2013-2014学年八年级数学上册_13.4_课题学习_最短路径问题课件_(新版)新人教版

∙B A∙
l C
B′
【探究2】如图，A 和 B 两地在一条河的两岸，现要在河上 造一座桥 MN. 桥造在何处可使从 A 到 B 的路径 AMNB 最 短(假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直)？
如图所示：将河的两岸看成两条平行线 a 和 b，N 为直线 b上的一个动点，MN 垂直于直线 b，交直线 a 于点 M.当 点 N 在什么位置的时候，AM+MN+NB 的值最小？
P 地把河水引向 M、N 两地.下列四种方案中，最节省材料的是( D )
A.
B.
C.
D.
解析：依据垂线段最短，以及两点之间，线段最短， 可得最节省材料的是：
故选：D.
练习 6 如图所示，某条护城河在 CC 处直角转弯，河宽均为 5m，
从 A 处到达 B 处，须经过两座桥（桥宽不计，桥与河垂直），设 护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，如何选址造桥可使从 A 处到 B 处的路程最短？请确定两座桥的位置.
∵在△A′N′B中，A′B<A′N′+BN′，
∴A′N+NB<A′N′+BN′.
A
即A′N+NB+MN<A′N′+BN′+M′N′. A′ ∴AM+NB+MN<AM′+BN′+M′N′.
即AM+NB+MN的值最小.
M′
M
N′ N
B
a b
练习 1 如图所示，军官从军营 C 出发先到河边（河流用 AB 表示）饮马，再 去同侧的 D 地开会，应该怎样走才能使路程最短？你能解决这个著名的“将
A
点C，则点C 即为所求的位置， 可以使得 AC+BC 的值最小.

∴BC=B′C，BC′=B′C′．
∴AC+BC=AC+B′C=AB′．
B′
AC′+BC′=AC′+B′C′
在△AB′C′中，AB′< AC′+B′C′，
∴AC+BC < AC′+B′C′，
即AC+BC最小．
人教版八年级数学上册教学课件 题-学13习.4最短课路题径学问习题 精最品短路 ppt径课问件题22优0 秀ppt 课件
A
l
CC
两点之间，线段最短.
B
当点C在直线 l 的什么位置时，线段AC +BC的和最小？
人教版八年级数学上册教学课件-13.4 课题学习 最短路径问题20
人教版八年级数学上册教学课件 题-学13习.4最短课路题径学问习题 精最品短路 ppt径课问件题22优0 秀ppt 课件
如图，作点B关于直线 l 的对称点B′ . 当点C在直线 l 的什么位置时，AC+CB′的和最小？
你能将这个问题抽象为数学问题吗？
A
人教版八年级数学上册教学课件 题-学13习.4最短课路题径学问习题 精最品短路 ppt径课问件题22优0 秀ppt 课件
B l
人教版八年级数学上册教学课件 题-学13习.4最短课路题径学问习题 精最品短路 ppt径课问件题22优0 秀ppt 课件
（2）两点一线：同侧
角形即可．
人教版八年级数学上册教学课件 题-学13习.4最短课路题径学问习题 精最品短路 ppt径课问件题22优0 秀ppt 课件
课堂小结 人教版八年级数学上册教学课件-13.4 课题学习 最短路径问题20
最 原理
线段公理和垂线段最短
短
路 牧马人饮 径 马问题

且A,B,C三点不在同一条直线上.当△ABC的周长最小时,点C的坐标是 (
A.(0,4)
)
B.(0,3) C.(0,2) D.(0,0)
答案
4.A 如图,作点B关于y轴的对称点B',连接AB'交y轴于点C',当点C运动到C'处
时,△ABC的周长最小.过点A作AE⊥x轴于点E,∵点A,B的坐标分别为(1,5)和(4,0),∴点
PA+PB最短.由图可知点P应选在C点.
3.如图,直线m是△ABC中BC边的垂直平分线,点P是直线m上的一动点,若
AB=5,AC=4,BC=6,则△APC周长的最小值是 (
A.9
答案
3.A
B.10
C.11
D.12.5
)
4. 如图,在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为(1,5)和(4,0),点C是y轴上的一个动点,
(2)作点B关于直线l2的对称点B';
(3)连接A'B',分别交直线l1,l2于点C,D,连接AC,BD,此时AC+CD+BD最小.
所以先到点C处设卡检查,再到点D处设卡检查,最后到B处执行任务,按这样的路线所走
的总路程最短.
能力练
1. 如图,在等边三角形ABC中,D为AC的中点,P,Q分别为AB,AD上的点,且
5. 某大学建立分校,校本部与分校隔着两条平行的小河(甲和乙),如图所示,A为校本部大
门,B为分校大门.为了方便人员来往,要在两条小河上各建一座桥,桥面垂直于河岸.为使
A,B两点间来往路段最短,试在图中画出符合条件的路径,并标明桥的位置.
答案
5.解:如图,设在小河甲上建桥CD,小河乙上建桥EF,则A,B两

AM=A′N，AM′=A′N′，MN=M′N′
在△A′BN′中，A′B＜A′N′+N′B
∴ A′N+NB＜AM′+N′B
∴ AM+NB＜AM′+N′B
∴ AM+MN+NB＜AM′+M′N′+N′B
在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变化把已知问题转 化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择.
A
根据是“两点之间，线段最短”，可知这
C
l
个交点即为所求.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B
点A，B分别是直线 l 同侧的两个点，如何在 l 上找到一个点，使得 这个点到点A、点B的距离的和最短？
思考：
B
1.通过怎样的操作可以把同侧两点转化为
A
异侧两点来解决呢？
2.CB 与CB′的长度相等吗？
C
l
B′
你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？ 证明：如图，在直线 l 上任取一点C′(与点C不
在连接A′，B两点线中，线段A′B最短. 因此，线段A′B与直线b的交点N的位置即 为所求，即在点N处造桥MN，所得路径 AMNB是最短的.
你能用所学的知识证明AM+MN+NB最短吗？ 为了证明点N的位置即为所求，我们不妨在直线b上另外任意取一点N′，过 N′作N′M′⊥a，垂足为M′，连接AM′，A′N′，N′B， 证明：AM+MN+NB＜AM′+M′N′+N′B. 证明：如图，由平移的性质可知：
如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边 l 饮马，然后到B地. 牧马 人到河边什么地方饮马，可使所走的路径最短？
B
抽象成