下载文档原格式
三角函数的诱导公式和和差公式三角函数是数学中常用的一类函数，其中最为基础和重要的有正弦函数、余弦函数和正切函数。
在解决三角函数运算和计算问题时，经常会用到诱导公式和和差公式，它们是将一个角的三角函数表达式化简为另外一个角的三角函数表达式的重要工具。
本文将介绍三角函数的诱导公式和和差公式的定义和使用方法，并通过实例加以说明。
一、诱导公式1. 正弦函数和余弦函数的诱导公式对于任意角θ，根据单位圆的定义可知，在单位圆上有一点P(x,y)对应着角θ的弧度值，其中x和y分别为点P的横坐标和纵坐标。
根据正弦函数sinθ的定义可得sinθ = y同样，根据余弦函数cosθ的定义可得cosθ = x考虑到单位圆上的对称性，对于角θ而言，将角θ绕原点旋转π/2（即90°）可以得到一个新角θ + π/2。
根据单位圆的性质，新角对应的点Q(x',y')的坐标为（-y,x）。
由此可以得到，对于角θ而言，正弦函数sin(θ + π/2)和余弦函数cos(θ + π/2)有如下关系：si n(θ + π/2) = y' = -xcos(θ + π/2) = x' = y这就是正弦函数和余弦函数的诱导公式。
2. 正切函数的诱导公式正切函数tanθ的定义为tanθ = sinθ / cosθ根据正弦函数和余弦函数的诱导公式，可以得到：tan(θ + π/2) = sin(θ + π/2) / cos(θ + π/2)= -x / y由此可以推导出正切函数的诱导公式。
二、和差公式1. 正弦函数的和差公式对于两个角α和β，正弦函数sin(α ± β)的和差公式可以表示为：sin(α ± β) = sinα × cosβ ± cosα × sinβ2. 余弦函数的和差公式对于两个角α和β，余弦函数cos(α ± β)的和差公式可以表示为：cos(α ± β) = cosα × cosβ ∓ sinα × sinβ3. 正切函数的和差公式对于两个角α和β，正切函数tan(α ± β)的和差公式可以表示为：tan(α ± β) = (tanα ± tanβ) / (1 ∓ tanα × tanβ)三、实例应用下面通过具体的实例应用来说明诱导公式和和差公式的使用。
三角函数诱导公式
1三角函数诱导公式
三角函数诱导公式是一项重要的数学原理，需要数学爱好者研究和掌握。
它指的是从已知角度对应的三角函数值可以得到一定程度的总结，且每种总结都可以归纳为基本的诱导公式。
三角函数诱导公式的使用，可以节省时间，提高计算效率，常见的三角函数诱导公式有：
1.sin a+b=2sin(a+b/2)cos(a-b/2)
cos a+b=2cos(a+b/2)cos(a-b/2)
2.sin(a-b)=2sin(a/2+b/2)cos(a/2-b/2)
cos(a-b)=cos(a/2+b/2)cos(a/2-b/2)-sin(a/2+b/2)sin(a/2-b/2) 3.sin2A=2sinAcosA
cos2A=cos2A-sin2A=2cos2A-1=1-2sin2A
4.sin3A=3sina-4sin3A
cos3A=4cos3A-3cosA
三角函数诱导公式有助于更加有效地求解三角问题，但不能过于依赖它，只能作为计算辅助手段，将它用于更多地数学思考和创新中。
同时，还要注意上文说的诱导公式只涉及已知角度对应的三角函数值，因此，在求解未知的角的时候，还应使用反三角函数。
通过自
身学习和理解，从而掌握三角函数诱导公式，有助发展数学水平，提高数学活用能力。
完整版)三角函数诱导公式总结三角函数诱导公式与同角的三角函数知识点1】诱导公式及其应用诱导公式是指通过一些特定的公式，将三角函数中的某些角度转化为其他角度，从而简化计算。
以下是常用的诱导公式：公式一：sin(-α) = -sinα；cos(-α) = cosα；tan(-α) = -tanα公式二：sin(π+α) = -sinα；cos(π+α) = -cosα；tan(π+α) =tanα公式三：sin(π-α) = sinα；cos(π-α) = -cosα；tan(π-α) = -tanα公式四：sin(2π-α) = -sinα；cos(2π-α) = cosα；tan(2π-α) = -tanα公式五：sin(π/2-α) = cosα；cos(π/2-α) = sinα公式六：sin(π/2+α) = cosα；cos(π/2+α) = -sinα公式七：sin(-π/2-α) = -cosα；cos(-π/2-α) = -sinα公式八：sin(-π/2+α) = -cosα；cos(-π/2+α) = sinα公式九：sin(α+2kπ) = sinα；cos(α+2kπ) = cosα；tan(α+2kπ) = tanα（其中k∈Z）。
以上公式可以总结为两条规律：1.前四组诱导公式可以概括为：函数名不变，符号看象限。
2.公式五到公式八总结为一句话：函数名改变，符号看象限（原函数所在象限）。
另外，还有一个规律是：奇变偶不变，符号看象限。
也就是说，将三角函数的角度全部化成kπ/2+α或是kπ/2-α的形式，如果k是奇数，那么符号要改变；如果k是偶数，符号不变。
例1、求值：（1）cos(2916π)= ________；（2）tan(-855)= ________；（3）sin(-π)= ________。
例2、已知tan(π+α)=3，求：(2cos(-α)-3sin(π+α))/(4cos(-α)+sin(2π-α))的值。
三角函数的诱导公式(一)常用的诱导公式有以下几组：三角函数诱导公式一：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(-α)=-tanαcot(-α)=-cotα三角函数诱导公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin(π+α)=-sinαcos(π+α)=-cosαtan(π+α)=tanαcot(π+α)=cotα三角函数诱导公式三：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(π-α)=sinαcos(π-α)=-cosαtan(π-α)=-tanαcot(π-α)=-cotα三角函数诱导公式四：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin(2kπ+α)=sinα(k∈Z)cos(2kπ+α)=cosα(k∈Z)tan(2kπ+α)=tanα(k∈Z)cot(2kπ+α)=cotα(k∈Z)三角函数诱导公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(2π-α)=-sinαcos(2π-α)=cosαtan(2π-α)=-tanαcot(2π-α)=-cotα三角函数诱导公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin(π/2+α)=cosαcos(π/2+α)=-sinαtan(π/2+α)=-cotαcot(π/2+α)=-tanαsin(π/2-α)=cosαcos(π/2-α)=sinαtan(π/2-α)=cotαcot(π/2-α)=tanαsin(3π/2+α)=-cosαcos(3π/2+α)=sinαtan(3π/2+α)=-cotαcot(3π/2+α)=-tanαsin(3π/2-α)=-cosαcos(3π/2-α)=-sinαtan(3π/2-α)=cotαcot(3π/2-α)=tanα(以上k∈Z)注意：在做题时，将a看成锐角来做会比较好做。
三角函数诱导公式(一)1、公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin （2kπ+α）=sinα， k∈z cos （2kπ+α）=cosα， k∈z tan （2kπ+α）=tanα， k∈z cot （2kπ+α）=cotα， k∈z sec （2kπ+α）=secα， k∈z csc （2kπ+α）=cscα， k∈z2、公式二：α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin （π+α）=－sinα cos （π+α）=－cosαtan （π+α）= tanα cot （π+α）= cotαsec (π+α) =—secα csc (π+α) =—cscα3、公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：sin （－α）=－sinα cos （－α）= cosα tan （－α）=－tanα cot （－α）=－cotαsec (—α) = secα csc (—α) =—cscα4、公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： sin （π－α）= sinα cos （π－α）=－cosα tan （π－α）=－tanα cot （π－α）=－cotα sec (π—α) =—secα csc (π—α) = cscα5、公式五：利用公式一和公式三可以得2π-α与α的三角函数值之间的关系： sin （2π－α）=－sinα cos （2π－α）= cosα tan （2π－α）=－tanα cot （2π－α）=－cotα sec (2π—α) = secα csc (2π—α) =—cscα习题1.下列等式中,恒成立的是( )(A) sin(1800+2000)=sin2000 (B)cos(-α)=—cos α(C) cos(1800+2000)=—cos2000 (D)sin(-α)=sin α2.sin 2(π+α)-cos(π+α)cos(-α)+1的值是( )(A) 2sin 2α (B)0 (C)1 (D)2 3.sin(-619 )的值是( ) (A) 21(B) -21 (C) 23(D) -234.已知cos(π-x)=—21,23π<x<2π,则sin(2π-x)的值等于( ) (A) 21(B)± 23(C)23 (D) -235.计算sin 34πcos(-6π)tan(-45π)=_________. 6.化简sin 2(-α)tan α+cos 2(π+α)cot α-2 sin(π+α) cos(-α)=__ ___7.计算:sin(-15600)cos9300+cos(-13800) sin(-14100)=_______.8.已知COS(6π+θ)= 33,则COS(65π-θ)=__________. 9.求下列各三角函数值:(1) sin(-13200 ) (2) tan9450 (3)cos655π (4)cot(-322π)10.已知cos(π-α)=- 21,计算: (1) sin(2π-α); (2)cot[2)12(π+k +α](k ∈Z)11.已知sin(α-π) =2cos(2π-α),求)sin()cos(3)2cos(5)sin(ααπαπαπ----+-的值12.(1)求值sin 2(-300) +sin 22250 +2sin2100 +cos 2(-450) ;(2)若sin(π+α)=41,求[]1)cos(cos )cos(-++απααπ—)cos()cos()2cos()cos(απαπαπα-+++-- 值;13．化简:)(cos )tan()2cot()cos()(sin 32πααππααππα++--++。
《三角函数诱导公式（一）》教学案例
江苏省泰兴市第四高级中学 秦承林
一、设计思想：
三角函数是描述周期现象的数学模型，也是一种基本的初等
函数，在数学和其他领域中具有重要的作用。
三角函数既是解决生产实际问题的工具，又是进一步学习新知识的基础，三角函数与实际生活有着紧密的联系，三角函数在解决实际问题中也具有广泛的应用，而其本质就是对三角函数性质的普遍运用。
求解三角函数的单调性、奇偶性、对称性、图像等有关性质问题的前提是将目标进行化简、变形，而诱导公式在其中起着很重要的作用。
学生刚刚学习过同角三角函数的基本关系，同一个角的三种三角函数之间的求解，而对形如“απ±k 2”、“απ±”、“απ±2
”等此类角的三角函数值的求解，是如何转化为锐角α是摆在学生面前刻不容缓急需解决的问题，目前学生已掌握了三角函数的定义，某些特殊的三角函数以及同角三角函数的基本关系式，学生已具备了向新知识领域发展的能力，在原有的认知结构的基础上必有发展新的认知结构的欲望，必能激发学生的兴趣。
二、教学目标：
1、知识目标：
借助于单位圆，推导出正弦、余弦的诱导公式，能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，并解决有关的三角函数求值、化简恒等式的证明问题。
2、能力目标：
理解诱导公式的推导方法，并运用之进行三角函数式的求值、
化简及简单三角函数恒等式的证明；培养学生化归、转化的能力。
3、德育目标：
透过诱导公式的应用，使学生认识到转化“矛盾”是解决问
题的一条行之有效的途径。
三、教学重点：
理解并掌握诱导公式。
四、教学难点：
诱导公式的应用——求三角函数值，化简三角函数式，证明简单的三角恒等式。
五、教学准备：
多媒体教室,PowerPoint 课件等。
六、教学情境设计：
七：教学反思：
1、在归纳诱导公式的特点方面，启发式教学做的不够好，学生启
而不发。
2、在学生独立推导诱导公式三和四时，情况较好。
对利用单位圆
的对称性研究三角函数的性质的思想方法掌握到位。
3、学生对特殊角的三角函数值掌握不熟练，课后要加强训练。
八：教学心得：
新课标提出数学教学是数学活动的教学，而数学活动应是学生自己建构知识的活动。
本节课我通过启发式，探究式教学、讲练结合以及PowerPoint课件等和学生一起探讨了终边相同的角、
终边关于x轴对称、关于y轴对称以及关于原点对称的角的正弦
值、余弦值和正切值之间的相互关系。
从“以学论教”的理念出发，精心设计数学活动，让学生“在参与中体验，在活动中发展”，真正体现以学生主体实践活动为基础的有效课堂教学。
当学生走进数学课堂时，他们的头脑并不是一张白纸——对数学有着自己的认识和感受。
教师不能把他们看着“空的容器”，按照自己的意思往这些“空的容器”里“灌输数学”这样常常会进入误区，因为师生之间在数学知识、数学活动经验、兴趣爱好、社会生活阅历等方面存在很大的差异，这些差异使得他们对同一个教学活动的感觉通常是不一样的。
因此在本节课的教学过程中我尽可能多的把学生头脑中的问题“挤”出来，使他们解决问题的思维过程暴露出来，从而在此基础上给学生加以讲解。
另外，在教学中，我们教师常常把自己学习数学的经历作为选择教学方法的一个重要参照，因为我们每一个人都做过学生，我们每一个人都学过数学，在学习过程中所品尝过的喜怒哀乐，紧张、痛苦和欢乐的经历对我们今天的学生仍有一定的启迪。
当然，我们已有的数学学习经历还不够给自己提供更多、更有价值、可用作反思的素材，那么我们可以“重新做一次学生”，以学习者的身份从事一些探索性的活动，并有意识的对活动过程的有关行为做出反思，也有利于学生对所学知识的掌握。
当然，教学本是一个复杂的过程，这就需要我们在今后的教学过程中，大胆尝试，细心领会，发现问题，积极寻求解决问题的方法。
九：来源：学校2011年春学期《青优课》竞赛一等奖教案。
