2019版高考数学二轮复习 专题一 常考小题点 专题突破练4 从审题中寻找解题思路 文
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专题突破练4 从审题中寻找解题思路
一、选择题
1.(2018河北唐山三模,理3)已知tan=1,则tan=()
A.2-
B.2+
C.-2-
D.-2+
2.(2018河北衡水中学十模,理3)已知△ABC中,sin A+2sin B cos C=0,b=c,则tan A的值是()
A.
B.
C.
D.
3.已知F1,F2是双曲线C:=1(a>0,b>0)的两个焦点,P是C上一点,若|PF1|+|PF2|=6a,且△PF1F2最小的内角为30°,则双曲线C的渐近线方程是()
A.x±y=0
B.x±y=0
C.x±2y=0
D.2x±y=0
4.(2018河南六市联考一,文5)已知函数f(x)=2sin(ω>0)的图象与函数g(x)=cos(2x+φ)的图象的对称中心完全相同,则φ为()
A.
B.-
C.
D.-
5.已知双曲线C:x2-=1,过点P(1,1)作直线l,使l与C有且只有一个公共点,则满足上述条件的直线l的条数共
有()
A.3
B.2
C.1
D.4
6.(2018河北保定一模,文4)已知非零向量a=(x,2x),b=(x,-2),则“x<0或x>4”是“向量a与b的夹角为锐角”的()
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
7.设双曲线=1(0<a<b)的半焦距为c,直线l过(a,0),(0,b)两点,已知原点到直线l的距离为c,则双曲线的离心率为()
A.2
B.
C.
D.
8.已知函数f(x)既是二次函数又是幂函数,函数g(x)是R上的奇函数,函数h(x)=+1,则h(2 018)+h(2
017)+…+h(1)+h(0)+h(-1)+…+h(-2 017)+h(-2 018)=()
A.0
B.2 018
C.4 036
D.4 037
二、填空题
9.已知a,b,c分别为△ABC的三个内角A,B,C的对边,a=3,b=2,且ac cos B=a2-b2+bc,则B=.
10.下表中的数阵为“森德拉姆素数筛”,其特点是每行每列都成等差数列,记第i行第j列的数为a i,j(i,j∈N*),则
(1)a9,9=;
(2)表中的数82
11.已知锐角三角形ABC的三个内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若b是和2的等比中项,c是1和5的等差中
项,则a的取值范围是.
三、解答题
12.已知数列{a n}是公差不为零的等差数列,a1=2,且a2,a4,a8成等比数列.
(1)求数列{a n}的通项;
(2)设{b n-(-1)n a n}是等比数列,且b2=7,b5=71.求数列{b n}的前n项和T n.
13.已知函数f(x)=ln x+a(1-x).
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)当f(x)有最大值,且最大值大于2a-2时,求a的取值范围.
参考答案
专题突破练4从审题中
寻找解题思路
1.D解析 tan
=tan
==-2+.
2.A解析∵sin A+2sin B cos C=0,
∴sin(B+C)+2sin B cos C=0.
∴3sin B cos C+cos B sin C=0.
∵cos B≠0,cos C≠0,
∴3tan B=-tan C.
∵b=c,∴c>b.∴C>B.
∴B为锐角,C为钝角.∴tan A=-tan(B+C)=-, 当且仅当tan B=时取等号.
∴tan A的最大值是.故选A.
3.A解析由题意,不妨设|PF1|>|PF2|,则根据双曲线的定义得,|PF1|-|PF2|=2a,又|PF1|+|PF2|=6a,
解得|PF1|=4a,|PF2|=2a.
在△PF1F2中,|F1F2|=2c,而c>a,所以有|PF2|<|F1F2|,
所以∠PF1F2=30°,所以(2a)2=(2c)2+(4a)2-2·2c·4a cos 30°,得c=a,所以b=a,所以双曲
线的渐近线方程为y=±x,即y=±x,即x±y=0.
4.D解析∵两函数图象的对称中心完全相同,∴两个函数的周期相同,∴ω=2,
即f(x)=2sin,
而函数f(x)的对称中心为(kπ,0),
∴2x+=kπ,x=,
则g
=cos
=cos
=±cos=0,
即φ-=kπ+,则φ=kπ+,当k=-1时,φ=-.
5.D解析当直线l斜率存在时,令l:y-1=k(x-1),代入x2-=1中整理有(4-k2)x2+2k(k-1)x-k2+2k-5=0.当4-k2=0,
即k=±2时,l和双曲线的渐近线平行,有一个公共点.当k≠±2时,由Δ=0,解得k=,即k=时,有一个切点.直线l斜率不存在时,x=1也和曲线C有一个切点.
综上,共有4条满足条件的直线.
6.B解析向量a与b的夹角为锐角的充要条件为a·b>0且向量a与b不共线,即x2-4x>0,且-2x≠2x2,∴x>4或x<0,且x≠-1,故x>4或x<0是向量a与b夹角为锐角的必要不充分条件,选B.
7.A解析∵直线l过(a,0),(0,b)两点,
∴直线l的方程为=1,即bx+ay-ab=0.又原点到直线l的距离为c,
∴c,即c2,
又c2=a2+b2,
∴a2(c2-a2)=c4,
即c4-a2c2+a4=0,
化简得(e2-4)(3e2-4)=0,
∴e2=4或e2=.
又∵0<a<b,
∴e2==1+>2,
∴e2=4,即e=2,故选A.
8.D解析∵函数f(x)既是二次函数又是幂函数,
∴f(x)=x2.
∴h(x)=+1,
因此h(x)+h(-x)=+1++1=2,h(0)=+1=1,因此h(2 018)+h(2 017)+h(2 016)+…+h(1)+h(0)+h(-1)+…+h(-2 017)+h(-2 018)=2 018×2+1=4 037,选D.
9.解析∵ac cos B=a2-b2+bc,
∴(a2+c2-b2)=a2-b2+bc.
∴b2+c2-a2=bc.
∴cos A=,
∴sin A=.由正弦定理得,
∴sin B=.
∵b<a,∴B=.
10.(1)82(2)5解析 (1)a9,9表示第9行第9列,第1行的公差为1,第2行的公差为2……第9行的公差为9,第9行的首项b1=10,则b9=10+8×9=82.
(2)第1行数组成的数列a1,j(j=1,2,…)是以2为首项,公差为1的等差数列,所以a1,j=2+(j-1)·1=j+1;第i 行数组成的数列a i,j(j=1,2,…)是以i+1为首项,公差为i的等差数列,所以a i,j=(i+1)+(j-1)i=ij+1,由题意得a i,j=ij+1=82,即ij=81,且i,j∈N*,所以81=81×1=27×3=9×9=1×81=3×27,故表格中82共出现5次.
11.(2)解析因为b是和2的等比中项,所以b==1;因为c是1和5的等差中项,所以
c==3.
又因为△ABC为锐角三角形,
①当a为最大边时,
有
解得3≤a<;
②当c为最大边时,有
解得2<a≤3.
由①②得2<a<,
所以a的取值范围是(2).
12.解 (1)设数列{a n}的公差为d(d≠0),
∵a1=2,且a2,a4,a8成等比数列,
∴(3d+2)2=(d+2)(7d+2),解得d=2,故a n=a1+(n-1)d=2n.
(2)令c n=b n-(-1)n a n,设{c n}的公比为q.
∵b2=7,b5=71,a n=2n,
∴c2=b2-a2=3,c5=81,
∴q3==27,q=3,
∴c n=c2=3n-1.
从而b n=3n-1+(-1)n2n.
T n=b1+b2+…+b n=(30+31+…+3n-1)+[-2+4-6+…+(-1)n2n],当n为偶数时,T n=,当n为奇数时,T n=.
13.解 (1)f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=-a.
若a≤0,则f'(x)>0,
所以f(x)在(0,+∞)上单调递增.
若a>0,则当x∈时,f'(x)>0;当x∈时,f'(x)<0.
所以f(x)在上单调递增,在上单调递减.
(2)由(1)知,当a≤0时,f(x)在(0,+∞)上无最大值;
当a>0时,f(x)在x=处取得最大值,最大值为
f=ln+a=-ln a+a-1.
因此f>2a-2等价于ln a+a-1<0.
令g(a)=ln a+a-1,则g(a)在(0,+∞)上单调递增, g(1)=0.于是,当0<a<1时,g(a)<0;当a>1时,g(a)>0.因此,a的取值范围是(0,1).。
