2018年高考数学二轮复习高考22题12+4分项练7数列文

12＋4分项练7 数 列1．(2017届辽宁省锦州市质检)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，其中a 1＋a 5＝12S 5，且a 11＝20，则S 13等于( ) A ．130 B ．60 C ．160 D ．26答案 A解析 ∵2a 1＋4d ＝12(5a 1＋10d )，a 1＋10d ＝20，∴a 1＝－5，d ＝52.因此S 13＝13a 1＋78d ＝13×(－5)＋78×52＝130，故选A.2．(2017·湖南省衡阳市联考)已知数列{a n }为等比数列，且a 3＝－4，a 7＝－16，则a 5等于( ) A ．8 B ．－8 C ．64 D ．－64 答案 B解析 由等比数列的通项公式和性质可得a 7a 3＝q 4，q 4＝4，q 2＝2，所以a 5＝a 3·q 2＝－4×2＝－8.3．(2017届浙江省嘉兴市第一中学适应性考试)已知数列{a n }中的任意一项都为正实数，且对任意m ，n ∈N *，有a m ·a n ＝a m ＋n ，如果a 10＝32，则a 1的值为( ) A ．－2B ．2C. 2 D ．－ 2 答案 C解析 令m ＝1，则a n ＋1a n＝a 1，所以数列{a n }是以a 1为首项，公比为a 1的等比数列，从而a n ＝a n1，因为a 10＝32， 所以a 1＝ 2.4．已知等差数列{a n }中，a 1＝11，a 5＝－1，则{a n }的前n 项和S n 的最大值是( ) A ．15 B ．20 C ．26 D ．30 答案 C解析 d ＝a 5－a 15－1＝－3，所以通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－3n ＋14，当⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1≤0⇒⎩⎪⎨⎪⎧14－3n ≥0，11－3n ≤0，解得113≤n ≤143，即n ＝4，即前4项和最大，S 4＝4×11＋4×32×(－3)＝26，故选C.5．(2017届河北省衡水中学押题卷)数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝a 2n (a n >0)，则a n 等于( ) A ．10n －2B ．10n －1C ．1210n - D ．122n -答案 D解析 因为数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝a 2n (a n >0)，所以log 2a n ＋1＝2log 2a n ⇒log 2a n ＋1log 2a n＝2，所以{log 2a n }是公比为2的等比数列，所以log 2a n ＝log 2a 1·2n －1⇒a n ＝122n -.6．(2017届天津市耀华中学二模)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 21＝42，若记b n ＝2119132a a a --，则数列{b n }( )A ．是等差数列但不是等比数列B ．是等比数列但不是等差数列C ．既是等差数列又是等比数列D ．既不是等差数列又不是等比数列 答案 C解析 S 21＝42＝21(a 1＋a 21)2＝21(a 9＋a 13)2＝21×2a 112， ∴a 9＋a 13＝4，a 11＝2， ∴a 211－a 9－a 13＝0， ∴b n ＝20＝1，∴数列{b n }既是等差数列又是等比数列， 故选C.7．(2017届湖南省株洲市一模)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1,2S n ＝a n ＋1－1，则S n 等于( ) A ．2n －1B ．2n－1C ．3n －1D.12(3n－1) 答案 D解析 因为a 1＝1,2S n ＝a n ＋1－1， 所以2S n －1＝a n －1，n ≥2，两式相减有2S n －2S n －1＝a n ＋1－a n ，n ≥2， 所以a n ＋1＝3a n ，n ≥2，由2S 1＝2＝a 2－1得，a 2＝3，所以a 2＝3a 1， 则数列{a n }是首项为1，公比为3的等比数列， 所以S n ＝1－3n1－3＝12(3n－1)，故选D.8．(2017届山西省太原市三模)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n ＋3) (n ∈N *)在函数y ＝3×2x的图象上，等比数列{b n }满足b n ＋b n ＋1＝a n (n ∈N *)，其前n 项和为T n ，则下列结论正确的是( )A ．S n ＝2T nB ．T n ＝2b n ＋1C ．T n >a nD ．T n <b n ＋1 答案 D解析 由题意可得，S n ＋3＝3×2n，S n ＝3×2n－3，由等比数列前n 项和的特点可得数列{a n }是首项为3，公比为2的等比数列，数列的通项公式a n ＝3×2n －1，设b n ＝b 1q n －1，则b 1qn －1＋b 1q n＝3×2n －1，解得b 1＝1，q ＝2，所以数列{b n }的通项公式b n ＝2n －1，由等比数列求和公式得T n ＝2n －1，考查所给的选项，S n ＝3T n ，T n ＝2b n －1，T n <a n ，T n <b n ＋1，所以A ，B ，C 错误． 故选D.9．(2017届湖南省长沙市一中模拟)朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数一五间”，有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升，共支米四百三石九斗二升，问筑堤几日？”．其大意为：“官府陆续派遣1 864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始，每天派出的人数比前一天多7人，修筑堤坝的每人每天发大米3升，共发出大米40 392升，问修筑堤坝多少天”．在这个问题中，前5天应发大米( ) A ．894升 B ．1 170升C ．1 275升D ．1 457升答案 B解析 ∵第一天派出64人，从第二天开始，每天派出的人数比前一天多7人， ∴第5天派出64＋4×7＝92(人)， ∴前5天共派出S 5＝52(64＋92)＝390(人)，∴前5天应发大米390×3＝1 170(升)，故选B.10．(2017·湖北省襄阳四中适应性考试)若数列{a n }，{b n }的通项公式分别为a n ＝(－1)n ＋2016·a ，b n ＝2＋(－1)n ＋2 017n，且a n <b n 对任意n ∈N *恒成立，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12 B ．[－1,1) C ．[－2,1) D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，32答案 D解析 a n <b n ，可得(－1)n ＋2 016·a <2＋(－1)n ＋2 017n，若n 是偶数，不等式等价于a <2－1n恒成立，可得a <2－12＝32，若n 是奇数，不等式等价于－a <2＋1n ，即－a ≤2，a ≥－2，所以－2≤a <32，综上可得实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，32，故选D.11．(2017届吉林省吉林大学附属中学模拟)公差不为零的等差数列{a n }的首项为1，且a 2，a 5，a 14依次构成等比数列，则对一切正整数n ，1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1的值为( )A.12B.35 C.49 D.512 答案 C解析 设公差为d ，∵a 2，a 5，a 14构成等比数列， ∴a 25＝a 2·a 14，即(1＋4d )2＝(1＋d )·(1＋13d )， 化简得d 2－2d ＝0， ∵公差不为0，∴公差d ＝2. ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝11×3＋13×5＋…＋1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1<12.据此可排除A ，B 选项；方程12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝512没有正整数解，当n ＝4时，12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝49.故选C.12．(2017·武汉调研)已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝13，若a n (a n －1＋2a n ＋1)＝3a n －1·a n ＋1 (n ≥2，n ∈N *)，则数列{a n }的通项a n 等于( )A.12n －1B.12n－1C.13n －1D.12n －1＋1答案 B解析 ∵a n ·a n －1＋2a n ·a n ＋1＝3a n －1·a n ＋1， ∴1a n ＋1＋2a n －1＝3a n ，1a n ＋1－1a n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n －1， 则1a n ＋1－1a n1a n －1a n －1＝2，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋1－1a n 是首项为2，公比为2的等比数列，1a n ＋1－1a n＝2×2n －1＝2n，利用叠加法， 1a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－1a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 3－1a 2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n －1 ＝1＋2＋22＋…＋2n －1，n ≥2，1a n ＝2n－12－1＝2n －1，n ≥2， 当n ＝1时，1a 1＝1＝21－1，∴1a n＝2n－1，则a n ＝12n－1.故选B. 13．已知等差数列{a n }中，a 1＝1，前10项和等于前5项和，若a m ＋a 6＝0，则m ＝________. 答案 10解析 记数列{a n }的前n 项和为S n ，由题意知S 10＝S 5，所以S 10－S 5＝a 6＋a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝0，又a 6＋a 10＝a 7＋a 9＝2a 8，所以a 8＝0.又a m ＋a 6＝0，所以m ＋6＝2×8，所以m ＝10.14．若数列{a n }是正项数列，且a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2＋n ，则a 11＋a 22＋…＋a nn ＝__________.答案 2n 2＋2n解析 当n ＝1时，a 1＝12＋1＝2，a 1＝4，当n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a n －1＝(n －1)2＋(n －1)，a 1＋a 2＋…＋a n －1＋a n ＝n 2＋n ，两式相减可得a n ＝2n ，a n ＝4n 2，n ≥2，n ＝1时，a 1＝4＝4×12，据此可得a n ＝4n 2，a nn＝4n ， 则a 11＋a 22＋…＋a nn＝2n 2＋2n .15．(2017届四川省南充市三诊)已知数列{a n }满足a n ＋1＝3a n ＋2，若首项a 1＝2，则数列{a n }的前n 项和S n ＝____________. 答案3n ＋1－32－n 解析 a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，所以a n ＋1＋1a n ＋1＝3， 所以数列{a n ＋1}是首项为3，公比为3的等比数列，a n ＋1＝3·3n －1＝3n ，可得a n ＝3n－1，那么数列{a n }的前n 项和分为{3n}的前n 项和3(1－3n)1－3＝3n ＋1－32，数列{1}的前n 项和是n ，所以S n ＝3n ＋1－32－n . 16．对于正整数n ，设x n 是关于x 的方程nx 3＋2x －n ＝0的实数根，记a n ＝[(n ＋1)x n ](n ≥2)，其中[x ]表示不超过实数x 的最大整数，则11 007(a 2＋a 3＋…＋a2 015)＝________.答案 2 017解析 令f (x )＝nx 3＋2x －n ，则f ′(x )＝3nx 2＋2>0，函数f (x )单调递增，且f (0)＝－n <0，f (1)＝2>0，故方程nx 3＋2x －n ＝0存在唯一的实数根x n ∈(0,1)， 且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n n ＋1＝n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n n ＋13＋2×nn ＋1－n＝n(n ＋1)3×(－n 2＋n ＋1)<0，据此可得nn ＋1<x n <1，n <(n ＋1)x n <n ＋1，∴a n ＝[(n ＋1)x n ]＝n ， 结合等差数列求和公式可得， 11 007(a 2＋a 3＋…＋a2 015) ＝11 007×(2＋2 015)×2 0142＝2 017.。