中考复习数学专题三角形与四边形(2014)
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三角形1如图1，在等边△ABC 中，点D 是边AC 的中点，点P 是线段DC 上的动点(点P 与点C 不重合)，连结BP ，将△ABP 绕点P 按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜180°），得到△A 1B 1P ，连结AA 1，射线AA 1分别交射线PB 、射线B 1B 于点E 、F ． （1）如图1，当0°＜α＜60°时，在α角变化过程中，△BEF 与△AEP 始终存在相似关系，请说明理由；（2）如图2，设∠ABP ＝β，当60°＜α＜180°时，在α角变化过程中，是否存在△BEF 与△AEP 全等？若存在，求出α与β之间的数量关系；若不存在，请说明理由； （3）如图3，当α＝60°时，点E 、F 与点B 重合．已知AB ＝4，设DP ＝x ，△A 1BB 1的面积为S ，求S 关于x 的函数关系式．2．在△ABC 中，∠A ＝90°，点D 在线段BC 上，∠EDB＝12∠C ，BE ⊥DE ，垂足为E ，DE与AB 相交于点F ． （1）当AB ＝AC 时，（如图1） ①∠EBF ＝_________°；②探究线段BE 与FD 的数量关系，并加以证明；（2）当AB ＝kAC 时（如图2），求 BEFD的值（用含k 的式子表示）．3．如图1，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ，BD 为斜边AC 上的中线，将△ABD 绕点D 顺时针旋转α（0°＜α＜180°），得到△EFD ，点A 的对应点为点E ，点B 的对应点为点F ，连接BE 、CF ．（1）判断BE 与CF 的位置、数量关系，并说明理由；（2）若连接BF 、CE ，请直接写出在旋转过程中四边形BFEC 能形成哪些特殊四边形； （3）如图2，将△ABC 中AB ＝BC 改成AB ≠BC 时，其他条件不变，直接写出α为多少度时（1）中的两个结论同时成立．图2 A B C FD P EA 1B 1 图3 A B CD PA 1B 1图1 AB C F E D 图2 A B C F E D A BCFE D A BCDA BCD图1 A B C FD PE A 1 B 124．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝∠BAC ＝72°，将△ABC 绕点A 顺时针旋转α度（36°＜α＜180°）得到△ADE ，连接CE ，线段BD （或其延长线）分别交AC 、CE 于点G 、F ． （1）求证：△ABG ∽△FCG ；（2）在旋转的过程中，是否存在某一时刻，使得△ABG 与△FCG 全等？若存在，求出此时旋转角α的大小；若不存在，说明理由．5．已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90º，BC ＝5，tan ∠A ＝34．将△ABC 绕点C 逆时针旋转α（45°＜α＜135°）得到△DCE ，设直线DE 与直线AB 相交于点P ，连接CP ． （1）如图1，当CD ⊥AB 时，求证：PC 平分∠EP A ； （2）如图2，当点P 在边AB 上时，求证：PE ＋PB ＝6；（3）在△ABC 旋转过程中，连接BE ，当△BCE 的面积为 2543时，求∠BPE 的度数及PB的长．6已知△ABC 中，点D 在AC 上，点E 在BC 上，且DE ∥AB ．将△CDE 绕点C 按顺时针方向旋转得到△CD ′E ′（∠BCE ′＜180°），连接AD ′、BE ′，设直线BE ′ 与AC 、AD ′ 分别交于点O 、F ．（1）如图1，若△ABC 为等边三角形，则AD ′BE ′的值为________，∠AFB 的度数为________；（2）如图2，若△ABC 满足∠ACB ＝60°，AC ＝3，BC ＝2．①求AD ′BE ′的值和∠AFB 的度数；②若E 是BC 的中点，求△OBC 面积的最大值．A CB D E F G AC BDEF P 图1 A C B D E FP 图2 ACB备用图D AFE ′7．如图1，△ABC 与△EFD 为等腰直角三角形，AC 与DE 重合，AB ＝AC ＝EF ＝9，∠BAC ＝∠DEF ＝90º．固定△ABC ，将△DEF 绕点A 顺时针旋转，当DF 边与AB 边重合时，旋转中止．现不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE ，DF （或它们的延长线）分别交BC （或它的延长线）于G ，H 点，如图2．（1）始终与△AGC 相似的三角形有___________和___________； （2）在图2中，设CG ＝x ，BH ＝y ，求y 关于x 的函数关系式； （3）当x 为何值时，△AGH 是等腰三角形？8如图1，已知线段AB 的长为2a ，点P 是AB 上的动点（P 不与A 、B 重合），分别以AP 、PB 为边向线段AB 的同一侧作正△APC 和正△PBD ．（1）当△APC 与△PBD 的面积之和取最小值时，AP ＝_________；（直接写出结果）（2）连结AD 、BC 相交于点Q ，设∠AQC ＝α，那么α的大小是否随点P 的移动而变化？请说明理由；（3）如图2，若点P 固定，将△PBD 绕点P 按顺时针方向旋转（旋转角小于180°），此时α的大小是否发生变化？（只需直接写出你的猜想，不必证明）9．已知△ABC 是等腰直角三角形，∠A ＝90°，D 是腰AC 上的一个动点，过C 作CE 垂直于BD 或BD 的延长线，垂足为E ，如图1． （1）若BD 是AC 的中线，如图2，求BDCE的值； D A F C B O D ′E E ′ 图1 A B CF (D ) (E ) 图1 ABC F (D ) 图2HEG A C B P D Q图1 A CBP DQ图2（2）若BD 是∠ABC 的角平分线，如图3，求BDCE的值； （3）结合（1）、（2），请你推断BDCE的值的取值范围（直接写出结论，不必证明），并探究BDCE的值能小于43吗？若能，求出满足条件的D 点的位置；若不能，请说明理由．10．Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，M 为AB 中点，将线段BM 绕点B 顺时针旋转90°，得到线段BP ，连接AP 、CP ，CP 交AB 于点N （如图1）． （1）若AC ＝BC ，求证：△NPB ∽△P AB ；（2）若BC ＝2，当AC 的长为多少时，△ACB ∽△ABP ？（3）图1中，当点A 沿直线AC 向下运动（其余条件不变）时，Rt △ABC 、△P AB 、△PBC 都会变化（如图2），若点A 一直运动到BC 下方，请在图3中画出相应的图形．若BC ＝2，设AC ＝x ，△BCP 的面积为S 1，△P AB 的面积为S 2，试问S 1、S 2是否都为定值？若是，求出这个定值；若不是，求出其关于x 的函数关系式．11．如图（1），在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，点E 在AC 上，BE 交CD 于点G ，EF ⊥BE 交AB 于点F ．若AC ＝mBC ，CE ＝nEA （m ，n 为实数）． 试探究线段EF 与EG 的数量关系． （1）如图（2），当m ＝1，n ＝1时，EF 与EG 的数量关系是____________；证明： （2）如图（3），当m ＝1，n 为任意实数时，EF 与EG 的数量关系是____________；证明： （3）如图（1），当m ，n 为任意实数时，EF 与EG 的数量关系是____________．（写出关系式，不必证明）（图1） B A C D E（图2） B A C D E （图3） B ACDE图1 C AB N M P MBC A图 3图2 C A BM P 图（1）CA B FDG E 图（2）C A B F DG E图（3）C A BF DG E12．Rt △ABC 的直角顶点B 在Rt △DEF 的斜边DF 上，已知AB ＝DF ，DE ＝EF ，∠A ＝30°．固定△DEF 不动，将△ABC 绕点B 旋转，并使边AB 与边DE 交于点P ，边BC 与边EF 于点Q ．（1）如图1，若FBBD ＝m ，求BPBQ的值，并确定m 的取值范围；（2）若DF ＝30， FBBD＝2，连接PQ ，设△BPQ 的面积为S ，在旋转过程中：①如图2，当点E 恰好落在边AC 上时，求AE 的长；②S 是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值，若不存在，请说明理由； ③随着S 取不同的值，对应△BPQ 的个数有哪些变化？求相应S 值的取值范围．13．在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝α，点D 是BC 上一动点（不与B 、C 重合），将线段AD 绕点A 逆时针旋转α后到达AE 位置，连接DE 、CE ，设∠BCE ＝β． （1）如图1，若α＝90°，求β的大小；（2）如图2，当点D 在线段BC 上运动时，试探究α与β之间的数量关系，并证明你的结论；（3）当点D 在线段BC 的反向延长线上运动时，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请写出α与β之间的数量关系，并说明理由．14．如图，在平面直角坐标系中，已知△AOB 为等边三角形，点A 的坐标为（0，4），点B在第一象限，点P 是x 轴上的一个动点，将△AOP 绕点A 按逆时针方向旋转，使边AO 与AB 重合，得到△ABC ． （1）求直线AB 的解析式；（2）当点P 运动到点（3，0）时，求此时CP 的长及点C 的坐标； （3）是否存在点P ，使△COP 的面积等于34？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．Q E D F B A PC 图1 Q ED FBA PC图2 H E D C B A图1 E D C B A 图2 O P x By C A OxByA备用图15．在□ABCD 中，∠BAD 的平分线交直线BC 于点E ，交直线DC 于点F ． （1）在图1中证明CE ＝CF ； （2）若∠ABC ＝90°，G 是EF 的中点（如图2），直接写出∠BDG 的度数 （3）若∠ABC ＝120°，FG ∥CE ，FG ＝CE ，分别连结DB 、DG （如图3），求∠BDG 的度数．16．在正方形ABCD 的边AB 上任取一点E ，作EF ⊥AB 交BD 于点F ，如图1．（1）将图1中的△BEF 绕点B 逆时针旋转90°，取DF 的中点G ，连接EG ，CG ，如图2，则线段EG 和CG 有怎样的数量关系和位置关系？请直接写出你的猜想； （2）将图1中的△BEF 绕点B 逆时针旋转180°，取DF 的中点G ，连接EG ，CG ，如图3，则线段EG 和CG 有怎样的数量关系和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明；（3）将图1中的△BEF 绕点B 逆时针旋转任意角度，取DF 的中点G ，连接EG ，CG ，如图3，则线段EG 和CG 又有怎样的数量关系和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明．17．在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，设锐角∠DOC ＝α，将△DOC 绕点O 按逆时针方向旋转得到△D ′OC ′（0°＜旋转角＜90°），连接AC ′、BD ′，AC ′ 与BD ′ 相交于点M ．（1）当四边形ABCD 是矩形时，如图1，请猜想AC ′ 与BD ′ 的数量关系以及∠AMB 与α的大小关系，并证明你的猜想；（2）当四边形ABCD 是平行四边形时，如图2，已知AC ＝kBD ，请猜想此时AC ′ 与BD ′的数量关系以及∠AMB 与α的大小关系，并证明你的猜想；（3）当四边形ABCD 是等腰梯形时，如图3，AD ∥BC ，此时（1）AC ′ 与BD ′ 的数量关系是否成立？∠AMB 与α的大小关系是否成立？不必证明，直接写出结论．图3A DBC E F G 图2 A B C FDE G 图1 A B CF D E M BCA O D C ′ D ′ 图1MBCA OD C ′D ′ 图2MBCA O D C ′D ′图3C A BDE GF 图2 CA BDEG F图4C A BDE GF 图3 C A B D EF 图118．如图l ，己知正方形ABCD ，点E 、F 分别在边AB 、AD 上，且AE ＝AF ． （1）如图2，将△AEF 绕点A 顺时针旋转∠α，当0°＜α＜90°时，连接BE 、DF ，判断线段BE 、DF 的数量关系和位置关系，并加以证明；（2）如图3，将△AEF 绕点A 顺时针旋转∠α，当α＝90°时，连接BE 、DF ，当AE 与AD 满足什么数量关系时，直线DF 垂直平分BE ？请说明理由； （3）如图4，将△AEF 绕点A 顺时针旋转∠α，当90°＜α＜180°时，连接BD 、DE 、EF 、FB 得到四边形BDEF ，则顺次连接四边形BDEF 各边中点所组成的四边形是什么特殊四边形？请说明理由．19如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC ＝90º，BC ＝2，D 是线段BC 上一点，以AD 为边，在AD 的右侧作正方形ADEF ．直线AE 与直线BC 交于点G ，连接CF ． （1）猜想线段CF 与线段BD 的数量关系和位置关系，并说明理由； （2）连接FG ，当△CFG 是等腰三角形时，求BD 的长．20．在矩形ABCD 中，点E 是AD 边上一点，∠ABE ＝30°，BE ＝DE ，连接BD ．动点M 从点E 出发沿射线ED 运动，过点M 作MN ∥BD 交直线BE 于点N ． （1）如图1，当点M 在线段ED 上时，求证：BE ＝PD ＋33MN ； （2）若BC ＝6，设MN 长为x ，以M 、N 、D 为顶点的三角形面积为y ，求y 关于x 的函数关系式；（3）在（2）的条件下，当点M 运动到线段ED 的中点时，连接NC ，过点M 作MF ⊥NC 于F ，MF 交对角线BD 于点G （如图2），求线段MG 的长．B D AC EF 图1 B D A C E F图2 B D A C E F 图3 BD ACEF图4D C B FE A G C B A 备用图 A E M BD NC 图1A E BD C 备用图A E M BDN C图2GF21．已知菱形ABCD 的边长为1，∠ADC ＝60°，等边△AEF 两边分别交边DC 、CB 于点E 、F ．（1）特殊发现：如图1，若点E 、F 分别是边DC 、CB 的中点，求证：菱形ABCD 对角线AC 、BD 的交点O 即为等边△AEF 的外心；（2）若点E 、F 始终分别在边DC 、CB 上移动，记等边△AEF 的外心为点P ． ①猜想验证：如图2，猜想△AEF 的外心P 落在哪一直线上，并加以证明；②拓展运用：如图3，当△AEF 面积最小时，过点P 任作一直线分别交边DA 于点M ，交边DC 的延长线于点N ，试判断1DM＋1DN是否为定值．若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．22．如图1，边长为2的正方形ABCD 中，E 是BA 延长线上一点，且AE ＝AB ，点P 从点D 出发，以每秒1个单位长度的速度沿D →C →B 向终点B 运动，直线EP 交AD 于F ，过点F 作直线FG ⊥DE 于G ，交AB 于Q ．设点P 运动时间为t （秒）． （1）求证：AF ＝AQ ；（2）当t 为何值时，四边形PQBC 是矩形？（3）如图2，连接PB ，当t 为何值时，△PQB 是等腰三角形？23．已知矩形ABCD 中，AB ＝7，AD ＝6，菱形EFGH 的三个顶点E 、G 、H 分别在矩形ABCD 的边AB 、CD 、DA 上，且AH ＝2，连接CF ．（1）当四边形EFGH 为正方形时，求DG 的长；（2）当△FCG 的面积为1时，求DG 的长；（3）当△FCG 的面积最小时，求DG 的长．图1 A E B D F C O 图2 A EBD F C P 图3 AE BD F C PN M A B C E D F G Q P 图1 A B C E D FG Q P 图 2 AC D BFEG HC A B E DG O B 1A 1C1D 1F24．如图，已知正方形ABCD 的边长为12，对角线AC 、BD 相交于点O ，正方形A 1B 1C 1D 1的顶点A 1与点O 重合，A 1B 1交BC 于点E ，A 1D 1交CD 于点F ，A 1C 1交BC 于点G ，连接EF 、GF ． （1）求证：△A 1EG ≌△A 1FG ；（2）①若FG ＝5，求FC 的长； ②若A 1E ＝210，求FC 的长；（3）设FC ＝x ，△A 1EF 的面积为S ，求S 关于x 的函数关系式；S 是否存在最小值，若存在，求出此时x 的值，若不存在，请说明理由．。
