小学四年级奥数讲解：巧妙求和

四年级奥数专题巧妙求和【一】求1~20这20个连续自然数的所有数字之和。

练习1、求1~50这50个连续自然数的所有数字之和。

2、求3~19连续自然数的全部数字之和。

【二】一把钥匙只能开一把锁。

现在有4把钥匙和4把锁,但不知道哪把钥匙开哪把锁,最多要试多少次就能配好全部的钥匙和锁？练习1、现在有8对钥匙和锁混在一起,不知道哪把钥匙配哪把锁,最多要试多少次就可以把它们全部配成对？2、有9颗钢珠,其中8颗一样重,另有一颗比这8颗略轻,用一架天平最多称多少次,就可以找到那颗较轻的钢珠？【三】思雨读一本长篇小说,他第一天读20页,从第二天起,他每天读的页数都比前一天多2页,第11天读了40页,正好读完,这本书共有多少页？练习1、王师傅做一批零件,第一天做了40个,以后每天都比前一天多做3个,第15天做了82个,正好做完,这批零件共有多少个？2、张琳读一本故事书,她第一天读了15页,从第二天起,每天读的页数都比前一天多5页。

最后一天读了40页恰好读完,这本书共有多少页？【四】45把锁的钥匙都搞乱了,为了使每把锁都配上自己的钥匙,至多要试多少次？练习1、有60把锁的钥匙搞乱了,为了使每把锁都配上自己的钥匙,至多要试多少次？2、有一些锁的钥匙搞乱了,已知至多要试45次,就能使每把锁都配上自己的钥匙,问一共有几把锁的钥匙搞乱了？【五】某班有30个同学,每两个同学互通一次电话,那么他们一共通了多少次电话？练习1、竹苑小学进行象棋比赛,每个参赛选手都要和其他所有的选手各赛一场,如果有15人参加比赛,问一共要进行多少场比赛？2、一次生日party中,参加的有20位同学和3位老师,每两人之间握一次手。

那么一共握了几次手？【六】求1~99中连续自然数的所有数字之和。

练习1、求1~199的199个连续自然数的所有数字之和。

2、求1~999的999个连续自然数的所有数字之和。

3、求1~210连续自然数的全部数字之和。

4、求1~299连续自然数的全部数字之和。

五年级思维提升今天的成绩是以往勤奋的表现，而一生的成绩还依靠毕生的勤奋。

坚持就是胜利，毅力对最后的成功有决定意义。

巧妙求和一、某些问题可以转化为若干个数的和。

在解决这些问题时，同样要先判断是否是求等差数列的和。

如果是等差数列求和，才可用等差数列公式求和。

在解决自然数的数字问题时，应根据题目的具体特点，有时可考虑将题中的数适当分组，并将每组中的数合理配对，使问题得以顺利解决。

二、经典例题解析例1 刘俊读一本长篇小说，他第一天读30页，第二天起他每天读的页数都比前一天多3页，第11天读60页，正好读完。

这本书共有多少页？解：答：想一想：如果把“第11天读60页，正好读完”，改成最后一天读60页，正好读完。

该怎样解答？解：习题：丽丽学英语单词，第一天学会了6个，以后每天多学会1个，最后一天学会了16个。

丽丽在这些天中学会了多少个单词？解：答：例2 把30把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至少要试多少次？解：答：习题：有一些锁的钥匙搞乱了，已知至多要试28次，都能使每把锁都配上自己的钥匙，问一共有几把锁的钥匙搞乱了？解：答：例3 实验小学304个小朋友围成若干个圈（一圈套一圈）做游戏。

已知内圈24人，最外圈52人。

如果相邻两圈相差的人数相等，那么相邻两圈相差多少人？解：（1）（2）答：习题：小明练习写毛笔字。

第一天写4个大字，以后每天比前一天多写相同数量的大字，最后一天写34个，共写589个大字。

小明每天比前一天多写几个大字？解：（1）（2）答：课后跟踪习题一、填空：1、若干个数排成一列，称为。

数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为，最后一项称为。

数列中的数的个数称为。

2、从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为。

后项与前项的差称为。

3、学习等差数列求和三个常用的公式。

1）求等差数列的和=2）项数=3）末项=二、解答题1、等差数列中，首项=1，末项=39，公差=2。

求这个等差数列有多少项？解：答：2、有一个等差数列2、5、8、11......101,这个等差数列共有多少项？解：答：3、有这样的一个数列1、2、3、4，......99、100，请你求出这个数列各项相加的和。

巧妙求和
基本概念
1 数列：若干个数排成一列，称为数列
2 项：数列中的每一个数
首项：数列中的第一项
末项：数列中的最后一项
项数：数列中项的个数
3 等差数列：从第二项开始，后项与前项之差都相等的数列
公差：后项与前项的差
4 等差数列求和
通项公式：第n项=首项+（项数-1）×公差
项数公式：项数=（末项-首项）÷公差+1
求和公式：总和=（首项+末项）×项数÷2
例1：数列4,10,16,22…52共有多少项？
例2：等差数列9,12,15,18…，2004，这个数列共有多少项？
例3：等差数列1000,993,986,979，…20，这个数列共有多少项？
例4：已知等差数列3,7,11,15，…，则该等差数列第100项是多少？
例5：求等差数列1,6,11,16，…的第61项。

例6：求等差数列307,304,301,298，…第99项。

例7：有这样一列数：1,2,3,4，…98,99,100.请求出这列数各项相加之和。

例8：求等差数列2,4,6,…48,50的和。

例9：用简便方法计算（100+102+104+...+200）-（1+5+9+13+ (97)
作业：
1.3+5+7+9+…+63
2.100+110+120+…+350
3.160+154+148+…+16
4.2+3-4+5+6-7+8+9-10+11+12-13+…+101+102-103。

四年级奥数专题巧妙求和（一）专题简析：若干个数排成一列称为数列。

数列中的每一个数称为一项。

其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。

从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。

这一周学习“等差数列求和”。

需要记住三个非常重要的公式：“通项公式”、“项数公式”、“求和公式”。

通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1求和公式：总和=（首项+末项）×项数÷2例1：有一个数列：4，10，16，22，…，52，这个数列共有多少项？分析与解答：容易看出这是一个等差数列，公差为6，首项是4，末项是52，要求项数，可直接带入项数公式进行计算。

项数=（52－4）÷6＋1=9，即这个数列共有9项。

练习一1，等差数列中，首项=1，末项=39，公差=2，这个等差数列共有多少项？2，有一个等差数列：2，5，8，11，…，101，这个等差数列共有多少项？3，已知等差数列11，16，21，26，…，1001，这个等差数列共有多少项？例2：有一等差数列：3，7，11，15，……，这个等差数列的第100项是多少？分析与解答：这个等差数列的首项是3，公差是4，项数是100。

要求第100项，可根据“末项=首项+公差×（项数－1）”进行计算。

第100项=3+4×（100－1）=399练习二1，一等差数列，首项=3，公差=2，项数=10，它的末项是多少？2，求1，4，7，10……这个等差数列的第30项。

3，求等差数列2，6，10，14……的第100项。

例3：有这样一个数列：1，2，3，4，…，99，100。

请求出这个数列所有项的和。

分析与解答：如果我们把1，2，3，4，…，99，100与列100，99，…，3，2，1相加，则得到（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（99+2）+（100+1），其中每个小括号内的两个数的和都是101，一共有100个101相加，所得的和就是所求数列的和的2倍，再除以2，就是所求数列的和。

第13讲巧妙求和（一）
一、知识要点
若干个数排成一列称为数列。

数列中的每一个数称为一项。

其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。

从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。

在这一章要用到两个非常重要的公式：“通项公式”和“项数公式”。

通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差
项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1
二、练习
练习1：
1.等差数列中，首项1.末项39，公差
2.这个等差数列共有多少项？
2.有一个等差数列：2.5，8，11.…，101.这个等差数列共有多少项？
3.已知等差数列11.16，21.26，…，1001.这个等差数列共有多少项？
练习2：
1.求1.4，7，10……这个等差数列的第30项。

2.求等差数列2.6，10，14……的第100项。

练习3：
计算下面各题。

（1）1+2+3+…+49+50
（2）6+7+8+…+74+75
（3）100+99+98+…+61+60
练习4：
计算下面各题。

（1）2+6+10+14+18+22
（2）5+10+15+20+…+195+200
（3）9+18+27+36+…+261+270。

（四年级）备课教员：* * *第八讲巧妙求和一、教学目标：知识目标1.认识等差数列及各个相关名称。

2.利用规律来简便求出等差数列的项数。

能力目标根据实际情况会判断所求的总和是否是求等差数列的总和。

情感目标善于发现善思考，提高计算能力。

培养良好的审题习惯和思维习惯。

二、教学重点：利用规律来简便求出等差数列的项数。

三、教学难点：理解等差数列的意义，知道等差数列中各部分的名称，掌握求尾项和项数的公式。

四、教学准备：PPT五、教学过程：第一课时（50分钟）一、导入（5分)【设计意图：故事引入，提高学生学习兴趣。

】师：今年上课前，老师要给大家讲一个数学家高斯的故事。

高斯7岁那年开始上学。

10岁的时候，他进入了学习数学的班级，这是一个首次创办的班，孩子们在这之前都没有听说过算术这么一门课程。

数学教师是布特纳，他对高斯的成长也起了一定作用。

一天，老师布置了一道题，1+2+3……这样从1一直加到100等于多少。

高斯很快就算出了答案，起初高斯的老师布特纳并不相信高斯算出了正确答案："你一定是算错了，回去再算算。

”高斯说出答案就是5050，高斯是这样算的1+100=101，2+99=101……1加到100有50组这样的数，所以50×101=5050。

布特纳对他刮目相看。

他特意从汉堡买了最好的算术书送给高斯，说：“你已经超过了我，我没有什么东西可以教你了。

”接着，高斯与布特纳的助手巴特尔斯建立了真诚的友谊，直到巴特尔斯逝世。

他们一起学习，互相帮助，高斯由此开始了真正的数学研究。

师：听了故事后，你有什么感想？生：学生回答。

师：高斯是利用什么方法去求1至100这100个数的和？生：分组的方法。

师：是的，就是把头尾两两分组。

为什么要这样分组呢？生：因为这样分组后，每组的和都是一样的。

师：这位同学讲的太棒了！是的，这样分组，刚好每组的两个数的和是一样的。

这也是我们在计算中一种重要的方法，也就是分组法。

接下来我们就要用这种方法去解答我们数学问题。

8讲巧妙求和（一）第一、知识要点．若干个数排成一列称为数列。

数列中的每一个数称为一项。

其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。

从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。

在这一章要用到两个非常重要的公式：“通项公式”和“项数公式”。

通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1二、精讲精练【例题1】有一个数列：4，10，16，22.…，52.这个数列共有多少项【思路导航】容易看出这是一个等差数列，公差为6，首项是4，末项是52.要求项数，可直接带入项数公式进行计算。

项数=（52－4）÷6＋1=9，即这个数列共有9项。

练习1：1.等差数列中，首项=1.末项=39，公差=2.这个等差数列共有多少项2.有一个等差数列：，8，11.…，101.这个等差数列共有多少项3.已知等差数列，，…，1001.这个等差数列共有多少项【例题2】有一等差数列：，，……，这个等差数列的第100项是多少【思路导航】这个等差数列的首项是3.公差是4，项数是100。

要求第100）”进行计算。

1公差×（项数－+首项=项，可根据“末项．第100项=3+4×（100－1）=399.练习2：1.一等差数列，首项=3.公差=2.项数=10，它的末项是多少2.求，7，10……这个等差数列的第30项。

3.求等差数列，10，14……的第100项。

【例题3】有这样一个数列：，…，99，100。

请求出这个数列所有项的和。

【思路导航】如果我们把，…，99，100与列100，99，…，相加，则得到（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（99+2）+（100+1），其中每个小括号内的两个数的和都是101.一共有100个101相加，所得的和就是所求数列的和的2倍，再除以2.就是所求数列的和。

1+2+3+…+99+100=（1+100）×100÷2=5050上面的数列是一个等差数列，经研究发现，所有的等差数列都可以用下面的公式求和：等差数列总和=（首项+末项）×项数÷2这个公式也叫做等差数列求和公式。

巧妙求和教学目标：①知识与技能目标:使学生理解首项，末项以及项数的概念，掌握数列求和的公式②过程与方法目标:使学生能利用数列求和公式解决实际问题③情感态度与价值观目标:让学生体验到生活中处处是数学，体验数学的应用价值和数学学习的乐趣教学重点：数列求和公式及其适用条件教学难点：数列求和公式的推导过程[知识引领与方法]通项公式：第n项=首项+（项数-1）X公差项数公式：项数=（末项-首项）÷公差+1求和公式：总和=（首项+末项）X项数÷2巧妙求和(一)[例题精选及训练]【例1】等差数列4，10，16，22，…,52共有多少项？练习：1.等差数列中，首项=7，末项=119，公差=4。

这个等差数列共有多少项？2.等差数列2，5，8，11，…,101共有多少项？3.已知一个等差数列的首项是5，末项是117，总和是976，这个数列共有多少项？【例2】已知等差数列3，7，11，15，…，则该等差数列的第100项是多少？练习：1.一个等差数列的首项=3，公差=2，项数=10，则它的末项是多少？2.已知等差数列1，4，7，10，…，则该等差数列的第30项是多少？3.已知等差数列2，6，10，14，…，则该等差数列的第100项是多少？【例3】有这样的一个数列1，2，3，4，…，99，100，请你求出这列数各项相加的和。

练习：计算下面各题。

（1）1+2+3+4+…+49+50（2）6+7+8+9+…+75（3）100+99+98+…+61+60【例4】求等差数列2，4，6,…，48，50的和练习：计算下面各题。

（1）2+6+10+14+18+22（2）5+10+15+20+…+195+200（3）99+96+93+…+21+18【例5】如果一个等差数列的第4项为21，第6项为33，那么它的第8项是多少？练习：1.如果一个等差数列的第5项是19，第8项是61，那么它的第11项是多少？2.如果一个等差数列的第3项是10，第7项是26，那么它的第12项是多少？3.如果一个等差数列的第2项是10，第6项是18，那么它的第110项是多少？[课堂练习]1.有一个等差数列：9、12、15、18、...、2004，这个数列共有多少项？2.已知等差数列：1000、993、986、979、...、20，这个数列共有多少项？3.求等差数列：1、6、11、16、...的第61项。

小学四年级奥数题：巧妙求和一、知识要点某些问题，可以转化为求若干个数的和，在解决这些问题时，同样要先判断是否求某个等差数列的和。

如果是等差数列求和，才可用等差数列求和公式。

在解决自然数的数字问题时，应根据题目的具体特点，有时可考虑将题中的数适当分组，并将每组中的数合理配对，使问题得以顺利解决。

二、精讲精练【例题1】刘俊读一本长篇小说，他第一天读30页，从第二天起，他每天读的页数都前一天多3页，第11天读了60页，正好读完。

这本书共有多少页？【思路导航】根据条件“他每天读的页数都比前一天多3页”可以知道他每天读的页数是按一定规律排列的数，即30、33、36、……57、60。

要求这本书共多少页也就是求出这列数的和。

这列数是一个等差数列，首项=30，末项=60，项数=11.因此可以很快得解：（30＋60）×11÷2=495（页）想一想：如果把“第11天”改为“最后一天”该怎样解答？练习1：1.刘师傅做一批零件，第一天做了30个，以的每天都比前一天多做2个，第15天做了48个，正好做完。

这批零件共有多少个？2.胡茜读一本故事书，她第一天读了20页，从第二天起，每天读的页数都比前一天多5页。

最后一天读了50页恰好读完，这本书共有多少页？3.丽丽学英语单词，第一天学会了6个，以后每天都比前一天多学1个，最后一天学会了16个。

丽丽在这些天中学会了多少个英语单词？【例题2】30把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试几次？【思路导航】开第一把锁时，如果不凑巧，试了29把钥匙还不行，那所剩的一把就一定能把它打开，即开第一把锁至多需要试29次；同理，开第二把锁至多需试28次，开第三把锁至多需试27次……等打开第29把锁，剩下的最后一把不用试，一定能打开。

所以，至多需试 29＋28＋27＋…＋2＋1=（29＋1）×29÷2=435（次）。

练习2：1.有80把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试多少次？2.有一些锁的钥匙搞乱了，已知至多要试28次，就能使每把锁都配上自己的钥匙。

【小学四年级奥数讲义】巧妙求和（一）一、知要点若干个数排成一列称数列。

数列中的每一个数称一。

其中第一称首，最后一称末，数列中的个数称数。

从第二开始，后与其相的前之差都相等的数列称等差数列，后与前的差称公差。

在一章要用到两个非常重要的公式：“通公式”和“ 数公式”。

通公式：第n =首 +（数－ 1）×公差数公式：数 =（末－首）÷公差＋ 1 等差数列和 =（首 +末）× 数÷ 2 个公式也叫做等差数列求和公式。

二、精精【例 1】有一个数列：4，10，16，22.⋯，52.个数列共有多少？1：1、等差数列中，首 =1，末 =39，公差 =2. 个等差数列共有多少？2、有一个等差数列： 2.5 ，8，11. ⋯， 101. 个等差数列共有多少？【例 2】有一等差数列： 3.7 ，11.15 ，⋯⋯，个等差数列的第100 是多少？2：1、一等差数列，首 =3. 公差 =2. 数 =10，它的末是多少？2、求 1，4，7，10⋯⋯个等差数列的第30 。

【例 3】有一个数列： 1.2.3.4 ，⋯，99，100。

求出个数列所有的和。

3：算下面各。

（1）1+2+3+⋯+49+50（2）6+7+8+⋯+74+75【例 4】求等差数列 2，4，6，⋯， 48， 50 的和。

4：算下面各。

（1）2+6+10+14+18+22（2）5+10+15+20+⋯+195+200【例 5】算（ 2+4+6+⋯+100）－（ 1+3+5+⋯+99）5：用便方法算下面各。

（1）（ 2001+1999+1997+1995）－（ 2000+1998+1996+1994）（2）（ 2+4+6+⋯+2000）－（ 1+3+5+⋯+1999）三、后作1、已知等差数列11，16，21，26，⋯， 1001. 个等差数列共有多少？2、求等差数列 2，6，10，14⋯⋯的第 100 。

3、100+99+98+⋯+61+604、（ 1+3+5+⋯+1999）－（ 2+4+6+⋯+1998）5、100+95+90+⋯+15+10+56、4+7+10+13+⋯+298+301+298+⋯+13+10+7+47、 2013-2012+2011-2010+ ⋯+3-2+18、影院有座位若干排，第一排有25 个座位，以后每一排比前一排多 3 个座位，最后一排有94 个座位。

巧妙求和教学目标：①知识与技能目标:使学生理解首项，末项以及项数的概念，掌握数列求和的公式②过程与方法目标:使学生能利用数列求和公式解决实际问题；通过对求和公式的推导，培养学生的观察能力和探究能力③情感态度与价值观目标:通过让学生体验探究发现的乐趣，培养学生的探索精神教学重点：数列求和公式及其适用条件教学难点：数列求和公式的推导过程[知识引领与方法]通项公式：第n项=首项+（项数-1）X公差项数公式：项数=（末项-首项）÷公差+1求和公式：总和=（首项+末项）X项数÷2在解决自然数的数字问题时，应根据题目的具体特点，有时可考虑将题中的数字适当分组，并将每组中的数字合理配对，使问题得以顺利解决。

巧妙求和(二)[例题精选及训练]【例1】刘俊读一本长篇小说，他第一天读30页，从第二天起，他每天读的页数都比前一天多3页，第十一天读了60页，正好读完。

这本书共有多少页？练习：1.刘师傅做一批零件，第一天做了20个，以后每天都比前一天多做2个，第15天做了48个正好做完。

这批零件共有多少个？2.胡茜读一本故事书，她第一天读了20页，从第二天起，每天读的页数都比前一天多5页，最后一天读了50页恰好读完。

这本书共有多少页？3.丽丽学英语单词，第一天学会了6个，以后每一天都比前一天多学1个，最后一天学会了16个。

丽丽在这些天中学会了多少个单词？【例2】30把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，最多要试多少次？练习：1.有80把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，最多要试多少次？2.平面上有10个点，没有3个点在同一直线上。

过这些点最多可以画出多少条直线？3.有10个盒子，44个羽毛球。

能不能把44个羽毛球放到盒子中去，使各个盒子里的羽毛球不相等？【例3】某班有51个同学，毕业时每人都和其他所有人握一次手，那么共握了多少次手？练习：1.学校进行乒乓球比赛,每个参赛选手都要和其他所有选手各赛一场，如果有21人参加比赛,问一共要进行多少场比赛?2.一次同学聚会中，参加聚会的有43位同学和4位老师,每一位同学或老师都要和其他人握一次手。

第十一讲一 . 阔步课堂例1: 正方形的边长增加3厘米,面积增加51平方厘米.求原来正方形的面积.简析:本题体现数形结合思想.先画出符合题意的图形,再进行合理分割,就能求出边长,继而求出面积.A,B,C为增加部分,其中A,B大小相等.C是边长为3厘米的正方形.① C的面积是多少? 3×3= 9（平方厘米）② A和B的面积是多少? 51-9=42（平方厘米）③A或B的面积:42÷2=21（平方厘米）④原正方形边长: 21÷3=7（平方厘米）⑤原正方形面积: 7×7=49（平方厘米）答:原来正方形的面积是49平方厘米.配套练习:正方形的边长增加2厘米,面积增加36平方厘米.求原来正方形的面积.例2:A÷B=6……10,若A与B都扩大2倍,则商与余数各是多少?简析:本题属于“商不变性质”的应用.注意,商虽不变,但余数却跟着变.商是6,余数是 10×2=20配套练习:A÷B=20……10,若A和B都缩小2倍,商和余数各是多少?二.巧妙求和例1:王蕾读一本长篇小说,她第一天读30页,从第二天起,她每天读的页数都比前一天多3页,第11天读了60页,正好读完.这本书有多少页?简析:本题属于等差数列求和.基本公式为:和=（首项+尾项）×项数÷2 项数=（尾项-首项）÷公差+1（30+60）×11÷2=495（页）答:这本书有495页.配套练习:马师傅做一批零件,第一天做了20个,以后每天都比前一天多做2个,最后一天做了42个.这批零件有多少个?例2:30把锁的钥匙搞乱了,为了使每把锁都配上自己的钥匙,最多要试多少次?简析:本题属于组合问题.第一把锁要打开,要试30-1=29（次）,第二把要试29-1=28（次）,……余此类推. 29+28+27+…+2+1=（29+1）×29÷2=435（次）答:至少要试435次.配套练习:有一些锁的钥匙搞乱了,已知最多要试28次,就能使每把锁都配上自己的钥匙.问:一共有几把锁的钥匙搞乱了?例3: 求1～99这99个连续自然数的所有数字的和.简析:本题求的是数字之和,不是数的和.为了凑整对数,把0加入,这100个数头尾配对后每两个数字之和都相等,都是9+9=18,共有100÷2=50（对）.（9+9）×（100÷2）=900.配套练习:求1～199的199个连续自然数的所有数字之和.例4:求1+3+5+7+9+…+21的和.简析:本题属于“等差数列求和”的应用.难度较小.重在推陈出新,用“中间数×项数”求和.1+3+5+7+……+21=（21+1）×11÷2=121或者:11×11=121配套练习:求1+4+7+11+……+31的和.。

温馨提醒：亲爱的学子们，在浩瀚的知识海洋里航行，自信是船，勤奋是帆，毅力是风，你们是舵手，而我是水手，只要我们师生齐心协力，不畏艰险，就能到达胜利的彼岸。

专题讲解【巧妙求和（一）】一、【知识要点】若干个数排成一列称为数列。

数列中的每一个数称为一项。

其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。

从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。

在这一章要用到两个非常重要的公式：“通项公式”和“项数公式”。

通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1二、【典型例题讲解】【例题1】有一个数列：4，10，16，22.…，52.这个数列共有多少项？【思路导航】容易看出这是一个等差数列，公差为6，首项是4，末项是52.要求项数，可直接带入项数公式进行计算。

练习1：1.等差数列中，首项=1.末项=39，公差=2.这个等差数列共有多少项？项数=（52－4）÷6＋1=9，即这个数列共有9项。

2.有一个等差数列：2.5，8，11.…，101.这个等差数列共有多少项？3.已知等差数列11.16，21.26，…，1001.这个等差数列共有多少项？【例题2】有一等差数列：3.7，11.15，……，这个等差数列的第100项是多少？【思路导航】这个等差数列的首项是3.公差是4，项数是100。

要求第100项，可根据“末项=首项+公差×（项数－1）”进行计算。

第100项=3+4×（100－1）=399.练习2：1.一等差数列，首项=3.公差=2.项数=10，它的末项是多少？2.求1.4，7，10……这个等差数列的第30项。

3.求等差数列2.6，10，14……的第100项。

【例题3】有这样一个数列：1.2.3.4，…，99，100。

请求出这个数列所有项的和。

【思路导航】如果我们把1.2.3.4，…，99，100与列100，99，…，3.2.1相加，则得到（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（99+2）+（100+1），其中每个小括号内的两个数的和都是101.一共有100个101相加，所得的和就是所求数列的和的2倍，再除以2.就是所求数列的和。

第16周巧妙求和（二）专题简析：某些问题可以转化为求若干个数的和，在解决这些问题时，同样要先判断是否是求某个等差数列的和。

如果是等差数列求和，才可用等差数列公式求和。

在解决自然数的数字问题时，应根据题目的具体特点，有时可考虑将题中的数字适当分组，并将每组中的数字合理配对，使问题得以顺利解决。

例1:刘俊读一本长篇小说，他第一天读30页，从第二天起，他每天读的页数都比前一天多3页，第11天读了60页，正好读完。

这本书共有多少页？练习：1.刘师傅做一批零件，第一天做了20个，以后每天都比前一天多做2个，第15天做了48个，正好做完。

这批零件共有多少个？2.胡茜读一本故事书，她第一天读了20页，从第二天起，每天读的页数都比前一天多5页，最后一天读了50页恰好读完。

这本书共有多少页？3.丽丽学英语单词，第一天学会了6个，以后每天都比前一天多学一个，最后一天学会了16个。

丽丽在这些天中学会了多少个单词？例2:有30把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，最多要试多少次？练习：1.有80把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，最多要试多少次？2.平面上有10个点，没有3个点在同一直线上。

过这些点最多可以画出多少条直线？3.有10只盒子、44只羽毛球。

能不能把44只羽毛球放到盒子中去，使各个盒子里的羽毛球不相等？例3:某班有51个同学，毕业时每人都和其他所有人握一次手，那么共握了多少次手？练习：1.学校进行乒乓球比赛，每个参赛选手都要和其他所有选手各赛一场，如果有21人参加比赛，问一共要进行多少场比赛？2.一次同学聚会中，参加聚会的有43位同学和4位老师，每一位同学或老师都要和其他人握一次手。

那么一共握了多少次手？3.假期里有一些同学相约每两人互通一次电话，他们一共打了78次电话，问有多少同学相约互通了电话？例4:求1～99共99个连续自然数数位上的所有数字之和。

练习：1.求1～199共199个连续自然数位上的所有数字之和。