2019届湖北省武汉市高三2月调研测试数学(文)试题(解析版)

2019届湖北省武汉市高三2月调研测试数学（文）试题一、单选题 1．已知复数满足，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】将原等式变形，利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，从而可得结果. 【详解】 因为复数满足，所以，故选B.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.2．已知集合A ={x |x 2-4|x |≤0}，B ={x |x ＞0}，则A ∩B =（ ） A ．(]0,4 B ．[]0,4C ．[]0,2D ．(]0,2 【答案】A【解析】先求出集合A ，然后进行交集的运算即可． 【详解】 A={x|-4≤x≤4}； ∴A∩B=（0，4]． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了集合描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算，属于中档题．3．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=12，S 5=90，则等差数列{a n }公差d =（ ）A．2 B．32C．3 D．4【答案】C【解析】根据等差数列的求和公式即可得出．【详解】∵a1=12，S5=90，∴5×12+542d=90，解得d=3．故选：C．【点睛】本题主要考查了等差数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．执行如图所示的程序框图，则输出的值为（）A．5 B．12 C．27 D．58【答案】C【解析】模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可得到输出的的值.【详解】第一次循环：；第二次循环：；第三次循环：；第四次循环：，退出循环，输出，故选C．【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可. 5．设向量a =（1，-2），b =（0，1），向量λa +b 与向量a +3b 垂直，则实数λ=（ ） A ．12B ．1C ．1-D ．12-【答案】B【解析】由已知先求出λ+a b ，+3a b ，然后根据向量垂直，结合向量数量积的性质可求. 【详解】∵()()1,2,0,1a b =-=∴λ+a b =（λ，1-2λ），+3a b =（1，1）， ∵向量λ+a b 与向量+3a b 垂直， ∴λ+1-2λ=0， 则实数λ=1 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了向量的数量积的性质的坐标表示，属于中档题. 6．已知α是第一象限角，sinα=2425，则tan 2α=（ ） A ．43-B ．43C ．34-D ．34【答案】D【解析】由题意首先求得tan 2α的取值范围，然后结合二倍角公式和同角三角函数基本关系得到关于tan 2α的方程，解方程即可确定tan2α的值.【详解】∵α是第一象限角，sinα2425=，∴2kπ<α<2kππ2+，k ∈Z ，∴kπ2α<<kππ4+，k ∈Z ，∴0<tan2α<1，∴sinα＝2sin2αcos 2222sincos2tan24222225sin cos 1tan 222ααααααα===++， 整理得：12tan22α-25tan 2α+12＝0，解得tan 423α=（舍去）或tan 2α=34．故选D ．【点睛】本题主要考查二倍角公式的应用，同角三角函数基本关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 7．已知函数在区间上单调递增，则的最大值为（ ）A ．B ．1C ．2D ．4 【答案】C 【解析】由可得，利用可得结果.【详解】 当时，，因为函数在区间上单调递增，正弦函数在上递增，所以可得，解得，即的最大值为2，故选C ．【点睛】本题主要考查正弦函数单调性的应用，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.8．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A （8，0），以OA 为直径的圆与直线y =2x 在第一象限的交点为B ，则直线AB 的方程为（ ） A ．280x y +-= B ．280x y --= C ．2160x y +-= D ．2160x y --=【答案】A【解析】根据AB 为圆的直径得OB ⊥AB ，故有112AB OB k k ==-，再根据点斜式可得直线方程． 【详解】根据AB 为圆的直径得OB ⊥AB ，∴112AB OB k k ==- 由点斜式可得直线AB 的方程为y-0=-12（x-8），即x+2y-8=0． 故选：A ． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题． 9．函数f （x ）=x 2-ln x 的最小值为（ ） A ．1ln2+ B ．1ln2-C ．1ln22+ D ．1ln22- 【答案】C【解析】由函数f （x ）=x 2-lnx ，可以求出函数的导函数的解析式，进而判断出函数的单调性，进而得出当时，函数取最小值． 【详解】∵函数f （x ）=x 2-lnx ，∴f′（x ）=2x-1x（x ＞0） 令f′（x ）=2x-1x=0解得∵当x ∈（0，2）时，f′（x ）＜0，当x ∈（2，+∞）时，f′（x ）＞0故在区间（0，2）上，函数f （x ）为减函数，在区间（2，+∞）上，函数f （x ）为增函数，则当x=2时，函数取最小值1+ln 22 ． 故选：C ． 【点睛】本题考查的知识点是利用导数求闭区间上函数的最值，其中求出函数的导函数，进而分析函数的单调性及函数的最小值点是解答本题的关键．10．在△ABC 中，角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ．已知a ，A -B =2π，则角C =（ ） A ．12π B ．6π C ．4π D ．3π 【答案】B【解析】根据条件，直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦定理的应用求出结果． 【详解】在△ABC 中，角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ．已知 b ，A-B=2π，则：B ，故：sin 2B B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，整理得：cos B B = ，所以：， 由于：0＜B ＜π，故：B=6π ． 2263A πππ=+= ，则：2636C ππππ=--= 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了三角函数关系式的变换，正弦定理余弦定理和三角形面积的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型． 11．下列说法中正确的是（ ）A.事件A ，B 中至少有一个发生的概率一定比A ，B 中恰有一个发生的概率大B.事件A ，B 同时发生的概率一定比事件A ，B 恰有一个发生的概率小C.互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件D.互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件 【答案】D【解析】试题分析：互斥事件是不可能同时发生的事件，而对立事件是A 不发生B 就一定发生的事件，他两个的概率之和是1． 解：由互斥事件和对立事件的概念知 互斥事件是不可能同时发生的事件对立事件是A 不发生B 就一定发生的事件， 故选D点评：对立事件包含于互斥事件，是对立事件一定是互斥事件，但是互斥事件不一定是对立事件，认识两个事件的关系，是解题的关键．12．在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点A 关于平面BDC 1对称点为M ，则M 到平面A 1B 1C 1D 1的距离为（ ） A ．32B ．54C ．43D ．53【答案】D【解析】以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，求出平面BDC 1的法向量n =（1，-1，1），从而平面BDC 1的方程为x-y+z=0，进而过点A （1，0，0）且垂直于平面BDC 1的直线方程为（x-1）=-y=z ，推导出过点A （1，0，0）且垂直于平面BDC 1的直线方程与平面BDC 1的交点为211333⎛⎫ ⎪⎝⎭，，-，得到点A关于平面BDC 1对称点M 122333⎛⎫ ⎪⎝⎭，，-，由此能求出M 到平面A 1B 1C 1D 1的距离．【详解】以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，D （0，0，0），B （1，1，0），C 1（0，1，1），A （1，0，0），A 1（1，0，1）， DB =（1，1，0），1DC =（0，1，1）， 设平面BDC 1的法向量n =（x ，y ，z ），则100n DB x y n DC y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取x=1，得n =（1，-1，1），∴平面BDC 1的方程为x-y+z=0，过点A （1，0，0）且垂直于平面BDC 1的直线方程为： （x-1）=-y=z ，令（x-1）=-y=z=t ，得x=t+1，y=-t ，z=t ， 代入平面方程x-y+z=0，得t+1+t+t=0，解得t=13-， ∴过点A （1，0，0）且垂直于平面BDC 1的直线方程与平面BDC 1的交点为211333⎛⎫ ⎪⎝⎭，，-∴点A 关于平面BDC 1对称点M 122333⎛⎫ ⎪⎝⎭，，-， 1225333A M ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，-，平面A 1B 1C 1D 1的法向量m =（0，0，1），∴M 到平面A 1B 1C 1D 1的距离为d=15=3m A M m⋅ 故选：D ． 【点睛】本题考查点到平面的距离的求法，考查平面方程、中点坐标公式、点到平面的距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．二、填空题13．函数2()ln()f x x x =-的定义域为 ． 【答案】()0,1【解析】试题分析：由题意得2001x x x ->⇒<<，即定义域为(0,1) 【考点】函数定义域14．已知双曲线2224xy b-=1（b ＞0±y =0，则b =______． 【答案】【解析】利用双曲线方程写出渐近线方程求解b 即可． 【详解】双曲线22214x y b-=（b ＞0）的渐近线方程：bx±2y=0，因为双曲线22214x y b -=（b ＞0y=0，所以2b=故答案为： 【点睛】本题主要考查了双曲线的简单性质的应用，属于容易题．15．已知x ，y 满足约束条件1311x y x y ≤+≤⎧-≤-≤⎨⎩，则z =2x +y 的最大值为______．【答案】5【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案． 【详解】由x ，y 满足约束条件1311x y x y ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩，作出可行域如图，联立31x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得A （2，1）．化目标函数z=2x+y 为y=-2x+z ．由图可得，当直线y=2x-z 过A 时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最大值为2×2+1=5． 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题． 16．如图，一边长为30cm 的正方形铁皮，先将阴影部分裁下，然后用余下的四个全等等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，要使这个容器的容积最大，则等腰三角形的底边长为______（cm ）．【答案】【解析】设所截等腰三角形的底边边长为xcm ，根据所给的数据写出四棱锥的高，即可写出四棱锥的体积，然后利用基本不等式求最值． 【详解】设所截等腰三角形的底边边长为x cm ，（0＜x ＜30）．在Rt △EOF 中，EF=15cm ，OF=12xcm ，∴EO ． 于是13V x ==≤= （cm 3）．当且仅当x 2=1800-2x 2，即x=时取“=”．故答案为： 【点睛】本题主要考查棱柱体积最值的求法，考查了利用基本不等式求最值，属于中档题．三、解答题17．已知{a n }为正项等比数列，a 1+a 2=6，a 3=8． （1）求数列{a n }的通项公式a n ；（2）若b n =2nnlog a a ，且{b n }前n 项和为T n ，求T n ． 【答案】(1) a n =2n；(2) T n =2-（n +2）•（12）n 【解析】（1）等比数列的公比设为q ，q ＞0，由等比数列的通项公式，解方程可得所求通项； （2）求得b n =2n n log a a =n •（12）n ，运用数列的错位相减法求和，以及等比数列的求和公式，化简计算可得所求和． 【详解】（1）{a n }为正项等比数列，公比设为q ，q ＞0，a 1+a 2=6，a 3=8．可得a 1+a 1q =6，a 1q 2=8，解得a 1=q =2，即a n =2n；（2）b n =2n n log a a =n •（12）n ， T n =1•12+2•14+…+n •（12）n ， 12T n =1•14+2•18+…+n •（12）n +1， 相减可得12T n =12+14+18+…+（12）n -n •（12）n +1=11122112n ⎛⎫- ⎪⎝⎭--n •（12）n +1，化简可得T n =2-（n +2）•（12）n ． 【点睛】本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的错位相减法求和，以及方程思想和运算能力，属于基础题．18．如图，已知四边形ABCD 为梯形，AB ∥CD ，∠DAB =90°，BDD 1B 1为矩形，平面BDD 1B 1⊥平面ABCD ，又AB =AD =BB 1=1，CD =2．（1）证明：CB 1⊥AD 1； （2）求B 1到平面ACD 1的距离． 【答案】(1)见证明；(2)1【解析】（1）推导出BB 1⊥平面ABCD ，DD 1⊥平面ABCD ，连结AC ，推导出B 1C ⊥B 1D 1，B 1C ⊥AB 1，从而B 1C ⊥面B 1D 1A ，由此能证明CB 1⊥AD 1．（2）求出四面体B 1-AD 1C 的体积V =1132=，，设B 1到平面ACD 1的距离为h ，由等体积法得113AD CS •h =11B AD C V -，，由此能求出B 1到平面ACD 1的距离．【详解】证明：（1）∵BDD 1B 1是矩形，且平面BDD 1B 1⊥平面ABCD ，∴BB 1⊥平面ABCD ，DD 1⊥平面ABCD ，在Rt △D 1DC 中，D 1C AD 1，AB 1，连结AC ，在梯形ABCD 中，∠DAB =90°，AD =AB =1，DC =2，∴AC BC ∴B 1C在△B 1D 1C 中，D 1C 11B D BD ==B 1C ∴B 1C ⊥B 1D 1，在△B 1CA 中，B 1C ，AB 1，AC ∴B 1C ⊥AB 1，∵B 1D 1∩AB 1=B 1，∴B 1C ⊥面B 1D 1A ， ∵AD 1⊂平面B 1D 1A ，∴CB 1⊥AD 1．解：（2）在△B 1D 1A 中，AB 1=B 1D 1，AD 1，则△BD 1A 的面积S 2=2，∴四面体B 1-AD 1C 的体积V =11322⨯=，在△ACD 1中，AC =CD 1AD 1，∴等腰△ACD1的边AD 1上的高d ，∴△ACD1的面积S =12=32， 设B 1到平面ACD 1的距离为h ，由等体积法得113AD CS •h =11B AD C V -，∴131322h ⨯⨯=，解得h =1， ∴B 1到平面ACD 1的距离为1． 【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19．一个工厂在某年里连续10个月每月产品的总成本y （万元）与该月产量x （万件）之间有如下一组数据：（1）通过画散点图，发现可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，请用相关系数加以说明；（2）①建立月总成本y 与月产量x 之间的回归方程；②通过建立的y 关于x 的回归方程，估计某月产量为1.98万件时，此时产品的总成本为多少万元？（均精确到0.001）附注：①参考数据：101ii x =∑=14.45，101ii y =∑=27.31=0.850，，b =1.222．②参考公式：相关系数：rnx y nxy-．回归方程y =b x +a 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b =1221ni i i n i i x y nxy x nx==--∑∑，a =y -b x【答案】（1）见解析；（2）① 1.22206ˆ.95yx =+；②3.385万元． 【解析】（1）由已知条件利用公式ˆr b=，求得r 的值，再与0.75比较大小即可得结果；（2）根据所给的数据，做出变量,x y 的平均数，根据样本中心点一定在线性回归方程上，求出a 的值，写出线性回归方程；将 1.98x =代入所求线性回归方程求出对应的y 的值即可. 【详解】（1）由已知条件得：0.8501.2220.9970.751.042ˆr b==⨯=>， 这说明y 与x 正相关，且相关性很强．（2）①由已知求得 1.445, 2.731, 2.731 1.222 1.445ˆˆ0.965x y ay bx ===-=-⨯=， 所以所求回归直线方程为 1.22206ˆ.95yx =+． ②当 1.98x =时， 1.222 1.980.965 3.385y =⨯+=（万元）， 此时产品的总成本为3.385万元． 【点睛】本题主要考查线性回归方程的求解与应用，属于中档题.求回归直线方程的步骤：①依据样本数据确定两个变量具有线性相关关系；②计算211,,,n nii ii i x y x x y ==∑∑的值；③计算回归系数ˆˆ,ab ；④写出回归直线方程为ˆˆˆy bx a =+； 回归直线过样本点中心(),x y 是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.20．已知椭圆Γ：22x a +22y b =1（a ＞b ＞0）的长轴长为4，离心率为2．（1）求椭圆Γ的标准方程；（2）过P （1，0）作动直线AB 交椭圆Γ于A ，B 两点，Q （4，3）为平面上一定点连接QA ，QB ，设直线QA ，QB 的斜率分别为k 1，k 2，问k 1+k 2是否为定值，如果是，则求出该定值；否则，说明理由．【答案】(1)2 4x +22y =1 (2)见解析 【解析】（1）依题意2a=4，a=2，e =c a，则，由椭圆的几何性质可得b 的值，代入椭圆的方程即可得答案；（2）根据题意，分2种情况讨论：当直线l 的斜率存在时，设其方程为y=k （x-1），联立直线与椭圆的方程，由根与系数的关系分析可得k 1+k 2的值，当直线l 的斜率不存在时，求出A 、B 的坐标，计算可得k 1+k 2的值，综合即可得答案． 【详解】（1）依题意2a =4，a =2，e =c a，则c，则b 2=a 2-c 2=2， ∴椭圆Γ的标准方程为24x +22y=1．（2）当直线AB 的斜率存在时，设直线AB ：y =k （x -1），与椭圆交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由()221142y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，消y 整理可得（2k 2+1）x 2-4k 2x +2k 2-4=0，显然△＞0，∴x 1+x 2=22421k k +，x 1x 2=222421k k -+， 从而k 1+k 2=1134y x --+2234y x --=()11134k x x ---+()22134k x x ---=k +1334k x --+k +2334k x --， =2k +（3k -3）•（114x -+214x -）， =2k +（3k -3）•()1212128416x x x x x x +--++，=2k +（3k -3）•()()()22222482124441621k k k k k-+--++，=2k +（3k -3）•（-23）=2， 当直线AB 的斜率不存在时，A （1，2），B （1，-2），则k 1+k 2=3214--+3214--=2，综上所述k 1+k 2=2． 【点睛】本题考查椭圆的标准方程的求法，考查两直线的斜率之和是否为定值的判断与求法，考查椭圆、直线方程等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题． 21．已知函数f （x ）=ex +1-a ln ax +a （a ＞0）．（1）当a =1时，求曲线y =f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程； （2）若关于x 的不等式f （x ）＞0恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】(1) （e 2-1）x -y -2=0．(2) （0，e 2）【解析】（1）直接利用函数的导数求出直线的斜率，进一步求出直线的方程． （2）利用构造函数的方法，利用函数的单调性和函数的恒成问题的应用，进一步求出参数的取值范围． 【详解】（1）当a =1时，函数f （x ）=e x +1-a ln ax +a ， 转换为：f （x ）=e x +1-ln x +1，故：()11'x f x ex+=-． 故切线的斜率k =f ′（1）=e 2-1，故切线的方程为：y -f （1）=f ′（1）（x -1），整理得：y -（e 2-1）=（e 2-1）（x -1）， 即（e 2-1）x -y -2=0． （2）f （x ）=e x +1-a ln ax +a ，所以：()1'x a f x ex +=-=1x xe a x+-， 显然：g （x ）=xe x +1-a 在（0，+∞）上单调递增．由于g （0）=-a ＜0，所以：g （a ）=ae a +1-a ＞0，则：存在x 0∈（0，a ），使得g （x 0）=0，即：010x x ea +=，ln a =ln x 0+x 0+1，又0＜x ＜x 0，f ′（x ）＜0， 所以函数f （x ）单调递减．x ＞x 0，f ′（x ）＞0，函数f （x ）单调递增． f （x ）在x =x 0处取得最小值()0100x f x e alnx alna a +=--+．故：()0100x f x ealnx alna a +=--+，=00012a x lnx x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭由f （x ）＞0恒成立， 得到：f （x 0）＞0， 即：000120a x lnx x ⎛⎫--⎪⎝⎭＞， 所以：000120x lnx x --＞， 设h （x ）=12x lnx x--， 则：()212'1h x x x=---＜0，所以：函数h （x ）在（0，+∞）上单调递减． 由于h （1）=0， 则h （x ）＞0， 解得：0＜x ＜1， 所以：0＜x 0＜1，010x a x e +=由，在x 0∈（0，1）单调递增，所以：0＜a ＜e 2．因此a =0120x x ee +＜，故：a 的取值范围为（0，e 2）．【点睛】本题主要考查了导数的应用，曲线的切线的意义，利用构造函数的方法利用导数求出函参数的取值范围，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于中档题型． 22．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线，曲线．（1）求的直角坐标方程；（2）已知曲线与轴交于两点，为上任一点，求的最小值．【答案】（1），；（2）【解析】（1）直接利用即可得的直角坐标方程；（2）与轴交于点，而关于直线的对称点为，则，利用数形结合转化为两点间的距离即可得结果.【详解】（1）由，得，即的直角坐标方程为；由，得，即的直角坐标方程为．（2）与轴交于点，而关于直线的对称点为，．【点睛】本题主要考查极坐标的应用，属于中档题. 用关系式，等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，极坐标问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题．23．已知函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）若关于的不等式在时恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】（1）当时，由，得，两边平方，利用一元二次不等式的解法求解即可；（2）对恒成立，等价于，即对恒成立，求出的最大值与的最小值即可得结果.【详解】（1）当时，由，得，，，解得或，所以的解集为（2）对恒成立，即，即，对恒成立，显然，令，则，在单调递增，，．【点睛】绝对值不等式的常见解法：①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．④转化为一元二次不等式求解，体现了转化思想.。