2013年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分. 下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.1、设cos x 1 x sin (x) ，(x) ，当x 0 时，(x)（）2（A）比x高阶的无穷小（B）比x低阶的无穷小（C）与x同阶但不等价的无穷小（D）与x是等价无穷小【答案】（C）【考点】同阶无穷小【难易度】★★【详解】cos x 1 x sin ( x) ，12 cos x 1 x212x sin ( x) x ，即21 sin (x) x2当x 0 时，(x) 0 ，sin (x) (x)1(x) x，即(x)与x同阶但不等价的无穷小，故选（C）.22、已知y f (x)由方程cos( xy) ln y x 1确定，则（A）2 （B）1 （C）-1 （D）-2【答案】（A）2lim n[ f ( ) 1]nn（）【考点】导数的概念；隐函数的导数【难易度】★★【详解】当x 0 时，y 1.2f ( n) 1 f x f x f2 (2 ) 1 (2 ) (0)lim n[ f ( ) 1] lim lim 2lim 2f (0)1 2n n n x 0 x x 0 xn方程cos( xy) ln y x 1两边同时对x求导，得1sin( xy)( y xy ) y 1 0y将x 0 ，y 1代入计算，得y (0) f (0) 11所以，2lim n[ f ( ) 1] 2nn，选（A）.3、设sin x [0, )f ( x) ，2 [ ,2 ]xF (x) f (t)dt ，则（）（A）x为F (x)的跳跃间断点（B）x为F (x)的可去间断点（C）F ( x) 在x处连续不可导（D）F ( x) 在x处可导【答案】（C）【考点】初等函数的连续性；导数的概念【难易度】★★【详解】 F ( 0) sin tdt 2 sin tdt sin tdt 2 ，F(0) 2，0 02F ( 0) F ( 0) ，F (x) 在x处连续.Fxf ( t)dt f (t)dt0 0( ) lim 0xx，Fxf (t)dt f (t )dt0 0( ) lim 2xx，F ( ) F ( )，故F ( x)在x 处不可导. 选（C）.4、设函数 f (x)11( x 1)11xln x1 x ex e，若反常积分1f ( x)dx收敛，则（）（A） 2 （B） 2 （C） 2 0 （D）0 2 【答案】（D）【考点】无穷限的反常积分【难易度】★★★【详解】ef ( x)dx f ( x)dx f (x)dx1 1 e由1 f ( x)dx收敛可知，e1f ( x)dx与 f (x)dx均收敛.e1e ef ( x)dx dx11 1 ，x 1是瑕点，因为e11(x1) 1收敛，所以 1 1 2dx(x 1)21 1f ( x)dx dx (ln x)1e e x xln e，要使其收敛，则0所以，0 2 ，选 D.y5、设( )z f xyx ，其中函数 f 可微，则x z zy x y（）（A）2yf (xy) （B）2yf (xy ) （C）【答案】（A）2xf (xy) （D）2xf (xy )【考点】多元函数的偏导数【难易度】★★【详解】2z y y2 f ( xy) f ( xy)x x x，z 1y xf (xy ) yf (xy )2x z z x y y 1[ f (xy) f ( xy)] [ f ( xy) yf ( xy)]2y x y y x x x1 1f ( xy) yf ( xy) f ( xy) yf ( xy) 2yf ( xy)x x，故选（A）.6、设D 是圆域k2 2D (x, y) x y 1 位于第k 象限的部分，记I ( y x)dxdy (k 1,2,3, 4) ，则（）kDk（A）I1 0 （B）I2 0 （C）I3 0 （D）I4 0 【答案】（B）【考点】二重积分的性质；二重积分的计算【难易度】★★【详解】根据对称性可知，I1 I3 0 .I y x dxdy （y x 0），2 ( ) 0 I y x dxdy （y x 0 ）4 ( ) 0D2 D4因此，选 B.7、设A、B、C均为n 阶矩阵，若AB=C，且 B 可逆，则（）（A）矩阵C的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价（B）矩阵C的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价3（C）矩阵C的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价（D）矩阵C的列向量组与矩阵 B 的列向量组等价【答案】（B）【考点】等价向量组【难易度】★★【详解】将矩阵 A 、C 按列分块， A ( , , n) ，C ( 1, , n)1b b11 1n由于AB C ，故( , , ) ( , , )1 n 1 nb bn1 nn即1b11 1 b n1 n, , n b1n 1 b nn n即C的列向量组可由 A 的列向量组线性表示.由于 B 可逆，故 1A CB ，A的列向量组可由C的列向量组线性表示，故选（B）.1 a 12 0 08、矩阵 a b a 0 b 0 相似的充分必要条件是（）与1 a 1 0 0 0（A）a 0,b 2（B）a 0,b 为任意常数（C）a 2,b 0（D）a 2,b 为任意常数【答案】（B）【考点】矩阵可相似对角化的充分必要条件【难易度】★★【详解】题中所给矩阵都是实对称矩阵，它们相似的充要条件是有相同的特征值.2 0 0 1 a 1由0 0A a b a 的特征值也是2，b ，0.b 的特征值为2，b ，0 可知，矩阵0 0 0 1 a 11 a 1 1 a 1因此， 2 22E A a 2 b a 0 2 b a 2a 4a 0 a01 a 1 0 2a 041 0 1将a 0代入可知，矩阵 A b 的特征值为2，b ，0.0 01 0 1此时，两矩阵相似，与 b 的取值无关，故选（B）.二、填空题：9～14小题, 每小题4分, 共24分. 请将答案写在答题．纸．．指定位置上.9、1ln(1 x)lim(2 ) xx 0x. 1【答案】 2e【考点】两个重要极限【难易度】★★【详解】11 ln(1 x ) 1 ln(1 x) 1 ln(1 x) 1 ln(1 x )ln(1 x) ln(1 x) 1 (1 ) (1 ) lim (1 ) x x x x x x x x lim(2 ) lim[1 (1 ) ] lim e ex 0x 0 x 0 x 0x x其中，111 ln(1 x) x ln(1 x) 1 x x 1 lim (1 ) lim lim lim2x x x 2 x 2 (1 ) 20 0 0 0x x x x x x 1故原式=e210、设函数xtf (x) 1 e dt ，则y f (x) 的反函数1x f y 在y 0处的导数1( )1( )dxdyy 0.1 【答案】11 e【考点】反函数的求导法则；积分上限的函数及其导数【难易度】★★【详解】由题意可知， f ( 1) 05dy dx 1 dx dx 1xf (x) 1 edx dy e x dy dy e1 1y 0 x 1 1 .11、设封闭曲线L 的极坐标方程方程为r cos3 ( ) ，则L 所围平面图形的面积6 6是.【答案】12【考点】定积分的几何应用—平面图形的面积【难易度】★★【详解】面积1 1 cos6 1 sin 662 26 6 6S r ( )d cos 3 d d ( )2 0 0 2 2 6 126 012、曲线x arctan t,y ln 1 t 2 上对应于t 1点处的法线方程为.【答案】ln 2 0y x4【考点】由参数方程所确定的函数的导数【难易度】★★★1 12 2 dy dy / dt 1 tdx dx / dt112 2(1 t ) 2t12tt ，故dydx t 1【详解】由题意可知， 1曲线对应于t 1点处的法线斜率为1k 1.1当t 1时，x ，y ln 2 .4法线方程为ln 2 ( )y x ，即y x ln 2 0 .4 413、已知3x 2 xy e xe ，1x 2xy e xe ，22xy xe 是某二阶常系数非齐次线性微分方程的 33个解，则该方程满足条件y，0 0x y 0 1的解为y .x【答案】3x x 2 xy e e xe6【考点】简单的二阶常系数非齐次线性微分方程【难易度】★★【详解】3x x xy y e e ，y2 y3 e 是对应齐次微分方程的解.1 2由分析知，* 2xy xe 是非齐次微分方程的特解.故原方程的通解为3x x x 2xy C1(e e ) C2e xe ，C1,C2 为任意常数.由y0 0，x y 可得C1 1，C2 0 .0 1x通解为3x x 2xy e e xe .14、设A (a )是3 阶非零矩阵， A 为A的行列式，A ij 为a ij 的代数余子式，若ija A 0(i , j 1,2,3) ，则A .ij ij【答案】-1【考点】伴随矩阵【难易度】★★★【详解】* T * Ta A 0 A a A A AA AA A Eij ij ij ij等式两边取行列式得2 3A A A 0或A1T当A 0时，0 0AA A （与已知矛盾）所以A 1.三、解答题：15～23 小题, 共94 分. 请将解答写在答题．纸．．指定位置上. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15、（本题满分10 分）当x 0 时，1 cos x cos 2x cos3 x与ax n 为等价无穷小，求n 和a的值.【考点】等价无穷小；洛必达法则【难易度】★★★【详解】cos6x cos4 x cos2x 111 cosx cos2x cos3x 4lim limn nax axx 0 x 03 cos 6x cos4 x cos 2x 6sin 6x4sin 4x 2sin 2x lim limn n 1x 0 4ax x 0 4 a nx7lim x 0 36cos6 x 16cos 4x 4cos 2xn4an (n 1)x2故n 2 0，即n 2时，上式极限存在.当n 2时，由题意得1 cos x cos 2x cos3 x 36cos 6x 16cos 4x 4cos 2x 36 16 4lim lim 1nx 0 ax x 0 a a8 8a 7n 2,a 716、（本题满分10 分）1设D是由曲线y x3 ，直线x a (a 0) 及x 轴所围成的平面图形，V x ，V y 分别是D绕x 轴，y轴旋转一周所得旋转体的体积，若V 10V ，求a的值.y x【考点】旋转体的体积【难易度】★★【详解】根据题意，a1 5 5a 3 323 3 3 V ( x ) dx x a x0 5 5a1 7 76 6 aV 2 x x dx x a .3 3 3y7 7因V 10V ，故y x7 56 33 3a 10 a a 7 7 .7 517、（本题满分10 分）设平面区域D由直线x 3y ，y 3x ，x y 8围成，求 2x dxdyD【考点】利用直角坐标计算二重积分【难易度】★★【详解】根据题意y 3x x 2x y 8 y 6，1 6y x x3y 2x y 8故D2 3x 6 8 x2 2 2x dxdy dx x dy dx x dyx x0 23 32 62 8 1 32 4164 3 4x ( x x ) 1283 3 3 3 30 2818、（本题满分10 分）设奇函数 f (x) 在[ 1,1]上具有二阶导数，且 f (1) 1，证明：（Ⅰ）存在(0,1) ，使得 f ( ) 1；（Ⅱ）存在( 1,1)，使得 f ( ) f ( ) 1.【考点】罗尔定理【难易度】★★★【详解】（Ⅰ）由于 f (x) 在[ 1,1]上为奇函数，故 f (0) 0令 F (x) f (x) x ，则F (x) 在[0,1] 上连续，在( 0,1)上可导，且F (1) f (1) 1 ，0 F (0) f (0) 0 0. 由罗尔定理，存在(0,1) ，使得 F ( ) 0 ，即 f ( ) 1.x x x x （Ⅱ）考虑 f (x) f (x) 1 e ( f(x) f (x)) e (e f (x)) ex x[e f (x) e ] 0x x令g( x) e f ( x) e ，由于f ( x) 是奇函数，所以 f ( x)是偶函数，由（Ⅰ）的结论可知，f ( ) f ( ) 1，g( ) g( ) 0 . 由罗尔定理可知，存在( 1,1)，使得g ( ) 0 ，即 f ( ) f ( ) 1.19、（本题满分10 分）求曲线 3 3 1( 0, 0)x xy y x y 上的点到坐标原点的最长距离和最短距离.【考点】拉格朗日乘数法【难易度】★★★【详解】设M ( x, y) 为曲线上一点，该点到坐标原点的距离为 2 2d x y构造拉格朗日函数 2 2 ( 3 3 1)F x y x xy y由2F 2x (3x y) 0x2F 2y (3y x) 0y3 3F x xy y 1 0得xy119点(1,1)到原点的距离为 2 2d 1 1 2 ，然后考虑边界点，即(1,0) ，(0,1) ，它们到原点的距离都是 1. 因此，曲线上点到坐标原点的最长距离为 2 ，最短距离为 1.20 、（本题满分11 分）设函数 f (x) ln x 1 x（Ⅰ）求 f (x) 的最小值；（Ⅱ）设数列x 满足n1ln x n 1，证明lim x n 存在，并求此极限.x nn 1【考点】函数的极值；单调有界准则【难易度】★★★【详解】（Ⅰ）由题意， f ( x) ln x 1x，x 0 f (x)1 1 x 12 2x x x令 f (x) 0，得唯一驻点x 1当0 x 1时， f (x) 0 ；当x 1时， f (x) 0 .所以x 1是 f (x) 的极小值点，即最小值点，最小值为 f (1) 1.（Ⅱ）由（Ⅰ）知1ln x n 1xn，又由已知1ln x n 1，可知xn 11 1x xn n1，即x n 1 x n故数列x单调递增.n又由1ln x n 1，故ln x n 1 0 x n e，所以数列x n 有上界.xn 1所以limn x 存在，设为 A. n在1ln x n 1两边取极限得xn 11ln A 1A在1ln x n 1两边取极限得xn1ln A 1A10所以1ln A 1 A 1即lim x n 1 .An21、（本题满分11 分）设曲线L 的方程为 1 2 1 ln (1 )y x x x e 满足4 2（Ⅰ）求L 的弧长；（Ⅱ）设D是由曲线L ，直线x 1，x e及x 轴所围平面图形，求D的形心的横坐标. 【考点】定积分的几何应用—平面曲线的弧长；定积分的物理应用—形心【难易度】★★★【详解】（Ⅰ）设弧长为S，由弧长的计算公式，得1 1 1 1 1 1 e ee e2 2 2 2S 1 ( y ) dx 1 ( x ) dx 1 ( x ) dx ( x ) dx1 1 1 12 2x 2 2x 2 2xe2e 1 1 1 1 1 e2( x )dx ( x ln x)1 2 2x 4 2 41（Ⅱ）由形心的计算公式，得x DD1 1 1 1exdxdy 1dx x ln x xdy x x2 x dx2( ln )4 214 20 01 1 1 12 edxdy 1 dx x ln x dy x2 x dx( ln )4 24 210 01 1 1 1 14 2 2e (e e )16 16 4 2 24 23(e 2e 3)1 1 1 4( 3 7)e.3e12 12 2 22、（本题满分11 分）设1 aA ，1 0B0 11 b，当a,b 为何值时，存在矩阵C使得AC CA B ，并求所有矩阵C.【考点】非齐次线性方程组有解的充分必要条件【难易度】★★★【详解】由题意可知矩阵C为2 阶矩阵，故可设C x x1 2x x3 4. 由AC CA B 可得11x ax2 31 a x x x x 0 1 0 11 2 1 21 0 x x x x 1 b 1 b3 4 3 4 整理后可得方程组ax a ax1 2 4x x x1 3 411①x ax b2 3由于矩阵C存在，故方程组①有解. 对①的增广矩阵进行初等行变换：0 1 a 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1a 1 0 a 1 0 1 a 0 0 0 1 a 0 01 0 1 1 1 0 1 a 0 a 1 0 0 0 0 a 1 0 1 a 0 b 0 0 0 0 b 0 0 0 0 b 方程组有解，故 a 1 0 ，b 0，即a 1，b 0 .1 0 1 1 1当a 1，b 0时，增广矩阵变为0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0x3, x4 为自由变量，令x3 1, x4 0，代入相应齐次方程组，得x2 1, x1 1 令x3 0, x4 1，代入相应齐次方程组，得x2 0, x1 1故 1 (1, 1,1,0) T T， 2 (1,0,0,1)T ，令x3 0, x4 0，得特解(1,0,0,0)T方程组的通解为x k1 1 k2 2 (k1 k2 1, k1,k1 ,k2) （k1,k2 为任意常数）所以C k k 1 k1 2 1k k1 2.23、（本题满分11 分）a 1b 1设二次型 2f (x , x ,x ) 2(a x a x a x ) (b x b x b x ) ，记1 2 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 a2，b2 a3b3（Ⅰ）证明二次型 f 对应的矩阵为 2 T T ；（Ⅱ）若, 正交且均为单位向量，证明 f 在正交变换下的标准形为 2 22y y1 2【考点】二次型的矩阵表示；用正交变换化二次型为标准形；矩阵的秩12【难易度】★★★【详解】（Ⅰ）证明：2f (x ,x , x ) 2(a x a x a x ) (b x b x b x )1 2 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3a xb x1 1 1 1 2( x , x , x ) a (a , a , a ) x (x , x , x ) b (b ,b ,b ) x1 2 3 2 1 2 3 2 1 2 3 2 1 2 3 2a xb x3 3 3 3x1T T T (x , x , x )(2 ) x x Ax1 2 3 2 ，其中A 2T Tx3所以二次型 f 对应的矩阵为2 T T .T T （Ⅱ）由于, 正交，故T T T因, 均为单位向量，故 1，即1. 同理 1T T T T T TA 2 A (2 ) 2 2由于0 ，故A有特征值 12 .T TA (2 ) ，由于0 ，故A有特征值 2 1T T T T T T又因为r( A) r (2 ) r(2 ) r( ) r( ) r( ) 1 1 2 3 ，所以A 0，故 30 .三阶矩阵A的特征值为2，1，0. 因此，f 在正交变换下的标准形为 2 22y y .1 213。
2013年考研数学二真题及答案2013 年考研数学二真题及答案一、选择题 1—8 小题．每小题 4 分，共 32 分．１ ．设 cos x 1 x sin (x ), (x ) ，当 x 0 时， x （） 2（ （ A ）比 x 高阶的无穷小 C ）与 x 同阶但不等价无穷小 （B ）比 x 低阶的无穷小 （D ）与 x 等价无穷小1 1详解】显然当 x 0 时 cos x x x x1 sin ( ) ~2 , s in ( ) ~ x x x ，故应该选（~( ) 【 2 2 22 ．已知 y f x是由方程cos xy ln y x1确定，则lim n f 1 （ ）nn（ A ）2 （B ）1 （C ）-1 （D ）-2【 【 分析】本题考查的隐函数的求导法则信函数在一点导数的定义． y '详解】将 x0代入方程得 y f (0) 1，在方程两边求导，得 sin(xy )(y xy ')yx 0, y 1，知 y ' (0) f ' (0)1．2f ( ) f (0) 2 n n lim n f 1 2 lim 2 f '(0) 2 ，故应该选（A ）． 2nn nsin x , x [0, )x ３ ．设 f (x )， F (x )f (t )dt 则（ ） 2, x [,2 ]（ （ Ａ） x为 F (x )的跳跃间断点． （Ｂ） x 为 F (x )的可去间断点． Ｃ） F (x )在 x 连续但不可导． （Ｄ） F (x )在 x可导．x 【 详解】只要注意 x 是函数 f (x ) 的跳跃间断点，则应该是 F (x )f (t )dt 连续点，但不可选（Ｃ）．1(x 1) 11 , 1 x ef x dx 收敛，则（ ４ ．设函数 f (x ) ，且反常积分 ） , x ex ln 1 x （ A ） 2 （B ） a 2（C ） 2 a 0 （D ） 0 21111而第二个反常积分dx ln x |1，当且仅当 a 0 才收敛．x ln 1 x lim ln xexf x dx 才收敛，故应选（Ｄ）．从而仅当 02时，反常积分 y x zzy xy５ ．设函数 zf xy，其中f 可微，则 （ ）x 22（ A ） 2yf '(xy ) （B ） 2yf '(xy ) （C ）f (xy ) （D ）f (xy ) xxxz z y xy x y y y 21【 详解】f (xy ) f '(xy ) f (xy ) yf '(xy ) 2yf '(xy ) ．应该选（A ）．x 2 xx( , ) | D x y xy1的第 k 象限的部分，记 I (y x )dxdy ，则（ ）．设 D 是圆域2 26 k k Dk（ A ） I 0 （B ） I 0 （C ） I 0（D ） I 01234【 详解】由极坐标系下二重积分的计算可知k1k13I (y x )dxdy d (sincos )r2dr(sinsin)d22 kk 1 (k1)Dk2 2k1sincos |2 k 1322 2 所以 I I0, I, I ，应该选（B ）． 13 24 3 37 ．设Ａ，Ｂ，Ｃ均为 n 阶矩阵，若ＡＢ＝Ｃ，且Ｂ可逆，则（ （ （ （ A ）矩阵 C 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价．B ）矩阵C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价． C ）矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价．D ）矩阵 C 的列向量组与矩阵 B 的列向量组等价． 【 详解】把矩阵 A ，C 列分块如下： A , , , , C , , ,，由于ＡＢ＝Ｃ，则可知1 2 n 1 2 nbbb (i 1,2, ,n ) ，得到矩阵 C 的列向量组可用矩阵 A 的列向量组线性表示．同i 1 1i 22inni时由于 B 可逆，即 A CB 1 ，同理可知矩阵 A 的列向量组可用矩阵 C 的列向量组线性表示，所以矩阵 C的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价．应该选（B ）．1 a 12 0 08 ．矩阵 a b a与矩阵0 b 0 相似的充分必要条件是1 a 1 0 0 0（ A ） a0, b 2 （B ） a 0 ，b 为任意常数（ C ） a 2, b 02 0 0（D ） a 2， b 为任意常数1 a 12 0 0【 详解】注意矩阵0 b 0是对角矩阵，所以矩阵 A= a b a 与矩阵0 b相似的充分必要0 0 0 1 a 1 0 0 0条件是两个矩阵的特征值对应相等．1a E A aba( a 11 2(b 2) 2b2a2 )1 从而可知 2b 2a 2b ，即 a0 ， b 为任意常数，故选择（B ）．2二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上）1 ln(1 x)x9． lim 2．xxx(x1 x2 o (x2 ) 11 xln(1x )ln(1 x)x ln(1 x ) 2 1 xxlim lim【 详解】 lim 2lim 1 e xx 2e xx 2e ． 2x 0 x x 0 x dx x te dt，则 yf (x )的反函数 x f1 (y ) 在 y0处的导数10．设函数 f (x )1|．y 01dy【 详解】由反函数的求导法则可知dx dy 11|． ydy 1e 1|x 1dx611．设封闭曲线 L 的极坐标方程为 r cos3t 为参数，则 L 所围成的平面图形的面积 6为【 ．2 121 21 Ar 2 dcos 3d2 cos 2tdt 详解】 6 63 120 6 6所以．答案为． 1 2x arctan t1 2．曲线上 对应于t 1处的法线方程为 ．y ln 1 t 2t t 1 11 2 2 【 详解】当t 1时， x , y ln 2， y '| |1，所以法线方程为t 1t 1 4 21 t 1 1y ln 2 1(x )，也就是 y x ln 22 4 2 4y e 3xxe 2x , y e xxe 2x , y xe 2x 是某个二阶常系数线性微分方程三个解，则满足1 3．已知 123y (0) 0, y ' (0)1方程的解为 ．【 详解】显然 y y e 3x 和 yy e x 是对应的二阶常系数线性齐次微分方程两个线性无关的解，由132 3yC e 3x C exe 2x ，其中C , C 为任意常数．把初始条件代入可得 x解的结构定理，该方程的通解为 1 2 1 2C 1,C 1，所以答案为 ye 3xe x xe 2x1 214 ． 设 Aa 是 三 阶 非 零 矩 阵 ，A 为 其 行 列 式 ， A 为 元 素 a 的 代 数 余 子 式 ， 且 满 足 ijijij A a 0(i , j 1,2,3)，则 A = ．ij ij详解】由条件 A a 0(i , j1,2,3)可知* 0 A A T，其中 A *为 A 的伴随矩阵，从而可知 【 ijijA * A *T A A ，所以 A 可能为 1或 0．3 1n ,r (A ) n但由结论 ( ) 1, ( ) 1 r A *r A n 可知，A A * T0可知 r (A ) r (A *) ,伴随矩阵的秩只能为 3，所以0 ,r (A ) n 1 A1.三、解答题1 5．（本题满分 10 分） 当 x0时，1cos x cos 2x cos 3x 与 axn 是等价无穷小，求常数 a ,n ． 【 【 分析】主要是考查 x0时常见函数的马克劳林展开式．1 1 详 解 】 当 x 0 时 ， cos x 1 x2 o (x ) 2 ， cos 2x 1 (2x ) 2 o (x 2 ) 1 2x 2 o (x ) ，222 1 9 cos 3x 1 (3x ) 2 o (x 2 ) 1 x 2 o (x ) ，22 21 9 所以1 cos cos2 cos 3x 1 (1 x x x 2 o (x))(1 2 2 x 2 o (x ))(1 2 x 2 o (x )) 7 2 x o (x 2 ) ， 22 2由于1cos x cos 2x cos 3x 与 ax n 是等价无穷小，所以 a 7,n 2．1 6．（本题满分 10 分） 3x，直线 xa (a 0) 及 x 轴所转成的平面图形，V ,V 分别是 D 绕 x 轴和 y 轴旋转x y设 D 是由曲线 y一周所形成的立体的体积，若10V V ，求 a 的值． x y【 详解】由微元法可知253a aVxy dx x dx a ；233 5 0 04 7 6 V2 axf (x )dx2x dx a；a33y7由条件10V V ，知 a7 7 ．x y 1 7．（本题满分 10 分）设平面区域 D 是由曲线 x 3y , y 3x , x y8 所围成，求 x dxdy ． 2D【 详解】4 1 62dx3x 6dx8xx 2dxdy x 2 dxdy x 2 dxdy x 2 dy x 2 dy ． x x32 DDD331 2 1 8．（本题满分 10 分） 设奇函数 f (x ) 在1,1上具有二阶导数，且 f (1)1，证明：（ 1）存在( 0,1) ，使得 f '1；（ 【 2）存在(1,1) ，使得 f () f ( ) 1．详解】证明：（1）由于 f (x ) 为奇函数，则 f (0) 0，由于 f (x ) 在1,1上具有二阶导数，由拉格朗日定理，存f (1) f (0)在( 0,1) ，使得 f '()1．1 0（ 2）由于 f (x ) 为奇函数，则 f '(x ) 为偶函数，由（1）可知存在( 0,1) ，使得 f '1，且 f'1，令 (x ) e ( f '(x ) 1)，由条件显然可知(x ) 在1,1上可导，且() ()0 ， x 由罗尔定理可知，存在 (,) (1,1)，使得' 0, 即 f () f() 1．1 9．（本题满分 10 分）x3 xyy 1(x 0, y 0) 上的点到坐标原点的最长距离和最短距离．3求曲线 【 【 分析】考查的二元函数的条件极值的拉格朗日乘子法． 详解】构造函数 L (x , y )x 2 y 2 x ( 3xyy 1)3L2x (3x y ) 02x L 2y (3y ) 0 ，得唯一驻点 x1, y 1，即 M (1,1) ．12x 令y x 3 xyy 13考虑边界上的点， M (0,1),M (1,0)；2 3f (x , y ) x y 2 在三点的取值分别为 f (1,1) 2, f ( 0,1) 1, f (1, 0) 1，2 距离函数 所以最长距离为 2 ，最短距离为 1． 0．（本题满分 11） 2 1设函数 f (x )ln xx⑴ ⑵ 求 f (x ) 的最小值；1设数列x 满足ln x 1，证明极限 lim x 存在，并求此极限． n n n x n 1 n 【 （ 详解】1 1x 1 1） f '(x ) ， x x 2x2 令 f '(x ) 0 ，得唯驻点 x1，当 x( 0,1) 时， f '(x ) 0，函数单调递减；当 x(1,) 时， f '(x )0 ，函数单调递增．所以函数在 x 1处取得最小值 f (1)1．1111（ 2）证明：由于 ln x 1，但ln x 1，所以，故数列x 单调递增．nn nx n 1 x nx n 1 x n1又由于 ln x ln x 1，得到 0 xe ，数列x有界．nnnnx n1由单调有界收敛定理可知极限 lim x 存在． n n1 1令 lim x a ，则 lim ln x ln a 1，由（1）的结论可知 lim xa 1．nnnnnx n 1 a n2 1．（本题满分 11） 1 41y x 2ln x (1 x e ． ) 设曲线 L 的方程为 2（ （ 1）求 L 的弧长．2）设 D 是由曲线 L ，直线 x 1, x e 及 x 轴所围成的平面图形，求 D 的形心的横坐标．【 （ 详解】1 1 x1 2 11）曲线的弧微分为 dx1 y ' dx2 1 x dx (x x )dx ，4 1 1 e 2 1e 所以弧长为 sds (x )dx ． 2 x 41（ 则 2）设形心坐标为x , y，1 4 x2 1ln x e 42e 32 xdxdy dxdye1xdx 0 2 dy3(e 4 2e 23)16 xD． 1 x 2 1e 3 7 4(e 7) 31dxln x4 2 dy12D2 2．本题满分 11 分） 1 a0 1 ，问当 a , b 为何值时，存在矩阵 C ，使得 AC CA B ，并求出所有矩阵 C ．A, B 设 1 01 b【 详解】 x1 x显然由 ACCAB 可知，如果C 存在，则必须是 2 阶的方阵．设C 2 4 ， x x3x ax ax x ax1 12 4则 ACCA B 变形为2 3， x x x x ax 1 b1 3 4 23 x ax0 2 3ax x ax 11 2 4 即得到线性方程组 ，要使 C 存在，此线性方程组必须有解，于是对方程组的增广矩 x x x 1 1 3 4xax b 2 3 阵进行初等行变换如下0 1 1 a 0 01 0 111a 0 a 1 0 1 a 0 0A | b，1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 a1 a 0 b 0 b 所以，当 a 1, b 0 时，线性方程组有解，即存在矩阵 C ，使得 AC CA B ．1 0 1 1 1 0 11 0 0 0 0 0 0 此时，A | b，0 00 0 0x 1 1 11 2 3 x x 0 1 0 所以方程组的通解为 x C 1 C ，也就是满足 AC CA B 的矩阵 C 为2 1x40 0 1 1 C C C C 1 2 1 ，其中C ,C为任意常数． 12C 1 C 22 3（本题满分 11 分）a b 11f (x ,x ,x ) 2(a x a xa x ) 2 (b x b x b x )2 ．记 a ,b ． 设二次型 1 2 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2332 32a b31）证明二次型 f 对应的矩阵为 2T ；T（ 2）若,正交且为单位向量，证明 f 在正交变换下的标准形为 详解】证明：（1）2 y 21 y 2．（ 【 2 f (x , x , x ) 2(a x a xa x ) 2 (b x b xb x )21 2 3 1 12 23 31 12 23 3a xb x11 11232x , x , x a a , a ,a x x , x , x b b , b ,b x 1 2 3 2 3 1 2 3 2 3 1 2 3 21 2 3a xb 3xx x 1 1 23 x , x , x2x x , x , x x TTT 1 2 3 2 3 1 2 3 x xx 123x , x , x2x T1 2 3 x所以二次型 f 对应的矩阵为 2 TT．证明（2）设 A2 TT，由于1,T0 A 则 2 22，所以 为矩阵对应特征值 2的特征向量；2 T T T 1 A 22 ，所以 为矩阵对应特征值 1的特征向量； 2 T T T2 而矩阵 A 的秩 r (A ) r (2 T T ) r (2 T ) r ( T ) 2，所以 0也是矩阵的一个特征值．32 2yy 22 ．1故 f 在正交变换下的标准形为。
2013年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）设cos 1sin ()x x x α-=，其中()2x πα<，则当0x →时，()x α是（ ）（A ）比x 高阶的无穷小 （B ）比x 低阶的无穷小 （C ）与x 同阶但不等价的无穷小 （D ）与x 等价的无穷小（2）设函数()y f x =由方程cos()ln 1xy y x +-=确定，则2lim ()1n n f n→∞⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦（ ）（A ）2 （B ）1 （C ）1- （D ）2- （3）设函数sin ,0()=2,2x x f x x πππ≤<⎧⎨≤≤⎩，0()()x F x f t dt =⎰，则（ ）（A ）x π= 是函数()F x 的跳跃间断点 （B ）x π= 是函数()F x 的可去间断点（C ）()F x 在x π=处连续但不可导 （D ）()F x 在x π=处可导（4）设函数111,1(1)()=1,ln x e x f x x e x xαα-+⎧<<⎪-⎪⎨⎪≥⎪⎩，若反常积分1()f x dx +∞⎰收敛，则（ ）（A ）2α<- （B ）2α> （C ）20α-<< （D ）02α<< （5）设()y z f xy x =，其中函数f 可微，则x z z y x y∂∂+=∂∂（ ） （A ）2()yf xy ' （B ）2()yf xy '- （C ）2()f xy x （D ）2()f xy x- （6）设k D 是圆域{}22(,)|1D x y x y =+≤在第k 象限的部分，记()(1,2,3,4)kk D I y x dxdy k =-=⎰⎰，则（ ）（A ）10I > （B ）20I > （C ）30I > （D ）40I > （7）设矩阵A,B,C 均为n 阶矩阵，若,B AB C =则可逆，则 （A ）矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价 （B ）矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价 （C ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价 （D ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的列向量组等价（8）矩阵1111a a b a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与2000b 0000⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭相似的充分必要条件为（A ）a 0,b 2== （B ）为任意常数b a ,0= （C ）0,2==b a（D ）为任意常数b a ,2=二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 1ln(1)lim(2)x x x x→∞+-= ． (10) 设函数()xf x -=⎰，则()y f x =的反函数1()x f y -=在0y =处的导数y dx dy== ．(11)设封闭曲线L 的极坐标方程为cos3()66r ππθθ=-≤≤，则L 所围成的平面图形的面积为 ．(12)曲线arctan x ty =⎧⎪⎨=⎪⎩1t =的点处的法线方程为 ．(13)已知321x x y e xe =-，22x x y e xe =-，23x y xe =-是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，该方程满足条件00x y==01x y ='=的解为y = ．（14）设ij A (a )=是三阶非零矩阵，|A |为A 的行列式，ij A 为ij a 的代数余子式，若ij ij a A 0(i,j 1,2,3),____A +===则三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）当0x →时，1cos cos 2cos3x x x -⋅⋅与nax 为等价无穷小，求n 与a 的值。
2013考研数学二真题ঞㄨḜ解析ZZZ ZHQGXHGX FRP一、选择题1.设cos x -1=x sin ()x α，其中｜()x α｜<2π，则当x →0时，()x α是（）而()0lim 0x F x πππ−−→′==−∫∫，()()()0lim 2xx f t dt f t dtF x ππππ++→−′==−∫∫，()()(),F F F x ππ−+′′≠∴∵在x π=处不可导。
故()F x 在x π=处连续但不可导。
4.设函数f (x )=1,1,(1)11,.ln(1)x e x x e x xαα⎧<<⎪−−⎪⎨⎪≥⎪+⎩若反常积分∫∞+1f (x )d x 收敛，则（）解：[]21320,0,()0,(()0),D I I I y x d y x σ===+−>+−>∫∫∵[]44()0,(()0),D I y x d y x σ=+−<+−<∫∫∵所以选（B ）。
7.设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，若AB=C ，且B 可逆，则(A)矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价(B)矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价(C)矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价(D)矩阵C 的列向量组与矩阵B 的列向量组等价答案：（B ）解：1212(,,,)(,,,),(1)n n i i A A i n βββγγγβγ==≤≤⋯⋯，即C 的列向量组可由A 的列向量组线性表示。
⎪⎪⎩⎭10.设函数(),xf x −=∫则y =f (x )的反函数)(1y f x −=在0=y 处的导数______|0==y dydx解：=0y 即=-1x，=0y dy dx dx dy。
故32xxx y e exe =−+−。
14.设A=()ij a 是3阶非零矩阵，｜A ｜为A 的行列式，Aij 为ij a 的代数余子式，若0(,1,2,3)ij ij a A i j +==,则｜A ｜=______________答案：-1解：2*3*=-,=(-1)=-=0=-1T ij ij A a A A A A A A A =−⇒⇒或。
