年考研数学二真题及答案详解
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∫ ∫ ( ) ∫ +∞
dx
+∞
=
2tdt
= lim b 2dt
( ) 2 x + 7 x − 2 0 t2 + 9 t b→+∞ 0 t 2 + 9
| =
lim
b→+∞
⎛ ⎜⎝
2 3
arctan
t 3
b⎞ 0 ⎟⎠
=π 3
1
（4）曲线 y = (2x −1) e x 的斜渐近线方程为
.
【答】 y = 2x +1
（A） y''' − y'' − y' + y = 0
（B） y''' + y'' − y' − y = 0
（C） y''' − 6 y'' +11y' − 6 y = 0
【答】 应选（B） 【详解】 由特解知，对应特征方程的根为
λ1 = λ2 = −1, λ3 = 1
（D） y''' − 2 y'' − y' + 2 y = 0
【】
f '' ( x) + ⎡⎣ f ' ( x)⎤⎦2 = x,
知 f '' (0) = 0, 因此点 (0, f (0)) 可能为拐点.
由 f '' ( x) = − ⎡⎣ f ' ( x)⎤⎦2 = x, 知 f ( x) 的三阶导数存在，且
f ''' ( x) = −2 f ' ( x) f '' ( x) +1
a < x < b 时，有
（A） f ( x) g (b) > f (b) g ( x)
（B） f ( x) g (a) > f (a) g ( x)
（C） f ( x) g ( x) > f (b) g (b)
【答】 应选（A）. 【详解】 由题设知
⎡ f ( x)⎤' f ' ( x) g ( x) − f ( x)' g ( x)
可见 f ''' (0) = 1
因此在 x = 0 的左侧，f '' ( x) < 0 ，对应曲线是下凹（上凸）的；而在 x = 0 的右侧，f '' ( x) > 0 ，
对应曲线是上凹（上凸）的.
故点 (0, f (0)) 是曲线 y = f ( x) 的拐点
（ 3 ） 设 函 数 f ( x), g ( x) 是 大 于 零 的 可 导 函 数 ， 且 f ' ( x) g ( x) − f ( x) g' ( x) < 0, 则 当
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2000 年全国硕士研究生入学统一考试 理工数学二试题详解及评析
一、 填空题
( ) （1） lim arctan x − x = x→0 ln 1+ 2x3
.
【答】 − 1 . 6
( ) 【详解】
lim
x→0
arctan ln 1+
x−x 2x3
=
lim
x→0
arctan x 2x3
【】
【详解】 由题设，f ( x) 在 (−∞, +∞) 内连续，因此对任意的 x ∈ (−∞, +∞) ，有，，这只需 a ≥ 0
即可.
( ) 另外，由 lim f ( x) = 0 知， lim a + ebx = ∞
x→−∞
x→−∞
所以必有 b < 0
故正确答案为（D）
（2）设函数 f ( x) 满足关系式 f '' ( x) + ⎡⎣ f ' ( x)⎤⎦2 = x, 且 f ' (0) = 0 ，则
故渐近线方程为
y = 2x +1
⎡ 1 0 0 0⎤
（5）设
A
=
⎢⎢−2 ⎢0
3 −4
0 5
0⎥⎥ 0⎥
,
E
为
4
阶单位矩阵，且
B
=
(E
+
)A −1
(E
−
A)
,则 ( B
+
)E −1
⎢ ⎣
0
0 −6 7⎥⎦
＝.
【答】
⎡ 1 0 0 0⎤
⎢⎢−1 2 0 0⎥⎥
⎢ 0 −2 3 0⎥
⎢ ⎣
0
0
−3 4⎥⎦
【详解】 因为
a
=
lim
x→∞
y x
=
lim
x→∞
⎛ ⎜⎝
2
−
1 x
⎞ ⎟⎠
e
1 x
=
2
b
=
lim (
y
−
2x)
=
lim
⎡ ⎛1 ⎢2x ⎜ e x
⎞ −1⎟
−
1
ex
⎤ ⎥
x→∞
x→∞ ⎢⎣ ⎝
⎠ ⎥⎦
⎡⎛1 ⎞ ⎤
=
lim
x→∞
⎢ ⎢ ⎢
2
⎜ ⎝
ex 1
−1⎟ ⎠
−
1
ex
⎥ ⎥ ⎥
=
1
⎢ ⎢⎣
x
⎥ ⎥⎦
2n ≤ S ( x) < 2(n +1);
（2）由（1）知，当 nπ ≤ x < (n +1)π 时，有
2n
(n +1)π
<
S (x)
x
<
2(n +1)
nπ
6x − x3
6x
+
6
+
f x2
(
x)
⎤ ⎥ ⎦
=0
lim
x→0
6
+f(
x2
x)
=
−
lim
x→0
sin
6x − x3
6x
=
−
lim
x→0
6 cos 6x 3x2
−
6
= − lim −12sin 6x = 36 x→0 2x
（D） ∞
【】
（5）具有特解 y1 = e−x , y2 = 2xe−x , y3 = 3ex 的 3 阶常系数齐次微分方程是
⎢ ⎣
g
(
x)
⎥ ⎦
=
g2 (x)
<0
因此当 a < x < b 时，有
f (x) g ( x)
>
f (b) g (b)
,
（C） f ( x) g ( x) > f (a) g (a)
【】
即
f (x) g (b) > f (b) g (x)
可见（A）为正确选选项.
sin 6x + xf ( x)
6+ f (x)
（A） f (0) 是 f ( x) 的极大值
（B） f (0) 是 f ( x) 的极小值
（C）点 (0, f (0)) 是曲线 y = f ( x) 的拐点
（D） f (0) 不是 f ( x) 的极值，点 (0, f (0)) 不是曲线 y = f ( x) 的拐点
【答】 应选（C）
【详解】 因为 f ' (0) = 0 ，由原关系式
x 1 t 2dt + 02
x 1
⎛ ⎜⎝
−
1 2
t
2
+
2t
−1⎞⎟⎠
dt
= − 1 x3 + x2 − x + 1
6
3
当 x > 2 时，
x
∫0
S
(t
)dt
=
2
∫0
S
(t
)dt
+
x
∫2
Sቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(t
)dt
=
x
−1
因此
⎧ ⎪ ⎪
1 x3, 0 ≤ x ≤ 1, 6
∫x 0
S
(t
)
dt
=
⎨⎪− ⎪
1 6
x3
+
2xy ( ydx + xdy) ln 2 = dx + dy
由原方程知，当 x = 0 时， y = 1，将其代入上式，得
ln 2dx − dx = dy,
即有
dy| = (ln 2 −1) dx,
x=0
方法二：
在方程 2xy = x + y 两边对 x 求导，得
2xy
ln
2
⋅
⎛ ⎜⎝
y
+
x
dy dx
= x − (1+ ex ) ln (1+ ex ) + C
四、设 xOy 平面上有正方形 D = {( x, y) | 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1} 及直线 l : x + y = t (t ≥ 0) 若
∫ S (t ) 表示正方形 D 位于直线 l 的左下方部分的面积，试求 x S (t )dt ( x ≥ 0). 0
−
x
=
lim
x→0
1 1+ x2
−1
6x2
( ) = lim −x2 x→0 6x2 1+ x2
=−1 6
| （2）设函数 y = y ( x) 由方程 2xy = x + y 所确定，则 dy =
