2021年中考数学复习专题练：《四边形综合 》(含答案)

2021年中考数学第三轮专题复习：四边形的综合练习1、如图，矩形EFGH的顶点E，G分别在菱形ABCD的边AD，BC上，顶点F，H在菱形ABCD的对角线BD上．（1）求证：BG＝DE；（2）若E为AD中点，FH＝2，求菱形ABCD的周长．2、如图，已知正方形ABCD的边长为1，正方形CEFG的面积为S1，点E在DC边上，点G在BC的延长线上，设以线段AD和DE为邻边的矩形的面积为S2，且S1＝S2．（1）求线段CE的长；（2）若点H为BC边的中点，连接HD，求证：HD＝HG．3、如图，在正方形ABCD中，点G在边BC上（不与点B，C重合），连结AG，作DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F，设=k．（1）求证：AE=BF．（2）连结BE，DF，设∠EDF=α，∠EBF=β．求证：tanα=ktanβ．（3）设线段AG与对角线BD交于点H，△AHD和四边形CDHG的面积分别为S1和S2，求的最大值．4、如图，在正方形ABCD中，点E、G分别是边AD、BC的中点，AF=AB．（1）求证：EF⊥AG；（2）若点F、G分别在射线AB、BC上同时向右、向上运动，点G运动速度是点F运动速度的2倍，EF⊥AG是否成立（只写结果，不需说明理由）？（3）正方形ABCD的边长为4，P是正方形ABCD内一点，当S△PAB =S△OAB，求△PAB周长的最小值．5、如图，在矩形ABCD中,AB= 2cm,∠ADB =30°. P，Q两点分别从A，B同时出发，点P沿折线AB--BC运动，在AB上的速度是2cm/s,在BC上的速度是23cm/s;点Q在BD上以2cm/s的速度向终点D运动.过点P作PN⊥AD，垂足为点N.连接PQ，以PQ，PN 为邻边作▱PQMN.设运动的时间为x(s)，▱PQMN与矩形ABCD重叠部分的图形面积为y(cm2).(1)当PQ⊥AB时，x= ；(2)求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；(3)直线AM将矩形ABCD的面积分成1:3两部分时，直接写出x的值.6、在▱ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E．（1）如图1，若∠D＝30°，AB=√6，求△ABE的面积；（2）如图2，过点A作AF⊥DC，交DC的延长线于点F，分别交BE，BC于点G，H，且AB＝AF．求证：ED﹣AG＝FC．7、定义：有一组邻边相等，并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形.(1)如图1，等腰直角四边形ABCD，AB=BC，∠ABC=90°，①若AB=CD=1，AB//CD，求对角线BD的长.②若AC⊥BD，求证：AD=CD.(2)如图2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=9，点P是对角线BD上一点，且BP=2PD，过点P作直线分别交边AD，BC于点E，F，使四边形ABFE是等腰直角四边形.求AE的长.8、如图，矩形AOCB的顶点A、C分别位于x轴和y轴的正半轴上，线段OA、OC的长度满足方程|x﹣15|+=0（OA＞OC），直线y=kx+b分别与x轴、y轴交于M、N两点，将△BCN 沿直线BN折叠，点C恰好落在直线MN上的点D处，且tan∠CBD=（1）求点B的坐标；（2）求直线BN的解析式；（3）将直线BN以每秒1个单位长度的速度沿y轴向下平移，求直线BN扫过矩形AOCB的面积S关于运动的时间t（0＜t≤13）的函数关系式．9、在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，对角线AC平分∠BAD．（1）如图1，若∠DAB=120°，且∠B=90°，试探究边AD、AB与对角线AC的数量关系并说明理由．（2）如图2，若将（1）中的条件“∠B=90°”去掉，（1）中的结论是否成立？请说明理由．（3）如图3，若∠DAB=90°，探究边AD、AB与对角线AC的数量关系并说明理由．10、在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．若四边形ABCD是正方形如图1：则有AC=BD，AC⊥BD．旋转图1中的Rt△COD到图2所示的位置，AC′与BD′有什么关系？（直接写出）若四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，旋转Rt△COD至图3所示的位置，AC′与BD′又有什么关系？写出结论并证明．11、在图1，2，3中，已知▱ABCD，∠ABC＝120°，点E为线段BC上的动点，连接AE，以AE 为边向上作菱形AEFG，且∠EAG＝120°．（1）如图1，当点E与点B重合时，∠CEF＝°；（2）如图2，连接AF．①填空：∠FAD∠EAB（填“＞”，“＜“，“＝”）；②求证：点F在∠ABC的平分线上；（3）如图3，连接EG ，DG ，并延长DG 交BA 的延长线于点H ，当四边形AEGH 是平行四边形时，求BCAB 的值．12、如图①，在△ABC 中，∠ACB =90°，∠B =30°，AC =1，D 为AB 的中点，EF 为△ACD 的中位线，四边形EFGH 为△ACD 的内接矩形（矩形的四个顶点均在△ACD 的边上）． （1）计算矩形EFGH 的面积；（2）将矩形EFGH 沿AB 向右平移，F 落在BC 上时停止移动．在平移过程中，当矩形与△CBD时，求矩形平移的距离； （3）如图③，将（2）中矩形平移停止时所得的矩形记为矩形1111E FG H ，将矩形1111E FG H 绕1G 点按顺时针方向旋转，当1H 落在CD 上时停止转动，旋转后的矩形记为矩形2212E F G H ，设旋转角为α，求cos α的值．13、邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又余下一个四边形，称为第二次操作；……依次类推，若第n 次操作余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为n 阶准菱形，如图1，□ABCD 为1阶准菱形. （1）猜想与计算邻边长分别为3和5的平行四边形是阶准菱形；已知□ABCD 的邻边长分别为b a ,（b a >），满足r b a +=8，r b 5=，请写出□ABCD 是阶准菱形. （2）操作与推理小明为了剪去一个菱形，进行如下操作：如图2，把□ABCD 沿BE 折叠（点E 在AD 上），使点A 落在BC 边上的点F 处，得到四边形ABEF .请证明四边形ABEF 是菱形.14、如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△COD关于CD的对称图形为△CED．（1）求证：四边形OCED是菱形；（2）连接AE，若AB=6cm，BC=cm．①求sin∠EAD的值；②若点P为线段AE上一动点（不与点A重合），连接OP，一动点Q从点O出发，以1cm/s的速度沿线段OP匀速运动到点P，再以1.5cm/s的速度沿线段PA匀速运动到点A，到达点A后停止运动，当点Q沿上述路线运动到点A所需要的时间最短时，求AP的长和点Q走完全程所需的时间．15、在现实生活中，我们会看到许多“标准”的矩形，如我们的课本封面、A4的打印纸等，其实这些矩形的长与宽之比都为：1，我们不妨就把这样的矩形称为“标准矩形”，在“标准矩形”ABCD中，P为DC边上一定点，且CP=BC，如图所示．（1）如图①，求证：BA=BP；（2）如图②，点Q在DC上，且DQ=CP，若G为BC边上一动点，当△AGQ的周长最小时，求的值；（3）如图③，已知AD=1，在（2）的条件下，连接AG并延长交DC的延长线于点F，连接BF，T为BF的中点，M、N分别为线段PF与AB上的动点，且始终保持PM=BN，请证明：△MNT的面积S为定值，并求出这个定值．16、已知：如图，四边形ABCD，AB∥DC，CB⊥AB，AB=16cm，BC=6cm，CD=8cm，动点P从点D 开始沿DA边匀速运动，动点Q从点A开始沿AB边匀速运动，它们的运动速度均为2cm/s．点P和点Q同时出发，以QA、QP为边作平行四边形AQPE，设运动的时间为t（s），0＜t＜5．根据题意解答下列问题：（1）用含t的代数式表示AP；（2）设四边形CPQB的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；（3）当QP⊥BD时，求t的值；（4）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使点E在∠ABD的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．17、定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD上的点．求证：四边形ABEF是邻余四边形．（2）如图2，在5×4的方格纸中，A，B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF，使AB是邻余线，E，F在格点上．（3）如图3，在（1）的条件下，取EF中点M，连结DM并延长交AB于点Q，延长EF交AC于点N．若N为AC的中点，DE＝2BE，QB＝3，求邻余线AB的长．18、已知四边形ABCD的一组对边AD、BC的延长线交于点E．（1）如图1，若∠ABC=∠ADC=90°，求证：ED•EA=EC•EB；（2）如图2，若∠ABC=120°，cos∠ADC=，CD=5，AB=12，△CDE的面积为6，求四边形ABCD 的面积；（3）如图3，另一组对边AB、DC的延长线相交于点F．若cos∠ABC=cos∠ADC=，CD=5，CF=ED=n，直接写出AD的长（用含n的式子表示）19、在菱形ABCD中，∠ABC=60°,点P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE，点E的位置随点P的位置变化而变化.（1）如图1，当点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE，BP与CE的数量关系是，CE与AD的位置关系是；（2）当点E在菱形ABCD外部时，(1)中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由(选择图2，图3中的一种情况予以证明或说理).(3) 如图4，当点P在线段BD的延长线上时，连接BE，AB=2√3 ,BE=2√19 ,求四边形ADPE 的面积.20、问题呈现如图1，在边长为1的正方形网格中，连接格点D，N和E，C，DN和EC相交于点P，求tan∠CPN的值．方法归纳求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出（或构造出）一个直角三角形．观察发现问题中∠CPN不在直角三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题，比如连接格点M，N，可得MN∥EC，则∠DNM=∠CPN，连接DM，那么∠CPN就变换到Rt△DMN中．问题解决（1）直接写出图1中tan∠CPN的值为；（2）如图2，在边长为1的正方形网格中，AN与CM相交于点P，求cos∠CPN的值；思维拓展（3）如图3，AB⊥BC，AB=4BC，点M在AB上，且AM=BC，延长CB到N，使BN=2BC，连接AN 交CM的延长线于点P，用上述方法构造网格求∠CPN的度数．。

2021年中考数学压轴题专题练习：四边形综合复习1、如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是线段BC、AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．（1）求证：△BDE≌△FAE；（2）求证：四边形ADCF为矩形．2、如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD上两点，且∠EAF=45°，将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，连接EQ，求证：（1）EA是∠QED的平分线；（2）EF2=BE2+DF2．3、如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，连结DE，过顶点B作BF⊥DE，垂足为F，BF分别交AC于H，交BC于G．（1）求证：BG=DE；（2）若点G为CD的中点，求的值．4、已知：在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AD和BC上，点G、H在对角线AC上，且BF=DE，AH=CG，连接FH 、HE 、BG 、FG ．（1）求证：FG=EH ．（2）若EG 平分∠AEH ，FH 平分∠CFG ，FG//AB ，∠ACD=68°，∠GFH=35°，求∠GHF 的度数．5、如图，点E 是正方形ABCD 的边BC 上一点，连接DE ，将DE 绕着点E 逆时针旋转90°，得到EG ，过点G 作GF ⊥CB ，垂足为F ，GH ⊥AB ，垂足为H ，连接DG ，交AB 于I ．（1）求证：四边形BFGH 是正方形；（2）求证：ED 平分∠CEI ；（3）连接IE ，若正方形ABCD 的边长为，则△BEI 的周长为 ．6、如图，正方形CD AB 的边长为1，点E 为边AB 上一动点，连结C E 并将其绕点C 顺时针旋转90得到CF ，连结DF ，以C E 、CF 为邻边作矩形CFG E ，G E 与D A 、C A 分别交于点H 、M ，GF 交CD 延长线于点N ．（1）证明：点A 、D 、F 在同一条直线上；（2）随着点E 的移动，线段D H 是否有最小值？若有，求出最小值；若没有，请说明理由；（3）连结F E 、MN ，当//F MN E 时，求AE 的长．7、定义：有一个内角为90°，且对角线相等的四边形称为准矩形．（1）如图1，准矩形ABCD中，∠ABC＝90°，若AB＝2，BC＝3，则BD＝_____；（2）如图2，正方形ABCD中，点E、F分别是边AD、AB上的点，且CF⊥BE，求证：四边形BCEF是准矩形；（3）已知，准矩形ABCD中，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，AB＝2，当△ADC为等腰三角形时，求这个准矩形的面积．8、【性质探究】如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAC，交BC于点E．作DF⊥AE于点H，分别交AB，AC于点F，G．（1）判断△AFG的形状并说明理由．（2）求证：BF＝2OG．【迁移应用】（3）记△DGO的面积为S1，△DBF的面积为S2，当时，求的值．【拓展延伸】（4）若DF交射线AB于点F，【性质探究】中的其余条件不变，连结EF，当△BEF的面积为矩形ABCD 面积的时，请直接写出tan∠BAE的值．9、若边长为6的正方形ABCD绕点A顺时针旋转，得正方形AB′C′D′，记旋转角为a．（I）如图1，当a＝60°时，求点C经过的弧CC 的长度和线段AC扫过的扇形面积；（Ⅱ）如图2，当a＝45°时，BC与D′C′的交点为E，求线段D′E的长度；（Ⅲ）如图3，在旋转过程中，若F为线段CB′的中点，求线段DF长度的取值范围．10、△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF．（1）观察猜想如图1，当点D在线段BC上时，①BC与CF的位置关系为：．②BC，CD，CF之间的数量关系为：；（将结论直接写在横线上）（2）数学思考如图2，当点D在线段CB的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．（3）拓展延伸如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE．若已知AB=2，CD=BC，请求出GE的长．11、点P 是平行四边形ABCD 的对角线AC 所在直线上的一个动点（点P 不与点A 、C 重合），分别过点A 、C 向直线BP 作垂线，垂足分别为点E 、F ．点O 为AC 的中点．（1）如图1，当点P 与点O 重合时，线段OE 和OF 的关系是 ；（2）当点P 运动到如图2所示的位置时，请在图中补全图形并通过证明判断（1）中的结论是否仍然成立？（3）如图3，点P 在线段OA 的延长线上运动，当∠OEF ＝30°时，试探究线段CF 、AE 、OE 之间的关系．12、如图（1），在矩形ABCD 中，8,6AB AD ==，点,E F 分别是边,DC DA 的中点，四边形DFGE 为矩形，连接BG ．（1）问题发现在图（1）中，CE BG=_________； （2）拓展探究将图（1）中的矩形DFGE绕点D旋转一周，在旋转过程中，CEBG的大小有无变化？请仅就图（2）的情形给出证明；（3）问题解决当矩形DFGE旋转至,,B G E三点共线时，请直接写出线段CE的长．13、如图，四边形ABCD是正方形，点O为对角线AC的中点．（1）问题解决：如图①，连接BO，分别取CB，BO的中点P，Q，连接PQ，则PQ与BO的数量关系是，位置关系是；（2）问题探究：如图②，△AO'E是将图①中的△AOB绕点A按顺时针方向旋转45°得到的三角形，连接CE，点P，Q分别为CE，BO'的中点，连接PQ，PB．判断△PQB的形状，并证明你的结论；（3）拓展延伸：如图③，△AO'E是将图①中的△AOB绕点A按逆时针方向旋转45°得到的三角形，连接BO'，点P，Q分别为CE，BO'的中点，连接PQ，PB．若正方形ABCD的边长为1，求△PQB的面积．14、已知：Rt△EFP和矩形ABCD如图①摆放（点P与点B重合），点F，B（P），C在同一直线上，AB=EF=6cm，BC=FP=8cm，∠EFP=90°，如图②，△EFP从图①的位置出发，沿BC方向匀速运动，速度为1cm/s，EP与AB交于点G；同时，点Q从点C出发，沿CD方向匀速运动，速度为1cm/s．过点Q作QM⊥BD，垂足为H，交AD于点M，连接AF，FQ，当点Q停止运动时，△EFQ也停止运动．设运动时间为t（s）（0＜t＜6），解答下列问题：（1）当t为何值时，PQ∥BD？（2）设五边形AFPQM的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使S五边形AFPQM ：S矩形ABCD=9：8？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．（4）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使点M在线段PG的垂直平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．15、问题背景：如图1，在四边形ABCD中，∠BAD＝90°，∠BCD＝90°，BA＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN ＝60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD、DC于E、F．探究图中线段AE，CF，EF之间的数量关系．小李同学探究此问题的方法是：延长FC到G，使CG＝AE，连接BG，先证明△BCG≌△BAE，再证明△BFG≌△BFE，可得出结论，他的结论就是；探究延伸1：如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝90°，∠BCD＝90°，BA＝BC，∠ABC＝2∠MBN，∠MBN绕B点旋转．它的两边分别交AD、DC于E、F，上述结论是否仍然成立？请直接写出结论（直接写出“成立”或者“不成立”），不要说明理由；探究延伸2：如图3，在四边形ABCD中，BA＝BC，∠BAD+∠BCD＝180°，∠ABC＝2∠MBN，∠MBN绕B点旋转．它的两边分别交AD、DC于E、F．上述结论是否仍然成立？并说明理由；实际应用：如图4，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处．舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以75海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50°的方向以100海里/小时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处．且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为70°．试求此时两舰艇之间的距离．。

备战2021年九年级中考复习数学高分冲刺训练——几何综合：《四边形综合》（二）1．如图，矩形ABCD中，AB＝6cm，AD＝8cm，点P从点A出发，以每秒一个单位的速度沿A→B→C的方向运动；同时点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度沿B→C→D的方向运动，当其中一点到达终点后两点都停止运动．设两点运动的时间为t秒．（1）当t＝时，两点停止运动；（2）设△BPQ的面积面积为S（平方单位）①求S与t之间的函数关系式；②求t为何值时，△BPQ面积最大，最大面积是多少？2．共顶点的正方形ABCD与正方形AEFG中，AB＝13，AE＝5．（1）如图1，求证：DG＝BE；（2）如图2，连结BF，以BF、BC为一组邻边作平行四边形BCHF．①连结BH，BG，求的值；②当四边形BCHF为菱形时，直接写出BH的长．3．如果将（1）中的条件“▱ABCD”改为“四边形ABCD的对角线AC⊥BD”（如图②）．试探索：S1：S2与S4：S3之间的关系；（3）如果将（2）中的对角线AC⊥BD的条件去掉（如图③），试探索S1，S2，S3，S4之间的关系．4．如图1，在等腰直角△ABC和△DCE中，AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝90°．（1）求证：△ACD≌△BCE；（2）如图2，将△DCE绕点C顺时针旋转n°（0＜n＜45），使点A、D、E在同一直线上，AF平分∠BAE交CE延长线与F，探究AB、DE、EF之间的数量关系；（3）如图3，在正方形ABCD中，CD＝．若点P满足PD＝1，且∠BPD＝90°，请直接写出点A到BP的距离．5．如图，△ABC是一块铁皮余料．已知底边BC＝160cm，高AD＝120cm．在铁皮余料上截取一个矩形EFGH，使点H在AB上，点G在AC上，点E，F在BC上，AD交HG 于点M．（1）设HG＝ycm，HE＝xcm，试确定用x表示y的函数表达式．（2）当x为何值时，矩形EFGH的面积S最大？（3）以面积最大时的矩形EFGH为侧面，围成一个无底圆桶，怎样围，圆桶的体积较大？请说明理由，（接缝处忽略不计，结果可保留π）6．类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，请利用上述有关思想，解答下列问题．如图1，在▱ABCD中，E是BC的中点，AE与BD相交于点F．若△BEF的面积为2，求四边形CDFE的面积．【类比延伸】如图2，在▱ABCD中，E是BC的一点，且BE：BC＝m：n（n＞m＞0），AE与BD相交于点F．求△ABF的面积与四边形CDFE的面积的比．（用含m、n的代数式表示）【拓展迁移】如图3，在▱ABCD中，E是BC的一点，且BE：BC＝，点G是线段CD的中点，AE 与BD相交于点F．则△ABF的面积与四边形CGFE的面积的比等于．（直接写出答案）7．，四边形OBCD是矩形，O，B，D三点的坐标分别是（0，0），（b，0），（0，d），求点C 的坐标．（2）如图（2），四边形ABCD是菱形，C，D两点的坐标分别是（c，0），（0，d），点A，B在坐标轴上，求A，B两点的坐标．（3）如图（3），四边形OBCD是正方形，O，D两点的坐标分别是（0，0），（0，d），求B，C两点的坐标．8．如图，四边形ABCD是正方形，E是正方形ABCD内一点，F是正方形ABCD外一点，连结BE、CE、DE、BF、CF、EF．（1）若∠EDC＝∠FBC，ED＝FB，试判断△ECF的形状，并说明理由．（2）在（1）的条件下，当BE：CE＝1：2，∠BEC＝135°时，求BE：BF的值．（3）在（2）的条件下，若正方形ABCD的边长为（3+）cm，∠EDC＝30°，求△BCF的面积．9．如图，矩形OABC在平面直角坐标系中，若OA、OC的长满足方程x2﹣（2+2）x+4＝0的两根．（1）求B、C两点的坐标．（2）把△ABC沿AC对折，点B落在点B′处，线段AB′与x轴交于点D，求直线BB′的解析式．（3）在直线BB′上是否存在点P，使△ADP为直角三角形？若存在，请直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由．10．四边形ABCD是正方形（提示：正方形四边相等，四个角都是90°）（1）如图1，若点G在BC边上时（不与点B、C重合），连接AG，作BF⊥AG于点F，DE⊥AG于点E，求证：△ABF≌△DAE；（2）直接写出（1）中，线段EF与AF、BF的等量关系是；（3）①如图2，若点G在CD边上时（不与点C、D重合），连接AG，作BF⊥AG于点F，DE⊥AG于点E，则图中全等三角形是，线段EF与AF、BF的等量关系是；②如图3，若点G在CD延长线上任意一点，连接AG，作BF⊥AG于点F，DE⊥AG于点E，线段EF与AF、BF的等量关系是；（4）若点G是BC延长线上任意一点，连接AG，作BF⊥AG于点F，DE⊥AG于点E，请画图、探究线段EF与AF、BF的等量关系．参考答案1．解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝8cm，AB＝CD＝6cm，∴BC+AD＝14cm，∴t＝14÷2＝7，故答案为7．（2）①当0＜t＜4时，S＝（6﹣t）×2t＝﹣t2+6t．当4≤t＜6时，S＝（6﹣t）×8＝﹣4t+24．当6＜t≤7时，S＝（t﹣6）（2t﹣8）＝t2﹣10t+24．②当0＜t＜4时，S＝（6﹣t）×2t＝﹣t2+6t＝﹣（t﹣3）2+9，∵﹣1＜0，∴t＝3时，△PBQ的面积最大，最小值为9．当4≤t＜6时，S＝（6﹣t）×8＝﹣4t+24，∵﹣4＜0，∴t＝4时，△PBQ的面积最大，最大值为8，当6＜t≤7时，S＝（t﹣6）（2t﹣8）＝t2﹣10t+24＝（t﹣5）2﹣1，t＝7时，△PBQ的面积最大，最大值为3，综上所述，t＝3时，△PBQ的面积最大，最大值为9．2．（1）证明：∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，∴AD＝AB＝CB，AG＝AE，∠DAB＝∠GCE＝90°，∴∠DAB﹣∠GAF＝∠GCE﹣∠GAF，即∠DAG＝∠BAE，在△DAG和△BAE中，，∴△DAG≌△BAE（SAS），∴DG＝BE；（2）解：①连接GH，延长HF交AB于N，设AB与EF的交点为M，如图2所示：∵四边形BCHF是平行四边形，∴HF∥BC，HF＝BC＝AB，∵BC⊥AB，∴HF⊥AB，∴∠HFG＝∠FMB，又AG∥EF，∴∠GAB＝∠FMB∴∠HFG＝∠GAB，在△GAB和△GFH中，，∴△GAB≌△GFH（SAS），∴GH＝GB，∠HGF＝∠BGA，∴∠HGF﹣∠BGF＝∠BGA﹣∠BGF，∴∠HGB＝∠AGF＝90°，∴△GHB为等腰直角三角形，∴BH＝BG，∴＝；②分两种情况：a、如图3所示：连接AF、EG交于点O，连接BE，∵四边形BCHF为菱形，∴CB＝FB，∵AB＝CB，∴AB＝FB＝13，∴点B在AF的垂直平分线上，∵四边形AEFG是正方形，∴AF＝EG，OA＝OF＝OG＝OE，AF⊥EG，AE＝FE＝AG＝FG，∴点G、点E都在AF的垂直平分线上，∴点B、E、G在一条直线上，∴BG⊥AF，∵AE＝5，∴AF＝EG＝AE＝10，∴OA＝OG＝OE＝5，∴OB＝＝＝12，∴BG＝OB+OG＝12+5＝17，由①得：BH＝BG＝17；b、如图4所示：连接AF、EG交于点O，连接BE，同上得：点B、E、G在一条直线上，OB＝12，BG＝OG+OB﹣OG＝12﹣5＝7，由①得：BH＝BG＝7；综上所述，BH的长为17或7．3．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，∵△AOB，△BOC的边OA，OC上的高相同，∴S1＝S2，同理S2＝S3，S3＝S4，S4＝S1，∴S1＝S2＝S3＝S4；（2）∵AC⊥BD，垂足为O，∴S1＝OAOB，S2＝OBOC，S3＝OCOD，S4＝ODOA，∴S1S3＝S2S4，∴；（3）设点B到线段AC所在直线的距离为h1，点D到线段AC所在直线的距离为h2，∴S1＝OAh1，S2＝OCh1，S3＝OCh2，S4＝OAh2，∴S1S3＝S2S4；4．（1）证明：如图1中，∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE．（2）结论：AB﹣DE＝EF，理由：如图2中，∵CD＝CE，∠DCE＝90°，∴∠CED＝45°，DE＝CE，∵CA＝CB，∠ACB＝90°，∴∠CAB＝45°，AB＝CA，∵∠CED＝∠F+∠EAF，∴∠F＝45°﹣∠EAF，∵∠CAF＝∠CAB﹣∠F AB＝45°﹣∠F AB，∵∠EAF＝∠F AB，∴∠CAF＝∠F，∴CA＝CF，∵EF＝CF﹣CE＝CA﹣CE，∴EF＝CA﹣CE＝AB﹣DE．∴AB﹣DE＝EF．（3）如图3中，以D为圆心1为半径作⊙D，过点B作⊙D的切线BP、BP′，连接BD，作AE⊥BP′于E，AF⊥BP于F．∵四边形ABCD是正方形，CD＝BC＝AB＝AD＝，∴BD＝DC＝2，∠ABC＝90°，在Rt△PBD中，∵∠BPD＝90°，BD＝2，DP＝1，∴∠PBD＝30°，同理∠P′BD＝30°，∴∠ABE＝∠CBP＝15°，在△ABE和△BAF中，，∴△ABE≌△BAF，∴∠ABE＝∠OAB＝15°，∴∠AOE＝∠FOB＝30°，∴AO＝OB＝2AE，设AE＝a，则AO＝OB＝2a，EO＝a，∴EB＝AF＝2a+a，∵AB2＝AE2+BE2，∴2＝a2+（2a+a）2，∴a＝（负根已经舍弃），∴AE＝，AF＝BE＝2a+a＝．故答案为或．5．解：（1）∵四边形GHEF为矩形，∴GH∥FE，∴△AHG∽△ABC，∵AM和AD分别是△AHG和△ABC的高，∴，∴，∴y ＝﹣x +160；（2）∵S ＝xy ，∴S ＝﹣+160x ＝﹣（x 2﹣120x ）＝﹣（x 2﹣120x +3600﹣3600）＝﹣（x ﹣60）2+4800．∴当x ＝60cm 时，Smax ＝4800cm 2；（3）围圆柱形铁桶有两种情况：当x ＝60cm 时，y ＝﹣×60+160＝80cm ．第一种情况：以矩形EFGH 的宽HE ＝60cm 作铁桶的高，长HG ＝80cm 作铁桶的底面周长．则底面半径R ＝cm ，铁桶体积V 1＝π（）260＝（cm 3），第二种情况：以矩形EFGH 的长HG ＝80cm 作铁桶的高，宽HE ＝60cm 作铁桶的底面周长，则底面半径r ＝cm ，铁桶体积V 2＝π（）280＝（cm 3）．因为V 1＞V 2．所以矩形EFGH 的宽HE ＝60cm 作铁桶的高，长HG ＝80cm 作铁桶的底面周长围成的圆柱形铁桶的体积较大．6．解：（1）∵点E 是平行四边形ABCD 中BC 边的中点，∴AD ＝BC ＝2BE ，BE ∥AD ，∴△BEF ∽△DAF ，∴＝，∴＝（）2＝， ∵△BEF 的面积为2，∴S △ABF ＝2S △BEF ＝4，S △ADF ＝4S △BEF ＝8，∴S △ABD ＝S △ABF +S △ADF ＝12，∴S 四边形DCEF ＝S △BCD ﹣S △BEF ＝S △ABD ﹣S △BEF ＝12﹣2＝10；（2）【类比延伸】∵在▱ABCD 中，E 是BC 的一点，且BE ：BC ＝m ：n ，∴AD ＝BC ，BE ∥AD ，∴△BEF ∽△DAF ，∴＝，∴＝（）2＝，设△BEF 的面积为a ，∴S △ABF ＝S △BEF ＝，S △ADF ＝S △BEF ＝，∴S △ABD ＝S △ABF +S △ADF ＝＝a ，∴S 四边形DCEF ＝S △BCD ﹣S △BEF ＝S △ABD ﹣S △BEF ＝a ﹣a ＝a ， ；△ABF 的面积与四边形CGFE 的面积的比＝：（a ）＝； （3）【拓展迁移】设△BEF 的面积为a ，∵由（2）得：m ＝2．n ＝3，∴△ABF 的面积＝a ，四边形CDFE 的面积＝a ，连接CF ，如图所示： ∵△ABF 的面积+△CDF 的面积＝△ABD 的面积，∴△CDF 的面积＝△ADF 的面积＝a ，∵G 是CD 的中点，∴△DGF 的面积＝△CDF 的面积＝a ，∴四边形CGFE 的面积＝a ﹣a ＝a ，∴△ABF 的面积与四边形CGFE 的面积的比＝a ：a ＝， 故答案为：．7．解：（1）如图1中，∵B（b，0），D（0，d），∴OB＝b，OD＝d，∵四边形OBCD是矩形，∴∠CDO＝∠CBO＝90°，CD＝OB＝b，BC＝OD＝d，∴C（b，d）．（2）如图2中，∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵C（c.0），D（0，d），∴OA＝OC＝c．OB＝OD＝d，∴A（﹣c，0），B（0，﹣d）．（3）如图3中，∵四边形OBCD是正方形，∴OB＝BC＝CD＝OD，∠CDO＝∠CBO＝90°，∵D（0，d），∴OD＝d，∴OB＝BC＝CD＝d，∴B（d，0），C（d，d）．8．（1）证明：在正方形ABCD中，CD＝CB，∠DCE+∠BE＝∠BCD＝90°，∵EC⊥CF，∴∠BCF+∠BCE＝90°，∴∠BCF＝∠DCE，在△BCF和△DCE中，∴△BCF≌△DCE（ASA），∴EC＝FC，∴∠ECD＝∠BCF，∵∠DCE+∠BCE＝90°，∴∠ECF＝90°，∴△ECF是等腰直角三角形；（2）解：∵BE：CE＝1：2，∴设BE＝a，CE＝2a，∵△ECF是等腰直角三角形，∴EF＝2a，∵∠BEC＝135°，∠CEF＝45°，∴∠BEF＝90°，∴BF＝＝3a，∴BE：BF＝1：3；（3）解：如图所示：作FM⊥BC垂足为M，设BF＝3b，FC＝2b，∵∠EDC＝30°，∴∠CBF＝30°，在Rt△BFM中，∴MB＝×3b＝b，MF＝b，∴MC＝＝b，∴b+b＝3，∴b＝2，则FM＝×2＝3，∴△BCF的面积是：×BC×FM＝×（3+）×3＝+．9．解：（1）∵x2﹣（2+2）x+4＝0，∴（x﹣2）（x﹣2）＝0，解得：x1＝2，x2＝2，∴OA＝2，OC＝2∴B点坐标为：（2，2），C点坐标为（2，0）．（2）∵△ABC≌△AB′C．∴AB＝AB′＝2，CB′＝CB＝2，∵A（0，2），C（2，0）∴设B′的坐标为（x，y），则，解得：B′的坐标为（，﹣1），由两点式解出BB′的解析式为y＝x﹣4．（3）假如存在设P（a，a﹣4），D（，0），又A（0，2），∴AD2＝（）2+22＝，PD2＝（a﹣）2+（a﹣4）2，AP2＝a2+（a﹣4﹣2）2＝4a2﹣12a+36，①当∠ADP为直角时，AD2+PD2＝AP2，解得a＝，则P（，1）；②当∠APD为直角时，AP2+PD2＝AD2，此时无解；③当∠P AD为直角时，AD2+P A2＝PD2，解得a＝3，则P（3，5）；综上可得，P为（3，5）或（，1）．10．证明：（1）∵DE⊥AG，BF⊥AG，∴∠BF A＝∠DEA＝90°．∵∠BAF+∠ABF＝90°，∠BAF+∠EAD＝90°，∴∠EAD＝∠FBA．在△ABF和△DAE中，，∴△ABF≌△DAE．（2）EF+BF＝AF．理由：∵△ABF≌△DAE，∴AE＝BF．∵AE+EF＝AF，∴BF+EF＝AF．（3）①由（1）可知：△ABF≌△DAE，∴AE＝BF．∵AF+EF＝AE，∴AF+EF＝BF．②∵BF⊥AG，DE⊥AG，∴∠BF A＝∠DEA＝90°．∵∠BAF+∠ABF＝90°，∠BAF+∠EAD＝90°，∴∠EAD＝∠FBA．在△ABF和△DAE中，，∴△ABF≌△DAE．∴FB＝AE．∵EF＝AE+AF，∴AF+BF＝EF．（4）如图所示：∵BF⊥AG，DE⊥AG，∴∠BF A＝∠DEA＝90°．∵∠BAF+∠ABF＝90°，∠BAF+∠EAD＝90°，∴∠EAD＝∠FBA．在△ABF和△DAE中，，∴△ABF≌△DAE．∴FB＝AE．∵AE＝EF+AF，∴AF+EF＝BF．。

2021年中考数学第三轮冲刺专题复习：四边形的综合专项练习1、如图，已知正方形ABCD的边长为1，正方形CEFG的面积为S1，点E在DC边上，点G在BC的延长线上，设以线段AD和DE为邻边的矩形的面积为S2，且S1＝S2．（1）求线段CE的长；（2）若点H为BC边的中点，连接HD，求证：HD＝HG．2、如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF经过O，分别交AB、CD于点E、F，EF的延长线交CB的延长线于M．（1）求证：OE＝OF；（2）若AD＝4，AB＝6，BM＝1，求BE的长．3、如图，矩形EFGH的顶点E，G分别在菱形ABCD的边AD，BC上，顶点F，H在菱形ABCD的对角线BD上．（1）求证：BG＝DE；（2）若E为AD中点，FH＝2，求菱形ABCD的周长．4、如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠DAB，已知CE＝6，BE＝8，DE＝10．（1）求证：∠BEC＝90°；（2）求cos∠DAE．5、如图，已知平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝3，AC＝2．（1）求平行四边形ABCD的面积；（2）求证：BD⊥BC．6、如图所示，已知正方形OEFG的顶点O为正方形ABCD对角线AC、BD的交点，连接CE、DG．（1）求证：△DOG≌△COE；（2）若DG⊥BD，正方形ABCD的边长为2，线段AD与线段OG相交于点M，AM＝，求正方形OEFG 的边长．7、如图，在四边形ABCD中，点E和点F是对角线AC上的两点，AE＝CF，DF＝BE，且DF∥BE，过点C作CG⊥AB交AB的延长线于点G．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）若tan∠CAB＝，∠CBG＝45°，BC＝4，则▱ABCD的面积是24．8、如图，四边形ABCD是正方形，△EFC是等腰直角三角形，点E在AB上，且∠CEF＝90°，FG⊥AD，垂足为点C．（1）试判断AG与FG是否相等？并给出证明；（2）若点H为CF的中点，GH与DH垂直吗？若垂直，给出证明；若不垂直，说明理由．9、定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD上的点．求证：四边形ABEF是邻余四边形．（2）如图2，在5×4的方格纸中，A，B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF，使AB 是邻余线，E，F在格点上．（3）如图3，在（1）的条件下，取EF中点M，连结DM并延长交AB于点Q，延长EF交AC于点N．若N为AC的中点，DE＝2BE，QB＝3，求邻余线AB的长．10、如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，连结AE，EM⊥AE，垂足为E，交CD于点M，AF⊥BC，垂足为F，BH⊥AE，垂足为H，交AF于点N，点P是AD上一点，连接CP．（1）若DP＝2AP＝4，CP＝，CD＝5，求△ACD的面积．（2）若AE＝BN，AN＝CE，求证：AD＝CM+2CE．11、如图，在正方形ABCD中，分别过顶点B，D作BE∥DF交对角线AC所在直线于E，F点，并分别延长EB，FD到点H，G，使BH＝DG，连接EG，FH．（1）求证：四边形EHFG是平行四边形；（2）已知：AB＝2，EB＝4，tan∠GEH＝2，求四边形EHFG的周长．12、如图，四边形ABCD是矩形，AB＝20，BC＝10，以CD为一边向矩形外部作等腰直角△GDC，∠G＝90°．点M在线段AB上，且AM＝a，点P沿折线AD﹣DG运动，点Q沿折线BC﹣CG运动（与点G 不重合），在运动过程中始终保持线段PQ∥AB．设PQ与AB之间的距离为x．（1）若a＝12．①如图1，当点P在线段AD上时，若四边形AMQP的面积为48，则x的值为；②在运动过程中，求四边形AMQP的最大面积；（2）如图2，若点P在线段DG上时，要使四边形AMQP的面积始终不小于50，求a的取值范围．13、在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，点P是边AD上一点．（1）若BP平分∠ABD，交AE于点G，PF⊥BD于点F，如图①，证明四边形AGFP是菱形；（2）若PE⊥EC，如图②，求证：AE•AB＝DE•AP；（3）在（2）的条件下，若AB＝1，BC＝2，求AP的长．14、已知矩形ABCD中，AB＝5cm，点P为对角线AC上的一点，且AP＝2cm．如图①，动点M从点A出发，在矩形边上沿着A→B→C的方向匀速运动（不包含点C）．设动点M的运动时间为t（s），△APM 的面积为S（cm2），S与t的函数关系如图②所示．（1）直接写出动点M的运动速度为cm/s，BC的长度为cm；（2）如图③，动点M重新从点A出发，在矩形边上按原来的速度和方向匀速运动，同时，另一个动点N从点D出发，在矩形边上沿着D→C→B的方向匀速运动，设动点N的运动速度为v（cm/s）．已知两动点M，N经过时间x（s）在线段BC上相遇（不包含点C），动点M，N相遇后立即同时停止运动，记此时△APM与△DPN的面积分别为S1（cm2），S2（cm2）①求动点N运动速度v（cm/s）的取值范围；②试探究S1•S2是否存在最大值，若存在，求出S1•S2的最大值并确定运动时间x的值；若不存在，请说明理由．15、如图1，正方形ABDE和BCFG的边AB，BC在同一条直线上，且AB＝2BC，取EF的中点M，连接MD，MG，MB．（1）试证明DM⊥MG，并求的值．（2）如图2，将图1中的正方形变为菱形，设∠EAB＝2α（0＜α＜90°），其它条件不变，问（1）中的值有变化吗？若有变化，求出该值（用含α的式子表示）；若无变化，说明理由．16、综合与实践动手操作：第一步：如图1，正方形纸片ABCD沿对角线AC所在的直线折叠，展开铺平．在沿过点C的直线折叠，使点B，点D都落在对角线AC上．此时，点B与点D重合，记为点N，且点E，点N，点F三点在同一条直线上，折痕分别为CE，CF．如图2．第二步：再沿AC所在的直线折叠，△ACE与△ACF重合，得到图3．第三步：在图3的基础上继续折叠，使点C与点F重合，如图4，展开铺平，连接EF，FG，GM，ME．如图5，图中的虚线为折痕．问题解决：（1）在图5中，∠BEC的度数是，的值是．（2）在图5中，请判断四边形EMGF的形状，并说明理由；（3）在不增加字母的条件下，请你以图中5中的字母表示的点为顶点，动手画出一个菱形（正方形除外），并写出这个菱形：．17、已知：在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，AD上的点，过点F作EF的垂线交DC于点H，以EF为直径作半圆O．（1）填空：点A（填“在”或“不在”）⊙O上；当＝时，tan∠AEF的值是；（2）如图1，在△EFH中，当FE＝FH时，求证：AD＝AE+DH；（3）如图2，当△EFH的顶点F是边AD的中点时，求证：EH＝AE+DH；（4）如图3，点M在线段FH的延长线上，若FM＝FE，连接EM交DC于点N，连接FN，当AE＝AD 时，FN＝4，HN＝3，求tan∠AEF的值．参考答案2021年中考数学第三轮冲刺专题复习：四边形的综合专项练习1、如图，已知正方形ABCD的边长为1，正方形CEFG的面积为S1，点E在DC边上，点G在BC的延长线上，设以线段AD和DE为邻边的矩形的面积为S2，且S1＝S2．（1）求线段CE的长；（2）若点H为BC边的中点，连接HD，求证：HD＝HG．【解答】解：（1）设正方形CEFG的边长为a，∵正方形ABCD的边长为1，∴DE＝1﹣a，∵S1＝S2，∴a2＝1×（1﹣a），解得，（舍去），，即线段CE的长是；（2）证明：∵点H为BC边的中点，BC＝1，∴CH＝0.5，∴DH＝＝，∵CH＝0.5，CG＝，∴HG＝，∴HD＝HG．2、如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF经过O，分别交AB、CD于点E、F，EF的延长线交CB的延长线于M．（1）求证：OE＝OF；（2）若AD＝4，AB＝6，BM＝1，求BE的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，AB∥CD，BC＝AD，∴∠OAE＝∠OVF，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE＝OF；（2）解：过点O作ON∥BC交AB于N，则△AON∽△ACB，∵OA＝OC，∴ON＝BC＝2，BN＝AB＝3，∵ON∥BC，∴△ONE∽△MBE，∴＝，即＝，解得，BE＝1．3、如图，矩形EFGH的顶点E，G分别在菱形ABCD的边AD，BC上，顶点F，H在菱形ABCD的对角线BD上．（1）求证：BG＝DE；（2）若E为AD中点，FH＝2，求菱形ABCD的周长．【解答】解：（1）∵四边形EFGH是矩形，∴EH＝FG，EH∥FG，∴∠GFH＝∠EHF，∵∠BFG＝180°﹣∠GFH，∠DHE＝180°﹣∠EHF，∴∠BFG＝∠DHE，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠GBF＝∠EDH，∴△BGF≌△DEH（AAS），∴BG＝DE；（2）连接EG，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵E为AD中点，∴AE＝ED，∵BG＝DE，∴AE＝BG，AE∥BG，∴四边形ABGE是平行四边形，∴AB＝EG，∵EG＝FH＝2，∴AB＝2，∴菱形ABCD的周长＝8．4、如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠DAB，已知CE＝6，BE＝8，DE＝10．（1）求证：∠BEC＝90°；（2）求cos∠DAE．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC＝AB＝，AD＝BC，DC∥AB，∴∠DEA＝∠EAB，∵AE平分∠DAB，∴∠DAE＝∠EAB，∴∠DAE＝∠DEA∴AD＝DE＝10，∴BC＝10，AB＝CD＝DE+CE＝16，∵CE2+BE2＝62+82＝100＝BC2，∴△BCE是直角三角形，∠BEC＝90°；（2）解：∵AB∥CD，∴∠ABE＝∠BEC＝90°，∴AE＝＝＝8，∴cos∠DAE＝cos∠EAB＝＝＝．5、如图，已知平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝3，AC＝2．（1）求平行四边形ABCD的面积；（2）求证：BD⊥BC．【解答】解：（1）作CE⊥AB交AB的延长线于点E，如图：设BE＝x，CE＝h在Rt△CEB中：x2+h2＝9①在Rt△CEA中：（5+x）2+h2＝52②联立①②解得：x＝，h＝∴平行四边形ABCD的面积＝AB•h＝12；（2）作DF⊥AB，垂足为F∴∠DF A＝∠CEB＝90°∵平行四边形ABCD∴AD＝BC，AD∥BC∴∠DAF＝∠CBE又∵∠DF A＝∠CEB＝90°，AD＝BC∴△ADF≌△BCE（AAS）∴AF＝BE＝，BF＝5﹣＝，DF＝CE＝在Rt△DFB中：BD2＝DF2+BF2＝（）2+（）2＝16∴BD＝4∵BC＝3，DC＝5∴CD2＝DB2+BC2∴BD⊥BC．6、如图所示，已知正方形OEFG的顶点O为正方形ABCD对角线AC、BD的交点，连接CE、DG．（1）求证：△DOG≌△COE；（2）若DG⊥BD，正方形ABCD的边长为2，线段AD与线段OG相交于点M，AM＝，求正方形OEFG 的边长．【解答】解：（1）∵正方形ABCD与正方形OEFG，对角线AC、BD∴DO＝OC∵DB⊥AC，∴∠DOA＝∠DOC＝90°∵∠GOE＝90°∴∠GOD+∠DOE＝∠DOE+∠COE＝90°∴∠GOD＝∠COE∵GO＝OE∴在△DOG和△COE中∴△DOG≌△COE（SAS）（2）如图，过点M作MH⊥DO交DO于点H∵AM＝，DA＝2∴DM＝∵∠MDB＝45°∴MH＝DH＝sin45°•DM＝，DO＝cos45°•DA＝∴HO＝DO﹣DH＝﹣＝∴在Rt△MHO中，由勾股定理得MO＝＝＝∵DG⊥BD，MH⊥DO∴MH∥DG∴易证△OHM∽△ODG∴＝＝＝，得GO＝2则正方形OEFG的边长为27、如图，在四边形ABCD中，点E和点F是对角线AC上的两点，AE＝CF，DF＝BE，且DF∥BE，过点C作CG⊥AB交AB的延长线于点G．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）若tan∠CAB＝，∠CBG＝45°，BC＝4，则▱ABCD的面积是24．【解答】（1）证明：∵AE＝CF，∴AE﹣EF＝CF﹣EF，即AF＝CE，∵DF∥BE，∴∠DF A＝∠BEC，∵DF＝BE，∴△ADF≌△CBE（SAS），∴AD＝CB，∠DAF＝∠BCE，∴AD∥CB，∴四边形ABCD是平行四边形；（2）解：∵CG⊥AB，∴∠G＝90°，∵∠CBG＝45°，∴△BCG是等腰直角三角形，∵BC＝4，∴BG＝CG＝4，∵tan∠CAB＝，∴AG＝10，∴AB＝6，∴▱ABCD的面积＝6×4＝24，故答案为：24．8、如图，四边形ABCD是正方形，△EFC是等腰直角三角形，点E在AB上，且∠CEF＝90°，FG⊥AD，垂足为点C．（1）试判断AG与FG是否相等？并给出证明；（2）若点H为CF的中点，GH与DH垂直吗？若垂直，给出证明；若不垂直，说明理由．【解答】解：（1）AG＝FG，理由如下：如图，过点F作FM⊥AB交BA的延长线于点M∵四边形ABCD是正方形∴AB＝BC，∠B＝90°＝∠BAD∵FM⊥AB，∠MAD＝90°，FG⊥AD∴四边形AGFM是矩形∴AG＝MF，AM＝FG，∵∠CEF＝90°，∴∠FEM+∠BEC＝90°，∠BEC+∠BCE＝90°∴∠FEM＝∠BCE，且∠M＝∠B＝90°，EF＝EC∴△EFM≌△CEB（AAS）∴BE＝MF，ME＝BC∴ME＝AB＝BC∴BE＝MA＝MF∴AG＝FG，（2）DH⊥HG理由如下：如图，延长GH交CD于点N，∵FG⊥AD，CD⊥AD∴FG∥CD∴，且CH＝FH，∴GH＝HN，NC＝FG∴AG＝FG＝NC又∵AD＝CD，∴GD＝DN，且GH＝HN∴DH⊥GH9、定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD上的点．求证：四边形ABEF是邻余四边形．（2）如图2，在5×4的方格纸中，A，B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF，使AB 是邻余线，E，F在格点上．（3）如图3，在（1）的条件下，取EF中点M，连结DM并延长交AB于点Q，延长EF交AC于点N．若N为AC的中点，DE＝2BE，QB＝3，求邻余线AB的长．【解答】解：（1）∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB+∠DBA＝90°，∴∠FBA与∠EBA互余，∴四边形ABEF是邻余四边形；（2）如图所示（答案不唯一），四边形AFEB为所求；（3）∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，∴BD＝CD，∵DE＝2BE，∴BD＝CD＝3BE，∴CE＝CD+DE＝5BE，∵∠EDF＝90°，点M是EF的中点，∴DM＝ME，∴∠MDE＝∠MED，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴△DBQ∽△ECN，∴，∵QB＝3，∴NC＝5，∵AN＝CN，∴AC＝2CN＝10，∴AB＝AC＝10．10、如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，连结AE，EM⊥AE，垂足为E，交CD于点M，AF⊥BC，垂足为F，BH⊥AE，垂足为H，交AF于点N，点P是AD上一点，连接CP．（1）若DP＝2AP＝4，CP＝，CD＝5，求△ACD的面积．（2）若AE＝BN，AN＝CE，求证：AD＝CM+2CE．【解答】（1）解：作CG⊥AD于G，如图1所示：设PG＝x，则DG＝4﹣x，在Rt△PGC中，GC2＝CP2﹣PG2＝17﹣x，在Rt△DGC中，GC2＝CD2﹣GD2＝52﹣（4﹣x）2＝9+8x﹣x2，∴17﹣x2＝9+8x﹣x2，解得：x＝1，即PG＝1，∴GC＝4，∵DP＝2AP＝4，∴AD＝6，∴S△ACD＝×AD×CG＝×6×4＝12；（2）证明：连接NE，如图2所示：∵AH⊥AE，AF⊥BC，AE⊥EM，∴∠AEB+∠NBF＝∠AEB+∠EAF＝∠AEB+∠MEC＝90°，∴∠NBF＝∠EAF＝∠MEC，在△NBF和△EAF中，，∴△NBF≌△EAF（AAS），∴BF＝AF，NF＝EF，∴∠ABC＝45°，∠ENF＝45°，FC＝AF＝BF，∴∠ANE＝∠BCD＝135°，AD＝BC＝2AF，在△ANE和△ECM中，，∴△ANE≌△ECM（ASA），∴CM＝NE，又∵NF＝NE＝MC，∴AF＝MC+EC，∴AD＝MC+2EC．11、如图，在正方形ABCD中，分别过顶点B，D作BE∥DF交对角线AC所在直线于E，F点，并分别延长EB，FD到点H，G，使BH＝DG，连接EG，FH．（1）求证：四边形EHFG是平行四边形；（2）已知：AB＝2，EB＝4，tan∠GEH＝2，求四边形EHFG的周长．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠DCA＝∠BAC，∵DF∥BE，∴∠CFD＝∠BEA，∵∠BAC＝∠BEA+∠ABE，∠DCA＝∠CFD+∠CDF，∴∠ABE＝∠CDF，在△ABE和△CDF中，∵，∴△ABE≌△CDF（AAS），∴BE＝DF，∵BH＝DG，∴BE+BH＝DF+DG，即EH＝GF，∵EH∥GF，∴四边形EHFG是平行四边形；（2）如图，连接BD，交EF于O，∵四边形ABCD是正方形，∴BD⊥AC，∴∠AOB＝90°，∵AB＝2，∴OA＝OB＝2，Rt△BOE中，EB＝4，∴∠OEB＝30°，∴EO＝2，∵OD＝OB，∠EOB＝∠DOF，∵DF∥EB，∴∠DFC＝∠BEA，∴△DOF≌△BOE（AAS），∴OF＝OE＝2，∴EF＝4，∴FM＝2，EM＝6，过F作FM⊥EH于M，交EH的延长线于M，∵EG∥FH，∴∠FHM＝∠GEH，∵tan∠GEH＝tan∠FHM＝＝2，∴，∴HM＝1，∴EH＝EM﹣HM＝6﹣1＝5，FH＝＝＝，∴四边形EHFG的周长＝2EH+2FH＝2×5+2＝10+2．12、如图，四边形ABCD是矩形，AB＝20，BC＝10，以CD为一边向矩形外部作等腰直角△GDC，∠G＝90°．点M在线段AB上，且AM＝a，点P沿折线AD﹣DG运动，点Q沿折线BC﹣CG运动（与点G 不重合），在运动过程中始终保持线段PQ∥AB．设PQ与AB之间的距离为x．（1）若a＝12．①如图1，当点P在线段AD上时，若四边形AMQP的面积为48，则x的值为3；②在运动过程中，求四边形AMQP的最大面积；（2）如图2，若点P在线段DG上时，要使四边形AMQP的面积始终不小于50，求a的取值范围．【解答】（1）解：①P在线段AD上，PQ＝AB＝20，AP＝x，AM＝12，四边形AMQP的面积＝（12+20）x＝48，解得：x＝3；故答案为：3；②当P，在AD上运动时，P到D点时四边形AMQP面积最大，为直角梯形，∴0＜x≤10时，四边形AMQP面积的最大值＝（12+20）10＝160，当P在DG上运动，10＜x≤20，四边形AMQP为不规则梯形，作PH⊥AB于M，交CD于N，作GE⊥CD于E，交AB于F，如图2所示：则PM＝x，PN＝x﹣10，EF＝BC＝10，∵△GDC是等腰直角三角形，∴DE＝CE，GE＝CD＝10，∴GF＝GE+EF＝20，∴GH＝20﹣x，由题意得：PQ∥CD，∴△GPQ∽△GDC，∴＝，即＝，解得：PQ＝40﹣2x，∴梯形AMQP的面积＝（12+40﹣2x）×x＝﹣x2+26x＝﹣（x﹣13）2+169，∴当x＝13时，四边形AMQP的面积最大＝169；（2）解：P在DG上，则10≤x≤20，AM＝a，PQ＝40﹣2x，梯形AMQP的面积S＝（a+40﹣2x）×x＝﹣x2+x，对称轴为：x＝10+，∵0≤x≤20，∴10≤10+≤15，对称轴在10和15之间，∵10≤x≤20，二次函数图象开口向下，∴当x＝20时，S最小，∴﹣202+×20≥50，∴a≥5；综上所述，a的取值范围为5≤a≤20．13、在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，点P是边AD上一点．（1）若BP平分∠ABD，交AE于点G，PF⊥BD于点F，如图①，证明四边形AGFP是菱形；（2）若PE⊥EC，如图②，求证：AE•AB＝DE•AP；（3）在（2）的条件下，若AB＝1，BC＝2，求AP的长．【解答】（1）证明：如图①中，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，∵AE⊥BD，∴∠AED＝90°，∴∠BAE+∠EAD＝90°，∠EAD+∠ADE＝90°，∴∠BAE＝∠ADE，∵∠AGP＝∠BAG+∠ABG，∠APD＝∠ADE+∠PBD，∠ABG＝∠PBD，∴∠AGP＝∠APG，∴AP＝AG，∵P A⊥AB，PF⊥BD，BP平分∠ABD，∴P A＝PF，∴PF＝AG，∵AE⊥BD，PF⊥BD，∴PF∥AG，∴四边形AGFP是平行四边形，∵P A＝PF，∴四边形AGFP是菱形．（2）证明：如图②中，∵AE⊥BD，PE⊥EC，∴∠AED＝∠PEC＝90°，∴∠AEP＝∠DEC，∵∠EAD+∠ADE＝90°，∠ADE+∠CDE＝90°，∴∠EAP＝∠EDC，∴△AEP∽△DEC，∴＝，∵AB＝CD，∴AE•AB＝DE•AP；（3）解：∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝2，∠BAD＝90°，∴BD＝＝，∵AE⊥BD，∴S△ABD＝•BD•AE＝•AB•AD，∴AE＝，∴DE＝＝，∵AE•AB＝DE•AP；∴AP＝＝．14、已知矩形ABCD中，AB＝5cm，点P为对角线AC上的一点，且AP＝2cm．如图①，动点M从点A出发，在矩形边上沿着A→B→C的方向匀速运动（不包含点C）．设动点M的运动时间为t（s），△APM 的面积为S（cm2），S与t的函数关系如图②所示．（1）直接写出动点M的运动速度为2cm/s，BC的长度为10cm；（2）如图③，动点M重新从点A出发，在矩形边上按原来的速度和方向匀速运动，同时，另一个动点N从点D出发，在矩形边上沿着D→C→B的方向匀速运动，设动点N的运动速度为v（cm/s）．已知两动点M，N经过时间x（s）在线段BC上相遇（不包含点C），动点M，N相遇后立即同时停止运动，记此时△APM与△DPN的面积分别为S1（cm2），S2（cm2）①求动点N运动速度v（cm/s）的取值范围；②试探究S1•S2是否存在最大值，若存在，求出S1•S2的最大值并确定运动时间x的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵t＝2.5s时，函数图象发生改变，∴t＝2.5s时，M运动到点B处，∴动点M的运动速度为：＝2cm/s，∵t＝7.5s时，S＝0，∴t＝7.5s时，M运动到点C处，∴BC＝（7.5﹣2.5）×2＝10（cm），故答案为：2，10；（2）①∵两动点M，N在线段BC上相遇（不包含点C），∴当在点C相遇时，v＝＝（cm/s），当在点B相遇时，v＝＝6（cm/s），∴动点N运动速度v（cm/s）的取值范围为cm/s＜v≤6cm/s；②过P作EF⊥AB于F，交CD于E，如图3所示：则EF∥BC，EF＝BC＝10，∴＝，∵AC＝＝5，∴＝，解得：AF＝2，∴DE＝AF＝2，CE＝BF＝3，PF＝＝4，∴EP＝EF﹣PF＝6，∴S1＝S△APM＝S△APF+S梯形PFBM﹣S△ABM＝×4×2+（4+2x﹣5）×3﹣×5×（2x﹣5）＝﹣2x+15，S2＝S△DPM＝S△DEP+S梯形EPMC﹣S△DCM＝×2×6+（6+15﹣2x）×3﹣×5×（15﹣2x）＝2x，∴S1•S2＝（﹣2x+15）×2x＝﹣4x2+30x＝﹣4（x﹣）2+，∵2.5＜＜7.5，在BC边上可取，∴当x＝时，S1•S2的最大值为．15、如图1，正方形ABDE和BCFG的边AB，BC在同一条直线上，且AB＝2BC，取EF的中点M，连接MD，MG，MB．（1）试证明DM⊥MG，并求的值．（2）如图2，将图1中的正方形变为菱形，设∠EAB＝2α（0＜α＜90°），其它条件不变，问（1）中的值有变化吗？若有变化，求出该值（用含α的式子表示）；若无变化，说明理由．【解答】（1）证明：如图1中，延长DM交FG的延长线于H．∵四边形ABCD，四边形BCFG都是正方形，∴DE∥AC∥GF，∴∠EDM＝∠FHM，∵∠EMD＝∠FMH，EM＝FM，∴△EDM≌△FHM（AAS），∴DE＝FH，DM＝MH，∵DE＝2FG，BG＝DG，∴HG＝DG，∵∠DGH＝∠BGF＝90°，MH＝DM，∴GM⊥DM，DM＝MG，连接EB，BF，设BC＝a，则AB＝2a，BE＝2a，BF＝a，∵∠EBD＝∠DBF＝45°，∴∠EBF＝90°，∴EF＝＝a，∵EM＝MF，∴BM＝EF＝a，∵HM＝DM，GH＝FG，∴MG＝DF＝a，∴＝＝．（2）解：（1）中的值有变化．理由：如图2中，连接BE，AD交于点O，连接OG，CG，BF，CG交BF于O′．∵DO＝OA，DG＝GB，∴GO∥AB，OG＝AB，∵GF∥AC，∴O，G，F共线，∵FG＝AB，∴OF＝AB＝DF，∵DF∥AC，AC∥OF，∴DE∥OF，∴OD与EF互相平分，∵EM＝MF，∴点M在直线AD上，∵GD＝GB＝GO＝GF，∴四边形OBFD是矩形，∴∠OBF＝∠ODF＝∠BOD＝90°，∵OM＝MD，OG＝GF，∴MG＝DF，设BC＝m，则AB＝2m，易知BE＝2OB＝2•2m•sinα＝4m sinα，BF＝2BO°＝2m•cosα，DF＝OB＝2m•sinα，∵BM＝EF＝＝，GM＝DF＝m•sinα，∴＝＝．16、综合与实践动手操作：第一步：如图1，正方形纸片ABCD沿对角线AC所在的直线折叠，展开铺平．在沿过点C的直线折叠，使点B，点D都落在对角线AC上．此时，点B与点D重合，记为点N，且点E，点N，点F三点在同一条直线上，折痕分别为CE，CF．如图2．第二步：再沿AC所在的直线折叠，△ACE与△ACF重合，得到图3．第三步：在图3的基础上继续折叠，使点C与点F重合，如图4，展开铺平，连接EF，FG，GM，ME．如图5，图中的虚线为折痕．问题解决：（1）在图5中，∠BEC的度数是67.5°，的值是．（2）在图5中，请判断四边形EMGF的形状，并说明理由；（3）在不增加字母的条件下，请你以图中5中的字母表示的点为顶点，动手画出一个菱形（正方形除外），并写出这个菱形：菱形EMCH或菱形FGCH．【解答】解：（1）由折叠的性质得：BE＝EN，AE＝AF，∠CEB＝∠CEN，∠BAC＝∠CAD，∵四边形ABCD是正方形，∴∠EAF＝90°，∴∠AEF＝∠AFE＝45°，∴∠BEN＝135°，∴∠BEC＝67.5°，∴∠BAC＝∠CAD＝45°，∵∠AEF＝45°，∴△AEN是等腰直角三角形，∴AE＝EN，∴＝＝；故答案为：67.5°，；（2）四边形EMGF是矩形；理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠BCD＝∠D＝90°，由折叠的性质得：∠BCE＝∠ECA＝∠ACF＝∠FCD，CM＝CG，∠BEC＝∠NEC＝∠NFC＝∠DFC，∴∠BCE＝∠ECA＝∠ACF＝∠FCD＝＝22.5°，∠BEC＝∠NEC＝∠NFC＝∠DFC＝67.5°，由折叠可知：MH、GH分别垂直平分EC、FC，∴MC＝ME＝CG＝GF，∴∠MEC＝∠BCE＝22.5°，∠GFC＝∠FCD＝22.5°，∴∠MEF＝90°，∠GFE＝90°，∵∠MCG＝90°，CM＝CG，∴∠CMG＝45°，∵∠BME＝∠BCE+∠MEC＝22.5°+22.5°＝45°，∴∠EMG＝180°﹣∠CMG﹣∠BME＝90°，∴四边形EMGF是矩形；（3）连接EH、FH，如图所示：∵由折叠可知：MH、GH分别垂直平分EC、FC，同时EC、FC也分别垂直平分MH、GH，∴四边形EMCH与四边形FGCH是菱形，故答案为：菱形EMCH或菱形FGCH．17、已知：在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，AD上的点，过点F作EF的垂线交DC于点H，以EF为直径作半圆O．（1）填空：点A在（填“在”或“不在”）⊙O上；当＝时，tan∠AEF的值是；（2）如图1，在△EFH中，当FE＝FH时，求证：AD＝AE+DH；（3）如图2，当△EFH的顶点F是边AD的中点时，求证：EH＝AE+DH；（4）如图3，点M在线段FH的延长线上，若FM＝FE，连接EM交DC于点N，连接FN，当AE＝AD 时，FN＝4，HN＝3，求tan∠AEF的值．【解答】解：（1）连接AO，∵∠EAF＝90°，O为EF中点，∴AO＝EF，∴点A在⊙O上，当＝时，∠AEF＝45°，∴tan∠AEF＝tan45°＝1，故答案为：在，1；（2）∵EF⊥FH，∴∠EFH＝90°，在矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，∴∠AEF+∠AFE＝90°，∠AFE+∠DFH＝90°，∴∠AEF＝∠DFH，又FE＝FH，∴△AEF≌△DFH（AAS），∴AF＝DH，AE＝DF，∴AD＝AF+DF＝AE+DH；（3）延长EF交HD的延长线于点G，∵F分别是边AD上的中点，∴AF＝DF，∵∠A＝∠FDG＝90°，∠AFE＝∠DFG，∴△AEF≌△DGF（ASA），∴AE＝DG，EF＝FG，∵EF⊥FG，∴EH＝GH，∴GH＝DH+DG＝DH+AE，∴EH＝AE+DH；（4）过点M作MQ⊥AD于点Q．设AF＝x，AE＝a，∵FM＝FEEF⊥FH，∴△EFM为等腰直角三角形，∴∠FEM＝∠FMN＝45°，∵FM＝FE，∠A＝∠MQF＝90°，∠AEF＝∠MFQ，∴△AEF≌△QFM（ASA），∴AE＝EQ＝a，AF＝QM，∵AE＝AD，∴AF＝DQ＝QM＝x，∵DC∥QM，∴，∵DC∥AB∥QM，∴，∴，∵FE＝FM，∴，∠FEM＝∠FMN＝45°，∴△FEN～△HMN，∴，∴．。

2021年九年级中考数学考前强化练习：《四边形综合》（三）1．在平面直角坐标系中（单位长度为1cm），已知点A（0，m），N（n，0），且+|m+n ﹣10|＝0．（1）m＝，n＝．（2）如图，若点E是第一象限内的一点，且EN⊥x轴，过点E作x轴的平行线a，与y 轴交于点A，点P从点E处出发，以每秒2cm的速度沿直线a向左移动，点Q从原点O 同时出发，以每秒1cm的速度沿x轴向右移动．①经过几秒PQ∥y轴？②若某一时刻以A、O、Q、P为顶点的四边形的面积是10cm2，求此时点P的坐标．2．如图，在▱ABCD，点E为AD的中点，延长BE、CD交于点F，连接AF，BD，CE．（1）求证：四边形ABDF为平行四边形．（2）若BE为∠ABC的角平分线，AB＝5，CE＝6，求△AEF的面积．3．已知正方形ABCD，点E，F分别在射线BC，射线CD上，BE＝CF，AE与BF交于点H．（1）如图1，当点E，F分别在线段BC，CD上时，求证：AE＝BF，且AE⊥BF；（2）如图2，当点E在线段BC延长线上时，将线段BE沿BF平移至FG，连接AG．①依题意将图2补全；②用等式表示线段AG，FG和AD之间的数量关系，并证明．4．如图，正方形ABCD中，点E在AB上，点F在BC的延长线上，DF⊥DE，EG平分∠BEF 交BD于点G．（1）求证：DE＝DF；（2）请写出线段DG和DF的数量关系并证明；（3）作GH⊥EF于点H，请直接写出线段AB、GH与EF的数量关系．5．在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点K是线段AB延长线上一点，点E是∠CBK的平分线上一点，连接DE，取DE的中点F，连接BF．（1）依照题意补全图形．（2）求证：∠FDA＝∠FBA．（3）若点G是线段BE延长线上任意一点，连接CG，点H为CG中点，连接FH，用等式表达EG，DA，FH的数量关系，并证明．6．如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点，点F在边BC的延长线上，且CF＝AE，连接DE、DF．（1）求证：DE⊥DF；（2）连接EF，取EF中点G，连接DG并延长交BC于H，连接BG．①依题意，补全图形；②求证：BG＝DG；③若∠EGB＝45°，用等式表示线段BG、HG与AE之间的数量关系，并证明．7．在△ABC中，BC＝AC，∠C＝90°，D是BC边上一个动点（不与点B，C重合），连接AD，以AD为边作正方形ADEF（点E，F都在直线BC的上方），连接BE．（1）根据题意补全图形，并证明∠CAD＝∠BDE；（2）用等式表示线段CD与BE的数量关系，并证明；（3）用等式表示线段AD，AB，BE之间的数量关系（直接写出）．8．如图，平行四边形ABCD中，BC＝BD．点F是线段AB的中点．过点C作CG⊥DB交BD于点G，CG延长线交DF于点H．且CH＝DB．（1）如图1，若DH＝1．求FH的值；（2）如图2，连接FG．求证：DB＝FG+HG．9．如图，在正方形ABCD中，E为边CD上一点（不与点C，D重合），垂直于BE的一条直线MN分别交BC，BE，AD于点M，P，N，正方形ABCD的边长为6．（1）如图1，当点M和点C重合时，若AN＝4，求△CDN的面积为．（2）在（1）的条件下求线段PM的长度；（3）如图2，当点M在BC边上时，判断线段AN，MB，EC之间的数量关系，并说明理由．10．如图，在边长为6的正方形ABCD中，点M为对角线BD上任意一点（可与B，D重合），连接AM，将线段AM绕点A逆时针旋转90°得到线段AN，连接MN，DN，设BM＝x．（1）求证：△ABM≌△ADN；（2）当时，求MN的长；（3）嘉淇同学在完成（1）后有个想法：“△ABM与△MND也会存在全等的情况”，请判断嘉淇的想法是否正确，若正确，请直接写出△ABM与△MND全等时x的值；若不正确，请说明理由．11．在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴、y轴上，点B的坐标为，将矩形OABC 绕点A 顺时针旋转α，得到矩形O 1AB 1C 1，点O ，B ，C 的对应点分别为O 1，B 1，C 1．（Ⅰ）如图①，当α＝45°时，O 1C 1与AB 相交于点E ，求点E 的坐标；（Ⅱ）如图②，当点O 1落在对角线OB 上时，连接BC 1，四边形OAC 1B 是何特殊的四边形？并说明理由；（Ⅲ）连接BC 1，当BC 1取得最小值和最大值时，分别求出点B 1的坐标（直接写出结果即可）．12．如图，在平面直角坐标系中，已知菱形ABCD ，A （﹣3，0），B （2，0），D 在y 轴上．直线l 从BC 出发，以每秒1个单位长度的速度沿CD 向左平移，分别与CD 、BD 交于E 、F ．设△DEF 的面积为S ，直线l 平移时间为t （s ）（0＜t ＜5）． （1）求点C 的坐标； （2）求S 与t 的函数表达式；（3）过点B 作BG ⊥l ，垂足为G ，连接AF 、AG ，设△AFG 的面积为S 1，△BFG 的面积为S 2，当S 1+S 2＝S 时，若点P （1﹣a ，a +3）在△DEF 内部（不包括边），求a 的取值范围．13．如图，A （0，3）是直角坐标系y 轴上一点，动点P 从原点O 出发，沿x 轴正半轴运动，速度为每秒2个单位长度，以P 为直角顶点在第一象限内作等腰Rt △APB ．设P 点的运动时间为t秒．（1）若AB∥x轴，求t的值；（2）如图2，当t＝2时，坐标平面内有一点M（不与A重合）使得以M、P、B为顶点的三角形和△ABP全等，请直接写出点M的坐标．14．如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．（1）概念理解：给出下列图形：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形．其中一定是“垂美四边形”的是（填序号）；（2）性质探究：如图1，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD．求证：AB2+CD2＝AD2+BC2；（3）解决问题：如图2，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG 和正方形ABDE，连接CE，BG，GE．已知AC＝，AB＝3．①请问四边形CGEB是垂美四边形吗？并说明理由；②求GE的长．15．如图，四边形ABCD为正方形，点E为正方形ABCD外一点，且AD＝AE，连接BE，∠DAE 的角平分线交BE于点P，连接CP，设∠DAE＝α．（1）当α＝60°，求∠APB的大小；（2）在（1）的条件下，当PE＝2时，求AB的长；（3）当0°＜α＜60°时，求PA，PB，PC三条线段满足的等量关系．参考答案1．解：（1）依题意，得，解得；故答案为：4，6；（2）①设经过x秒PQ平行于y轴，依题意，得6﹣2x＝x，解得x＝2，∴经过2秒PQ∥y轴；②当点P在y轴右侧时，依题意，得，解得x＝1，此时点P的坐标为（4，4），当点P在y轴左侧时，依题意，得，解得x＝，此时点P的坐标为（﹣，4）．综合以上可得点P的坐标为（4，4）或（﹣，4）．2．解：（1）证明：由题意得，AB∥CF，∴∠ABE＝∠DFE，又∵点E为AD的中点，∴AE＝DE，在△ABE和△DFE中，，∴△ABE≌△DFE（AAS）∴AB ＝DF ， 又∵AB ∥DF ，∴四边形ABDF 为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）； （2）过点F 作AD 的垂线交AD 延长线于点K ，过点D 作DH ⊥EC ，过点E 作EG ⊥CD ，∵S △AEF ＝；，∴S △AEF ＝S △EDF ，又∵BE 为∠ABC 的角平分线， ∴∠ABE ＝∠EBC ， 又∵AD ∥BC ， ∴∠EBC ＝∠FED ， 而∠ABE ＝∠DFE ， ∴∠FED ＝∠DFE ， ∴ED ＝FD ，由（1）可知AB ＝DC ＝FD ＝5， ∴ED ＝FD ＝DC ＝5， 又∵S △EFD ＝，S △EDC ＝，∴S △AEF ＝S △EDF ＝S △ECD ，在等腰△EDC 中，ED ＝CD ＝5，EC ＝6， ∵DH ⊥EC ， ∴EH ＝＝＝3，在Rt △EHD 中，ED ＝5，EH ＝3， ∴DH ＝＝＝4，∴S △ECD ＝＝12，∴S△AEF ＝S△EDF＝S△ECD＝12，故S△AEF＝12．3．解：（1）如图1，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°，在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（SAS），∴AE＝BF，∠BAE＝∠CBF，∵∠CBF+∠ABH＝90°，∴∠BAE+∠ABH＝90°，∴∠AHB＝90°，∴AE⊥BF，故AE＝BF，且AE⊥BF；（2）①补全图如图2所示；②AG2＝2AD2+2FG2.理由如下：如图3，连接EG，∵线段BE沿BF平移至FG，∴四边形BEGF是平行四边形，∴EG＝BF，EG∥BF，在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（SAS），∴AE＝BF，∠BFC＝∠AEB，∴EG＝BF＝AE，∵∠BFC+∠CBF＝90°，∴∠AEB+∠CBF＝90°，∴∠BHE＝90°，∵EG∥BF，∴∠AEG＝∠BHE＝90°，∴AG2＝AE2+EG2＝2AE2，∵AE2＝AB2+BE2＝AD2+FG2，∴AG2＝2AD2+2FG2．4．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠BAD＝∠BCD＝90°，∴∠CDE+∠EDA＝90°，∠FCD＝∠EAD＝90°，∵DE⊥DF，∴∠FDC+∠CDE＝90°，∴∠FDC＝∠EDA，∴△EDA≌△FDC（ASA），∴DE＝DF；（2）解：DG＝DF，证明如下：由（1）得：DE＝DF，∵∠FDE＝90°，∴∠DEF是等腰直角三角形，∴∠DFE＝∠DEF＝45°，∴∠DEG＝45°+∠FEG，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABG＝45°，∴∠DGE＝∠ABG+∠BEG＝45°+∠BEG，∵EG平分∠BEF，∴∠FEG＝∠BEG，∴∠DEG＝∠DGE，∴DE＝DG，∴DG＝DF；（3）解：AB﹣GH＝EF，理由如下：过点G作GM⊥AB于M，如图所示：∵EG平分∠BEF，GM⊥AB，GH⊥EF，∴GM＝GH，∵∠ABG＝45°，∴△BGM、△ABD是等腰直角三角形，∴BG＝GM＝GH，BD＝AB，由（2）可知，DG＝DE，△DEF是等腰直角三角形，∴EF＝DE，∵DE＝DG，∴DG＝EF，∵BD﹣BG＝DG，∴AB﹣GH＝EF，∴AB﹣GH＝EF．5．解（1）如图所示．（2）如图所示，连接DB，∵四边形ABCD是菱形，∴BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠ABC＝30°，同理∠CBE＝∠CBK＝60°，∴∠DBE＝∠DBC+∠CBE＝90°，在Rt△DBE中，F为BE中点，∴BF＝DE＝DF，∴∠FDB＝∠FBD，∵DA＝AB，∴∠ADB＝∠ABD，∴∠FDA＝∠FBA．（3）4FH2＝EG2+DA2+EG•DA．如图1所示，连接CE，取CE中点为点M，连接FM，HM，延长HM交AB于点N，不妨设EG＝a，DA＝b，FH＝c，∵H，M分别为CG，CE的中点，∴HM∥GE，且HM＝EG＝a，同理FM∥DC，且FM＝DC＝DA＝b．∴∠HMF＝∠MNA＝∠ABG＝120°；如图2所示，过点H作HP⊥FP交FM延长线于点P，在Rt△HMP中，∠HMP＝60°，HM＝a，∴MP＝a，HP＝a．∴FP＝b+a．在Rt△HMP中，∠HPM＝90°，∴HP2+MP2＝HM2，即（a）2+（b+a）2＝c2，化简得：4c2＝a2+b2+ab．即4FH2＝EG2+DA2+EG•DA．6．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠A＝∠B＝∠BCD＝∠ADC＝90°，∴∠DCF＝90°，又∵AE＝CF，∴△ADE≌△CDF（SAS），∴∠ADE＝∠CDF，∵∠ADE+∠CDE＝90°，∴∠CDF+∠CDE＝90°，即∠EDF＝90°，∴DE⊥DF；（2）①解：依题意，补全图形如图所示：②证明：由（1）可知，△DEF和△BEF都是直角三角形，∵G是EF的中点，∴DG＝EF，BG＝EF，∴BG＝DG；③解：BG2+HG2＝4AE2，证明如下：由（1）可知，△ADE≌△CDF，DE⊥DF，∴DE＝DF，∴△DEF是等腰直角三角形，∴∠DEG＝45°，∵G为EF的中点，∴DG⊥EF，DG＝EF＝EG，BG＝EF＝EG＝FG，∴∠EGD＝∠HGF＝∠DGF＝90°，∠GDF＝45°，∠EDG＝∠DEG＝45°，∠GBF＝∠GFB，∵∠EGB＝45°，∴∠GBF＝∠GFB＝22.5°，∵∠DHF+∠HFG＝∠DHF+∠CDH＝90°，∴∠HFG＝∠CDH＝22.5°，∴∠CDF＝∠GDF﹣∠HDC＝22.5°＝∠CDH，又∵∠DCH＝∠DCF＝90°，CD＝CD，∴△CDH≌△CDF（ASA），∴CH＝CF，在Rt△GHF中，由勾股定理得：GF2+HG2＝HF2，∵HF＝2CF＝2AE，GF＝BG，∴BG2+HG2＝（2AE）2，∴BG2+HG2＝4AE2．7．解：（1）补全图形如下：∵正方形ADEF，∴∠ADE＝90°，∴∠BDE＝180°﹣∠ADE﹣∠ADC＝90°﹣∠ADC，∵∠C＝90°，∴∠CAD＝90°﹣∠ADC，∴∠CAD＝∠BDE；（2）CD与BE的数量关系为：BE＝CD，证明如下：过E作EG⊥CB于G，如图：∵四边形ADEF是正方形，∴AD＝DE，∵EG⊥CB，∴∠G＝90°＝∠C，在△ACD和△DGE中，，∴△ACD≌△DGE（AAS），∴CD＝EG，AC＝DG，∵AC＝BC，∴DG＝BC，∴DG﹣DB＝BC﹣DB，即BG＝CD，∴BG＝EG，∴△BGE是等腰直角三角形，∴BE＝BG，∴BE＝CD；（3）AD，AB，BE之间的数量关系为：AB2＝2AD2﹣BE2，理由如下：∵∠C＝90°，AC＝BC，∴AB2＝AC2+BC2＝2AC2，AC2＝AD2﹣CD2，∴AB2＝2（AD2﹣CD2），而BE＝CD，∴CD2＝BE2，∴AB2＝2（AD2﹣BE2），即AB2＝2AD2﹣BE2．8．（1）证明：如图1中，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AB＝CD，AB∥CD，∵BD＝BC，∴AD＝BD，∵AF＝FB，∴DF⊥AB，∴DF⊥DC，∵CG⊥BD，∴∠CDH＝∠CGD＝∠DFB＝90°，∴∠BDF+∠CDG＝90°，∠CDG+∠DCH＝90°，∴∠BDF＝∠DCH，∵CH＝DB，∴△DFB≌△CDH（AAS），∴DH＝BF，CD＝DF，∴AB＝DF，∵AB＝2BF，∴DF＝2DH＝2，∴FH＝DH＝1；（2）解：如图1中，过点F作FJ⊥BD于J，FK⊥CH交CH的延长线于K．过点D作DT⊥DF交FG的延长线于T，连接CT，设FT交CD于N．∵∠K＝∠FJG＝∠KGJ＝90°，∴四边形FKGJ是矩形，∴∠FKJ＝90°，∵∠DFB＝90°，∴∠KFH＝∠BFJ，∵∠K＝∠FJB＝90°，FH＝FB，∴△FKH≌△FJB（AAS），∴FK＝FJ，∵FK⊥GK，FJ⊥GJ，∴FG平分∠KGJ，∴∠FGH＝∠FGJ＝45°，∵∠DGT＝∠FGJ＝45°，∠GDT＝90°，∴DG＝DT，∵∠FDC＝∠GDT＝90°，∴∠FDG＝∠CDT，∵DF＝DC，∴△FDG≌△CDT（SAS），∴FG＝CT，∠DFN＝∠TCN，∵∠DNF＝∠CNF，∴∠FDN＝∠CTN＝90°，∵∠TGC＝∠FGK＝45°，∴TG＝TC，CG＝CT＝FG，∴BD＝CH＝GH+CG＝GH+FG，∴DB＝FG+HG．9．解：（1）∵四边形ABD是正方形，∴AD＝CD＝6，∠D＝90°，∵AN＝4，∴DN＝AD﹣AN＝2，∴△CDN的面积＝CD×DN＝×6×2＝6，故答案为：6；（2）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝6，∠D＝∠BCE＝90°，∵BE⊥MN，点M和点C重合，∴MD＝BC＝6，∠DMN+∠BCP＝90°，∠CBE+∠BCP＝90°，∴∠DMN＝∠CBE，在△DMN和△CBE中，，∴△DMN≌△CBE（AAS），∴MN＝BE，DN＝CE，∵AN＝4，∴CE＝DN＝AD﹣AN＝6﹣4＝2，由勾股定理得：MN＝＝＝2，∴BE＝2，∵MN⊥BE，∴△BME的面积＝BE×PM＝BC×CE，∴PM＝＝＝；（3）线段AN、MB、EC之间的数量关系为：AN+EC＝MB，理由如下：过点N作NF⊥BC于N，如图2所示：则四边形ANFB为矩形，∴AN＝BF，NF＝AB＝BC，∵MN⊥BE，∴∠EBC+∠PMB＝90°，∠MNF+∠NMF＝90°，∴∠EBC＝∠MNF，在△EBC和△MNF中，，∴△EBC≌△MNF（ASA），∴FM＝EC，∴MB＝BF+FM＝AN+EC，即AN+EC＝MB．10．（1）证明：在正方形ABCD中，AB＝AD，由旋转的性质知：AM＝AN，∵∠BAD＝∠MAN＝90°，∴∠BAM＝∠DAN，在△ABM和△ADN中，，∴△ABM≌△ADN（SAS）．解：（2）∵BD是正方形ABCD的对角线，且AB＝6，∴，∠ADB＝45°，∴，由△ABM≌△AND得：，∠ADN＝∠ABM＝45°，∴∠MDN＝∠ADB+∠AND＝45°+45°＝90°，在Rt△MDN中，．（3）正确；．理由如下：如图：当AM⊥BD，易得△ABM和△ADN是全等的等腰直角三角形，∴∠NDA＝∠ABM＝45°，AN＝AM，∵正方形ABCD中，∠ADB＝∠ABD＝45°，∴∠NDM ＝90°，∵∠NAM ＝∠AMD ＝∠∠NDM ＝90°，∴四边形AMDN 为矩形，又∵AN ＝AM ，∴矩形AMDN 为正方形，∴△NMD ≌△DAN （SAS ），∴△NMD ≌△ABM （全等传递性），此时AM ＝＝＝3．当△ABM 与△MND 全等时x ＝3．11．解：（Ⅰ）∵矩形OABC ，∴∠OAB ＝90°．∵∠OAO 1＝45°，∴∠O 1AE ＝45°，∵∠AO 1E ＝90°，O 1A ＝OA ＝2， ∴， ∴E ；（Ⅱ）四边形OAC 1B 是平行四边形，在Rt△AOB中，，∴∠BOA＝60°，同理，∠O1AC1＝60°．∵OA＝O1A，∴△OAO1是等边三角形，∴∠OAO1＝60°，∴AC1与x轴的夹角＝180﹣∠O1AO﹣∠C1AO1＝180﹣60﹣60＝60°，∴BO∥AC1，又BO＝AC1，∴四边形OAC1B为平行四边形；（Ⅲ）点C1的运动路径是以A为圆心，AC1为半径的圆，当点C1在AB延长线上时，BC1为最小值，过点B1为作B1G⊥x轴A于点G，在Rt△B1AG中，∠B1AG＝180﹣90﹣30＝60°，∴，，当BC1取得最小值时点B1的坐标为；当点C1在A延A长线上时，BC1为最大值，过点B1为作B1H⊥x轴A于点H，在Rt△B1AH中，∠B1AH＝180﹣90﹣30＝60°，∴，，当BC1取得最大值时点B1的坐标为（，﹣3），综上所述当BC1取得最小值和最大值时点B1的坐标分别为，．12．解：（1）∵AB＝2﹣（﹣3）＝5＝AD＝CD，则OD＝＝4，故点C的坐标为（5，4）；＝CD×OD＝5×4＝10，（2）S△DBC∵l∥BC，∴△DEF∽△DCB，则S：S△DBC＝（DE：CD）2＝（5﹣t）2：52，∴S＝10×＝t2﹣4t+10；（3）设直线l与x轴交于点K，则BK＝CE＝t，∵l∥AD，故∠GKB＝∠ADO，则tan∠GKB＝tan∠ADO＝，则sin∠GKB＝，则sin∠GBK＝，则KG＝BK sin∠GBK＝t，则GF＝5﹣（5﹣t）﹣t＝t，则EF＝DE＝5﹣t，设点B到AD的距离为h，则S△ABD＝×AB×OD＝AD×h，则h＝OD＝4，∴S1+S2＝GF×h＝t××4＝t＝S，而S＝10×＝t2﹣4t+10；故点E（2.5，4）；由点A、D的坐标得，直线AD表达式为y＝x+4，故设直线l的表达式为y＝x+t，将点E的坐标代入上式得：4＝×+t，解得t＝，故直线l的表达式为y＝x+①，令y＝x+＝0，解得x＝﹣，故点K的坐标为（﹣，0），由点P的坐标知，点P在直线y＝﹣x+4②上，联立①②并解得，两个函数的交点坐标为（，），则0＜x P＜，则0＜1﹣a＜，解得﹣＜a＜1．13．解：（1）过点B作BC⊥x轴于点C，如图所示．∵AO⊥x轴，BC⊥x轴，且AB∥x轴，∴四边形ABCO为矩形，∴AO＝BC＝3，∵△APB为等腰直角三角形，∴AP＝BP，∠PAB＝∠PBA＝45°，∴∠OAP＝90°﹣∠PAB＝45°，∴△AOP为等腰直角三角形，∴OA＝OP＝3，∴t＝3÷2＝1.5（秒），故t的值为1.5；（2）当t＝2时，M、P、B为顶点的三角形和△ABP全等，①如图3，若△ABP≌△MBP，则AP＝PM，过点M作MD⊥OP于点D，∵∠AOP＝∠PDM，∠APO＝∠DPM，∴△AOP≌△MDP（AAS），∴OA＝DM＝3，OP＝PD＝4，∴M（8，﹣3）．②如图4，若△ABP≌△MPB，同理可求得M（3，7），③如图5，若△ABP≌△MPB，同理可求得M（7，﹣1）．综合以上可得点M的坐标为（3，7），（8，﹣3），（11，﹣1）．14．解：（1）∵菱形、正方形的对角线垂直，∴菱形、正方形都是垂美四边形．故答案为：③④．（2）证明：∵AC⊥BD，∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，由勾股定理，得AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，∴AB2+CD2＝AD2+BC2；（3）①连接CG、BE，AB与CE交于点O，BG与CE交于点N，如图2，∵∠CAG＝∠BAE＝90°，∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，在△GAB和△CAE中，，∴△GAB≌△CAE（SAS），∴∠ABG＝∠AEC，又∠AEC+∠AOE＝90°，∴∠ABG+∠AOE＝90°，即CE⊥BG，∴四边形CGEB是垂美四边形；②由（2）得，CG2+BE2＝CB2+GE2，∵AC＝，AB＝3，∴BC＝＝＝2，CG＝AC＝，BE＝AB＝3，∴GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝＝24，∴GE＝2．15．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∵AD＝AE，∠DAE＝60°，∴AB＝AE，∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝150°，∴∠ABE＝AEB＝（180°﹣∠BAE）＝×（180°﹣∠BAE）＝15°，∵AP平分∠DAE，∴∠PAE＝∠DAE＝30°，∴∠APB＝∠PAE+∠AEP＝30°+15°＝45°；（2）连接PD，∵AD＝AE，∠DAE＝60°，∴△ADE为等边三角形，∴∠AED＝∠ADE＝60°，DE＝AD，∵∠DAP＝∠EAP，AP＝AP，∴△DAP≌△EAP（SAS），∴PD＝PE，∴∠PED＝∠PDE，∵∠AEP＝15°，∴∠PED＝45°，∴∠DPE＝90°，∵PE＝2，∴DE＝PE＝2，∴AB＝AD＝DE＝2；（3）PC+PA＝PB．如图2，过点B作BH⊥BE交PA延长线于点H，∴∠HBE＝90°，∵∠APB＝45°，∴∠BHP＝180°﹣∠HBE﹣∠APB＝45°，∴∠BHP＝∠APB，∴BH＝BP，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∴∠HBE＝∠ABC，∴∠HBE﹣∠ABE＝∠ABC﹣∠ABE，即∠HBA＝∠EBC，在△PBC与△HBA中，，∴△PBC≌△HBA（SAS），∴∠BPC＝∠BHP＝45°，BP＝BH，CP＝AH，∴∠HBE＝90°，∴PH2＝BH2+BP2＝2BP2，即PH＝BP，∴PC+PA＝AH+AP＝PH＝BP．。

2021年中考数学专题复习：四边形试题精选汇编一．选择题（共30小题）1．（2020•西藏）如图，下列四个条件中，能判定平行四边形ABCD为菱形的是（）A．∠ADB＝90°B．OA＝OB C．OA＝OC D．AB＝BC 2．（2020•锦州）如图，在菱形ABCD中，P是对角线AC上一动点，过点P作PE⊥BC于点E．PF⊥AB于点F．若菱形ABCD的周长为20，面积为24，则PE+PF的值为（）A．4B．C．6D．3．（2020•大庆）如图，在边长为2的正方形EFGH中，M，N分别为EF与GH的中点，一个三角形ABC沿竖直方向向上平移，在运动的过程中，点A恒在直线MN上，当点A 运动到线段MN的中点时，点E，F恰与AB，AC两边的中点重合，设点A到EF的距离为x，三角形ABC与正方形EFGH的公共部分的面积为y．则当y＝时，x的值为（）A．或2+B．或2﹣C．2±D．或4．（2020•河池）如图，在▱ABCD中，CE平分∠BCD，交AB于点E，EA＝3，EB＝5，ED ＝4．则CE的长是（）A．5B．6C．4D．5 5．（2020•绵阳）如图是以正方形的边长为直径，在正方形内画半圆得到的图形，则此图形的对称轴有（）A．2条B．4条C．6条D．8条6．（2020•鄂尔多斯）如图，四边形OAA1B1是边长为1的正方形，以对角线OA1为边作第二个正方形OA1A2B2，连接AA2，得到△AA1A2；再以对角线OA2为边作第三个正方形OA2A3B3，连接A1A3，得到△A1A2A3，再以对角线OA3为边作第四个正方形OA2A4B4，连接A2A4，得到△A2A3A4，…，设△AA1A2，△A1A2A3，△A2A3A4，…，的面积分别为S1，S2，S3，…，如此下去，则S2020的值为（）A．B．22018C．22018+D．1010 7．（2020•十堰）如图，菱形ABCD的顶点分别在反比例函数y＝和y＝的图象上，若∠BAD＝120°，则||＝（）A．B．3C．D．8．（2020•宁夏）如图，菱形ABCD的边长为13，对角线AC＝24，点E、F分别是边CD、BC的中点，连接EF并延长与AB的延长线相交于点G，则EG＝（）A．13B．10C．12D．5 9．（2020•毕节市）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点，连接EF，若AB＝6cm，BC＝8cm．则EF的长是（）A．2.2cm B．2.3cm C．2.4cm D．2.5cm 10．（2020•玉林）已知：点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，如图所示．求证：DE∥BC，且DE＝BC．证明：延长DE到点F，使EF＝DE，连接FC，DC，AF，又AE＝EC，则四边形ADCF 是平行四边形，接着以下是排序错误的证明过程：①∴DF BC；②∴CF AD．即CF BD；③∴四边形DBCF是平行四边形；④∴DE∥BC，且DE＝BC．则正确的证明顺序应是：（）A．②→③→①→④B．②→①→③→④C．①→③→④→②D．①→③→②→④11．（2020•十堰）已知平行四边形ABCD中，下列条件：①AB＝BC；②AC＝BD；③AC ⊥BD；④AC平分∠BAD，其中能说明平行四边形ABCD是矩形的是（）A．①B．②C．③D．④12．（2020•烟台）量角器测角度时摆放的位置如图所示，在△AOB中，射线OC交边AB于点D，则∠ADC的度数为（）A．60°B．70°C．80°D．85°13．（2020•宜昌）游戏中有数学智慧，找起点游戏规定：从起点走五段相等直路之后回到起点，要求每走完一段直路后向右边偏行，成功的招数不止一招，可助我们成功的一招是（）A．每走完一段直路后沿向右偏72°方向行走B．每段直路要短C．每走完一段直路后沿向右偏108°方向行走D．每段直路要长14．（2020•通辽）如图，AD是△ABC的中线，四边形ADCE是平行四边形，增加下列条件，能判断▱ADCE是菱形的是（）A．∠BAC＝90°B．∠DAE＝90°C．AB＝AC D．AB＝AE 15．（2020•威海）如图，矩形ABCD的四个顶点分别在直线l3，l4，l2，l1上．若直线l1∥l2∥l3∥l4且间距相等，AB＝4，BC＝3，则tanα的值为（）A．B．C．D．16．（2020•荆门）如图，菱形ABCD中，E，F分别是AD，BD的中点，若EF＝5，则菱形ABCD的周长为（）A．20B．30C．40D．50 17．（2020•牡丹江）如图，在平面直角坐标系中，O是菱形ABCD对角线BD的中点，AD ∥x轴且AD＝4，∠A＝60°，将菱形ABCD绕点O旋转，使点D落在x轴上，则旋转后点C的对应点的坐标是（）A．（0，2）B．（2，﹣4）C．（2，0）D．（0，2）或（0，﹣2）18．（2020•盐城）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为BC中点，AC＝6，BD＝8．则线段OH的长为（）A．B．C．3D．5 19．（2020•辽阳）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，AC＝8．BD ＝6，点E是CD上一点，连接OE，若OE＝CE，则OE的长是（）A．2B．C．3D．4 20．（2020•扬州）如图，小明从点A出发沿直线前进10米到达点B，向左转45°后又沿直线前进10米到达点C，再向左转45°后沿直线前进10米到达点D…照这样走下去，小明第一次回到出发点A时所走的路程为（）A．100米B．80米C．60米D．40米21．（2020•黑龙江）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB 于点H，连接OH，若OA＝6，S菱形ABCD＝48，则OH的长为（）A．4B．8C．D．6 22．（2020•绥化）如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB的中线，过点D作DE⊥AC于点E，延长DE至点F，使EF＝DE，连接AF，CF，点G在线段CF上，连接EG，且∠CDE+∠EGC＝180°，FG＝2，GC＝3．下列结论：①DE＝BC；②四边形DBCF是平行四边形；③EF＝EG；④BC＝2．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个23．（2020•临沂）如图，P是面积为S的▱ABCD内任意一点，△P AD的面积为S1，△PBC 的面积为S2，则（）A．S1+S2＞B．S1+S2＜C．S1+S2＝D．S1+S2的大小与P点位置有关24．（2020•黑龙江）如图，正方形ABCD的边长为a，点E在边AB上运动（不与点A，B 重合），∠DAM＝45°，点F在射线AM上，且AF＝BE，CF与AD相交于点G，连接EC、EF、EG．则下列结论：①∠ECF＝45°；②△AEG的周长为（1+）a；③BE2+DG2＝EG2；④△EAF的面积的最大值是a2；⑤当BE＝a时，G是线段AD的中点．其中正确的结论是（）A．①②③B．②④⑤C．①③④D．①④⑤25．（2020•衡阳）如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BCC．AB∥DC，AD＝BC D．OA＝OC，OB＝OD26．（2020•达州）如图，∠BOD＝45°，BO＝DO，点A在OB上，四边形ABCD是矩形，连接AC、BD交于点E，连接OE交AD于点F．下列4个判断：①OE平分∠BOD；②OF ＝BD；③DF＝AF；④若点G是线段OF的中点，则△AEG为等腰直角三角形．正确判断的个数是（）A．4B．3C．2D．1 27．（2020•黑龙江）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB 于点H，连接OH，若OA＝6，OH＝4，则菱形ABCD的面积为（）A．72B．24C．48D．96 28．（2020•泰安）如图，四边形ABCD是一张平行四边形纸片，其高AG＝2cm，底边BC ＝6cm，∠B＝45°，沿虚线EF将纸片剪成两个全等的梯形，若∠BEF＝30°，则AF的长为（）A．1cm B．cm C．（2﹣3）cm D．（2﹣）cm 29．（2020•泰安）如图，矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，过点B作BF⊥AC交CD于点F，交AC于点M，过点D作DE∥BF交AB于点E，交AC于点N，连接FN，EM．则下列结论：①DN＝BM；②EM∥FN；③AE＝FC；④当AO＝AD时，四边形DEBF是菱形．其中，正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个30．（2020•连云港）如图，将矩形纸片ABCD沿BE折叠，使点A落在对角线BD上的A'处．若∠DBC＝24°，则∠A'EB等于（）A．66°B．60°C．57°D．48°二．填空题（共4小题）31．（2020•德阳）如图，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC，CF⊥BE，连接AE，G 是AB的中点，连接GF，若AE＝4，则GF＝．32．（2020•鞍山）如图，在平行四边形ABCD中，点E是CD的中点，AE，BC的延长线交于点F．若△ECF的面积为1，则四边形ABCE的面积为．33．（2020•鄂尔多斯）如图，已知正方形ABCD，点M是边BA延长线上的动点（不与点A 重合），且AM＜AB，△CBE由△DAM平移得到，若过点E作EH⊥AC，H为垂足，则有以下结论：①点M位置变化，使得∠DHC＝60°时，2BE＝DM；②无论点M运动到何处，都有DM＝HM；③在点M的运动过程中，四边形CEMD可能成为菱形；④无论点M运动到何处，∠CHM一定大于135°．以上结论正确的有（把所有正确结论的序号都填上）．34．（2020•河池）如图，菱形ABCD的周长为16，AC，BD交于点O，点E在BC上，OE ∥AB，则OE的长是．三．解答题（共16小题）35．（2020•济南）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线分别交AD，BC于点E，F．求证：AE＝CF．36．（2020•阜新）如图，正方形ABCD和正方形CEFG（其中BD＞2CE），BG的延长线与直线DE交于点H．（1）如图1，当点G在CD上时，求证：BG＝DE，BG⊥DE；（2）将正方形CEFG绕点C旋转一周．①如图2，当点E在直线CD右侧时，求证：BH﹣DH＝CH；②当∠DEC＝45°时，若AB＝3，CE＝1，请直接写出线段DH的长．37．（2020•盘锦）如图，四边形ABCD是正方形，点F是射线AD上的动点，连接CF，以CF为对角线作正方形CGFE（C，G，F，E按逆时针排列），连接BE，DG．（1）当点F在线段AD上时．①求证：BE＝DG；②求证：CD﹣FD＝BE；（2）设正方形ABCD的面积为S1，正方形CGFE的面积为S2，以C，G，D，F为顶点的四边形的面积为S3，当时，请直接写出的值．38．（2020•鞍山）在矩形ABCD中，点E是射线BC上一动点，连接AE，过点B作BF⊥AE于点G，交直线CD于点F．（1）当矩形ABCD是正方形时，以点F为直角顶点在正方形ABCD的外部作等腰直角三角形CFH，连接EH．①如图1，若点E在线段BC上，则线段AE与EH之间的数量关系是，位置关系是；②如图2，若点E在线段BC的延长线上，①中的结论还成立吗？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由；（2）如图3，若点E在线段BC上，以BE和BF为邻边作平行四边形BEHF，M是BH 中点，连接GM，AB＝3，BC＝2，求GM的最小值．39．（2020•朝阳）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，M是AC边上的一点，连接BM，作AP⊥BM于点P，过点C作AC的垂线交AP的延长线于点E．（1）如图1，求证：AM＝CE；（2）如图2，以AM，BM为邻边作平行四边形AMBG，连接GE交BC于点N，连接AN，求的值；（3）如图3，若M是AC的中点，以AB，BM为邻边作平行四边形AGMB，连接GE交BC于点M，连接AN，经探究发现，请直接写出的值．40．（2020•赤峰）如图，矩形ABCD中，点P为对角线AC所在直线上的一个动点，连接PD，过点P作PE⊥PD，交直线AB于点E，过点P作MN⊥AB，交直线CD于点M，交直线AB于点N．AB＝4，AD＝4．（1）如图1，①当点P在线段AC上时，∠PDM和∠EPN的数量关系为：∠PDM∠EPN；②的值是；（2）如图2，当点P在CA延长线上时，（1）中的结论②是否成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由；（3）如图3，以线段PD，PE为邻边作矩形PEFD．设PM的长为x，矩形PEFD的面积为y．请直接写出y与x之间的函数关系式及y的最小值．41．（2020•长春）【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第121页的部分内容．1．把一张矩形纸片如图那样折一下，就可以裁出正方形纸片，为什么？【问题解决】如图①，已知矩形纸片ABCD（AB＞AD），将矩形纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在边DC上，点A的对应点为A′，折痕为DE，点E在AB上．求证：四边形AEA′D是正方形．【规律探索】由【问题解决】可知，图①中的△A′DE为等腰三角形．现将图①中的点A′沿DC向右平移至点Q处（点Q在点C的左侧），如图②，折痕为PF，点F在DC 上，点P在AB上，那么△PQF还是等腰三角形吗？请说明理由．【结论应用】在图②中，当QC＝QP时，将矩形纸片继续折叠如图③，使点C与点P 重合，折痕为QG，点G在AB上．要使四边形PGQF为菱形，则＝．42．（2020•丹东）已知：菱形ABCD和菱形A′B′C′D′，∠BAD＝∠B′A′D′，起始位置点A在边A′B′上，点B在A′B′所在直线上，点B在点A的右侧，点B′在点A′的右侧，连接AC和A′C′，将菱形ABCD以A为旋转中心逆时针旋转α角（0°＜α＜180°）．（1）如图1，若点A与A′重合，且∠BAD＝∠B′A′D′＝90°，求证：BB′＝DD′．（2）若点A与A′不重合，M是A′C′上一点，当MA′＝MA时，连接BM和A′C，BM和A′C所在直线相交于点P．①如图2，当∠BAD＝∠B′A′D′＝90°时，请猜想线段BM和线段A′C的数量关系及∠BPC的度数．②如图3，当∠BAD＝∠B′A′D′＝60°时，请求出线段BM和线段A′C的数量关系及∠BPC的度数．③在②的条件下，若点A与A′B′的中点重合，A′B′＝4，AB＝2，在整个旋转过程中，当点P与点M重合时，请直接写出线段BM的长．43．（2020•长春）如图，在▱ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．（1）求证：OE＝OF．（2）若BE＝5，OF＝2，求tan∠OBE的值．44．（2020•盐城）木门常常需要雕刻美丽的图案．（1）图①为某矩形木门示意图，其中AB长为200厘米，AD长为100厘米，阴影部分是边长为30厘米的正方形雕刻模具，刻刀的位置在模具的中心点P处，在雕刻时始终保持模具的一边紧贴木门的一边，所刻图案如虚线所示，求图案的周长；（2）如图②，对于（1）中的木门，当模具换成边长为30厘米的等边三角形时，刻刀的位置仍在模具的中心点P处，雕刻时也始终保持模具的一边紧贴木门的一边，使模具进行滑动雕刻．但当模具的一个顶点与木门的一个顶点重合时，需将模具绕着重合点进行旋转雕刻，直到模具的另一边与木门的另一边重合．再滑动模具进行雕刻，如此雕刻一周，请在图②中画出雕刻所得图案的草图，并求其周长．45．（2020•永州）某校开展了一次综合实践活动，参加该活动的每个学生持有两张宽为6cm，长足够的矩形纸条．探究两张纸条叠放在一起，重叠部分的形状和面积．如图1所示，一张纸条水平放置不动，另一张纸条与它成45°的角，将该纸条从右往左平移．（1）写出在平移过程中，重叠部分可能出现的形状．（2）当重叠部分的形状为如图2所示的四边形ABCD时，求证：四边形ABCD是菱形．（3）设平移的距离为xcm（0＜x≤6+6），两张纸条重叠部分的面积为scm2．求s与x 的函数关系式，并求s的最大值．46．（2020•吉林）能够完全重合的平行四边形纸片ABCD和AEFG按图①方式摆放，其中AD＝AG＝5，AB＝9．点D，G分别在边AE，AB上，CD与FG相交于点H．【探究】求证：四边形AGHD是菱形．【操作一】固定图①中的平行四边形纸片ABCD，将平行四边形纸片AEFG绕着点A顺时针旋转一定的角度，使点F与点C重合，如图②．则这两张平行四边形纸片未重叠部分图形的周长和为．【操作二】将图②中的平行四边形纸片AEFG绕着点A继续顺时针旋转一定的角度，使点E与点B重合，连接DG，CF，如图③，若sin∠BAD＝，则四边形DCFG的面积为．47．（2020•云南）如图，四边形ABCD是菱形，点H为对角线AC的中点，点E在AB的延长线上，CE⊥AB，垂足为E，点F在AD的延长线上，CF⊥AD，垂足为F，（1）若∠BAD＝60°，求证：四边形CEHF是菱形；（2）若CE＝4，△ACE的面积为16，求菱形ABCD的面积．48．（2020•湖北）实践操作：第一步：如图1，将矩形纸片ABCD沿过点D的直线折叠，使点A落在CD上的点A'处，得到折痕DE，然后把纸片展平．第二步：如图2，将图1中的矩形纸片ABCD沿过点E的直线折叠，点C恰好落在AD 上的点C′处，点B落在点B'处，得到折痕EF，B'C′交AB于点M，C′F交DE于点N，再把纸片展平．问题解决：（1）如图1，填空：四边形AEA'D的形状是；（2）如图2，线段MC′与ME是否相等？若相等，请给出证明；若不等，请说明理由；（3）如图2，若AC′＝2cm，DC'＝4cm，求DN：EN的值．49．（2020•宜昌）菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，0°＜∠ABO≤60°，点G是射线OD上一个动点，过点G作GE∥DC交射线OC于点E，以OE，OG为邻边作矩形EOGF．（1）如图1，当点F在线段DC上时，求证：DF＝FC；（2）若延长AD与边GF交于点H，将△GDH沿直线AD翻折180°得到△MDH．①如图2，当点M在EG上时，求证：四边形EOGF为正方形；②如图3，当tan∠ABO为定值m时，设DG＝k•DO，k为大于0的常数，当且仅当k＞2时，点M在矩形EOGF的外部，求m的值．50．定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．根据以上定义，解决下列问题：（1）如图1，正方形ABCD中，E是CD上的点，将△BCE绕B点旋转，使BC与BA 重合，此时点E的对应点F在DA的延长线上，则四边形BEDF为“直等补”四边形，为什么？（2）如图2，已知四边形ABCD是“直等补”四边形，AB＝BC＝5，CD＝1，AD＞AB，点B到直线AD的距离为BE．①求BE的长；②若M、N分别是AB、AD边上的动点，求△MNC周长的最小值．参考答案与试题解析一．选择题（共30小题）1．（2020•西藏）如图，下列四个条件中，能判定平行四边形ABCD为菱形的是（）A．∠ADB＝90°B．OA＝OB C．OA＝OC D．AB＝BC【答案】D【解答】解：A、平行四边形ABCD中，∠ADB＝90°，不能判定四边形ABCD为菱形，故选项A不符合题意；B、∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵OA＝OB，∴AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形，不能判定四边形ABCD为菱形，故选项B不符合题意；C、∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，不能判定四边形ABCD为菱形，故选项C不符合题意；D、∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，∴平行四边形ABCD是菱形；故选项D符合题意；故选：D．2．（2020•锦州）如图，在菱形ABCD中，P是对角线AC上一动点，过点P作PE⊥BC于点E．PF⊥AB于点F．若菱形ABCD的周长为20，面积为24，则PE+PF的值为（）A．4B．C．6D．【答案】B【解答】解：连结BP，如图，∵四边形ABCD为菱形，菱形ABCD的周长为20，∴BA＝BC＝5，S△ABC＝S菱形ABCD＝12，∵S△ABC＝S△P AB+S△PBC，∴×5×PE+×5×PF＝12，∴PE+PF＝，故选：B．3．（2020•大庆）如图，在边长为2的正方形EFGH中，M，N分别为EF与GH的中点，一个三角形ABC沿竖直方向向上平移，在运动的过程中，点A恒在直线MN上，当点A 运动到线段MN的中点时，点E，F恰与AB，AC两边的中点重合，设点A到EF的距离为x，三角形ABC与正方形EFGH的公共部分的面积为y．则当y＝时，x的值为（）A．或2+B．或2﹣C．2±D．或【答案】A【解答】解：如图1中，当过A在正方形内部时，连接EG交MN于O，连接OF，设AB交EH于Q，AC交FG于P．由题意，△ABC是等腰直角三角形，AQ＝OE＝OG＝AP＝OF，S△OEF＝1，∵y＝，∴S四边形AOEQ+S四边形AOFP＝1.5，∴OA•2＝1.5，∴OA＝，∴AM＝1+＝．如图2中，当点A在正方形外部时，由题意，重叠部分是六边形WQRJPT，S重叠＝S△ABC﹣2S△BQR﹣S△AWT，∴2.5＝××﹣1﹣×2AN×AN，解得AN＝，∴AM＝2+，综上所述，满足条件的AM的值为或2+，故选：A．4．（2020•河池）如图，在▱ABCD中，CE平分∠BCD，交AB于点E，EA＝3，EB＝5，ED ＝4．则CE的长是（）A．5B．6C．4D．5【答案】C【解答】解：∵CE平分∠BCD，∴∠BCE＝∠DCE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，AB∥CD，∴∠BEC＝∠DCE，∴∠BEC＝∠BCE，∴BC＝BE＝5，∴AD＝5，∵EA＝3，ED＝4，在△AED中，32+42＝52，即EA2+ED2＝AD2，∴∠AED＝90°，∴CD＝AB＝3+5＝8，∠EDC＝90°，在Rt△EDC中，CE＝＝＝4．故选：C．5．（2020•绵阳）如图是以正方形的边长为直径，在正方形内画半圆得到的图形，则此图形的对称轴有（）A．2条B．4条C．6条D．8条【答案】B【解答】解：如图，因为以正方形的边长为直径，在正方形内画半圆得到的图形，所以此图形的对称轴有4条．故选：B．6．（2020•鄂尔多斯）如图，四边形OAA1B1是边长为1的正方形，以对角线OA1为边作第二个正方形OA1A2B2，连接AA2，得到△AA1A2；再以对角线OA2为边作第三个正方形OA2A3B3，连接A1A3，得到△A1A2A3，再以对角线OA3为边作第四个正方形OA2A4B4，连接A2A4，得到△A2A3A4，…，设△AA1A2，△A1A2A3，△A2A3A4，…，的面积分别为S1，S2，S3，…，如此下去，则S2020的值为（）A．B．22018C．22018+D．1010【答案】B【解答】解：∵四边形OAA1B1是正方形，∴OA＝AA1＝A1B1＝1，∴S1＝1×1＝，∵∠OAA1＝90°，∴OA12＝12+12＝2，∴OA2＝A2A3＝2，∴S2＝2×1＝1，同理可求：S3＝2×2＝2，S4＝4…，∴S n＝2n﹣2，∴S2020＝22018，故选：B．7．（2020•十堰）如图，菱形ABCD的顶点分别在反比例函数y＝和y＝的图象上，若∠BAD＝120°，则||＝（）A．B．3C．D．【答案】B【解答】解：根据对称性可知，反比例函数，的图象是中心对称图形，菱形是中心对称图形，∴菱形ABCD的对角线AC与BD的交点即为原点O，OD⊥OC，如图：作CM⊥x轴于M，DN⊥x轴于N．连接OD，OC．∵DO⊥OC，∴∠COM+∠DON＝90°，∠DON+∠ODN＝90°，∴∠COM＝∠ODN，∵∠CMO＝∠DNO＝90°，∴△COM∽△ODN，∴，∵菱形ABCD的对角线AC与BD的交点即为原点O，∠BAD＝120°，∴∠OCD＝60°，∠COD＝90°，∴，∴，∴，∴．故选：B．8．（2020•宁夏）如图，菱形ABCD的边长为13，对角线AC＝24，点E、F分别是边CD、BC的中点，连接EF并延长与AB的延长线相交于点G，则EG＝（）A．13B．10C．12D．5【答案】B【解答】解：连接BD，交AC于点O，如图：∵菱形ABCD的边长为13，点E、F分别是边CD、BC的中点，∴AB∥CD，AB＝BC＝CD＝DA＝13，EF∥BD，∵AC、BD是菱形的对角线，AC＝24，∴AC⊥BD，AO＝CO＝12，OB＝OD，又∵AB∥CD，EF∥BD，∴DE∥BG，BD∥EG，∴四边形BDEG是平行四边形，∴BD＝EG，在△COD中，∵OC⊥OD，CD＝13，CO＝12，∴OB＝OD＝＝5，∴BD＝2OD＝10，∴EG＝BD＝10；故选：B．9．（2020•毕节市）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点，连接EF，若AB＝6cm，BC＝8cm．则EF的长是（）A．2.2cm B．2.3cm C．2.4cm D．2.5cm【答案】D【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，BD＝AC，BO＝OD，∵AB＝6cm，BC＝8cm，∴由勾股定理得：AC＝＝＝10（cm），∴BD＝10cm，DO＝5cm，∵点E、F分别是AO、AD的中点，∴EF是△AOD的中位线，∴EF＝OD＝2.5cm，故选：D．10．（2020•玉林）已知：点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，如图所示．求证：DE∥BC，且DE＝BC．证明：延长DE到点F，使EF＝DE，连接FC，DC，AF，又AE＝EC，则四边形ADCF 是平行四边形，接着以下是排序错误的证明过程：①∴DF BC；②∴CF AD．即CF BD；③∴四边形DBCF是平行四边形；④∴DE∥BC，且DE＝BC．则正确的证明顺序应是：（）A．②→③→①→④B．②→①→③→④C．①→③→④→②D．①→③→②→④【答案】A【解答】证明：延长DE到点F，使EF＝DE，连接FC，DC，AF，∵点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，∴AD＝BD，AE＝EC，∴四边形ADCF是平行四边形，∴CF AD．即CF BD，∴四边形DBCF是平行四边形，∴DF BC，∴DE∥BC，且DE＝BC．∴正确的证明顺序是②→③→①→④，故选：A．11．（2020•十堰）已知平行四边形ABCD中，下列条件：①AB＝BC；②AC＝BD；③AC ⊥BD；④AC平分∠BAD，其中能说明平行四边形ABCD是矩形的是（）A．①B．②C．③D．④【答案】B【解答】解：A．AB＝BC，邻边相等的平行四边形是菱形，故A不符合题意；B．AC＝BD，对角线相等的平行四边形是矩形，故B符合题意；C．AC⊥BD，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故C不符合题意；D．AC平分∠BAD，对角线平分其每一组对角的平行四边形是菱形，故D不符合题意．故选：B．12．（2020•烟台）量角器测角度时摆放的位置如图所示，在△AOB中，射线OC交边AB于点D，则∠ADC的度数为（）A．60°B．70°C．80°D．85°【答案】C【解答】解：∵OA＝OB，∠AOB＝140°，∴∠A＝∠B＝（180°﹣140°）＝20°，∵∠AOC＝60°，∴∠ADC＝∠A+∠AOC＝20°+60°＝80°，故选：C．13．（2020•宜昌）游戏中有数学智慧，找起点游戏规定：从起点走五段相等直路之后回到起点，要求每走完一段直路后向右边偏行，成功的招数不止一招，可助我们成功的一招是（）A．每走完一段直路后沿向右偏72°方向行走B．每段直路要短C．每走完一段直路后沿向右偏108°方向行走D．每段直路要长【答案】A【解答】解：∵从起点走五段相等直路之后回到起点，要求每走完一段直路后向右边偏行，∴＝72°，∴每走完一段直路后沿向右偏72°方向行走．故选：A．14．（2020•通辽）如图，AD是△ABC的中线，四边形ADCE是平行四边形，增加下列条件，能判断▱ADCE是菱形的是（）A．∠BAC＝90°B．∠DAE＝90°C．AB＝AC D．AB＝AE【答案】A【解答】解：添加∠BAC＝90°时，∵AD是△ABC的中线，∴AD＝BC＝CD，∴四边形ADCE是菱形，选项A正确；添加∠DAE＝90°，∵四边形ADCE是平行四边形∴四边形ADCE是矩形，选项B错误；添加AB＝AC，可得到AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴四边形ADCE是矩形，选项C错误；添加AB＝AE，∵AE＝AB，AB＞AD，∴AE＞AD，故不能选项D不能判定四边形ADCE是菱形；故选：A．15．（2020•威海）如图，矩形ABCD的四个顶点分别在直线l3，l4，l2，l1上．若直线l1∥l2∥l3∥l4且间距相等，AB＝4，BC＝3，则tanα的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：作CF⊥l4于点F，交l3于点E，设CB交l3于点G，由已知可得，GE∥BF，CE＝EF，∴△CEG∽△CFB，∴，∵，∴，∵BC＝3，∴GB＝，∵l3∥l4，∴∠α＝∠GAB，∵四边形ABCD是矩形，AB＝4，∴∠ABG＝90°，∴tan∠BAG＝＝，∴tanα的值为，故选：A．16．（2020•荆门）如图，菱形ABCD中，E，F分别是AD，BD的中点，若EF＝5，则菱形ABCD的周长为（）A．20B．30C．40D．50【答案】C【解答】解：∵E，F分别是AD，BD的中点，∴EF是△ABD的中位线，∴EF＝AB＝5，∴AB＝10，∵四边形ABD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝10，∴菱形ABCD的周长＝4AB＝40；故选：C．17．（2020•牡丹江）如图，在平面直角坐标系中，O是菱形ABCD对角线BD的中点，AD ∥x轴且AD＝4，∠A＝60°，将菱形ABCD绕点O旋转，使点D落在x轴上，则旋转后点C的对应点的坐标是（）A．（0，2）B．（2，﹣4）C．（2，0）D．（0，2）或（0，﹣2）【答案】D【解答】解：根据菱形的对称性可得：当点C旋转到y轴负半轴时，A、B、C均在坐标轴上，如图，∵∠BAD＝60°，AD＝4，∴∠OAD＝30°，∴OD＝2，∴AO＝＝＝OC，∴点C的坐标为（0，），同理：当点C旋转到y轴正半轴时，点C的坐标为（0，），∴点C的坐标为（0，）或（0，），故选：D．18．（2020•盐城）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为BC中点，AC＝6，BD＝8．则线段OH的长为（）A．B．C．3D．5【答案】B【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，OB＝OD＝BD＝4，OC＝OA＝AC＝3，在Rt△BOC中，BC＝＝＝5，∵H为BC中点，∴OH＝BC＝．故选：B．19．（2020•辽阳）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，AC＝8．BD ＝6，点E是CD上一点，连接OE，若OE＝CE，则OE的长是（）A．2B．C．3D．4【答案】B【解答】解：∵菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∴OD＝BD＝×6＝3，OA＝AC＝×8＝4，AC⊥BD，由勾股定理得，AD＝＝5，∵OE＝CE，∴∠DCA＝∠EOC，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD，∴∠DCA＝∠DAC，∴∠DAC＝∠EOC，∴OE∥AD，∵AO＝OC，∴OE是△ADC的中位线，∴OE＝AD＝×5＝2.5，故选：B．20．（2020•扬州）如图，小明从点A出发沿直线前进10米到达点B，向左转45°后又沿直线前进10米到达点C，再向左转45°后沿直线前进10米到达点D…照这样走下去，小明第一次回到出发点A时所走的路程为（）A．100米B．80米C．60米D．40米【答案】B【解答】解：∵小明每次都是沿直线前进10米后向左转45度，∴他走过的图形是正多边形，∴边数n＝360°÷45°＝8，∴他第一次回到出发点A时，一共走了8×10＝80（m）．故选：B．21．（2020•黑龙江）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB 于点H，连接OH，若OA＝6，S菱形ABCD＝48，则OH的长为（）A．4B．8C．D．6【答案】A【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC＝6，OB＝OD，AC⊥BD，∴AC＝12，∵DH⊥AB，∴∠BHD＝90°，∴OH＝BD，∵菱形ABCD的面积＝×AC×BD＝×12×BD＝48，∴BD＝8，∴OH＝BD＝4；故选：A．22．（2020•绥化）如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB的中线，过点D作DE⊥AC于点E，延长DE至点F，使EF＝DE，连接AF，CF，点G在线段CF上，连接EG，且∠CDE+∠EGC＝180°，FG＝2，GC＝3．下列结论：①DE＝BC；②四边形DBCF是平行四边形；③EF＝EG；④BC＝2．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【解答】解；∵CD为斜边AB的中线，∴AD＝BD，∵∠ACB＝90°，∴BC⊥AC，∵DE⊥AC，∴DE∥BC，∴DE是△ABC的中位线，∴AE＝CE，DE＝BC；①正确；∵EF＝DE，∴DF＝BC，∴四边形DBCF是平行四边形；②正确；∴CF∥BD，CF＝BD，∵∠ACB＝90°，CD为斜边AB的中线，∴CD＝AB＝BD，∴CF＝CD，∴∠CFE＝∠CDE，∵∠CDE+∠EGC＝180°，∠EGF+∠EGC＝180°，∴∠CDE＝∠EGF，∴∠CFE＝∠EGF，∴EF＝EG，③正确；作EH⊥FG于H，如图所示：则∠EHF＝∠CHE＝90°，∠HEF+∠EFH＝∠HEF+∠CEH＝90°，FH＝GH＝FG＝1，∴∠EFH＝∠CEH，CH＝GC+GH＝3+1＝4，∴△EFH∽△CEH，∴＝，∴EH2＝CH×FH＝4×1＝4，∴EH＝2，∴EF＝＝＝，∴BC＝2DE＝2EF＝2，④正确；故选：D．23．（2020•临沂）如图，P是面积为S的▱ABCD内任意一点，△P AD的面积为S1，△PBC 的面积为S2，则（）A．S1+S2＞B．S1+S2＜C．S1+S2＝D．S1+S2的大小与P点位置有关【答案】C【解答】解：过点P作EF⊥AD交AD于点E，交BC的延长线于点F，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，∴S＝BC•EF，，，∵EF＝PE+PF，AD＝BC，∴S1+S2＝，故选：C．24．（2020•黑龙江）如图，正方形ABCD的边长为a，点E在边AB上运动（不与点A，B 重合），∠DAM＝45°，点F在射线AM上，且AF＝BE，CF与AD相交于点G，连接EC、EF、EG．则下列结论：①∠ECF＝45°；②△AEG的周长为（1+）a；③BE2+DG2＝EG2；④△EAF的面积的最大值是a2；⑤当BE＝a时，G是线段AD的中点．其中正确的结论是（）A．①②③B．②④⑤C．①③④D．①④⑤【答案】D【解答】解：如图1中，在BC上截取BH＝BE，连接EH．∵BE＝BH，∠EBH＝90°，∴EH＝BE，∵AF＝BE，∴AF＝EH，∵∠DAM＝∠EHB＝45°，∠BAD＝90°，∴∠F AE＝∠EHC＝135°，∵BA＝BC，BE＝BH，∴AE＝HC，∴△F AE≌△EHC（SAS），∴EF＝EC，∠AEF＝∠ECH，∵∠ECH+∠CEB＝90°，∴∠AEF+∠CEB＝90°，∴∠FEC＝90°，∴∠ECF＝∠EFC＝45°，故①正确，如图2中，延长AD到H，使得DH＝BE，则△CBE≌△CDH（SAS），∴∠ECB＝∠DCH，∴∠ECH＝∠BCD＝90°，∴∠ECG＝∠GCH＝45°，∵CG＝CG，CE＝CH，∴△GCE≌△GCH（SAS），∴EG＝GH，∵GH＝DG+DH，DH＝BE，∴EG＝BE+DG，故③错误，∴△AEG的周长＝AE+EG+AG＝AE+AH＝AD+DH+AE＝AE+EB+AD＝AB+AD＝2a，故②错误，设BE＝x，则AE＝a﹣x，AF＝x，∴S△AEF＝•（a﹣x）×x＝﹣x2+ax＝﹣（x2﹣ax+a2﹣a2）＝﹣（x﹣a）2+a2，∵﹣＜0，∴x＝a时，△AEF的面积的最大值为a2．故④正确，当BE＝a时，设DG＝x，则EG＝x+a，在Rt△AEG中，则有（x+a）2＝（a﹣x）2+（a）2，解得x＝，∴AG＝GD，故⑤正确，故选：D．25．（2020•衡阳）如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BCC．AB∥DC，AD＝BC D．OA＝OC，OB＝OD【答案】C【解答】解：∵AB∥DC，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A中条件可以判定四边形ABCD是平行四边形；∵AB＝DC，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项B中条件可以判定四边形ABCD是平行四边形；∵AB∥DC，AD＝BC，则无法判断四边形ABCD是平行四边形，故选项C中的条件，不能判断四边形ABCD是平行四边形；∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D中条件可以判定四边形ABCD是平行四边形；故选：C．26．（2020•达州）如图，∠BOD＝45°，BO＝DO，点A在OB上，四边形ABCD是矩形，连接AC、BD交于点E，连接OE交AD于点F．下列4个判断：①OE平分∠BOD；②OF ＝BD；③DF＝AF；④若点G是线段OF的中点，则△AEG为等腰直角三角形．正确判断的个数是（）A．4B．3C．2D．1【答案】A【解答】解：①∵四边形ABCD是矩形，∴EB＝ED，∵BO＝DO，∴OE平分∠BOD，故①正确；②∵四边形ABCD是矩形，∴∠OAD＝∠BAD＝90°，∴∠ABD+∠ADB＝90°，∵OB＝OD，BE＝DE，∴OE⊥BD，∴∠BOE+∠OBE＝90°，∴∠BOE＝∠BDA，∵∠BOD＝45°，∠OAD＝90°，∴∠ADO＝45°，∴AO＝AD，∴△AOF≌△ABD（ASA），∴OF＝BD，故②正确；③∵△AOF≌△ABD，∴AF＝AB，连接BF，如图1，∴BF＝，∵BE＝DE，OE⊥BD，∴DF＝BF，∴DF＝，故③正确；④根据题意作出图形，如图2，∵G是OF的中点，∠OAF＝90°，∴AG＝OG，∴∠AOG＝∠OAG，∵∠AOD＝45°，OE平分∠AOD，∴∠AOG＝∠OAG＝22.5°，∴∠F AG＝67.5°，∠ADB＝∠AOF＝22.5°，∵四边形ABCD是矩形，∴EA＝ED，∴∠EAD＝∠EDA＝22.5°，∴∠EAG＝90°，∵∠AGE＝∠AOG+∠OAG＝45°，∴∠AEG＝45°，∴AE＝AG，∴△AEG为等腰直角三角形，故④正确；故选：A．27．（2020•黑龙江）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB 于点H，连接OH，若OA＝6，OH＝4，则菱形ABCD的面积为（）A．72B．24C．48D．96【答案】C【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，∵DH⊥AB，∴∠BHD＝90°，∴BD＝2OH，∵OH＝4，∴BD＝8，∵OA＝6，∴AC＝12，∴菱形ABCD的面积＝．故选：C．28．（2020•泰安）如图，四边形ABCD是一张平行四边形纸片，其高AG＝2cm，底边BC ＝6cm，∠B＝45°，沿虚线EF将纸片剪成两个全等的梯形，若∠BEF＝30°，则AF的长为（）A．1cm B．cm C．（2﹣3）cm D．（2﹣）cm 【答案】D【解答】解：过F作FH⊥BC于H，∵高AG＝2cm，∠B＝45°，∴BG＝AG＝2cm，∵FH⊥BC，∠BEF＝30°，∴EH＝，∵沿虚线EF将纸片剪成两个全等的梯形，∴AF＝CE，∵AG⊥BC，FH⊥BC，。

2021年九年级数学中考复习专题：四边形综合（考察全等证明、长度与面积计算等）（五）1．在正方形ABCD中，点E是BC边上一点，连接AE．（1）如图1，点F为AE的中点，连接CF．已知tan∠FBE＝，BF＝5，求CF的长；（2）如图2，过点E作AE的垂线交CD于点G，交AB的延长线于点H，点O为对角线AC的中点，连接GO并延长交AB于点M，求证：AM+BH＝BE．2．阅读理解：如图1，若一个四边形的两条对角线互相垂直，则称这个四边形为垂美四边形．（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD 是垂美四边形吗？请说明理由；（2）性质探究：如图1，试在垂美四边形ABCD中探究AB2，CD2，AD2，BC2之间的关系，并说明理由；（3）解决问题：如图3，分别以Rt△ABC的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结CE、BG、GE、CE交BG于点N，交AB于点M．已知AC ＝，AB＝2，求GE的长．3．已知：如图，长方形ABCD中，∠A＝∠B＝∠B＝∠D＝90°，AB＝CD＝4米，AD＝BC＝8米，点M是BC边的中点，点P从点A出发，以1米/秒的速度沿AB方向运动再过点B沿BM方向运动，到点M停止运动，点O以同样的速度同时从点D出发沿着DA方向运动，到点A停止运动，设点P运动的时间为x秒．（1）当x＝2秒时，线段AQ的长是米；（2）当点P在线段AB上运动时，图中阴影部分的面积发生改变吗？请你作出判断并说明理由．（3）在点P，Q的运动过程中，是否存在某一时刻，使得BP＝DQ？若存在，求出点P的运动时间x的值；若不存在，请说明理由．4．A，B，C，D是长方形纸片的四个顶点，点E、F、H分别是边AB、BC、AD上的三点，连结EF、FH．（1）将长方形纸片ABCD按图①所示的方式折叠，FE、FH为折痕，点B、C、D折叠后的对应点分别为B'、C'、D'，点B'在FC'上，则∠EFH的度数为；（2）将长方形纸片ABCD按图②所示的方式折叠，FE、FH为折痕，点B、C、D折叠后的对应点分别为B'、C'、D'，若∠B'FC'＝18°，求∠EFH的度数；（3）将长方形纸片ABCD按图③所示的方式折叠，FE、FH为折痕，点B、C、D折叠后的对应点分别为B'、C'、D'，若∠EFH＝m°，求∠B'FC'的度数为．5．勾股定理是数学史上非常重要的一个定理．早在2000多年以前，人们就开始对它进行研究，至今已有几百种证明方法．在欧几里得编的《原本》中证明勾股定理的方法如下，请同学们仔细阅读并解答相关问题：如图，分别以Rt△ABC的三边为边长，向外作正方形ABDE、BCFG、ACHI．（1）连接BI、CE，求证：△ABI≌△AEC；（2）过点B作AC的垂线，交AC于点M，交IH于点N．①试说明四边形AMNI与正方形ABDE的面积相等；②请直接写出图中与正方形BCFG的面积相等的四边形．（3）由第（2）题可得：正方形ABDE的面积+正方形BCFG的面积＝的面积，即在Rt△ABC中，AB2+BC2＝．6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD 于点E，交CB于点F．（1）若∠B＝30°，AC＝6，求CE的长；（2）过点F作AB的垂线，垂足为G，连接EG，试判断四边形CEGF的形状，并说明原因．7．已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为射线BC上一动点，连结AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．（1）当点D在线段BC上时（与点B，C不重合），如图1，求证：CF＝BD；（2）当点D运动到线段BC的延长线上时，如图2，第（1）问中的结论是否仍然成立，并说明理由．8．我们知道：在小学已经学过“正方形的四条边都相等，正方形的四个内角都是直角”，试利用上述知识，并结合已学过的知识解答下列问题：如图1，在正方形ABCD中，G是射线DB上的一个动点（点G不与点D重合），以CG为边向下作正方形CGEF．（1）当点G在线段BD上时，求证：∠DCG＝∠BCF；（2）连接BF，试探索：BF，BG与AB的数量关系，并说明理由；（3）若AB＝a（a是常数），如图2，过点F作FT∥BC，交射线DB于点T，问在点G 的运动过程中，GT的长度是否会随着G点的移动而变化？若不变，请求出GT的长度；若变化，请说明理由．9．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝13，BE＝4，点F从点B出发，在折线段BA﹣AD上运动，连接EF，当EF⊥BC时停止运动，过点E作EG⊥EF，交矩形的边于点G，连接FG．设点F运动的路程为x，△EFG的面积为S．（1）当点F与点A重合时，点G恰好到达点D，此时x＝，当EF⊥BC时，x ＝；（2）求S关于x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围；（3）当S＝15时，求此时x的值．10．把一副三角板按如图1所示放置，其中点E在BC边上，∠ACB＝∠DEC＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，斜边AB＝CD＝6，将三角板DCE绕点C顺时针旋转，记旋转角为α（0°≤α≤180°）．（1）在图1中，设AB与DE的交点为F，则线段AF的长为；（2）当α＝15°时，三角板DCE旋转到△D1CE1的位置（如图2所示），连接D1A，D1B，请判断四边形ACBD1的形状，并证明你的结论；（3）当三角板DCE旋转到△D2CE2的位置（如图3所示）时，此时点D2恰好在AB延长线上．①求旋转角α的度数；②求线段AD2的长．参考答案1．解：（1）Rt△ABE中，BF为中线，BF＝5，∴AE＝10，FE＝5，作FP⊥BC于点P，Rt△BFP中，，∴BP＝3，FP＝4，在等腰三角形△BFE中，BE＝2BP＝6，由勾股定理求得，∴CP＝8﹣3＝5，∴；（2）∵∠ACD＝∠BAC＝45°，AO＝CO，∠AOM＝∠COG，∴证明△AMO≌△CGO（ASA），∴AM＝GC，过G作GP垂直AB于点P，得矩形BCGP，∴CG＝PB，∵AB＝PG，∠AEB＝∠H，∠ABE＝∠GPH，∴△ABE≌△GPH（ASA），∴BE＝PH＝PB+BH＝CG+BH＝AM+BH．2．解：（1）如图2，四边形ABCD是垂美四边形；理由如下：连接AC、BD交于点E，∵AB＝AD，∴点A在线段BD的垂直平分线上，∵CB＝CD，∴点C在线段BD的垂直平分线上，∴直线AC是线段BD的垂直平分线，∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形；（2）猜想结论：AB2+CD2＝AD2+BC2，证明：如图1，在四边形ABCD中，∵AC⊥BD，∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，由勾股定理得：AB2+CD2＝AO2+BO2+OD2+OC2AD2+BC2＝AO2+BO2+OD2+OC2∴AB2+CD2＝AD2+BC2，（3）如图3，连接CG，BE，∵∠CAG＝∠BAE＝90°，∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，在△GAB和△CAE中，∴△GAB≌△CAE（SAS），∴∠ABG＝∠AEC，∵∠AEC+∠AME＝90°，∴∠ABG+∠BMN＝90°，∴∠BNC＝90°，即BG⊥CE，∴四边形CGEB是垂美四边形，由（2）得：EG2+BC2＝CG2+BE2∵，AB＝2，∴BC＝1，，，∴EG2＝CG2+BE2﹣BC2＝6+8﹣1＝13，∴．3．解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝8，∵DQ＝2，∴AQ＝AD﹣DQ＝8﹣2＝6，故答案为6．（2）结论：阴影部分的面积不会发生改变．理由：连结AM，作MH⊥AD于H．则四边形ABMH是矩形，MH＝AB＝4．∵S阴＝S△APM+S△AQM＝×x×4+（8﹣x）×4＝16，∴阴影面积不变；（3）当点P在线段AB上时，BP＝4﹣x，DQ＝x．∵BP＝DQ，∴4﹣x＝x，∴x＝3．当点P在线段BM上时，BP＝x﹣4，DQ＝x．∵BP＝DQ，∴x﹣4＝x，∴x＝6．所以当x＝3或6时，BP＝DQ．4．解：（1）∵沿EF，FH折叠，∴∠BFE＝∠B'FE，∠CFH＝∠C'FH，∵点B′在FC′上，∴∠EFH＝（∠BFB'+∠CFC'）＝×180°＝90°，故答案为：90°；（2）∵沿EF，FH折叠，∴可设∠BFE＝∠B'FE＝x，∠C'FH＝∠CFH＝y，∵2x+18°+2y＝180°，∴x+y＝81°，∴∠EFH＝x+18°+y＝99°；（3）∵沿EF，FH折叠，∴可设∠BFE＝∠B'FE＝x，∠C'FH＝∠CFH＝y，∴∠EFH＝180°﹣∠BFE﹣∠CFH＝180°﹣（x+y），即x+y＝180°﹣m°，又∵∠EFH＝∠EFB'﹣∠B'FC'+∠C'FH＝x﹣∠B'FC'+y，∴∠B'FC'＝（x+y）﹣∠EFH＝180°﹣m°﹣m°＝180°﹣2m°，故答案为：180°﹣2m°．5．（1）证明：∵四边形ABDE、四边形ACHI是正方形，∴AB＝AE，AC＝AI，∠BAE＝∠CAI＝90°，∴∠EAC＝∠BAI，在△ABI和△AEC中，，∴△ABI≌△AEC（SAS）；（2）①证明：∵BM⊥AC，AI⊥AC，∴BM∥AI，∴四边形AMNI的面积＝2△ABI的面积，同理：正方形ABDE的面积＝2△AEC的面积，又∵△ABI≌△AEC，∴四边形AMNI与正方形ABDE的面积相等．②解：四边形CMNH与正方形BCFG的面积相等，理由如下：∵Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，∴正方形ABDE的面积+正方形BCFG的面积＝正方形ACHI的面积，由①得：四边形AMNI与正方形ABDE的面积相等，∴四边形CMNH与正方形BCFG的面积相等；（3）解：由（2）得：正方形ABDE的面积+正方形BCFG的面积＝正方形ACHI的面积；即在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2；故答案为：正方形ACHI，AC2．6．解：（1）∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴∠CAB＝60°，∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝30°，∵AF平分∠CAB，∴∠CAF＝∠BAF＝30°，∴CE＝AE，过点E用EH垂直于AC于点H，∴CH＝AH∵AC＝6，∴CE＝2答：CE的长为2；（2）∵FG⊥AB，FC⊥AC，AF平分∠CAB，∴∠ACF＝∠AGF＝90°，CF＝GF，在Rt△ACF与Rt△AGF中，AF＝AF，CF＝GF，∴Rt△ACF≌Rt△AGF（HL），∴∠AFC＝∠AFG，∵CD⊥AB，FG⊥AB，∴CD∥FG，∴∠CEF＝∠EFG，∴∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF，∴CE＝FG，∴四边形CEGF是菱形7．（1）证明：∵四边形ADEF是正方形，∴AD＝AF，∠DAF＝90°，∴∠DAC+∠CAF＝90°，∵∠ABC＝90°，∴∠DAC+∠BAD＝90°，∴∠BAD＝∠CAF，在△BAD和△CAF中，∴△BAD≌△CAF（SAS），∴BD＝CF，即CF＝BD；（2）当点D运动到线段BC的延长线上时，如图2，第（1）问中的结论仍然成立．理由：∵∠BAC＝∠DAF＝90°，∴∠BAC+∠CAD＝∠DAF+∠CAD，∴∠BAD＝∠CAF，在在△BAD和△CAF中，∴△BAD≌△CAF（SAS），∴BD＝CF，即CF＝BD．8．解：（1）∵四边形ABCD和四边形EFCG是正方形，∴CD＝CB，CG＝CF，∠BCD＝∠FCG＝90°，∵∠DCG＝90°﹣∠BCG，∠BCF＝90°﹣∠BCG，∴∠DCG＝∠BCF；（2）BF+BG＝AB，理由：在Rt△CDG和△CBF中，，∴△CDG≌CBF（SAS），∴DG＝BF，在Rt△ABD中，AD＝AB，∴BD＝AB，∵BD＝DG+BG＝BF+BG，∴BF+BG＝AB；（3）∵BD是正方形ABCD的对角线，∴∠CBD＝∠CDB＝45°，由（2）知，△CDG≌CBF（SAS），∴DG＝BF，∠CDG＝∠CBF＝45°，∴∠DBF＝∠CBD+∠CBF＝90°，∴∠FBT＝90°，∵FT∥CB，∴∠BTF＝∠CBD＝45°，∴∠BFT＝45°＝∠BTF，∴BF＝BT，∴DG＝BT，∴GT＝BG+BT＝BG+DG＝BD＝AB＝a．9．解：（1）当点F与点A重合时，x＝AB＝6；当EF⊥BC时，AF＝BE＝4，x＝AB+AF＝6+4＝10；故答案为：6；10；（2）∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，CD＝AB＝6，AD＝BC＝13，分两种情况：①当点F在AB上时，如图1所示：作GH⊥BC于H，则四边形ABHG是矩形，∴GH＝AB＝6，AG＝BH，∠GHE＝∠B＝90°，∴∠EGH+∠GEH＝90°，∵EG⊥EF，∴∠FEB+∠GEH＝90°，∴∠FEB＝∠EGH，∴△EFB∽△GEH，∴＝，即＝＝，∴EH＝x，∴AG＝BH＝BE+EH＝4+x，∴△EFG的面积为S＝梯形ABEG的面积﹣△EFB的面积﹣△AGF的面积＝（4+4+x）×6﹣×4x﹣（6﹣x）（4+x）＝x2+9x+12，即S＝x2+9x+12（0＜x≤6）；②当点F在AD上时，如图2所示：作FM⊥BC于M，则FM＝AB＝6，AF＝BM，同①得：△EFM∽△GEC，∴＝，即＝，解得：GC＝15﹣x，∴DG＝CD﹣CG＝x﹣9，∵EC＝BC﹣BE＝9，AF＝x﹣6，DF＝AD﹣AF＝19﹣x，∴△EFG的面积为S＝梯形CDFE的面积﹣△CEG的面积﹣△DFG的面积＝（9+19﹣x）×6﹣×9×（15﹣x）﹣（19﹣x）（x﹣9）＝x2﹣21x+102 即S＝x2﹣21x+102（6＜x≤10）；（3）当x2+9x+12＝15时，解得：x＝﹣6±2（负值舍去），∴x＝﹣6+2；当x2﹣21x+102＝15时，解得：x＝14±4（不合题意舍去）；∴当S＝15时，此时x的值为﹣6+2．10．（1）解：（1）在Rt△ABC中，∠A＝45°，AB＝6，∴BC＝AB＝3，在Rt△CDE中，∠D＝30°，CD＝6，∴CE＝3，∴BE＝BC﹣CE＝﹣3，在Rt△BEF中，∠B＝90°﹣∠A＝45°，∴BF＝BE＝6﹣3，∴AF＝AB﹣BF＝3，故答案为：3；（2）四边形ACBD1是正方形，理由：∵∠BCE1＝α＝15°，∴∠D1CB＝45°＝∠BAC，由旋转知，CD1＝CD，∵CD＝AB，∴CD1＝AB，∵BC＝AC，∴△D1CB≌△BAC（SAS），∴D1B＝BC，同理可证：D1A＝AC，又∴AC＝BC，∴D1A＝AC＝BC＝BD1，∴四边形ACBD1是菱形，又∠ACB＝90°，∴菱形ACBD1是正方形．（3）①取AB边的中点H，连接CH，∵△ABC是等腰直角三角形，且斜边AB＝6，∴CH⊥AB，且AH＝CH＝AB＝3，∵△D2CE2是直角三角形，且斜边CD2＝6，∠CD2E2＝30°，∴CE2＝3，又∵∠CHD2＝∠E2＝90°，∴Rt△D2CH≌Rt△D2CE2（HL），∴∠HD2C＝∠E2D2C＝30°，又∵∠ABC＝45°，∴∠BCD2＝15°，又∵∠E2CD2＝60°，则旋转角α＝∠BCE2＝75°；②在Rt△D2CE2中，D2E2＝CE2＝3，∵Rt△D2CH≌Rt△D2CE2，∵D2H＝D2E2＝，AH＝3，∴AD 2＝AH+D2H＝3+．。

四川省渠县第四中学2021年中考九年级数学专题复习《四边形》综合练习题1、已知：如图，在□ABCD中，G、H分别是AD、BC的中点，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．（1）求证：四边形GEHF是平行四边形；（2）已知AB＝5，AD＝8．求四边形GEHF是矩形时BD的长．2、如图，在△ABC中，动点O在边AB上，点D在CB的延长线上，过点O作直线EF∥BC，分别交∠ABC，∠ABD的平分线于点F，E.(1)若BE＝5，BF＝12，求OB的长；(2)连接AE，AF.问：当动点O在边AB的什么位置时，四边形AEBF是矩形？并说明理由．3、在数学探究活动中，敏敏进行了如下操作：如图，将四边形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使得点B落在CD上的点Q处，折痕为AP；再将△PCQ，△ADQ分别沿PQ，AQ折叠，此时点C，D落在AP上的同一点R处．请完成下列探究：(1)求∠PAQ的大小；(2)当四边形APCD是平行四边形时，求ABQR的值．4、如图，在菱形ABCD中，M，N分别是边AB，BC的中点，MP AB⊥交边CD于点P，连接NM，NP．（1）若60B∠=︒，这时点P与点C重合，则NMP∠=_______度；（2）求证：NM NP=；（3）当NPC△为等腰三角形时，求B的度数．ADM BP NC5、如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，在Rt△PFE中，∠EPF ＝90°，点E、F分别在边AD、AB上．(1)如图①，正方形的边长为23，BP＝BO，∠DOE＝15°.①求证：△AOF≌△DOE；②求线段EF的长；(2)如图②，当BD＝3BP时，猜想此时PE与PF的数量关系，并给出证明；当BD ＝m·BP(m>1)时，请求出PE与PF的数量关系．6、如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=90°，已知AD=AB=3，BC=，动点P 从B 点出发，沿线段BC 向点C 作匀速运动；动点Q 从点D 出发，沿线段DA 向点A 作匀速运动．过Q 点垂直于AD 的射线交AC 于点M ，交BC 于点N ．P 、Q 两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度．当Q 点运动到A 点，P 、Q 两点同时停止运动．设点Q 运动的时间为t 秒．（1）求NC ，MC 的长（用t 的代数式表示）；（2）当t 为何值时，四边形PCDQ 构成平行四边形？（3）当t 为何值时，射线QN 恰好将△ABC 的面积平分？并判断此时△ABC 的周长是否也被射线QN 平分．7、在菱形ABCD 中，∠MDN 的两边分别与AB ，BC 交于点E ，F ，与对角线AC 交于点G ，H ，已知∠MDN ＝∠BAD ＝60°，AC ＝6.(1)如图①，当DE ⊥AB ，DF ⊥BC 时，①求证：△ADE ≌△CDF ；②求线段GH 的长；(2)如图②，当∠MDN 绕点D 旋转时，线段AG ，GH ，HC 的长度都在变化，设线段AG ＝m ，GH ＝p ，HC ＝n ，试探究p 与mn 的等量关系，并说明理由．338、在菱形ABCD中，60∠=︒，E是对角线AC上一点，F是线段BC延长线上ABC一点，且CF AE=，连接BE、EF．（1）若E是线段AC的中点，如图1，证明：BE EF=；（2）若E是线段AC或AC延长线上的任意一点，其它条件不变，如图2、图3，线段BE、EF有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；并选择一种情况给予证明．9、定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形.根据以上定义，解决下列问题：（1）如图1，正方形ABCD中，E是CD上的点，将△BCE绕B点旋转，使BC与BA重合，此时点E的对应点F在DA的延长线上，则四边形BEDF为“直等补”四边形，为什么？（2）如图2，已知四边形ABCD是“直等补”四边形，AB=BC=5，CD=1，AD＞AB,点B到直线AD的距离为BE．①求BE的长；②若M、N分别是AB、AD边上的动点，求△MNC周长的最小值.10、如图，在四边形ABCD中，AD//BC，∠C＝90°，BC＝16，DC＝12，AD＝21。

2021年中考数学一轮复习专题《四边形综合：动点与相似》高频考点训练（一）1．如图1，在正方形ABCD中，点E是CD上一点（不与C，D两点重合），连接BE，过点C作CH⊥BE于点F，交对角线BD于点G，交AD边于点H，连接GE，（1）求证：△DHC≌△CEB；（2）如图2，若点E是CD的中点，当BE＝8时，求线段GH的长；（3）设正方形ABCD的面积为S1，四边形DEGH的面积为S2，当的值为时，的值为．2．我们知道，有一个内角是直角的三角形是直角三角形，其中直角所在的两条边叫直角边，直角所对的边叫斜边（如图①所示）．数学家还发现：在一个直角三角形中，两条直角边长的平方和等于斜边长的平方．即如果一个直角三角形的两条直角边长度分别是a和b，斜边长度是c，那么a2+b2＝c2．（1）直接填空：如图①，若a＝3，b＝4，则c＝；若a+b＝4，c＝3，则直角三角形的面积是．（2）观察图②，其中两个相同的直角三角形边AE、EB在一条直线上，请利用几何图形的之间的面积关系，试说明a2+b2＝c2．（3）如图③所示，折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB＝8，BC＝10，利用上面的结论求EF的长？3．四边形ABCD是矩形，点E是射线BC上一点，连接AC，DE．（1）如图1，点E在边BC的延长线上，BE＝AC，若∠ACB＝40°，求∠E的度数；（2）如图2，点E在边BC的延长线上，BE＝AC，若M是DE的中点，连接AM，CM，求证：AM⊥MC；（3）如图3，点E在边BC上，射线AE交射线DC于点F，∠AED＝2∠AEB，AF ＝4，AB＝4，则CE＝．（直接写出结果）4．如图．正方形ABCD的边长为4，点E从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线AD运动，运动时间为t秒（t＞0），以AE为一条边，在正方形ABCD左侧作正方形AEFG，连接BF．（1]）当t＝1时，求BF的长度；（2）在点E运动的过程中，求D、F两点之间距离的最小值；（3）连接AF、DF，当△ADF是等腰三角形时，求t的值．5．如图，线段AB＝4，射线BM⊥AB，P为射线BM上一点（0＜BP＜4），以AP为边作正方形APCD，且点C，D与点B在AP两侧，在线段DP上取一点E，使∠EAP＝∠BAP．连接CE并延长交线段AB于点F．（1）求证：AE＝CE；（2）求证：CF⊥AB；（3）试探究△AEF的周长是否是定值？若是定值，求出△AEF的周长；若不是定值，说明理由．6．四边形ABCD中，E为边BC上一点，F为边CD上一点，且∠AEF＝90°．（1）如图1，若ABCD为正方形，E为BC中点，求证：＝．（2）若ABCD为平行四边形，∠AFE＝∠ADC，①如图2，若∠AFE＝60°，求的值．②如图3，若AB＝BC，EC＝2CF，直接写出cos∠AFE值为．7．[阅读发现]如图①．在正方形ABCD的外侧．作两个等边三角形ABE和ADF，连接ED、FC，ED与FC交于点M，则图中△ADE≌△DFC（不用证明），可知ED＝FC．∠DMC ＝°．[拓展应用]如图②，在矩形ABCD（AB＞BC）的外侧，作两个等边三角形ABE和ADF，连接ED、FC，ED与FC交于点M．（1）求证：ED＝FC；（2）若∠ADE＝20°，直接写出∠DMC的度数．8．实践操作：第一步：如图1，将矩形纸片ABCD沿过点D的直线折叠，使点A落在CD上的点A'处，得到折痕DE，然后把纸片展平．第二步：如图2，将图1中的矩形纸片ABCD沿过点E的直线折叠，点C恰好落在AD 上的点C′处，点B落在点B'处，得到折痕EF，B'C′交AB于点M，C′F交DE于点N，再把纸片展平．问题解决：（1）如图1，填空：四边形AEA'D的形状是；（2）如图2，线段MC′与ME是否相等？若相等，请给出证明；若不等，请说明理由；（3）如图2，若AC′＝2cm，DC'＝4cm，求DN：EN的值．9．综合与实践问题情境在数学活动课上，老师提出了这样一个问题：如图①，已知正方形ABCD，点E是边上一点，连接AE，以AE为边在BC的上方作正方形AEFG．数学思考（1）连接GD，求证：△ABE≌△ADG；（2）连接FC，求∠FCD的度数；实践探究（3）如图②，当点E在BC的延长线上时，连接AE，以AE为边在BC的上方作正方形AEFG，连接FC，若正方形ABCD的边长为4，CE＝2，则CF的长是．10．同学们：八年级下册第9章我们学习了一种新的图形变换旋转，图形旋转过程中蕴含着众多数学规律，以图形旋转为依托构建的解题方法是解决各类几何问题的常用方法．【问题提出】如图①，在正方形ABCD中，∠MAN＝45°，点M、N分别在边BC、CD上．求证：MN＝BM+DN．证明思路如下：第一步：如图②，将△ADN绕点A按顺时针方向旋转90°得到△ABE，再证明E、B、M三点在一条直线上．第二步：证明△AEM≌△ANM．请你按照证明思路写出完整的证明过程．【初步思考】如图③，四边形ABCD和CEFG为正方形，连接DG、BE，得到△DCG和△BCE．下列关于这两个三角形的结论：①周长相等；②面积相等；③∠CBE＝∠CDG．其中所有正确结论的序号是．【深入研究】如图④，分别以▱ABCD的四条边为边向外作正方形，连接EF，GH，IJ，KL．若▱ABCD 的面积为8，则图中阴影部分（四个三角形）的面积之和为．参考答案1．证明（1）∵四边形ABCD是正方形，∴CD＝BC，∠HDC＝∠BCE＝90°，∴∠DHC+∠DCH＝90°，∵CH⊥BE，∴∠EFC＝90°，∴∠ECF+∠BEC＝90°，∴∠CHD＝∠BEC，∴△DHC≌△CEB（AAS）．（2）解：∵△DHC≌△CEB，∴CH＝BE，DH＝CE，∵CE＝DE＝CD，CD＝CB，∴DH＝BC，∵DH∥BC，∴．∴GC＝2GH，设GH＝x，则，则CG＝2x，∴3x＝8，∴x＝．即GH＝．（3）解：∵，∴，∵DH＝CE，DC＝BC，∴，∵DH∥BC，∴，∴，，设S△DGH＝9a，则S△BCG＝49a，S△DCG＝21a，∴S△BCD＝49a+21a＝70a，∴S1＝2S△BCD＝140a，∵S△DEG：S△CEG＝4：3，∴S△DEG＝12a，∴S2＝12a+9a＝21a．∴．故答案为：．2．（1）解：若a＝3，b＝4，则由勾股定理得，c＝＝＝5，若aa+b＝4，c＝3，则（a+b）2＝42，a2+b2＝32＝9，即a2+2ab+b2＝16，∴2ab+9＝16，∴ab＝，∴直角三角形的面积＝ab＝；故答案为：5；；（2）证明：图②的面积＝S△DAE+S△CBE+S△DEC＝ab+ab+c2，又图②的面积＝S四边形ABCD＝（a+b）（a+b）＝（a+b）2，∴ab+ab+c2＝（a+b）2，∴ab+ab+c2＝a2+2ab+b2，即a2+b2＝c2；（3）解：由折叠的性质得：AF＝AD＝10，DE＝FE，∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝10，CD＝AB＝8，∠B＝∠C＝90°，在Rt△ABF中，AB2+BF2＝AF2，即82+BF2＝102，解得：BF＝6，∵BC＝10，∴CF＝BC﹣BF＝10﹣6＝4，设EF＝x，则DE＝x，∴EC＝DC﹣DE＝8﹣x，在Rt△ECF中，EC2+CF2＝EF2，即（8﹣x）2+42＝x2，解得：x＝5，即EF＝5．3．解：（1）如图1，连接BD，与AC交于点O，∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，OB＝OC∴∠DBC＝∠ACB＝40°∵BE＝AC，∴BD＝BE，∴∠BDE＝∠E，∴∠E＝＝70°；（2）如图2，延长CM交AD延长线于G，∵AG∥BE，∴∠GDM＝∠E，∠G＝∠GCE，∵M是DE的中点，∴DM＝EM，∴△DMG≌△EMC（AAS），∴CE＝DG，CM＝MG，∴BC+CE＝AD+DG，即AG＝BE，由（1）知：BE＝BD＝AC，∴AG＝AC，又∵CM＝MG，∴AM⊥MC；（3）如图3，取AF的中点P，连接PD，则PD＝AP＝AF＝2，∴∠PDA＝∠PAD，在矩形ABCD中，∠AEB＝∠PAD，∠AED＝2∠AEB，∴∠DPE＝∠PAD+∠PDA＝2∠PAD＝2∠AEB＝∠AED，∴DE＝PD＝2，在△DEC中，∠DCE＝90°，AB＝DC＝4，∴CE＝＝＝2．故答案为：2．4．解：（1）当t＝1时，AE＝1，∵四边形AEFG是正方形，∴AG＝FG＝AE＝1，∠G＝90°，∴BF＝＝＝，（2）如图1，延长AF，过点D作射线AF的垂线，垂足为H，∵四边形AGFE是正方形，∴AE＝EF，∠AEF＝90°，∴∠EAF＝45°，∵DH⊥AH，∴∠AHD＝90°，∠ADH＝45°＝∠EAF，∴AH＝DH，设AH＝DH＝x，∵在Rt△AHD中，∠AHD＝90°，∴x2+x2＝42，解得x1＝﹣2（舍去），x2＝2，∴D、F两点之间的最小距离为2；（3）当AF＝DF时，由（2）知，点F与点H重合，过H作HK⊥AD于K，如图2，∵AH＝DH，HK⊥AD，∴AK＝＝2，∴t＝2．当AF＝AD＝4时，设AE＝EF＝x，∵在Rt△AEF中，∠AEF＝90°，∴x2+x2＝42，解得x 1＝﹣2（舍去），x2＝2，∴AE＝2，即t＝2．当AD＝DF＝4时，点E与D重合，t＝4，综上所述，t为2或2或4．5．解：（1）证明：∵四边形APCD正方形，∴DP平分∠APC，PC＝PA，∴∠APD＝∠CPD＝45°，∴△AEP≌△CEP（SAS），∴AE＝CE；（2）CF⊥AB，理由如下：∵△AEP≌△CEP，∴∠EAP＝∠ECP，∵∠EAP＝∠BAP，∴∠BAP＝∠FCP，∵∠FCP+∠CHP＝90°，∠AHF＝∠CHP，∴∠AHF+∠PAB＝90°，∴∠AFH＝90°，∴CF⊥AB；（3）△AEF的周长是定值，△AEF的周长为8．过点C作CN⊥PB于点N．∵CF⊥AB，BM⊥AB，∴FC∥BN，∴∠CPN＝∠PCF＝∠EAP＝∠PAB，又AP＝CP，∴△PCN≌△APB（AAS），∴CN＝PB＝BF，PN＝AB，∵△AEP≌△CEP，∴AE＝CE，∴△AEF的周长＝AE+EF+AF，＝CE+EF+AF，＝BN+AF，＝PN+PB+AF，＝AB+CN+AF，＝AB+BF+AF，＝2AB，＝8．6．（1）证明：如图1中，设正方形的边长为2a．∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠C＝90°，∵∠AEF＝90°，∴∠AEB+∠FEC＝90°，∠FEC+∠EFC＝90°，∴∠AEB＝∠EFC，∴△ABE∽△ECF，∴，∵BE＝EC＝a，AB＝CD＝2a，∴CF＝a，DF＝CD﹣CF＝a，∴．（2）①在AD上截取DM＝DF，连接MF．∵∠ADC＝60°，∴△DMF是等边三角形，∴DF＝MF，∠DMF＝∠DFM＝60°，∴∠AMF＝120°，∵四边形ABCD为平行四边形，AD∥BC，∴∠ECF＝120°，∴∠AMF＝∠ECF，∵∠AFE＝60°，∴∠AFM+∠EFC＝60°，∵∠EFC+∠FEC＝60°，∴∠AFM＝∠FEC，∴△AMF∽△FCE，∴，∵∠AFE＝60°，∠AEF＝90°，∴，∴．②如图3，作FT＝FD交AD于点T，作FH⊥AD于H，则∠FTD＝∠FDT，∴180°﹣∠FTD＝180°﹣∠D，∴∠ATF＝∠C，又∵∠TAF+∠D＝∠AFE+∠CFE，且∠D＝∠AFE，∴∠TAF＝∠CFE，∴△FCE∽△ATF，∴，设CF＝2，则CE＝4，可设AT＝x，则TF＝2x，AD＝CD＝2x+2，∴DH＝DT＝，且，由cos∠AFE＝cos∠D，得，解得x＝6，∴cos∠AFE＝．故答案为：．7．解：如图①中，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB＝CD，∠ADC＝90°，∵△ADE≌△DFC，∴DF＝CD＝AE＝AD，∵∠FDC＝∠FDA+∠ADC＝60°+90°＝150°，∴∠DFC＝∠DCF＝∠ADE＝∠AED＝15°，∴∠FDE＝60°+15°＝75°，∴∠MFD+∠FDM＝90°，∴∠FMD＝90°，故答案为：90°（1）∵△ABE为等边三角形，∴∠EAB＝60°，EA＝AB．∵△ADF为等边三角形，∴∠FDA＝60°，AD＝FD．∵四边形ABCD为矩形，∴∠BAD＝∠ADC＝90°，DC＝AB．∴EA＝DC．∵∠EAD＝∠EAB+∠BAD＝150°，∠CDF＝∠FDA+∠ADC＝150°，∴∠EAD＝∠CDF．在△EAD和△CDF中，，∴△EAD≌△CDF（SAS）．∴ED＝FC；（2）∵△EAD≌△CDF，∴∠ADE＝∠DFC＝20°，∴∠DMC＝∠FDM+∠DFC＝∠FDA+∠ADE+∠DFC＝60°+20°+20°＝100°．8．解：（1）∵ABCD是矩形，∴∠A＝∠ADC＝90°，∵将矩形纸片ABCD沿过点D的直线折叠，使点A落在CD上的点A'处，得到折痕DE，∴AD＝A′D，AE＝A′E，∠ADE＝∠A′DE＝45°，∵AB∥CD，∴∠AED＝∠A′DE＝∠ADE，∴AD＝AE，∴AD＝AE＝A′E＝A′D，∴四边形AEA′D是菱形，∵∠A＝90°，∴四边形AEA′D是正方形．故答案为：正方形；（2）MC′＝ME．证明：如图1，连接C′E，由（1）知，AD＝AE，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠EAC′＝∠B＝90°，由折叠知，B′C′＝BC，∠B＝∠B′，∴AE＝B′C′，∠EAC′＝∠B′，又EC′＝C′E，∴Rt△EC′A≌Rt△C′EB′（HL），∴∠C′EA＝∠EC′B′，∴MC′＝ME；（3）∵Rt△EC′A≌Rt△C′EB′，∴AC′＝B′E，由折叠知，B′E＝BE，∴AC′＝BE，∵AC′＝2cm，DC′＝4cm，∴AB＝CD＝2+4+2＝8（cm），设DF＝xcm，则FC′＝FC＝（8﹣x）cm，∵DC′2+DF2＝FC′2，∴42+x2＝（8﹣x）2，解得，x＝3，即DF＝3cm，如图2，延长BA、FC′交于点G，则∠AC′G＝∠DC′F，∴tan∠AC′G＝tan∠DC′F＝，∴，∴，∵DF∥EG，∴△DNF∽△ENG，∴．9．（1）证明：∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，∴AB＝AD，AE＝AG，∠ABE＝∠ADG＝90°，∴∠BAE+∠EAD＝∠DAG+∠EAD，∴∠BAE＝∠DAG，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS）；（2）解：如图①，过点F作FH⊥BC，交BC的延长线于点H，∵∠AEF＝∠ABE＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝90°，∠FEH+∠AEB＝90°，∴∠FEH＝∠BAE，又∵AE＝EF，∠EHF＝∠ABE＝90°，∴△EHF≌△ABE（SAS），∴FH＝EB，EH＝AB＝BC，∴CH＝BE，∴CH＝FH，∴∠FCH＝45°，∴∠FCD＝45°；（3）解：过点F作FH⊥BC，交BC的延长线于点H，如图②，由（2）知△EHF≌△ABE，∴EH＝AB，FH＝BE，∵AB＝BC＝4，CE＝2，∴BE＝FH＝6，CH＝CE+EH＝6，∴CF＝＝6．故答案为：6．10．【问题提出】（1）证明：将△ADN绕点A按顺时针方向旋转90°得到△ABE，在正方形ABCD中，∠BAD＝∠ABM＝∠D＝90°，由旋转可知△ADN≌△ABE，∴∠D＝∠ABE＝90°，∠DAN＝∠BAE，AN＝AE，DN＝BE，∴∠ABE+∠ABM＝180°，∴E、B、M三点在一条直线上，∵∠MAN＝45°，∴∠DAN+∠BAM＝45°，∵∠DAN＝∠BAE，∴∠BAE+∠BAM＝∠EAM＝45°，∴∠EAM＝∠MAN，∵AN＝AE，AM＝AM，∴△AEM≌△ANM（SAS），∴ME＝MN，∵ME＝BE+BM，∴MN＝DN+BM，【初步思考】解：∵BE≠DG，∴△DCG和△BCE的周长不一定相等，故①不正确；∵正方形CEFG绕点C旋转过程中，∠CBE≠∠CDG．∴③不正确；如图1，过点E作BC的平行线，过点B作CE的平行线，两线交于点H，连接CH．则四边形BHEC为平行四边形，∴BC＝HE，S△BCE＝＝S△CHE，∵四边形ABCD和四边形CEFG为正方形，∴CD＝BC，CE＝CG，∠BCD＝∠ECG＝90°，∴∠BCE+∠DCG＝180°，∵∠HEC+∠BCE＝180°，∴∠DCG＝∠HEC，∵BC＝HE＝CD，∴△DCG≌△HEC（SAS），∴S△CHE＝S△DCG，∴S△DCG＝S△BCE．故②正确，故答案为：②．【深入研究】解：图中阴影部分（四个三角形）的面积之和为16．如图2，连接AC，BD，由【初步思考】的结论可知：S△AEF＝S△ABD＝，同理S△BHG＝S△ABC，S△CIJ＝S△CBD，S△DLK＝S△DAC，∴阴影部分的面积S＝S△AEF+S△BGH+S△CIJ+S△DLK＝2S平行四边形ABCD＝2×8＝16．故答案为：16．。