20世纪的高考——1961年数学高考试卷

1961年全国统一高考数学试卷一、解答题（共10小题，共100分）1．（10分）（1961•全国）求二项式（2﹣x）10展开式里含x7项的系数．2．（10分）（1961•全国）解方程2lgx=lg（x+12）．3．（10分）（1961•全国）求函数y=的自变量x的允许值．4．（10分）（1961•全国）求sin的值．5．（10分）（1961•全国）一个水平放着的圆柱形水管，内半径是12cm，排水管的圆截面上被水淹没部分的弧含150°（如图），求这个截面上有水部分的面积（取π=3.14）．6．（10分）（1961•全国）已知△ABC的一边BC在平面M内，从A作平面M的垂线，垂足是A1，设△ABC的面积是S，它与平面M组成的二面角等于α（0°＜α＜90°），求证：△A1BC的面积=S•cosα．7．（10分）（1961•全国）一机器制造厂的三年生产计划每年比上一年增产的机器台数相同，如果第三年比原计划多生产1000台，那么每年比上一年增长的百分率相同，而且第三年生产的台数恰等于原计划三年生产总台数的一半，原计划每年生产机器多少台？8．（10分）（1961•全国）有一块环形铁皮，它的内半径是45厘米，外半径是75厘米，用它的五分之一（如图中阴影部分）作圆台形水桶的侧面，求这水桶的容积是多少立方厘米？9．（10分）（1961•全国）在平地上有A、B两点，A在山的正东，B在山的东南，且在A的西偏南65°距离为300米的地方，在A测得山顶的仰角是30°，求山高（精确到10米，sin70°=0.94）．10．（10分）（1961•全国）两题任选一题：（1）k是什么实数时，方程x2﹣（2k+3）x+3k2+1=0有实数根？（2）设方程8x2﹣（8sinα）x+2+cos2α=0的两个根相等，求α．1961年全国统一高考数学试卷参考答案与试题解析一、解答题（共10小题，共100分）1．（10分）（1961•全国）求二项式（2﹣x）10展开式里含x7项的系数．【考点】DA：二项式定理．【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为7得展开式里含x7项的系数【解答】解：设所求的项是第r+1项，则T r=C10r210﹣r（﹣x）r．+1今r=7，∴T8=﹣C10723x7=﹣960x7．故在求二项式（2﹣x）10展开式里含x7项的系数为﹣960．【点评】本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．2．（10分）（1961•全国）解方程2lgx=lg（x+12）．【考点】4H：对数的运算性质．【专题】11 ：计算题．【分析】由对数函数的运算法则，把原式转化为lgx2=lg（x+12），由此得到x2﹣x ﹣12=0，解出的根要进行检验，由此可得到原方程的解．【解答】解：原方程即lgx2=lg（x+12），即x2=x+12，x2﹣x﹣12=0，解得：x1=4，x2=﹣3，但x2=﹣3使原对数方程无意义，应舍去，故方程的解为：x=4．【点评】本题考查对数的运算性质和应用，解题时要注意验根．3．（10分）（1961•全国）求函数y=的自变量x的允许值．【考点】33：函数的定义域及其求法．【专题】11 ：计算题．【分析】根据二次根式被开方数要为非负数及分母不为0可得x的范围．【解答】解：要使函数y有意义，必须x﹣1≥0及x﹣5≠0，故自变量的允许值为[1，5）∪（5，+∞）【点评】考查学生理解函数定义域及掌握求法的能力．4．（10分）（1961•全国）求sin的值．【考点】GG：同角三角函数间的基本关系；GO：运用诱导公式化简求值．【专题】11 ：计算题．【分析】先利用诱导公式把sin转换才cos进而用倍角公式化简整理，利用特殊角的三角函数值求得结果．【解答】解：=．【点评】本题主要考查了运用诱导公式化简求值和倍角公式的应用．在运用诱导公式的时候要注意三角函数值的正负．5．（10分）（1961•全国）一个水平放着的圆柱形水管，内半径是12cm，排水管的圆截面上被水淹没部分的弧含150°（如图），求这个截面上有水部分的面积（取π=3.14）．【考点】G8：扇形面积公式．【专题】11 ：计算题．【分析】先求截面圆的面积，再求扇形的面积，再解三角形面积，最后解弓形面积即可．【解答】解：⊙O的面积=π•OA2=144π（cm2）扇形OACB的面积=△OAB的面积==∴弓形ACB的面积=60π﹣36≈60×3.14﹣36=152.4（cm2）故截面有水部分的面积为152.4cm2【点评】本题考查扇形的面积公式，是基础题．6．（10分）（1961•全国）已知△ABC的一边BC在平面M内，从A作平面M的垂线，垂足是A1，设△ABC的面积是S，它与平面M组成的二面角等于α（0°＜α＜90°），求证：△A1BC的面积=S•cosα．【考点】MJ：二面角的平面角及求法；L#：三垂线定理．【专题】14 ：证明题．【分析】由题意及所给的图形，利用三垂线定理及二面角平面角的概念和三角形的面积公式即可得证．【解答】证明：在△ABC中，作AD⊥BC，垂足为D，连接A1D，A1B，A1C，因AD⊥BC，由三垂线定理可得A1D⊥BC，所以∠ADA1为平面ABC与平面M所构成的二面角的平面角，∴∠ADA1=α在△AA1D中，A1D=AD•cosα∴△A1BC的面积=•AD•BC•cosα=△ABC的面积•cosα=S•cosα．【点评】此题重点考查了利用三垂线定理，借助二面角平面角的概念及三角形的面积公式得到以后常用的利用投影面积法求解二面角的大小这一常用的方法．7．（10分）（1961•全国）一机器制造厂的三年生产计划每年比上一年增产的机器台数相同，如果第三年比原计划多生产1000台，那么每年比上一年增长的百分率相同，而且第三年生产的台数恰等于原计划三年生产总台数的一半，原计划每年生产机器多少台？【考点】5C：根据实际问题选择函数类型．【专题】12 ：应用题．【分析】先设出第一年的台数x，第二年的台数x+y，则第三年的台数为x+2y．找出原题中的两个等量关系，列出两个方程，求出解可得．【解答】解：设原计划第一年生产x千台，第二年生产x+y千台，第二年生产x+2y千台，根据题意可得如下方程组：将（2）代入（1）得y2=y+2，∴y1=2，y2=﹣1（不合题意）将y=2代入（2）得x=4．故原计划生产机器的台数为：第一年4000台，第二年6000台，第三年8000台．【点评】考查学生列方程及解方程的能力8．（10分）（1961•全国）有一块环形铁皮，它的内半径是45厘米，外半径是75厘米，用它的五分之一（如图中阴影部分）作圆台形水桶的侧面，求这水桶的容积是多少立方厘米？【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】11 ：计算题．【分析】本题考查的知识点是圆台的体积与表面积计算，由环形铁皮，它的内半径是45厘米，外半径是75厘米，我们可以求出它的五分之一（如图中阴影部分）作圆台形水桶的侧面时，对应圆台的上下底面半径及母线长，进行求出圆台的高，代入圆台的体积公式即可求解．【解答】解：圆台上底周长=圆台下底周长=圆台上底半径圆台下底半径圆台的母线长l=A1A=75﹣45=30（cm）圆台的高圆台体积=故水桶的容积是．【点评】圆台体积，当r=0时，它可以变形为圆椎的体积公式，当r=R时，它可以变形为圆柱的体积公式．9．（10分）（1961•全国）在平地上有A、B两点，A在山的正东，B在山的东南，且在A的西偏南65°距离为300米的地方，在A测得山顶的仰角是30°，求山高（精确到10米，sin70°=0.94）．【考点】HT：三角形中的几何计算．【专题】11 ：计算题；16 ：压轴题．【分析】先设山高MN=h，依题意可得∠ABN，由正弦定理可求得AN，在直角△ANM中，h=AN•tan30°答案可得．【解答】解：设山高MN=h，∠ABN=180°﹣（65°+45°）=70°，由正弦定理得．在直角△ANM中，h=AN•tan30°=300×0.94×=≈94×2.4495≈230（米）故山高约为230米．【点评】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用．属基础题．10．（10分）（1961•全国）两题任选一题：（1）k是什么实数时，方程x2﹣（2k+3）x+3k2+1=0有实数根？（2）设方程8x2﹣（8sinα）x+2+cos2α=0的两个根相等，求α．【考点】73：一元二次不等式及其应用．【专题】16 ：压轴题．【分析】根据一元二次方程的根的情况取决于△的取值．【解答】（1）解：根据一元二次方程有实数根的条件，判别式△=b2﹣4ac≥0，所以[﹣（2k+3）]2﹣4（3k2+1）≥0，即8k2﹣12k﹣5≤0，∴≤k≤．故当≤k≤时，原方程有实数根．（2）解：根据一元二次方程有等根的条件，判别式△=b2﹣4ac=0，所以（﹣8sinα）2﹣4•8•（2+cos2α）=0，64sin2α﹣64﹣32cos2α=0，2sin2α﹣cos2α﹣2=0，．【点评】二次方程仍是高中研究的一个重点，本题中就有和三角函数衔接的综合考查．考点卡片1．函数的定义域及其求法【知识点的认识】函数的定义域就是使函数有意义的自变量的取值范围．求解函数定义域的常规方法：①分母不等于零；②根式（开偶次方）被开方式≥0；③对数的真数大于零，以及对数底数大于零且不等于1；④指数为零时，底数不为零．⑤实际问题中函数的定义域；【解题方法点拨】求函数定义域，一般归结为解不等式组或混合组．（1）当函数是由解析式给出时，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合．（2）当函数是由实际问题给出时，其定义域的确定不仅要考虑解析式有意义，还要有实际意义（如长度、面积必须大于零、人数必须为自然数等）．（3）若一函数解析式是由几个函数经四则运算得到的，则函数定义域应是同时使这几个函数有意义的不等式组的解集．若函数定义域为空集，则函数不存在．（4）抽象函数的定义域：①对在同一对应法则f 下的量“x”“x+a”“x﹣a”所要满足的范围是一样的；②函数g（x）中的自变量是x，所以求g（x）的定义域应求g（x）中的x的范围．【命题方向】高考会考中多以小题形式出现，也可以是大题中的一小题．2．对数的运算性质【知识点的认识】对数的性质：①=N；②log a a N=N（a＞0且a≠1）．log a（MN）=log a M+log a N；log a=log a M﹣log a N；log a M n=nlog a M；log a=log a M．3．根据实际问题选择函数类型【知识点的知识】1．实际问题的函数刻画在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，许多联系可以用函数刻画．用函数的观点看实际问题，是学习函数的重要内容．2．用函数模型解决实际问题（1）数据拟合：通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图象，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法称为数据拟合．（2）常用到的五种函数模型：①直线模型：一次函数模型y=kx+b（k≠0），图象增长特点是直线式上升（x的系数k＞0），通过图象可以直观地认识它，特例是正比例函数模型y=kx（k＞0）．②反比例函数模型：y=（k＞0）型，增长特点是y随x的增大而减小．③指数函数模型：y=a•b x+c（b＞0，且b≠1，a≠0），其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快（底数b＞1，a＞0），常形象地称为指数爆炸．④对数函数模型，即y=m log a x+n（a＞0，a≠1，m≠0）型，增长特点是随着自变量的增大，函数值增大越来越慢（底数a＞1，m＞0）．⑤幂函数模型，即y=a•x n+b（a≠0）型，其中最常见的是二次函数模型：y=ax2+bx+c （a≠0），其特点是随着自变量的增大，函数值先减小后增大（a＞0）．在以上几种函数模型的选择与建立时，要注意函数图象的直观运用，分析图象特点，分析变量x的范围，同时还要与实际问题结合，如取整等．3．函数建模（1）定义：用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程，叫作数学建模．（2）过程：如下图所示．【典型例题分析】典例1：某公司为了实现1000万元的利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金数额y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金数额不超过5万元，同时奖金数额不超过利润的25%，其中模型能符合公司的要求的是（参考数据：1.003600≈6，1n7≈1.945，1n102≈2.302）（）A．y=0.025x B．y=1.003x C．y=l+log7x D．y=x2分析：由题意，符合公司要求的模型只需满足：当x∈[10，1000]时，①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x•25%，然后一一验证即可．解答：解：由题意，符合公司要求的模型只需满足：当x∈[10，1000]时，①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x•25%=x，A中，函数y=0.025x，易知满足①，但当x＞200时，y＞5不满足公司要求；B中，函数y=1.003x，易知满足①，但当x＞600时，y＞5不满足公司要求；C中，函数y=l+log7x，易知满足①，当x=1000时，y取最大值l+log71000=4﹣lg7＜5，且l+log7x≤x恒成立，故满足公司要求；D中，函数y=x2，易知满足①，当x=400时，y＞5不满足公司要求；故选C点评：本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查方案的优化设计，解题的关键是一一验证．典例2：某服装生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2015年度进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，服装的年销量x万件与年促销t万元之间满足关系式3﹣x=（k为常数），如果不搞促销活动，服装的年销量只能是1万件．已知2015年生产服装的设备折旧，维修等固定费用需要3万元，每生产1万件服装需再投入32万元的生产费用，若将每件服装的售价定为：“每件生产成本的150%”与“平均每件促销费的一半”之和，试求：（1）2015年的利润y（万元）关于促销费t （万元）的函数；（2）该企业2015年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？（注：利润=销售收入﹣生产成本﹣促销费，生产成本=固定费用+生产费用）分析：（1）通过x表示出年利润y，并化简整理，代入整理即可求出y万元表示为促销费t万元的函数．（2）根据已知代入（2）的函数，分别进行化简即可用基本不等式求出最值，即促销费投入多少万元时，企业的年利润最大．解答：解：（1）由题意：3﹣x=，且当t=0时，x=1．所以k=2，所以3﹣x=，…（1分）生产成本为32x+3，每件售价，…（2分）所以，y=…（3分）=16x﹣=，（t≥50）；…（2分）（2）因为当且仅当，即t=7时取等号，…（4分）所以y≤50﹣8=42，…（1分）答：促销费投入7万元时，企业的年利润最大．…（1分）点评：本小题主要考查函数模型的选择与应用，看出基本不等式在求最值中的应用，考查学生分析问题和解决问题的能力，强调对知识的理解和熟练运用，考查转化思想的应用．【解题方法点拨】用函数模型解决实际问题的常见类型及解法：（1）解函数关系已知的应用题①确定函数关系式y=f（x）中的参数，求出具体的函数解析式y=f（x）；②讨论x与y的对应关系，针对具体的函数去讨论与题目有关的问题；③给出实际问题的解，即根据在函数关系的讨论中所获得的理论参数值给出答案．（2）解函数关系未知的应用题①阅读理解题意看一看可以用什么样的函数模型，初步拟定函数类型；②抽象函数模型在理解问题的基础上，把实际问题抽象为函数模型；③研究函数模型的性质根据函数模型，结合题目的要求，讨论函数模型的有关性质，获得函数模型的解；④得出问题的结论根据函数模型的解，结合实际问题的实际意义和题目的要求，给出实际问题的解．4．一元二次不等式及其应用【概念】含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式．它的一般形式是ax2+bx+c＞0 或ax2+bx+c＜0（a不等于0）其中ax2+bx+c是实数域内的二次三项式．【特征】当△=b2﹣4ac＞0时，一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x1）（x﹣x2）当△=b2﹣4ac=0时，一元二次方程ax2+bx+c=0仅有一个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x1）2．当△=b2﹣4ac＜0时．一元二次方程ax2+bx+c=0没有实根，那么ax2+bx+c与x轴没有交点．【实例解析】例1：一元二次不等式x2＜x+6的解集为．解：原不等式可变形为（x﹣3）（x+2）＜0所以，﹣2＜x＜3故答案为：（﹣2，3）．这个题的特点是首先它把题干变了形，在这里我们必须要移项写成ax2+bx+c ＜0的形式；然后应用了特征当中的第一条，把它写成两个一元一次函数的乘积，所用的方法是十字相乘法；最后结合其图象便可求解．【一元二次不等式的常见应用类型】①一元二次不等式恒成立问题：一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解集是R的等价条件是：a＞0且△＜0；一元二次不等式ax2+bx+c＜0的解集是R的等价条件是：a＜0且△＜0．②分式不等式问题：＞0⇔f（x）•g（x）＞0；＜0⇔f（x）•g（x）＜0；≥0⇔；≤0⇔．5．二项式定理【二项式定理】又称牛顿二项式定理．公式（a+b）n=C n i a i•b n﹣i．通过这个定理可以把一个多项式的多次方拆开．例1：用二项式定理估算1.0110= 1.105．（精确到0.001）解：1.0110=（1+0.01）10=110+C101•19×0.01+C102•18•0.012≈1+0.1+0.0045≈1.105．故答案为：1.105．这个例题考查了二项式定理的应用，也是比较常见的题型．例2：把把二项式定理展开，展开式的第8项的系数是．解：由题意T8=C107×=120×3i=360i．故答案为：360i．通过这两个例题，大家可以看到二项式定理的重点是在定理，这类型的题都是围着这个定理运作，解题的时候一定要牢记展开式的形式，能正确求解就可以了．【性质】1、二项式定理一般地，对于任意正整数n，都有这个公式就叫做二项式定理，右边的多项式叫做（a+b）n的二项展开式．其中各项的系数叫做二项式系数．注意：（1）二项展开式有n+1项；（2）二项式系数与二项展开式系数是两个不同的概念；（3）每一项的次数是一样的，即为n次，展开式依a的降幂排列，b的升幂排列展开；（4）二项式定理通常有如下变形：①；②；（5）要注意逆用二项式定理来分析问题、解决问题．2、二项展开式的通项公式二项展开式的第n+1项叫做二项展开式的通项公式．它体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定的项及其系数方面有着广泛的应用．注意：（1）通项公式表示二项展开式的第r+1项，该项的二项式系数是C n r；（2）字母b的次数和组合数的上标相同；（3）a与b的次数之和为n．3、二项式系数的性质．（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即；（2）增减性与最大值：当k＜时，二项式系数是逐渐增大的．由对称性知，它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取最大值．当n为偶数时，则中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，则中间的两项，相等，且同时取得最大值．6．扇形面积公式【知识点的认识】弧长、扇形面积的公式设扇形的弧长为l，圆心角大小为α（rad），半径为r，则l=rα，扇形的面积为S=lr=r2α．【命题方向】扇形的周长为6cm，面积是2cm2，则扇形的圆心角的弧度数是（）A．1 B．4 C．1或4 D．2或4【分析】设出扇形的圆心角为αrad，半径为Rcm，根据扇形的周长为6 cm，面积是2 cm2，列出方程组，求出扇形的圆心角的弧度数．解：设扇形的圆心角为αrad，半径为Rcm，则，解得α=1或α=4．选C．【点评】本题考查扇形面积公式，考查方程思想，考查计算能力，是基础题．【解题方法点拨】弧长和扇形面积的计算方法（1）在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷．（2）从扇形面积出发，在弧度制下使问题转化为关于α的不等式或利用二次函数求最值的方法确定相应最值．（3）记住下列公式：①l=αR；②S=lR；③S=αR2．其中R是扇形的半径，l是弧长，α（0＜α＜2π）为圆心角，S是扇形面积．7．同角三角函数间的基本关系【知识点的认识】1．同角三角函数的基本关系（1）平方关系：sin2α+cos2α=1．（2）商数关系：=tanα．2．诱导公式公式一：sin（α+2kπ）=sin α，cos（α+2kπ）=cos_α，其中k∈Z．公式二：sin（π+α）=﹣sin_α，cos（π+α）=﹣cos_α，tan（π+α）=tan α．公式三：sin（﹣α）=﹣sin_α，cos（﹣α）=cos_α．公式四：sin（π﹣α）=sin α，cos（π﹣α）=﹣cos_α．公式五：sin（﹣α）=cosα，cos（﹣α）=sinα．公式六：sin（+α）=cosα，cos（+α）=﹣sinα3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式（1）C：cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ；（α﹣β）：cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ；（2）C（α+β）：sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ；（3）S（α+β）：sin（α﹣β）=sinαcosβ﹣cosαsinβ；（4）S（α﹣β）：tan（α+β）=．（5）T（α+β）（6）T：tan（α﹣β）=．（α﹣β）4．二倍角的正弦、余弦、正切公式（1）S2α：sin 2α=2sin_αcos_α；（2）C2α：cos 2α=cos2α﹣sin2α=2cos2α﹣1=1﹣2sin2α；（3）T2α：tan 2α=．【解题方法点拨】诱导公式记忆口诀：对于角“±α”（k∈Z）的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”．8．运用诱导公式化简求值【知识点的认识】利用诱导公式化简求值的思路1．“负化正”，运用公式三将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数．2．“大化小”，利用公式一将大于360°的角的三角函数化为0°到360°的三角函数，利用公式二将大于180°的角的三角函数化为0°到180°的三角函数．3．“小化锐”，利用公式六将大于90°的角化为0°到90°的角的三角函数．4．“锐求值”，得到0°到90°的三角函数后，若是特殊角直接求得，若是非特殊角可由计算器求得．9．三角形中的几何计算【知识点的知识】1、几何中的长度计算：（1）利用正弦定理和三角形内角和定理可以求解：①已知两角和任一边，求其他两边和一角．②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）．（2）利用余弦定理可以求解：①解三角形；②判断三角形的形状；③实现边角之间的转化．包括：a、已知三边，求三个角；b、已知两边和夹角，求第三边和其他两角．2、与面积有关的问题：（1）三角形常用面积公式①S=a•h a（h a表示边a上的高）；②S=ab sin C=ac sin B=bc sin A．③S=r（a+b+c）（r为内切圆半径）．（2）面积问题的解法：①公式法：三角形、平行四边形、矩形等特殊图形，可用相应面积公式解决．②割补法：若是求一般多边形的面积，可采用作辅助线的办法，通过分割或补形把不是三角形的几何图形分割成不重叠的几个三角形，再由三角形的面积公式求解．3、几何计算最值问题：（1）常见的求函数值域的求法：①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；②逆求法（反求法）：通过反解，用y来表示x，再由x的取值范围，通过解不等式，得出y的取值范围；④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；⑥单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域．⑦数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域．（2）正弦，余弦，正切函数值在三角形内角范围内的变化情况：①当角度在0°～90°间变化时，正弦值随着角度的增大而增大，且0≤sinα≤1；余弦值随着角度的增大而减小，且0≤cosα≤1；正切值随着角度的增大而增大，tanα＞0．②当角度在90°～180°间变化时，正弦值随着角度的增大而减小，且0≤sinα≤1；余弦值随着角度的增大而减小，且﹣1≤cosα≤0；正切值随着角度的增大而增大，tanα＜0．10．三垂线定理【知识点的认识】射影：自一点P向平面α引垂线，垂足P1叫做P在平面α内的正射影（简称射影）．如果图形F上所有的点在一平面内的射影构成图形F1，则F1叫作图形F在这个平面内的射影．1．三垂线定理及其逆定理（1）三垂线定理：在平面内的一条直线（a），如果和这个平面的一条斜线（PO）的射影垂直，那么它也和这条斜线（PO）垂直．推理过程：（2）三垂线逆定理：在平面内的一条直线（a），如果和这个平面内的一条斜线（PO）垂直，那么它也和这条斜线的射影（AO）垂直．⇒a⊥AO2．三垂线定理实质三垂线定理实质是空间两条直线垂直的判定，把空间垂直转化为相交垂直，起到“降维”作用．3．三垂线定理包含的垂直关系（1）线面垂直：直线和平面垂直；（2）线射垂直：平面内的直线和平面一条斜线的射影垂直；（3）线斜垂直：平面内的直线和平面的一条斜线垂直．【解题思路点拨】运用三垂线定理及其逆定理的关键在于先确定线、斜线在平面上的射影，而确定射影的关键又是“垂足”，如果“垂足”定了，那么“垂足”和“斜足”的连线就是斜线在平面上的射影．用三垂线定理证明a⊥b的步骤：一垂，二射，三证．（1）找平面（基准面）及平面垂线；（2）找射影线，这时a、b成平面上的一条直线与一条斜线；（3）证明射影线与直线a垂直，从而得出a与b垂直．【命题方向】三垂线定理和三垂线逆定理的主要应用是证明两条直线垂直，尤其是证明两条异面直线垂直，此外，还可以作出点到直线的距离和二面角的平面角．在应用这两个定理时，要抓住平面和平面的垂线，简称“一个平面四条线，线面垂直是关键”．11．棱柱、棱锥、棱台的体积【知识点的知识】柱体、锥体、台体的体积公式：V柱=sh，V锥=Sh．12．二面角的平面角及求法【知识点的知识】1、二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱为AB、面分别为α、β的二面角记作二面角α﹣AB﹣β．有时为了方便，也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作P﹣AB﹣Q．如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α﹣l﹣β或P﹣l﹣Q．2、二面角的平面角在二面角α﹣l﹣β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角∠AOB的大小与点O的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱l 上的点O．3、二面角的平面角求法：（1）定义；（2）三垂线定理及其逆定理；①定理内容：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直．②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位于二面角的另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角．（3）找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角．；（4）平移或延长（展）线（面）法；（5）射影公式；。

1966年数学高考试卷说明：因为年代久远，题目和答案的某些叙述出现错误和不符合现今的数学语言的情况，望见谅！1、有红灯泡7只，绿灯泡5只，从这12只灯泡中，要选出5只，如果这5只中，至少有1只，最多有2只绿灯泡，一共有多少种选法？2、一个正四棱台的上底面每边长8尺，下底面每边长10尺，侧棱长6尺，求正四棱台的体积（棱台的体积11(3V h A A =++，其中h 、A 、1A 分别表示棱台的高和上、下底的面积）3、如图，AC 是一个山坡，它的倾斜角为θ，B 是山坡AC 上的一点，它和A 的距离是a 米，从A 和B 测得山下平地上D 点的俯角分别为α和β，求CD 两点间的距离4、已知双曲线的方程为221696418890x y x y -++-=（1）求它的两个焦点的坐标；（2）一个圆通过这两个焦点并且与x 轴交于两点，这两点的距离是8，求这个圆的方程5、解方程组：3150xy x y =---=⎪⎩6、在△ABC 中，BC a =，CA b =，AB c =（1（2）如果把（1）中的三角形记作△A B C '''，其中B C ''=C A ''，A B ''=求证：△A B C '''是锐角三角形；（3）如果△ABC 不是等边三角形，求证：△ABC 与△A B C '''这两个三角形它们的边怎样对应都不相似答案：1、525种2 3、sin()sin()sin sin()a CD θαθβθαβ--=-或tan()tan()sin [tan()tan()]a CD θαθβθθβθα--=---都可以 4、（1）(7,1)-和(3,1)；（2）22(2)(5)41x y ++-=或22410120x y x y ++--=都可以5、有两组解：18x y =-⎧⎨=⎩和81x y =⎧⎨=-⎩ 6、证明略。

1965年数学高考试卷说明：因为年代久远，题目和答案的某些叙述出现错误和不符合现今的数学语言的情况，望见谅！【正题部分】1、右面的二面体视图所表示的立体是什么？求出它的体积2、在A 处的甲船测得乙船在北偏西49°48′的B 处，以速度22海里/小时向正北方向行驶，甲船立即从A 处出发，以26海里/小时向北偏西a 度的方向沿直线驶去，追赶乙船。

问a 是多大角度时，经过一段时间，能够在C 处恰好与乙船相遇？（lg 2.20.3424=，lg 2.60.4150=）3、把地球看作半径为R 的球，设A 、B 两地的维度相同，都是α度，它们的经度相差(0180)ββ<≤度，求A 、B 之间的球面距离、4、（1）证明sin 22sin x x ≤（x 为任意值）（2）已知n 为任意正整数，用数学归纳法证明sin sin nx n x ≤（x 为任意值）5、已知一点P 的坐标是(4,2)-，直线l 的方程是50y x -+=，曲线C 的方程是22(1)(1)124x y +-+=。

求经过P 点而与l 垂直的直线和曲线C 的交点坐标。

6、当p 是什么实数时，方程230x px +-=与方程24(1)0x x p ---=有一公共根？并求出这个根7、已知抛物线22y x =（1）在抛物线上任取两点111(,)P x y 、222(,)P x y ，经过线段12P P 的中点，作直线平行于抛物线的轴，和抛物线交于点3P ，证明：△123P P P 的面积为312116y y -（2）经过线段13P P 和23P P 的中点，分别作直线平行于抛物线的轴，和抛物线一次交于1Q 、2Q ，试将 △131P P Q 与△232P P Q 的面积的和用1y 、2y 表示出来（3）仿照（2），又可以作出四个更小的三角形，照这样继续下去，作出一系列的三角形，由此法求出线段12P P 与抛物线所围城的图形的面积8、附加题（1）已知a 、b 、c 为实数，证明：a 、b 、c 都为正数的充要条件是：0a b c ++>，ab bc ac ++，0abc > （2）已知方程320x px qx r +++=的三个根α、β、γ都是实数，证明α、β、γ是一个三角形的三个边长的充要条件是：0p <，0q >，0r <，348p pq r >-答案：1、图形是蒸馏棱锥，体积是332a 2、a =9°33′ 3、结果是arcsin(cos sin)902Rπβα或2arccos[1cos (1cos )]180Rπαβ--都可以 4、证明略 5、15(,)33和(1,3)- 6、2p =-，公共根是3x = 7、（1）证明略；（2）312164y y -；（3）312112y y - 8、略【副题部分】1、证明：1sin cos sin 1sin cos 1cos x x x x xx+-=+++，当分母不为零时恒成立2、利用二项式定理求出5(0.998)的近似值（精确到0.001）3、制造一种产品，需要经过三道工序，第一道工序需要4人，第二道工序需要3人，第三道工序需要2人，现在有9个人，其中2人不能做第一道工序，如果把这项任务交给这9个人，问共有多少种分配方法4、在四面体ABCD 中，已知ABD ∠、BDC ∠、CDA ∠都是直角，△ABC 三边的长为a 、b 、c （如下图），求四面体ABCD 的体积5、有一块扇形铁皮OAB （如图），60AOB ∠=°，72OA =厘米，现在想要剪下一个扇面形ABCD 作为圆台形容器的侧面，并且由剩下的扇形铁皮ODC 内，剪下一块与OC 、OD 和 CD都相切的圆形铁皮，使它恰为圆台容器的下底（1）问AD 应该取多长？ （2）算出这个容器的容积6、设p 、q 、r 为实数，已知方程420x px qx r +++=的一个根为1i -+，又知用1x +除42x px qx r +++所得的余数为10-，求p 、q 、r 的值及方程其余的三个根7、已知1P 、2P 是抛物线2y px =上的任意两点，并且经过这两点的切线的交点在准线上，证明：1P 、2P 两点的连线必定经过焦点8、已知△ABC 的边长a 、b 、c 成等差数列，并且7cos cos cos 5A B C ++=，求a 、b 、c 的比9、附加题：已知四面体三个面上的三角形是全等的，证明：第四个面上的三角形或者和它们全等，或者是一个等边三角形答案：1、证明略2、0.9463、350 45、（1）36厘米；（2）立方厘米6、3p =-、6q =-、2r =-，另外三个根是1i --、17、证明略8、::3:4:5a b c =或::5:4:3a b c =9、证明略。

1987年数学高考试卷理工农医类一、本题每一个小题都给出代号为A ，B ，C ，D 四个结论，其中只有一个是正确结论。

把正确结论的代号写在题后的括号内。

（1）设S 、T 是两个非空集合，且S T Ú，T S Ú，令X S T = ，则S X = （ ） A 、X B 、T C 、∅ D 、S（2）椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>，令222c a b =-，那么它的准线方程是（ ）A 、2a y c =±B 、2b y c =±C 、2a x c =±D 、2b x c=±（3）设a ，b 满足0ab <，那么（ ）A 、a b a b +>-B 、a b a b +<-C 、a b a b -<-D 、a b a b -<+（4）已知E 、F 、G 、H 为空间中的四个点，设命题甲：点E 、F 、G 、H 不共面；命题乙：直线EF和GH 不相交，那么（ ）A 、甲是乙的充分条件，但不是必要条件B 、甲是乙的必要条件，但不是充分条件C 、甲是乙的充要条件D 、甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件（5）在区间(,0)-∞上为增函数的是（ ） A 、12log ()y x =-- B 、1x y x=- C 、2(1)y x =-+ D 、21y x =+（6）要得到sin(2)3y x π=-的图像，只要将sin 2y x =的图像（ ）A 、向左平移3πB 、向右平移3πC 、向左平移6πD 、向右平移6π（7）极坐标方程sin 2cos ρθθ=+表示的曲线是（ ） A 、直线 B 、圆 C 、双曲线 D 、抛物线（8）函数arccos(cos )([,])22y x x ππ=∈-的图像是（ ）二、只要求直接写出结果 （1）求函数2tan3xy =的定义域； （2）已知方程22121x y λλ-=++表示双曲线，求λ的范围；（3）若(1)nx +的展开式中，3x 的系数等于7x 的系数，求n ； （4）求极限22221232lim()1111n nn n n n →∞++++++++ ； （5）在抛物线24y x =上求一点，使该点到直线45y x =-的距离为最短；（6）由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字且1与2不相邻的五位数，求这种五位数的个数（7）一个正三棱台的下底和上底周长分别为30cm 和12cm ，而层面积等于两底面积之差，求斜高三、求sin10sin30sin50sin70°°°°的值四、如图三棱锥P ABC -中，已知PA BC ⊥，PA BC L ==，PA 、BC 的公垂线ED h =，求证：三棱锥P ABC -的的体积216V L h =五、设对所有实数x ，不等式2222224(1)2(1)log 2log log 014a a a x x a a a++++>+恒成立，求a 的取值范围六、设复数1z 和2z 满足关系式12120z z Az Az ++=，其中A 是不为零的复数，证明： （1）212z A z A A +⋅+=； （2）1122z A z Az A z A++=++七、设数列12,,,n a a a 的前n 项和n S 与n a 的关系是11(1)n n nS ba b =-+-+，其中b 是与n 无关的常数，且1b ≠-（1）求n a 和1n a -的关系式； （2）写出用n 和b 表示n a 的式子； （3）当01b <<时，求lim n n S →∞八、定长为3的线段AB 的两个端点在抛物线2y x =上移动，记线段AB 的中点为M ，求点M 到y 轴的最短距离，并求此时点M 的坐标九、附加题，不计入总分 （1）求极限1lim(1)2xx x→∞-； （2）设2ln(1)y x x =+，求y '答案： 一、（1）B ；（2）C ；（3）B ；（4）A ；（5）B ；（6）D ；（7）B ；（8）A ； 二、（1）32π；（2）1λ>-或2λ<-；（3）8；（4）2；（5）1(,1)2；（6）72；（7三、116四、证明略 五、01a << 六、证明略七、（1）11(2)1(1)n n n b b a a n b b -+=+≥++；（2）111,1(1)(1),12n n n n b b b b b a n b +++⎧-≠⎪⎪-+=⎨⎪=⎪⎩；（3）lim 1n n S →∞= 八、最小值是54，坐标是5(,42或5(,42-九、（1）12e -；（2）2222ln(1)1x y x x '=+++文史类一、本题每一个小题都给出代号为A ，B ，C ，D 四个结论，其中只有一个是正确结论。