2,2有理数与无理数

有理数和无理数的概念在我们的数学世界中，有理数和无理数是两个非常重要的概念。

它们共同构成了实数的大家庭，为我们解决各种数学问题和描述现实世界中的数量关系提供了坚实的基础。

首先，让我们来聊聊有理数。

有理数，简单来说，就是可以表示为两个整数之比的数。

这里的两个整数，分母不能为零。

比如，整数 5可以写成 5/1，－3 可以写成－3/1，所以 5 和－3 都是有理数。

再比如分数 2/3、7/8 等等，也都是有理数。

小数中的有限小数和无限循环小数也属于有理数。

比如 025 可以写成 1/4，0333可以写成 1/3，这些都是有理数。

有理数在我们的日常生活中随处可见。

当我们去商店买东西，商品的价格通常是有理数。

比如一个苹果 25 元，这里的 25 可以写成 5/2。

在计算路程、时间和速度的关系时，所用到的数值也往往是有理数。

那无理数又是什么呢？无理数是指那些不能表示为两个整数之比的实数。

最常见的无理数就是圆周率π和自然对数的底数 e。

π约等于314159，它的小数部分是无限不循环的。

e 约等于 271828，其小数部分也是无限不循环的。

还有像根号 2 也是无理数。

我们来证明一下为什么根号 2 是无理数。

假设根号 2 是有理数，那么它可以表示为两个整数 p 和 q 的比值，且 p 和 q 互质，即（p/q）＾2 ＝ 2，p^2 ＝ 2q^2。

这意味着 p^2 是偶数，因为奇数的平方还是奇数，所以 p 也是偶数。

设 p ＝ 2k，那么（2k）＾2 ＝ 2q^2，4k^2 ＝ 2q^2，2k^2 ＝ q^2，这又说明 q 也是偶数，与 p 和 q互质矛盾，所以根号 2 是无理数。

无理数的存在让数学变得更加丰富多彩。

在几何中，无理数经常出现。

比如一个正方形的对角线长度，如果边长为 1，那么对角线的长度就是根号 2。

有理数和无理数虽然有着不同的定义和性质，但它们在数学中都有着不可替代的作用。

有理数的运算规则相对简单和明确，我们在进行加减乘除等运算时，都有固定的方法和规律可循。

【有理数与无理数】无限不循环小数和开根开不尽的数叫无理数整数和分数统称为有理数数学上，有理数是两个整数的比，通常写作 a/b，这里 b 不为零。

分数是有理数的通常表达方法，而整数是分母为1的分数，当然亦是有理数。

数学上，有理数是一个整数 a 和一个非零整数 b 的比(ratio)，通常写作a/b，故又称作分数。

希腊文称为λογο?? ，原意为“成比例的数”(rational number)，但中文翻译不恰当，逐渐变成“有道理的数”。

不是有理数的实数遂称为无理数。

所有有理数的集合表示为 Q，有理数的小数部分有限或为循环。

《有理数》概念、定义集合1、大于0的数叫做正数（positive）.2、小于0的数叫做负数（negative）.3、可以写成分数形式的数叫做有理数（rational number）.4、只有符号不同的两个数叫做互为相反数（opposite number）.5、数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值（absolute value）.6、有理数加法法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

互为相反数的两个数相加得0.（3）一个数同0相加，仍得这个数.7、有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数.8、有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.任何数同0相乘，都得0..9、乘积是1的两个数互为倒数.10、有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数.（两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，0除以任何一个不等于0的数，都得0.）11、求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂（power）.在an中，a叫做底数（base number），n叫做指数（exponent），当an看作a 的n次方的结果时，也可读作a的n次幂.12、有理数混合运算的运算顺序：（1）先乘方，再乘除，最后加减.（2）同级运算，从左到右进行.（3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号的顺序依次进行.13、把一个大于10的数表示成a×10n的形式（a是整数数位只有一位的数，n是正整数），使用的是科学计数法.有理数(1)凡能写成形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数；-a不一定是负数，+a 也不一定是正数；p不是有理数；(2)有理数的分类: ① 整数②分数(3)注意：有理数中，1、0、-1是三个特殊的数，它们有自己的特性；这三个数把数轴上的数分成四个区域，这四个区域的数也有自己的特性；(4)自然数 0和正整数；a＞0 a是正数；a＜0 a是负数；a≥0 a是正数或0 a是非负数；a≤ 0 ? a是负数或0 a是非正数.有理数比大小：（1）正数的绝对值越大，这个数越大；（2）正数永远比0大，负数永远比0小；（3）正数大于一切负数；（4）两个负数比大小，绝对值大的反而小；（5）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；（6）大数-小数＞ 0，小数-大数＜ 0.有理数加法法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；（3）一个数与0相加，仍得这个数.有理数加法的运算律：（1）加法的交换律：a+b=b+a ；（2）加法的结合律：（a+b）+c=a+（b+c）.9．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b）.有理数乘法法则：（1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘；（2）任何数同零相乘都得零；（3）几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定.有理数乘法的运算律：（1）乘法的交换律：ab=ba；（2）乘法的结合律：（ab）c=a（bc）；（3）乘法的分配律：a（b+c）=ab+ac .有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数， .有理数乘方的法则：（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；注意：当n为正奇数时: (-a)n=-an或(a -b)n=-(b-a)n , 当n为正偶数时: (-a)n =an 或 (a-b)n=(b-a)n .。

有理数和无理数有什么区别？
负数的出现，导致了减法运算，无理数的出现，导致了开方运算．引入了无理数，数的范围就由有理数扩展到了实数．对于实数的研究，必须先搞清有理数和无理数有什么区别．
主要区别有两点：
第一，把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数或无限循环小数，
比如4=4.0；41
0.8;0.3 53
==
……而无理数只能写成无限不循环小数，比如
1.4142, 3.1415926
=π=根据这一点，人们把无理数定义为无限不循环小数．
第二，所有的有理数都可以写成两个整数之比，而无理数却不能写成两个整数之比．根据这一点，有人建议给无理数摘掉“无理”的帽子，把有理数改叫“比数”，把无理数改叫“非比数”．本来嘛，无理数并不是不讲道理，只是人们最初对它太不理解罢了．
a
b
（a，b为自然数且互质）于是有a2=2b2,故a2是偶数。

现在来看当a2是偶数时，a是偶数还是奇数．
假设a是奇数，即a=2m+1(m是自然数)，则有
a2=(2m+1)2=4m2+4m+1
因为等式右边必为奇数，而a2是偶数，所以等式不可能成立．故a必为偶数．
设a=2m，代入a2=2b2时得到b2=2m2，故b2为偶数，因此b也是偶数。

既然a，b都是偶
数，
a
b
根据有理数与无理数的这些区别，也不用担心化分数
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为小数时，它会不会是无限不循环小数。

因为一切可以写成
n
m
（n是整数，m是自然数）的数必是有理数。

1。

无理数与有理数的运算法则
无理数是指不能表示为两个整数的比值的数，例如π和√2；有
理数是指可以表示为两个整数的比值的数，例如1/2和-3/4。

无理数与有理数的运算法则如下：
1.无理数与有理数相加减：无理数与有理数相加减的结果是无理数。

例如：π + 2 = π + 2，√2 - 3/4 = √2 - 0.75。

2.无理数与无理数相加减：无理数之间相加减的结果仍为无理数。

例如：π + √2 = π + √2，π - √2 = π - √2。

3.无理数与有理数相乘：无理数与有理数相乘的结果是无理数。

例如：π× 2 = 2π，√2 × 3/4 = (3/4)√2。

4.无理数与无理数相乘：无理数之间相乘的结果仍为无理数。

例如：π×√2 = π√2，√2 ×√3 = √6。

5.无理数与有理数相除：无理数与有理数相除的结果是无理数。

例如：π÷ 2 = π/2，√2 ÷ 3/4 = (4/3)√2。

6.无理数与无理数相除：无理数之间相除的结果可能是有理数或无理数。

例如：π÷√2 = π/√2 = √2π，√2 ÷√3 = √(2/3)。

总之，无理数与有理数的运算结果仍为无理数，无理数之间的运算结果可能是有理数或无理数。

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有理数与无理数第（1）课时课题：书法---写字基本知识课型：新授课教学目标：1、初步掌握书写的姿势，了解钢笔书写的特点。

2、了解我国书法发展的历史。

3、掌握基本笔画的书写特点。

重点：基本笔画的书写。

难点：运笔的技法。

教学过程：一、了解书法的发展史及字体的分类：1、介绍我国书法的发展的历史。

2、介绍基本书体：颜、柳、赵、欧体，分类出示范本，边欣赏边讲解。

二、讲解书写的基本知识和要求：1、书写姿势：做到“三个一”：一拳、一尺、一寸（师及时指正）2、了解钢笔的性能：笔头富有弹性；选择出水顺畅的钢笔；及时地清洗钢笔；选择易溶解的钢笔墨水，一般要固定使用，不能参合使用。

换用墨水时，要清洗干净；不能将钢笔摔到地上，以免笔头折断。

三、基本笔画书写1、基本笔画包括：横、撇、竖、捺、点等。

2、教师边书写边讲解。

3、学生练习，教师指导。

（姿势正确）4、运笔的技法：起笔按，后稍提笔，在运笔的过程中要求做到平稳、流畅，末尾处回锋收笔或轻轻提笔，一个笔画的书写要求一气呵成。

在运笔中靠指力的轻重达到笔画粗细变化的效果，以求字的美观、大气。

5、学生练习，教师指导。

（发现问题及时指正）四、作业：完成一张基本笔画的练习。

板书设计：写字基本知识、一拳、一尺、一寸我的思考：通过导入让学生了解我国悠久的历史文化，激发学生学习兴趣。

这是书写的起步，让学生了解书写工具及保养的基本常识。

基本笔画书写是整个字书写的基础，必须认真书写。

课后反思：学生书写的姿势还有待进一步提高，要加强训练，基本笔画也要加强训练。

总第（2）课时课题：书写练习1课型：新授课教学目标：1、教会学生正确书写“杏花春雨江南”6个字。

2、使学生理解“杏花春雨江南”的意思，并用钢笔写出符合要求的的字。

重点：正确书写6个字。

难点：注意字的结构和笔画的书写。

教学过程：一、小结课堂内容，评价上次作业。

二、讲解新课：1、检查学生书写姿势和执笔动作（要求做到“三个一”）。

2、书写方法是：写一个字看一眼黑板。

有理数和无理数的概念有理数和无理数，这两个概念听上去简单，但其实藏着不少趣味和奥秘。

生活中，我们常常用到有理数。

想想你买咖啡花了多少钱，或者你每天走多少步，这些都可以用有理数来表示。

有理数就是那些可以写成分数的数，像1/2、-3、0.75，都是它的成员。

其实，它们的本质是可以在数轴上找到的，既定且稳定。

再说无理数。

这个词听起来就有点神秘。

无理数指的是那些不能用简单的分数来表示的数字，比如圆周率π或者√2。

它们就像大海深处的宝藏，难以捉摸。

无理数的出现，让我们在数字的世界中，感受到了更多的深邃与复杂。

比如，√2的值是1.41421356……，这个小数是无限不循环的。

想想看，每次尝试去描述它，都显得那么无力，仿佛在追逐那永远无法到达的彼岸。

有理数与无理数之间的关系，就像是阳光与阴影。

有理数的规则性，让人倍感安心；而无理数的复杂性，则是对我们的思维挑战。

试想，如果没有无理数，很多数学理论都会变得简单得多。

比如，在几何学中，直角三角形的斜边长度常常涉及到无理数。

这种深度，恰恰是数学的魅力所在。

接下来，咱们可以深入探讨一下这两类数字的应用。

日常生活中，有理数常用于财务、测量等实际场景。

想象一下，你在超市购物，计算每种商品的价格，这一切都离不开有理数。

无理数的应用则更为抽象，常常出现在物理学、工程学等领域。

比如，建筑师在设计桥梁时，需要用到圆周率π来计算曲线的长度，这样的精准是无理数带来的奇妙效果。

有理数的定义，虽然简单，却能引发深刻的思考。

它的实用性让我们在生活中无处不在。

无理数的定义，则是让我们看到了数字的无穷可能性。

就像人类的智慧一样，有限的理性中，隐藏着无限的未知。

在数学史上，有理数和无理数的争论从古至今。

古希腊时期，毕达哥拉斯学派认为所有数都可以用分数来表示，这一观点支配了他们的思维。

直到他们发现了无理数的存在，整个数学界才被震撼了。

有人甚至认为，这是一种哲学上的颠覆，让我们重新审视了现实。

接下来，咱们聊聊如何识别有理数和无理数。

无理数与有理数的运算法则
无理数和有理数是数学中两种不同的数。

有理数可以表示为两个整数的比例，而无理数则无法表示为有理数的比例。

在进行无理数和有理数的运算时，有以下法则：
1. 无理数和有理数相加减，结果为无理数。

例如，π+3=π+3，√2-4=√2-4。

2. 无理数和有理数相乘，结果为无理数。

例如，π×2=2π，√3×5=5√3。

3. 无理数和有理数相除，结果为无理数。

例如，π÷5=π/5，√5÷2=√5/2。

4. 无理数之间的加减乘除，结果为无理数。

例如，π+√2=π+√2，π×√2=π√2，π÷√2=π/√2。

5. 有理数之间的加减乘除，结果为有理数。

例如，2+3=5，4-2=2，2×3=6，6÷2=3。

在实际运用中，我们需要注意无理数和有理数的运算结果是否有实际意义，并根据需求进行适当的化简或精度控制。

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有理数和无理数的表示符号：
有理数和无理数可以用不同的表示符号来表示。

有理数的表示符号：
1.分数表示：有理数可以表示为两个整数的比值，例如 1/2、3/4。

2.小数表示：有理数可以表示为有限小数或循环小数，例如 0.5、0.75、1.33
3...。

3.整数表示：整数也是有理数的一种特殊情况，例如 1、-5。

无理数的表示符号：
1.开方表示：无理数可以用根号表示，例如√2、√3。

2.π 表示：π 是一个无理数，表示圆周率，近似值为
3.14159...
3. e 表示：e 是一个无理数，表示自然对数的底数，近似值为 2.71828...
需要注意的是，无理数不能被精确表示为有限小数或分数，因为它们具有无限不循环的小数部分。

因此，我们通常使用近似值来表示无理数。

无论是有理数还是无理数，它们都是实数的一部分。

实数包括了所有的有理数和无理数。

2.2 有理数与无理数【基础训练】一、单选题1．下列四个数中，无理数是（ ）A ．13B ．0.5757CD ．π【答案】D【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【详解】解：A 、13是有理数，此选项不符合； B 、0.5757是有理数，此选项不符合；C 2=，是有理数，此选项不符合；D 、π是无理数，此选项符合；故选D ．【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．2．下列实数中是无理数的是（ ）A ．－2B C D ．4【答案】B【分析】直接根据无理数的定义即可判断出答案．【详解】解：根据有理数及无理数的定义对选项进行判断；A ，2-是有理数，故不符合题意；BC 2=是有理数，故不符合题意；D ，4是有理数，故不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了无理数的定义，解题的关键是：要理解且能区分实数中有理数和无理数．3117、0.57527522752227、2π中，无理数是（ ）A B ．117 C ．0.57527522752227 D ．2π 【答案】D【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【详解】解：A ，是整数，属于有理数，故本选项不合题意；B 、117是分数，属于有理数，故本选项不合题意； C 、0.57527522752227是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意；D 、2π是无理数，故本选项符合题意． 故选：D ．【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．4．在实数11,,0,27π- ）个． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【分析】分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．【详解】解：2=-，∴无理数有：2π2个， 故选B ．【点睛】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数． 5．下列各数中，为无理数的是（ ）A ．0.3B ．227CD 【答案】C【分析】根据无理数的三种形式：∴开方开不尽的数，∴无限不循环小数，∴含有π的数，结合选项进行判断即可．【详解】解：A 、0.3是有理数，故本选项不符合题意；B 、227是有理数，故本选项不符合题意；CD 3=，是有理数，故本选项不符合题意；故选C ．【点睛】本题考查了无理数的定义，属于基础题，掌握无理数的三种形式是解答本题的关键．6 ）A ．负数B ．无理数C ．有理数D ．整数【答案】B【分析】根据无理数的定义即可求解．【详解】故选：B ．本题考查了实数的分类，解题的关键是掌握无理数的定义．7．下列各数中，是无理数的是（ ）A ．227B ．3πC ．0.3010010001D 【答案】B【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【详解】解：A 、227是分数，属于有理数，故本选项不合题意； B 、3π是无理数，故本选项符合题意；C 、0.3010010001是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意；D 3=，是整数，属于有理数，故本选项不合题意；故选B ．【点睛】此题考查了无理数的定义．解题的关键是掌握无理数的定义，注意初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．8．约公元前5世纪的古希腊时期，由于“他”第一次数学危机，这个“他”指的是（ ）A ．毕达哥拉斯B ．希帕索斯C ．笛卡儿D ．苏格拉底【答案】B【分析】根据无理数的起源、发现和证明的数学常识解答．【详解】希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数表示，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示．希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数的诞生． 故选：B ．本题考查了无理数的起源、发现和证明．掌握无理数的起源、发现和证明等数学常识是解题的关键． 9．下列各数中是有理数的是（ ）A B C ．13- D ．π 【答案】C【分析】π是无限不循环小数，是无理数，得到答案． 【详解】解：AB C 、13-是负分数，是有理数，符合题意； D 、π是无限不循环小数，是无理数，不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查了根据有理数和无理数的定义进行判断，关键在于判断π是无理数．10．在17-，2π，0，3.14，0.326，，133-中，无理数的个数有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】B【分析】根据无理数的定义（无理数是指无限不循环小数）判断即可．【详解】解：7=-，∴无理数有2π，2个， 故选：B ．本题考查了对无理数的应用，注意：无理数就是无限不循环小数．初中常见的无理数有三类：∴π类；∴开∴有规律但无限不循环的数，如0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）． 11．在下列各数中是无理数的是（ ）A ．0.12B ．13CD 【答案】D【分析】根据无理数的定义，无理数是无限不循环小数，进行判断即可．【详解】解：0.12是有限的，13是无限循环的，都是有理数；故答案为：D ．【点睛】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数，如π0.8080080008……（每两个8之间依次多1个0）等形式．12．下列实数是无理数的是（ ）A B ．13 C ．3.1415 D ．﹣5 【答案】A【分析】根据无理数的定义，逐一判断选项，即可．【详解】A.B. 13是有理数，不符合题意， C. 3.1415是有理数，不符合题意，D. ﹣5是有理数，不符合题意，故选A ．本题主要考查无理数的定义，掌握“无限不循环小数是无理数”，是解题的关键．13．在实数：3.14159，1.010010001…（相邻两个1之间依次多一个0），0，5π，449中，无理数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】C【分析】分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．【详解】=4，∴无理数有：1.010010001…（相邻两个1之间依次多一个0），5π，共3个， 故选C ．【点睛】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．14．在311-，0.223，2π，0.243456中，无理数有（ ）个． A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】A【分析】根据无理数是无限不循环小数即可选出答案．【详解】2π两个，故选A ．【点睛】本题考查了无理数的定义，熟练掌握无理数定义是解决本题的关键．15．下列四个数中，无理数是（ ）A ．237B ．0C ．0.12D ．π【分析】根据有理数、无理数的定义逐项判断即可求解．【详解】解：A.237是分数，属于有理数，故本选项不合题意；B.0是整数，属于有理数，故本选项不合题意；C.0.12是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意；D.π是无限不循环小数，是无理数，故本选项符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了无理数的定义，理解“无理数是无限不循环小数”是解题关键．16．下列各数无理数有（）0，-3.14227，0.101001……，π，2.35858⋅⋅A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【分析】无理数就是无限不循环小数，依据定义即可判断．【详解】解：根据无理数的定义可知：0.101001……，π，共3个，故选：C．【点睛】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．17．零一定是（）A．整数B．负数C．正数D．奇数【答案】A【分析】0是介于-1和1之间的整数，既不是正数也不是负数，0可以被2整除，所以0是一个特殊的偶数．【详解】0是介于-1和1之间的整数，既不是正数也不是负数，0可以被2整除，所以0是一个特殊的偶数，只有A 选项符合．故选：A．【点睛】本题考查了零的相关知识，熟记并理解是解决本题的关键．18．下列各数中，属于正有理数的是（）A．－0.1B．0C．－1D．2【答案】D【分析】根据正有理数的定义即可得出答案．【详解】解：A. －0.1为负有理数，此选项不符合题意；B. 0即不是正数也不是负数，此选项不符合题意；C. －1为负有理数，此选项不符合题意；D. 2为正有理数，此选项符合题意．故选D．【点睛】本题考查了正有理数的定义，正确理解正有理数的概念是解答本题的关键．19．在下列各数中，正数的个数有______个．（）－6，0.1234，152-，0.3，0，19，15A．2B．3C．4D．5【答案】C【分析】根据大于0的数是正数可得结果．【详解】解：在-6，0.1234，152-，0.3，0，19，15中，正数有：0.1234，0.3，19，15共4个， 故选C ．【点睛】 本题考查了正数的定义，熟记概念是解题的关键，要注意0既不是正数也不是负数． 20．下列各数中，既不是正数又不是负数的是（ ）A ．2B ．1C ．3-D ．0 【答案】D【分析】根据正数与负数的定义即可求出答案．【详解】解：0既不是正数又不是负数，故选：D ．【点睛】本题考查正数与负数，解题的关键是正确理解正数与负数，本题属于基础题型． 21．在22-，115，0，19，6-，3这五个数中，正数的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】C【分析】根据正数的定义，即可得到答案．【详解】在22-，115，0，19，6-，3这五个数，正数有：115，19，3∴一共有3个正数， 故选C ．【点睛】本题主要考查正数的定义，熟练掌握正数的定义，是解题的关键．22．下列各数属于负整数的是（ ）．A ．2B ．2-C ．12-D ．0 【答案】B【分析】根据小于0的整数即为负整数进行判断即可；【详解】A、2是正整数，故A不符合题意；B、-2是负整数，故B符合题意；C、12-是负分数，故C不符合题意；D、0既不是正数也不是负数，故D不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了有理数，小于0的整数即为负整数，注意0既不是正数也不是负数．23．下列四个数中，属于无理数的是（）A．B C D．0.1717717771【答案】A【分析】根据有理数和无理数的概念进行逐项分析即可．【详解】A、是无理数，符合题意；B2，是有理数，不符合题意；C43=，是有理数，不符合题意；D、0.1717717771是有限小数，是有理数，不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查无理数的概念，理解基本概念并准确辨析是解题关键．24．在6+，13， 3.1415-，0中，表示正数的有（）．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【分析】根据正数与负数的定义即可求出答案．【详解】在+6，13，-3.1415，0中， +6，13是正数，共2个， 故选：B ．【点睛】本题考查了有理数的分类，解题的关键是正确理解正数与负数的定义，本题属于基础题型．25．下列各数中，为无理数的是（ ）A B C ．14 D 【答案】D【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．据此解答即可．【详解】解：A ，2是整数，属于有理数，故此选项不符合题意；B ，2是整数，属于有理数，故此选项不符合题意；C 、14是分数，属于有理数，故此选项不符合题意；D 属于无理数，故此选项符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查了无理数的知识，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式：∴开方开不尽的数，∴无限不循环小数，∴含有π的数．26．下列各数是无理数的是（ ）A ．3π- B C ．52- D ．6-【答案】A【分析】无理数是指无限不循环小数，据此分析即可．【详解】A 、3π-是无理数，符合题意；B 5=，是有理数，不符合题意；C 、52-是分数，是有理数，不符合题意； D 、6-是有理数，不符合题意；故选：A ．【点睛】本题考查无理数的识别，熟练掌握无理数的概念是解题关键．27．|1|-的相反数是（ ）A ．1-B ．1C ．0D ．2 【答案】A【分析】先去绝对值，再求相反数．【详解】∴|-1|=1，∴1的相反数是-1，故选A ．【点睛】本题考查了绝对值的化简和相反数的定义，熟练化简有理数的绝对值，熟记相反数的定义是解题的关键． 28．在-5，-12，-1，0这四个数中，最小的数是（ ）． A ．-5B ．-12C ．-1D ．0【答案】A【分析】根据有理数大小比较的性质分析，即可得到答案．【详解】在-5，-12，-1，0这四个数中，最小的数是：-5 故选：A ．【点睛】本题考查了有理数的知识；解题的关键是熟练掌握有理数大小比较的性质，从而完成求解．29．下列选项是无理数的为（ ）A ．13-BC ．3.1415926D ．π-【答案】D【分析】无理数是指无限不循环小数，据此分析即可．【详解】A 、是无限循环小数，是有理数，不符合题意；B 2=，是整数，是有理数，不符合题意；C 、3.1415926是有限小数，是有理数，不符合题意；D 、π-是无理数，符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查无理数的识别，理解无理数的概念是解题关键．30．下列实数中，是无理数的是（ ）AB ．C ．16D ．0.060060006 【答案】B【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【详解】A 3=-整数，是有理数，故A 不符合题意；B 、B 符合题意；C 、16分数，是有理数，故C 不符合题意；D 、0.060060006有限小数，是有理数，故D 不符合题意；故选：B ．【点睛】本题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．31．下列各数中，是无理数的为（ ）A ．0B ．3.14C ．－πD ．711 【答案】C【分析】理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【详解】A 、0是整数，属于有理数，故本选项不合题意；B 、3.14是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意；C 、-π是无理数，故本选项符合题意；D 、711是分数，属于有理数，故本选项不合题意． 故选：C ．【点睛】本题主要考查了无理数．解题的关键是掌握无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．32．在实数13-，0，7 ）A ．13- B ．0 C ．7 D 【答案】D【分析】整数和分数统称为有理数，无限不循环小数是无理数，据此解题．【详解】在实数13-，0，71-是负分数，是有理数；30是整数，是有理数；7是正整数，是有理数；故选：D．【点睛】本题考查无理数，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．33．在实数﹣2、﹣1、0、1中，最小的实数是（）A．﹣2B．﹣1C．0D．1【答案】A【分析】根据有理数大小比较的法则：正数绝对值大的数大，负数绝对值大的数反而小，负数小于正数，比较即可．【详解】->->∴21,10,∴﹣2＜﹣1＜0＜1，∴在实数﹣2，﹣1，0，1中，最小的实数是﹣2．故选A．【点睛】本题考查了有理数的大小比较法则的应用，注意：正数都大于0，负数都小于0，正数都大于一切负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小．34．在0，1，-1，2这四个数中，是负数的是（）A．0B．1C．-1D．2【答案】C【分析】根据有理数的分类解答即可【详解】解：0既不是正数也不是负数；1，2是正数；-1是负数；故选C．【点睛】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的两种分类方式是解答本题的关键．有理数可分为整数和分数，整数分正整数，零和负整数；分数分正分数和负分数．有理数也可分为正有理数，零和负有理数，正有理数分为正整数和正分数，负有理数分为负整数和负分数．35．下列各数中3，7-，23-，5.6，0，π-，15，19，非正整数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【分析】根据非正整数的概念逐一判断即可．【详解】非正整数有：-7，0故选B．【点睛】本题考查了非正整数的概念，正确理解概念是解题的关键．36．在一组数－2，0.4，0，π，227-，1.3，3.2121121112…（相邻的两个2之间依次多一个1）中，有理数的个数是（）A．3B．4C．5D．6【答案】C【分析】根据有理数的意义进行判断即可．【详解】在－2，0.4，0，π，227-，1.3，3.2121121112…（相邻的两个2之间依次多一个1）中，有理数有：－2，0.4，0，227-，1.3，共5个，故选：C．【点睛】本题考查了有理数的意义，掌握有理数的意义是正确判断的前提．关键是熟悉有理数是有限小数或无限循环小数．37．下列几种说法中不正确的个数有（ ）∴正整数和负整数的全体组成整数集合 ∴带“-”的数是负数∴0是最小的自然数 ∴10.555.5-⋯是有理数 ∴0.26-是负分数A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】A【分析】∴整数的定义判定即可，∴带“-”的数是负数，-a 是带“-”的数可为正数，也可为0，也可为负数，不正确，∴用自然数的概念即可判断，∴利用分数的定义判断即可，∴利用分数的定义判断即可．【详解】∴正整数和负整数的全体组成整数集合缺0不正确，∴带“-”的数是负数，-a 是带“-”的数可为正数，也可为0，也可为负数，不正确，∴0是最小的自然数正确，∴10.555.5-⋯是有理数正确，∴0.26-是负分数正确．故选择：A ．【点睛】本题考查有理数的分类问题，掌握有理数的分类标准，会用分类标准判断或选数是解题关键．38．下列关于“0”的说法中，正确的是（ ）A ．0是最小的数B ．0是最小的非负数C ．0的倒数是0D ．0除以任何数都得0 【答案】B【分析】根据“0”的意义可直接进行排除选项．【详解】A 、0不是最小的数，还有负数，故错误；B 、0是最小的非负数，故正确；C 、0没有倒数，故错误；D 、0除以任何数（除了0以外）都得0，故错误；故选B ．【点睛】本题主要考查“0”的意义，正确理解“0”是解题的关键．39 1.212212221…，227，π， ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】A【分析】根据有理数的概念直接进行排除即可．【详解】1.212212221…，227，π，227，共1个． 故选：A ．【点睛】本题主要考查有理数的概念，正确理解概念是解题的关键．40．下面四个选项中，根据阴影部分与整个图形所反映出的部分与整体的数量关系来看，和下图一致的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据题意，把圆分成12份，阴影部分占了8份，则82=123，然后分别判断每个选项，即可得到答案.【详解】解：根据题意，把圆分成12份，阴影部分占了8份，∴阴影部分所占为：82= 123，∴B选项中，阴影部分所占为：23，ACD阴影部分所占不是23；故选择：B.【点睛】此题是考查分数的意义．把单位“1”平均分成若干份，用分数表示，分母是分成的份数，分子是要表示的份数．二、填空题41．在数0、π、﹣0.1010010001，5.6，227中，无理数有_____个．【答案】1【分析】根据无理数的概念求解即可．【详解】解：在所列实数中，无理数的是π，故答案为：1．【点睛】本题主要考查无理数，解题的关键是掌握无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数．42．在数3.16，﹣10，2π，227-，1.3，1.2121121112…（每两个2之间依次多1个1）中有__个无理数．【答案】2【分析】根据无理数的定义求解即可．【详解】解：在数3.16，﹣10，2π，22 7-，1.3，1.2121121112…（每两个2之间依次多1个1）中有2π，1.2121121112…（每两个2之间依次多1个1）是无理数，一共2个无理数．故答案为：2．本题考查了无理数的定义，解题关键是熟练掌握无理数的定义，注意无理数常见形式．43．给出下列各数：32，﹣（+6），﹣1.5，0，﹣|﹣3|，4，π，在这些数中，整数是_______________，非负数是_______________，互为相反数的是_______________，绝对值最小的数是__________，分数是_________，无理数是_________．【答案】﹣（+6），0，﹣|﹣3|，4 32，0，4，π32，﹣1.5 032，﹣1.5 π【分析】根据分母为1的是整数，可得整数集合；根据大于或等于零的数是非负数，可得非负数集合；根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数；根据绝对值的意义，可得答案；根据分母不为1的数是分数，可得分数集合；根据无理数是无限不循环小数，可得答案．【详解】解：整数是﹣（+6），0，﹣|﹣3|，4，非负数是32，0，4，π，互为相反数的是32，﹣1.5，绝对值最小的数是0，无理数是π．故答案为：﹣（+6），0，﹣|﹣3|，4；32，0，4，π；32，﹣1.5；0；π．【点睛】本题考查了实数的分类，利用了整数的意义，非负数的意义，相反数的意义．44．请把下列各数填入相应的集合中1 2，5.2，0，2π，227，﹣22，53-，2005，﹣0.030030003…正数集合：{________________…}；分数集合：{________________…}；非负整数集合：{________________…}；有理数集合：{________________…}．【答案】12，5.2，2π，227，200512，5.2，227，53-0，2005 12，5.2，0，227，﹣22，53-，2005根据正数的意义，分数包括分数、有限小数、无限循环小数，非负整数包括正整数和0，有理数是整数和分数的统称，根据以上内容判断即可．【详解】正数集合：{12，5.2，2π，227，2005，…}分数集合：{12，5.2，227，53-，…}非负整数集合：{0，2005，…}有理数集合{12，5.2，0，227，﹣22，53-，2005，…}，故答案为：12，5.2，2π，227，2005；12，5.2，227，53-；0，2005；12，5.2，0，227，﹣22，53-，2005．【点睛】本题考查了对分数，非负数，有理数，正数等知识点的应用，主要考查学生的理解能力和辨析能力，题目比较典型，但是一道比较容易出错的题目．45．比较大小：34-________-0.8（填“>”、“=”或“<”）【答案】>【分析】根据负数的绝对值越大，这个数越小进行大小比较．【详解】∴3344-=，0.80.8-=，∴34<0.8，∴34->-0.8 ，故答案为：>．【点睛】本题考查了有理数大小比较．注意：正数大于0，负数小于0；负数的绝对值越大，这个数越小．三、解答题46．把下列各数填入它所属的括号内：15，−19，－5，512，0，－5.32，37%（1）分数集合{…}；（2）整数集合{…}．【答案】（1）分数集合{−19，512，－5.32，37%…}；（2）整数集合{15，－5，0，…}．【分析】（1）按照有理数的分类找出分数即可；（2）按照有理数的分类找出整数即可．【详解】解：（1）分数集合{−19，512，－5.32，37%…}；（2）整数集合{15，－5，0，…}．【点睛】本题考查了有理数的分类，解题关键是明确分数和整数的定义，准确进行分类．47．把下列个数分别填入相应集合内：-10，6，-173，0，3101，-2.25，10%，-18整数集合：；负分数集合：；正分数集合；；非负数集合：；【答案】见解析【分析】根据整数、负分数、正分数、非负数的定义即可得出答案；【详解】解：整数集合：-10，6，0，-18；负分数集合：-173，-2.25；正分数集合；3101，10%，；非负数集合：6，0，3101，10%；【点睛】本题考查了有理数的分类，熟练掌握相关的知识是解题的关键．48．请把下列各数填入相应的集合中：8，﹣2，5.6﹣，0，﹣910，5，﹣712，31.25，﹣3%．负分数集合：{…}；正整数集合：{…}．【答案】负分数集合：5.6﹣，﹣910，﹣712，﹣3%；正整数集合：8，5【分析】根据有理数的分类填空即可．分数包括正分数和负分数；整数包括正整数，零和负整数．【详解】解：负分数集合：{5.6﹣，﹣910，﹣712，﹣3%}；正整数集合：{8，5}．故答案为：5.6﹣，﹣910，﹣712，﹣3%；8，5．【点睛】本题主要考查了有理数的分类．认真掌握正数、整数、负有理数、负分数的定义与特点．特别注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．49．把下列各数填入相应的大括号内23-、12、0.01-、125、1、(4)--、(1)+-、279、0正数集合{ …}；负数集合{ …}．分数集合{ …}；正整数集合{ …}．【答案】答案见详解．【分析】根据正数，负数，分数，正整数的意义直接解答即可求解．【详解】解：∴(4)4--=，∴正数集合{12、125、1、(4)--、279、…}；负数集合{23-、0.01-、(1)+-、…}．分数集合{23-、12、0.01-、125、279、…}；正整数集合{1、(4)--、…}．本题考查了有理数的分类，熟练掌握正数，负数，分数，正整数的概念是解题关键，注意0既不是正数，也不是负数，在有理数分类时，能化简的要化简．50．把下列各数填入相应的括号内：－2.5，10，0.22，0，1213-，－20，＋9.78，＋68，0.45，47+，2π，0.33… 正整数{ ……}负整数{ ……}正分数{ ……}负分数{ ……}【答案】见解析【分析】根据有理数的分类，逐个数进行判断即可．【详解】解：正整数{10，68}+⋯⋯负整数{20}-⋯⋯正分数{0.22，9.78+，0.45，47+，0.33}⋯⋯⋯ 负分数{ 2.5-，12}13-⋯⋯． 【点睛】本题考查有理数的分类，理解有理数的意义是正确判断的前提．51．把下列各数的序号填在相应的大括号里：∴0；∴3.1415926；∴200%；∴2020-；∴π；∴ 6.143-；∴108+；∴227-；∴111 整数：｛ …｝；正数：｛ …｝；正分数：｛ …｝；负有理数：｛ …｝【答案】∴，∴，∴，∴；∴，∴，∴，∴，∴，∴；∴，∴；∴，∴，∴【分析】根据有理数的分类填写即可．解：整数：{∴，∴，∴，∴，…}正数：{∴，∴，∴，∴，∴，∴，…}正分数：{∴，∴，…}负有理数：{∴，∴，∴，…}故答案为：∴，∴，∴，∴；∴，∴，∴，∴，∴，∴；∴，∴；∴，∴，∴．【点睛】此题考查了有理数的分类，用到的知识点是整数、正数、正分数、负有理数的定义，关键是熟练掌握有关定义，不要漏数．52．把下列各数填在表示集合的相应大括号中：+6，-8，-0.4，25，0，-23，9.15，145正整数集合﹛﹜负分数集合﹛﹜非负数集合﹛﹜【答案】见解析【分析】按照有理数的分类填写．【详解】解：正整数集合{+6，25，...}负分数集合{-0.4，-23，...}非负数集合{+6，25，0，9.15，145，...}【点睛】本题考查了有理数的分类．认真掌握正整数、负分数、非负数的定义与特点．注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．53．如图，每个椭圆表示一个数集，请在每个椭圆内填上6个数，其中三个写在重叠部分，【答案】见解析【分析】根据负数与整数集合重叠部分为负整数，列举出几个即可；根据正数与分数集合重叠部分为正分数，列举出几个即可．【详解】解：如图所示：【点睛】此题考查了有理数，熟练掌握整数，分数与正、负数的定义是解本题的关键．54．把下列各数分别填在相应的横线上：－0.2，135，－（－5），－7，0，13-，0.618，200％，－2π，－0.1010010001…．分数有：__________________________________________________；自然数有：________________________________________________；负有理数有：______________________________________________．【答案】－0.2，135，13-，0.618；－（－5），0，200％；－0.2，－7，13-【分析】按照有理数的分类正确分类求解．【详解】解：－（－5）=5，200％=2分数有：－0.2，135，13-，0.618；自然数有：－（－5），0，200％；负有理数有：－0.2，－7，1 3 -【点睛】本题考查有理数的分类，正确理解概念是解题关键．55．请把下列各数填入相应的集合中：﹣(＋4)，|﹣3.5|，0，3π，10%，2018，＋(﹣5)，﹣2.030030003…（每两个3之间逐次加一个0）．正分数集合：{ …}；负有理数集合：{ …}；非负整数集合：{ …}；无理数集合：{ …}．【答案】|﹣3.5|，10%；﹣(+4)，+(-5)；0，2018；3π，﹣2.030030003… 【分析】根据实数的分类判断即可；【详解】正分数集合：{ |﹣3.5|，10% …}；负有理数集合：{ ﹣（+4），+（-5） …}；非负整数集合：{ 0，2018 …}；无理数集合：{3π，﹣2.030030003… …}． 【点睛】本题主要考查了实数的分类，准确分析判断是解题的关键．。