四年级奥数高斯求和问题

高斯求和德国着名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。

高斯为什么算得又快又准呢原来小高斯通过细心观察发现：1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。

1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。

于是，小高斯把这道题巧算为（1+100）×100÷2＝5050。

小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。

若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。

后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。

例如：（1）1，2，3，4，5， (100)（2）1，3，5，7，9，...，99；（3）8，15，22，29，36， (71)其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。

由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：和=（首项+末项）×项数÷2。

]例1 1＋2＋3＋ (1999)分析与解：这串加数1，2，3，…，1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个数。

由等差数列求和公式可得原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。

注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。

例2 11＋12＋13＋ (31)分析与解：这串加数11，12，13，…，31是等差数列，首项是11，末项是31，共有31-11＋1＝21（项）。

原式=（11+31）×21÷2=441。

在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时就需要先求出项数。

四年级数学高斯乞降解说德国出名数学家高斯幼年代明人，上学，有一天老出了一道同学算：1＋2＋3＋ 4＋⋯＋ 99＋100＝？老出完后，全班同学都在埋算，小高斯却很快算出答案等于5050。

高斯什么算得又快又准呢？原来小高斯通心察：1＋100＝2＋99＝ 3＋ 98＝⋯＝ 49＋ 52＝50＋ 51。

1～100 正好可以分成的 50 数，每数的和都相等。

于是，小高斯把道巧算（1+100）× 100÷ 2＝ 5050。

小高斯使用的种乞降方法，真是明极了，快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的乞降。

若干个数排成一列称数列，数列中的每一个数称一，其中第一称首，最后一称末。

后与前之差都相等的数列称等差数列，后与前之差称公差。

比方：（1）1，2，3，4，5，⋯， 100；（2）1，3，5，7，9，⋯， 99；（3）8，15， 22，29，36，⋯， 71。

其中（ 1）是首 1，末 100，公差 1 的等差数列；（ 2）是首 1，末 99，公差 2 的等差数列；（ 3）是首 8，末71，公差 7 的等差数列。

由高斯的巧算方法，获取等差数列的乞降公式：和=（首 +末）× 数÷ 2。

例 1 1＋2＋3＋⋯＋ 1999＝？解析与解：串加数 1，2，3，⋯， 1999 是等差数列，首是1，末是1999，共有 1999 个数。

由等差数列乞降公式可得原式 =（1＋1999）× 1999÷ 2＝ 1999000。

注意：利用等差数列乞降公式从前，必然要判断目中的各个加数可否构成等差数列。

例 2 11＋ 12＋13＋⋯＋ 31＝？解析与解：串加数 11，12，13，⋯， 31 是等差数列，首是11，末是 31，共有 31-11 ＋1＝21（）。

原式 =（11+31）× 21÷2=441。

在利用等差数列乞降公式，有数其实不是如数家珍的，就需要先求出数。

依照首、末、公差的关系，可以获取数 =（末 - 首）÷公差 +1，末 =首 +公差×（数 -1 ）。

第3讲高斯求和德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。

高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。

1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。

于是，小高斯把这道题巧算为（1+100）×100÷2＝5050。

小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。

若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。

后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。

例如：（1）1，2，3，4，5， (100)（2）1，3，5，7，9，...，99；（3）8，15，22，29，36， (71)其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。

由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：和=（首项+末项）×项数÷2。

例1 1＋2＋3＋…＋1999＝？分析与解：这串加数1，2，3，…，1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个数。

由等差数列求和公式可得原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。

注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。

例2 11＋12＋13＋…＋31＝？分析与解：这串加数11，12，13，…，31是等差数列，首项是11，末项是31，共有31-11＋1＝21（项）。

原式=（11+31）×21÷2=441。

在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时就需要先求出项数。

奥数思维训练·第二讲姓名：
《高斯求和》
一、高斯求和——等差数列
【例1】1+2+3+4+5+……98+99+100 首项，末项，公差，项数。

=
=
=
我发现：和=
☞我会做：
（1）1＋2＋3＋……＋19＋20首项，末项，公差，项数。

⑵1＋2＋3＋4＋5 ＋…＋49＋50首项，末项，公差，项数。

（3）1＋3＋5＋7＋…＋97＋99
（4）2+4+6+8+……+98+100
我会自己出题：（）
二、先求项数，再求他们的和。

【例2】5＋8＋11＋14＋…＋29＋32 一共有（）项。

首项，末项，公差，项数。

5＋8＋11＋14＋…＋29＋32
=
=
=
我发现：项数=
☞做一做2 先求项数，再计算他们的和。

⑴计算3＋7＋11 ＋…＋43＋47的和
（2）计算5＋10＋15 ＋…＋90＋95＋100的和
（3）计算5+10+15+20+……80的和
我会自己出题：（）
三、温故知新
1.美羊羊学做蛋糕，第一天做了5个蛋糕，以后每天都比前一天多做2个，最后一天做了25个蛋糕，美羊羊这些天中一共做了多少个蛋糕？
2.有一列数按如下规律排列：5、9、13、17……这列数中前24个数的和是多少？
3. （5+6+7+8+……+30+31）×2。

第3讲高斯求和德国着名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。

高斯为什么算得又快又准呢原来小高斯通过细心观察发现：1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。

1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。

于是，小高斯把这道题巧算为（1+100）×100÷2＝5050。

小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。

若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。

后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。

例如：（1）1，2，3，4，5， (100)（2）1，3，5，7，9，...，99；（3）8，15，22，29，36， (71)其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。

由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：和=（首项+末项）×项数÷2。

项数=（末项-首项）÷公差+1。

末项=首项+公差×（项数-1）。

对于任意一个项数为奇数的等差数列来说，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项和末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数。

即为中项定理【例题讲解及思维拓展训练】例1 1＋2＋3＋ (1999)分析与解：这串加数1，2，3，…，1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个数。

由等差数列求和公式可得原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。

注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。

高斯求和德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。

高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。

1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。

于是，小高斯把这道题巧算为（1+100）×100÷2＝5050。

小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。

若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。

后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。

例如：（1）1，2，3，4，5， (100)（2）1，3，5，7，9，...，99；（3）8，15，22，29，36， (71)其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。

由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：和=（首项+末项）×项数÷2。

]例1 1＋2＋3＋…＋1999＝？分析与解：这串加数1，2，3，…，1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个数。

由等差数列求和公式可得原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。

注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。

例2 11＋12＋13＋…＋31＝？分析与解：这串加数11，12，13，…，31是等差数列，首项是11，末项是31，共有31-11＋1＝21（项）。

原式=（11+31）×21÷2=441。

在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时就需要先求出项数。

高斯求和德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。

高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。

1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。

于是，小高斯把这道题巧算为（1+100）×100÷2＝5050。

小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。

若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。

后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。

例如：（1）1，2，3，4，5， (100)（2）1，3，5，7，9，...，99；（3）8，15，22，29，36， (71)其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。

由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：和=（首项+末项）×项数÷2。

]例1 1＋2＋3＋…＋1999＝？分析与解：这串加数1，2，3，…，1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个数。

由等差数列求和公式可得原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。

注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。

例2 11＋12＋13＋…＋31＝？分析与解：这串加数11，12，13，…，31是等差数列，首项是11，末项是31，共有31-11＋1＝21（项）。

原式=（11+31）×21÷2=441。

在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时就需要先求出项数。

《小学奥数教程：高斯求和》专项突破（附答案详解）奥校小学数学竞赛教研中心一、单选题1.在关部门要连续审核30个科研课题方案，如果要求每天安排审核的课题个数互不相等且不为零，则审核完这些课题最多需要（）A. 7天B. 8天C. 9天D. 10天2.现在有100个苹果要分给学生，保证每个学生最少分得一个苹果，并且每个学生分得的苹果数都不相同，则最多可以分给（）个同学。

A. 11B. 12C. 13D. 143.小猫咪咪第一天逮了1只老鼠，以后每天逮的老鼠都比前一天多1只，咪咪10天一共逮了（）只老鼠．A. 45B. 50C. 55D. 604.你一定知道“少年高斯”速算的故事吧！那么1+2+3+4+…+999的结果是（）A. 100000B. 499000C. 499500D. 5000005.用100个盒子装杯子，每盒装的个数都不相同，并且盒盒不空，那么至少要用（）杯子．A. 100B. 500C. 1000D. 5050二、判断题6.1+2+3+…+2006的和是奇数．．三、填空题7.小明在计算器上从1开始，按自然数的顺序做连加练习.当他加到某一数时，结果是1991，后来发现中间漏加了一个数，那么，漏加的那个数是________.8.1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15=________²9.一本书，小红第一天读了3页，以后每天都比前一天多读1页，5天后，小红一共读了________页。

10.一堆钢管的最上层有3根，最下层有13根，每相邻两层相差1根，这堆钢管一共有________根。

11.91＋92＋93＋94＋95＝93×________＝________12.1+2+3+4+5+6+7+8+9……+99=________。

13.学校有一只大钟，一时敲1下，2时敲2下……12时敲12下．你知道它一昼夜一共敲________下14.填上合适的数981+982+983+984+985+986+987=984×________=________15.雅雅家住平安街，礼礼向她打听：“雅雅，你家门牌是几号？”“我住的那条街的各家门牌号从1开始，除我家外，其余各家门牌号加起来恰好等于10000．”雅雅回答说．那么雅雅家住________ 号．16.1+3+5+7+…+97+99=________ =________ 2．17.1+2+3+4+5+6+7+…+99=________．18.计算：9+17+25+…+177=________．19.100以内的偶数和是________ ．20.已知2+4+6+8+…+100=2550，那么1+3+5+7+9+…+101=________．21.1﹣64的自然数中去掉其中两个数，剩下62个数的和是2012，去掉的那两个数共有________ 种可能．22.有40块糖，把它分成4份，且后一份比前一份依次多2块，那么最少一份有________ 块．23.9个连续自然数的和是2007，其中最小的自然数是________ ．24.1+2+3+4+5…+2007+2008的和是________ （奇数或偶数）．25.已知：则：1+2+3+…+99+100+99+98+…+3+2+1=________．26.自然数1、2、3…14、15的和是120，这15个自然数的平均数是________ ．27.把自然数1，2，3，…99分成三组，如果每一组的平均数恰好都相等，那么这三个平均数的乘积是________ ．28.1+3+5+…+99=________．29.用100个盒子装杯子，每个盒子装的个数都不相同，并且盒子不空，那么至少有________ 个杯子．30.一本书的页码是连续的自然数，1，2，3，…，当将这些页码加起来的时候，某个页码被加了两次，得到不正确的结果1997，则这个被加了两次的页码是________ ．31.27个连续自然数的和是1998，其中最小的自然数是________ ．四、计算题32.33.想一想，算一算。