2018年深圳市高三年级第二次调研考试数学(理科)试题

深圳市2018年高三年级第二次调研考试数学（理科）2018.4考生须知：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，在答题卷密封线内填写学校、班级和姓名.3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效.第I 卷一、选择题（本大题共12个小题.每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设集合{}01＜-=x x A ，{}42<=x x B ，则B A ⋂=（）A.()1,2- B.()2-，∞ C.()2--，∞ D.()()∞+∞，，21- 2.已知i 为虚数单位，则复数i z +-=3的共轭复数z 为（）A.i22+ B.i2-2 C.i+1 D.i-13.某学校拟从甲乙等5位同学中随机选派3人去参加国防教育活动，则甲、乙两人均被选中的概率为（）A.53B.21 C.52 D.1034.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知331==S a ，则4S 的值（）A.-3B.0C.3D.65.已知点()m P ,1在椭圆1422=+y x 的外部，则直线32+=mx y 与圆122=+y x 的位置关系为A.相离B.相交C.相切D.相交或相切6.如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A.32 B.1C.34 D.357.九连环是我国一种传统的智力玩具，其构造如下图：要将9个圆环全部从框架上解下（或套上），无论哪种情形，都要遵循一定的规则，解下（或套上）全部9个圆环所需的最少移动次数可由右图所示的程序框图得到，执行该程序框图，则输出结果为（）A.170 B.256C.341 D.6828.已知椭圆142222=++m y m x 与双曲线12222=-b y a x 有共同的焦点，且其中的一个焦点F 到双曲线的两条渐近线的距离之和为32，则双曲线的离心率是（）A.2 B.3C.332 D.39.定义在R 上的偶函数()x f 对任意的实数x 都有()()44+=-x f x f ，当40≤≤x 时，()x x x f 22-=，则()x f 在区间[]1612，上有A.有最小值()16f B.有最小值()15f C.有最小值()13f D.有最小值()12f 10.已知1P ，2P 为曲线()R x wx wx y ∈-=cos sin 2（常数0>w ）的两个相邻的对称中心，若该曲线在点1P ，2P 处的切线互相垂直，则w 的值为A.33B.22 C.2 D.311.如图，在四棱锥ABCD P -中，顶点P 在底面的投影O 恰为正方形ABCD 的中心，且2=AB ，设点M ，N 分别为线段PD ，PO 上的动点，已知当MN AN +取得最小值时，动点M 恰为PD 的中点，则该四棱锥的外接球的表面积为A.29π B.316πB.425π D.964π12.已知对*N n ∈∀，关于x 的函数()()()1ln 1+<<-+=n x n x a x x f n n 都不单调，其中()∙∙∙∙∙∙=,,,2,1k n a n 为常数，定义[]x 为不超过实数x 的最大整数，如[]08.0=，[]3=π，设[]3n n a b =，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，则100S 的值为A.310B.309C.308D.307第II 卷二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分.）13.已知向量()4,3-=a ，()t b ,1-=若a b a =∙，则实数=t ______.14.已知0<a ，实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤--≤++≥+02001y x a y x x ，则y x z 2+=的最大值为5，则=a ________15.若nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-4的展开式中各项系数的和为81，则该展开式中常数项为_____.16.已知A 、B 、C 为某信号（该信号的传播速度为1公里/秒）的三个接收站，其中A 、B 相距600公里，且B 在A 的正东方向；A 、C 相距3600公里，且C 在A 的东偏北030方向。

2018年深圳市高三年级第二次调研考试理科综合本试卷共12页，36小题，满分300分。

考试用时150分钟。

注意事项：1. 答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损，监考教师分发的考生信息条形码是否正确；之后务必用0.5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号。

同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损。

2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答題卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上。

不按要求填涂的，答案无效。

3. 非选择题必须用0.5亳米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上。

请注意每题答题空间，预先合理安排。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效。

4. 考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将答题卡交回…相对原子质量：H 1 C 12 N 14 O 16 S 32 I 127 Cl 35.5 Al 27 Ca 40 Cu 63.5 Fe 56 K 39 Mg 24 Na 23 Zn 65 Li 7一、单项选择题（本大题16小题，每小题4分，共64分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项最符合题目要求，选对的得4分，多选、选错或不答的得O分.）1.图示正常情况下溶酶体所含物质及其内、外环境的pH值等，下列哪项叙述与溶酶体有关的事实不相符合A．保持pH值的稳定需要消耗三磷酸腺苷B．被溶酶体分解的产物都要排出细胞外C．能吞噬并杀死某些入侵的病菌或病毒D．其膜上具有特异性转运H+的载体蛋白2. 下列有关哺乳动物受精作用和胚胎发育的说法，不正确的是A.卵细胞内有机物分解的速率小于受精卵B. 受精过程要依赖细胞膜上受体的识别作用C. 胚胎的总体积随着受精卵的分裂而不断增大H+D. 受精卵的分裂意味着新生命的发育过程开始3．广东省与外界交往密切，气候温暖，适合生长的生物种类相对较多，使其成为全国外来入侵生物种类最多的省份之一。

2019年深圳市高三年级第二次调研考试 数学（理科）参考答案及评分标准2019.4、选择题：本大题共 8个小题，每小题5分，共40分•在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的.、填空题：本大题共 7小题，考生作答 6小题，每小题5分，满分30分.（一）必做题：第 9、10、11、12、13题为必做题.110.e（1）求角C 的大小;a + b（2）求的取值范围.兀 1_因为引详二二，又严一，- 191311. 341 n -113. 9, n（注：第一个空填对给2分，第二个空填对给3分）（二）选做题：第 14、15题为选做题，考生只能从中选做一题14.（坐标系与15.（几何证明选讲选做题）30 （注：也可以填二）6三、解答题：本大题共 6小题, 满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16、（本小题满分12分）已知△ ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，sin (2C -) 2 丄，且a 2b 222:::C .解：（1）（法一）因为a 2b2:::c 2，由余弦定理,小 a 2 +b 2 _c 2cosC =2ab二 5 ■:所以2C 匚蔦，解之，得^3（法二）因为而 a 2 b 2 < c 2，由余弦定理,cosC 二a 2b 2_ c 20 ,乙C 为钝角,2ab所以二：：2C :: 2 -,又cos2C = -sin(2C )=2 2 所以2C盲,—TT(2)(法一)由(1),得N B==_NA , OcAc3 3TTa b sin A sin B sin A s叫 - A)sin32、\ 3 ■又A ，所以sin( A )-1 ,3 3 3 2 3从而心的取值范围为(1,U] •,,,,,,,,,,,,,,,,,,c 3（法二）由（1）, Z C=二，根据余弦定理,32 2 2 C. 2=a b - 2abcos a32 2-(a b) -ab _(a b)a +b所以久丄的取值范围为（1,c17、（本小题满分12分）一个箱中原来装有大小相同的5个球，其中3个红球，2个白球.规定：进行一次操作是指“从箱中随机取出一个球，如果取出的是红球，则把它放回箱中；如果取出的是白球，则该球不放回，并另补一个红球放到箱中.”（1）求进行第二次操作后，箱中红球个数为4的概率;（2）求进行第二次操作后，箱中红球个数的分布列和数学期望.解：（1）设A表示事件“第1次操作从箱中取出的是红球”，B1表示事件“第1次操作从箱中取出的是白球”；A2表示事件“第2次操作从箱中取出的是红球”，根据正弦定理, sin C1 —= sin A + ——cos A—一si nA 5 I2 22 —「si" 3) 10分12分2b ab ，”，”所以, '旦I'4 ,心兰迄，3a b .110分12分次操作从箱中取出的是红球，且第2次操作从箱中取出的是白球”则A B2表示事件“第1由条件概率的计算公式，得P（AB2）= P（ A ）P（B21 A）3 2 =—.,,,,,,,5 5 25B 1A 2表示事件“第1次操作从箱中取出的是白球，且第2次操作从箱中取出的是红球”2 4 8 由条件概率的计算公式，得P(B I A 2)= P(B I )P(A 2 | B i )二一 一二一5 525AB 2 B I A^表示事件“进行第二次操作后，箱中红球个数为4 ” •而AB 2与B 1A 2是互斥事件，所以 P(AB 2 B I A)二 P(AB 2)P(B I A)6 8=——+——25 2514 —•5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 525(2) 设进行第二次操作后，箱中红球个数为X ，则X =3,4, 5 •,,,,,,,,,3 3 914 P(X=3) , P (X=4)：5 5 25 252 1 2 9 14 2 P(X =5)(或 P(X =5) =1 _P(X = 3) _P(X =4) =1)•5 5 25252525进行第二次操作后，箱中红球个数X 的分布列为：X345P9 14 2 25252518、（本小题满分14分）如图6,已知四边形 ABCD 是矩形，AB =2BC =2 ,三角形PAB 是正三角形，且平面ABCD -平面PCD • (1) 若0是CD 的中点，证明：BO _ PA ； (2) 求二面角B - PA - D 的余弦值• 解：(法一)(1)连结 0A 、0P ••/ ABCD 是矩形，且 AB =2BC , 0是CD 的中点, BO _ A0 •①,,,,,,,,,,,,,,,1 分又•••平面PCD _平面ABCD ,进行第二次操作后，箱中红球个数EX925 4兰5 Z252X 的数学期望9325 •,,,,,,,,,,,,10分平面PCD 平面ABCD =CD ,AD 平面ABCD , AD _ CD ,••• AD _ 平面PCD •而PD 二平面PCD ,••• AD _ PD .同理BC _ PC .直角△ ADP 和直角△ BCP 中，AD=BC , PA=PB , • PC = PD 3 分• PO _CD .又PO 二平面PCD , • PO _ 平面ABCD，而 BO 二平面ABCD ,■■ B° —P°.^②,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 5分由①②及AO PO =O , AO、PO二平面PAO，得BO _平面PAO .又PA 二平面PAO，所以BO _ PA . ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 7 分1(2)延长BO、AD 相交于点E，: OD // AB，且OD = 1 AB2■O、D 分别是EB、EA 的中点.，,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,，8 分取PA中点F，连结BF、EF，•••△ PAB是正三角，■ PA _ BF •③又由(1 )，PA 丄BO，而BF 门BO=B，BF、BO 二平面BEF，所以，PA _ 平面BEF . v EF 平面BEF，■ PA _ EF .④,,,,,,,,,,, 10 分而EF 平面DPA，■乙BFE是二面角B - PA - D的一个平面角.••• AB =2BC =2，△ PAB 是正三角，■ BE =2.2，BF = 3，EF =.△ BEF 中，由余弦定理，得cos BFE （' 3）（3）一（2'2）_一1 .2江寸3汇丁3 31即二面角B-PA-D 的余弦值为一 .，,,,,,,,,,,,,,,,,,,,，14 分3（法二）（1 ）•••平面PCD _ 平面ABCD，平面PCD 平面ABCD = CD，AD 二平面ABCD，OP *PD2-OD2二■. PA2-AD2-OD2仝2，■ P(0, .2,0).从而，BO=(T,0,-1)，PA = (T, —,2,1)，,,,,,,,,,,,,,,,, 5分BO PA - -1 (-1) 0 (- 2) (-1) 1=0.所以BO _ PA，BO _ PA .(2)由(1), PA=(—1, —、,2,1), AB = (2,0,0).PA n 1 = 0 —设平面BPA的法向量为n =(为，％,乙)，由. =PB m = 0-捲 - _ 2y 「乙=02x 1 = 0=0=1 ，所以，平面BPA 的一个法向量为 忆=（0,1,、、2）.,, 又 PA=（_1,_ ,、2,1）, 5A=（0,0,1）.X i 取y i =1，解之，得WZ i设平面DPA 的法向量为n 2=（x 2 , y 2 ,z 2），由；号,=0二 j DA n 2 = 0-x ? - 2 y ? ■'z?= 0z 2 = 0x ? = —v 2取y 2 =1，解之，得y 2 =1 =0，所以，平面DPA 的一个法向量为 =(-21,0).,,11分Z 2 cos ::: n 1 , n 2 =n 1 n 20 (-.2) 1 12 0 因为法向量 ■ F|n 1II n 2|10212( 2)2J-^.2)2122313分q 和n 2均指向二面角 B —■ PA —■ D 夕卜，所以二面角B - PA - D 的平面角与角502 •互补,故二面角B - PA - D 的余弦值为-1 .314分19、（本小题满分 14分)已知数列｛a n ｝ , ｛b n ｝满足：a^0 , b^ 2013,且对任意的正整数n, a n , a n -1 ,bn 和 an 1 ,b n 1，b n 均成等差数列.(1) 求a 2, b 2的值;(2) 证明：｛a n -b n ｝和｛a n 2b n ｝均成等比数列; (3) 是否存在唯一的正整数 c ，使得a n < c b n 恒成立？证明你的结论.解: (1)a 1 +bi2013a 2：2 2, a 2 6039 b 2 :（2）依题意，对任意的正整数n ,有b n 14 _ a n ■ b n -2 二 a n 1 - b n21a n 1 a n 2b n 1 ~ a n41 ■—bn …①23b n …② 4 b [»1b nLan 1 bn 彳 _* 2 _因为a n — bn a n — bn13Ua nb n 41 4（常数），n • N * ,1又a 1=-2013 = 0，所以，｛a n -b n ｝是首项为- 2013，公比为一的等比数列；”4即对任意的n • N *且n _ 7时，1341 ：：： a n ：：： 1342 ：：： b n <1343.所以，正整数k = 1342也是唯一的.综上所述，存在唯一的正整数 k =1342，使得对任意的n • N *，有a n ：：： k ：：： b n . ,,,14分（注：如果仅是通过极限的描述性语言说明 k 的存在性和唯一性，且 k 的值是正确的，计扣 2分） 20、（本小题满分14分）已知动点M 至惊F （0,1）的距离与到直线 y = 4的距离之和为5. （1） 求动点M 的轨迹E 的方程，并画出图形；（2）若直线I : y = x • m 与轨迹E 有两个不同的公共点 A 、B ，求m 的取值范围;（3）在（2）的条件下，求弦长| AB |的最大值. 解：（1）设动点M 的坐标为（x, y ），依题意，点..X 2—（y 二 1）2|y-4|=5 .,,,,,,,,化简整理，得x 2 = 4y （ y 乞4 ）或 x 2 二-16（y 「5） （ y _ 4）.所以，动点M 的轨迹E 的方程为x 2=4y （ y 乞 4）或 x 2二—16（y -5） （ y - 4）.x 2x 2其图形是抛物线 y 和y5位于因为 a n 1 ' 2b n 1a n +2b n如A 2存孰=1 (常数)，n N * , a n 2b n又 a i 2bi = 4026 = 0,所以，｛a n 2b n ｝是首项为4026,公比为1的等比数列.a n(3) 由（2）,得<2b n =40262013，，解之,显然, a n b na n1342 "4nJ= 1342 ｛a n ｝是单调递增数列，｛b n ｝是单调递减数列，a n ::: 1342 ：：b n , n N *a n < 1342 ：： b即存在的正整数 k=1342，使得对任意n •又令8分.44 16 一4辽x^4的部分（如图7）.,,,,,,,,,2 x（2）记抛物线段y（-4乞x 乞4）为E 1，抛物线段4E 1与E 2的公共点为C( -4, 4)和D(4,4).当直线l : y = x • m 经过点C(_4,4)时，m =8 .y = x 8x 2 ，解之，得*y = —一 +516因为点（_12, 一4）不在抛物线段E 2上，所以，要使直线l : ^x m 与轨迹E 有两个不同的公共点，则m ：：：8 ”，①.,,,,,,2xx 当直线l : y=x+m 与抛物线y= — 相切时，由y ，=— =1，得切点坐标 丿42因为切点（2,1）在抛物线段 巳上, 所以，要使直线I : y = x • m 与轨迹E 有两个不同的公共点，贝U m *「1,,,②.，,,,综合①②，所求 m 的取值范围为（-1,8）.（3）当-1 ：：： m 乞0时，直线丨与轨迹E 的两个不同的公共点 A 、B 均在抛物线段 且 0 ：| AB| 勻 0D |=4.2 .当0 _m ::: 8时，直线l 与轨迹E 的两个不同的公共点 A 、B 分别在抛物线段 巳与抛物线段E 222xx上，且A 点是直线l 抛物线y 两个交点中左下方的点，B 点是直线l 抛物线y5两个416交点中右上方的点(如图7).y = x m由x 2，解之，得y = x m由x 2，解之得y 5I 162y f 5(一 4X4 )为 E 2 ,x = -12 y = -410分E i 上,x=2_2・1 m ，点 A 的横坐标 x A = 2 - 2-.. 1 • mx = -8 士 49 - m ，点 B 的横坐标 x B =-8,4.、9-m .所以|AB|=、2(X B -X A) =2.2(" m 2 9-m -5).,,,,,,,,,,,,,令f (m) = . 1 m 2、9 一m ( 0 _ m ：： 8 ),由f'(、_ 1 _ 1 __9二m二2丄1_m __________ 5(1 二m) _________2 J1 + m J9_m 2 J(1 +m)(9 - m) 2( J 9 _ m + 2』1 + m) J(1 + m)(9 _ m)当0^m：：：1 时，f'(m) 0 , f (m)单调递增；当1 ：：： m ：：： 8 时，f '(m) :: 0 , f(m)单调递减.所以，[f(m)]max "(1) =5.2 .故m =1时,I AB I,max = 20 - 10、2.,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,（注：也可以通过一元二次方程在闭区间[-4,4]有解的思路来求m的取值范围；求|AB|的最值也可以利用换元法、判别式法、均值不等式、柯西不等式等方法.其他解法，酌情给分12分，得14分•)221 .(本小题满分14分)定义：(x , y)=| e x _y I —y| X — In y |，其中 x R , y R .(1) 设a 0，函数f (x)二珥x , a)，试判断f (x)在定义域内零点的个数； (2) 设 0 ：：a :：: b ，函数 F(x)」(x, a) - 珥x ,b)，求 F(x)的最小值； (3) 记(2)中的最小值为T(a,b)，若｛a n ｝是各项均为正数的单调递增数列,n证明：a TG© .J ：：： (a n 1 —ajln 2 .i 4解：(1) f (x) =|e x —a|_a|x —lna|( a=0),函数 f (x)的定义域为 R .当 x _lna 时，e x _a , f(x)=e x —ax alna — a ,•- f'(x) =e x-a _0,「• f(x)在［ln a, •：：)上为增函数当 x □ na 时，e x _a , f (x) = ax -e x - alna a ,••• f'(x)二a-e x_0 ,••• f(x)在(-：：，l na ］上为增函数.,,,,,,,,,,,,,综上所述，f (x)在定义域内为增函数. 又 f (ln a) =| a -a | -a |ln a -1n a |= 0 .所以，f (x)在定义域内有且仅有一个零点.，,,,,,,,,,,,,,,,,,,， (2)易知 F(x)的定义域为 R , F'(x)「"(x,a)-〔(x,b).而0 ：：： a ::: b ，所以ln a ::: ln b ，由(1)容易得到下列结论: ①当 x ln a ：： ln b 时，F '(x) = (a - e x ) -(b - e x ) • F (x)在(-二,ln a ］上为减函数，从而 F(x) _ F (ln a)②当 ln a mx Inb 时，F'(x) = (e x —a) —(b — e x )a +b 令 F'(x) =0 ,得 x=ln^^ .2 a + b当 ln a_x ：：：ln 时，F'(x)：：：0 , F (x)单调递减;a +b 当 ln nb 时，F'(x) 7, F(x)单调递增.2 a + b a + b•••当 x = ln 时，F(x)有最小值 F(ln ).,,,,,,,,,,,,,,,,2 2xx③当 ln a l n b 一 x 时，F '(x) =(e - a) - (e 一 b) = b - a 0 , 综上所述，当x =ln 时，2a +bF (x)有最小值 F (l n )=al na bl nb-(a b)l n2 2= 2e x- (a b),• F(x)在［ln b,，：)上为增函数，从而 F(x)_F(l n b).,,,,,,a b2分4分5分6分7分8分10分(3)由(2)知T(a , b)二aln a bln b -(a b)ln先证明T(a i ,a i d) :：: (a i d -a i)ln2，- N *，即证明：a i + a i 卑・*a i In a i a i 1 In a i 1 —⑻ a i 1 )ln (a i 1 — ajln2 , i N将a j视为常数，a i 1视为变量，构造下列函数：a i +tG(t)二a j In a i11n t - 佝t)ln - (t —ajln 2，其中t -a i0 .2a.+1 t则G'(t) =l nt 1 -In i1 -I n2 Jn 0 ,2 a j +tG(t)在［a i, •：：)上单调递减，而G(aJ 二a i Ina i a i Ina^2a i In a^(a^ a i)In2 = 0，因为｛a n｝是各项均为正数的单调递增数列，a i 1 ■ ai，r N *，所以G(a i 1) ：0，a i * a i +i即a i In a i- a i 11n a i(a i a i d) In i::: (a i 1- a i) In 2，i • N *所以T(a i , a i 1) :: (a i^a i)In2 , i N * .,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,n n于是，' T(a i,a i 1^ (a i^a i)ln 2 =(a n^a1)ln 2 .,,,,,,,,,,,, i壬i壬12分14分2。

深圳市2018年高三年级第二次调研考试数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，集合，则（）A．B．C．D．2.已知为虚数单位，则复数的共轭复数为（）A．B．C．D．3.某学校拟从甲、乙等五位同学中随机选派3人去参加国防教育活动，则甲、乙均被选中的概率为（）A．B．C．D．4.设为等差数列的前项和，已知，则的值为（）A．B．C．D．5.已知点在椭圆的外部，则直线与圆的位置关系为（）A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切6.如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．7.九连环是我国一种传统的智力玩具，其构造如图：要将9个圆环全部从框架上解下（或套上），无论是那种情形，都需要遵循一定的规则．解下（或套上）全部9个圆环所需的最少移动次数可由如图所示的程序框图得到，执行该程序框图，则输出结果为（）A． B．C． D．8.已知椭圆与双曲线有共同的焦点，且其中的一个焦点到双曲线的两条渐近线的距离之和为，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．9.已知定义在上的偶函数对任意实数都有，当时，，则在区间上（）A．有最小值B．有最小值C．有最小值D．有最小值10.已知点，为曲线（）（常数）的两个相邻的对称中心，若该曲线在点，处的切线互相垂直，则的值为（）A． B． C．D．11.如图，在四棱锥中，顶点在底面的投影恰为正方形的中心且，设点、分别为线段、上的动点，已知当取得最小值时，动点恰为的中点，则该四棱锥的外接球的表面积为（）A．B．C．D．12.已知对，关于的函数（）都不单调，其中（）为常数，定义为不超过实数的最大整数，如，，设，记常数的前项和为，则的值为（）A．310 B．309 C．308 D．307第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量，，若，则实数．14.已知，实数，满足若的最大值为5，则．15.若的展开式中各项系数的和为，则该展开式中的常数项为．16.已知、、为某信号（该信号的传播速度为公里/秒）的三个接收站，其中、相距600公里，且在的正东方向；、相距公里，且在的东偏北方向．现欲选址兴建该信号的发射塔，若在站发射信号时，站总比站要迟秒才能接收到信号，则站比站最多迟秒可接收到该信号．（、、、站均可视为同一平面上的点）三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.的内角，，所对的边分别为，，，已知角为锐角，且．（1）求角的大小；（2）若，延长线段至点，使得，且的面积为，求线段的长度．18.如图，在三棱锥中，和均为等腰直角三角形，且，已知侧面与底面垂直，点是的中点，点是的中点，点在棱上，且，点是上的动点．（1）证明：；（2）当平面时，求二面角的余弦值．19.为了缓解日益拥堵的交通状况，不少城市实施车牌竞价策略，以控制车辆数量．某地车牌竞价的基本规则是：①“盲拍”，即所有参与竞拍的人都是网络报价，每个人并不知晓其他人的报价，也不知道参与当期竞拍的总人数；②竞价时间截止后，系统根据当期车牌配额，按照竞拍人的出价从高到低分配名额．某人拟参加2018年4月份的车牌竞拍，他为了预测最低成交价，根据竞拍网站的公告，统计了最近5个月参与竞拍的人数（如表）：（1）由收集数据的散点图发现，可用线性回归模型拟合竞拍人数（万人）与月份编号之间的相关关系．请用最小二乘法求关于的线性回归方程：，并预测2018年4月份参与竞拍的人数；（2）某市场调研机构对200位拟参加2018年4月份车牌竞拍人员的报价价格进行了一个抽样调查，得到如表一份频数表：（i）求这200位竞拍人员报价的平均值和样本方差（同一区间的报价可用该价格区间的中点值代替）；（ii）假设所有参与竞价人员的报价可视为服从正态分布，且与可分别由（i）中所求的样本平均数及估值．若年4月份实际发放车牌数量为3174，请你合理预测（需说明理由）竞拍的最低成交价．参考公式及数据：①回归方程，其中，；②，，；③若随机变量服从正态分布，则，，．20.已知实数，且过点的直线与曲线：交于、两点．（1）设为坐标原点，直线、的斜率分别为、，若，求的值；（2）设直线、与曲线分别相切于点、，点为直线与弦的交点，且，，证明：为定值．21.已知函数．（其中常数，是自然对数的底数）（1）求函数的极值；（2）当时，若恒成立，求实数的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，曲线的极坐标方程为，点，，以极点为坐标原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系．（1）在直角坐标系中，求曲线的参数方程；（2）若点、在曲线上，且点（异于、两点）为曲线上的动点．在直角坐标系中，设直线，在轴上的截距分别为，，求的最小值．23.选修4-5：不等式选讲已知函数（）．（1）证明：；（2）若，求实数的取值范围．。

周四一测5参考答案与试题解析本卷为2013届深圳一模（文科） 整理者：廖光月一、选择题（1）A （2）C （3）C （4）D （5）B （6）C （7）D （8）C （9）A （10）B （11）D （12）B 二．填空题（13） 30 （14）16π3（15）1009 （16）222 （12）解析一：原不等式可转化为，2ln e 2x x x x a ≥-++，易知，当1e x =时()ln f x x x =取到最小值为1e -，且当1ex =时函数2()e 2g x x x a =-++取到最大值1+ea ，利用图形可知，11+e ea -≥，即2e a ≤-.解析二：原不等式可转化为，2ln (e 2)a x x x x ≤+-，令()ln f x x x =，2()e 2g x x x =-，令()()()h x f x g x =+，当1e x =时，()f x 与()g x 同时取到最小值，min 12()()e e h x h ∴==-，2ea ∴≤-. （16）解析：设PBA α∠=，则20sin PA α=，20cos PB α=，2020sin cos PQ αα=-，总造价函数6(20sin 20cos )5(2020sin cos )20[6(sin cos )5(1sin cos )]y αααααααα=⨯++⨯-=⨯++-，令sin cos t αα=+，则210(51215)y t t =-++，易知[1,2]t ∈，当65t =时，max 222y =.三、解答题：17、解：（1）由正弦定理可知：2sin cos +sin sin A B B C =. ………………1分∵ sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+，∴ 2sin =cos sin B A B . ………………3分 ∵π02B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，sin 0B >，∴sin =cos B A ，即πcos cos 2B A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. ……4分 ∵()0πA ∈，，ππ022B ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，，∴π=2B A -,即π+=2A B . ∴π=2C . ………………6分 （2）设BD x =，CB a =.∵ π3ABC ∠=，π=2ACB ∠，∴AC ，=2AB a ，2+AD a x =.∴ ()111sin 2222ACD S AC AD A a x ∆=⋅⋅=⨯+⨯= 即()23a a x +=. ……① ………………8分 在BCD ∆中，由余弦定理可得2222cos CD BC BD BC BD DBC =+-⋅∠， 即223x a ax ++=. ……② ………………10分 联立①②可解得1x a ==.即=1BD . ………………12分18、解：（1）经计算：5x =，0.48y =， ………………1分由ˆ0.4850.88b=+可得，ˆ0.08b =-. ………………2分 当8x =时，0.0880..24ˆ880y=-⨯+=， ………………3分 所以当海水浓度为8‰时，该品种的亩产量为0.24吨. ………………4分（2）（i ）由（1）知0.080.8ˆ8x y=-+ ，从而有………………8分（ii ）2222220.00040.00040.000100.000110.140.10.01(0.08)0.17R ++++=-+++-+，0.001641=0.98460.06565=-≈. ………………11分 所以亩产量的变化有98.46%是由海水浓度引起的. ………………12分19、 （1）证明：（法一）取PD 的中点E ，连接AE ME ，．∵ //ME CD ，1=2ME CD ，//AN CD ，1=2AN CD ， ∴ //ME AN ，=ME AN ，即四边形AEMN 为平行四边形．∴ //MN AE ． ………………2分 ∵ PA AD =，E 是PD 的中点，∴ AE PD ⊥． ………………3分 ∵ PA ⊥平面ABCD ， ∴ PA CD ⊥． ∵ AD CD AD PA A ⊥=，， ∴ CD ⊥平面PAD ，∴ CD AE ⊥． ………………4分 ∵ CD PD D =， ∴ AE ⊥平面PCD ，即MN ⊥平面PCD ． ………………5分（法二） 连接PN CN ，，易证=PN CN∵ M 是PC 的中点， ∴ MN PC ⊥． ………………2分 易证CD ⊥平面PAD ，∴ CD PD ⊥， ∴ 12DM PC ==．∵DN =MN ==∴ 222DM MN DN +=， ∴ MN DM ⊥， ………………4分 ∵ DMPC M =， ∴ MN ⊥平面PCD ． ………………5分（2）解：（i ）Q 为PB 的中点． ………………6分∵ //DN CB ，CB α⊄，DN α⊂， ∴ //BC α． ∵ BC ⊂平面PBC ，平面PBC 平面α=MQ ，∴ //BC MQ ． ∵M 是PC 的中点 ，∴ Q 是PB 的中点． ………………7分（ii ）（法一）由（1）知，MN DM ⊥，∴ 1122DMN S DM MN ∆=⋅==∵////MQ BC DN ，11=22MQ BC DN =，∴ 12QMN DMN S S ∆∆==∴ 梯形DMQN 的面积为+DMN QMN S S ∆∆=……………… 9分 设点P 到平面DMQN 的距离为d ，则由P DMN N PDM V V --=可得1133DMN PDM S d S MN ∆∆⋅=⋅即11323d ⨯=d = ……………… 11分∴1133P DMQN DMQN V S d -=⋅=梯形． ……………… 12分（法二）112=333P MND N PMD PMD V V S NM --∆=⋅==． ……………… 9分13P MNQ M PNQ PNQ M V V S d --∆==⋅，其中，111=221222PNQ PNB S S ∆∆⎛⎫=⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭， ∵1//=2MQ DN MQ DN ，， ∴ 点M 到平面PNQ 的距离等于点D 到平面PNQ 的距离的一半，等于1． ∴ 111=11=333P MNQ M PNQ PNQ M V V S d --∆==⋅⨯⨯． ……………… 11分 ∴ 21=+=133P DMQNP MND P MNQ V V V ---=+． ……………… 12分（法三）连接BM ．P DMQN P BCDN M BCDN M BNQ V V V V ----=--．其中()118=222333P BCDN BCDN V S PA -⋅=⨯⨯⨯=平行四边形． ……………… 8分 ∵M 是PC 的中点，PA ⊥底面ABCD ，∴ M 到平面BCDN 的距离1112d PA ==，∴()1114=221333M BCDN BCDN V S d -⋅=⨯⨯⨯=平行四边形． ……………… 9分 ∵Q 是PB 的中点，∴ 在BNQ ∆中，Q 到底边BN 的距离112Q d PA ==． ∴112BNQ Q S BN d ∆=⋅=．∵1//=2MQ DN MQ DN ，，AD ⊥平面PAB ， ∴ M 到平面BNQ 的距离2112d AD ==．∴ 2111=11333M BNQ BNQ V S d -∆⋅=⨯⨯=． ……………… 11分 ∴ 841=1333P DMQN P BCDN M BCDN M BNQ V V V V ----=----=．……………… 12分20、 解：（1）不妨设()11A x y ，，()22B x y ，，其中221212==44x x y y ，． 由导数知识可知，抛物线C 在A 点处的切线1l 的斜率112x k =， 则切线1l 的方程为111()2x y y x x -=-，令=0y ，可得1(,0)2xM ．………………2分 ∵ ()0,1F ， ∴ 直线MF 的斜率1110202MF k x x -==--． ………………4分 ∵ 11MF k k ⋅=-， ∴AM MF ⊥． ………………5分（2）由（1）可知112S AM MF =⋅，其中AM ===，MF =，∴ 112S AM MF =⋅=11(2y + ………………7分同理可得221(2S y =+ ………………8分 ∴(1212121211(1)(144S S y y y y y y ⋅=++=+++． ………………9分设直线l 的方程为+1y kx =，联立方程2+14y kx x y=⎧⎨=⎩可得2440x kx --=，∴ 124x x ⋅=-． ∴ ()21212=116x x y y ⋅=． ………………10分∴ ()()12121122=144S S y y ⋅=++≥，当且仅当12=y y 时，等号成立． ∴ 12S S ⋅的最小值为1． ………………12分21、解：（1）若1a =，则1()e ln (0)x f x x x -=->，1e 1()(0)x x f x x x--'∴=>． ………………2分令1()e1(0)x t x x x -=->，则1()(1)e (0)x t x x x -'=+>．当0x >时，()0t x '>，即()t x 单调递增． ………………3分 又(1)0t =，∴当(0,1)x ∈时，()0t x <，()0f x '<，()f x 单调递减，当(1,)x ∈+∞时，()0t x >，()0f x '>，()f x 单调递增．()f x ∴的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞． ………………5分（2）由1()eln (0)x f x a x x -=->可知，1e ()(0)x x af x x x--'=>，当0a =时，1()e x f x -=，显然()f x 没有零点；当0e a <≤时，由（1）可知函数1()e x g x x a -=-在(0,)+∞单调递增，且(0)0g <，(e)0g >．∴存在唯一的0(0,e)x ∈使得0()0f x '=，即010e x x a -=①， ………………7分当0(0,)x x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减， 当0(,)x x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增，()f x ∴的最小值为0100()e ln x f x a x -=-②， ………………8分（法一）由①可知，010ex a x -=，∴()()00011100000min ()e e ln e 1ln x x x f x f x x x x x ---==-=-． ………………9分由题，0100ee x x -<≤，∴00ln 11x x +-≤，即00ln 2x x ≤-． ………………10分 ∴()()()()002111000000min ()e1ln e 12=e 10x x x f x f x x x x x x ---==-≥---≥⎡⎤⎣⎦，上式中两个等号不同时成立． 故()0min ()0f x f x =>，综上所述，函数()f x 无零点． ………………12分（法二）由①可知，010ex ax -=，且00ln ln 1x a x =-+，代入②式可得， 0001()(ln 1)f x a x a x =+--③， ………………9分 0(0,e)x ∈， 0012x x ∴+≥，当且仅当01x =，即1a =时取等号， 0()ln f x a a a ∴≥-，令()ln (0e)h x x x x x =-<≤，则()ln h x x '=-， 当(0,1)x ∈时，()0h x '>，()h x 单调递增， 当(1,e)x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减，当(0,1)x ∈时，ln 0x <，则ln 0x x <，即ln 0x x x ->，又(e)0h =， ………………10分∴当(0,e]x ∈时，()0h x ≥恒成立，当且仅当e x =时取等号，0e a <≤，()ln 0h a a a a ∴=-≥， ………………11分由于0()ln f x a a a ≥-，当且仅当1a =时取等号，()ln 0h a a a a =-≥，当且仅当e a =时取等号，两个等号不能同时成立，0()0f x ∴>， ()0f x ∴>恒成立，综上所述，函数()f x 无零点． ………………12分22、解：（1）由题意可知，圆1C 的直角坐标方程为22(1)1x y -+=，即2220x y x +-=，∴极坐标方程为2cos ρθ=， ………………2分由题意可知，圆2C 的直角坐标方程为22(4)16x y +-=，即2280x y y +-=，∴极坐标方程为8sin ρθ=. ………………4分（2）直线l 的极坐标方程为π(R)6θρ=∈， 直线l 与圆1C ，2C 交于不同于原点的点A ，B ，2cos6A πρ∴==8sin46B πρ==， ………………6分4A B AB ρρ∴=-=又点2(0,4)C 到直线AB 的距离为 ………………8分21(432C AB S ∆∴=⨯⨯=，2C AB ∴∆的面积为3. ………………10分23、解：（1）由题意可知，211x x x x ++-<-， ………………1分①当1x ≥时，原式可化为230x x ->，即0x <或3x >，3x ∴>； ………………2分 ②当11x -<<时，原式可化为220x x -->，即1x <-或2x >，x ∴无解； ………3分 ③当1x ≤-时，原式可化为20x x +>，即1x <-或0x >，1x ∴<-； ………………4分 综上所述，(,1)(3,)x ∈-∞-+∞. ………………5分（2）由题意可知，()11(1)(1)2f x x x x x =++-≥+--=，当11x -≤≤时，等号成立，………………6分又21()4g x x x =-≥-，当且仅当12x =时，等号成立， ………………7分 令()()()h x f x g x =+，当12x =时，()h x 取到最小值为17()24h =.……………9分 由题意可知74a <，故7(,)4a ∈-∞. ………………10分。

广东省深圳市2018届高三4月第二次调研考试数学（文科）一、选择题1.i为虚数单位，复数z＝1＋i的模为A. 1B. 2C. 3D. 22.已知集合M＝{x｜－2＜x＜1} ，N＝{x｜－1＜x＜2}，则M∩N＝A、{x｜－2＜x＜2}B、{x｜－1＜x＜2}C、{x｜－1＜x＜1}D、{x｜－2＜x＜1}3、已知函数的值为4、已知命题p：“学生甲通过了全省美术联考”；q：“学生乙通过了全省美术联考”，则表示A、甲、乙都通过了B、甲、乙都没有通过C、甲通过了，而乙没有通过D、甲没有通过，而乙通过了5、若实数a，b满足a＞b，则下列不等式成立的是6.两条异面直线在同一个平面上的正投影不．可能是 A.两条相交直线 B.两条平行直线 C.两个点 D.一条直线和直线外一点 7、执行如图1所示的程序框图，则输出0的概率为8、在△ABC 中，AB ＝AC ＝2，BC ＝23，则AB AC •u u u r u u u r＝A 、23B 、2C 、－23D 、－29、过点（0，－1）的直线l 与两曲线y ＝lnx 和x 2＝2py 均相切，则p 的值为 A 、14 B 、12C 、2D 、410.如图2，我们知道，圆环也可看作线段AB 绕圆心O 旋转一周所形成的平面图形，又圆环的面积22)()(22rR r R r R S +⨯⨯-=-=ππ.所以，圆环的面积等于是以线段r R AB -=为宽，以AB 中点绕圆心O 旋转一周所形成的圆的周长22rR +⨯π为长的矩形面积.请将上述想法拓展到空间，并解决下列问题： 若将平面区域d)r 0}()(|),{(222<<≤+-=其中r y d x y x M 绕y 轴旋转一周，则所形成的旋转体的体积是A. d r 22πB. d r 222πC. 22rd πD. 222rd π 二、 填空题 (一)必做题: 11、数列{n a }满足12、若角α的终边过点（1,2），则sin （πα+）的值为＿＿＿＿ 13、当k ＞0时，两直线kx －y ＝0,2x ＋ky －2＝0与x 轴围成的三角形面积的最大值为＿＿＿ (二)选做题:14.(坐标系与参数方程选做题)极坐标系(,)(02)ρθθπ≤<中，点（1,0）关于直线2sin ρθ＝1对称的点的极坐标是 .15.(几何证明选讲选做题)如图3，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，∠DAB ＝90°，DB ⊥BC ，AH ⊥BD ，垂足为H ，若DC ＝33，BC ＝3，则DH ＝＿＿＿＿ .三、 解答题:16.(本小题满分12分)已知函数)6cos(sin )(πωω++=x x x f ,其中R x ∈,ω＞0.(1) 当ω=1时,求)3(πf 的值;(2) 当)(x f 的最小正周期为π,求f （x ）在区间[0,]4π上取得最大值时x 的值.17.( 本小题满分13分)某企业通过调查问卷（满分50分）的形式对本企业900名员土的工作满意度进行调查，并随机抽取了其中30名员工（16名女员工，14名男员工）的得分，如下表：（1)根据以上数据，估计该企业得分大于45分的员工人数； （2)现用计算器求得这30名员工的平均得分为40.5分，若规定大于平均得分为‘满意’，否则为“不满意”，请完成下列表格：〔3）根据上述表中数据，利用独立性检验的方法判断，能否在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为该企业员工“性别”与“工作是否满意”有关？18.( 本小题满分13分)如图4，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为菱形，PB ⊥平面ABCD. （l ）若AC ＝6，BD ＝8，PB ＝3，求三棱锥A 一PBC 的体积； （2)若点E 是DP 的中点，证明：RD ⊥平面ACE ．19.( 本小题满分14分)设等差数列}{n a 的公差为d ,n S 是}{n a 中从第12-n 项开始的连续12-n 项的和,即（1）当13,2a d ==时，求4S（2）若1S ,2S ,3S 成等比数列,问:数列}{n S 是否成等比数列?请说明你的理由; (1) 若04151>=d a ,证明:*),14121(981111321N n d S S S S n n ∈+-≤++++Λ.20.（本小题满分14分）如图5，椭圆E:22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，F 为右焦点，点A 、B 分别为左、右顶点，椭圆E 上的点到F 的最短距离为1 （l)求椭圆E 的方程；(2）设t ∈R 且t ≠0，过点M(4, t)的直线MA, MB 与椭圆E 分别交于点P ，Q ．求证：点P ，F,Q 共线．20.( 本小题满分14分)已知a 为正常数,点A,B 的坐标分别是)0,(),0,(a a -,直线AM,BM 相交于点M,且它们的斜率之积是21a-. (1) 求懂点M 的轨迹方程,并指出方程所表示的曲线;(2) 当2=a 时,过点)0,1(F 作直线AM l ∥,记l 与(1)中轨迹相交于两点P,Q,动直线AM 与y 轴交与点N,证明ANAM PQ 为定值.21.( 本小题满分14分)设f （x ）是定义在［a ，b ］上的函数，若存在c (,)a b ∈，使得f（x）在［a，c］上单调递减，在［c，b］上单调递增，则称f（x）为［a，b］上单谷函数，c为谷点。

2018年新课标Ⅱ高考数学理科试题
5 c 1,0,2｝，B=｛x|（X-1）（x+2）＜0｝,则A∩B=
（A）｛--1,0｝（B）｛0,1｝（c）｛-1,0,1｝（D）｛,0,，1，2｝（2）若a为实数且（2+ai）（a-2i）=-4i,则a=
（A）-1 （B）0 （c）1 （D）2
（3）根据下面给出的1）=0，当x 0时，，则使得f (x) 0成立的x的取值范围是
（A）（B）
（c）（D）
二、填空题
（13）设向量a，b不平行，向量与，则实数
（14）若x，满足约束条，则的最大值为____________
（15）的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则α=__________
（16）设Sn是数列{an}的前n项和，且α1=-1，αn+1=SnSn+1，则Sn=___________________________
三．解答题
（17） ABc中，D是Bc上的点，AD平分∠BAc， ABD是 ADc面积的2倍。

(Ⅰ)
(Ⅱ)
(18)某司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了x
(Ⅰ)证明f(x)在（-∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增；
（Ⅱ）若对于任意x 1, x2∈[-1,1],都有｜f(x1)- f(x2)｜≤e-1,求的取值范围
请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号。

2017-2018学年 数学（理科） 第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数z 满足()11i z i +=-（i 为虚数单位），则z =（ ）A．2C ．2D ．1 2.设,A B 是两个集合，则“x A ∈”是“()x A B ∈”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3.若1cos 23πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，则()cos 2πα-=（ ） A．C ．79-D ．794.若实数,x y 满足约束条件1010410x y x x y +-≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩，则目标函数13y z x +=+的最大值为（ ）A ．14 B ．23 C ．32D ．2 5.在如图所示的流程图中，若输入的,,a b c 的值分别为2，4，5，则输出的x =（ ） A ．1 B ．2 C ．lg 2 D ．106.已知函数()f x 的图象是由函数()cos g x x =的图象经过如下变换得到：先将()g x 的图象向右平移3π个单位长度，再将其图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，则函数()f x 的图象的一条对称轴方程为（ ） A ．6x π=B ．512x π=C ．3x π=D ．712x π=7.以直线y =为渐近线的双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．3 C ．2或3D 8.2位男生和3位女生共5位同学站成一排，则3位女生中有且只有两位女生相邻的概率是（ ） A ．310 B ．35 C ．25 D ．159.如图，正方形ABCD 中，M N 、分别是BC CD 、的中点，若AC AM BN λμ=+，则λμ+=（ ）A ．2B ．83 C ．65 D ．8510.已知()()ln ,0ln ,0x x x f x x x x -->⎧=⎨--+<⎩，则关于m 的不等式11ln 22f m ⎛⎫<- ⎪⎝⎭的解集为（ ）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．()0,2 C ．11,00,22⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭D ．()()2,00,2-11.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则它的体积为（ ）A ．48B ．16C ．32D ．12.设定义在()0,+∞上的函数()f x 满足()()11ln ,xf x f x x x f e e⎛⎫'-== ⎪⎝⎭，则()f x （ ） A ．有极大值，无极小值 B ．有极小值，无极大值 C ．既有极大值，又有极小值 D ．既无极大值，也无极小值第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13.高为π，体积为2π的圆柱的侧面展开图的周长为___________．14.过点()3,1P 的直线l 与圆()()22:224C x y -+-=相交于,A B 两点，当弦AB 的长取最小值时，直线l 的倾倒角等于___________．15.在10201612x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，4x 项的系数为_________．（结果用数值表示）16.如图，在凸四边形ABCD 中，1,,AB BC AC CD AC CD ==⊥=．当ABC ∠变化时，对角线BD 的最大值为___________．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，n a 是n S 和1的等差中项． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n na 的前n 项和n T ． 18.（本小题满分12分）某市在对学生的综合素质评价中，将其测评结果分为“优秀、合格、不合格”三个等级，其中不小于80分为“优秀”，小于60分为“不合格”，其它为“合格”．（1）某校高一年级有男生500人，女生400人，为了解性别对该综合素质评价结果的影响，采用分层抽样的方法从高一学生中抽取了45名学生的综合素质评价结果，其各个等级的频数统计如下表：根据表中统计的数据填写下面22⨯列联表，并判断是否有90%的把握认为“综合素质评价测评结果为优秀与性别有关”？（2）以（1）中抽取的45名学生的综合素质评价等级的频率作为全市各个评价等级发生的概率，且每名学生是否“优秀”相互独立，现从该市高一学生中随机抽取3人．①求所选3人中恰有2人综合素质评价为“优秀”的概率；②记X 表示这3人中综合素质评价等级为“优秀”的个数，求X 的数学期望．参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．临界值表：19.（本小题满分12分）在三棱柱111ABC A B C -中，CA CB =，侧面11ABB A 是边长为2的正方形，点,E F 分别在线段111,AA A B 上，且113,,24AE A F CE EF ==⊥ . （1）证明：平面11ABB A ⊥平面ABC ；（2）若CA CB ⊥，求直线1AC 与平面CEF 所成角的正弦值．20.（本小题满分12分）过抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，且,A B 两点的纵坐标之积为-4．（1）求抛物线C 的方程；（2）已知点D 的坐标为()4,0，若过D 和B 两点的直线交抛物线C 的准线于P 点，求证：直线AP 与x 轴交于一定点．21.（本小题满分12分）已知函数()2x ax f x e=，直线1y x e =为曲线()y f x =的切线（e 为自然对数的底数）．（1）求实数a 的值；（2）用{}min ,m n 表示,m n 中的最小值，设函数()()()1min ,0g x f x x x x ⎧⎫=->⎨⎬⎩⎭，若函数()()2h x g x cx =-为增函数，求实数c 的取值范围．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，AB 为圆O 的直径，C 在圆O 上，CF AB ⊥于F ，点D 为线段CF 上任意一点，延长AD 交圆O 于E ，030AEC ∠=．（1）求证：AF FO =；（2）若CF =AD AE 的值．23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系中x 轴的正半轴重合．若曲线C 的参数方程为32cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），直线l 的极坐标方程为sin 14πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．（1）将曲线 C 的参数方程化为极坐标方程；（2）由直线l 上一点向曲线C 引切线，求切线长的最小值． 24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲若关于x 的不等式231x x m --+≥+有解，记实数m 的最大值为M ． （1）求M 的值；（2）正数,,a b c 满足2a b c M ++=，求证：111a b b c+≥++．参考答案一、选择题1.D2.B3.C4.C5.A6.A7.C8.B9.D 10.C 11.B 12.D 二、填空题 13. 6π 14. 4π（或45°）1 三、解答题17.解：（1）由已知得12n n S a +=，① 当2n ≥时，()1121n n S a --=-，②①-②可得()*1222,n n n a a a n n N -=-≥∈，∴12n n a -=；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）由12n n n a b n -=得01211122331222322n n n n T a b a b a b L a b L n -=++++=++++， ()1210121212221221222222221212n n n n n nn n nn T L n n T L n n n --=+++-+--=++++-=-=--- ∴()121nn T n =-+．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 18.解：（1）设从高一年级男生中抽出m 人，则45,m 25500500400m ==+， ∴25205,20182x y =-==-=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 4分而()24515510159 1.125 2.706301525208k ⨯⨯-⨯===<⨯⨯⨯，所以没有90%的把握认为“测评结果为优秀与性别有关”．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）①由（1）知等级为“优秀”的学生的频率为15152453+=，所以从该市高一学生中随机抽取1名学生，该生为“优秀”的概率为23． 记“所选3名学生中恰有2人综合素质评价为‘优秀’学生”为事件A ，则事件A 发生的概率为()2232241339P A C ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 9分 ②由题意知，随机变量23,3XB ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 所以随机变量X 的数学期望()2323E X =⨯=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 19.解：（1）取线段AB 中点M ，连接EM ． 在正方形11ABB A 中，131,2AM A E ==， 在Rt EAM ∆和1Rt FA E ∆中，1123AE AM A F A E ==， 又12EAM FA E π∠=∠=，所以1Rt EAMRt FA E ∆∆，∴1AEM A FE ∠=∠，从而1112AEM A EF A FE A EF π∠+∠=∠+∠=，所以2FEM π∠=，即EF EM ⊥．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分又,EF CE ME CE E ⊥=，所以EF ⊥面CEM ．QCM ⊂面CEM ，∴CM EF ⊥．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 在等腰三角形CAB ∆中，CM AB ⊥，又AB 与EF 相交，知 ∴CM ⊥面1AB ，QCM ⊂面ABC ，∴面11ABB A ⊥面ABC ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）在等腰三角形CAB ∆中，由,2CA CB AB ⊥=知CA CB ==1CM =， 记线段11A B 中点为N ，连接MN ，由（1）知，,,MC MA MN 两两互相垂直，以M 为坐标原点，分别以,,MC MA MN 为正交基底建立如图所示空间直角坐标系Oxyz ，则()()()1111,0,0,0,1,,0,,2,0,1,0,1,0,224C E F A C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分设平面CEF 的法向量为(),,n x y z =，则,n CE n EF ⊥⊥，即102202332042x y z x y z y z y z ⎧-++=⎪--=⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪-+=⎪⎩， 取2z =，则4,5y x ==，从而得到平面CEF 的一个法向量()5,4,2n =．．．．．．．．．．．．．．10分()11,1,2AC =-，记直线1AC 与平面CEF 所成角为θ，则111154sin cos ,456AC n AC nAC nθ-====． 故直线1AC 与平面CEF 所成角的正弦值为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 20.解：（1）由于抛物线的焦点坐标为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，故可设直线AB 的方程为2p x my =+，由方程组222y pxp x my ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，消去x ，并整理，得2220y pmy p --=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分设()()1122,,,A x y B x y ，则212y y p =-，∴24p -=-，由0p >可得，2p =，∴ 抛物线C 的方程为24y x =，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 （2）解法一：依题意，直线BD 与x 不垂直， ∴24x ≠，∴直线BD 的方程可表示为()2244y y x x =--，①．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分∵抛物线C 的准线方程为1x =-，② 由①，②联立方程组可求得P 点坐标为2251,4y x ⎛⎫--⎪-⎝⎭， 由（1）可得124y y =-， ∴214y y -=， 从而P 点坐标可化为12151,1y y ⎛⎫- ⎪-⎝⎭，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 ∴直线AP 的斜率为1121121151411APy y y y k x y --==---，∴直线AP 的方程可表示为()1112141y x x y y y --=-，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 令0y =，可求得222111111114444y y x x y --=-=-=，∴直线AP 与x 轴交于定点1,04⎛⎫⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 解法二：直线AP 与x 轴交于定点1,04M ⎛⎫ ⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 证明如下：依题意，直线BD 与x 不垂直， ∴24x ≠，∴直线BD 的方程可表示为()2244y y x x =--，①．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 ∵抛物线C 的准线方程为1x =-，②由①，②联立方程组可求得P 点坐标为2251,4y x ⎛⎫--⎪-⎝⎭， 由（1）可得124y y =-， ∴214y y -=， 从而P 点坐标可化为12151,1y y ⎛⎫- ⎪-⎝⎭，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 ∴P M 、两点的连线斜率为12112150141114PMy y yk y --==---，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 A M 、两点的连线斜率为1121104114AM y yk y x -==--．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分 ∴PM AM k k =∴P A M 、、三点共线，即直线AP 与x 轴交于定点1,04M ⎛⎫ ⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 21．解：（1）对()f x 求导得()()()2222x xxx x x x e x e f x aa e e --'==．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分 设直线1y x e=与曲线()y f x =切于点()00,P x y ，则 ()002000121x x ax x e e x x a ee ⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，解得01a x ==， 所以a 的值为1．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分（2）记函数()()211,0x x F x f x x x x x e x ⎛⎫=--=-+> ⎪⎝⎭，下面考察函数()y F x =的符号，对函数()y F x =求导得()()2211,0x x x F x x e x -'=-->．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 当2x ≥时，()0F x '<恒成立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分当02x <<时，()()22212x x x x +-⎡⎤-≤=⎢⎥⎣⎦， 从而()()222221111111110x x x x F x e x e x x x-'=--≤--<--=-<．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分∴()0F x '<在()0,+∞上恒成立，故()y F x =在()0,+∞上单调递减．()()214310,202QF F e e =>=-<，∴()()120F F <， 又曲线 ()y F x =在[]1,2上连续不间断，所以由函数的零点存在性定理及其单调性知∃唯一的()01,2x ∈，使()00F x =．∴()()00,,0x x F x ∈>；()0,x x ∈+∞，()0F x <，∴()()0201,01min ,,xx x x x g x f x x x x x x e ⎧-<≤⎪⎪⎧⎫=-=⎨⎬⎨⎩⎭⎪>⎪⎩， 从而()()2022201,0,xx cx x x x h x g x cx x cx x xe ⎧--<≤⎪⎪=-=⎨⎪->⎪⎩， ∴()()020112,022,x cx x x xh x x x cx x xe ⎧+-<<⎪⎪'=⎨-⎪->⎪⎩，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分由函数()()2h x g x cx =-为增函数，且曲线()y h x =在()0,+∞上连续不断知()0h x '≥在()00,x ，()0x ,+∞上恒成立．①当0x x >时，()220xx x cx e --≥在()0x ,+∞上恒成立，即22x xc e -≤在()0x ,+∞上恒成立， 记()02,x x u x x x e -=>，则()03,xx u x x x e -'=>， 当x 变化时，()(),u x u x '变化情况列表如下：∴()()()3min 3u x u x u e ===-极小， 故“22x x c e -≤在()0,x +∞上恒成立”只需()3min12c u x e ≤=-，即 312c e≤-． ②当00x x <<时，()2112h x cx x'=+-，当0c ≤时，()0h x '>在()00,x 上恒成立，综合①②知，当312c e≤-时，函数()()2h x g x cx =-为增函数．故实数c 的取值范围是31,2e ⎛⎤-∞-⎥⎝⎦．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 22.（1）证明 ：连接,OC AC ，∵030AEC ∠=，∴0260AOC AEC ∠=∠=， 又OA OC =，∴AOC ∆为等边三角形， ∵CF AB ⊥，∴CF 为AOC ∆中AO 边上的中线，∴AF FO =；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）解：连接BE ，∵CF =AOC ∆边等边三角形， 可求得1,4AF AB ==，∵AB 为圆O 的直径，∴090AEB ∠=，∴AEB AFD ∠=∠，又∵BAE DAF ∠=∠，∴AEB AFD ∆∆，∴AD AFAB AE=， 即414AD AE AB AF ==⨯=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分23.解：（1）圆C 的直角坐标方程为()2234x y -+=，又222,cos ,sin x y x y ρρθρθ+===，∴圆C 的极坐标方程为26cos 50ρρθ-+=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）由直线l sin 14πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭变形可得 sin cos 1ρθρθ-=，∴l 的直角坐标方程为10x y -+=， 设直线l 上点P ，切点A ，圆心()3,0C ， 则有222PA PC AC =-， 当PC 最小时，有PA 最小，而PC ≥=，所以2PA =≥=．即切线长的最小值为2．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分24．解：（1）由23325x x x x --+≤+-+=，若231x x m --+≥+有解，应满足15m +≤，解得64m -≤≤，所以4M =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）由正数,,a b c 满足24a b c ++=，知()()111111111221444a b b c a b b c a b b c a b b c a b b c b c a c b c a b ⎛⎫++++⎛⎫⎛⎫+=++++=+++≥+=⎡⎤ ⎪ ⎪ ⎪⎣⎦ ⎪++++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当,2a c a b =+=时取等号．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分。