量子力学复习提纲

(41)
0 ˆx 1
(1)
(42)
求力学量在某个自旋态的平均值和均方偏差.
n
展开系数的表达式:
9
1 am t i
其中

t
0
eimk tdt H mk
(32)
ˆ m H mn H n d
(33)
是微扰矩阵元,
mn
1
m n
2
(34)
为体系由 n 能级跃迁到 m 能级的玻尔频率. 在 t 时刻发现体系处于 m 态的几率是 am t , 体系在微 扰的作用下,由初态 k 跃迁到终态 m 的几率为
c d 是在 x 态中测量力学量 F ,得到测量结果在
到 d 范围内的几率.
ˆ 算符的本征值方程,本征值和本征函数. ˆ2 和 L 4. L Z
ˆ2 l l 1 2 , L
本征函数
ˆ m L z
Ylm , .
3
5. 氢原子的哈密顿算符及其本征值 , 本征函数 nlm 的数学 结构,
量子力学复习提纲
第一章 绪论
1.德布罗意关系:
E h
p
2.微观粒子的波粒二象性. 3. 电子被 V 伏电压加速,则电子的德布罗意波长为
(1) (2)
h

n k

h 2 eV

12.25 A V
(3)
第二章 波函数和薛定谔方程 1.波函数的统计解释: 波函数在空间某一点的强度 r , t 和在该处找到粒子的
nlm r, , Rnl r Ylm ,
念. 6. 氢原子的能级公式和能级的简并度.
(15)
主量子数 n,角量子数 l 和磁量子数 m 的取值范围,简并态的概
En
es4
2 n
2
2 2
,
n 1, 2,3,...
(16)
不考虑电子的自旋是 n 度简并的; 考虑电子的自旋是 2n 度简并的. 7. 给定电子波函数的表达式,根据电子在 体积元内的几率
(ii) 算符在自身表象中是一个对角矩阵 , 其对角矩阵元为
6
该算符对应的本征值. 3. 量子力学公式的矩阵表述 (1) 平均值公式:
F † F
(2) 本征值方程 久期方程
(21)
a1 t F11 F12 ...F1m ... a1 t F F ...F ... a t a t 2 2m 21 22 2 : : : F F ... F ... am t nm n1 n 2 am t : : :
x cnn x c x d
n
(12)
展开系数:
cn n x x dx ,
(13) (14)
c x x dx .
cn
2
2
是在 x 态中测量力学量 F 得到 n 的几率,
由(36)式,讨论并理解发生跃迁的条件是
m k m k (37) (i) 表明只有外界的微扰含有频率 mk 时,体系才能从 k 态 跃迁到 m 态,这时体系吸收和发射的能量是 mk ;
mk
或
(ii)跃迁是一个共振现象. (3) 能量时间的测不准关系的含义
10
F11 F12 ... F1n F21 F22 ...F2 n
... ...
.............................. 0 Fn1 Fn 2 ... Fnn ... ..............................
(3) 薛定谔方程的矩阵形式
i d H dt
b S 1a
ˆ 由 A 表象变换到 B 表象的公式: (4) 力学量 F
(23)
F S 1FS
5. 么正变换的性质 (i) 么正变换不改变算符的本征值; (ii) 么正变换不改变矩阵 F 的迹; (iii) 么正变换不改变力学量的平均值.
(24)
第五章 微扰理论 (I) 求解非简并定态微扰问题 (1)
注意(11)式对波函数所在的空间作积分. 9. 算符的对易关系及测不准关系.
(18)
(1) 如果一组算符相互对易,则这些算符所表示的力学量同时
4
具有确定值 (即对应的本征值 ), 这些算符有组成完全系的共 同的本征函数.
ˆ ,角动量平方算符 L ˆ 和角 例如: 氢原子的哈密顿算符 H
2
动量算符 Lz 相互对易, 则 (i) 它们有共同的本征函数 nlm , (ii) 在态 nlm 中,它们同时具有确定值:
Et
(4) 了解原子的跃迁几率和三个爱因斯坦系数 : 和 Bkm 及相互关系. (5) 了解用含时微扰理论计算爱因斯坦发射和吸收系数 (6) 记住对角量子数和磁量子数的选择定则
(38)
Amk , Bmk
l l l 1, m m m 0, 1.
第六章 散射 只要求理解微分散射截面的概论, 不作计算要求. 第七章 自旋与全同粒子

一维线性谐振子; 势垒贯穿.

d 1
(9)
6.求解一维薛定谔方程的几个例子. 一维无限深势阱及其变种,
第三章 量子力学中的力学量 1. 坐标算符, 动量算符及角动量算符 ;构成量子力学力学量 的法则; 2. 本征值方程,本征值,本征函数的概念
ˆ F
(10)
2
3. 厄密算符的定义,性质及与力学量的关系.
__ 2
利用测不准关系估计氢原子的基态能量 , 线性谐振子
5
的零点能等. (b)
ˆ 的均方偏差 ˆ 和G 给定态函数 , 计算两个力学量 F
的乘积
ˆ G ˆ F
第四章 态和力学量的表象 1. 对表象的理解 (1) 状态 : 态矢量
_______ 2
_______ 2
(2) 确定微扰算符的矩阵元:
ˆ lH H li ˆ i d
(3) 求解久期方程得到能量的一级修正
En H11
1
(28)
H12
En H 22
1
... ...
H1k k H2
1
H 21 1 Hk
................................................ 2 Hk
(39)
1. 电子的自旋角动量 S ,它在空间任何方向的投影只能取
Sz
2. 自旋算符的矩阵形式
2
(40)
ˆ 0 S x 2 1
3.泡利矩阵
0 i 1 0 1 ˆ ˆ S S , y i 0 , z 2 0 1 2 0 0 i 1 0 1 ˆy ˆz , , 0 i 0 0 1
_______ 2
k2 4
2 ___ 2
(19)
F
_______ 2
F F F 2 FF F F F 2
F F ,
2 ___ 2
___________ 2
___ 2
F
(a)
_______ 2
G
_______ 2
G G2
基矢量的分量. (5) an t 是在 x, t 所描写的态中 , 测量力学量 Q 得
2
到结果为 Qn 的几率. 2. 算符在 Q 表象中的表示
ˆ 在 Q 表象中是一个矩阵, Fnm 称为矩阵元 (i)算符 F
Fnm un x , x F um x dx i x
ˆ
En
es4
2 n
2 2
,
l l 1
2
,
m
.
ˆ 不对易,则一般来说它们 ˆ 和G (2) 测不准关系 :如果算符 F
不能同时有确定值. 设
ˆ ˆG ˆ F ˆ ik ˆ G F
ˆ 的均方偏差满足: ˆ 和G 则算符 F
ˆ ˆ G F
其中
_______ 2
Wk m am t
2
(35)
i t
ˆ ˆ (2) 用于周期微扰 H t F e

eit 得到
Fmk eimk t 1 eimk t 1 am t (36) mk mk
ˆ . 确定微扰的哈密顿算符 H
ˆ H ˆ 0 H ˆ , 及与 H
ˆ 0 对 应 的 零 级 近 似 能 量 En0 和 零 级 近 似 波 函 数 H
0 n ;
(2)
计算能量的一级修正:
1 0 ˆ 0 En n H n d
(3) 计算波函数的一级修正:
En ... H kk
0
(29)
(III) 变分法不作要求 (IV) 含时微扰论 (1) 基本步骤
设 H 0 的本征函数为 n 为已知:
ˆ
ˆ H 0 n n n
ˆ H e 将 按照 0 的定态波函数 n n i
(30)
nt
展开: (31)
an t n
ˆ dx F


ˆ dx F


(11)
实数性: 厄密算符的本征值是实数. 正交性: 厄密算符的属于不同本征值的两个本征函数 相互正交.
ˆ 的本征函数 n x 和 x 组成完全 完全性: 厄密算符 F