五天的收盘价中哪天的最高？________哪天的最低？________相差多少？________．答案一、单选题1.【答案】B【解析】【解答】有理数有：：﹣3，+8，3.14，0，，﹣0.4，2.75%，共7个；无理数有：π，0.1010010001…，共2个．故选B．【分析】根据整数和分数统称为有理数，及无理数的三种形式即可解答．2.【答案】B【解析】【分析】由于最大的负整数是-1，本题即求-1的相反数．【解答】最大的负整数是-1，根据概念，（-1的相反数)+（-1)=0，则-1的相反数是1．故选B．【点评】此题主要考查相反数、负整数的概念．3.【答案】C【解析】【解答】解：∵2⊗（﹣2）=2×[1﹣（﹣2）]=2×3=6，∴选项A不正确；∵a⊗b=a（1﹣b），b⊗a=b（1﹣a），∴a⊗b=b⊗a只有在a=b时成立，∴选项B不正确；∵（﹣2）⊗2=（﹣2）×（1﹣2）=（﹣2）×（﹣1）=2，∴选项C正确；∵a⊗b=0，∴a（1﹣b）=0，∴a=0或b=1∴选项D不正确．故选：C．【分析】A：根据新运算a⊗b=a（1﹣b），求出2⊗（﹣2）的值是多少，即可判断出2⊗（﹣2）=﹣4是否正确．B：根据新运算a⊗b=a（1﹣b），求出a⊗b、b⊗a的值各是多少，即可判断出a⊗b=b⊗a是否正确．C：根据新运算a⊗b=a（1﹣b），求出（﹣2）⊗2的值是多少，即可判断出（﹣2）⊗2=2是否正确．D：根据a⊗b=0，可得a（1﹣b）=0，所以a=0或b=1，据此判断即可．4.【答案】A【解析】【解答】解：6912的相反数是﹣6912，故选：A．【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号，求解即可．5.【答案】D【解析】【分析】首先根据题意表示出代数式，再根据负数的绝对值等于它的相反数可得答案．【解答】由题意得：|a-（-a)|=|2a|=-2a．故选D．【点评】此题主要考查了列代数式，以及绝对值，关键是掌握绝对值的性质．6.【答案】D【解析】【分析】这个高度的百万分之一，即除以1000000．【解答】8848÷1000000=0.008848米，相当于一本数学课本的厚度．故选D．【点评】本题属于基础题，考查了对有理数的除法运算法则掌握的程度．7.【答案】D【解析】【解答】解：∵ab＜0，∴a与b异号，∴a＜0，b＞0或a＞0，b＜0．故选D．【分析】根据有理数的乘法符号法则作答．8.【答案】B【解析】【解答】A.0.06019≈0.1(精确到0.1)，所以A选项的说法正确；B.0.06019≈0.060(精确到千分位)，所以B选项的说法错误；C.0.06019≈0.06(精确到百分)，所以C选项的说法正确；D.0.06019≈0.0602(精确到0.0001)，所以D选项的说法正确。

1.2.1 有理数的概念学习目标理解有理数的概念，能按照一定的标准对有理数进行分类.课堂学习检测一、填空题1. 统称为整数；可以写成形式的数为正有理数，可以写成形式的数为负有理数. 和统称为非负数., 0, 4, +10, 中，正有理数有；2. 在有理数-3, 12负有理数有；整数有 .，0中，属于分数的共有个.3. 在有理数-0.5,534. 在有理数中，最大的负整数是，最小的非负数是，最小的自然数是 .二、选择题5. 0是一个 ( ).(A) 负整数 (B) 正分数 (C) 非负整数 (D) 正整数6. 下列各数是负分数的是 ( ).(A) -3.5 (B)31(C) -5 (D) 627. 下列说法中正确的有 ( )个.是负分数；②2不是整数；③0是非负数：④-1.3不是有理数.①−35(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4综合·运用·诊断一、选择题8. 下列说法中正确的是 ( ).(A) -1.234是负数, 不是分数 (B) 非正数就是负数是负分数(C) 带有“-”号的数就是负数(D)−9119. 下列说法错误的是 ( ).(A) 正分数一定是有理数(B) 整数和分数统称为有理数(C) 整数包括正整数、0、负整数(D) 正数和负数统称为有理数10. 下列说法：①整数包括正整数和负整数；②分数包括正分数和负分数；③-7既是负数也是整数，但不是自然数；④0既是正整数也是负整数；⑤非负分数就是正分数. 其中正确的个数是 ( ).(A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个二、判断题 (正确的画“✔”, 错误的画“×”)11. 有理数是正数和负数的统称. ( )12. 有最小的正整数，但没有最小的正有理数. ( )13. 非负数就是正数. ( )14.−113是负分数. ( )15. 0是最小的有理数. ( )16. —3.782不是分数, 是有理数. ( )三、解答题17. 把下列各数填在相应的集合中：2 7,−15,8.5,−14,−234,0.5,−3.14,0,6,47.正数集合：{ …};负数集合：{ …};非负数集合：{ …};有理数集合：{ …}.18. 已知有A, B, C三个数的“家族”:A: {-1, 3.1, -4, 6, 2.1};B:{−4.2,2.1,−1,10,−18};C: {2.1, -4.2, 8, 6}.(1) 请把每个“家族”中所含的数填入图中的相应部分；(2) 把A, B, C三个数的“家族”中的负数写在横线上: ;(3) 有没有同时属于A，B，C三个数的“家族”的数? 若有，则为 .拓展·探究·思考19. 学科素养——无限循环小数与分数的转化我们知道有理数包括整数与分数，小学中学习了把分数转化为有限小数或无限循环小数，把有限小数转化为分数，那么，无限循环小数是不是一定可以转化为分数呢? 答案是肯定的. 无限小数可按照小数部分是否循环分成两类：无限循环小数和无限不循环小数. 无限不循环小数是无理数，一定不能转化为分数. 无限循环小数是可以转化为分数的. 那么，无限循环小数又是如何转化为分数的呢? 由于它的小数部分位数是无限的，显然不可能写成十分之几、百分之几、千分之几……其实，无限循环小数转化为分数的难点为无限的小数位数. 所以我们可以选择从这里入手，想办法“剪掉”无限循环小数的“大尾巴”. 解决方法就是用扩倍的方法，把无限循环小数扩大十倍、一百倍或一千倍……使扩大后的无限循环小数与原无限循环小数的“大尾巴”完全相同，然后这两个数相减或替代，“大尾巴”就可以剪掉了！例如0.3转化成分数的方法如下：令a=0.3,则10a=3.3=3+0.3=3+a,即9a=3, 解得a=39=13,所以0.3可以转化成分13阅读上面的材料，回答问题.(1) 将0.7转化成分数是；(2) 将0.26转化成分数是；(3) 将0.12i 转化成分数是 .。

七年级上册?有理数?知识点总结?有理数?知识点总结主讲: 王老师1．数轴：〔1〕数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．〔2〕数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．〔一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．〕3〕用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．2．相反数〔1〕相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．〔2〕相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等．〔3〕多重符号的化简：与“+〞个数无关，有奇数个“﹣〞号结果为负，有偶数个“﹣〞号，结果为正．〔4〕规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣〞，如a的相反数是﹣a，m+n的相反数是﹣〔m+n〕，这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号．3．绝对值：〔1〕概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．①互为相反数的两个数绝对值相等；②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于 0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．③有理数的绝对值都是非负数．〔2〕如果用字母a表示有理数，那么数a绝对值要由字母a本身的取值来确定：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；③当a是零时，a的绝对值是零．即|a|={a〔a＞0〕0〔a=0〕﹣a〔a＜0〕4．非负数的性质：绝对值：任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，那么其中的每一项都必须等于0．根据上述的性质可列出方程求出未知数的值．5．倒数:〔1〕倒数：乘积是1的两数互为倒数．一般地，a?1／a=1〔a≠0〕，就说a〔a≠0〕的倒数是1／a．〔2〕方法指引：①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁〞和“渡船〞．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要．倒数是伴随着除法运算而产生的．②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0没有倒数，这与相反数不同．【规律方法】求相反数、倒数的方法：注意：0没有倒数．求一个数的相反求一个数的相反数时，只需在这个数前面加上“﹣〞即可数求一个数的倒数求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置6．有理数的加减混合运算〔1〕有理数加减混合运算的方法：有理数加减法统一成加法．〔2〕方法指引：①在一个式子里，有加法也有减法，根据有理数减法法那么，把减法都转化成加法，并写成省略括号的和的形式．②转化成省略括号的代数和的形式，就可以应用加法的运算律，使计算简化．7．有理数的乘法〔1〕有理数乘法法那么：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．〔2〕任何数同零相乘，都得0．〔3〕多个有理数相乘的法那么：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．-1-七年级上册?有理数?知识点总结〔4〕方法指引：①运用乘法法那么，先确定符号，再把绝对值相乘．②多个因数相乘，看0因数和积的符号领先，这样做使运算既准确又简单．8．有理数的乘方:〔1〕有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方．乘方的结果叫做幂，在a n中，a叫做底数，n叫做指数．a n读作a的n次方．〔将a n看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．〕〔2〕乘方的法那么：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0．〔3〕方法指引：①有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值；②由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，应先算乘方，再做乘除，最后做加减．9．有理数的混合运算〔1〕有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．〔2〕进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧：1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算．2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解．3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式再进行计算．4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法或乘法运算律往往使计算更简便．10．近似数和有效数字：〔1〕有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有数字都是这个数的有效数字．〔2〕近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保存几个有效数字等说法．〔3〕规律方法总结：“精确到第几位〞和“有几个有效数字〞是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以表达出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些．11．代数式求值；〔1〕代数式的：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫代数式的值．〔2〕代数式的求值：求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．题型简单总结以下三种：①条件不化简，所给代数式化简；②条件化简，所给代数式不化简；③条件和所给代数式都要化简．12．幂的乘方与积的乘方：〔1〕幂的乘方法那么：底数不变，指数相乘．〔a m〕n=a mn〔m，n是正整数〕注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘〞指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加〞的区别．〔2〕积的乘方法那么：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．〔ab〕n=a n b n〔n是正整数〕注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法那么仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．-2-七年级上册?有理数?知识点总结七年级上册?有理数?培优一．选择题〔共10小题〕1．假设x的相反数是3，|y|=5，那么x+y的值为〔〕A ﹣8B．2C．8或﹣2D．﹣8或2．2．以下各组数中，数值相等的是〔〕和3和〔﹣4〕24B．﹣4．和〔﹣2〕3D．〔﹣2和﹣2222×3〕×3．3．数轴上表示整数的点称为整点．某数轴的单位长度是1厘米，假设在这个数轴上随意画出一条长为2004厘米的线段AB，那么线段AB盖住的整点的个数是〔〕或2003B．2003或2004C．2004或2005D．2005或20062 002．4．某种鲸的体重约为×105kg．关于这个近似数，以下说法正确的选项是〔〕精A确到百分位，有3个有效数字．精B确到个位，有6个有效数字．精C确到千位，有6个有效数字．精D确到千位，有3个有效数字．5．〔﹣2〕100比〔﹣2〕99大〔〕C ．299D．3×2 992 AB ．﹣2．6．以下说法正确的选项是〔〕倒A数等于它本身的数只有1B．平方等于它本身的数只有1．立C方等于它本身的数只有1D．正数的绝对值是它本身．7．两个互为相反数的有理数相乘，积为〔〕正A数B．负数C．零D．负数或零．8．一个有理数与它的相反数的乘积〔〕一A定是正数B．一定是负数C．一定不大于0D．一定不小于0．9．的所有可能的值有〔〕B．2个C．3个D．4个1个．10．假设|a﹣3|﹣3+a=0，那么a的取值范围是〔A a≤3B．a＜3C．a≥3D．a＞3-3-二．填空题〔共6小题〕11．如果数轴上的点A对应的数为﹣1，那么与A点相距3个单位长度的点所对应的有理数为．12．如图，在长方形草地内修建了宽为2米的道路，那么草地面积为米13．平方等于的数是．14．假设n为自然数，那么〔﹣1〕2n+〔﹣1〕2n+1= ．15．760340〔精确到千位〕≈，〔保存两个有效数字〕≈．16．近似数精确到位，有有效数字；近似数万精确到位．三．解答题〔共14小题〕17．.在数﹣5，1，﹣3，5，﹣2中任取三个数相乘，其中最大的积是a，最小的积是b，1〕求a，b的值；2〕假设|x+a|+|y﹣b|=0，求〔x﹣y〕÷y的值．18．观察以下等式：，，，将以上三个等式两边分别相加得：〔1〕猜想并写出：= ；〔2〕直接写出以下各式的计算结果：①= ；②= ．〔3〕探究并计算：．19．小王上周五在股市以收盘价〔收市时的价格〕每股25元买进某公司股票1000股，在接下来的一周交易日内，小王记下该股票每日收盘价格相比前一天的涨跌情况：〔单位：元〕星期一二三四五每股涨跌〔元〕+2 ﹣﹣根据上表答复以下问题：〔1〕星期二收盘时，该股票每股多少元？〔2〕本周内该股票收盘时的最高价，最低价分别是多少？〔3〕买入股票与卖出股票均需支付成交金额的千分之五的交易费．假设小王在本周五以收盘价将全部股票卖出，他的收益情况如何？20．〔1〕阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为|AB|．当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，|AB|=|OB|=|b|=|a﹣b|-4-当A、B两点都不在原点，①如2，点A、B都在原点的右|AB|=|OB||OA|=|b||a|=ba=|ab|；②如3，点A、B都在原点的左，|AB|=|OB||OA|=|b||a|=ba=|ab |；③如4，点A、B在原点的两，|AB|=|OB||OA|=|b||a|=b〔a〕=|ab|；上，数上A、B两点之的距离|AB|=|ab|．〔2〕答复以下：①数上表示2和5的两点之的距离是，数上表示2和5的两点之的距离是数上表示1和3的两点之的距离是；②数上表示x和1的两点A和B之的距离是，如果|AB|=2，那么x；③当代数式|x+1|十|x2|取最小，相的x的取范是．21．以下材料，解答．水是关系到学生身心健康的重要生活，坡中学共有教学班24个，平均每班有学生50人，估算，学生一年在校240天〔除去各种假日〕，春、夏、秋、冬季各60天．原来，学生水一般都是水〔其它碳酸料或果汁价格更高〕，水零售价元/瓶，每个学生春、秋、冬季平均每天1瓶水，夏季平均每天要2瓶水，学校了减学生消担，要求每个班自行1台冷水机，，一台功率500w的冷水机150元，水每桶6元，每班春、秋两季，平均每天4桶，夏季平均每天5桶，冬季平均每天1桶，水机每天开10小，当地民用价元/度．：〔1〕在未水机之前，全年平均每个学生要花元来水用；〔2〕算：在水机解决学生水后，每班当年共要花多少元？〔3〕便利学生的措施施后，坡中学一年要全体学生共元．22．商了促，推出两种促方式：方式①：所有商品打折售：方式②：一次物200元送60元金．〔1〕老要价628元和788元的商品各一件，有四种方案：方案一：628元和788元的商品均按促方式①；方案二：628元的商品按促方式①，788元的商品按促方式②；方案三：628元的商品按促方式②，788元的商品按促方式①；方案四：628元和788元的商品均按促方式②．你老提出的最合理方案是．〔2〕通算下表中价在600元到800元之商品的付款金，你出商品的律是．商品价〔元〕628638648768778788付款金〔元〕方式①方式②23．水葫芦是一种水生浮植物，有着惊人的繁殖能力．据道，已造成某些流域河道堵塞，水染等重后果、据研究说明：适量的水葫芦生水的化是有利的，关是科学管理和化利用．假设在适宜条件下，〔不考植株死亡、被打等其它因素〕．〔1〕假江面上有1株水葫芦，填写下表：第几天51015⋯50⋯n株数24⋯⋯-5-七年级上册?有理数?知识点总结〔2〕假定某流域内水葫芦持在33万株以内化水有益．假设有10株水葫芦，你利用算器行估算探究，照上述生速度，多少天水葫芦有33万株？此后就必开始定期打理水葫芦．〔要求写出必要的、估算程！〕24．某市有一土地共100，某房地商以每80万元的价格得此地，准修建“和花园〞住宅区．划在住宅区内建造八个小区〔A区，B区，C区⋯H区〕，其中A区，B区各修建一24的楼房；C区，D 区，E区各修建一18的楼房；F区，G区，H区各修建一16的楼房．了足市民不同的房需求，开商准将A区，B区两个小区都修建成高档，每800m2，初步核算本钱800元/m2；将C区，D区，E区三个小区都修建成中档住宅，每800m2，初步核算本钱700元/m2；将F区，G区，H区三个小区都修建成适用房，每750m2，初步核算本钱600元/m2．整个小区内其他空余局部土地用于修建小区公路通道，植造林，建花园，运和居民生活商店等，些所需用加上物管理，置安装楼梯等用共需要9900万元．开商打算在修建完工后，将高档，中档和适用房以平均价格分3000元/m2，2600元/m2和2100元/m2的价格售．假设房屋全部出售完，你帮助算出房地开商的利是多少元？25某自行厂一周划生1400自行，平均每天生200．由于各种原因，上每天的生量与划量相比有出入．下表是某周的生情况〔增正，减〕：星期一二三四五六日增减+524+1310+169〔1〕根据可知，前三天共生了自行；〔2〕量最多的一天比量最少的一天多生了自行；3〕厂行件工制，每生一得60元，超完成每15元，少生一扣15元，那么厂工人一周的工是多少？26．某位需以“挂号信〞或“特快〞方式向五所学校各寄一封信．五封信的重量分是72g，90g，215g，340g，400g．根据五所学校的地址及信件的重量范，在局得相关准如下：种位准〔元〕挂号〔元/封〕特制信封〔元/个〕挂号信首重100g，每重20g 3重101～2000g，每重100g特快首重1000g内 3〔1〕重量 90g的信假设以“挂号信〞方式寄出，寄多少元？假设以“特快〞方式寄出呢？2〕五封信分以怎的方式寄出最合算？明理由．3〕通解答上述，你有何启示？〔你用一、两句明〕-6-27．甲、乙、丙三个教承担本学期期末考的第17的网上卷任，假设由三人中的某一人独立完成卷任，甲需要15小，乙需要10小，丙需要8小．〔1〕如果甲乙丙三人同改卷，那么需要多少完成？〔2〕如果按照甲、乙、丙、甲、乙、丙，⋯的次序流卷，每一中每人各卷 1小，那么需要多少小完成？3〕能否把〔2〕所的甲、乙、丙的次序作适当整，其余的不，使得完成任的至少提前半小？〔答要求：如不能，需明理由；如能，至少出一种流的次序，并求出相能提前多少完成卷任〕28．某学校改善学条件，划置至少40台，有甲，乙两家公司供：甲公司的价每台2000元，40台以上〔含40台〕，按价的九折惠；乙公司的价也是每台2000元，40台以上〔含40台〕，一次性返回10000元学校．〔1〕假设你是学校人，在品牌，量，售后服等完全相同的前提下，你如何？明理由；〔2〕甲公司乙公司与他争〔但甲公司不知乙公司的售方案〕，便主与校系，提出新的售方案；价每台2000元，40台以上〔含40台〕，按价的九折惠，在40台的基上，每增加15台，便送一台．：学校划120台〔包括送〕，至少需要多少元？29．假设|a|=2，b= 3，c是最大的整数，求a+b c的．30．|a|=3，|b|=5，且a＜b，求a b的．-7-七年级第一章?有理数?培优解析一．选择题〔共10小题〕1．〔2006?哈尔滨〕假设x 的相反数是 3，|y|=5，那么x+y 的值为〔D 〕A ．﹣8B ．2C ．8或﹣2D ．﹣8或22．〔2021秋?曲阜市期中〕以下各组数中，数值相等的是〔C〕A 4和432和〔﹣4〕23B ．﹣4．C ﹣23和〔﹣2〕3D ．〔﹣2×3〕2和﹣22×32．解：A 、34=81，43=64，81≠64，故本选项错误，B 、﹣42=﹣16，〔﹣4〕2=16，﹣16≠16，故本选项错误，C 、﹣23=﹣8，〔﹣2〕3=﹣8，﹣8=﹣8，故本选项正确，22 2C ．D 、〔﹣2×3〕=36，﹣2×3=﹣36，36≠﹣36，故本选项错误，应选3．〔2021秋?安徽期中〕数轴上表示整数的点称为整点．某数轴的单位长度是1厘米，假设在这个数轴上随意画出一条长为2004厘米的线段AB ，那么线段AB 盖住的整点的个数是〔C 〕A ．2002或2003B ．2003或2004C ．2004或2005D ．2005或2006解：依题意得： ①当线段AB 起点在整点时覆盖2005个数；②当线段AB 起点不在整点，即在两个整点之间时覆盖2004个数．4．〔2021?青岛〕某种鲸的体重约为×105kg．关于这个近似数，以下说法正确的选项是〔D〕A．精确到百分位，有3个有效数字B．精确到个位，有6个有效数字C．精确到千位，有6个有效数字D．精确到千位，有3个有效数字分析：有效数字的计算方法：从左边第一个不是0的数字起，后面所有数字都是有效数字．用科学记数法表示的数的有效数字只与前面的a有关，与10的多少次方无关．解答：解：×105kg最后一位的6表示6千，共有1、3、6三个有效数字．应选：D．点评：此题考查了科学记数法表示的数的有效数字确实定方法，要注意10的n次方限定的乘号前面的最后一位数表示的数位．5．〔2021秋?德州校级期末〕〔﹣2〕100比〔﹣2〕99大〔D〕B．﹣2C．99D．3×2992．解：〔﹣2〕100﹣〔﹣2〕99=2100+299=299×〔2+1〕=3×299．应选D．求〔﹣2〕100比〔﹣2〕99大多少，用减法．6．〔2021秋?鄞州区期末〕以下说法正确的选项是〔DA．倒数等于它本身的数只有1B．平方等于它本身的数只有1C．立方等于它本身的数只有1D．正数的绝对值是它本身7．〔2021秋?莱州市期末〕两个互为相反数的有理数相乘，积为〔D〕A．正数B．负数C．零D．负数或零8．〔2021秋?滨湖区校级期末〕一个有理数与它的相反数的乘积〔C〕一A定是正数B．一定是负数C．一定不大于0D．一定不小于0．9．〔2004?南平〕的所有可能的值有〔C〕-8-七年级上册?有理数?知识点总结个B．2个C．3个D．4个．分析：由于a、b的符号不确定，应分a、b同号，a、b异号两种情况分类求解．解：①a、b同号时，、也同号，即同为1或﹣1；故此时原式=±2；②a、b异号时，、也异号，即一个是1，另一个是﹣1，故此时原式=1﹣1=0；所以所给代数式的值可能有3个：±2或0．应选C．10．〔2003?黑龙江〕假设|a﹣3|﹣3+a=0，那么a的取值范围是〔 A 〕A．a≤3B．a＜3 C．a≥3 D．a＞3分析：移项，|a﹣3|﹣3+a=0可变为，|a﹣3|=3﹣a，根据负数的绝对值是其相反数，0的绝对值是0可知，a﹣3≤0，那么a≤3．解答：解：由|a﹣3|﹣3+a=0可得，|a﹣3|=3﹣a，根据绝对值的性质可知，a﹣3≤0，a≤3．应选A．二．填空题〔共6小题〕11．〔2021秋?赵县期末〕如果数轴上的点A对应的数为﹣1，那么与A点相距3个单位长度的点所对应的有理数为4或2．分析：考虑在A点左边和右边两种情形解答问题．12．如图，在长方形草地内修建了宽为2米的道路，那么草地面积为144米2．13．〔2021秋?靖江市期中〕平方等于的数是．14．〔2021秋?雁江区期末〕假设n为自然数，那么〔﹣1〕2n+〔﹣1〕2n+1=0．15．760340〔精确到千位〕≈×105，〔保存两个有效数字〕≈×102．考点：近似数和有效数字．分析：对于较大的数，进行精确到个位以上或保存有效数字时，必须用科学记数法取近似值，再根据题意要求四舍五入．解答：解：76040×105≈×105；×102≈×102．点评：此题注意精确到十位或十位以前的数位时，要先用科学记数法表示出这个数，这是经常考查的内容．16．〔2021秋?常州期中〕近似数精确到百万分位，有 4 有效数字；近似数万精确到百位．三．解答题〔共14小题〕17．.在数﹣5，1，﹣3，5，﹣2中任取三个数相乘，其中最大的积是a，最小的积是b，1〕求a，b的值；2〕假设|x+a|+|y﹣b|=0，求〔x﹣y〕÷y的值．解答：解：〔1〕共有以下几种情况：〔﹣5〕×1×〔﹣3〕=15，〔﹣5〕×1×5=﹣25，﹣5×1×〔﹣2〕=10，﹣5×〔﹣3〕×5=75，﹣5×〔﹣3〕×〔﹣2〕=﹣30，﹣5×5×〔﹣2〕=50，1×〔﹣3〕×5=﹣15，1×〔﹣3〕×〔﹣2〕=6，〔﹣3〕×5×〔﹣2〕=30，最大的积是a=75，最小的积是b=﹣30，〔2〕|x+75|+|y+30|=0，∴x+75=0，y+30=0，-9-七年级上册?有理数?知识点总结x=﹣75，y=﹣30，∴〔x﹣y〕÷y=〔﹣75+30〕÷〔﹣30〕．18．〔2007?邵阳〕观察以下等式：，，，将以上三个等式两边分别相加得：〔1〕猜想并写出：=；〔2〕直接写出以下各式的计算结果：①=；②=．〔3〕探究并计算：．专题：规律型．分析：〔1〕从材料中可看出规律是〔2〕直接根据规律求算式〔2〕中式子的值，即展开后中间的项互相抵消为零，只剩下首项和末项，要注意的是末项的符号是负号，规律为；〔3〕观察它的分母，发现两个因数的差为2，假设把每一项展开成差的形式，那么分母是2，为了保持原式不变那么需要再乘以，即得出最后结果．解答：解：〔3〕原式====19．〔2004?芜湖〕小王上周五在股市以收盘价〔收市时的价格〕每股25元买进某公司股票1000股，在接下来的一周交易日内，小王记下该股票每日收盘价格相比前一天的涨跌情况：〔单位：元〕星期一二三四五每股涨跌〔元〕+2﹣﹣根据上表答复以下问题：1〕星期二收盘时，该股票每股多少元？2〕本周内该股票收盘时的最高价，最低价分别是多少？3〕买入股票与卖出股票均需支付成交金额的千分之五的交易费．假设小王在本周五以收盘价将全部股票卖出，他的收益情况如何？分析：〔1〕由题意可知：星期一比上周的星期五涨了2元，星期二比星期一跌了元，那么星期二收盘价表示为25+2﹣，然后计算；2〕星期一的股价为25+2=27；星期二为27﹣；星期三为26.5+1.5=28；星期四为28﹣；星期五为26.2+0.8=27；那么星期三的收盘价为最高价，星期四的收盘价为最低价；3〕计算上周五以25元买进时的价钱，再计算本周五卖出时的价钱，用卖出时的价钱﹣买进时的价钱即为小王的收益．-10-七年级上册?有理数?知识点总结解答：解：〔1〕星期二收盘价为 25+2﹣〔元/股〕．〔2〕收盘最高价为25+2﹣0.5+1.5=28〔元/股〕，收盘最低价为 25+2﹣﹣〔元/股〕．〔3〕小王的收益为：27×1000〔1﹣5‰〕﹣25×1000〔1+5‰〕=27000﹣135﹣25000﹣125=1740〔元〕．∴小王的本次收益为1740元．20．〔2002?南京〕〔1〕阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为|AB|．当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，|AB|=|OB|=|b|=|a﹣b|当A、B两点都不在原点时，①如图2，点A、B都在原点的右边|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=b﹣a=|a﹣b|；②如图3，点A、B都在原点的左边，|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=b﹣a=|a﹣b|；③如图4，点A、B在原点的两边，|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=﹣b﹣〔﹣a〕=|a﹣b|；综上，数轴上A、B两点之间的距离|AB|=|a﹣b|．〔2〕答复以下问题：数轴上表示2和5的两点之间的距离是3，数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是3，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是4；数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是|x+1|，如果|AB|=2，那么x为1或﹣3；当代数式|x+1|十|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是﹣1≤x≤2．解：①数轴上表示2和5的两点之间的距离是|2﹣5|=3，数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是|﹣2﹣〔﹣答：5〕|=3．数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是|1﹣〔﹣3〕|=4．②数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是|x﹣〔﹣1〕|=|x+1|，如果|AB|=2，那么x为1或﹣3．③当代数式|x+1|十|x﹣2|取最小值时，∴x+1≥0，x﹣2≤0，∴﹣1≤x≤2．此题综合考查了数轴、绝对值的有关内容，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，且不容易遗漏，表达了数评：形结合的优点．21．〔2005?黄冈〕阅读以下材料，解答问题．饮水问题是关系到学生身心健康的重要生活环节，东坡中学共有教学班24个，平均每班有学生50人，经估算，学生一年在校时间约为240天〔除去各种节假日〕，春、夏、秋、冬季各60天．原来，学生饮水一般都是购纯洁水〔其它碳酸饮料或果汁价格更高〕，纯洁水零售价为元/瓶，每个学生春、秋、冬季平均每天买1瓶纯洁水，夏季平均每天要买2瓶纯洁水，学校为了减轻学生消费负担，要求每个班自行购置1台冷热饮水机，经调查，购买一台功率为500w的冷热饮水机约为150元，纯洁水每桶6元，每班春、秋两季，平均每天购置4桶，夏季平均每天购置5桶，冬季平均每天购置1桶，饮水机每天开10小时，当地民用电价为元/度．问题：〔1〕在未购置饮水机之前，全年平均每个学生要花费450 元钱来购置纯洁水饮用；〔2〕请计算：在购置饮水机解决学生饮水问题后，每班当年共要花费多少元？〔3〕这项便利学生的措施实施后，东坡中学一年要为全体学生共节约424080 元．分析：〔1〕通过每个学生每天的用水量，计算出每个季节的用水量，进而算出全年用水量；〔2〕购置饮水机解决学生饮水问题后，每班学生全年共花费：水费+电费；〔3〕原水费﹣现在水费=节约水费．解答：解：〔1〕∵每个学生春、秋、冬季每天1瓶矿泉水，夏季每天2瓶，∴一个学生在春、秋、冬季共要购置180瓶的矿泉水，夏天要购置120瓶矿泉水，∴一年中一个学生共要购置300瓶矿泉水，即一个学生全年共花费×300=450元钱；〔2〕购置饮水机后，一年每个班所需纯洁水的桶数为：春秋两季，每天4桶，-11-七年级上册?有理数?知识点总结那么120天共要〔4×120〕×=320桶．夏季每天5桶，共要60×5=300桶，冬季每天1桶，共60桶，∴全年共要纯洁水〔320+300+60〕=680桶，故购置矿泉水费用为：680×6=4080元，使用电费为：240×10××0.5=6 00元，故每班学生全年共花费：4080+600+150=4830元；〔3〕∵一个学生节省的钱为：450﹣元，∴全体学生共节省的钱数为：×24×50=424080元．点评：此题是一道实际问题，通过解答，不仅学会了阅读分析题目条件解题，更培养了同学们关注生活、将数学应用于生活的好习惯．22．〔2021?宁夏〕商场为了促销，推出两种促销方式：方式①：所有商品打折销售：方式②：一次购物满200元送60元现金．〔1〕杨老师要购置标价为628元和788元的商品各一件，现有四种购置方案：方案一：628元和788元的商品均按促销方式①购置；方案二：628元的商品按促销方式①购置，788元的商品按促销方式②购置；方案三：628元的商品按促销方式②购置，788元的商品按促销方式①购置；方案四：628元和788元的商品均按促销方式②购置．你给杨老师提出的最合理购置方案是方案三．。

苏教版七年级上册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习《有理数》全章复习与巩固（基础）【学习目标】1．理解有理数及其运算的意义，发展运算能力；了解无理数的概念，会判断无理数.2．能用数轴上的点表示有理数，会比较有理数的大小；借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求有理数的相反数与绝对值．3．体会转化、归纳等思想；掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及混合运算并能解决简单的实际问题．4．会用科学记数法表示较大的数，能对含有较大数字的信息作出合理的解释和推断，发展数感．【知识网络】【要点梳理】要点一、有理数与无理数1．有理数的分类：（1）按定义分类：（2）按性质分类：要点诠释：（1）用正数、负数表示相反意义的量；（2）有理数“0”的作用：作用举例表示数的性质0是自然数、是有理数表示没有3个苹果用+3表示，没有苹果用0表示表示某种状态0C表示冰点表示正数与负数的界点0非正非负，是一个中性数2．无理数：无限不循环小数叫做无理数．要点诠释：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限．无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式．（2）目前常见的无理数有两种形式：①含π类．②看似循环而实质不循环的数，如：1．313113111……（相邻两个3之间1的个数逐渐增加）．3.数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线．要点诠释：（1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如π．（2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大．4．相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0．要点诠释：（1）一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两点是关于原点对称的．（2）求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“-”号即可．（3）多重符号的化简：数字前面“-”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，若有奇数个时，化简结果为负．5．绝对值：（1)代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．数a的绝对值记作a．（2)几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离．要点二、有理数的运算1 ．法则：（1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得这个数．（2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b) ．（3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0相乘，都得0．（4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a÷b=a·1b(b≠0) ．（5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0．(6)有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行； ③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．要点诠释：“奇负偶正”口诀的应用：（1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：－[－（－3）]=－3，－[+（－3）]=3．（2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如：（－3）×（－2）×（－6）=－36，而（－3）×（－2）×6=36．（3）有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正，例如： 2(3)9-=， 3(3)27-=-． 2．运算律：（1）交换律: ①加法交换律:a+b=b+a ； ②乘法交换律:ab=ba ；（2）结合律: ①加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)； ②乘法结合律：（ab ）c=a(bc)（3）分配律：a(b+c)=ab+ac要点三、有理数的大小比较比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3) 作差比较法．（4）作商比较法；（5)倒数比较法．要点四、科学记数法把一个大于10的数表示成10na ⨯的形式（其中110a ≤<，n 是正整数），此种记法叫做科学记数法．例如：200 000=5210⨯．【典型例题】 类型一、有理数与无理数的相关概念1．若一个有理数的：(1)相反数；（2）倒数；(3)绝对值；(4)平方；(5)立方，等于它本身．则这个数分别为(1)________；(2)________；(3)________；(4)________；（5）________．【答案】（1）0； (2)1和-1；(3)正数和0；(4)1和0；(5)-1、0和1【解析】根据定义，把符合条件的有理数写全．【总结升华】要全面正确地理解倒数，绝对值，相反数等概念．举一反三：【有理数专题复习 357133 概念的理解与应用】【变式】(1)321-的倒数是 ；321-的相反数是 ；321-的绝对值是 ； -（-8）的相反数是 ；21-的相反数的倒数是_____. (2)某种食用油的价格随着市场经济的变化涨落，规定上涨记为正，则-5．8元的意义是 _ ；如果这种油的原价是76元，那么现在的卖价是 ．(3) 上海浦东磁悬浮铁路全长30km ，单程运行时间约为8min,那么磁悬浮列车的平均速度用科学记数法表示约为 m ／min ．(4) 若a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，则=++)(323b a cd ____ ． （5）下列各数：2π，0， 0.23，227，0.3000333…，中无理数个数为 个． 【答案】（1）35-； 213； 213；-8；2 （2）降价5．8元，70．2 元；（3）33.7510⨯；（4）3；（5）2．2．（2015春•射洪县月考）如果|x+3|+|y ﹣4|=0，求x+2y 的值．【思路点拨】根据非负数的性质，可求出x 、y 的值，然后将x 、y 的值代入代数式化简计算即可．【答案与解析】解：∵|x+3|+|y ﹣4|=0，∴x+3=0，y ﹣y=0，解得，x=﹣3，y=4，x+2y=﹣3+4×2=5．【总结升华】本题考查了绝对值的性质和非负数的性质，掌握有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零是解题的关键．3．在下列两数之间填上适当的不等号：20052006________20062007． 【思路点拨】根据“a-b ＞0，a-b ＝0，a-b ＜0分别得到a ＞b ，a ＝b ，a ＜b ”来比较两数的大小．【答案】 ＜【解析】法一：作差法由于20052006200520072006200610200620072006200720062007⨯-⨯-==-<⨯⨯，所以2005200620062007< 法二：倒数比较法：因为2006112007112005200520062006=+>+= 所以2005200620062007< 【总结升华】比较大小常用的有五种方法，要根据数的特征选择使用． 举一反三：【变式】比较大小：(1)199-________0．001； (2)23-________-0．68 【答案】（1）＜ （2）＞类型二、有理数的运算4．（2016•厦门）计算：．【思路点拨】原式先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可得到结果．【答案与解析】解：原式=10+8×﹣2×5=10+2﹣10=2．【总结升华】有理数的混合运算首先弄清运算顺序，先乘方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里边的，同级运算从左到右依次进行计算，然后利用各种运算法则计算，有时可以利用运算律来简化运算．举一反三：【变式】计算：（1）11(2)(2)22-⨯÷⨯- （2）()20064261031-+--⨯- 【答案】（1）111(2)(2)(1)(2)(1)2(2)4222-⨯÷⨯-=-÷⨯-=-⨯⨯-= （2）()20064261031-+--⨯-=-16+4-3×1 =-15类型三、数学思想在本章中的应用5．（1）数形结合思想：有理数a 在数轴上对应的点如图所示，则a ，-a ，1的大小关系．A ．-a ＜a ＜1B ．1＜-a ＜aC ．1＜-a ＜aD ．a ＜1＜-a（2）分类讨论思想：已知|x|＝5，|y|＝3．求x-y 的值．（3）转化思想：计算：3135()147⎛⎫-÷- ⎪⎝⎭ 【答案与解析】（1）将-a 在数轴上标出，如图所示，得到a ＜1＜-a ，所以大小关系为：a ＜1＜-a ． 所以正确选项为：D ．（2）因为| x|＝5，所以x 为-5或5因为|y|＝3，所以y 为3或-3．当x ＝5，y ＝3时，x-y ＝5-3＝2当x ＝5，y ＝-3时，x-y ＝5-(-3)＝8当x ＝-5，y ＝3时，x-y ＝-5-3＝-8当x ＝-5，y ＝-3时，x-y ＝-5-(-3)＝-2故（x-y ）的值为±2或±8（3）原式=33135(7)357724614142⎛⎫--⨯-=⨯+⨯= ⎪⎝⎭【总结升华】在解题中合理利用数学思想，是解决问题的有效手段．数形结合——“以形助数”或“以数解形”使问题简单化，具体化；分类讨论中注意分类的两条原则：分类标准要统一，而且分类要做到不重不漏；转化思想就是把“新知识”转化为“旧知识”，将“未知”转化为“已知”．举一反三：【变式】（2015•宁德）有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列各式正确的是（）A．a+b＜0 B．a﹣b＜0 C．a•b＞0 D．＞0【答案】B．类型四、规律探索6．将1，12-，13，14-，15，16-，…，按一定规律排列如下：请你写出第20行从左至右第10个数是________．【思路点拨】通过观察题目所给的图形、表格或一段语言叙述，然后归纳总结，寻找规律．【答案】1 200 -【解析】认真观察可知，第1行有1个数，第2行有2个数，第3行有3个数，……，所以第20行有20个数，从第1行到第20行共有1+2+3+…+20＝210个数，所以第20行最后一个数的绝对值应是1210；又由表中可知，凡是分母是偶数的分数是负数，故第20行最后一个数是1210-，以此类推向前10个，则得到第20行第10个数是1 200 -．【总结升华】特例助思，探究规律，这类题主要是通过观察分析，从特殊到一般来总结发现规律，并将规律表示出来．。

七年级数学上册知识点整理及过关练习第一章有理数无理数：无限不循环的小数。

强调除了无理数之外的所有数都是有理数，分数一定是有理数，凡是带π的一定是无理数。

题型一数轴、相反数、倒数及绝对值例1.如图，数轴上表示数-2的相反数的点是（）A.点PB.点QC.点MD.点N例2.若|a-3|+|2b+5|=0,计算2a-b的值.思路点拨：若几个数的绝对值的和等于0，则这几个数就同时为0，即：若|a|+|b|=0时，a=0，b=0.解析：因为|a-3|≥0,|2b+5|≥0,要使|a-3|+|2b+5|=0，所以只有当a-3=0且2b+5=0时才成立，即a=3，b=-5/2 ;由此可得:2a-b=6-(-5/2)=17/2.总结升华：理解绝对值的概念从两方面入手，一是它的几何意义；二是它的代数意义。

知识点详解1.数轴：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴。

数轴三要素：原点、正方向、单位长度2.绝对值：几何定义：数轴上一个数所对应的点与原点(点零处)的距离叫做该数绝对值。

绝对值只能为非负数。

几何意义：在数轴上，一个数到原点的距离叫做该数的绝对值.如:指在数轴上表示的点与原点的距离，这个距离是5，所以的绝对值是5。

代数定义: |a|=a(a>0) |a|=-a(a<0) |a|=0(a=0)代数意义：正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数,0的绝对值是0 互为相反数的两个数的绝对值相等 a的绝对值用“|a |”表示.读作“a 的绝对值”。

3.相反数：只有符号不同的大小相等的两个数，我们就说其中一个是另一个的相反数。

4.特别地，0的相反数是0。

一般地，任意的一个有理数a，它的相反数是-a。

a本身既可以是正数，也可以是负数，还可以是零。

5.互为相反数的两个数在数轴上表示出来后，表示这两个数的点，分别在原点的两旁，与原点的距离相等，并且互为相反数的两个数的和为0。

6.倒数：两数相乘为1的数互为倒数 .0没有倒数.性质：两个倒数的数的乘积等于1。

1 / 9 七上第二章2.2有理数与无理数暑假辅导课后巩固训练 班级：___________姓名：___________得分：___________一、选择题1. 下列说法正确的是( )A. 正整数和正分数统称为有理数，B. 正整数和负整数统称为整数C. 正整数、0、负整数、正分数、负分数统称为有理数D. 0不是有理数2. 下列七个有理数：−2，35，−0.2，211,0，−29,14；其中分数共有( )A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个3. 在有理数−(−8)、(−1)2019、−32、−|−1|中，负数有( )A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个4. 如果x 2=10，下列说法正确的是( )A. x 可能是整数B. x 可能是分数C. x 可能是有理数D. x 不是有理数5. 关于“0”的说法中不正确的是( )A. 0是最小的自然数B. 0是非负数C. 0是正数也是有理数D. 0既不是正数，也不是负数6. 下列关于−6.91和0.3的说法正确的是( )A. −6.91是分数，0.3不是分数B. 两个都不是分数C. 两个数都是分数D. −6.91不是分数，0.3是分数7. 下列说法正确的是( )A. 0是最小的有理数B. 一个有理数不是正数就是负数C. 分数不是有理数D. 没有最大的负数8. 下列各数−53，3.3，−3.14，+4，−1，237中，整数有a 个，负数有b 个，则a +b =()A. 3B. 4C. 5D. 6二、填空题9. 在下列各数中：0.6· ，−311，3.142，2，50%，−2005，0，+|−6|，79，−0.38，(1)整数有 个；(2)正分数有 个． 10. 把下列各数填入相应的集合里6.8，−9，213，0.8，−6.13，0，356，−6，0.15，10，−12，−12，0.1010010001… 正有理数集合{ ……}负分数集合{ ……}负整数集合{ ……}非负有理数集合{ ……} 11. 下列各数中：227，−|−2|，0，π，−(−43)，0.32，正有理数有__________个． 12. 有理数中最大的负整数是_____________，小于3的非负整数有____________________．13. 观察下列两个等式：2−13=2×13+1，5−23=5×23+1，给出定义如下：我们称使等式a −b =ab +1成立的一对有理数a ，b 为“共生有理数对”，记为(a,b)，如：数对(2,13)，(5,23)，都是“共生有理数对”．(1)数对(−2,1)，(3,12)中是“共生有理数对”的是_____；(2)若(m,n)是“共生有理数对”，则(−n,−m)_____“共生有理数对”(填“是”或“不是”)；(3)请再写出一对符合条件的“共生有理数对”为_____；(注意：不能与题目中已有的“共生有理数对”重复)三、解答题（本大题共5小题，共40.0分） 14. 将下列各数填在相应的集合里：−3.8，−10，4.3，−|−207|，42，0，−(−35)．整数集合：________分数集合：________正数集合：________负数集合：________15.请把下列各数分类，并放在相应的集合里．−245，8.9，−7，52，0，1，|−3.2|，28，−(+12)16.任意写出3个数(不能重复)，同时满足下列三个条件：①其中2个数是非正数，②其中2个数是非负数；③3个数都是有理数．17.把几个数用大括号括起来，相邻两个数之间用逗号隔开，如：{2,3}，{4,5，6}，…，我们称之为集合，其中每一个数称为该集合的元素，如果一个所有元素均为有理数的集合满足：当有理数x是集合的一个元素时，2019−x也必是这个集合的元素，3/ 9这样的集合我们又称为黄金集合．例如{0,2019}就是一个黄金集合，(1)集合{2019}______黄金集合，集合{−1,2020}______黄金集合；(填“是”或“不是”)(2)若一个黄金集合中最大的一个元素为4019，则该集合是否存在最小的元素？如果存在，请求出这个最小元素，否则说明理由；(3)若一个黄金集合中所有元素之和为整数M，且16150<M<16155，则该黄金集合中共有多少个元素？请说明你的理由．18.观察下列两个等式：3+2=3×2−1，4+53=4×53−1，给出定义如下：我们称使等式a+b=ab−1成立的一对有理数a，b为“椒江有理数对”，记为(a,b)，如：数对(3,2)，(4,53)都是“椒江有理数对”．(1)数对(−2,1)，(5,32)中是“椒江有理数对”的是______；(2)若(a,3)是“椒江有理数对”，求a的值；(3)若(m,n)是“椒江有理数对”，则(−n,−m)______“椒江有理数对”(填“是”、“不是”或“不确定”)；(4)请再写出一对符合条件的“椒江有理数对”______．(注意：不能与题目中已有的“椒江有理数对”重复)5 / 9答案和解析C解：A.正有理数、0、负有理数统称为有理数，此项错误；B .错误，正整数，0，负整数统称为整数，此项错误；C .正整数、0、负整数、正分数、负分数统称为有理数，此项正确；D .0不是有理数 ，此项错误．2. B解：分数有−0.2、211、−29、3.14，共有4个．3. B解：在−(−8),(−1)2019,−32,−|−1|,中，负有理数有(−1)2019,−32,−|−1|,共3个．4. D解：由题意可知x =±√10所以A 、B 、C 选项错误D 选项正确，5. C解：A.0是最小的自然数，正确，不符合题意；B .0是非负数，正确，不符合题意；C .0是正数也是有理数，错误，符合题意；D .0既不是正数，也不是负数，正确，不符合题意．6. C解：−6.91，0.3˙是小数，是有理数，也是分数．7. D解：A 、没有最小的有理数，故本选项错误；B 、一个有理数不是正数就是负数或0，故本选项错误；C 、分数是有理数，故本选项错误；D 、没有最大的负数，故本选项正确；8. C解：在−53，3.3，−3.14，+4，−1，237中，整数有：+4，−1，共2个，负数有：−53，−3.14，−1，共3个，所以a =2，b =3，所以a +b =5，9. (1)4(2)4解：(1)整数有：2，−2005，0，+|−6|，共4个；(2)正分数有：0.6，3.142，50％，79，共4个．10. 6.8，213，0.8，，0.15，10； −6.13，−12；−9，−6，−12；6.8，213，0.8，，0，0.15，10．解：有题意可知：正有理数集合：6.8，213，0.8，，0.15，10， 负分数集合：−6.13，−12，负整数集合：−9，−6，−12，非负有理数集合：6.8，213，0.8，，0，0.15，10， 故答案为：6.8，213，0.8，，0.15，10；−6.13，−12；−9，−6，−12；6.8，213，0.8，，0，0.15，10．11.3解：正有理数有227，−(−43)，0.32，共有3个.12.−1；0，1，2解：由数轴可知：有理数中最大的负整数为−1，小于3的非负整数为0，1，2．13.(1)(3,12)(2)是(3)(4,35)或(6,57).解：(1)−2−1=−3，−2×1+1=−1，∴−2−1≠−2×1+1，∴(−2,1)不是“共生有理数对”，∵3−12=52，3×12+1=52，∴3−12=3×12+1，∴(3,12)是“共生有理数对”；(2)是．理由：−n−(−m)=−n+m，−n⋅(−m)+1=mn+1，∵(m,n)是“共生有理数对”，∴m−n=mn+1，∴−n+m=mn+1，∴(−n,−m)是“共生有理数对”；(3)(4,35)或(6,57).14.解：由题意得整数集合：{−10,42,0…}分数集合：{−3.8,4.3,−|−207|,−(−35)…}正数集合：{4.3,42,−(−35)…}负数集合：{−3.8,−10,−|−207|…}．7/ 915. 解： |−3.2|=3.2； −(+12)=−12．16. 解：因为非正数包括负数和0，非负数包括正数和0，又由于3个数(不能重复)满足2个数是非正数，且满足2个数是非负数，则3个有理数中有一个0，1个正数，1个负数．故这三个数可写为1、0、−1．17. 不是 是解：(1)根据题意可得，2019−2019=0，而集合{2019}中没有元素0，故{2019}不是黄金集合；∵2019−2020=−1，∴集合{−1,2020}是黄金集合．故答案为：不是，是．(2)一个黄金集合中最大的一个元素为4019，则该集合存在最小的元素，该集合最小的元素是−2000．∵2019−a 中a 的值越大，则2019−a 的值越小，∴一个黄金集合中最大的一个元素为4019，则最小的元素为：2019−4019=−2000．(3)该集合共有16个元素．理由：∵在黄金集合中，如果一个元素为a ，则另一个元素为2019−a ，∴黄金集合中的元素一定是偶数个．∵黄金集合中的每一对对应元素的和为：a +2019−a =2019，2019×8=16152，2019×9=18171，又∵一个黄金集合所有元素之和为整数M ，且16150<M <16155，∴这个黄金集合中的元素个数为：8×2=16(个)．18. (1)(5,32)；(2)由题意得：a +3=3a −1，解得a =2；(3)不是；(4)(6,1.4)．解：(1)−2+1=−1，−2×1−1=−3，∴−2+1≠−2×1−1，∴(−2,1)不是“椒江有理数对”，∵5+32=132，5×32−1=132，∴5+32=5×32−1，∴(5,32)是“椒江有理数对”，故答案为：(5,32)；(2)见答案；(3)不是，理由：−n+(−m)=−n−m，−n⋅(−m)−1=mn−1∵(m,n)是“椒江有理数对”，∴m+n=mn−1，∴−n−m=−(mn−1)=−(−n)×(−m)+1=−[(−n)×(−m)−1]，∴(−n,−m)不是“椒江有理数对”，故答案为：不是；(4)(6,1.4)等，故答案为：(6,1.4)．9/ 9。

第2课时 有理数与无理数【基础巩固】1．判断题．(1)一个整数不是正数就是负数． ( )(2)最小的整数是0． ( )(3)负数中没有最大的数． ( )(4)自然数一定是正整数． ( )(5)有理数包括正有理数、0和负有理数． ( )(6)整数就是正整数和负整数． ( )(7)0是整数但不是正数， ( )(8)正数、负数统称为有理数． ( )(9)非负有理数是指正有理数和0． ( )(10)无理数包括正无理数和负无理数． ( )(11)两个无理数的商一定是无理数． ( )2．0是 ( )A ．最小的正数B ．最大的负数C ．最小的有理数D ．整数3．下列判断中，你认为正确的是 ( )A ．0的倒数是0B ．2 是分数C ．－1.2大于1D ．0.555…是分数4．下列各数是正整数的是 ( )A ．－1B ．2C ．0.5D ．π5．下列分数中，能化为有限小数的是 ( )A ．13B ．15 C ．17 D ．19 6．在0，1，1.010010001…，3.1415 926中，无理数的个数为 ( )A ．0个B ．1个C ． 2个D ．3个7．根据下图所示，对a 、b 、c 三种物体的质量判断正确的是 ( )A ．a<cB ．a<bC ． a>cD ．b<c8．把下列各数填在相应的集合中：－7，3.5，－3.14，π，0，1713，0.03%，－314，10． 自然数集合：{…}； 整数集合：{…}； 负数集合：{…}； 正分数集合：{…}；正有理数集合：{ …}；无理数集合：{ …}．9．在下表适当的空格里画上“√”．10．某机器零件的长度设计为100 mm，加工图纸的标准尺寸为(100±0.5)mm，这里±0.5代表什么意思？合格新产品的长度范围是多少？11．学校对七年级男生进行立定跳远测试，以1.7 m及以上为达标，超过1.7 m的厘米数用正数表示，不足1.7 m的厘米数用负数表示，第一组10名男生成绩如下(单位：cm)：问第一组有百分之几的学生达标？【拓展提优】12．在有理数中举出三个整数________，_______，_______．13．请写出一个大于1且小于2的无理数：_______．14．在－1.313313331，－13，0，π，4中，无理数有_________个．15．观察下面一列数：－1，2，－3，4，－5，6，－7，…，将这列数排成下图的形式：按照上述规律排下去，那么第10行从左边起第9个数是________．16．搭建如图①的单顶帐篷需要17根钢管，这样的帐篷按图②，图③的方式串起来搭建，则串7顶这样的帐篷需要________根钢管．17．观察下列图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，第9个图形中共有________个★．18．某综合性大学拟建校园局域网络，将大学本部A和所属专业学院B、C、D、E、F、G之间用网线连接起来，经过测算，网线费用如图所示(单位：万元)，每个数字表示对应网线(线段)的费用，实际建网时，部分网线可以省略不建，但本部及所属专业学院之间可以传递信息，那么建网所需的最少网线费用为________万元．19．在明尼苏达州的一个城市，1月1日上午6：00的温度是－30华氏度，在接下来的8h 里，温度上升了38华氏度，在紧接之后的12 h里，温度下降了12华氏度，最后4h内，温度上升了15华氏度，那么在1月2日上午6：00的温度是多少？20．邮递员骑车从邮局出发，先向南骑行2 km到达A村，继续向南骑行3 km到达B村，然后向北骑行9 km到达C村，最后回到邮局．(1)C村离A村有多远？(2)邮递员一共骑行了多少千米？参考答案【基础巩固】1．(1)×(2)×(3)√(4)×(5) √(6)×(7) √(8)×(9) √(10) √(11)×2．D3．D 4．B5．B 6．B 7．C 8．0，10 －7，0，10 －7，－3.14，－31 43.5，1713，0.03% 3.5，1713，0.03%，10 π9．略10.与标准尺寸的差在0.5 mm以内99.5~100.5 mm 11．70%【拓展提优】12．答案不唯一，如：1，2，3 13(答案不唯一)14．1 15．90 16．83 17．28 18．919．11华氏度20．(1)6km(2)18 km。

七年级上册有理数与⽆理数知识讲解和巩固练习有理数与⽆理数知识讲解【学习⽬标】1、理解有理数的意义，知道⽆理数是客观存在的，了解⽆理数的概念.2、会判断⼀个数是有理数还是⽆理数.【要点梳理】要点⼀、有理数我们把能够写成分数形式m(m,n是整数，n丰0)的数叫做有理数.要点诠释：(1)有限⼩数和循环⼩数都可以化为分数，他们都是有理数.(2)所有整数都可以写成分母是1的分数，因此可以理解为整数和分数统称为有理数.要点⼆、⽆理数1 .定义：⽆限不循环⼩数叫做⽆理数.要点诠释：(1)⽆理数的特征：⽆理数的⼩数部分位数⽆限.⽆理数的⼩数部分不循环，不能表⽰成分数的形式.(2)⽬前常见的⽆理数有两种形式：①含⼆类.②看似循环⽽实质不循环的数,如: 1.313113111 …….2. 有理数与⽆理数的区别(1)⽆理数是⽆限不循环⼩数，有理数是有限⼩数或⽆限循环⼩数.(2)任何⼀个有理数都可以化为分数的形式，⽽⽆理数则不能. 要点三、循环⼩数化分数1 .定义：如果⼀个⽆限⼩数的各数位上的数字，从⼩数部分的某⼀位起，按⼀定顺序不断重复出现，那么这样的⼩数叫做⽆限循环⼩数，简称循环⼩数，其中重复出现的⼀个或⼏个数字叫做它的⼀个循环节.2.纯循环⼩数从⼩数点后⾯第⼀位起就开始循环的⼩数，叫做纯循环⼩数.例如：0. 666…、0.2 ..纯循环⼩数化为分数的⽅法是：分⼦是⼀个循环节的数字组成的数；分母的各位数字都是9, 9的个数等于⼀个循环节的位数.例如0.3 -, 0.18^1897.999 373. 混循环⼩数如果⼩数点后⾯的开头⼏位不循环，到后⾯的某⼀位才开始循环，这样的⼩数叫做混循环⼩数.例如：0.12、0. 3456456….混循环⼩数化为分数的⽅法是：分⼦是不循环部分和⼀个循环节的数字组成的数减去不循环部分的数字组成的数所得的差，分母就是按⼀个循环节的位数写⼏个9,再在后⾯按不循环部分的位数添写⼏个0组成的数.35100 1399900 37 990 110 900 25 99900要点诠释：(1)任何⼀个循环⼩数都可化为分数.(2)混循环⼩数化分数也可以先化为纯循环⼩数，然后再化为分数.【典型例题】类型⼀、有理数【答案】B【总结升华】概念问题同学们往往忽略 0的存在⽽模糊分类的界限，只有对定义达到真正的理解认识才不会出错.举⼀反三:【变式1】下列说法：①⼀个有理数不是整数就是分数；②有理数包括正有理数和负有理数；③分数可分为正分数和负分数；④存在最⼤的负整数；⑤不存在最⼩的正有理数.其中正确的个数是（）A. 2个B . 3个C . 4个D . 5个【答案】C【变式 2】（2015?杭州模拟）⼀是B .有限⼩数 C.⽆限循环⼩数D .⽆限不循环⼩数【答案】C在实数⼆，0,7■|W,- 1.414 ,有理数有（）A. 1个 B . 2个 C.3个D.4个【思路点拨】根据有理数是有限⼩数或⽆限循环⼩数，可得答案.【答案】D 【解析】解0,'■,- 1.414，是有理数，7【总结升华】本题考查了有理数，有理数是有限⼩数或⽆限循环⼩数. 类型⼆、⽆理数3. （2016?盐城）下列实数中，是⽆理数的为（）A.- 4 B . 0.101001 C . — D . :3【思路点拨】⽆理数就是⽆限不循环⼩数. 理解⽆理数的概念，⼀定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称. 即有限⼩数和⽆限循环⼩数是有理数，⽽⽆限不循环⼩数是⽆理数.由此即可判定选择项. 【答案】DA. 整数就是正整数和负整数C.正有理数和负有理数统称有理数 B分数包括正分数、负分数 D.⽆限⼩数叫做⽆理数【解析】A 选项整数包括正整数、负整数和D 选项⽆限不循环⼩数才叫做⽆理数，所以选0;C 选项正有理数、负有理数和 0统称有理数;B .【解析】解：A 、- 4是整数，是有理数，故本选项不符合题意；B 0.101001是⼩数，属于分数，故本选项不符合题意；C ⼆是⼩数，属于分数，故本选项不符合题意；3 D 「是⽆理数，正确；故选D.【总结升华】此题主要考查了⽆理数的定义，其中初中范围内学习的⽆理数有： n , 2n 等;开⽅开不尽的数；以及像 0.1010010001…，等有这样规律的数.举⼀反三：【变式】以下各正⽅形的边长是⽆理数的是()A.⾯积为25的正⽅形；B.⾯积为16的正⽅形；C.⾯积为8的正⽅形； D.⾯积为1. 44的正⽅形.【答案】C4?将下列各数填⼊相应的括号内A3兀,-2 , -- , 3. 020020002…，0, ⼀ , - (-2 ), 2012,- 0.23整数集合：{ -2 , 0 , - (-2 ), 2012 } 分数集合：:-1 ,负有理数集合：；、-2, -1，- 0.23 /2⽆理数集合：〈 3,3. 020020002…，/【总结升华】本题考查了对有理数的有关概念的理解和应⽤，关键是能区分有关定义，注意:整数包括正整数、0、负整数；有理数包括正有理数、 0、负有理数；⽆理数是指⽆限不循环⼩数.类型三、循环⼩数化分数5?把下列循环⼩数化分数27 整数集合：:/分数集合：: /负有理数集合：f /⽆理数集合：: /【答案与解析】6 2 (1)0.6 = -=-93* * 102 4 * (2)0.102 -…-所以和.999333…：：215-221371(3)0215-⼀—-990990330353-35 31353 (4) 6 353-6—=6-=6-------900900150102 34 —2 __ —2 __丽-333【总结升华】循环⼩数化分数时，整数部分不动，在掌握两种化简规律的基础上把⼩数部分进⾏相应的化简即可.举⼀反三：【变式】在6.4040…、3.333、数可以写作9. 505三个数中, 是循环⼩数，把这个数化为分40【答案】6.4040…；6 —99【巩固练习】⼀、选择题1 .下列说法错误的是（负整数和负分数统称负有理数A.B.C.D. 正整数，0，负整数统称为整数正有理数与负有理数组成全体有理数3.14是⼩数，也是分数2. （2016春?⽂昌校级⽉考）下列说法：①-2.5既是负数、分数，也是有理数；②-22既是负数、整数，也是⾃然数；③0既不是正数，也不是负数，但是整数;④0是⾮负数.其中正确的有（A. 1个3. 0这个数是A.正数B4. 对于有理数a, ）下列说法中正确的是（B D. 4个.整数 D .⽆理数A. a表⽰正有理数C. a与-a中，必有⼀个是负有理数5. 下列说-a表⽰负有理数.a Xa是⾮负数（1） 0 6 （2）1W2 （3）0215；（4）6 353【思路点拨】按循环⼩数化分数的规律⽅法化即可.【答案与解析】A. 不循环⼩数是⽆理数B. ⽆限不循环⼩数是⽆理数C. ⽆理数⼤于有理数D. 两个⽆理数的和还是⽆理数 6.把循环⼩数6.142化成分数是（）0, - （-2.28 ）, 3.14 .正有理数集合：｛负有理数集合：｛整数集合：｛负分数集合：｛15.试验与探究我们知道 1写为⼩数即0.3,反之，⽆限循环⼩数0.3写成分数即1. ⼀般 33地，任何⼀个⽆限循环⼩数都可以写成分数形式.现在就以 0.7为例进⾏讨论：设 0.7 =x ,10x-x=7，解⽅程得x=—，于是得0.7= 7 .请仿照上述例题完99成下列各题:（1）请你把⽆限循环⼩数 0.5写成分数，即0.5=.⼋ J42 DA . 6B999⼆、填空题7. & 9.6—C456999 D统称有理数.写出⼀个⽐-4⼤的负⽆理数 _________________ . 已知a 为有理数，b 为⽆理数，你们 a+b 为_ 10.在—1, 0.2 , , 3, 0, - 0.3 , 中,5 2 负分数有，整数有11 . （2016春?丰城市期末）在 __, 3.141597是⽆理数的个数有 _________________ 个.12. _____________________________ 0.2666??化为分数是 _______________________________ . 三、解答题, 0.6 , 0，竝，⼆中36个数填⼊这两个圈中合适的位置.…}, …},…},…}.由0.7 =0. 7777…,可知,（2）你能化⽆限循环⼩数0.73位分数吗？请仿照上述例⼦求之.【答案与解析】⼀、选择题1. 【答案】C【解析】正有理数与0,负有理数组成全体有理数，C错误.2. 【答案】C【解析】解：①-2.5既是负数、分数，也是有理数，正确；②-22既是负数、整数，但不是⾃然数，错误；③0既不是正数，也不是负数，但是整数，正确；④0是⾮负数，正确；故选C.3. 【答案】C4. 【答案】D【解析】当a v 0是，a表⽰负有理数，-a表⽰正有理数，故A、B选项错误；当a=0 时，a和-a都不表⽰负有理数，故C选项错误；所以选D.5. 【答案】B【解析】⽆限⼩数也可能是有理数如0.333…，⽆理数⼤于有理数也不⼀定如果⽆理数是负数有理数是正数就不成⽴，两个⽆理数的和可能为0如⼆+ （-⼆）=0.6. 【答案】D【解析】6.142 =6142_14竺丸-32.900 900 225⼆、填空题7. 【答案】整数；分数&【答案】-⼆（答案不唯⼀）9. 【答案】⽆理数【解析】如3+3.333…=3.333….10. 【答案】-，-0.3 ； - 1 , 3, 0.511. 【答案】3.【解析】解：⼆是有理数，3.14159是⼀个有限⼩数，是有理数，⼆是⽆理数，-8 7是有理数，誇T是⽆理数，0.6是有理数，0是有理数，W=6是有理数，-^是⽆理数.故答案为：3.412. 【答案】⼀1526-2 24 4【解析】0.2666…===—.90 90 15三、解答题13. 【解析】991{3 , 2.004 , 1- , - (-2 . 28),3.14 . …},410, -0.15，…},315.【解析】99"72(2) 设 0.73=y ，由0.73=0. 7373…,可知，100y-y=73，解⽅程得 y=「,于是得0.73 =⾍.99整数集合：｛3 , 。

有理数和无理数的概念与演习 【1 】常识清单1界说：有理数：我们把可以或许写成分数情势nm (m.n 是整数,n≠0)的数叫做有理数. 无理数：①无穷②不轮回小数叫做无理数.2有理数的分类整数和分数都可以写成分数的情势,它们统称为有理数.零既不是正数,也不是负数.有限小数和无穷轮回小数是有理数.3无理数的两个前提前提： （1） 无穷（2）不轮回4两者的差别：（1）无理数是无穷不轮回小数,有理数是有限小数或无穷轮回小数.（2）任何一个有理数后可以化为分数的情势,而无理数则不克不及. 经典例题例1：下列各数中,哪些是有理数？哪些是无理数？ -3,3π,-61,0.333…,3.30303030…,42,-3.1415926,0,3.101001000……（相邻两个1之间0的个数逐个加1）,面积为π的圆半径为r.例2：下列说法准确的是：（）A.整数就是正整数和负整数B.分数包含正分数.负分数闯关全练一.填空题：（1）我们把可以或许写成分数情势nm (m.n 是整数,n≠0)的数叫做. （2）有限小数和都可以化为分数,他们都是有理数.（3）小数叫做无理数.（4）写出一个比-1大的负有理数.（1）无理数与有理数的差都是有理数;（2）无穷小数都是无理数;（3）无理数都是无穷小数;（4）两个无理数的和不一定是无理数.（5）有理数不一定是有限小数.答案例1： 无理数有：3π,0,3.101001000……,（相邻两个1之间0的个数逐个加1） 有理数有：-3,-61,0.333…,3.30303030…,42,-3.1415926,0,面积为π的圆半径为r 例2：B （A,还有0 C,还有0 D,无穷不轮回） 闯关全练一.（1）有理数（2）无穷轮回小数.（3）无穷不轮回小数.（4）答案不独一,如：-0.5二.（1）错,如3π-0=3π （2）错,如：0.333…（3）对,无理数的两个前提前提之一无穷（4）对,3π+（-3π）=0 （5）对,如：0.333…。

2022-2023学年七年级数学上学期复习备考高分秘籍（苏科版）专题1.1有理数的有关概念12大考点精讲精练（知识梳理+典例剖析+变式训练）【目标导航】【知识梳理】一、正数和负数1、在以前学过的0以外的数叫做正数，在正数前面加负号“-”，叫做负数，一个数前面的“+”“-”号叫做它的符号．2、0既不是正数也不是负数．0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数．3、用正负数表示两种具有相反意义的量．具有相反意义的量都是互相依存的两个量，它包含两个要素，一是它们的意义相反，二是它们都是数量．二、有理数与无理数1、有理数的概念：整数和分数统称为有理数．2、如果一个数是小数，它是否属于有理数，就看它是否能化成分数的形式，所有的有限小数和无限循环小数都可以化成分数的形式，因而属于有理数，而无限不循环小数，不能化成分数形式，因而不属于有理数．3、（1）、定义：无限不循环小数叫做无理数．说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．如圆周率、2的平方根等．（2）、无理数与有理数的区别：　①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数， 比如4=4.0，13=0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如2=1.414213562．　②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能．三、数轴（1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．（2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）（3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．四、相反数（1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．（2）相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等．（3）多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“-”号结果为负，有偶数个“-”号，结果为正．（4）规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“-”，如a的相反数是-a，m+n的相反数是-（m+n），这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号．五、绝对值（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．①互为相反数的两个数绝对值相等；②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．③有理数的绝对值都是非负数．（2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：①当a是正数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负数时，a的绝对值是它的相反数-a；③当a是零时，a的绝对值是零．（3）绝对值的非负性任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．根据上述的性质可列出方程求出未知数的值．六、科学记数法（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】（2）规律方法总结：①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．【典例剖析】专题1.1有理数的有关概念12大考点精讲精练（七上苏科）【考点1】数学与生活【例1】（2022·江苏泰州·七年级期末）下列所给数据中，能反映出一瓶矿泉水重量的是（）．A．500毫克B．500克C．500千克D．500吨【答案】B【分析】根据生活常识，即可得到一瓶矿泉水重量．【详解】解：能反映出一瓶矿泉水重量的是500克．故选：B．【点睛】本题考查了数学常识，是基础题型，比较简单．【变式1.1】（2022·江苏·七年级专题练习）下列人或物中，质量最接近1吨的是（ ）A．1000枚1元硬币B．25名小学生C．5000个鸡蛋D．10辆家用轿车【答案】B【分析】质量单位有：吨、千克、克，本题中结合实际情况选择合适的计量单位即可判断出答案．例如：1名六年级的学生大约重40kg，求出25名学生的重量；1个鸡蛋大约50g，求出5000个鸡蛋的重量等等．【详解】解：1吨＝1000千克，A、1元硬币1个大约6 g，1000×6 g＝6000 g＝6kg，故此选项不符合题意；B、六年级的学生体重大约40kg，25×40kg＝1000kg，故此选项符合题意；C、1个鸡蛋大约50g，5000×50g＝250000g＝250kg，故此选项不符合题意；D、1辆家用轿车大约1500kg，10×1500kg＝15000kg，故此选项不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查了根据情景选择合适的计量单位，联系生活实际、计量单位，算出这些数据的大小再选择是解题的关键．【变式1.2】（2022·江苏·七年级）如图，“英寸”是电视机常用尺寸，1英寸约为大拇指第一节的长，则9英寸长相当于（ ）A．一支粉笔的长度B．课桌的长度C．黑板的宽度D．数学课本的宽度【答案】D【分析】根据题意可得1英寸约为大拇指第一节的长，大约有3--4厘米，即可估算求解．【详解】解：根据题意可得1英寸约为大拇指第一节的长，大约有3--4厘米，所以9英寸长相当于数学课本的宽度．故选D．【点睛】本题属于基础题，考查了基本的计算能力和估算的能力，解答时可联系生活实际去解．【变式1.3】（2022·江苏·七年级）下面四位数学家里有三位对π进行了深入的研究，其中有一位研究方向在其他方面，这位数学家是()A．祖冲之B．张衡C．刘徽D．杨辉【答案】D【分析】根据中国古代数学家对圆周率的研究逐项判断即可.【详解】A、祖冲之，他在刘徽开创的探索圆周率的精确方法的基础上，首次将“圆周率π”精算到小数第七位，他提出的“祖率”对数学的研究有重大贡献B、张衡，他研究过球的外切立方体积和内接立方体积，研究过球的体积，其中还定圆周率值为10的开方，这个值比较粗略，但却是中国第一个理论求得π的值C、刘徽，首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法D、杨辉，他的数学研究重点在于改进筹算乘除计算技术，总结各种乘除捷算法故选：D.【点睛】本题考查了关于圆周率的史实，掌握相关史实是解题关键.【考点2】正数和负数【例2】（2022·江苏·七年级专题练习）当我们把其中一种意义的量规定为正，用正数表示，则与它具有相反意义的量直接可以用负数表示．例：中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数．如果收入100元记作+100元．那么﹣80元表示（ ）A．支出20元B．收入20元C．支出80元D．收入80元【答案】C【分析】首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答．【详解】解：根据题意，收入100元记作+100元，则﹣80表示支出80元．故选：C【点睛】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．【变式2.1】（2022·江苏·七年级专题练习）规定：（↑30）表示零上30°C，记作+30，（↓5）表示零下5°C，记作（）A．+5B．−5C．+15D．−15【答案】B【分析】先明确“正”和“负”所表示的意义，然后根据题意作答即可．【详解】解：规定：（↑30）表示零上30摄氏度，记作+30；则（↓5）表示零下5摄氏度，记作﹣5．故选：B．【点睛】本题考查了正数和负数表示相反意义，弄清题意、知道“正”和“负”所表示的意义是解答本题的关键．【变式2.2】（2022·江苏南通·七年级期末）规定：(→2)表示向右移动2，记作＋2，则(←5)表示向左移动5，记作（）A．＋5B．－5C．15D．－15【答案】B【分析】根据题意，在表示相反意义的量中，规定其中一个为正，则另一个为负，即可得出答案．【详解】解：因为(→2)表示向右移动2，记作＋2，∴则(←5)表示向左移动5，记作－5；故选B【点睛】本题考查正负数的概念，解题的关键在于理解相反意义的量．【变式2.3】（2022·江苏·七年级专题练习）在－3，36，＋25，－0.01，0，−34中，负数的个数为（）A．2个B．3个C．3个D．4个【点睛】本题考查了正数和负数，掌握正数和负数的定义是解题的关键．【考点3】有理数与无理数【例3】（2022·江苏·泰州市姜堰区南苑学校七年级）下列说法正确的是（）A．整数包括正整数和负整数B．零是整数，但它既不是正数，也不是负数C．分数包括正分数、负分数和零D．一个数不是正数就是负数【答案】B【分析】根据有理数的分类依据即可判断．【详解】A.整数包括正整数、负整数和零，故该选项说法错误，不符合题意；B.零是整数，但不是正数，也不是负数，故该选项说法正确，符合题意；C.分数包括正分数、负分数，故该选项说法错误，不符合题意；D.一个数不是正数就是负数，还有零，故该选项说法错误，不符合题意．故选：B．【点睛】此题主要考查有理数的分类，解题的关键是熟知有理数的分类特点．【变式3.1】（2022·江苏·泰州市姜堰区南苑学校七年级）下列各数中，是无理数的是（）A．−2B．1.6C．1.010010001D．2π【答案】D【分析】根据无理数的概念即可解答．【详解】解：A. −2是整数，不是无理数，不符合题意；B. 1.6是小数，不是无理数，不符合题意；C. 1.010010001是小数，不是无理数，不符合题意；D. 2π是无理数，符合题意．故选D．【点睛】本题主要考查了无理数的定义，无理数就是无限不循环小数．初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及0.1010010001…等有这样规律的数．【变式3.2】（2022·江苏·七年级专题练习）下列数中既是分数又是负数的是（ ）A．5.2B．0C．﹣2D．﹣2.5【答案】D【分析】利用分数及负数的分类判断即可得到结果．【详解】解：A、5.2是分数，但不是负数，故本选项不合题意；B、0是整数，故本选项不合题意；C、﹣2是负数，但不是分数，故本选项不合题意；D、﹣2.5既是分数，又是负数，故本选项符合题意．故选：D ．【点睛】此题考查分数和负数，熟练掌握分数及负数的分类是解本题的关键．【变式3.3】（2022·江苏·七年级专题练习）在-0.8、3.5、23、0、π2、3.01001001…（每两个1之间0的个数逐次增加1）中，有理数的个数共有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【例4】（2022·江苏·泰州市姜堰区南苑学校七年级）数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度为1cm ，若在数轴上画出一条长2007cm 的线段AB ，则AB 盖住的整点个数是（ ）A ．2005或2006B ．2006或2007C ．2007或2008D ．无法确定【答案】C【分析】根据线段的位置分为两种：起点在整点、不在整点两种，分别得到整点的个数即可．【详解】依题意得：①当线段AB 起点在整点时覆盖2008个数（因为相邻两个数之间的距离为1cm ，可以参考图1）；②当线段AB 起点不在整点，即在两个整点之间时覆盖2007个数（可以参考图2）．故选：C ．【点睛】本题主要考查了利用数轴确定有理数的个数，正确理解题意利用数形结合和分类讨论的思想求解是解题的关键．【变式4.1】（2022·江苏·泰州市姜堰区南苑学校七年级）如图，数轴上点M所表示的数可能是（）A．1.5B．−1.6C．−2.6D．−3.4【答案】C【分析】根据数轴上的点表示数的方法得到点M表示的数大于-3且小于-2，然后分别进行判断即可．【详解】解：∵点M表示的数大于-3且小于-2．∴A、B、D三选项错误，C选项正确．故选C．【点睛】本题考查了数轴：数轴有三要素，原点左边的点表示负数，右边的点表示正数．【变式4.2】（2022·江苏·七年级专题练习）如图，数轴上点D对应的数为d，则数轴上与数﹣3d对应的点可能是（ ）A．点A B．点B C．点D D．点E上的位置如图所示，则a，-b，-a，b从大到小的顺序为（）A．b>−a>a>−b B．−a>−b>b>aC．−b>a>−a>b D．b>a>−a>−b【答案】A【分析】根据数轴上点的位置可得a<0<b，|a|<|b|，据此求解即可．【详解】解：由题意得：a<0<b，|a|<|b|，∴−b<a<−a<b，故选A．【点睛】本题主要考查了根据数轴上点的位置比较有理数的大小，正确得到a<0<b，|a|< |b|是解题的关键．【考点5】相反数【例5】（2021·江苏·南通市东方中学七年级阶段练习）下列各对数中，互为相反数的是（ ）A．+（﹣2）和﹣|﹣2|B．﹣5和﹣（﹣5）C．+（﹣3）和﹣3D．﹣1和22A．|+1|与|﹣1|B．﹣（﹣1）与1C．|﹣（﹣3）|与﹣|﹣3|D．﹣|+2|与+（﹣2）【答案】C【详解】根据相反数和绝对值的定义化简各选项中的数即可得出答案．【解答】解：A选项，1与1不是相反数，故该选项不符合题意；B选项，1与1不是相反数，故该选项不符合题意；C选项，3与﹣3是相反数，故该选项符合题意；D选项，﹣2与﹣2不是相反数，故该选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了相反数，绝对值，掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键．【变式5.2】（2021·江苏·无锡市东林中学七年级期中）下列化简正确的是（）A．+(−2)=2B．−(−3)=3C．+(+3)=−3D．−(+2)=2【答案】B【分析】根据去括号法则：括号前面是“+”时，去掉括号，括号内的数的符号不变，括号前面是“-”时，去掉括号后，括号内的数改变符号，依次进行判断即可得．【详解】解：A、+(−2)=−2，选项说法错误，不符合题意；B、−(−3)=3，选项说法正确，符合题意；C、+(+3)=3，选项说法错误，不符合题意；D、−(+2)=−2，选项说法错误，不符合题意；故选B．【点睛】本题考查了去括号法则，解题的关键是掌握去括号法则．【变式5.3】（2022·江苏南京·七年级阶段练习）A，B是数轴上两点，线段AB上的点表示的数中，有互为相反数的是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】数轴上互为相反数在原点两侧，并且到原点的距离相等，通过观察线段AB上的点与原点的距离就可以做出判断．【详解】解：表示互为相反数的点，必须要满足在数轴原点的左右两侧，从四个答案观察发现，只有B选项的线段AB符合，其余答案的线段都在原点的同一侧，所以可以得出答案为B．故选：B．【点睛】本题考查了互为相反数的概念，解题关键是要熟悉互为相反数概念，数形结合观察线段AB上的点与原点的距离．【考点6】绝对值【例6】（2022·江苏扬州·七年级期末）已知a，b的位置如图，则|b−a|−|a+b|的值为（ ）A．0B．－2b C．－2a D．2b－2a【答案】B【分析】结合数轴可知：b＜0＜a，进一步可知：b−a＜0，a+b＞0，再去绝对值即可．【详解】解：由图可知：b＜0＜a，∴b−a＜0，a+b＞0，∴|b−a|−|a+b|=a−b−(a+b)=a−b−a−b=−2b．故选：B【点睛】本题考查根据数轴上的点判断式子的正负，去绝对值，解题的关键是根据数轴得出b＜0＜a，得出b−a＜0，a+b＞0．【变式6.1】（2021·江苏泰州·七年级期末）−2021的绝对值是（）A．2021B．−2021C．12021D．−12021【答案】A【分析】根据绝对值的定义直接求解．【详解】解：−2021是负数，绝对值是它的相反数2021，故选A．【点睛】本题考查绝对值的定义，解题的关键是掌握“正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值还是0”．【变式6.2】（2022·江苏淮安·七年级期末）下列说法正确的是（）A．任何数的绝对值都是正数B．如果两个数不等，那么这两个数的绝对值也不相等C．任何一个数的绝对值都不是负数D．只有负数的绝对值是它的相反数【答案】C【分析】数轴上表示数a的点与原点的距离是数a的绝对值，非负数的绝对值是它的本身，非正数的绝对值是它的相反数，互为相反数的两个数的绝对值相等，再逐一分析各选项即可得到答案.【详解】解：任何数的绝对值都是非负数，故A不符合题意；如果两个数不等，那么这两个数的绝对值可能相等，也可能不相等，比方4≠−4,但|4|=|−4|,故B不符合题意；任何一个数的绝对值都不是负数，表述正确，故C符合题意；非正数的绝对值是它的相反数，故D不符合题意；故选C【点睛】本题考查的是绝对值的含义，求解一个数的绝对值，掌握“绝对值的含义”是解本题的关键.【变式6.3】（2021·江苏南通·七年级期中）现有四种说法：①−a表示负数；②若a<b<0，则|a|>|b|；③绝对值最小的有理数是0；④若|a|=|b|，则a=b，其中正确的是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【分析】根据正数和负数的定义以及绝对值的性质求解即可．【详解】解：①当a=0时，−a是0，故①错误；②若a<b<0，则|a|>|b|，故②正确；③对值最小的有理数是0，故③正确；④若|a|=|b|，则a=b或a=−b，故④错误；其中正确的有：②③，共2个，故选：B．【点睛】本题主要考查的是正数和负数、绝对值的定义和性质，掌握正数和负数的定义、绝对值的性质以及比较有理数大小的方法是解题的关键．【考点7】绝对值的非负性【变式7】（2020·江苏镇江·七年级阶段练习）若(x﹣2)2+|y+1|=0，则x﹣y等于（）A．−2B．1C．−4D．3【答案】D【分析】根据非负数的性质知(x﹣2)2=0，|y+1|=0，可求出x、y的值，然后将它们的值代入即可计算．【详解】解：∵(x﹣2)2+|y+1|=0，∴(x﹣2)2=0，|y+1|=0，∴x=2，y=-1，∴x-y=2-（-1）=3，故选：D．【点睛】本题考查了非负数的性质，属于基础题，熟练掌握偶次方和绝对值的非负性是解题的关键．【变式7.1】（2020·江苏·汇文实验初中七年级阶段练习）x是任意实数，则下列各式中一定表示正数的是（）A．2020x B．x+2020C．|2020x|D．|x|+2020【答案】D【分析】根据绝对值非负数的性质，举反例对各选项分析判断利用排除法求解．【详解】解：A、2020x表示任何实数，故A错误；B、x+2020表示任何实数，故B错误；C、当x=0时，|2020x|=0，故C错误；D、|x|+2020>0，故D正确；故选：D．【点睛】本题考查了绝对值非负数的性质，是基础题，举反例验证更简便．【变式7.2】（2019·江苏·泰州市姜堰区张甸初级中学七年级期中）若|a+1|+(b−2)2=0，则(a +b )3+a 4的值为（ ）A ．-2B ．0C ．2D ．7【答案】C【分析】根据绝对值和偶次方的非负性确定a 、b 的值，然后代入即可完成解答.【详解】解：∵|a +1|+(b−2)2=0∴a+1=0，b-2，∴a=-1，b=2∴(a +b )3+a 4=(-1+2)3+(-1)4=13+(-1)4=1+1=2，故答案为C.【点睛】本题考查了绝对值和偶次方的非负性，掌握几个非负的代数式之和为0，则每个代数式都为0是解答本题的关键.【变式7.3】（2018·江苏南通·七年级期末）如果a+b+c ＝0，且|a|＞|b|＞|c|，则下列式子可能成立的是（ ）A ．c ＞0，a ＜0B ．c ＜0，b ＞0C ．c ＞0，b ＜0D ．b ＝0【答案】A【分析】根据题意分类讨论,综合情况解出即可.【详解】1.假设a 为负数，那么b+c 为正数;（1）b 、c 都为正数;（2）一正一负，因为|b|＞|c|，只能b 为正数，c 为负数;2.假设a 为正数，那么b+c 为负数，b 、c 都为负数;（1）若b 为正数，因为|b|＞|c|，所以b+c 为正数，则a+b+c=0不成立;（2）若b 为负数，c 为正数，因为|b|＞|c|,则|b+c|<|b|<|a|,则a+b+c=0不成立.故选A.【点睛】本题考查绝对值的性质,关键在于分类讨论正负性.【考点8】有理数的大小比较【例8】（2022·江苏盐城·七年级阶段练习）下列各组数中，比较大小正确的是（ ）A ．|﹣23|＜|﹣12|B ．﹣|﹣3411|＝﹣（﹣3411）C ．﹣|﹣8|＞7D ．﹣56＜﹣45（）A．在点−4的左边B．在点−3的右边C．和原点的距离小于3D．和原点的距离大于3【答案】D【分析】比较-π和选项中的数的大小，依据右边的数总是大于左边的数即可判断．【详解】A．−π＞−4，则-π在-4的右边，故A项错误；B．−π＜−3，则-π在-3的左边边，故B项错误；C．-π和原点的距离是π，π＞3，故C项错误；D．-π和原点的距离是π，π＞3，故D项正确；故选：D．【点睛】本题考查了实数的大小比较，理解数轴上右边数的总是大于左边的数是解题的关键．这【变式8.2】（2021·江苏·常州市金坛良常初级中学七年级阶段练习）在0.2，−2，0，−12四个有理数中，最小的数是（）A．0.2B．−2C．0D．−12故选：B【点睛】本题考查了有理数的大小比较，熟知正数大于0，负数小于0，正数大于负数，两个负数比较大小，绝对值大的，反而小是解题的关键．【变式8.3】（2022·江苏宿迁·七年级期末）在﹣0.2418中，若用3去替换其中的一个非0数字，并使所得的数最大，则替换的数字是（ ）A．1B．2C．4D．8【答案】C【分析】根据两个负数，绝对值大的其值反而小，即可得到被替换的数字．【详解】解：∵在-0.2418中用数字3替换其中的一个非0数码后，使所得的数最大，而用数字3替换其中的一个非0数字后，绝对值最小的数为-0.2318，∴被替换的数字是4．故选：C．【点睛】本题考查了有理数大小比较，掌握有理数大小比较的法则是解答本题的关键．【考点9】科学记数法【例9】（2021·江苏·南通市八一中学七年级阶段练习）“天问一号”探测器由长征五号运载火箭直接送入地火转移轨道，飞行期间已成功完成地月合影获取、两次轨道中途修正、载荷自检等工作，截至2020年10月1日凌晨，探测器已飞行约188000000千米，飞行状态良好，把188000000用科学记数法表示，结果正确的是（）A．188×106B．18.8×107C．1.88×108D．1.88×109【答案】C【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．【详解】解：188000000这个科学记数法表示，结果正确的是1.88×108，故选：C．【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．【变式9.1】．（2021·江苏·南京东山外国语学校七年级阶段练习）某建成的新机场一期将满足年旅客吞吐量45000000人次的需求．将45000000用科学记数法表示应为（）A．4.5×107B．45×106C．0.45×108D．4.5×106【答案】A【分析】根据科学记数法的定义即可得．【详解】解：45000000=4.5×107，故选：A．【点睛】本题考查了科学记数法，熟记科学记数法的定义（将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，这种记数的方法叫做科学记数法）是解题关键．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．【变式9.2】（2022·江苏南京·七年级期末）据统计，电影《长津湖》上映第16天，累计票房突破45.6亿元．将数据45.6亿用科学记数法表示为（）A．45.6×108B．4.56×109C．4.56×1010D．0.456×1011【答案】B【分析】用科学计数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．【详解】解：45.6亿=4560000000=4.56×109，故选：B．【点睛】此题考查了用科学计数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题关键．【变式9.3】（2021·江苏南通·七年级期中）2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星从西昌卫星发射中心发射升空，6月30日成功定点于距离地球36000公里的地球同步轨道．将36000用科学记数法表示应为（ ）A．0.36×105B．3.6×105C．3.6×104D．36×103【答案】C【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．【详解】36000用科学记数法表示为3.6×104．故选：C．【点睛】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．【考点10】有理数的分类（大题）【例10】（2021·江苏·南通市海门区中南中学七年级阶段练习）请你把下列各数填入表示它所在的数的集合内：，0， 4.7，|−3|4,−(−2)5,−62,|−0.5|﹣2，20%，﹣0.13，﹣734正有理数集合：{…}；整数集合：{…}；负分数集合：{…}．自然数集合：{…}．−12； －7； 47； －90； －3； 0.4； 0； 53负整数集合： { …}；分数集合： { …}．1，13，0，﹣π，﹣6.4，﹣9，﹣26，1.010010001…．正数集合：{}；负数集合：{}；整数集合：{}；有理数集合{}．−12，﹣7，+2.8，﹣900，﹣312，99.9，0，4．【例11】（2022·江苏·七年级专题练习）现场学习：我们知道|x |＝x(x >0)0(x =0)−x(x <0)，所以当x ＞0时，x |x|=x x ＝1，当x ＜0时，x |x|=x −x ＝﹣1．解决问题：已知a ，b 是有理数，当ab ≠0时，求a |a|+b |b|的值．①|﹣5|+|4|_____|﹣5+4|；②|﹣6|+|3|_____|﹣6+3|；③|﹣3|+|﹣4|_____|﹣3﹣4|；④|0|+|﹣9|_____|0﹣9|；（2）归纳：|a|+|b|_____|a+b|；（3）根据上题（2）得出的结论，若|m|+|n|＝7，|m+n|＝1，求m的值．【答案】（1）①＞；②＞；③＝；④＝；（2）≥；（3）m的值为：±3或±4【分析】（1）分别计算出左右两边算式的结果，再进行比较大小即可；（2）根据（1）中的算式结果，分析可知|a|+|b|大于或等于|a+b|，由此填空即可；（3）分类讨论可分为m，n同号，或者m，n异号．【详解】解：（1）①∵|﹣5|+|4|＝9，|﹣5+4|＝1，∴|﹣5|+|4|＞|﹣5+4|；②∵|﹣6|+|3|＝9，|﹣6+3|＝3，∴|﹣6|+|3|＞|﹣6+3|；③∵|﹣3|+|﹣4|＝7，|﹣3﹣4|＝7，∴|﹣3|+|﹣4|＝|﹣3﹣4|；④|0|+|﹣9|＝9，|0﹣9|＝9，∴|0|+|﹣9|＝|0﹣9|，故答案为：＞，＞，＝，＝；（2）通过（1）的比较、分析、归纳：|a|+|b|≥|a+b|，故答案为：≥；（3）由（2）中结论可得：∵|m|+|n|＝7，|m+n|＝1，∴|m|+|n|≠|m+n|，∴m，n异号，当m为正数，n为负数时，m﹣n＝7，则n＝m﹣7，|m+n|＝|m+m﹣7|＝1，解得：m＝4或3，当n为正数，m为负数时，﹣m+n＝7，则n＝m+7，|m+n|＝|m+m+7|＝1，解得：m＝﹣3或﹣4，综上所述，m的值为：±3或±4．【点睛】本题考查绝对值的化简，分类讨论思想，能够熟练掌握分类讨论思想是解决本题的关键．【变式11.2】（2022·江苏·七年级专题练习）若a，b满足|a|＜|b|≤4，且a，b为整数．（1）直接写出a，b的最大值；（2）当a，b为何值时，|a|+b有最小值？此时，最小值是多少？【答案】（1）a的最大值为3，b的最大值为4；（2）当a＝0，b＝﹣4时，|a|+b有最小值，最小值是﹣4【分析】（1）根据条件可知b的最大值是4，从而得到a的最大值是3；（2）根据绝对值的非负性知道a＝0时，|a|最小，从而得到当b＝﹣4时，代数式有最小值．【详解】解：（1）∵|a|＜|b|≤4，且a，b为整数，∴a的最大值为3，b的最大值为4；（2）∵|a|≥0，∴当a＝0时，|a|最小，∴当a＝0，b＝﹣4时，|a|+b有最小值，最小值是﹣4．【点睛】本题考查了绝对值的意义，表示一个数a的点到原点的距离叫做这个数的绝对值．一个正数的绝对值等于它的本身，零的绝对值还是零，一个负数的绝对值等于它的相反数，【变式11.3】（2022·江苏·七年级专题练习）我们知道：|4−(−1)|表示4与−1的差的绝对值，实际上也可以理解为4与−1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理|x−3|也可以理解为x与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．类似地，|5+3|=|5−(−3)|表示5、−3之间的距离．一般地，点A，B两点在数轴上表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可以表示为|a−b|．试探索：（1）若|x−3|=7，则x=___________；（2）若A，B分别为数轴上的两点，A点对应的数为−2，B点对应的数为4．折叠数轴，使得A点与B点重合，则表示−4的点与表示__________的点重合；。

苏教版七年级上册数学[《有理数》全章复习与巩固(基础)知识点整理及重点题型梳理]本文介绍了苏教版七年级上册数学《有理数》全章复与巩固（基础）的研究目标和知识网络。

其中，研究目标包括理解有理数及其运算的意义，了解无理数的概念，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及混合运算并能解决简单的实际问题，以及会用科学记数法表示较大的数，能对含有较大数字的信息作出合理的解释和推断，发展数感。

知识网络包括有理数与无理数、数轴、相反数、绝对值和有理数的运算。

在有理数与无理数方面，本文介绍了有理数的分类和无理数的特征，以及常见的无理数形式。

在数轴方面，本文强调了一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不都表示的是有理数。

在相反数方面，本文介绍了相反数的定义和性质，并强调了多重符号的化简。

在绝对值方面，本文介绍了代数意义和几何意义，并给出了绝对值的定义和性质。

在有理数的运算方面，本文介绍了有理数的加、减、乘、除、乘方及混合运算的法则，并给出了一些例题进行讲解。

需要注意的是，本文中有一些格式错误，需要进行修改。

同时，文章中存在一些明显有问题的段落，需要进行删除。

加法法则：当两个数同号时，它们相加的结果的符号与它们相同，绝对值为它们绝对值的和。

当两个数异号时，它们相加的结果的符号与绝对值较大的数相同，绝对值为两数绝对值的差。

一个数与0相加等于这个数本身。

减法法则：减去一个数等价于加上它的相反数，即a-b=a+(-b)。

乘法法则：当两个数同号时，它们相乘的结果为正数，绝对值为两数绝对值的积。

当两个数异号时，它们相乘的结果为负数，绝对值为两数绝对值的积。

任何数与0相乘等于0.除法法则：除以一个不等于0的数等价于乘上这个数的倒数，即a÷b=a·(1/b)。

乘方运算的符号法则：负数的奇次幂为负数，偶次幂为正数；正数的任何次幂都为正数，0的任何非零次幂都为0.有理数的混合运算顺序：先进行乘方运算，然后进行乘法和除法，最后进行加法和减法。

专题2.4 有理数与无理数（专项练习）一、选择题1．下列说法正确的是( )A．0不是正数，不是负数，也不是整数B．正整数与负整数包括所有的整数C．–0.6是分数，负数，也是有理数D．没有最小的有理数，也没有最小的自然数2．下列说法中，不正确的是（）A．零是整数B．零没有倒数C．零是最小的数D．－1是最大的负整数3．在22, 3.5,0,,0.7,113-+--中．负分数有（）A．l个B．2个C．3个D．4个4．下列说法中正确的是（）A．不存在最小的正数，也不存在最大的正数B．如果a与b的差是正数，那么a一定是正数C．a-一定小于aD．任何有理数都有倒数5．下列说法中，正确的有（）①0既不是正数也不是负数；②绝对值等于它本身的数一定是0；③0除以任何数都得0；④任何负数都小于0A．1个B．2个C．3个D．4个6．在﹣3，12-，0，2四个数中，是负整数的是（）A．﹣3B．12-C．0D．27．在+1，27，0，−5，−0.3 这几个数中，整数共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题8．把下列各数的序号填在相应的数集内：1 , －35, +3.2, 0, －6.5, +108, －4, －6,（1）正数集合{ …} （2）整数集合{ …}（3）负分数集合{ …}（4）非负整数集合{ …}9．在有理数中，是整数而不是正数的是_______________ ，是负数而不是分数的是______ . 10．整数和分数统称为________．11．在23-，3.14，0.161616⋯，π2中，分数有______个．12．如图，这两个圈分别表示正数集合和整数集合，则它们的重叠部分表示的是_____集合.13．把下列各数填在相应的集合内：23-，6，0．3，0，－2019，12%，2-．负整数集合{}；正分数集合{}；非负数集合{}；自然数集合{}．14．有下列数：+6，-3.1，17%，0，-|-3|，23，-（+1），|-2|，-（144-），其中整数有____个．三、解答题15．把下列各数填入它所属于的集合的圈内．15，19-，–5，215，138-，0.1，–5.32，–80，123，2.333．参考答案1．C解：A，0不是正数也不是复数，0是正数，故A错误；B，正整数和负整数不包括0，故B错误；C，-0.6是分数，负数，有理数，故C正确；D，0是最小的自然数，故D错误．2．C【解析】A. 整数分为正整数、0与负整数，零是整数正确；B.0作除数无意义，因而零没有倒数正确；C. 负数小于0，零是最小的数错误；D. 观察数轴可得，−1是最大的负整数正确．故选C.3．B解：在22, 3.5,0,,0.7,113-+--中，负分数有2,0.73--，共两个，故选：B．【点睛】本题考查负分数的定义，掌握负分数的定义是解题的关键．4．A【详解】不存在最小的正数，也不存在最大的正数，故A正确；如果a与b的差是正数，那么a不一定是正数，故B错误；a-不一定小于a，故C错误；0没有倒数，故D错误；故答案选A．5．B【详解】0既不是正数，也不是负数，所以①正确；绝对值等于它本身一定是0或正数，所以②错误；0除以任何非0的数都得0，所以③错误；任何负数都小于0，所以④正确；故正确的有①④．故选B．6．A解：-3是负整数，12-为负分数，0为整数，2为正整数故选：A．7．C【详解】解：因为+1、0、-5是整数，27、−0.3是分数．所以整数共3个．故选：C．8．（1）正数集合{1，+3.2，+108 ，…}；（2）整数集合{1，0，+108，-4，-6，…}；（3）负分数集合{35-，-6.5，…}；（4）非负整数集合{1，0，+108，…}【详解】（1）正数集合{1，+3.2，+108 ，…}；（2）整数集合{1，0，+108，-4，-6 ，…}；（3）负分数集合{35-，-6.5，…}；（4）非负整数集合{1，0，+108，…}9．负整数和0 负整数【解析】试题解析：在有理数中，是整数而不是正数的是：负整数和0.是负数而不是分数的是:负整数.故答案为负整数和0. 负整数.10．有理数解：整数和分数统称为：有理数．故答案为：有理数11．3解：23-，3.14，0.161616⋯是分数，共3个故答案为：3．12．正整数解：依据题意可知重叠部分表示的是正整数.13．－2019，－2；0.3，12%；6，0.3、0，12%；6，0，见解析解：负整数集合{－2019、－2 ：……}；正分数集合{ 0.3、12%：……}；非负数集合{ 6、0.3、0、12% ：…… }；自然数集合{6、0 ：……}14．5解：+6是正整数，是整数，-3.1是负分数，不是整数，17%是正分数，不是整数，0是整数，-|-3|=-3，是负整数，是整数，23是正分数，不是整数，-（+1）=-1，是负整数，是整数，|-2|=2，是正整数，是整数，-（144）=144，是正分数，不是整数，：是整数有+6，0，-|-3|，-（+1），|-2|，共5个，故答案为：515．【详解】。

有理数与无理数知识点以及专项训练知识点1：有理数有理数：有理数是整数和分数的统称；正整数：1、2、3、4、5···整数： 0负整数：-1、-2、-3、-4、-5····分数：正分数：12、65、83···负分数：−12、−56、−38、−215···注意分数：只要能够写成分子、分母都是整数且分子不是分母倍数的数都是分数。

有限小数、无限循环小数由于都能够写成这种形式，所以它们都是分数。

非正整数：0、-1、-2、-3、-4···非负整数：0、1、2、3、4、5···最小的正整数：1最大的负整数：-1有理数的划分：（1）按整数、分数的关系分类：（2）按正数、负数与0的关系分类：知识点2：无理数无理数：无限不循环小数叫做无理数。

我们初中接触到的数中，不是有理数就是无理数。

无理数常见的特征：①看似循环实际不循环： 0.1010010001…（每两个1之间0的数量逐渐增加）、0.12345678910111213…（数字按照规律逐渐增加）②含π类的数：2π、12π、-10π等等③含√类：√2、√3、√5、2√2、√10等等；但是注意：√4=2、√9=3、√16=4、√25=5等等，这些属于整数。

知识点3：循环小数化分数定义：如果一个无限小数的各数位上的数字，从小数部分的某一位起，按一定顺序不断重复出现，那么这样的小数叫做无限循环小数，简称循环小数，其中重复出现的一个或几个数字叫做它的一个循环节．纯循环小数：从小数点后面第一位起就开始循环的小数，叫做纯循环小数．例如：0．666…、0.2·等等纯循环小数化为分数的方法是：分子是一个循环节的数字组成的数；分母的各位数字都是9，9的个数等于一个循环节的位数．例如 0.3=39=13，0.189=189999=737．混循环小数：如果小数点后面的开头几位不循环，到后面的某一位才开始循环，这样的小数叫做混循环小数．例如：0.1·2·、0．3456456…．混循环小数化为分数的方法是：分子是不循环部分和一个循环节的数字组成的数减去不循环部分的数字组成的数所得的差，分母就是按一个循环节的位数写几个9，再在后面按不循环部分的位数添写几个0组成的数．0.918=918−9990=101110，0.239=239−23900=625，0.35135=35135−3599900=3510099900=1337注意： （1）任何一个“循环小数”都可以化为“分数”．（2）“混循环小数”化“分数”也可以先化为纯循环小数，然后再化为分数．【有理数和无理数】1. 下列各数是正整数的是（ ）A ．－1B ．2C ．0．5D ．√22. 下面说法中正确的是（ ）．A ．非负数一定是正数．B ．有最小的正整数，有最小的正有理数．C ．−a 一定是负数．D ．正整数和正分数统称正有理数． 3. 下列四种说法，正确的是（ ）.A. 所有的正数都是整数B. 不是正数的数一定是负数C. 正有理数包括整数和分数D. 0不是最小的有理数4. 下列说法正确的是（ ）A ．整数就是正整数和负整数B ．分数包括正分数、负分数C ．正有理数和负有理数统称有理数D ．无限小数叫做无理数5. 下列说法：①一个有理数不是整数就是分数；②有理数包括正有理数和负有理数；③分数可分为正分数和负分数；④存在最大的负整数；⑤不存在最小的正有理数．其中正确的个数是（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 6.112是（ ）A ．整数B ．有限小数C ．无限循环小数D ．无限不循环小数7. 在实数√5、227、0、π2、√36、﹣1.414，有理数有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 8. 下列实数中，是无理数的为（ ）A ．﹣4B ．0.101001C ．13D ．√29. 以下各正方形的边长是无理数的是（ ）A.面积为25的正方形；B.面积为16的正方形；C.面积为8的正方形；D.面积为1.44的正方形． 10. 下列说法正确的是（ ）A ．不循环小数是无理数B ．无限不循环小数是无理数C ．无理数大于有理数D ．两个无理数的和还是无理数 11. 下列说法：①﹣2.5既是负数、分数，也是有理数；②﹣22既是负数、整数，也是自然数；③0既不是正数，也不是负数，但是整数；④0是非负数． 其中正确的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 12. 已知a 为有理数，b 为无理数，你们a +b 为___________．13. 在﹣1、0.2、−15、3、0、﹣0.3、12中，负分数有_______________________，整数有_____________________．14. 在227、3.14159、√7、﹣8、√23、0.6、0、√36、π3中是无理数的个数____________．15. 在有理数−23、﹣5、3.14中，属于分数的个数共有_________． 16. 请把下列各数填入它所属于的集合的大括号里.1、0.0708、 -700、 -3.88、 0、3.14159265、 −723、0.2·3·正整数集合:{ }； 负整数集合:{ }； 整数集合:{ }； 正分数集合:{ }； 负分数集合:{ }； 分数集合:{ }； 非负数集合：{ }； 非正数集合：{ }. 17. 将下列各数填入相应的括号内3π、-2、−12、3．020020002…、0、227、2、2012、-0.2·3·整数集合：{ } 分数集合：{} 负有理数集合：{ } 无理数集合：{}18. 下面两个圆圈分别表示负数集和分数集，请把下列6个数填入这两个圈中合适的位置．﹣28%、−（−37）、﹣2014、3.14、﹣（+5）、﹣0.3·【循环小数化分数】1. 把循环小数6.142化成分数是（ ） A ． 6142999B ． 6745C ． 62999D ． 6322252. 在6.4040…、3.333、9．505，三个数中，6.4040…是循环小数，把这个数化为分数可以写作________________． 3. 0.2666…化为分数是_______________．4. 把下列循环小数化分数 （1）0.6·（2）3.1·02·（3）0.21·5·（4）6.353·（5）0.7·8· （6）1. 7·8·（7）0.17·8·（8）1.17·8·5. 试验与探究我们知道13写为小数即0.3·，反之，无限循环小数0.3·写成分数即13．一般地，任何一个无限循环小数都可以写成分数形式．现在就以0.7·为例进行讨论：设0.7·= x ，由0.7·=0．7777…，可知，10x −x =7，解方程得x =79，于是得0.7·＝79．请仿照上述例题完成下列各题： （1）请你把无限循环小数0.5·写成分数，即0.5·=_____________． （2）你能化无限循环小数0.7·3·为分数吗？请仿照上述例子求之．有理数与无理数知识点以及专项训练（含有答案解析）知识点1：有理数有理数：有理数是整数和分数的统称；正整数：1、2、3、4、5···整数： 0负整数：-1、-2、-3、-4、-5····分数：正分数：12、65、83···负分数：−12、−56、−38、−215···注意分数：只要能够写成分子、分母都是整数且分子不是分母倍数的数都是分数。