物理视角下的期权定价方程
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作者简介
陶勇 ( 1981 年出生 ) , 男 , 重庆北碚人 , 重庆大学经济与工商管理学院数量经济专业 2007 级硕士研究生 .
物理与工程 票价格为 S , 且 S > E, 则购买者会赢利 S - E - C; 当然如果 T 时刻股票价格 S < E, 购买者也可以不 执行交易 , 此时购买者仅损失单位期权费 C. 卖出期权: 指期权购买者看好某支股票 在将 来会跌, 便与期权出售者 约定 在将来的 T 时刻 以现在的零时刻该股票的 约定 价格 E 卖出一定 数量该股票, 但这一 约定 必须按股票数量支付 零时刻商讨的单位期权费 C. 如设在 T 时刻的股 票价格为 S , 且 S < E, 则购买者会赢利 E - S - C; 当然如果 T 时刻股票价格 S > E, 购买者也可以不 执行交易 , 此时购买者仅损失单位期权费 C. 可以看到期权购买者的赢利与期权的价格 C 息息相关 , 那么如何为零时刻的期权制定价 格进 行交易呢 ? 1 方法一 我们的目的是要找到一种方法为期权定价 , 即找到 C 的表达式 . 从上面的论述容易看出期权 价格 C 应该 是股 票价格 S 和 时间 t 的函 数, 即 C= C( S, t) . 那么表达式 C= C( S, t) 的形式应该是 什么样子呢? 我们知道物理学中试图寻找一个规 律方程时总是假定存在一个均衡状态 ( 如理论力 学的 力平衡 ; 统计力学中的 最可几状态 ) , 后 来这被精炼为最小作用量原理 . 事实上, 诸如此类的想法在经济学中同 样适 用, 一个重要的事实是: 同时购买股票和该股票的 期权可以降低风险. 例如 : 如果我们买了 m 单位股 票 A , 但我们又担心股票 A 将来可能会跌, 那么我 们便可以 买 1 单位股 票 A 的 看跌 期权 ( 卖出 期 权) , 假如将来股票 A 真的跌了 , 我们也可以在期 权市场上赚到钱来填补在股票市场上的损失 . 恰 恰正是这一特征使得股票市场上的风险和期权市 场上的风险可以被对冲掉 , 从而实现整个金 融市 场上的均衡. 现在我们把上面的的想法 ( 均衡 ) 精确化 . 构 造一资产组合: 1 单位期权和 m 单位股票 . 这一组 合的价值 为 = C - mS 微分形式为 d = dC - m d S ( 1) 我们知道买卖股票是有风险的, 而风险来源 于随机性 . 一般来说, 股票价格的变化是随机的 , 和 项得 d C( S, t ) =
由于股票价格的变化是随机的 , 因此该股票 的期权价格也应是随机的. 类比方程( 2) 我们预期 期权价格 C( S , t) 应该为 dC( S, t) = f ( C, t) dt + g( C, t) dB( t) ( 3)
从方程( 2 ) 和方程( 3) 我们可以看到正是由于 dB( t) 项的存在, 使得购买 股票和期权充 满了风 险. 但从式 ( 1) 的结构却可以发现 , 只要适当地选 择 m 便可以从方程 ( 1) 中消去 dB ( t) 项 . 不过, 我 们首先仍必须先确定 f ( C, t ) 和 g( C, t) 的形式 . 为此将 C( S, t ) 作泰勒展开 C C 1 C 2 d C( S, t ) = S S + t t + 2 2 ( S) + S C S t + 1 C ( t) 2 + S t 2 t2 将方程( 2 ) 代入方程 ( 4 ) , 并保留至 Ca + S C+ 1 t 2
近年来, 物理学的思想似乎在融入社会科学 领域 , 并有一系列的文章 [ 1, 2] 开始阐述数理金融核 心工具 Black Scho les 期权定价方程与物理方 法论的联系. 相继又有文章 [ 3] 谈到 Black Scholes 方程与规范场思想的联系 . 至于物理学对于 金融 学的影响 , 或许从华尔街的金融大亨们偏爱 雇用 理论物理学博士这一现象便可窥见一斑 . 在 现今 科学知识相互渗透的时代 , 扩展学生的视野 显得 尤为重要 , 物理系的学生不应只局限在物理学中 , 或许一些学生可能适合于物理与某些学科的交叉 领域 , 较著名的领域便是 eco no physics , 这可以 被译为经济物理 ( 也有人译为金融物理 ) . 而且将 物理学引入经济学的趋势似乎还愈演愈烈, Phys. Rev. E 和 P hy sica A 等国际顶尖杂志上发表的相 关文章数量的增加便是一个明证. 因此 , 让物理系 的本科生在一个较早的时期来接触物理学在经济 应用中的成功案例对于他们将来的发展也必有一 定的助益 . 现今由美国次贷危机所引发的世 界金 融危机就是金融衍生品( 如期权 ) 的使用不当所产
2 2 2 2
( 4) t 的一次
C b2 dt + S2 ( 5)
C b d B( t ) S 比较式( 3 ) 和式 ( 5) 得 f ( C, t) = C a+ S C 1 + t 2
2
C 2 b S2
Cb S 将式 ( 2) 和式( 5) 代入方程 ( 1) 得 g ( C, t) = d = Ca + S C+ t 2
2
r dt CS S r
C 2 b = S2
2
r=
C-
u( X 2 ,
2
) =
所以 , 均衡市场的期权定价方程为 C + 1 b 2 C + rS C - rC = 0 2 t 2 S S 当 a( S, t) = S 和 b ( S, t ) = S 时, 上式便是 著名的 Black Scholes 期权定价方程 C + rS C - rC = 0 ( 7) 2 S S 这里, 为股票价格的期望收益 ( 注意它并不会出现
Vo l. 19
No. 5
2009
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它被看作一个布朗运动 . 股票价格的变化服从布 朗运动意味着方差 Var ( dS ) ~ d t ( 请回忆布朗运 动的爱因斯坦公式 ) , 因此保留至 t 一次项 ( 普通 微积分的必要形式 ) 的 dS 的普遍形式为 d S = a( S, t ) dt + b( S, t ) d B( t ) 其中 , dB ( t ) = 准的正态分布 . ( 2) dt , 并且 ~ N ( 0, 1 ) , 即服从标
C+ 1 t 2
2
S2
在方程( 7) 中) ; 为股票价格的波动率( 均方差 ) . 这 时, 方程( 2) 可以保证股票价格不取负值 ( 这被看作 a( S, t ) 和 b ( S, t ) 的 形 式 的 一 个 重 要 判 定 ) . max ( S - E , 0) ( 买入期权) 在边界条件 C( S , T ) = max ( E - S , 0) ( 卖出期权) 下, 便可以从方程 ( 7 ) 解出期权的价格 , 有兴趣可 参阅文献 [ 4] . 2 方法二 Black Scholes 方程在形式上很像统计物理中 的 Plank Fo ck 方程 , 可惜却不 是, 更 重要的是 现 实中 的 股 票 价 格 S 不 能 为 负 . 但 如 果 我 们 对 C( S, t ) 和 S 作一个变量替换, 方程 ( 7) 便会成为一 个使物理系的学生熟悉的形式 . 为此我们令 S= e ,
2
C b2 - am dt + S2
C- m b d B( t ) S 显然只需同时选择 m = C 单位的股票和 1 单 S 位期权便可以将资产组合的风险 ( 随机性) d B ( t ) 项消去. 因此 , 投资者的无风险收益为 C 1 2C 2 d = + b dt t 2 S2
( 6)
56
[ 注]
( 8)
这里 , u( X , ) 也可被看作一种 期权价格 , 即相当于 原 期 权 价格 C ( S, t ) 以复 利 率 2r 贴 2 现
[ 注]
; 而 X 也可以被看作该 期权 的股票价格,
只不过这种虚拟的股票价格可以为负 . 实际上, 这 里的 贴现 需要到经济学中才能作出解释 ( 有兴 趣可参阅文献 [ 5] ) ; 如果要从物理上进行理解, 那 么可以解 释为 : 贴 现 ( 函数 变换 ) 后 的期 权价 格 u( X , ) 才能够被归一化, 即可被理解为股票价格 X 的分布函数. 由于方 程 ( 8) 和 P lank F ock 方程 完全一致 , 下面我们用标准的统计力学方法来导 出方程( 8 ) . 关键的一步是令
关键词 期权; 布朗运动 ; 格林函数 ; 薛定谔方程
THE EQUATION OF OPTION VALUATION BASED ON PHYSICAL VIEWPOINT
Tao Yong
( Econ om y and Bu siness M anagemen t Inst it ut e, Chong qin g U n iversit y, Chongqing 400044)
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物理与工程
Vol. 19 N o. 5
2009
物理视角下的期权定价方程
陶 勇 ( 重庆大学经济与工商管理学院 , 重庆
( 收稿日期 : 2009 05 06)
400044)
摘
要 以大学物理的角度来介绍三种推导 Black Scholes 期权定价方程的方法 , 并以物理专 业易于理解的方式来剖析相关的推导过程.
物理与工程
Vol. 19 N o. 5
2009 u= u + 2r - 1 u 2 2 X X (< X <+ )
2
现在我们要讲一点经济学了. 方程 ( 6 ) 为无风 险的收益 , 就意味着我们只要按照方程 ( 6 ) 的程式 来安排投资便 可以不顾虑市 场风险而总是赚 到 钱. 但问题是如果每个人都按这种方式设计 投资 方案 , 那岂非就意味着每个人都可以大把地赚钱 ? 现实中当然不是这样 , 实际上人们惟一能不 顾虑 市场风险而赚到钱的方式几乎 ( 除开经济危机 ) 只 有将钱存入信誉卓 著的银行, 然后享受利率 为 r 的增值收益; 否则, 市场是不可能达到均衡的 . 这 个思想意味着从整个市场来看 , 无风险的股 票和 期权的投资组合仍旧只相当于将钱存入( 投资到 ) 银行 . 因此 , 无风 险收益 d 应 该与无风险利 率 r 的投入相当, 即
陶勇 ( 1981 年出生 ) , 男 , 重庆北碚人 , 重庆大学经济与工商管理学院数量经济专业 2007 级硕士研究生 .
物理与工程 票价格为 S , 且 S > E, 则购买者会赢利 S - E - C; 当然如果 T 时刻股票价格 S < E, 购买者也可以不 执行交易 , 此时购买者仅损失单位期权费 C. 卖出期权: 指期权购买者看好某支股票 在将 来会跌, 便与期权出售者 约定 在将来的 T 时刻 以现在的零时刻该股票的 约定 价格 E 卖出一定 数量该股票, 但这一 约定 必须按股票数量支付 零时刻商讨的单位期权费 C. 如设在 T 时刻的股 票价格为 S , 且 S < E, 则购买者会赢利 E - S - C; 当然如果 T 时刻股票价格 S > E, 购买者也可以不 执行交易 , 此时购买者仅损失单位期权费 C. 可以看到期权购买者的赢利与期权的价格 C 息息相关 , 那么如何为零时刻的期权制定价 格进 行交易呢 ? 1 方法一 我们的目的是要找到一种方法为期权定价 , 即找到 C 的表达式 . 从上面的论述容易看出期权 价格 C 应该 是股 票价格 S 和 时间 t 的函 数, 即 C= C( S, t) . 那么表达式 C= C( S, t) 的形式应该是 什么样子呢? 我们知道物理学中试图寻找一个规 律方程时总是假定存在一个均衡状态 ( 如理论力 学的 力平衡 ; 统计力学中的 最可几状态 ) , 后 来这被精炼为最小作用量原理 . 事实上, 诸如此类的想法在经济学中同 样适 用, 一个重要的事实是: 同时购买股票和该股票的 期权可以降低风险. 例如 : 如果我们买了 m 单位股 票 A , 但我们又担心股票 A 将来可能会跌, 那么我 们便可以 买 1 单位股 票 A 的 看跌 期权 ( 卖出 期 权) , 假如将来股票 A 真的跌了 , 我们也可以在期 权市场上赚到钱来填补在股票市场上的损失 . 恰 恰正是这一特征使得股票市场上的风险和期权市 场上的风险可以被对冲掉 , 从而实现整个金 融市 场上的均衡. 现在我们把上面的的想法 ( 均衡 ) 精确化 . 构 造一资产组合: 1 单位期权和 m 单位股票 . 这一组 合的价值 为 = C - mS 微分形式为 d = dC - m d S ( 1) 我们知道买卖股票是有风险的, 而风险来源 于随机性 . 一般来说, 股票价格的变化是随机的 , 和 项得 d C( S, t ) =
由于股票价格的变化是随机的 , 因此该股票 的期权价格也应是随机的. 类比方程( 2) 我们预期 期权价格 C( S , t) 应该为 dC( S, t) = f ( C, t) dt + g( C, t) dB( t) ( 3)
从方程( 2 ) 和方程( 3) 我们可以看到正是由于 dB( t) 项的存在, 使得购买 股票和期权充 满了风 险. 但从式 ( 1) 的结构却可以发现 , 只要适当地选 择 m 便可以从方程 ( 1) 中消去 dB ( t) 项 . 不过, 我 们首先仍必须先确定 f ( C, t ) 和 g( C, t) 的形式 . 为此将 C( S, t ) 作泰勒展开 C C 1 C 2 d C( S, t ) = S S + t t + 2 2 ( S) + S C S t + 1 C ( t) 2 + S t 2 t2 将方程( 2 ) 代入方程 ( 4 ) , 并保留至 Ca + S C+ 1 t 2
近年来, 物理学的思想似乎在融入社会科学 领域 , 并有一系列的文章 [ 1, 2] 开始阐述数理金融核 心工具 Black Scho les 期权定价方程与物理方 法论的联系. 相继又有文章 [ 3] 谈到 Black Scholes 方程与规范场思想的联系 . 至于物理学对于 金融 学的影响 , 或许从华尔街的金融大亨们偏爱 雇用 理论物理学博士这一现象便可窥见一斑 . 在 现今 科学知识相互渗透的时代 , 扩展学生的视野 显得 尤为重要 , 物理系的学生不应只局限在物理学中 , 或许一些学生可能适合于物理与某些学科的交叉 领域 , 较著名的领域便是 eco no physics , 这可以 被译为经济物理 ( 也有人译为金融物理 ) . 而且将 物理学引入经济学的趋势似乎还愈演愈烈, Phys. Rev. E 和 P hy sica A 等国际顶尖杂志上发表的相 关文章数量的增加便是一个明证. 因此 , 让物理系 的本科生在一个较早的时期来接触物理学在经济 应用中的成功案例对于他们将来的发展也必有一 定的助益 . 现今由美国次贷危机所引发的世 界金 融危机就是金融衍生品( 如期权 ) 的使用不当所产
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( 4) t 的一次
C b2 dt + S2 ( 5)
C b d B( t ) S 比较式( 3 ) 和式 ( 5) 得 f ( C, t) = C a+ S C 1 + t 2
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C 2 b S2
Cb S 将式 ( 2) 和式( 5) 代入方程 ( 1) 得 g ( C, t) = d = Ca + S C+ t 2
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r dt CS S r
C 2 b = S2
2
r=
C-
u( X 2 ,
2
) =
所以 , 均衡市场的期权定价方程为 C + 1 b 2 C + rS C - rC = 0 2 t 2 S S 当 a( S, t) = S 和 b ( S, t ) = S 时, 上式便是 著名的 Black Scholes 期权定价方程 C + rS C - rC = 0 ( 7) 2 S S 这里, 为股票价格的期望收益 ( 注意它并不会出现
Vo l. 19
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它被看作一个布朗运动 . 股票价格的变化服从布 朗运动意味着方差 Var ( dS ) ~ d t ( 请回忆布朗运 动的爱因斯坦公式 ) , 因此保留至 t 一次项 ( 普通 微积分的必要形式 ) 的 dS 的普遍形式为 d S = a( S, t ) dt + b( S, t ) d B( t ) 其中 , dB ( t ) = 准的正态分布 . ( 2) dt , 并且 ~ N ( 0, 1 ) , 即服从标
C+ 1 t 2
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在方程( 7) 中) ; 为股票价格的波动率( 均方差 ) . 这 时, 方程( 2) 可以保证股票价格不取负值 ( 这被看作 a( S, t ) 和 b ( S, t ) 的 形 式 的 一 个 重 要 判 定 ) . max ( S - E , 0) ( 买入期权) 在边界条件 C( S , T ) = max ( E - S , 0) ( 卖出期权) 下, 便可以从方程 ( 7 ) 解出期权的价格 , 有兴趣可 参阅文献 [ 4] . 2 方法二 Black Scholes 方程在形式上很像统计物理中 的 Plank Fo ck 方程 , 可惜却不 是, 更 重要的是 现 实中 的 股 票 价 格 S 不 能 为 负 . 但 如 果 我 们 对 C( S, t ) 和 S 作一个变量替换, 方程 ( 7) 便会成为一 个使物理系的学生熟悉的形式 . 为此我们令 S= e ,
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C b2 - am dt + S2
C- m b d B( t ) S 显然只需同时选择 m = C 单位的股票和 1 单 S 位期权便可以将资产组合的风险 ( 随机性) d B ( t ) 项消去. 因此 , 投资者的无风险收益为 C 1 2C 2 d = + b dt t 2 S2
( 6)
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[ 注]
( 8)
这里 , u( X , ) 也可被看作一种 期权价格 , 即相当于 原 期 权 价格 C ( S, t ) 以复 利 率 2r 贴 2 现
[ 注]
; 而 X 也可以被看作该 期权 的股票价格,
只不过这种虚拟的股票价格可以为负 . 实际上, 这 里的 贴现 需要到经济学中才能作出解释 ( 有兴 趣可参阅文献 [ 5] ) ; 如果要从物理上进行理解, 那 么可以解 释为 : 贴 现 ( 函数 变换 ) 后 的期 权价 格 u( X , ) 才能够被归一化, 即可被理解为股票价格 X 的分布函数. 由于方 程 ( 8) 和 P lank F ock 方程 完全一致 , 下面我们用标准的统计力学方法来导 出方程( 8 ) . 关键的一步是令
关键词 期权; 布朗运动 ; 格林函数 ; 薛定谔方程
THE EQUATION OF OPTION VALUATION BASED ON PHYSICAL VIEWPOINT
Tao Yong
( Econ om y and Bu siness M anagemen t Inst it ut e, Chong qin g U n iversit y, Chongqing 400044)
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物理与工程
Vol. 19 N o. 5
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物理视角下的期权定价方程
陶 勇 ( 重庆大学经济与工商管理学院 , 重庆
( 收稿日期 : 2009 05 06)
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要 以大学物理的角度来介绍三种推导 Black Scholes 期权定价方程的方法 , 并以物理专 业易于理解的方式来剖析相关的推导过程.
物理与工程
Vol. 19 N o. 5
2009 u= u + 2r - 1 u 2 2 X X (< X <+ )
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现在我们要讲一点经济学了. 方程 ( 6 ) 为无风 险的收益 , 就意味着我们只要按照方程 ( 6 ) 的程式 来安排投资便 可以不顾虑市 场风险而总是赚 到 钱. 但问题是如果每个人都按这种方式设计 投资 方案 , 那岂非就意味着每个人都可以大把地赚钱 ? 现实中当然不是这样 , 实际上人们惟一能不 顾虑 市场风险而赚到钱的方式几乎 ( 除开经济危机 ) 只 有将钱存入信誉卓 著的银行, 然后享受利率 为 r 的增值收益; 否则, 市场是不可能达到均衡的 . 这 个思想意味着从整个市场来看 , 无风险的股 票和 期权的投资组合仍旧只相当于将钱存入( 投资到 ) 银行 . 因此 , 无风 险收益 d 应 该与无风险利 率 r 的投入相当, 即
