百校联盟2020届TOP300七月尖子生联考理科数学(有答案)

2020年普通高等学校招生全国统一考试·联考理科数学本试卷共5页，23小题（含选考题），满分150分，考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上用2B 铅笔将试卷类型（B ）填在答题卡相应位置上，将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”．2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．4选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．5．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合{}N x x x x A ∈<--=,0322，则集合A 的真子集有（ ）A ．5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个2．已知i 是虚数单位，则化简2020)11(ii -+的结果为（ ） A.i B.i - C.1- D.13.若干年前，某教师刚退休的月退休金为400元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图该教师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图.已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该教师的月退休金为（ ）A ．4500元 B. 5000元 C ．5500元 D ．6000元4．将包括甲、乙、丙在内的8人平均分成两组参加文明交通”志愿者活动，其中一组指挥交通，一组分发宣传资料，则甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的概率为（ ） A.72 B.73 C.71 D.143 5已知抛物线x y 42=的焦点为F ，过点F 和抛物线上一点)32,3(M 的直线l 交抛物线于另一点N ，则NM NF :等于（ ）A.2:1B.3:1C.4:1D.3:16.在所有棱长都相等的直三棱柱111C B A ABC -中，D ，E 分别为棱AC CC ,1的中点，则直线AB 与平面DE B 1所成角的余弦值为（ ） A.1030 B.2030 C.20130 D.1070 7已知点A （4，3），点B 为不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤-≥06200y x y x y 所表示平面区域上的任意一点，则AB 的最小值为（ ）A.5B.554 C.5 D.552 8．给出下列说法①定义在[a ，b]上的偶函数b x a x x f ++-=)4()(2的最大值为20； ②“4π=x ”是“1tan =x ”的充分不必要条件； ③命题“21),,0(000≥++∞∈∃x x x ”的否定形式是“21),,0(<++∞∈∀xx x ” 其中正确说法的个数为（ ）A.0B.1C.2D.39.已知5.03422log 2log ,,,03log m c m b m a m ===>，则c b a ,,间的大小关系为 A.c b a << B.c a b << C.b a c << D.a c b <<10．元代数学家朱世杰在《算学启蒙》中提及如下问题：今有银一秤一斤十两（1秤=15斤，1斤=16两），令甲、乙、丙从上作折半差分之，问：各得几何?其意思是：现有银一秤一斤十两，现将银分给甲、乙、丙三人，他们三人每一个人所得是前一个人所得的一半.若银的数量不变，按此法将银依次分给7个人，则得银最少的一个人得银（ ）A ．9两 B.127266两 C.63266两 D.127250两 11在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若3cos cos c A b B a =-，则B b A a B a cos cos cos +的最大值为( ) A.2 B.22 C.23 D.332 12.已知几)(x f 为奇函数，)(x g 为偶函数，且)13(log )()(3+=+x x g x f ，不等式0)()(3≥--t x f x g 对R x ∈恒成立，则t 的最大值为（ ）A.1B.2log 233-C.2D.12log 233- 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13已知向量a =（2，5-），b =（1，52），则b 在a 方向上的投影等于 .14在△ABC 中，∠B=32π，A 、B 是双曲线E 的左、右焦点，点C 在E 上，且BC=21AB ，则E 的离心率为 .5已知函数)0,0)(cos()(πϕωϕω≤≤>+=x x f 是奇函数，且在]4,6[ππ-上单调减，则ω的最大值是 .16已知三棱锥A-BCD 中，平面ABD ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，BC=CD=2，AB=AD=6，则三棱锥A-BCD 的外接球的体积为 .三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第次年题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17．（12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且112n n n S na a =+-． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若数列22n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为T n ，证明： 32n T ＜．18．（12分）如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，四边形ABEF 为正方形，AF ⊥DF ，AF=22FD ，∠DFE=∠CEF=45．（1）证明DC ∥FE ；（2）求二面角D-BE-C 的平面角的余弦值．19．（12分）已知点P 在圆O ：x 2+y 2=9上，点P 在x 轴上的投影为Q ，动点M 满足432PQ MQ u u u r u u u u r ．（1）求动点M 的轨迹E 的方程；（2）设G （-3，0），H （3，0），过点F （1，0）的动直线l 与曲线E 交于A 、B 两点，问直线AG 与直线BH 的斜率之比是否为定值?若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由．20．（12分）某县为了帮助农户脱贫致富，鼓励农户利用荒地山坡种植果树，某农户考察了三种不同的果树苗A 、B 、C ．经过引种实验发现，引种树苗A 的自然成活率为0.7，引种树苗B 、C 的自然成活率均为p （0.6≤p≤0.8）（1）任取树苗A 、B 、C 各一棵，估计自然成活的棵数为X ，求X 的分布列及其数学期望；（2）将（1）中的数学期望取得最大值时p 的值作为B 种树苗自然成活的概率，该农户决定引种n 棵B 种树苗，引种后没有自然成活的树苗有75%的树苗可经过人栽培技术处理，处理后成活的概率为0.8，其余的树苗不能成活．①求一棵B 种树苗最终成活的概率；②若每棵树苗引种最终成活可获利400元，不成活的每棵亏损80元该农户为了获利期望不低于10万元，问至少要引种种树苗多少棵?21．（12分）已知函数f （x ）=（a-1）x+xlnx 的图象在点A （e 2，f （e 2））（e 为自然对数的底数）处的切线斜率为4（1）求实数a 的值；（2）若m ∈Z ，且m （x-1）<f （x ）+1对任意x>1恒成立，求m 的最大值．（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）以坐标原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为-22ππρθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，），直线l 的参数方程为2cos 4sin x t y ts αα=-+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）． （1）点A 在曲线C 上，且曲线C 在点A 处的切线与直线：x+2+1=0垂直，求点A 的直角坐标；（2）设直线l 与曲线C 有且只有一个公共点，求直线l 的斜率的取值范围．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）设函数f （x ）=|x-1|+2|x+1|，x ∈R（1）求不等式f （x ）<5的解集；（2）若关于x 的不等式122)(-<+t x f 在实数范围内解集为空集，求实数t 的取值范围·11·。

2020届百校联考高考百日冲刺金卷全国Ⅱ卷（一）数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}{}21,5,100A B x x mx =-=+-=，若{}5AB =，则A B =（ ）A ．{}1,3,5-B ．{}1,2,5--C ．{}1,2,5-D ．{}1,3,5--【答案】B【解析】由题意，5是方程2100x mx +-=的解，可得3m =-，求出集合B ，即得A B .【详解】{}5A B =，5∴是方程2100x mx +-=的解，255100m ∴+-=，3m ∴=-.解方程23100x x --=，得5x =或2x =-，{}5,2B ∴=-. 故{}1,2,5A B ⋃=--. 故选：B . 【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题.2．若m 为实数，且复数()()325z m i i =-+为纯虚数，则m =（ ） A ．65-B ．65C ．152-D ．152【答案】C【解析】根据复数的分类，实部为0，虚部不为0的复数是纯虚数，可得m 的值. 【详解】依题意()()()()3252561521556z m i i m mi i m m i =-+=+-+=++-为纯虚数，故2150560m m +=⎧⎨-≠⎩，则152m =-.故选：C. 【点睛】本题考查复数的分类，属于基础题.3．已知某地区在职特级教师、高级教师、中级教师分别有100人，900人，2000人，为了调查该地区不同职称的教师的工资情况，研究人员在该地区按照分层抽样的方法随机抽取了60人进行调查，则被抽取的高级教师有（ ） A ．2人 B ．18人C ．40人D ．36人【答案】B【解析】求出该地区在职特级教师、高级教师、中级教师的比例，从而得到高级教师的比例，即可得答案； 【详解】依题意，该地区在职特级教师、高级教师、中级教师的比例为1:9:20， 则随机抽取60人，高级教师有9601830⨯=人. 故选：B. 【点睛】本题考查分层抽样的特点，考查数据处理能力，属于基础题.4．已知圆C 过点()()()4,6,2,2,5,5--，点,M N 在圆C 上，则CMN ∆面积的最大值为（ ） A ．100 B ．25C ．50D ．252【答案】D【解析】设圆C 的方程为220x y Dx Ey F ++++=，将()()()4,6,2,2,5,5--代入，求出圆C 的方程，即可求出CMN ∆面积的最大值. 【详解】设圆C 的方程为220x y Dx Ey F ++++=，将()()()4,6,2,2,5,5--代入可得，52460822050550D E F D E F D E F +++=⎧⎪--+=⎨⎪+++=⎩，解得2,4,20D E F =-=-=-. 故圆C 的一般方程为2224200x y x y +---=，即()()221225x y -+-=，故CMN ∆的面积11125sin 55sin 5512222S CM CN MCN MCN =∠=⨯⨯∠≤⨯⨯⨯=. CMN ∴∆面积的最大值为252.故选：D . 【点睛】本题主要考查圆的一般方程，属于基础题.5．执行如图所示的程序框图，若输入x 的值为256，则输出x 的值为（ ）A ．8B ．3C ．2log 3D ．()22log log 3【答案】C【解析】根据程序框图一步一步往下执行，即可得答案； 【详解】运行该程序，第一次，8y =，2n =，8x =； 第二次，3y =，3n =，3x =；第三次，2log 3y =，4n =，2log 3x =；第四次，()22log log 3y =，5n =，()22log log 3x =； 第五次，()22log log 322log 3y ==，6n =，2log 3x =；第六次，()22log log 3y =，7n =，()22log log 3x =； 第七次()22log log 322log 3y ==，8n =，2log 3x =，此时输出x 的值为2log 3. 故选：C. 【点睛】本题考查程序框图中的循环结构，考查运算求解能力，属于基础题.6．《九章算术（卷第五）·商功》中有如下问题：“今有冥谷上广二丈，袤七丈，下广八尺，袤四丈，深六丈五尺，问积几何”.译文为：“今有上下底面皆为长方形的墓坑，上底宽2丈，长7丈；下底宽8尺，长4丈，深6丈5尺，问它的容积量是多少？”则该几何体的容积为（ ）（注：1丈10=尺.）A ．45000立方尺B ．52000立方尺C ．63000立方尺D ．72000立方尺【答案】B【解析】对几何体进行分割得到()112A A MNE AMN DPQ D PQFD BCGH ADFE V V V V V ----=+++，再利用体积公式计算，即可得到答案. 【详解】进行分割如图所示，面AEFD ⊥面1111A B C D ，AN EF ⊥，DQ EF ⊥，11AM A D ⊥，11DP A D ⊥，连结,PQ MN ，面//AEFD 面BCGH ，故()112A A MNE AMN DPQ D PQFD BCGH ADFE V V V V V ----=+++11(820)652156652651584032252000+⨯⎛⎫=⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯= ⎪⎝⎭立方尺.故选：B. 【点睛】本题考查利用割补法求多面体的体积，考查转化与化归思想，考查空间想象能力、运算求解能力.7．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若954S =，45a =，则数列1n S n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭前2019项的和为（ ） A ．20182019B ．10091010C ．40362019D ．20191010【答案】D【解析】求出数列1n S n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的通项公式，再利用裂项相消法求和.【详解】由等差数列性质可知，95954S a ==，解得56a =；而45a =，故1d =，则1432a a d =-=，故2(1)3222n n n n nS n -+=+=， 2121121n S n n n n n ⎛⎫==- ⎪-++⎝⎭， 设1n S n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的前n 项和为n T ，则111111112212233411121n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫=+-+-+-=-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭-+， 故2019220192019201911010T ⨯==+. 故选：D. 【点睛】本题考查等差数列基本量运算、裂项相消法求和，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 8．()5211232x x x ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭的展开式中2x 的系数为（ ） A ．296 B ．296-C ．1864-D ．1376-【答案】C【解析】写出二项式()532x -展开式的通项，即可求出2x 的系数. 【详解】二项式()532x -展开式的通项为()()51532rrrr T C x -+=-，所以2x 的系数为()()()3523252355532221327206410801864C C C ⨯⨯-+⨯--⨯⨯⨯-=---=-.故选：C . 【点睛】本题考查二项式定理的通项公式，属于基础题.9．如图，网格小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．1208286++B ．12085+C ．1208246++D ．120162+【答案】C【解析】根据三视图，画出几何体的直观图，即可求表面积. 【详解】在长方体中，沿平面ABD 和平面BCD 进行切割，得到该几何体的直观图为多面体ABD BCD EFGH --，如图所示则()14416,484242EFGH ADEH S S =⨯==⨯+⨯=, ()()1146420,6842822DEFC BCFG S S =⨯+⨯==⨯+⨯=,18432,442822ABGH ABD S S ∆=⨯==⨯⨯=12243462BCD S ∆=⨯=故所求表面积16242028328246S =+++++1208246=+. 故选：C . 【点睛】本题考查空间几何体的三视图，考查学生的空间想象能力，属于中档题.10．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右顶点为M ，以M 为圆心作圆，圆M 与直线0bx ay -=交于,A B 两点，若60,23AMB OB AB ∠=︒=，则双曲线C 的离心率为（ ）A B C ．32D 【答案】B【解析】由60,AMB AM BM ∠=︒=，得AMB ∆为正三角形. 设圆M 的半径为r ，由23OB AB =，得2r OA =.由勾股定理得222+2r r a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，解得r =再根据点(),0M a 到直线0bx ay -=2r =，整理可求双曲线C 的离心率. 【详解】因为60,AMB AM BM ∠=︒=，故AMB ∆为正三角形.设圆M 的半径为r ，则圆心M 到直线AB 的距离2d=. 由23OB AB =，得3OB OA =，故2r OA =.因为OM a =，由勾股定理得222+r a ⎫=⎪⎪⎝⎭，解得r =又点(),0M a 到直线0bx ay -===化简可得2243b a =，故2c e a ===.故选：B . 【点睛】本题考查双曲线的离心率，属于中档题. 11．定义在R 上函数()f x 的导函数为'()f x ，且'()2()2f x f x -<，若()01f =-，则不等式()22xef x -<的解集为（ ）A ．(),0-∞B ．()0,∞+C ．(),1-∞-D ．()1,-+∞【答案】A 【解析】令2()2(),xf xg x x R e+=∈，可求函数()g x 在R 上单调递减. 由2()2x e f x -<，可得()1g x >，从而可求不等式()22xe f x -<的解集.【详解】令2()2(),x f x g x x R e +=∈，则''2()2()4()xf x f xg x e--=， 由'()2()2f x f x -<，得'()42()0f x f x --<，'()0g x ∴<，∴函数()g x 在R 上单调递减.由2()2xef x -<，可得2()2x f x e +>，2()21xf x e +∴>， 即()()(0)(01,1,)g x g g x g =∴>>，又函数()g x 在R 上单调递减，0x ∴<. 故不等式2()2xe f x -<的解集为(),0-∞.故选：A . 【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，属于中档题. 12．已知数列{}n a n -的前n 项和为n S ，且211(1)ni i i i aa n +=⎡⎤+-=⎣⎦∑，20181S =，则1a =（ ） A ．32B ．12C ．52D ．2【答案】A【解析】依题意，221(1)(1)21n n n a a n n n ++-=--=-，对n 分奇数和偶数进行讨论，利用数列的前n 项和公式可得关于1a 的方程，解方程即可得到答案. 【详解】依题意，221(1)(1)21n n n a a n n n ++-=--=-，故当n 为奇数时，12121,21,n n n n a a n a a n +++-=-⎧⎨+=+⎩22n n a a ++=， 当n 为偶数时，12121,21,n n n n a a n a a n ++++=-⎧⎨-=+⎩24n n a a n ++=， 2018122018(122018)1S a a a =+++-+++=，即1220182018(12018)11009201912a a a ⨯+++⋅⋅⋅+=+=⨯+，又122018a a a ++⋅⋅⋅+()()13520172462018a a a a a a a a =+++++++++(12504(1620164)2504)2a a ⨯+⨯⎛⎫=+⨯++ ⎪⎝⎭([]112504)1252(1620164)a a =+⨯+++⨯+⨯11210082021a =++⨯，所以，11009201911210082021a ⨯+=++⨯，110092019100820212a ⨯-⨯=10082019201910082021322⨯+-⨯==.故选：A. 【点睛】本题考查数列递推关系的运用，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解的关键是对关系211(1)ni i i i aa n +=⎡⎤+-=⎣⎦∑的灵活运用.二、填空题13．已知向量()()2,3,24,7m m n =-+=-，则,m n 夹角的余弦值为_________.【答案】65【解析】求出,,n m n ，根据cos ,m n m n m n=即得.【详解】()()2,3,24,7,13m m n m =-+=-=，()()21,2,52m n m n n +-∴==-=，2132865cos ,135m n m n m n⨯+-⨯-∴===⨯. 故答案为：865. 【点睛】本题考查两向量的夹角公式，属于基础题.14．已知实数,x y 满足1121x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎨⎪≤+⎩，则3z x y =+的最小值为_________.【答案】1【解析】画出可行域，根据目标函数的几何意义即求z 的最小值. 【详解】作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示由3z x y =+，可得3y x z =-+，则z 为直线在y 轴上的截距.平移直线3y x z =-+，当直线过可行域内的点()0,1A 时，3z x y =+最小，最小值为1. 故答案为：1. 【点睛】本题考查简单的线性规划，属于基础题.15．当120x x m <<<时，不等式2112x x x x <恒成立，则实数m 的最大值为_________. 【答案】e【解析】设ln ()x f x x =，由2112ln ln x x x x <，得1212ln ln x x x x <，得函数ln ()x f x x=在()0,m 上为增函数，即求m 的最大值.【详解】设ln ()x f xx=，由2112ln lnx x x x<，得1212ln lnx xx x<，即当120x x m<<<时，都有()()12f x f x<，∴函数ln()xf xx=在()0,m上为增函数，'21ln()0xf xx-∴=≥，0x e∴<≤.故m的最大值为e.故答案为：e.【点睛】本题主要考查利用导数解决不等式恒成立问题，属于中档题.16．已知函数()sin()f x A xωϕ=+（0A>，0>ω）的部分图象如图所示，其中,33Mπ⎛⎫⎪⎝⎭是图象的一个最高点，4,03Nπ⎛⎫⎪⎝⎭是图象与x轴的交点，将函数()f x的图象上所有点的横坐标缩短到原来的112后，再向右平移4π个单位长度，得到函数()g x的图象，则函数()g x的单调递增区间为________.【答案】5,93183k kππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦（k∈Z）【解析】根据图像得到()f x的解析式，再根据伸缩变换和平移变换得到()g x的解析式，进而求出单调区间.【详解】依题意，3A=，4433Tπππ=-=，即4Tπ=，故12ω=，1()3sin2f x xϕ⎛⎫=+⎪⎝⎭；将,33π⎛⎫⎪⎝⎭代入()f x 中，可知12232k ππϕπ⨯+=+，k ∈Z ，故23k πϕπ=+，k ∈Z ；不妨设0k =，故函数1()3sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭；将函数()f x 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的112后， 得到3sin 63y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，再向右平移4π个单位长度， 得到()3sin 643g x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦33sin 63cos 6233x x πππ⎛⎫⎛⎫=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 令26223k x k πππππ+≤+≤+（k ∈Z ），解得593183k k x ππππ+≤≤+（k ∈Z ），故函数()g x 的单调递增区间为5,93183k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）. 故答案为：5,93183k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）. 【点睛】本题考查三角函数的图像与性质、伸缩变换与平移变换、单调区间，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.三、解答题17．在ABC ∆中，4BAC π∠=，2AB =，2BC =，M 是线段AC 上的一点，且tan AMB ∠=-（1）求AM 的长度； （2）求BCM ∆的面积.【答案】（1）12AM =（2 【解析】（1）利用同角三角函数的基本关系可得sin AMB ∠，cos AMB ∠的值，再利用正弦定理求得AM 的长度；（2）根据AMB CMB π∠+∠=可得sin CMB ∠，再利用正弦定理求得BM ，进一步利用余弦定理求得CM ，最后代入三角形的面积公式，即可得答案； 【详解】（1）因为sin tan cos AMBAMB AMB∠∠==-∠且22sin cos 1AMB AMB ∠+∠=，联立两式，解得sin 3AMB ∠=，1cos 3AMB ∠=-，故sin sin()ABM AMB A ∠=∠+1432326-=-⨯=， 由正弦定理sin sin AM ABABM AMB =∠∠，所以sin 1sin 2AB ABM AM AMB ⋅∠==∠. （2）因为AMB CMB π∠+∠=，故1cos cos()cos 3CMB AMB AMB π∠=-∠=-∠=，所以sin 3CMB ∠=， 在ABM ∆中，由正弦定理sin sin BM ABA AMB=∠， 故sin 3sin 2AB A BM AMB ⋅==∠，在BCM ∆中，由余弦定理2222cos BC BM CM BM CM CMB =+-⋅⋅∠， 得21793124423CM CM =+-⨯⨯⨯， 解得2CM =或1CM =-（舍去）.所以BCM ∆的面积113sin 22223S BM CM CMB =⋅⋅∠=⨯⨯⨯=【点睛】本题考查三角形的内角和、诱导公式、正余弦定理解三角形，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.18．如图所示，在三棱锥S BCD -中，平面SBD ⊥平面BCD ，A 是线段SD 上的点，SBD ∆为等边三角形，30BCD ∠=︒，24CD DB ==.（1）若SA AD =，求证：SD CA ⊥； （2）若直线BA 与平面SCD 所成角的正弦值为419565，求AD 的长. 【答案】（1）见解析（2）12AD =或32. 【解析】（1）利用面面垂直性质定理可得BC ⊥平面SBD ，从而推出BC SD ⊥，再证明BA SD ⊥，进一步利用线面垂直的判定定理证明线面垂直，即可得到线线垂直； （2）以B 为坐标原点，BC ，BD 所在直线为x 轴，y 轴，过点B 作平面BCD 的垂线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设(0,3),(01)DA DS λλλλ==-≤≤，平面SCD 的一个法向量(1,3,1)m =，利用向量的夹角公式，即可得答案； 【详解】（1）依题意，2BD =，在BCD ∆中，4CD =，30BCD ∠=︒， 由余弦定理可求得，23BC = ∴222CD BD BC =+，即BC BD ⊥， 又平面SBD ⊥平面BCD ，平面SBD 平面BCD BD =，BC ⊂平面BCD ，∴BC ⊥平面SBD BC SD ⇒⊥， 等边SBD ∆中，SA AD =， 则BA SD ⊥，且BCBA B =，∴SD ⊥平面BCA ，∴SD CA ⊥.（2）以B 为坐标原点，BC ，BD 所在直线为x 轴，y 轴，过点B 作平面BCD 的垂线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求出则(0,0,0)B ，(23,0,0)C ，(0,2,0)D ，3)S ， 故(23,2,0)CD =-，(0,1,3)SD =， 设平面SCD 的一个法向量为(,,)m x y z =，则0,0,m CD m SD ⎧⋅=⎨⋅=⎩即2320,30,x y y z ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩ 取1x =，则3y =1z =，所以(1,3,1)m =，设(0,3),(01)DA DS λλλλ==-≤≤， 故(0,23)A λλ-，则(0,23)BA λλ=-，故||sin cos ,||||m BA m BA m BA θ⋅==⋅2223334195655(2)3λλλλ==⋅-+，解得14λ=或34，则12AD =或32. 【点睛】本题考查线面垂直判定定理、面面垂直性质定理的应用、已知线面角求线段长，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查空间想象能力、运算求解能力.19．为了感谢消费者对超市的购物支持，超市老板决定对超市积分卡上积分超过10000分的消费者开展年终大回馈活动，参加活动之后消费者的积分将被清空.回馈活动设计了两种方案：方案一：消费者先回答一道多选题，从第二道开始都回答单选题； 方案二：消费者全部选择单选题进行回答；其中单选题答对得2分，多选题答对得3分，无论单选题还是多选题答错得0分；每名参赛的消费者至多答题3次，答题过程中得到3分或3分以上立刻停止答题，得到超市回馈的奖品.为了调查消费者对方案的选择，研究人员在有资格参与回馈活动的500名消费者中作出调研，所得结果如下所示：（1）是否有99%的把握认为消费者的性别与方案的选择有关；（2）小明回答单选题的正确率为0.8，多选题的正确率为0.75.（ⅰ）若小明选择方案一，记小明的得分为X，求X的分布列以及期望；（ⅱ）如果你是小明，你觉得通过哪种方案更有可能获得奖品，请通过计算说明理由.附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，n a b c d=+++.【答案】（1）没有99%的把握认为消费者的性别与方案的选择有关.（2）（ⅰ）见解析，3.05（ⅱ）方案一，见解析【解析】（1）直接根据卡方公式将数据代入计算，并与6.635比较大小，即可得到结论；（2）（ⅰ）X的所有可能取值为0，2，3，4，求出概率值，进而得到分布列和期望；（ⅱ）分别计算两种方案获得奖品的概率，即可得答案；【详解】（1）依题意，完善列联表如下所示：22500(150********) 4.8312302703002006.635K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，故没有99%的把握认为消费者的性别与方案的选择有关. （2）（ⅰ）X 的所有可能取值为0，2，3，4， 则1111(0)455100P X ==⨯⨯=， 1148(2)2455100P X ==⨯⨯⨯=，375(3)4100P X ===，14416(4)455100P X ==⨯⨯=，故X 的分布列为：所以187516305()0234 3.05100100100100100E X =⨯+⨯+⨯+⨯==. （ⅱ）小明选择方案一获得奖品的概率为1751691(3)0.91100100100P P X =≥=+==， 小明选择方案二获得奖品的概率为214444112896(3)20.896555551251000P P X =≥=⨯⨯⨯+⨯===，因为21P P <，所以小明选择方案一更有可能获得奖品. 【点睛】本题考查独立性检验思想的应用、卡方公式计算、随机变量的分布列和期望，考查阅读理解能力、运算求解能力.20．已知椭圆22:143x y C +=的左、右焦点分别为12,F F .（Ⅰ）若124PF PF +=，求点P 到点1,02M ⎛⎫⎪⎝⎭距离的最大值；（Ⅱ）若过点()4,0且不与坐标轴垂直的直线与椭圆C 分别交于,E F 两点，点()()0,,0,A B A y B y 分别在直线22,F E F F 上，比较22,F A F B 的大小关系，并说明理由.【答案】（Ⅰ）最大值52；（Ⅱ）22F A F B =，见解析. 【解析】（Ⅰ）根据122PF PF a +=，得点P 在椭圆C 上. 设点()00,P x y ，则2200143x y +=，可得[]220002,2113,44PM x x x =-+∈-，可求PM 最大值；（Ⅱ）设直线EF 的方程为()4y k x =-，()()1122,,,E x y F x y （11x ≠且21x ≠）.把直线EF 的方程代入椭圆的方程，利用韦达定理证明220AF BF k k +=，可得22OF A OF B ∠=∠，即得线段22,F A F B 的大小关系.【详解】（Ⅰ）依题意，点P 在椭圆C 上.设点()00,P x y ，则2200143x y +=，故()22222220000000011311319322444444PM x y x x x x x x ⎛⎫=-+=-++-=-+=-+ ⎪⎝⎭，其中[]02,2x ∈-， 故当02x =-时，2max254PM=， PM ∴的最大值为52.（Ⅱ）设直线EF 的方程为()4y k x =-，()()1122,,,E x y F x y （11x ≠且21x ≠）.由()224143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，得()2222433264120k x k x k +-+-=.依题意()()()22223244364120kk k ∆=--⨯+->，即2104k <<，则212221223243641243k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩. 因为2222121211AF BF EF FF y yk k k k x x +=+=+-- ()()()()()1212121212258441111k x x x x k x k x x x x x -++⎡⎤--⎣⎦=+=---- ()()2222126412322584343011k k k k k x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--+⎢⎥ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎣⎦==-- 所以直线2AF 的倾斜角与直线2BF 的倾斜角互补，即22OF A OF B ∠=∠. 因为2OF AB ⊥，所以22F A F B =. 【点睛】本题考查椭圆定义的应用，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的运算能力，属于难题.21．已知函数2()f x x m =+（Ⅰ）若12=-m ，证明：函数()f x 在区间()2,3上有且仅有1个零点；（Ⅱ）若关于x 的不等式22()f x m ≥在[]1,2上恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）⎡⎣.【解析】（Ⅰ）先判断函数()f x 在区间()2,3上的单调性，再根据零点存在定理即可证明；（Ⅱ）令()2()g x f x =，由题意只需[]2min )1,2(,g x m x ∈≥.对m 分类讨论即求.【详解】（Ⅰ）证明：函数()f x 的定义域为()0,∞+. 当12=-m 时，22()ln 6ln 2mf x x x x x =+=-， 则()('2622()23f x x x x x x x x=-=-=， 当()2,3x ∈时，'()0f x >，∴函数()f x 在()2,3上单调递增，又()()()()2346ln 296ln30f f =--<， 故函数()f x 在()2,3上有且仅有1个零点.（Ⅱ）令2()2()2ln g x f x x m x ==+，则[]2'4()4,1,2m x mg x x x x x+=+=∈；当16m ≤-时，'()0g x ≤对[]1,2x ∈恒成立，()g x ∴在[]1,2上单调递减，2min ()(2)8ln 2g x g m m ∴==+≥，又16m ≤-，不等式无解，m ∴∈∅；当4m ≥-时，'()0g x ≥对[]1,2x ∈恒成立，()g x ∴在[]1,2上单调递增，2min ()(1)2g x g m ∴==≥，又4m ≥-，m ≤≤当16m -<<-4时，令'()0g x =，得()1,22x =，当12x <<时，'()0g x <；当22x <<时，'()0g x >， ()g x ∴在⎛ ⎝⎭上单调递减，在2⎫⎪⎪⎝⎭上单调递增， ()2min ln 224m m m g x g m ⎛⎫∴==-+-≥ ⎪⎝⎭⎝⎭，11ln 242m m ⎛⎫∴-+-≤ ⎪⎝⎭； 令4m t =-()14t <<，则114ln 22t t +≤， 易知14ln 2y t t =+在()1,4t ∈上单调递增， 则14ln 2t t +4>，从而114ln 22t t +≤不可能成立，舍去. 综上所述，实数m的取值范围为⎡⎣.【点睛】本题考查零点存在定理，考查导数在函数中的应用，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为3x y θθ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（θ为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为6cos ρα=.（Ⅰ）求曲线1C 的极坐标方程以及曲线2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线12,C C 交于,M N 两点，求直线MN 的极坐标方程以及,M N 的极坐标（要求写出的极径非负，极角在[)0,2π上）.【答案】（Ⅰ）26sin 360ρρθ--=；2260x y x +-=；（Ⅱ）极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,M N 的极坐标为()7,6,04M N π⎛⎫⎪⎝⎭或()76,0,4M N π⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【解析】（Ⅰ）先把曲线1C 的参数方程化为普通方程，再把普通方程化为极坐标方程.由6cos ρα=得26cos ρρα=，即得曲线2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）由曲线12,C C 的直角坐标方程求出直线MN 的直角坐标方程，再化为极坐标方程；先求出,M N 两点的直角坐标，再化为极坐标.【详解】（Ⅰ）依题意，曲线()221:345C x y +-=，故22636x y y +-= 即曲线1C 的极坐标方程为26sin 360ρρθ--=；曲线2C :26cos ρρα=，即2260x y x +-=，则曲线2C 的直角坐标方程为2260x y x +-=.（Ⅱ）联立222263660x y y x y x ⎧+-=⎨+-=⎩， 两式相减可得6-=x y ，即cos sin 6ρθρθ-=cos 64θπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即直线MN 的极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 联立22660x y x y x -=⎧⎨+-=⎩故29180x x -+=，解得33x y =⎧⎨=-⎩或60x y =⎧⎨=⎩ 故,M N的极坐标为()7,6,04M N π⎛⎫ ⎪⎝⎭或()76,0,4M N π⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程和直角坐标方程的互化，属于中档题.23．已知函数()324f x x x =++-（1）求不等式()8f x >的解集；（2）若关于x 的不等式2()3f x m x x +>+-的解集为R ，求实数m 的取值范围.【答案】（1）()(),13,-∞-+∞；（2）()3,-+∞. 【解析】（1）根据零点分段讨论求解不等式的解集；（2）分离参数等价转化为224m x x >---恒成立，求解2()24g x x x =---的值域即可得解.【详解】（1）依题意，3248x x ++->当3x <-时，原式化为3428x x --+->， 故73x <-，解得3x <-； 当32x -≤≤时，原式化为3248x x ++->故3x >，解得3x >；综上所述，不等式()8f x >的解集为()(),13,-∞-+∞（2）依题意，23243x x m x x ++-+>+- 即224m x x >--- 224m x x >---对x ∈R 恒成立 令2()24g x x x =---=()()222213,224,224,215,2x x x x x x x x x x ⎧---≤⎧-+-≤⎪=⎨⎨--+>-++>⎩⎪⎩ max ()(1)3,3g x g m ∴==->-故实数m 的取值范围是()3,-+∞【点睛】此题考查解绝对值不等式，根据不等式恒成立求参数取值范围，关键在于等价转化，通过求函数最值解决问题.。

2020年百校联考高考考前冲刺数学试卷(理科)(三)(全国I卷)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|log2x<1}，集合B={y|y=√2−x}，则A∪B=()A. (−∞,2)B. (−∞,2]C. (0,2)D. [0,+∞)2.已知MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,4)，M(−2,−1)，则点N的坐标为()A. (5,5)B. (−3,1)C. (1,3)D. (1,1)3.已知命题p：∃x∈R，使得x2−x+2<0；命题q：∀x∈[1,2]，使得x2≥1.以下命题为真命题的是()A. ￢p∧￢qB. p∨￢qC. ￢p∧qD. p∧q4.已知点是角α终边上一点，则)A. √32+12B. −√32+12C. √32−12D. −√32−125.已知函数f(x)=xcosx+(a−1)x2是奇函数，则曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程是()A. 2x−y=0B. x−y=0C. 2x+y=0D. x−2y=06.若直线y=c(c∈R)与函数y=tanωx(ω>0)的图象相邻的两个交点之间的距离为1，则函数y=tanωx图象的对称中心为()A. (k2,0),k∈Z B. (k,0)，k∈ZC. (kπ2,0),k∈Z D. (kπ,0)，k∈Z7.已知f(x)是定义在R上且以4为周期的奇函数，当x∈(0,2)时，f(x)=e x−1+e1−x−3(e为自然对数的底)，则函数f(x)在区间[0,4]上的所有零点之和为()A. 6B. 8C. 12D. 148.我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设在中，角A,B,C对边分别为a,b,c，面积为S，则“三斜求积”公式为S=√14[a2c2−(a2+c2−b22)2].若，且，则面积为()A. √2B. 2C. 3D. √39.已知非零向量a⃗,b⃗ 的夹角为60°，且满足|a⃗−2b⃗ |=2，则a⃗⋅b⃗ 的最大值为()A. 12B. 1C. 2D. 310. 已知a >1，三个数lna+1a、1a+1、1a 的大小关系是( )A. lna+1a >1a>1a+1B. 1a >lna+1a >1a+1C. 1a >1a+1>lna+1aD. 1a+1>1a >lna+1a11. 已知函数f(x)=2sin(ωx +φ)(0<ω<l,|φ|<π2)的图象经过点(0,1)，且关于直线x =2π3对称，则下列结论正确的是( )A. f(x)在[π12,2π3]上是减函数B. 若x =x 0是f(x)的一条对称轴，则一定有f′(x 0)≠0C. f(x)≥1的解集是[2kπ,2kπ+π3]，k ∈Z D. f(x)的一个对称中心是(−π3,0)12. 若方程x 3−3ax +2=0(a >0)有三个不同实根，则实数a 的取值范围是( )A. a >1B. a >0C. 1<a <3D. 0<a <1二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若函数f(x){1,x >0(12)x ,x ≤0则满足f(a)=2的实数a 的值为______．14. 化简1sin70∘−√3cos70°=______． 15. 在△ABC 中，∠B =∠C =60°，AB =2，且点M 满足BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =______________． 16. 在△ABC 中，若b =1，c =√3，∠C =2π3，则a =______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若f(α2)=45,0<α<π3，求cosα的值．18.对于任意非零实数x1，x2，函数f(x)满足f(x1⋅x2)=f(x1)+f(x2)，(1)求f(−1)的值；(2)求证：f(x)是偶函数；(3)已知f(x)在(0,+∞)上是增函数，若f(2x−1)<f(x)，求x取值范围．19.如图，在△ABC中，点D在边AB上，BD=2AD，∠ACD=45°，∠BCD=90°．(Ⅰ)求证：BC=√2AC；(Ⅱ)若AB=√5，求BC的长．20.已知函数f(x)=x2+aln(x+1)−2x(a∈R)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)若对任意的−1<x<0，都有f(x)<(a−2)x，求a的取值范围．21.如图，某生态园将三角形地块ABC的一角APQ开辟为水果同种植桃树，已知角A为120°，AB，AC的长度均大于200m，现在边界AP，AQ处建围墙，在PQ处围竹篱笆．(1)若围墙AP，AQ的总长度为200m，如何围可使得三角形地块APQ的面积最大？(2)已知AP段围墙高1m，AQ段围墙高1.5m，造价均为每平方米100元．若建围墙用了20000元，问如何围可使竹篱笆用料最省？22.已知函数f(x)=(x2+a)lnx．(1)当a=0时，求f(x)的最小值．(2)若f(x)在区间[1e2,+∞)上有两个极值点x1，x2(x1<x2)．(ⅰ)求实数a的取值范围．(ⅰ)求证：−2e2<f(x2)<−12e．【答案与解析】1.答案：D解析：解：A ={x|0<x <2}，B ={y|y ≥0}； ∴A ∪B =[0,+∞)． 故选：D ．可求出集合A ，B ，然后进行并集的运算即可．考查描述法、区间的定义，对数函数的单调性，以及并集的运算．2.答案：C解析：本题考查向量的坐标，属于基础题．设N (a,b )，则MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,b )−(−2,−1)=(3,4)，即可得N ． 解：设N (a,b )，则MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,b )−(−2,−1)=(3,4)， 所以{a +2=3b +1=4，解得{a =1b =3，所以N(1,3)． 故选C ．3.答案：C解析：本题主要考查了复合命题的真假判断，属于基础题．解决此题的关键是分别判断命题p 和q 的真假，再结合复合命题的真假判断方法即可求解． 解：对于命题p ，因为△=(−1)2−8<0，故不等式无解，所以p 为假命题； 对于命题q ，因为函数y =x 2在[1,2]上为增函数，所以y min =1，所以∀x∈[1,2]，使得x2≥1为真命题，即q为真命题，故￢p∧q为真命题，故选C．4.答案：D解析：本题考查了任意角的三角函数和诱导公式，属于基础题目．现由任意角的三角函数得出，再由诱导公式得出结果．解：由点是角α终边上一点，可得．故选D．5.答案：B解析：解：函数f(x)=xcosx+(a−1)x2，若f(x)为奇函数，可得f(−x)=−f(x)，则−xcosx+(a−1)x2=−xcosx−(a−1)x2，即为(a−1)x2=0恒成立，可得a=1，即f(x)=xcosx，f(0)=0函数的导数为f′(x)=cosx−xsinx，可得f(x)在x=0处的斜率为k=f′(0)=1，则f(x)在x=0处的切线方程为y=x．故选：B．由奇函数的定义可得f(−x)=−f(x)，可得a=1，求得f(x)的导数，可得切线的斜率，由点斜式方程可得切线方程．本题考查函数的奇偶性和导数的运用：求切线方程，考查运算能力，属于基础题．6.答案：A解析：本题主要考查正切函数的图象和性质，属于基础题．由题意利用正切函数的图象和性质，先求出ω，可得函数y=tanωx图象的对称中心．解：直线y=c(c∈R)与函数y=tanωx(ω>0)的图象相邻的两个交点之间的距离为πω=1，∴ω=π，函数y=tanωx=tanπx，令πx=kπ2，求得x=k2，可得它的对称中心为(k2,0)，k∈Z，故选：A．7.答案：D解析：本题主要考查函数零点的判断，利用函数的周期性和奇偶性，分别判断零点个数找到对称性求解，综合性较强．解：根据f(x)为奇函数，得到f(0)=0，又周期为4，所以f(4)=f(0)=0，f(−2)=−f(2)，又周期为4，所以f(−2)=f(2)，故f(2)=0，当x∈(0,2)时，f(x)=e x−1+e1−x−3，令t=e x−1∈(1e ,e)，f(x)=e x−1+e1−x−3=1t+t−3=g(t)，g(t)在(1e,1)上单调递减，在(1,e)上单调递增，g(1e)=g(e)>0,g(1)<0,故g(t)=0有有两个解，即f(x)在(0,2)有两个零点记为x1,x2，则在(−2,0)内有两个零点为−x1,−x2，根据周期为4，得到在(2,4)内有两个零点为x3=4−x1,x4=4−x2，所以函数f(x)在区间[0,4]上的所有零点之和为0+2+4+x1+x2+4−x1+4−x2=14，故选D．8.答案：A解析：本题考查正弦定理，余弦定理的应用，考查运算求解能力，是基础题．由正弦定理得ac=3，由余弦定理得a2+c2−b2=2，代入“三斜求积”公式计算求解即可．解：由c2sinA=3sinC，得ac=3，又cosB=a2+c2−b22ac =13，得a2+c2−b2=2．所以S=√14×[32−(22)2]=√2．故选A．9.答案：B解析：本题考查了向量的数量积运算性质与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．由题意，利用向量的数量积运算性质与基本不等式的性质可得|a⃗||b⃗ |≤2，即可得出答案．解：∵非零向量a⃗，b⃗ 的夹角为60°，且|a⃗−2b⃗ |=2，∴4=a⃗2+4b⃗ 2−4a⃗⋅b⃗=a⃗2+4b⃗ 2−2|a⃗|⋅|b⃗ |≥2|a⃗|×2|b⃗ |−2|a⃗||b⃗ |=2|a⃗||b⃗ |，即|a⃗||b⃗ |≤2．当且仅当|a⃗|=2|b⃗ |时等号成立，∴a⃗⋅b⃗ =12|a⃗||b⃗ |≤1，∴a⃗⋅b⃗ 的最大值为1，故选B．10.答案：B解析：本题考查了构造函数的应用问题，也考查了利用导数判断函数的单调性以及利用函数的单调性比较大小的应用问题，是综合性题目．构造函数f(x)=x−ln(1+x)，x>0，利用导数判断f(x)的单调性，得出x>ln(1+x)，令x=1a得1 a >ln a+1a；同理，设g(x)=ln(1+x)−x1+x，x>0，得出ln a+1a>1a+1，即得1a>ln a+1a>1a+1.解：设函数f(x)=x−ln(1+x)，x>0，∴f′(x)=1−11+x>0，∴f(x)在(0,+∞)上是增函数， ∴f(x)>f(0)=0， ∴x >ln(1+x)； 令x =1a ，且a >1， 则1a >ln(1+1a )=lna+1a；同理，设g(x)=ln(1+x)−x1+x ，x >0， ∴g′(x)=11+x −1(1+x)=x(1+x)>0， ∴g(x)在(0,+∞)上是增函数， ∴g(x)>g(0)=0， ∴ln(1+x)>x1+x ； 令x =1a ，a >1， ∴ln(1+1a )>1a1+1a，即lna+1a >1a+1；综上，1a >ln a+1a>1a+1．故选B ．11.答案：D解析：解：函数f(x)=2sin(ωx +φ)(0<ω<l,|φ|<π2)的图象经过点(0,1)， 可得f(0)=2sinφ=1，即sinφ=12，可得φ=π6， 由f(x)的图象关于直线x =2π3对称，可得2sin(2π3ω+π6)=kπ+π2， 可得ω=32k +12，由0<ω<1，可得ω=12， 则f(x)=2sin(12x +π6)， 由x ∈[π12,2π3]，可得12x +π6∈[5π24,π2]，显然f(x)递增，故A 错；由f(x)的导数为f′(x)=cos(12x +π6)，取x 0=2π3，f(x 0)=2为最大值，则f′(x0)=cosπ2=0，故B错；f(x)≥1即2sin(12x+π6)≥12，即有2kπ+π6≤12x+π6≤2kπ+5π6，k∈Z，化为4kπ≤x≤4kπ+π3，k∈Z，故C错；由f(−π3)=2sin(−π6+π6)=0，可得f(x)的一个对称中心是(−π3,0)，故D对．故选：D．由题意可得f(0)=1，解得φ，由对称轴可得ω=12，则f(x)=2sin(12x+π6)，由正弦函数的单调性可判断A；由对称轴特点和导数，可判断B；由正弦函数的图象可得x的不等式组，解不等式可判断C；由对称中心的特点可判断D．本题考查三角函数的图象和性质，考查单调性和对称性的判断和运用，考查化简运算能力，属于中档题．12.答案：A解析：本题考查了导数的综合应用及函数思想的应用，同时考查了构造法的应用．易知a=x23+23x，从而令f(x)=x23+23x，求导得f′(x)=23·(x−1)(x2+x+1)x2，从而判断函数的单调性与极值，从而解得．解：易知0不是方程x3−3ax+2=0的根，故3ax=x3+2，故a=x23+23x，令f(x)=x23+23x，则f′(x)=23·(x−1)(x2+x+1)x2，故当x∈(−∞,0)∪(0,1)时，f′(x)<0；当x∈(1,+∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(−∞,0)，(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，f(1)=13+23=1，在直角坐标系中作出f(x)的示意图。

绝密★启用前2020届百校联考高考百日冲刺金卷全国Ⅰ卷（三）数学（理）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题 1．已知集合{}|22xA x =>，{}2|,RB y y x x ==∈，则()R A B =()A ．[0,1)B ．(0,2)C ．(,1]-∞D ．[0,1]答案：D根据指数函数单调性，求出{|1}A x x =>，得出R{|1}A x x =，求出集合B ，根据交集的计算即可得出答案. 解：解：由题可知，{}|22{|1}xA x x x =>=>，R {|1}A x x ∴=，{}2|,{|0}B y y x x y y ==∈=R ，所以()R{|01}B x A x ⋂=.故选：D. 点评：本题考查集合的交集和补集运算，属于基础题. 2．已知i 是虚数单位，11122z i i ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则|z|=（）A ．15B C ．125D ．25答案：B根据复数除法的运算法则求出z ，再由模长公式，求出||z 即可. 解：1i i i(2i)12i 212i 551i 2z +-+====--，22125||55z ⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选:B. 点评：本题考查复数的代数运算和模长，属于基础题.3．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且9730S S -=，22a =，则2019a =（） A ．2017 B ．2019C ．4036D ．4038答案：C设等差数列{}n a 公差为d ，可得8930a a +=，结合22a =，建立1,a d 方程组，求解得到通项公式，即可求出结论. 解：由9730S S -=，得8930a a +=，所以121530a d +=， 又12a d +=，所以2d =，10a =， 所以02(1)22n a n n =+-=-， 所以20192201924036a =⨯-=. 故选:C. 点评：本题考查等差数列通项的基本量计算，属于基础题.4．如图，长方形内部的阴影部分为六个全等的小正三角形顶点连接组成的图形T ，在长方形内随机取一点，则此点取自阴影部分T 的概率是（）A ．18B ．14C ．12D ．23答案：B设小三角形的边长为1，六个小三角形的面积之和为642⨯=，又长方形的宽为3，长为4=. 解：设小三角形的边长为1，六个小三角形的面积之和为642⨯=，又长方形的宽为3，长为4= ∴长方形的面积为故此点取自阴影部分T 14=. 故选：B. 点评：本题主要考查了几何型概率问题，解题关键是掌握概率计算公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.5．已知O 为坐标原点，双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的右焦点为F ，点A ，B 分别在双曲线C 的两条渐近线上，AF x ⊥轴，0BO BA ⋅<，四边形OAFB 为梯形，则双曲线C 离心率的取值范围是（）A ．⎛ ⎝⎭ B ．⎫+∞⎪⎪⎝⎭C ．(D ．()+∞答案：A求出A 的坐标，然后求解B 的坐标，利用向量的数量积转化求解双曲线的离心率即可. 解：解：设(),0F c ，所以c =OB 的方程为by x a=-， 直线BF 的方程为()b y x c a =-，解得,22c bc B a ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ,22c bc BO a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，又直线OA 的方程为b y x a =，则,bc A c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3,22c bc BA a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，又因为0BO BA ⋅<， 所以22223044c b c a -+<，2213b a ∴<，243e ∴<，2313e ∴<<.故选：A. 点评：本题考查双曲线的离心率，结合向量知识，属于基础题. 6．如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为()A ．233π- B ．223π- C ．23π D ．413π- 答案：B由几何体的三视图，可看出几何体为一个半球挖去个正四棱锥后剩余的几何体，根据棱锥和球的体积公式求出几何体的体积. 解：解：根据三视图，此几何体为一个半球挖去个正四棱锥后剩余的几何体， 2，高为1， 所以四棱锥的体积为1222133=，半球的体积为322133ππ⨯⨯=， 故该几何体的体积为223π-. 故选：B. 点评：本题考查由三视图还原几何体，以及运用棱锥和球的体积公式，考查想象能力和计算能力.7．函数()()22xf x x x e =-的图象大致为()A ．B ．C ．D ．答案：B判断函数的奇偶性，结合具体函数值，进行排除即可. 解：易知()f x 定义域为R ，()()()()2222x xf x x x e x x e f x -⎡⎤-=---=-=⎣⎦，∴()f x 为偶函数，关于y 轴对称， ∴排除C ，又()()21112f e e =-=-，排除A 和D.故选：B. 点评：本题考查了函数图象的识别和判断，考查了函数的奇偶性，属于基础题. 8．已知0a b >>，1ab =，设2ab x =，2log ()y a b =+，1z a b=+，则log 2x x ，log 2y y ，log 2z z 的大小关系为（）A ．log 2log 2log 2x y z x y z >>B ．log 2log 2log 2y z x y z x >>C ．log 2log 2log 2x z y x z y >>D ．log 2log 2log 2y x z y x z >>答案：B由已知0a b >>，1ab =，可得1=a b，且a ＞1＞b ＞0，不难判断x ，y ，z 的大小关系01x y z <<<<，再根据对数运算法则及对数函数性质可得大小关系.解：∵a ＞b ＞0，1ab =，∴可得1=a b ，且a ＞1＞b ＞0， ∴11222a ab x a ==<⋅，222log ()log log 21y a b =+>==，122z a a a a b=+=+=>， 又()()22log (1)z y a a b f a a -=-+=＞， ()120f a a b'=-+＞，()f a 单调递增， ()()212log (1)0f a f b =-+>＞，∴z y -＞0， ∴01x y z <<<<，∵log 2=log 21x x x +，log 2log 21y y y =+，log 2=log 2+1z z z ， 根据对数函数性质可得log 2log 2log 2x z y <<， ∴log 2log 2log 2y z x y z x >>． 故选B ． 点评：本题考查对数函数的性质及运算定律，涉及基本不等式和不等式性质的应用，属于综合题. 9．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为()A ．31B ．39C ．47D ．60答案：D根据循环程序框图，循环计算到11n =时，输出T ，即可得出答案. 解：解：根据题意，0T =，1n =；8T =，2n =；84T =+，3n =；844T =++，4n =；8448T =+++，5n =；84480T =++++，6n =； 8448+012T =++++，7n =； 84480124T =+++++-，8n =； 8448012416T =+++++-+，9n =； 84480124168T =+++++-+-，10n =； 8448012416820T =+++++-+-+，11n =，故输出的结果为844801241682060T =+++++-+-+=. 故选：D. 点评：本题考查程序框图的循环计算，考查计算能力.10．已知圆22:3O x y +=与抛物线2:2(0)C y px p =>相交于,A B 两点，且||22AB =物线C 上存在关于直线:20l x y --=对称的相异两点P 和Q ，则线段PQ 的中点坐标为（）A ．(1,1)-B ．(2,0)C ．13,22⎛⎫-⎪⎝⎭ D ．(1,1)答案：A根据圆与抛物线的对称性求出A 点坐标，代入抛物线方程，求出p ，设点()11,P x y ，()22,Q x y 代入抛物线方程作差，得到PQ 斜率与12,y y 关系，即可求解. 解：因为,A B 关于x 轴对称，所以,A B纵坐标为， 横坐标为1，代入22(0)y px p =>， 可得22y x =.设点()11,P x y ，()22,Q x y .则2112222,2,y x y x ⎧=⎨=⎩则()()()1212122y y y y x x -+=-， 122PQ k y y ∴=+，又,P Q 关于直线l 对称.1PQ k ∴=-，即122y y +=-，1212y y +∴=-， 又PQ ∵的中点一定在直线l 上，12122122x x y y ++∴=+=. ∴线段PQ 的中点坐标为(1,1)-.故选:A. 点评：本题考查抛物线标准方程、直线与抛物线位置关系，注意相交弦中点问题“点差法”的应用，属于中档题.11．已知三棱柱111ABC A B C -的球，四边形11A ACC 与11B BCC 均为正方形，,M N 分别是11A B ，11A C 的中点，11112C M A B =，则异面直线BM 与AN 所成角的余弦值为（） A ．310BC ．710D答案：B画出图形，找出BM 与AN 所成角的平面角，利用解三角形求出BM 与AN 所成角的余弦值．解：直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中,∠BCA=90°,M,N 分别是A 1B 1,A 1C 1的中点， 如图：BC 的中点为O ，连结ON ，MN ∥12B 1C 1=OB ，则MNOB 是平行四边形，BM 与AN 所成角就是∠ANO ， ∵,M N 分别是11A B ，11A C 的中点，11112C M A B =，可得A 1C 1⊥B 1C 1，四边形11A ACC 与11B BCC 均为正方形，可得BC=CA=CC 1， ∵三棱柱111ABC A B C -3的球， 设BC=CA=CC 1=a,三棱柱111ABC A B C -外接球可看作棱长为a 的正方体外接球， 22223a a a ++=a=2， ∴BC=CA=CC 1=2,55()222211226NO MB B M BB ==+=+=在△ANO 中,由余弦定理可得：222302256AN NO AO cos ANO AN NO +-∠===⋅⨯⨯故选：B. 点评：本题考查异面直线及其所成的角，涉及几何体外接球及空间位置关系等知识点，根据外接球半径解出三棱柱棱长是关键点，也是本题难点，属于较难题. 12．设函数()sin cos f x a x b xωω=+()0ω>在区间,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调，且2236f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当12x π=时，()f x 取到最大值4，若将函数()f x 的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍得到函数()g x 的图象，则函数()y g x =-A ．4B ．5C ．6D ．7答案：D由已知可得()()f x x ωϕ=+，由2236f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭得出对称中心及对称轴，得出T ，再得出()f x 的解析式，再有变换得出()g x ，再分别画出()g x与y =图象，得出结论. 解： 解：设()()f x x ωϕ=+()0ω>，122622T ππππωω∴-≤=⋅=，即03ω<≤， 又2236f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 2723212x πππ+∴==为()()f x x ωϕ=+的一条对称轴， 且2623πππ+=，则,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭为()()f x x ωϕ=+的一个对称中心，由于03ω<≤，所以712x π=与,03π⎛⎫⎪⎝⎭为同一周期里相邻的对称轴和对称中心， 则74123T πππ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，∴2ω=．4=，且22sin cos 121212f a b πππ⎛⎫=+⎪⎝⎭， 解之得2a =，b =故()2sin 224sin 23f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，由图象变换可得，()4sin 3g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．因为()4sin 3g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在,03π⎛-⎫ ⎪⎝⎭处的切线斜率为4cos 4333g πππ⎛⎫⎛⎫'-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3y x π=+在,03π⎛-⎫ ⎪⎝⎭处切线斜率不存在，即切线方程为3x π=-． 所以3x π=-右侧()g x 图象较缓,如图所示，同时43x π+>时，163x π>-， 所以()3y g x x π=-+的零点有7个．故选：D.点评：本题主要考查正弦型函数的图象和性质及零点，转化为两个函数的图象的交点，属于难题.二、填空题13．已知向量(2,1)a =，(,1)()b m m =-∈R ，且(2)b a b ⊥-，则向量a 在b 方向上的投影为______.答案：2210由向量垂直的坐标关系，求出m ，再由向量的投影公式，即可求解.解：根据题意，2(4,3)a b m -=-，(2)b a b ⊥-，(4)30m m ∴--=，1m ∴=或3m =，所以向量a在b方向上的投影为||2abb⋅===.故答案为:2或2.点评：本题考查向量的坐标运算、向量的投影，考查计算求解能力，属于基础题.14．已知91xax⎛⎫-⎪⎝⎭的展开式中含3x项的系数为212-，则实数a=______.答案：2求出二项展开式通项公式，得到3x项的系数，建立a的方程，求解即可.解：99219911C Cr rr r r rrT x xax a--+⎛⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以由9233r r-=⇒=，得系数为339121C2a⎛⎫-=-⎪⎝⎭，2a∴=.故答案为:2.点评：本题考查二项展开式定理通项公式，熟记公式是解题关键，属于基础题.15．已知等比数列{}n a的前n项和为n S，且1234··n nT a a a a a=⋅⋅⋅⋯，若72a=，1016a=，则满足n nS T>的最大正整数n的值为______.答案：12根据已知求出{}n a通项公式，进而求出,n nS T，得到不等式21110*2221,nnnn N-+∈>+，等价转化为21110*222,nnnn N-+>∈，即211102n nn-+>，求解即可得出结论.解：根据题意，72a=，1016a=，2q∴=，所以62nna-=，记()1211221321232nnn nS a a a--=++⋯+==-，(11)5462122222n n n n n T a a a ----=⋅⋅⋯⋅=⋅⋅⋯⋅=，由题意n n S T >，即(11)252122n n n -->， 2(11)11105222122n n n n n --++∴->=， 211102221n n n -+∴->，因此只需211102n n n -+>， 213100n n ∴-+<，n <<， 由于n 为整数，因此n最大为132+的整数部分，即为12. 故答案为:12.点评：本题考查等比数列的通项、前n 项和、求解不等式，合理放缩是解题的关键也是难点，属于中档题.16．某饮料厂生产A ，B 两种饮料.生产1桶A 饮料，需该特产原料100公斤，需时间3小时；生产1桶B 饮料，需该特产原料100公斤，需时间1小时，每天A 饮料的产量不超过B 饮料产量的2倍，每天生产两种饮料所需该特产原料的总量至多750公斤，每天生产A 饮料的时间不低于生产B 饮料的时间，每桶A 饮料的利润是每桶B 饮料利润的1.5倍，若该饮料厂每天生产A 饮料m 桶，B 饮料n 桶时()*,m n N∈利润最大，则m n +=_________.答案：7 设每天A ，B 两种饮料的生产数量分别为x 桶，y 桶，则有0,0231001007500x y x y x y y x ≥≥⎧⎪≤⎪⎨≥⎪⎪+-≤⎩，画出可行域，结合已知，即可求得答案.解：设每天A ，B 两种饮料的生产数量分别为x 桶，y 桶，则有0,0231001007500x y x y x y y x ≥≥⎧⎪≤⎪⎨≥⎪⎪+-≤⎩ 则其表示的可行域如图中阴影部分所示，设B 饮料每桶利润为1，则目标函数为 1.5z x y =+，则 1.5y x z =-+，z 表示直线在y 轴上的截距，x ，y 只取整数，∴当直线 1.5y x z =-+经过点()4,3即4m =，3n =时，z 取得最大值，故7m n +=.故答案为：7.点评：本题主要考查了线性规划问题，关键是根据所给的约束条件准确地画岀可行域和目标函数．在平面区域中，求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义，从而确定目标函数在何处取得最优解．三、解答题17．在ABC 中，23AB =D 为BC 上一点，且3BC BD =，2AD =.（Ⅰ）若30B =︒，ADB ∠为钝角，求CD 的长； （Ⅱ）若sin 3sin 3BAD CAD ∠=∠，求ABC 的周长. 答案：（Ⅰ）4（Ⅱ）3442++（Ⅰ）在ABD △中，根据正弦定理，结合ADB ∠范围，求出,ADB BAD ∠∠，即可求出结论； （Ⅱ）由已知可得12BAD CAD S S =△△，由sin 3sin 3BAD CAD ∠=∠结合面积公式，求出4AC =，设BC x =，分别在,ADC ADB ∆∆中，用余弦定理表示,AC AB ，再由,ADC ADB ∠∠互补，建立x 的方程，求解即可.解：（Ⅰ）在ABD △中，由正弦定理得sin sin AB AD ADB B=∠，2sin 30=︒，解得sin ADB ∠=， 则120ADB ∠=︒，30BAD ∠=︒，所以2AD BD ==，所以24CD BD ==.（Ⅱ）由3BC BD =，得12BAD CAD S S =△△， 所以1sin 1212sin 2BAD CAD AB AD BAD S S AC AD CAD ⋅∠==⋅∠△△，因为sin sin 3BAD CAD ∠=∠，AB =4AC =，设BD x = 由余弦定理得222(2)22cos AC AD x AD x ADC =+-⋅∠；2222cos AB AD x AD x ADB =+-⋅∠，22242(2)222cos x x ADC =+-⨯⋅∠；222222cos x x ADB =+-⨯⋅∠，可得3x =，所以BC = 故ABC的周长为4+点评：本题考查正弦定理、余弦定理、面积公式解三角形，考查计算求解能力，属于中档题.18．已知某快递公司收取快递费的标准是：重量不超过1kg 的包裹收费10元；重量超过1kg 的包裹，在收费10元的基础上，每超过1kg （不足1kg ，按1kg 计算）需再收5元．该快递公司承揽了一个工艺品厂家的全部玻璃工艺品包裹的邮寄事宜，该厂家随机统计了100件这种包裹的两个统计数表如下：表1表2()1估计该快递公司对每件包裹收取快递费的平均值；()2将包裹重量落入各组的频率视为概率，该工艺品厂家承担全部运费，每个包裹只有一件产品，如果客户收到有损坏品的包裹，该快递公司每件按其出厂价的90%赔偿给厂家．现该厂准备给客户邮寄重量在区间(]2,3和(]3,4内的工艺品各1件，求该厂家这两件工艺品获得利润的分布列和期望．答案：()115.75元；()2见解析，24.5. ()1由统计表估计该快递公司对每件包裹收取的快递费的平均值；()2重量在(]2,3的产品数为20，其损坏率为20.120=，重量在(]3,4的产品数为10，其损坏率为30.310=，设重量在(]2,3的这件产品的利润记为X ，重量在(]3,4的这件产品的利润记为Y ，45X Y +=，2，9-，52-，分别求出相应的概率，由此能求出该厂家这两件工艺品获得利润的分布列和期望．解：解：()1根据题意，设公司对每件包裹收取的快递费的平均值为x ，401025152020102553015.75100x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==（元）． ()2重量在(]2,3的产品数为20，其损坏率为20.120=． 重量在(]3,4的产品数为10，其损坏率为30.310=， 设重量在(]2,3的这件产品的利润记为X ，则170302020X =--=，()23020300.923X =-++⨯=-，设重量在(]3,4的这件产品的利润记为Y ，则190402525Y =--=，()24025400.929Y =-++⨯=-，所以45X Y +=，2，9-，52-，则()450.90.70.63P X Y +==⨯=，()90.90.30.27P X Y +=-=⨯=，()520.10.30.03P X Y +=-=⨯=，所以其分布列为： 利润 452 9- 52- P 0.63 0.07 0.27 0.03根据题意，()450.6320.0790.27520.0324.5E X Y +=⨯+⨯-⨯-⨯=．点评：本题考查平均数、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，属于中档题.19．如图，在三棱锥A BCD -中，ABD △是等边三角形，BC CD ⊥，2BC CD ==，E 为三棱锥A BCD -外一点，且CDE △为等边三角形．()1证明：AC BD ⊥；()2若平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD 与平面ECD 所成锐二面角的余弦值为33，求BE 的长． 答案：()1证明见解析；()26BE =()1取BD 的中点O ，连接OC ，OA ，证明BD ⊥平面AOC ，可得到结论；()2以O 为原点，OC 为x 轴，OD 为y 轴，OA 为z 轴建立空间直角坐标系，求出平面ECD 和平面ABD 的法向量，利用夹角公式求出二面角的余弦值，得出结论.解：解：()1取BD 的中点O ，连接OC ，OA ，因为ABD △是等边三角形，所以AO BD ⊥，又因为BC CD =，所以CO BD ⊥，因为CO AO O ⋂=，所以BD ⊥平面AOC ，因为AC ⊂平面AOC ，故AC BD ⊥．()2因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ⋂平面CBD BD =，所以AO ⊥平面BCD ，且2BD =，AO =故以O 为原点，OC 为x 轴，OD 为y 轴，OA 为z 轴建立空间直角坐标系，取CD 的中点F ，连接OF ，EF ，同理可证CD ⊥平面EOF，2OF =，2EF =， 设EFO πθ∠=-，则()0,0,0O ，()1,0,0C ，()0,1,0D，(00A ,，()0,1,0B -11cos ,,22222E θθθ⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭所以()1,1,0CD =-，31122CE θθθ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭， 设平面ECD 的一个法向量为(),,n x y z =，则00CD n CE n⎧⋅=⎨⋅=⎩， 0311cos cos 022222x y x y z θθθ-+=⎧⎪⎛⎫⎛⎫∴⎨-+++⋅= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩， 令1x =，则cos 1,1,sin n θθ⎛⎫=⎪⎝⎭． 因为平面ABD 的一个法向量为()1,0,0OC =， 所以cos ,3OC n 〈〉==，22cos 1sin 2θθ∴= 所以3cos 3θ=±，sin 6θ=， 所以()1,1,1E 或()0,0,1E ．因为E 为三棱锥A BCD -外一点，所以()1,1,1E ，所以6BE =．点评：本题考查线面垂直、面面垂直的判定定理与性质定理，考查向量法求二面角的余弦值，属于中档题.20．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的一个短轴端点为(0,1)M ，过椭圆1C 的一个长轴端点作圆2222:C x y b +=的两条切线，且切线互相垂直.（Ⅰ）求椭圆1C 的方程；（Ⅱ）过点M 分别作出直线,MA MB 交椭圆1C 于,A B 两点，设这两条直线的斜率分别为,MA MB k k ，且4MA MB k k +=，求圆2C 上一点P 到直线AB 所过定点Q 的最小距离.答案：（Ⅰ）2212x y +=51- （Ⅰ）根据椭圆的对称性可得2b a =，再由1b =，即可求出椭圆1C 的方程； （Ⅱ）当直线AB 斜率存在时，设直线AB 方程为y kx m =+，与椭圆方程联立，得到,A B 坐标关系，将4MA MB k k +=用坐标表示，化简得出,m k 关系，求出直线AB 过定点，当直线AB 斜率不存在时，求出其方程也过同一定点，即可求出结论. 解：（Ⅰ）根据题意，1b =，又过椭圆1C 的一个长轴端点所作的圆2C 的两条切线互相垂直，所以sin 45b a ︒==，所以a =1C 的方程为2212x y +=. （Ⅱ）①当直线斜率存在时，设直线AB 方程为y kx m =+， (),A A A x y ，(),B B B x y ，代入椭圆1C 的方程得22212102k x kmx m ⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭， 所以2212A B km x x k -+=+，22112A B m x x k -⋅=+， 故1A MA A y k x -=，1B MB By k x -=， 所以11A B MA MB A B y y k k x x --+=+ ()A B B A A B A By x y x x x x x +-+= ()(1)22241A B A B m x x km k k x x m -+=+=-=+ 所以12k m =-， ∴将12k m =-代入y kx m =+得：12k y kx =+-， 所以直线必过1,12Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.②当直线AB斜率不存在时，A t ⎛ ⎝，,B t ⎛ ⎝，24MA MB k k t+==-=， 解得12t =-，则直线AB 也过点1,12Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.故21112PQ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 从而点P 到点Q 的最小距离为12-. 点评： 本题考查椭圆的标准方程及几何性质、直线与椭圆的位置关系，相交弦问题注意根与系数关系的应用，意在考查逻辑推理、计算求解能力，属于中档题.21．已知函数()ln ()f x x ax a =-∈R 的最大值为1-.（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）若方程1()22f x x x=--有两个实根12,x x ，且12x x <，求证：121x x +>. 答案：（Ⅰ）()ln f x x x =-（Ⅱ）见解析（Ⅰ）求导求出()f x '，对a 分类讨论，求出极大值，最大值，建立a 的方程关系，求解即可； （Ⅱ）12,x x 代入方程1ln 202x x +-=，整理得到1212122ln x x x x x x -=，进而有1211212ln x x x x x -=，2121212ln x x x x x -=，令12x t x =，01t <<，转化为证明112ln t t t->，构造函数1()2ln h t t t t =--，根据函数单调性证明()0h t <即可.解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞，1()(0)f x a x x '=->， 当0a 时，1()0f x a x'=->，即函()f x 在(0,)+∞上单调递增，无最大值.当0a >时，令1()0f x a x ，可得1x a =， 当10x a<<时，1()0ax f x x '-=>； 当1x a>时，1()0ax f x x '-=<， 故函数()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减. 所以max 1()ln 1f x f a a ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭， 所以ln 11a --=-，1a .故()ln f x x x =-. （Ⅱ）设11()()2ln 2(0)22G x f x x x x x x⎛⎫=---=+-> ⎪⎝⎭, 因为12,x x 是函数1()ln 22G x x x=+-的两个零点， 所以111ln 202x x +-=，221ln 202x x +-=. 两式相减，可得122111ln22x x x x =-， 即112221ln 2x x x x x x -=，故1212122ln x x x x x x -=. 那么1211212ln x x x x x -=，2121212ln x x x x x -=. 令12x t x =，其中01t <<， 则1211112ln 2ln 2ln t t t t x x t t t ---+=+=.构造函数1()2ln h t t t t =--，则22(1)()t h t t-'=. 对于01t <<，()0h t '>恒成立，故()(1)h t h <， 所以12ln 0t t t --<，即12ln t t t-<， 因为ln 0t <，可知112ln t t t ->，故121x x +>.点评：本题考查函数导数的综合应用，涉及到函数的单调性、极值最值、不等式的证明，构造函数是解题的关键，意在考查直观想象、逻辑推理、数学计算能力，属于较难题.22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为1212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知点,,A B C 的极坐标分别为53(4,),(4,),(4,)662πππ，且ABC ∆的顶点都在圆2C 上，将圆2C 向右平移3个单位长度后，得到曲线3C .（1）求曲线3C 的直角坐标方程；（2）设()1, 1M ，曲线1C 与3C 相交于,P Q 两点，求MP MQ ⋅的值.答案：（1）22(3)16x y -+=（2）11（1）直接利用转换关系，把极坐标转化为直角坐标，再进一步求解即可，进行转换；（2）由（1）联立曲线1C 与3C ，利用一元二次方程根和系数的关系即可求出结果．解：（1）由cos ,sin x y ρθρθ==可得点A的直角坐标系为2)A ，点B的直角坐标系为(2)B -，点C 的直角坐标系为(0,4)C -.设圆2C 的直角坐标系方程为222()x y m r +-=，代入,A C 可得222212(2)(4)m r m r ⎧+-=⎨--=⎩， 0,4m r ==∴.∴圆2C 的直角坐标方程为2216x y +=.故曲线3C 的直角坐标方程为：22(3)16x y -+=.（2）由（1）联立曲线1C ，3C 可得22(13)(1)1622t --++=，整理可得，2110t +-=，121211t t t t +=-=-∴，1212||||||||11MP MQ t t t t ⋅=⋅=-=∴.点评：本题主要考查参数方程、极坐标方程，直线与圆的位置关系等知识，考查转化能力和运算求解能力，属于中档题．23．已知函数()|31||2|f x x x =-+-.（1）求不等式()3f x ≥的解集；（2）若1,1m n >>，对x R ∀∈，不等式2253log log ()m n f x ⋅≥恒成立，求mn 的最小值. 答案：（1）{|0x x ≤或1}x ≥.（2）4（1）由题意可得，利用零点分段法进行分区间讨论，脱去绝对值符号解不等式，再求并集即可；（2）由题意可得22log log 1m n ⋅≥，利用基本不等式22log log 2m n +≥，从而求得mn 的最小值．解：（1）原不等式可化为|31||2|3x x -+-≥， ①当13x ≤时， 原不等式可化为3123x x -++-≥，解得0x ≤，0x ∴≤；②当123x <<时， 原不等式可化为3123x x -+-≥，解得1x ≥，12x ≤<∴；③当2x ≥时，原不等式可化为3123x x --+≥， 解得32x ≥， 2x ∴≥；综上，不等式的解集为{|0x x ≤或1}x ≥.（2）143,31()21,2343,2x x f x x x x x ⎧-+≤⎪⎪⎪=+<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩， min 15()()33f x f ==∴. ∴由2253log log ()m n f x ⋅≥恒成立可知， 不等式22log log 1m n ⋅≥恒成立.22log log 2m n +≥≥，2log ()2m n ⋅≥∴，4m n ⋅≥∴，当且仅当2m n ==时等号成立.∴故mn 的最小值4.点评：本题考查绝对值三角不等式及基本不等式的应用，绝对值不等式的解法通常零点分段法脱去绝对值分区间解不等式即可，基本不等式的应用需注意取等条件不要遗漏，属于中等题.。

2020届百校联盟高三TOP300七月尖子生联考数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}1,2,4A =，{}2log (1)1B x x =+>，则A B =I （ ） A ．{}1,4 B ．{}2,4C ．{}1,2D ．{}4【答案】B【解析】首先利用对数函数的单调性求解集合B ，再利用集合的交运算即可求解. 【详解】{}2|log (1)1{|1}B x x x x =+>=>，所以{2,4}A B ⋂=.故选：B 【点睛】本题考查了集合的交运算，同时考查了对数的单调性解不等式，属于基础题. 2．下列函数中，既是偶函数，又在(0,+∞)上单调递增的是（ ） A ．x x y e e -=- B ．21y x =-C ．2xy -=D ．ln y x =【答案】D【解析】先判断函数的定义域是否关于原点对称，然后判断各个函数的奇偶性，最后判断函数()f x 在()0,∞+上是否单调递增. 【详解】A ．定义域为R 关于原点对称，()()ee xx f x f x --=-=-，是奇函数，不符合；B ．定义域为R 关于原点对称，()()()21f x x f x -=--=，是偶函数，当()0,x ∈+∞时是减函数，不符合；C ．定义域为R 关于原点对称，()()2xf x f x ---==，是偶函数，当()0,x ∈+∞时2x y -=是减函数，不符合；D ．定义域为()(),00,-∞⋃+∞关于原点对称，()()ln f x x f x -=-=，当()0,x ∈+∞时ln y x =是增函数，符合. 故选：D. 【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性，难度较易.判断一个函数是奇函数还是偶函数，首先应判断函数的定义域是否关于原点对称，其次才是判断()(),f x f x -的关系. 3．函数()12y lg x =+-的定义域为( )A ．（2，3）B ．（3，4]C ．（2，4]D ．（2，3）∪（3，4] 【答案】D【解析】根据对数真数大于零，分式分母不为零，偶次方根的被开方数为非负数列不等式组，解不等式组求得函数的定义域. 【详解】依题意22021160x x x ->⎧⎪-≠⎨⎪-≥⎩，解得()(]2,33,4x ∈U .所以函数的定义域为()(]2,33,4U .故选：D 【点睛】本小题主要考查函数定义域的求法，属于基础题.4．已知命题p ：∀x >0，e x >x +1；命题q ：∃x 0∈（0，+∞），lnx 0=x 0﹣1；下列命题为真命题的是( ) A ．p ∧q B ．p q ∧⌝ C ．p q ⌝∧ D ．p q ⌝∧⌝【答案】A【解析】分别判断命题p 和q 的真假性，由此确定正确选项. 【详解】令()()'1,0,10xx f x e x x fx e =-->=->，所以()f x 在()0,∞+上递增，所以()()00f x f >=，所以命题p 为真命题.当01x =时，ln1110=-=，所以命题q 为真命题. 所以p q ∧为真命题，A 选项正确，其它选项不正确. 故选：A 【点睛】本小题主要考查含有逻辑联结词命题真假性的判断，属于基础题.5．已知集合{}2220A x x ax a =++≤，若A 中只有一个元素，则实数a 的值为（ ） A ．0B ．0或2-C ．0或2D ．2【答案】C【解析】根据题意转化为抛物线222y x ax a =++与x 轴只有一个交点，只需2480a a =-=△即可求解.【详解】若A 中只有一个元素，则只有一个实数满足2220x ax a ++≤， 即抛物线222y x ax a =++与x 轴只有一个交点，∴2480a a =-=△，∴0a =或2. 故选：C 【点睛】本题考查了集合元素的个数求参数的取值范围，考查了转化与化归的思想，属于基础题. 6．函数f （x ）=（x 2+2x ）e 2x 的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】利用导数判断出()f x 的单调区间，结合函数值的符号，选出正确选项. 【详解】 由于()()'22231x fx x x e =++⋅，而231y x x =++的判别式9450∆=-=>，所以231y x x =++开口向上且有两个根12,x x ，不妨设12x x <，所以()f x 在()()12,,,x x -∞+∞上递增，在()12,x x 上递减.所以C ,D 选项不正确.当2x <-时，()0f x >，所以B 选项不正确.由此得出A 选项正确.故选：A 【点睛】本小题主要考查利用导数判断函数的图像，属于基础题. 7．函数2()log (41)x f x x =+-的最小值为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】C【解析】首先将函数化为241()log 2x xf x +=，令412x x t +=，利用基本不等式求出2t ≥，然后再利用对数函数的单调性即可求解. 【详解】()()222241()log 41log 41log 2log 2x xxxx f x x +=+-=+-=，令412x xt +=则1222xx t =+≥，当且仅当0x =时，取等号， 所以241log 2x x+≥2log 21=， 即函数()f x 的最小值为1. 故选：C 【点睛】本题主要考查了利用对数型函数单调性求函数的最值，考查了基本不等式求最值，属于基础题.8．三个数2233ln a b c e ===，的大小顺序为( ) A ．b <c <a B ．b <a <cC ．c <a <bD ．a <b <c【答案】D【解析】通过证明13a b c <<<，由此得出三者的大小关系. 【详解】132221ln 63a e e =<==，由于6123e e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，6328==，所以13e <，所以131ln 3e =<即13a b <<.而66113232228,339⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以113223<，所以11321ln 2ln 3ln 33<=，即b c <，所以a b c <<.故选：D 【点睛】本小题主要考查指数式、对数式比较大小，考查指数运算和对数运算，属于中档题.9．设命题p ：函数21()2ln 2f x x ax x =-+-存在极值，q ：函数()log (0,1)a g x x a a =>≠在(0,)+∞上是增函数，则p 是q 的（ ）A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】对于p ，首先求出函数的导数，使221()0x ax f x x-+'=-=在(0,)+∞上有解，即2210x ax -+=在(0,)+∞上有解，求出a 的范围；对于q ，根据对数函数的单调性可得1a >，再根据充要条件的定义即可求解. 【详解】p ：函数21()2ln 2f x x ax x =-+-存在极值，对函数()f x 求导得221()x ax f x x-+'=-. 因为()f x 存在极值，所以221()0x ax f x x-+'=-=在(0,)+∞上有解，即方程2210x ax -+=在(0,)+∞上有解，即2440a ∆=-≥， 显然当0∆=时，()f x 无极值，不合题意， 所以方程2210x ax -+=必有两个不等正根，所以20440a a >⎧⎨∆=->⎩，解得1a >. q ：函数()log a g x x =在(0,)+∞上是增函数，则1a >.故p 是q 的充要条件. 故选：A 【点睛】本题考查了充分条件、必要条件的定义、根据函数的极值求参数、对数函数的单调性，综合性比较强，属于中档题.10．已知函数2()x f x ax x xe =+-，当0x ≥时，恒有()0f x ≤，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[1,)+∞B ．(,0]-∞C ．(,1]-∞D ．[0,)+∞【答案】C【解析】将函数整理为()()1xf x x ax e=+-，令()1xg x ax e =-+，讨论1a ≤或1a >时()g x 的单调性，当1a ≤时，()0f x ≤恒成立，当1a >时，根据单调性可得当(0,ln )x a ∈时()0g x >即()0f x >，不满足题意，从而可得答案.【详解】()()1x f x x ax e =+-.令()1x g x ax e =-+，则()x g x a e '=-.若1a ≤，则当(0,)x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 为减函数，而(0)0g =， 从而当0x ≥时，()0g x ≤，即()0f x ≤， 若1a >，则当(0,ln )x a ∈时，()0g x '>.()g x 为增函数，而(0)0g =，从而当(0,ln )x a ∈时，()0g x > 即()0f x >，不合题意.综上可得，a 的取值范围为(,1]-∞. 故选：C 【点睛】本题考查了导数在不等式恒成立中的应用，考查了分类讨论的思想，属于中档题. 11．已知定义在R 上的函数()f x 满足(2)(2)f x f x +=-，且当2x >时，()()2()x f x f x f x ''⋅+>，若(1)1f =.则不等式1()2f x x <-的解集是（ ） A ．(2,3) B ．(,1)-∞C ．()(1,2)2,3⋃D ．()(,1)3,-∞⋃+∞【答案】C【解析】令()|2|()F x x f x =-，当2x >时，则()(2)()F x x f x =-，利用导数可得当2x >时，()F x 单调递增，根据题意可得()F x 的图象关于2x =对称，不等式1()|2|f x x <-等价于|2|()1(2)x f x x -<≠，从而()(1)F x F <，利用对称性可得|2||12|x -<-，解不等式即可.【详解】当2x >时，()()2()x f x f x f x ''⋅+>，∴(2)()()0x f x f x '-+>， 令()|2|()F x x f x =-.当2x >时，则()(2)()F x x f x =-，()(2)()()0F x x f x f x ''=-+>， 即当2x >时，()F x 单调递增. 函数()f x 满足(2)(2)f x f x +=-，所以(2)(2)F x F x +=-，即()F x 的图象关于2x =对称， 不等式1()|2|f x x <-等价于|2|()1(2)x f x x -<≠，(1)|12|(1)(1)1F f f =-==，即()(1)F x F <，所以|2||12|x -<-，解得13x <<且2x ≠，解集为(1,2)(2,3)U . 故选：C 【点睛】本题考查了导数在解不等式中的应用、函数的对称性的应用以及绝对值不等式的解法，属于中档题.12．已知函数111()(0)x x e f x x e++-=<与()()1ln x xg x e x ae =+-的图象上存在关于y 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,1e⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦B ．1,e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,1e⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦D ．11,e⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】把函数()f x 与()g x 的图象上存在关于y 轴对称的点，转化为()()f x g x -=在(0,)+∞有零点，得到11ln(1)e ex a x =+-+有零点，即y a =和11()ln(1)e ex h x x =+-+有交点，利用导数求得函数()h x 的单调性与最值，即可求解.【详解】由题意，函数111()(0)x x e f x x e++-=<与()()1ln x xg x e x ae =+-的图象上存在关于y 轴对称的点，可得()()f x g x -=在(0,)+∞有零点，即111e e ln(1)e 1e ex xxxx e x a -+-+-+-==-，即11ln(1)e e x a x =+-+有零点，即y a =和11()ln(1)e ex h x x =+-+有交点， 因为111()1(1)x x x e x h x x e e x '--=-=++，所以令()1x m x e x =--，则()1x m x e '=-， 又因为0x >，所以()0m x '>即()m x 单增，因为()00m >，所以()0m x >，即()0h x '>，所以h （x ）在(0,)+∞单调递增， 所以1()1e h x >-，可得11a e>-. 故选：D . 【点睛】本题主要考查了导数的综合应用，以及利用导数研究函数的零点问题，其中解答中把函数()f x 与()g x 的图象上存在关于y 轴对称的点，转化为()()f x g x -=在(0,)+∞有零点，分类参数转化为两个函数图象有交点是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.二、填空题13．设集合{1,2,}A a a =-，若3A ∈，则实数a =_________． 【答案】5【解析】推导出a ﹣2＝3或a ＝3，再由集合中元素的互异性，能求出结果． 【详解】解：∵集合{1,2,}A a a =-，3A ∈， ∴23a -=或3a =，当23a -=时，5a =，成立；当3a =时，21a -=，不满足集合中元素的互异性，不成立． ∴实数5a = 故答案为：5．【点睛】本题考查实数值的求法，考查集合中元素的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14．已知命题p ：0[1,1]x ∃∈-，220020a x ax +-=，若命题p 为真命题，则实数a 的取值范围为_____.【答案】(,1][1,)-∞-+∞U【解析】根据题意可转化为方程2220a x ax +-=在[1,1]-上有解，解方程可得2x a=-或1x a=，只需21a ≤或11a ≤，解不等式即可. 【详解】当命题p 为真命题，即方程2220a x ax +-=在[1,1]-上有解， 由2220a x ax +-=，得(2)(1)0ax ax +-=， 显然0a ≠∴2x a =-或1x a=，∵[1,1]x ∈-， 故21a ≤或11a≤，∴||1a ≥， 即实数a 的取值范围为(,1][1,)-∞-+∞U . 故答案为：(,1][1,)-∞-+∞U 【点睛】本题考查了由命题的真假性求参数的取值范围，同时考查了一元二次方程根的分布，属于基础题.15．已知函数1102,()02,x x x e x f x x ex ---≥⎧--=⎨<-+⎩，则满足不等式()30f x +>的实数x 的取值范围为_________. 【答案】(1,1)-【解析】根据奇偶性定义判断函数()f x 为偶函数，再判断出()f x 在(0,)+∞上为减函数，0(1)23f e =--=-，从而将不等式转化为()(1)f x f >，根据函数为偶函数可得||1x <，解不等式即可.【详解】函数()f x 的定义域关于原点对称，∵0x >时，0x -<，1()2()x f x e x f x --=--=，0x < 同理：()()f x f x -=，∴()f x 为偶函数.易知()f x 在(0,)+∞上为减函数，且0(1)23f e =--=-，()30f x +>即()3f x >-，即()(1)f x f >，根据偶函数的性质知当||1x <时，得11x -<<. 故答案为：(1,1)- 【点睛】本题考查了利用分段函数的性质解不等式，需掌握奇偶性定义以及指数型函数的单调性，属于中档题.16．已知a 为任意的实数，则函数2222(3ln )2y x x a x ax a =--+-+的最小值为____.【答案】2【解析】将问题转化为点()2,3ln A x x x-与直线y x =上点(,)B a a 之间的距离||AB 的平方，对曲线23ln y x x =-求导，求出与直线y x =平行的切线斜率，进而求出切点，然后利用点到直线的距离公式即可求解. 【详解】()2223ln ()x xa x a --+-就是曲线23ln (0)y x x x =->上点()2,3ln A x x x-与直线y x =上点(,)B a a 之间的距离||AB 的平方，对曲线23ln y x x =-求导：32y x x'=-， 与直线y x =平行的切线斜率312k x x==-， 解得1x =或32x =-（舍去）， 把1x =代入23ln y x x =-，解得1y =-，即切点(1,1)-，则切点(1,1)-到直线y x =的距离为d == 所以22d =，即||AB 的平方最小值为2.即()2223ln ()x x a x a --+-的最小值为2.故答案为：2 【点睛】本题考查了导数的几何意义、基本初等函数的导数公式以及导数的运算法则，两点间的距离公式、点到直线的距离公式，考查了转化与化归的思想，属于中档题三、解答题17．已知集合{}2(2)(1)(21)0A x x m x m m =-++-+≤.集合B x y ⎧⎪==⎨⎪⎩.（Ⅰ）当1m =时，求A B U ；（Ⅱ）若B A ⊆，求实数m 的取值范围.【答案】（Ⅰ）{|24}A B x x ⋃=-≤≤（Ⅱ）(,3][3,)-∞-+∞U【解析】（Ⅰ）把1m =代入，求出集合A ，再利用指数的单调性求解集合B ，根据集合的并运算即可求解.（Ⅱ）讨论m 的取值范围，求出集合A ，根据集合的包含关系可得12214m m -≤-⎧⎨+≥⎩或21214m m +≤-⎧⎨-≥⎩，解不等式组即可求解. 【详解】（Ⅰ）当1m =时，{}2|30{|03}A x x x x x =-≤=≤≤，1||381{|24}9x B x y x x x ⎧⎪⎧⎫===≤≤=-≤≤⎨⎨⎬⎩⎭⎪⎩，所以{|24}A B x x ⋃=-≤≤. （Ⅱ）集合{}2|(2)(1)(21)0{|(1)(21)0}A x x m x m m x x m x m =-++-+≤=+---≤若0m ≥，则{|121}A x m x m =-≤≤+,∵B A ⊆,∴12214m m -≤-⎧⎨+≥⎩，解得3m ≥，若0m <，则{|211}A x m x m =+≤≤-.∵B A ⊆，∴21214m m +≤-⎧⎨-≥⎩，解得3m ≤-，∴m 的取值范围为(,3][3,)-∞-+∞U . 【点睛】本题主要考查了集合的基本运算以及集合的包含关系求参数的取值范围，属于基础题. 18．已知命题p ：函数12()log (1)af x x=+在[2,1]--上单调递增；命题q ：函数321()3g x x x ax =-++在[3,)+∞上单调递减.（Ⅰ）若q 是真命题，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求实数a 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）(,3]-∞（Ⅱ）(,0][1,3]-∞⋃【解析】（Ⅰ）根据题意转化为2()20g x x x a '=-++≤在[3,)+∞上恒成立，由二次函数的图像与性质即可求解.（Ⅱ）根据复合命题的真假性可得p 与q 一真一假，当p 真且q 假时，则013a a <<⎧⎨>⎩，当p 假且q 真时，则013a a a ≤≥⎧⎨≤⎩或，解不等式组即可求解.【详解】（Ⅰ）当命题q 为真命题时， 函数321()3g x x x ax =-++在[3,)+∞上单调递减， 所以2()20g x x x a '=-++≤在[3,)+∞上恒成立.22()2(1)1g x x x a x a '=-++=--++所以()g x '在[3,)+∞上单调递减，故(3)0g '≤， 解得3a ≤，所以q 是真命题，实数a 的取值范围为(,3]-∞. （Ⅱ）命题p 为真命题时，函数21log 1a y x⎛⎫=+⎪⎝⎭在[2,1]--上单调递增，∴01a <<.因为p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，所以p 与q 的真值相反. （ⅰ）当p 真且q 假时，有013a a <<⎧⎨>⎩，此不等式无解.（ⅱ）当p 假且q 真时，有013a a a ≤≥⎧⎨≤⎩或解得0a ≤或13a ≤≤.综上可得，实数a 的取值范围为(,0][1,3]-∞⋃. 【点睛】本题考查了导数在研究函数单调性中的应用、根据命题的真假求参数的取值范围、简单逻辑连接词连接命题的真假判断，以及对数型函数的单调性判断，属于基础题. 19．已知函数214()log (238)f x mx x m =-+.（Ⅰ）当1m =时，求函数()f x 在1[,2]2上的值域；（Ⅱ）若函数()f x 在(4,)+∞上单调递减，求实数m 的取值范围.【答案】（Ⅰ）114455log 10,log 8⎡⎤⎢⎥⎣⎦（Ⅱ）3,10⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】（Ⅰ）把1m =代入，可得()122()log 238f x x x =-+，令2238y x x =-+，求出其在1[,2]2上的值域，利用对数函数的单调性即可求解.（Ⅱ）根据对数函数的单调性可得2()238g x mx x m =-+在(4,)+∞上单调递增，再利用二次函数的图像与性质可得0,34,4(4)0,m m g >⎧⎪⎪≤⎨⎪≥⎪⎩解不等式组即可求解. 【详解】（Ⅰ）当1m =时，()122()log 238f x x x =-+，此时函数()f x 的定义域为1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 因为函数2238y x x =-+的最小值为242835588⨯⨯-=. 最大值为22232810⨯-⨯+=，故函数()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为114455log 10,log 8⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（Ⅱ）因为函数14log y x =在(0,)+∞上单调递减，故2()238g x mx x m =-+在(4,)+∞上单调递增，则0,34,4(4)0,m m g >⎧⎪⎪≤⎨⎪≥⎪⎩ 解得310m ≥，综上所述，实数m 的取值范围3,10⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题主要考查了利用对数函数的单调性求值域、利用对数型函数的单调区间求参数的取值范围以及二次函数的图像与性质，属于中档题.20．已知函数32()()12(0)f x ax a b x bx a =+++>为奇函数，且()f x 的极小值为16-.（Ⅰ）求a 和b 的值；（Ⅱ）若过点(1,)M m 可作三条不同的直线与曲线()y f x =相切，求实数m 的取值范围.【答案】（Ⅰ）1a =，1b =-.（Ⅱ）(12,11)--【解析】（Ⅰ）根据题意可得()()0f x f x +-=，代入表达式可得=-b a ，从而可得3()12f x ax ax =-，求导函数令()0f x '=，求出极值点，再利用导数判断函数的单调性，进而确定()f x 的极小值为(2)f ，由(2)16f =即可求解.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知3()12f x x x =-，设点()()00,P x f x 是曲线3()12f x x x =-的切点，利用导数的几何意义求出切线方程，将点(1,)M m 代入切线方程得32002312m x x =-+-，设32()2312g x x x m =-++，只要使函数()g x 有3个零点即可，利用导数与函数单调性的关系可得(0)0(1)0g g >⎧⎨<⎩，解不等式组即可.【详解】（Ⅰ）因为()f x 是奇函数，所以()()0f x f x +-=恒成立，则22()0a b x +=.所以=-b a ，所以3()12f x ax ax =-，则2()3123(2)(2)f x ax a a x x '=-=+-令()0f x '=，解得2x =-或2x =.当(2,2)x ∈-时，()0f x '<，当(2,)x ∈+∞时，()0f x '>.()f x 在(2,2)-单调递减，在(2,)+∞单调递增，所以()f x 的极小值为(2)f ，由(2)8241616f a a a =-=-=-，解得1a =， 所以1a =，1b =-.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知3()12f x x x =-，设点()()00,P x f x 是曲线3()12f x x x =-的切点，则在P 点处的切线的方程为()()()000y f x f x x x '-=-即()2300342y x x x =--因为其过点(1,)M m ，所以，()233200003422312m x x x x =--=-+-， 由于有三条切线，所以方程应有3个实根，设32()2312g x x x m =-++，只要使曲线()g x 有3个零点即可.设2()660g x x x '=-=，∴0x =或1x =分别为()g x 的极值点，当(,0)x ∈-∞和(1,)+∞时()0g x '>，()g x 在(,0)-∞和(1,)+∞上单调递增， 当(0,1)x ∈时()0g x '<，()g x 在(0,1)上单调递减， 所以，0x =为极大值点，1x =为极小值点. 所以要使曲线()g x 与x 轴有3个交点，当且仅当(0)0(1)0g g >⎧⎨<⎩，即120110m m +>⎧⎨+<⎩，解得1211m -<<-.即实数m 的取值范围为(12,11)--. 【点睛】本题考查了导数在研究函数极值中的应用、研究函数单调性中的应用，属于难题. 21．已知函数211()(1)22x f x ax ax x e =-+-. （Ⅰ）若直线()f x 在点(0,())f x 处切线方程为1y x =+，求实数a 的值； （Ⅱ）若函数()f x 有3个零点，求实数a 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）2a =-（Ⅱ）(2,)e +∞【解析】（Ⅰ）求出导函数1(0)2f a '=-，根据题意利用导数的几何意义可得1(0)12f a '=-=，求解即可.（Ⅱ）将函数转化为1()(1)2x f x x ax e ⎛⎫=--⎪⎝⎭，从而可得方程102x ax e -=有2个不为1的不等实数根，然后分离参数后则有函数y a =与2()(0)xe y h x x x==≠ 图象有两个交点，利用导数画出()h x 的简图，利用数形结合即可求解. 【详解】（Ⅰ）因为211()(1)22x f x ax ax x e =-+-， 得211()(1)22x x f x ax a e x e ax a xe '=--+-=--， 所以1(0)2f a '=-. 因为曲线在点(0,(0))f 处的切线方程为1y x =+， 所以1(0)12f a '=-=，即2a =-. （Ⅱ）21111()(1)(1)(1)(1)2222x x x f x ax ax x e ax x x e x ax e ⎛⎫=-+-=-+-=-- ⎪⎝⎭， 所以()f x 有一个零点1x =. 要使得()f x 有3个零点，即方程102x ax e -=有2个不为1的不等实数根， 又方程120(0)2x xe ax e a x x -=⇔=≠，令2()(0)x e h x x x=≠，即函数y a =与()y h x =图象有两个交点，令22222(1)()0x x x xe e e x h x x x --'===，得1x =． ()h x 的单调性如表：x (,0)-∞ (0,1) 1(1,)+∞()h x ' - -+()h x] ]极小值Z当0x <时，()0h x <，又(1)2h e =， 可作出()h x 的大致图象，由图象得2a e > 所以，要使得()f x 有3个零点， 则实数a 的取值范围为(2,)e +∞. 【点睛】本题考查了导数的几何意义、导数在研究函数零点中的应用，考查了数形结合的思想以及转化与化归的思想，属于难题. 22．已知函数()ln ()kf x x x x k R x=--∈，若函数()f x 在(0,)+∞上存在两个极值点12,x x .（Ⅰ）求实数k 的取值范围； （Ⅱ）证明：1222x x k +>. 【答案】（Ⅰ）10,2e ⎛⎫⎪⎝⎭（Ⅱ）见解析 【解析】（Ⅰ）求出()f x '，分析()f x '的符号，()0f x '=的根的个数满足的条件.（Ⅱ）不妨设12x x <，令21x tx =，1t >，将目标不等式的参数减少，用分析的方法最后证明：2112ln k t k t t ⎛⎫⨯-> ⎪⎝⎭，构造函数证明即可. 【详解】（Ⅰ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，因为()ln kf x x x x x=--， 22()ln 11ln k kf x x x x x '=++-=+令2()ln k g x x x=+所以233122(),0k x kg x x x x x-'=-=>. 当0k ≤时，()0g x '>，所以函数()g x 在(0,)+∞上单调递增. 即2()ln kf x x x '=+在(0,)+∞上单调递增， ()f x '在(0,)+∞上至多一个零点，所以()f x 在(0,)+∞上至多一个极值点，不满足条件.当0k >时，由()0g x '=，得x =，当x ∈时，()0g x '<，当)x ∈+∞时，()0g x '>，所以函数()g x 在）上单调递减；在)+∞上单调递增.所以min 1()2g x g ==+， 要使函数()f x 在(0,)+∞上存在两个极值点 则函数()f x '有两个零点，即()g x 有两个零点首先min 1()02g x =+<，解得102k e <<.因为21k <<，且(1)0g k =>，下面证明：1(2)ln(2)04g k k k=+>. 设1()ln(2)4h k k k=+， 则221141()44k h k k k k -'=-=. 因为12k e<，所以222141()044k e h k k k --'=<<. 所以()h k 在10,2e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减， 所以11(2)()ln 022g k h e e k h e ⎛⎫=>=+> ⎪⎝⎭. 所以实数k 的取值范围为10,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭. （Ⅱ）因为1x ，2x 是函数()f x 的两个极值点， 所以1x ，2x 是函数()f x '的两个零点 即1x ，2x 是函数()g x 的两个零点， 不妨设12x x <，令21x tx =，则1t >.所以121222ln 0,ln 0,k x x k x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩即212212ln ln k k x x x x -=-.所以22211ln k k t x t x =-，即21211ln k x t t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，102k e <<，1t >.要证122x x +>>. 即证212tx k >，即证2112ln k t k t t ⎛⎫⨯-> ⎪⎝⎭.因为102k e <<，所以即证12ln (1)t t t t->>． 设1()2ln H t t t t=-+，则22221(1)()10,1t H t t t t t -'=--=-<>.所以()H t 在(1,)+∞上单调递减，所以1()2ln (1)0H t t t H t=-+<=.所以122x x +>. 【点睛】本题主要考查了导数在研究函数极值中的应用、导数证明不等式，考查了分析法证明不等式，考查了分析求解能力，属于难题.。

2020届百校联盟TOP300七月尖子生联考（全国i 卷）数学（文）一、单选题1．设集合()(){}|5110A x x x =+-<，{}|0B y y =>，则()R A C B =I （ ） A ．∅ B ．[)0,1C ．1,05⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．1,05⎛⎤- ⎥⎝⎦【答案】D【解析】解一元二次不等式可得集合A ，由集合补集与交集运算即可得解. 【详解】依题意集合()(){}1|5110|15A x x x x x ⎧⎫=+-<=-<<⎨⎬⎩⎭， 集合{}|0B y y =>，所以由补集定义可得{}|0R C B y y =≤， 所以()1,05R A C B ⎛⎤=- ⎥⎝⎦I .故选:D. 【点睛】本题考查了集合补集与交集的简单运算，一元二次不等式的解法，属于基础题. 2．若函数()()()3322xx m f x x e--=为偶函数，则实数m 的值为（ ）A ．0B ．1C ．-1D ．2【答案】C【解析】根据偶函数定义()()f x f x -=，代入即可由x ∈R 求得m 的值. 【详解】依题意x ∈R ，()()()3322x x m f x x e--=⎡⎤⎡⎤--⋅--⎣⎦⎣⎦ ()()3322xx mx e++=()()()3322xx mx ef x --==，即()()6363224224mx m x mx m x +++=-++，故()3410m x +=；因为x ∈R ，故1m =-. 故选:C. 【点睛】本题考查了偶函数的定义，根据偶函数求参数值，属于基础题. 3．函数()284f x x x =-+在[]1,8上的值域为（ ）A ．[]12,3--B ．[]16,4-C ．[]3,4-D ．[]12,4-【答案】D【解析】根据二次函数的性质，结合定义域即可求得最大值与最小值，进而得值域. 【详解】函数()284f x x x =-+的对称轴为4x =，由于二次函数()f x 的开口向上，故函数()f x 在4x =处取到最小值()24484412f =-⨯+=-，最大值为()2888844f =-⨯+=，故所求值域为[]12,4-. 故选：D. 【点睛】本题考查了二次函数性质的简单应用，由定义域求函数的值域，属于基础题. 4．下列命题中，真命题的个数为（ ） ①命题“若ln ln a b >，则a b >”的否命题； ②命题“若21x y +>，则0x >或0y >”；③命题“若2m =，则直线0x my -=与直线2410x y -+=平行”的逆命题. A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】对于①由逆命题与否名题同真同假，判断出逆命题的真假，即可判断其否命题的真假；对于②求得其逆否命题，可通过逆否命题的真假判断该命题真假；对于③写出逆命题，即可由直线平行关系判定判断命题真假. 【详解】①的逆命题为“若a b >，则ln ln a b >”，由对数定义域可知该命题为假命题，故否命题也为假命题；②的逆否命题为“若0x ≤且0y ≤，则21x y +≤”，该命题为真命题，故②为真命题； ③的逆命题为“若直线0x my -=与直线2410x y -+=平行，则2m =”，该命题为真命题.综上可知，正确的为②③； 故选：C. 【点睛】本题考查了命题与逆否命题、否命题与逆命题、命题与逆命题的真假关系应用，属于基础题.5．若集合{}|sin 21A x x ==，,42k B y y k Z ππ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，则（ ） A ．A B A ⋃= B ．R R C B C A ⊆C ．A B =∅ID ．R R C A C B ⊆【答案】B【解析】根据正弦函数的性质可得集合A ，由集合性质表示形式即可求得A B ⊆，进而可知满足R R C B C A ⊆. 【详解】依题意，{}|sin 21|,4A x x x x k k Z ππ⎧⎫====+∈⎨⎬⎩⎭； 而|,42k B y y k Z ππ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭()212|,,4242n n x x n Z x n Z ππππ+⎧⎫==+∈=+∈⎨⎬⎩⎭或()21|,,442n x x n n Z x n Z ππππ+⎧⎫==+∈=+∈⎨⎬⎩⎭或，故A B ⊆， 则R R C B C A ⊆. 故选：B. 【点睛】本题考查了集合关系的判断与应用，集合的包含关系与补集关系的应用，属于中档题. 6．函数()3cos222f x x x =+-在[]2,2ππ-上的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】根据函数奇偶性可排除D ，取特殊值0,2x x π==代入即可排除BC ，即可得解. 【详解】函数()f x 的定义域为[]2,2ππ-，定义域关于原点对称，()()3cos222x f x x --=-+-()3cos 222x x f x =+-=， 故函数()f x 为偶函数，排除D ；因为()2cos320.14f πππ=+-≈，排除C ； 而()01f =-，排除B . 所以A 为正确选项， 故选：A. 【点睛】本题考查了根据函数解析式选择图像，奇偶性及特殊值的用法，属于基础题. 7．函数()231f x x x =-+在[]2,1-上的最大值和最小值分别为（ ） A ．23，-2 B ．23-，-9 C ．-2，-9 D ．2，-2【答案】B【解析】由函数解析式中含绝对值，所以去绝对值并画出函数图象，结合图象即可求得在[]2,1-上的最大值和最小值. 【详解】依题意，()151,2323111,13x x f x x x x x ⎧+-≤<-⎪⎪=-+=⎨⎪---≤≤⎪⎩，作出函数()f x 的图象如下所示；由函数图像可知，当13x =-时，()f x 有最大值23-， 当2x =-时，()f x 有最小值9-. 故选：B. 【点睛】本题考查了绝对值函数图象的画法，由函数图象求函数的最值，属于基础题. 8．设7.60.5a =，0.57b =， 3.24c -=，则（ ） A ．b c a >> B ．b a c >>C ．c a b >>D ．c b a >>【答案】A【解析】根据指数幂运算，化简,a c 后结合指数函数性质可比较,a c 大小；结合中间值法可比较,b c 大小，进而得解. 【详解】7.67.610.52a ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 3.26.43.211442c -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以 6.47.61122⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即c a >，而60.40.5111722b ⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即c b <， 所以b c a >>. 故选：A. 【点睛】本题考查了指数幂的化简运算，指数函数的性质比较大小，属于基础题. 9．函数()32f x mx x =+在[]1,4上单调递增的一个充分不必要条件是（ ）A ．23m ≤-B ．0m ≥C ．23m ≥-D ．124m ≥-【答案】B【解析】先根据解析式求得导函数，并分离参数后结合定义域内函数的单调性即可求得m 的取值范围，进而由充分不必要条件的性质即可得解.【详解】函数()32f x mx x =+，则()232f x mx '=+，故2320mx +≥在[]1,4上恒成立，故223m x ≥-， 因为223y x =-在[]1,4上单调递增，故124m ≥-，结合选项可知1024m m ≥⇒≥-，反之不成立，故选：B . 【点睛】本题考查了导数在研究函数单调性中的应用，充分必要关系的判断及参数求法，属于中档题.10．已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，且()()2224m f m f f n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭⋅=，当01x <<时，()0f x <.若()42f =，则函数()f x 在[]1,16上的最大值为（ ）A ．4B ．6C ．3D ．8【答案】A【解析】根据所给函数解析式满足的等量关系及指数幂运算，可得()()m f f n f m n ⎛⎫+= ⎪⎝⎭；利用定义可证明函数()f x 的单调性，由赋值法即可求得函数()f x 在[]1,16上的最大值. 【详解】函数()f x 的定义域为()0,∞+，且()()2224m f m f f n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭⋅=，则()()m f f n f m n ⎛⎫+=⎪⎝⎭； 任取()12,0,x x ∈+∞，且12x x <，则1201x x <<， 故120x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，令1m x =，2n x =，则()()1212x f f x f x x ⎛⎫+=⎪⎝⎭， 即()()11220x f x f x f x ⎛⎫-=<⎪⎝⎭， 故函数()f x 在()0,∞+上单调递增， 故()()max 16f x f =， 令16m =，4n =，故()()()44164f f f +==， 故函数()f x 在[]1,16上的最大值为4. 故选：A. 【点睛】本题考查了指数幂的运算及化简，利用定义证明抽象函数的单调性，赋值法在抽象函数求值中的应用，属于中档题.11．已知函数()2331x x f x x ++=+，()2g x x m =-++，若对任意[]11,3x ∈，总存在[]21,3x ∈，使得()()12f x g x =成立，则实数m 的取值范围为（ ）A ．17,92⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[)17,9,2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦U C ．179,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．4179,,2⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U 【答案】C【解析】将函数()f x 解析式化简，并求得()f x '，根据当[]11,3x ∈时()0f x >′可得()1f x 的值域；由函数()2g x x m =-++在[]21,3x ∈上单调递减可得()2g x 的值域，结合存在性成立问题满足的集合关系，即可求得m 的取值范围. 【详解】依题意()()222113311x x x x x f x x x ++++++==++ 121x x =+++， 则()()2111f x x '=-+，当[]1,3x ∈时，()0f x >′，故函数()f x 在[]1,3上单调递增， 当[]11,3x ∈时，()1721,24f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦； 而函数()2g x x m =-++在[]1,3上单调递减， 故()[]21,1g x m m ∈-+， 则只需[]721,1,124m m ⎡⎤⊆-+⎢⎥⎣⎦， 故7122114m m ⎧-≤⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩，解得17942m ≤≤， 故实数m 的取值范围为179,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故选：C. 【点睛】本题考查了导数在判断函数单调性中的应用，恒成立与存在性成立问题的综合应用，属于中档题.12．已知函数()1x e f x x-=，则方程()()2450f x f x --=⎡⎤⎣⎦的根的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C【解析】根据函数()f x 解析式求得导函数()f x '并令()0f x '=，由导函数符号判断函数()f x 的单调性和函数值的符号，画出函数图像；将方程()()2450f x f x --=⎡⎤⎣⎦看做一元二次方程，解方程求得()f x 的值，结合函数图像即可求解. 【详解】函数()1x e f x x -=，则()()()1210x x e f x x x --'=≠，令()0f x '=，解得1x =；故当(),0x ∈-∞时，()0f x <′，且()0f x <， 当()0,1x ∈时，()0f x <′，且()0f x >， 当()1,x ∈+∞时，()0f x >′，且()0f x >， 因而当1x =时取得极小值，()11f =. 作出函数()f x 的大致图象如下所示；而()()2450f x f x --=⎡⎤⎣⎦， 解得()1f x =-或()5f x =；由函数图像可知，方程()()2450f x f x --=⎡⎤⎣⎦的根的个数为3. 故选：C. 【点睛】本题考查了导函数在判断函数单调性、求极值中的应用，根据函数单调性、极值和函数值的符号画出函数图像，函数与方程的综合应用，属于中档题.二、填空题13．设命题p ：x R ∀∈，()2cos 30xx π-->，则p ⌝为______.【答案】0x R ∃∈，()002cos 30xx π--≤【解析】全称命题的否定形式，即可得解. 【详解】命题p 是全称命题，则p ⌝为特称命题，故将“x R ∀∈”改为“0x R ∃∈”，将“()2cos 30xx π-->”改为“()002cos 30xx π--≤”，即p ⌝为0x R ∃∈，()002cos 30xx π--≤，故答案为：0x R ∃∈，()002cos 30xx π--≤.【点睛】本题考查了全称命题否定形式，属于基础题. 14．已知集合(){}21,1A m m =+-，若1A ∈，则m =______.【答案】2【解析】根据元素与集合关系，可解得m 的值，注意集合元素互异性原则的应用. 【详解】依题意11m +=或()211m -=， 解得0m =或2m =；由集合中元素的互异性可知当0m =时，集合的两个元素相等，不合题意； 所以2m =. 故答案为：2. 【点睛】本题考查了元素与集合的关系，集合元素互异性原则的应用，属于基础题.15．已知函数()232,122,1x x f x x x x -⎧-≥⎪=⎨⎪-<⎩，若()()312f m f m ->-，则实数m 的取值范围为______. 【答案】3,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【解析】根据函数()f x 的解析式，画出函数图象，由函数图象可得函数的单调性，即可解不等式，求得m 的取值范围. 【详解】函数()232,122,1x x f x x x x -⎧-≥⎪=⎨⎪-<⎩， 作出函数()f x 的图象如下所示，由函数图像可知，函数()f x 在R 上单调递减， 故()()312f m f m ->-， 所以312m m -<-，解得34m < 所以实数m 的取值范围为3,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭. 故答案为：3,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了分段函数图象的画法，由函数单调性解不等式求参数的取值范围，属于基础题.16．函数()()11x xe xf x e +=-在(]0,2上的最大值为______. 【答案】22221e e +- 【解析】由函数()f x 的解析式，求得导函数()()22211x x x e xe e f x --=-'，构造函数()221x x e p x xe =--，并求得()()21x x e x p e x '=--；再构造()1x q x e x =--，求得()1xq x e '=-.由()q x '在(]0,2x ∈内恒大于0，可知()q x 为(]0,2x ∈上的单调递增函数；根据()()00p x p >=可知()0f x >′，即证明()f x 在(]0,2x ∈时单调递增，即可求得()f x 在(]0,2上的最大值. 【详解】 函数()()11x xe xf x e +=-，(]0,2x ∈， 求得导函数为()()22211x x xe xe ef x --=-'，设()221xx ep x xe =--，(]0,2x ∈，则()()21x x e x p e x '=--，设()1x q x e x =--，(]0,2x ∈，则()10x q x e '=->在(]0,2x ∈上恒成立，∴()1x q x e x =--在(]0,2上单调递增，∴()()00q x q >=在(]0,2上恒成立，则()0p x '>在(]0,2上恒成立， ∴()p x 在(]0,2上单调递增，∴()()00p x p >=在(]0,2上恒成立，则()0f x >′在(]0,2上恒成立， ∴()f x 在(]0,2上单调递增，所以()()22max2221f e e x f +==-. 故答案为：22221e e +-. 【点睛】本题考查了导数证明函数单调性的综合应用，构造函数法分析函数的单调性与最值，属于中档题.三、解答题17．已知集合(){}2|log 33A x x =+≤，{}|213B x m x m =-<≤+. （1）若3m =，则A B U ；（2）若A B B =I ，求实数m 的取值范围.【答案】（1）{}|36x x -<≤；（2）[][)1,24,-+∞U【解析】（1）将3m =代入可得集合B ，解对数不等式可得集合A ，由并集运算即可得解.（2）由A B B =I 可知B 为A 的子集，即B A ⊆；当B =∅符合题意，当B 不为空集时，由不等式关系即可求得m 的取值范围. 【详解】（1）若3m =，则{}|56B x x =<≤，依题意(){}(){}222|log 33|log 3log 8A x x x x =+≤=+≤{}|35x x =-<≤， 故{}|36A B x x =-<≤U ； （2）因为A B B =I ，故B A ⊆；若213m m -≥+，即4m ≥时，B =∅，符合题意；若213m m -<+，即4m <时，21335m m -≥-⎧⎨+≤⎩，解得12m -≤≤；综上所述，实数m 的取值范围为[][)1,24,-+∞U . 【点睛】本题考查了集合的并集运算，由集合的包含关系求参数的取值范围，注意讨论集合是否为空集的情况，属于基础题.18．已知命题p ：01,42x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，004x m x +<；命题q ：函数()23f x x mx =-+在()1,3上单调递减.（1）若q ⌝为假，求实数m 的取值范围；（2）若p q ∧为假，p q ∨为真，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）[)6,+∞；（2）()4,6【解析】（1）若q ⌝为假，则q 为真，根据二次函数单调性与对称轴关系即可求得m 的取值范围；（2）由基本不等式可求得p 为真时m 的取值范围；由p q ∧为假，p q ∨为真，可知p 真q 假或p 假q 真，分别解不等式组即可求得m 的取值范围. 【详解】（1）若q ⌝为假，则q 为真；因为函数()23f x x mx =-+的开口向上，且对称轴为2mx =，则32m ≥， 解得6m ≥，故实数m 的取值范围为[)6,+∞.（2）若p 为真，则min 4x m x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，1,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，因为44x x +≥=，当且仅当2x =时等号成立，故4m >； 若p 真q 假，则实数m 满足46m m >⎧⎨<⎩，则46m <<； 若p 假q 真，则实数m 满足46m m ≤⎧⎨≥⎩，无解； 综上所述，实数m 的取值范围为()4,6. 【点睛】本题考查了非命题与命题的关系，由复合命题的真假判断命题真假，二次函数单调性与基本不等式求最值的应用，属于基础题.19．已知函数214()log (238)f x mx x m =-+. （Ⅰ）当1m =时，求函数()f x 在1[,2]2上的值域；（Ⅱ）若函数()f x 在(4,)+∞上单调递减，求实数m 的取值范围.【答案】（Ⅰ）114455log 10,log 8⎡⎤⎢⎥⎣⎦（Ⅱ）3,10⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ 【解析】（Ⅰ）把1m =代入，可得()122()log 238f x x x =-+，令2238y x x =-+，求出其在1[,2]2上的值域，利用对数函数的单调性即可求解.（Ⅱ）根据对数函数的单调性可得2()238g x mx x m =-+在(4,)+∞上单调递增，再利用二次函数的图像与性质可得0,34,4(4)0,m m g >⎧⎪⎪≤⎨⎪≥⎪⎩解不等式组即可求解. 【详解】（Ⅰ）当1m =时，()122()log 238f x x x =-+， 此时函数()f x 的定义域为1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.因为函数2238y x x =-+的最小值为242835588⨯⨯-=.最大值为22232810⨯-⨯+=，故函数()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为114455log 10,log 8⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（Ⅱ）因为函数14log y x =在(0,)+∞上单调递减，故2()238g x mx x m =-+在(4,)+∞上单调递增，则0,34,4(4)0,m m g >⎧⎪⎪≤⎨⎪≥⎪⎩ 解得310m ≥，综上所述，实数m 的取值范围3,10⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【点睛】本题主要考查了利用对数函数的单调性求值域、利用对数型函数的单调区间求参数的取值范围以及二次函数的图像与性质，属于中档题.20．已知奇函数()f x 的定义域为R ，且当()0,x ∈+∞时，()21f x x x =-+.（1）求函数()f x 的解析式；（2）记函数()()1g x f x mx =-+，若函数()g x 有3个零点，求实数m 的取值范围.【答案】（1）()221,00,01,0x x x f x x x x x ⎧-+>⎪==⎨⎪---<⎩；（2）()1,+∞ 【解析】（1）根据奇函数定义，可知()00f =；令(),0x ∈-∞则()0,x -∈+∞，结合奇函数定义即可求得(),0x ∈-∞时的解析式，进而得函数()f x 的解析式；（2）根据零点定义，可得()1f x mx =-，由函数图像分析可知曲线()y f x =与直线1y mx =-在第三象限必1个交点，因而需在第一象限有2个交点，将1y mx =-与21y x x =-+联立，由判别式>0∆及两根之和大于0，即可求得m 的取值范围.【详解】（1）因为函数()f x 为奇函数，且x ∈R ，故()00f =； 当(),0x ∈-∞时，()0,x -∈+∞，()()()()2211x x x x f x x f =---+=++=--，则()21f x x x =---；故()221,00,01,0x x x f x x x x x ⎧-+>⎪==⎨⎪---<⎩. （2）令()()10g x f x mx =-+=，解得()1f x mx =-，画出函数关系如下图所示，要使曲线()y f x =与直线1y mx =-有3个交点，则2个交点在第一象限，1个交点在第三象限，联立211y x x y mx ⎧=-+⎨=-⎩，化简可得()2120x m x -++=，令12010x x m ∆>⎧⎨+=+>⎩，即()21801m m ⎧+->⎪⎨>-⎪⎩，解得221m >，所以实数m 的取值范围为()221,+∞. 【点睛】本题考查了根据函数奇偶性求解析式，分段函数图像画法，由函数零点个数求参数的取值范围应用，数形结合的应用，属于中档题. 21．已知函数()2xf x e x =-.（1）若曲线()y f x =的切线方程为1y ax =+，求实数a 的值；（2）若函数()()223x mf x mx x ϕ=+-+在区间[]2,4-上有两个零点，求实数m 的取值范围.【答案】（1）1a =-；（2）4132e m e -<<或36m e =【解析】（1）根据解析式求得导函数，设切点坐标为()0002,xx e x -，结合导数的几何意义可得方程00010x xx e e -+=，构造函数()1x xh x xe e =-+，并求得()h x '，由导函数求得()h x 有最小值()00h =，进而可知由唯一零点00x =，即可代入求得a 的值；（2）将()f x 解析式代入()x ϕ，结合零点定义化简并分离参数得23x x m e-=，构造函数()23x x x g e -=，根据题意可知直线y m =与曲线()23xx x g e -=有两个交点；求得()g x '并令()0g x '=求得极值点，列出表格判断()g x 的单调性与极值，即可确定与y m =有两个交点时m 的取值范围.【详解】（1）依题意，()2xf x e x =-，()2xf x e '=-，设切点为()0002,xx e x -，()002xf x e '=-，故0000122x x ax e x e a⎧+=-⎨-=⎩，故()0000212xxe x e x -+=-，则00010x xx e e -+=；令()1xxh x xe e =-+，()xh x xe '=，故当(),0x ∈-∞时，()0h x '<， 当()0,x ∈+∞时，()0h x '>， 故当0x =时，函数()h x 有最小值，由于()00h =，故()0h x =有唯一实数根0， 即00x =，则1a =-；（2）由()()222303xmx x mf x x me x ϕ+-+-+===，得23x x m e-=.所以“()x ϕ在区间[]2,4-上有两个零点”等价于“直线y m =与曲线()23xx x g e -=在[]2,4x ∈-有两个交点”；由于()223xx x g x e-++='.由()0g x '=，解得11x =-，23x =.当x 变化时，()g x '与()g x 的变化情况如下表所示：所以()g x 在[)2,1--，(]3,4上单调递减，在()1,3-上单调递增. 又因为()22g e -=，()12g e -=-，()()3632g e g =<-，()()41341e g g =>-， 故当4132e m e -<<或36m e =时，直线y m =与曲线()23xx x g e-=在[]2,4x ∈-上有两个交点， 即当4132e m e -<<或36m e=时，函数()x ϕ在区间[]2,4-上有两个零点. 【点睛】本题考查了导数的几何意义应用，由切线方程求参数值，构造函数法求参数的取值范围，函数零点的意义及综合应用，属于难题. 22．已知函数()21xf x e x x =+-+.（1）求函数()f x 的极值； （2）证明：x R ∀∈，()3f x x >.【答案】（1）极小值()02f =，无极大值；（2）见解析【解析】（1）根据函数()f x 的解析式求得导函数()f x '，可由()f x '的符号判断函数的单调性，并由极值点求得极值.（2）将函数()f x 的解析式代入不等式，并构造函数()241xe x F x x =-++，求得()42x F x e x '=-+，再构造函数()()42x G x F x e x ='=-+，并求得()G x '，由()0G x '>可知()G x 在R 上单调递增，由零点存在定理可知()0G x =在()0,1内有唯一解，记为0x ，满足00e42x x =-.进而由()F x '的符号判断()F x 单调性，即可求得()min F x 的函数表达式，根据二次函数在定区间上的值域即可判断()00F x >恒成立，即证明不等式成立. 【详解】（1）函数()21xf x e x x =+-+，x ∈R ，则()21xf x e x '=+-，由()0f x >′可知在R 上单调递增，且()00f '=， 故当(),0x ∈-∞时，()0f x <′， 当()0,x ∈+∞时，()0f x >′，故函数()f x 有极小值()02f =，无极大值；（2）证明：依题意对x R ∀∈，()30f x x ->，即2e 410x x x -++>；设()241xe x F x x =-++，则()42x F x e x '=-+，设()()42xG x F x e x ='=-+.因为()20xG x e '=+>，所以()G x 在R 上单调递增.又因为()030G =-<，()120G e =->， 所以()0G x =在()0,1内有唯一解，记为0x ，即00e 42x x =-.当0x x <时，()0F x '<，()F x 单调递减； 当0x x >时，()0F x '>，()F x 单调递增；所以()()022000mi 00n 4165xF x e x x x F x x ==-++=-+，()00,1x ∈.设()()226534g x x x x =-+=--，()0,1x ∈，则()()10g x g >=，所以()00F x >，所以()0F x >，即x R ∀∈，()3f x x >. 【点睛】本题考查了由导数判断函数的单调性与极值，导数在证明不等式中的应用，构造函数法的综合应用，函数零点存在定理的应用，二次函数性质的应用，综合性强，属于难题.。

山东省青岛市重点中学2024年高三TOP300七月尖子生联考数学试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知数列{}n a 对任意的*n N ∈有111(1)n n a a n n +=-++成立，若11a =，则10a 等于（ ） A ．10110B ．9110C ．11111D ．122112．已知抛物线22(0)y px p =>，F 为抛物线的焦点且MN 为过焦点的弦，若||1OF =，||8MN =，则OMN 的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．23．设点A ，B ，C 不共线，则“()AB AC BC +⊥”是“AB AC =”（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件4．已知集合2{|1}A x x =<，{|ln 1}B x x =<，则 A ．{|0e}A B x x =<< B ．{|e}A B x x =< C ．{|0e}A B x x =<<D ．{|1e}AB x x =-<<5．著名的斐波那契数列{}n a ：1，1，2，3，5，8，…，满足121a a ==，21n n n a a a ++=+，*N n ∈，若2020211n n k a a-==∑，则k =( ) A ．2020B ．4038C ．4039D ．40406．已知函数()0)f x x x =->，()xg x x e =+，()()ln 0h x x x x =+>的零点分别为1x ，2x ，3x ，则（ ）A ．123x x x <<B ．213x x x <<C ．231x x x <<D ．312x x x <<7．已知a ＞b ＞0，c ＞1，则下列各式成立的是（ ） A ．sin a ＞sin bB ．c a ＞c bC ．a c ＜b cD ．11c c b a--＜ 8．已知定义在R 上的可导函数()f x 满足()()()'10x f x x f x -⋅+⋅>，若3(2)y f x e=+-是奇函数，则不等式1()20x x f x e +⋅-<的解集是（ ） A ．(),2-∞ B ．(),1-∞C ．()2,+∞D ．()1,+∞9．已知π3π,22α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()3tan π4α-=-，则sin cos αα+等于（ ）． A ．15±B ．15-C ．15D ．75-10．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦距为2c ，过左焦点1F 作斜率为1的直线交双曲线C 的右支于点P ，若线段1PF 的中点在圆222:O x y c +=上，则该双曲线的离心率为（ ） A ．2B ．22C ．21+D ．221+11．设F 为双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为 A ．2 B ．3 C ．2 D ．512．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为 A ．B ．C ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

百师联盟2020届全国高三开学摸底大联考全国卷理科数学试题理科数学试卷注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.考试时间120分钟，满分150分.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|31}A x x =-<„，集合{|B x y ==，则A B ⋃=（ ）A．[ B．( C．[- D．(-2.已知命题:,(0,1)P x y ∀∈，2x y +<，则命题P 的否定为（ ） A ．,(0,1)x y ∀∈，2x y +… B ．,(0,1)x y ∀∉，2x y +…C ．00,(0,1)x y ∃∉，002x y +…D ．00,(0,1)x y ∃∈，002x y +…3.已知实数,x y 满足2,2,10,y x y x y ⎧⎪+⎨⎪-+⎩„…„则32x y +的最大值为（ ） A ．7B ．5C ．4D ．924.某商场开展转转盘抽奖活动，每抽奖一次转动一次转盘（转盘如图），经测量可知一等奖，二等奖和三等奖所在扇形区域的圆心角分别为20︒，50︒和60︒，则抽奖一次中一等奖的概率为（ ）A ．1336 B ．1736 C ．1936D ．595.已知P 为圆22(1)1x y ++=上任一点，,A B 为直线3470x y +-=上的两个动点，且||3AB =，则PAB △面积的最大值为（ ）A ．9B ．92C ．3D ．326.元代数学家朱世杰编著的《算法启蒙》中记载了有关数列的计算问题：“今有竹七节，下两节容米四升，上两节容米二升，各节欲均容，问逐节各容几升？”其大意为：现有一根七节的竹子，最下面两节可装米四升，最上面两节可装米二升，如果竹子装米量逐节等量减少，问竹子各节各装米多少升？以此计算，第四节竹子的装米量为（ ） A ．1升 B ．23升 C ．32升 D ．43升 7.如图，在梯形ABCD 中，2BC AD =，DE EC =，设BA a =u u u r ，BC b =u u u r ，则BE =u u u r（ ）A ．1124a b + B ．1536a b +C ．2233a b + D ．1324a b + 8.执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（ ）A ．3B ．2020C ．3030D ．10109.()()5102221x xxx +-+的展开式中，含7x 项的系数为（ ）A ．100B ．300C ．500D ．11010.已知函数()sin 0)f x x x ωωω=+->在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且仅有三个零点，则ω的取值范围是（ ） A ．1014,33⎛⎫⎪⎝⎭ B ．1014,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．144,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．144,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭11.如图，四棱锥P ABCD -中，底面为直角梯形，90BAD ADC ∠=∠=︒，23AB CD =，E 为PC 上靠近点C 的三等分点，则三棱锥B CDE -与四棱锥P ABCD -的体积比为（ ）A ．19 B ．15 C ．16 D ．1312.双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>，12,F F 为其左右焦点，线段2F A 垂直直线b y x a=，垂足为点A ，与双曲线交于点B ，若2F B BA =u u u r u u u r，则该双曲线的离心率为（ ）A B ．2C ．3D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.若复数2221iz i-=++，则||z =_____. 14.在一次考试后，为了分析成绩，从1、2、3班中抽取了3名同学（每班一人），记这三名同学为A B C 、、，已知来自2班的同学比B 成绩低，A 与来自2班的同学成绩不同，C 的成绩比来自3班的同学高.由此判断，来自1班的同学为______.15.数列{}n a 中，其前n 项和为n S 且221nn n S a =-+，则10S =_____.16.若函数1()e xf x x b a=--在其定义域上的最小值为0，则2a b 最小值为_____.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证眀过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.在ABC △中，三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()sin sin()sin a c A c A B b B -++=. （1）求B ；（2）若8a c +=，三角形的面积ABC S =△b .18.如图所示的多面体的底面ABCD 为直角梯形，四边形DCFE 为矩形，且DE BC ⊥，AD DC ⊥，又AD AB ⊥，122AB AD DE CD ====，,,M N P 分别为,,EF BF BC 的中点.（1）求证：BC ⊥平面MNP ；（2）求直线MN 与平面BCF 所成角的余弦值..19.移动支付（支付宝支付，微信支付等）开创了新的支付方式，使电子货币开始普及，为了了解习惯使用移动支付方式是否与年龄有关，对某地200人进行了问卷调查，得到数据如下：60岁以上的人群中，习惯使用移动支付的人数为30人；60岁及以下的人群中，不习惯使用移动支付的人数为40人.已知在全部200人中，随机抽取一人，抽到习惯使用移动支付的人的概率为0.6.（1）完成如下的列联表，并判断是否有99.9%的把握认为习惯使用移动支付与年龄有关，并说明理由.（2）在习惯使用移动支付的60岁以上的人群中，每月移动支付的金额如下表：现采用分层抽样的方法从中抽取9人，再从这9人中随机抽取4人，记4人中每月移动支付金额超过3000元的人数为Y ，求Y 的分布列及数学期望.附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.20.函数2()ln 6()a f x a x x a x=--∈R . （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若0a >，证明：当(0,2]x ∈时，()0f x <恒成立.21.已知2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率e =，椭圆的左焦点为1F ，短轴的两个端点分别为12,B B ，且11122F B F B ⋅=u u u u r u u u u r.（1）求C 的标准方程；（2）若过左顶点A 作椭圆的两条弦,AM AN ，且0AM AN ⋅=u u u u r u u u r，求证：直线MN 与x 轴的交点为定点.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题．．．．作答.如果多做，则按所做第一题计分.作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的倾斜角为4π，且过点(5,)M a ，曲线C 的参数方程为4cos ,3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）当曲线C 上的点到直线l 的最大距离为l 的直角坐标方程. 23.[选修4-5：不等式选讲] 已知函数()|1||2|f x x x =+--. （1）求不等式()1f x <-的解集；（2）若()|1|f x a -„的解集为实数集R ，求实数a 的取值范围.百师联盟2020届全国高三开学摸底大联考 全国卷理科数学答案及评分意见1.D【解析】[B =，所以(A B ⋃=-.2.D 【解析】由全称命题,()x M p x ∀∈的否定为x M ∃∈，()P x ⌝可得00,(0,1)x y ∃∈，002x y +…. 3.A 【解析】由可行域可知，过点(1,2)时，32x y +取得最大值7.4.C 【解析】概率20502601936036P ︒+︒+⨯︒==︒.5.B 【解析】圆心到直线的距离为|37|25--=，所以圆上的点到直线的最大距离为213+=，所以PABS △的最大值为193322⨯⨯=. 6.B 【解析】设竹子自下而上的各节容米量分别为127,a a a L ，则有12676a a a a +++=，由等差数列的性质可得17423a a a +==，所以432a =. 7.D 【解析】取BC 中点F ，则1111322224BE BC CE BC FA BC BA BC BA BC⎛⎫=+=+=+-=+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r1324a b =+. 8.C 【解析】10a =，23a =，32a =-，45a =，54a =-，67a =…可知12343a a a a +=+==L 当2020i =时，101033030S =⨯=.9.A 【解析】30()11520(1)krkr k r k T T C C x-+++=-，其中05r 剟，020k 剟，，则23r k +=，所以可取3r =，20k =或4r =，19k =或5r =，18k =，分别代入求和得7x 项得系数为100.10.D 【解析】()2sin 3f x x πω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，则()f x =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且仅有三个根，则3sin x πω⎛⎫+=⎪⎝⎭有且仅有三个根，则233x k ππωπ+=+或223k ππ+.k ∈Z .需2223233πωπππππ++<+…解得144,3ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭. 11.B 【解析】设四棱锥P ABCD -的高为h ，则三棱锥B CDEE -的高为13h ，2AB a =，则3CD a =，所以11532p ABCD V a AD h -=⨯⨯⨯⨯，1113323B CDE V a AD h -=⨯⨯⨯⨯，所以15B CDE P ABCD V V --=12.A 【解析】2F A 所在的直线方程为()a y x c b =--，与直线by x a =的交点为2,a ab A c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，B 为线段FA 的中点，所以22,22c a ab B c c ⎛⎫+⎪⎝⎭，代入双曲线方程得()2222222222244a c a b b a a b c c+⨯-⨯=得222c a =，所以ce a==13. 【解析】(2)(1)222(1)(1)i i z i i i --=+=-+-，所以||z =14.B 【解析】由题，B 不是来自2班，A 不是来自2班，所以C 来自2班，又B 的成绩比来自2班的同学高，C 的成绩比来自3班的同学高，所以B 不能来自3班，只能来自1班. 15.9217 【解析】11121a S a ==-，得11a =， 又11112222nn n n n n n S S a a a ++++-==-+-，即11222n n n n a a ++-=-得111222n n n n a a ++-=. 所以2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以12为首项12为公差的等差数列，即11(1)2222n na n n =+-⨯=， 所以122n n a n =⨯由错位相减法可得109217S =. 16.21e-【解析】由题，0x x e b a --…恒成立，可转化为直线1y x b a =+与曲线xy e =相切. 设切点坐标为()00,x x e ，则0001,1.x x e x b a e a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩可得0201x x a b e -=，令1()e t t h t -=，则2()e tt h t -'=可得当2t =时，()h t 取得最小值21e-. 17. 【解析】（1）由()sin sin()sin a c A c A B b B -++=， 得()sin sin sin a c A C c b B -+=. 由正弦定理得22()a c a c b -⨯+=，即222122a cb ac +-=. 所以1cos 2B =，又因为(0,)B π∈ 所以3B π=.（2）由（1）知3B π=，1sin 2ABC S ac B ==△16ac =， 又8a c +=，解得4a =，4c =，所以：2222cos 16b a c ac B =+-=，得4b =. 18.【解析】（1）证明：因为,P N 分别为,BC BF 的中点，所以PN CF P ，因为四边形EDCF 为矩形，所以DE CD ⊥ 又因为DE BC ⊥，所以DE ⊥平面ABCD ，所以PN BC ⊥ 取CD 中点H ，连接,,PH BH MH ，则MH CF PN P P ，所以点,,,M N P H 同在平面MNP 内.在BHC △中，2BH AD ==，2CH CD AB =-=，90BHC ∠=︒，P 为BC 中点， 所以HP BC ⊥又因为PN 交HP 于点P ，所以BC ⊥平面MNP .（2）由（1）知,,AD DE CD 三条直线两两垂直且交于点D ，以D 为原点，,,DA DC DE 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系.则(2,2,0)B ，(0,4,0)C ，(0,4,2)F ，因为,M N 分别为,EF BF 中点，可得(0,2,2)M ，(1,3,1)N ，设平面BCF 的法向量为(,,)m x y z =u r ，则0,0.n BF n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u rr u u u r即220,2220.x y x y z -+=⎧⎨-++=⎩ 令1x =，可得1y =，0z =，所以(1,1,0)n =r.所以cos ,||||n MN n MN n MN ⋅〈〉==r u u u u rr u u u u r r u u u u r .所以MN 与平面BCF3=. 19.【解析】 （1）列联表如图：220024002400120013.18710.828701*********K ⨯⨯==≈>⨯⨯⨯.所以有99.9%的把握认为习惯使用移动支付与年龄有关.（2）由（1）得30x =，所以在抽取的9人中，月支付金额在[100,1000]的有1人，在(1000,2000]的为2人，在(2000,3000]的为3人，3000以上的为3人，则46495(0)42C P Y C ===，31634910(1)21C C P Y C ===，2263495(2)14C C P Y C ===. 1363491(3)21C C P Y C ===， 所以分布列为510514()0123422114213E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=. 所以Y 的数学期望为43. 20.【解析】（1）222226()6a a x ax a f x x x x-++'=+-=. 令()0f x '=，得2260x ax a -++=， 解得12a x =，23a x =-. ①当0a =时，()60f x '=-<，所以()f x 在(0,)+∞上单调递减.②当0a >，02a >，03a -<，()f x 在0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减. ③当0a <时，02a <，03a ->，()f x 在0,3a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在,3a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减. （2）当0a >时，由（1）得()f x 在0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在,2a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减. ①当22a <，即04a <<时，()f x 在(0,2]的最大值 max ()ln 5ln 5222a a a f x f a a a ⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 因为04a <<，所以ln ln 2ln 12a e <<=. 所以ln 502a a ⎛⎫-< ⎪⎝⎭， ②当22a …，即4a …时，()f x 在(0,2]内单调递增. max ()(2)ln 2122a f x f a ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭. 因为4a …，ln 2ln 12a e <=<. 所以ln 202a a ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，所以ln 21202a a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭. 综合①②可知当(0,2]x ∈时，()0f x <恒成立.21.【解析】（1）设1(,0)F c -，1(0,)B b ，2(0,)B b -，由题意2c a =，① 1112(,)(,)2F B F B c b c b ⋅=⋅-=u u u u r u u u u r ，②又222c a b =-，③由①②③得24a =，21b =，所以椭圆方程为2214x y +=. （2）由题可知，(0,2)A -，直线,AM AN 斜率存在且不为零，设直线AM 斜率为k ， 则直线AN 斜率为1k-. 设直线AM 方程为(2)y k x =+，与椭圆方程联立得22(2),440.y k x x y =+⎧⎨+-=⎩得()222214161640k x k x k +++-=.① 方程①的一根为2-，设(),M M M x y ， 则22164214M k x k --=+，得222814M k x k -=+， 所以()2M M y k x =+，得2414M k y k =+ 得222284,1414k k M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， 同理可得（将k 换为1k -）得222284,44k k N k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭. 则()()()()232222242222442012020514428284416161611144MN k k k k k k k k k k k k k k k k k k +++-++====-------+-++. 所以直线MN 的方程为222245284444k k k y x k k k ⎛⎫--+=- ⎪+-+⎝⎭. 令0y =，则()()()()()222222221616428624645545454k k k k x k k k k --+---=+===-++++. 所以，直线MN 与x 轴的交点为定点6,05⎛⎫-⎪⎝⎭. 22.【解析】（1）由4cos ,3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.得cos ,4sin .3x y θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 所以2222sin cos 43x y θθ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 所以曲线C 的直角坐标方程为221169x y +=. （2）直线l 的方程为5y a x -=-，即50x y a -+-=.设曲线C 上任一点(4cos ,3sin )M θθ，则点M 到直线l 的距离d ==3tan 4ϕ=）. ①当50a ->时，max d ==，解得10a =. ②当50a -<时，max d ===0a = 综合①②可知直线l 的直角坐标方程为50x y -+=或50x y --=.23.【解析】（1）由题可得3,1,()21,12,3,2,x f x x x x --⎧⎪=--<<⎨⎪⎩„…31,1,()1211,1 2.x f x x x -<--⎧<-⇔⎨-<--<<⎩„ 解得0x <，所以不等式的解集为(,0)-∞.（2）由（1）可得若()|1|f x a -„的解集为R ，只需|1|3a -….解得2a -„或4a …，-∞-⋃+∞.所以实数a的取值范围为(,2][4,)。

2020届河南省名校联盟高三尖子生第七次调研考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}|0A x x =>，集合(){}2|ln 12B x x x x ==-++，则A B =I（ ）A ．()0,4B ．()4,3-C ．()0,3D ．[)2,3【答案】A【解析】先化简集合B ，再求解A B I . 【详解】因为(){}{}22|ln 12|120x xB y x x x x ==-++=-+>+{}{}()2|120|343,4x x x x x =--<=-<<=-，又{}|0A x x =>，所以()0,4A B =I . 故选：A. 【点睛】本题主要考查集合的交集运算，涉及一元二次不等式的解法，以及具体函数的定义域，化简集合为最简形式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.2．复平面内的两点()1,2P -，()2,1Q -对应的复数分别为1z ，2z ，则12z z ⋅=（ ） A ．5i B ．5i -C ．5i -+D ．5i -【答案】B【解析】先写出1z ，2z ，结合复数的乘法运算可求12z z ⋅. 【详解】依题意112z i =-+，22z i =-+，所以()()121222425z z i i i i i ⋅=-+-+=---=-. 故选：B. 【点睛】本题主要考查复数的运算，由点的坐标表示出复数是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.3．某自媒体为了了解公众网上购物的情况，收集并整理了2018年全年每月甲、乙两个网络购物平台点击量（单位：万次）的数据，绘制了下面的折线图：根据该折线图，下列结论正确的是（ ） A ．全年甲平台的点击量要大于乙平台的点击量 B ．全年各月甲平台点击量的中位数是28 C ．全年各月乙平台点击量的极差为38 D ．8月份甲、乙两个平台的点击量相差最多 【答案】C【解析】结合图表及数据计算出平均数，中位数，极差等，再结合选项可求结果. 【详解】计算可知全年甲、乙平台的点击量分别为301、341，故选项A 错误；全年各月甲平台点击量的中位数是2028242+=，故选项B 错误；全年各月乙平台点击量的极差为491138-=，故选项C 正确；7月份甲、乙两个平台的点击量相差为32，8月份相差30，故选项D 错误.故选：C. 【点睛】本题主要考查统计图表的识别，明确统计量的求解方法是本题的关键，侧重考查数据处理的核心素养.4．已知等比数列{}n a 的首项为2，前3项和36S =，则其公比q 等于（ ） A ．1 B ．-2 C ．2 D ．1或-2【答案】D【解析】利用首项和公比表示前三项的和，解方程可求公比. 【详解】由题意知31236S a a a =++=，∴22226q q ++=，解得1q =或2q =-.故选：D. 【点睛】本题主要考查等比数列的和，利用等比数列的和求解公比时要注意公式的选择，否则会有漏解的情况，侧重考查数学运算的核心素养.5．与双曲线1C ：22143x y -=有相同的渐近线，且过点(的双曲线2C 的离心率是（ ）A ．3B ．3C ．43D 【答案】D【解析】设出双曲线2C 的方程，利用所过点求出双曲线2C 的方程，然后求解离心率. 【详解】设双曲线2C 的方程为22143x y k k-=，将点(代入，得812143k k -=，解得2k =-，所以双曲线2C 的方程为22168y x -=，则离心率3e ===. 故选：D. 【点睛】本题主要考查双曲线的离心率，利用共用双曲线的渐进线求出双曲线的方程是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.6．灯笼是传统的照明工具，在传统节日各家庭院中挂上各种彩灯更显得吉祥喜庆，某庭院挂着一盏表面积为4π平方尺西瓜灯（看成球），灯笼中蜡烛的灯焰可以近似看成底面半径为2寸高为4寸的圆锥，现向该灯笼内任取一点，则该点取自灯焰内的概率为（注：1尺＝10寸）（ ） A ．0.004 B ．0.012C ．0.024D ．0.036【答案】A【解析】分别计算灯笼的体积和灯笼内的灯焰的体积，结合几何概型的求解方法可求结果. 【详解】设该灯笼的半径为R ，则244R ππ=，解得1R =，所以该灯笼的体积341433V ππ⨯==立方尺40003π=立方寸，该灯笼内的灯焰的体积211162433V ππ=⨯⨯⨯=立方寸，所以该点取自灯焰内的概率为11630.00440003V V ππ==， 故选：A. 【点睛】本题主要考查几何概型，明确所求事件和事件空间蕴含的几何度量是求解的关键，侧重考查数学建模的核心素养.7．过原点的直线l 与椭圆C ：22142x y +=交于A ，B 两点，F 为椭圆C 的左焦点，若FA FB ⋅u u u r u u u r的最大值与最小值分别为M ，m ，则M m -=（ ） A． BC ．2D ．4【答案】C【解析】设出点()00,A x y ，()00,B x y --，表示出22002FA FB x y ⋅=--u u u r u u u r ，利用二次函数知识求解最值. 【详解】依题意，可设()00,A x y ，()00,B x y --，又()F，则()00FA x y =+u u u r，()00FB x y =-+-u u u r ，所以22002FA FB x y ⋅=--u u u r u u u r ， 因为()22020024442x x y --==，所以22200022x FA FB x y ⋅=--=-u u u r u u u r . 因为2004x ≤≤，所以FA FB ⋅u u u r u u u r的最大值与最小值分别为0M =，2m =-，所以2M m -=.故选：C.【点睛】本题主要考查椭圆中的最值问题，综合了向量数量积的运算，表示出目标式，结合目标式的特点选择合适的方法，侧重考查数学运算的核心素养.8．“2020”含有两个数字0，两个数字2，“2121”含有两个数字1，两个数字2，则含有两个数字0，两个数字2的四位数的个数与含有两个数字1，两个数字2的四位数的个数之和为（ ） A ．8 B ．9C ．10D ．12【答案】B【解析】先求含有两个数字0，两个数字2的四位数，再求两个数字1，两个数字2的四位数，可得答案. 【详解】第一类，含有两个数字0，两个数字2的四位数的个数为233C =；第二类，含有两个数字1，两个数字2的四位数的个数为246C =，由分类加法计数原理得，满足题意的四位数的个数为369+=. 故选:B. 【点睛】本题主要考查分类加法计数原理的应用，注意特殊元素的优先考虑，属于基础题. 9．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果是（ ）A ．32-B ．-2C ．0D ．2【答案】B【解析】结合程序框图，明确该程序是求数列()1cos 3n n a π+=的前2019项的和，结合数列的周期性可求和. 【详解】 设()1cos3n n a π+=，该程序是求数列{}n a 的前2019项的和，因为{}n a 是以6为周期的数列，且1234560a a a a a a +++++=， 所以201920172018201912333602S a a a a a a =⨯+++=++=-. 故选：B. 【点睛】本题主要考查程序框图的识别，综合了数列的性质，明确程序框图的含义是求解的关键，侧重考查逻辑推理的核心素养.10．函数()()cos 0,0,02fx A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，且19,02P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，21,02Q ⎛⎫⎪⎝⎭，则函数()f x 的一个单调递减区间是（ ）A ．59,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．51,22⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．31,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．711,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】结合图象可得函数的周期，进而可得2πω=，结合点的坐标可得4πϕ=，然后可求单调递减区间. 【详解】由图知，周期T 满足21191422T =-=，所以4T =，又2T πω=，所以2πω=，则()cos 2f x A x πϕ⎛⎫=+⎪⎝⎭， 因为192f A ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以19cos 122πϕ⎛⎫⨯+=- ⎪⎝⎭， 即3cos 14πϕ⎛⎫+=-⎪⎝⎭，所以4πϕ=，所以()cos 24A x f x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.因为0A >，所以由2224k x k πππππ≤+≤+，得()134422k x k k Z -≤≤+∈，取1k =得71122x ≤≤.故选：D. 【点睛】本题主要考查利用三角函数的图象求解函数解析式，同时求解单调区间，明确各个参数的求解方法是解决本题的关键，侧重考查直观想象的核心素养. 11．已知数列{}n a 满足113a =，141nn na a a +=+，则数列{}1n n a a +的前10项和10S =（ ）A ．8105B ．113C ．10129D ．11141【答案】C【解析】先对已知条件变形可得1114n n a a +-=，进而可得141n a n =-，利用裂项相消法可求10S . 【详解】 因为141n n n a a a +=+，所以1114n n a a +-=， 所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为3、公差为4的等差数列，所以141n n a =-，所以141n a n =-，所以()()11111414344143n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，所以1011111111110437471143943129S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ， 故选：C. 【点睛】本题主要考查裂项相消法求和，根据条件求解出数列的通项公式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.12．函数()f x 满足()()110f x f x ++-=，当1x >时，()268f x x x =-+.若函数()()()1F x f x k x =--有5个零点，则实数k 的取值范围是（ ）A．44k -<< B．44k -<< C．4k > D．4k <-【答案】C【解析】先根据()()110f x f x ++-=得出函数()f x 的图象关于点()1,0成中心对称，结合直线与二次函数的交点关系可求实数k 的取值范围. 【详解】因为函数()f x 满足()()110f x f x ++-=， 所以函数()f x 的图象关于点()1,0成中心对称.函数()()()1F x f x k x =--有五个零点，即方程()()10f x k x --=有五个实数根，即函数()y f x =的图象与直线()1y k x =-有5个交点.因为直线()1y k x =-过点()1,0，且(1)=0f ，只需直线()1y k x =-与()()2681f x x x x =-+>的图象有2个交点即可.将()1y k x =-代入()2681y x x x =-+>，整理得()2680x k x k -+++=，设两个交点为()11,P x y ，()22,Q x y ，则()()()()2121264802110k k x x x x ⎧+-+>⎪+>⎨⎪-->⎩，即()()()26480628610k k k k k ⎧+-+>⎪+>⎨⎪+-++>⎩，解得4k >. 故选：C. 【点睛】本题主要考查函数的性质及零点问题，零点个数问题一般是转化为两个函数图象交点的问题，结合函数图象容易得出结论，侧重考查数学抽象的核心素养.二、填空题13．已知向量()1,1a =r ，()5,2b =-r ，2c a b =+r r r ，则a r 在c r方向上的投影是______.【答案】15【解析】先求出向量c r 的坐标，利用公式a c c⋅r r r 可得a r 在c r方向上的投影.【详解】()23,4c a b =+=-r r r ，则a r 在c r方向上的投影是15a c c==⋅r rr . 故答案为：15. 【点睛】本题主要考查向量的投影，明确平面向量的投影的求解方法是关键，侧重考查数学运算的核心素养.14．已知实数x ，y 满足2050370x y x y x y -≤⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩，则3z x y =-+的取值范围是______.【答案】[]1,11【解析】根据约束条件作出可行域，平移0l 找到3z x y =-+取最值的点，然后可得范围. 【详解】由线性约束条件作出可行域，如下图三角形ABC 阴影部分区域（含边界），作直线0l ：30x y -+=，平移直线0l ，当过点()1,4A 时取得最大值13411z =-+⨯=，当过点()2,1B 时取得最小值2311z =-+⨯=，所以3z x y =-+的取值范围是[]1,11. 故答案为：[]1,11.【点睛】本题主要考查线性规划，利用线性规划求解最值时，准确作出图形是求解的关键，侧重考查直观想象的核心素养.15．已知函数()cos 1xf x e a x =++在点()()0,0A f 处的切线方程为4y kx =+，则a k +的值为______.【答案】3【解析】先求导数，结合(0)f k '=和()024f a =+=可得a k +的值.【详解】 由题知，()sin x f x e a x '=-，因为函数()cos 1x f x e a x =++在点()()0,0A f 处的切线方程为4y kx =+，所以(0)1f k '==，又()02f a =+，切点()0,2A a +在切线上，所以2104a +=⨯+，所以2a =，所以3a k +=.故答案为：3. 【点睛】本题主要考查导数的几何意义，利用曲线的切线求解参数时，主要从两个方面建立方程组，一是切点处的导数值是切线的斜率；二是切点既在曲线上又在切线上，侧重考查数学抽象的核心素养.16．已知四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，2PA =，底面ABCD 是边长为2的正方形，用与直线PA 、BD 都平行的平面截此四棱锥，截面与AB 、AD 、PD 、PC 、PB 分别交于F 、G 、H 、M 、E ，则截面EFGHM 面积的最大值为__________. 【答案】42【解析】先根据题意明确截面的形状，然后表示出截面的面积，结合二次函数的知识求解最值. 【详解】 设()01AFABλλ=<<，连接AC ，BD ，AC 交BD ，FG 分别于O ，N ，连接NM ，∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA BD ⊥，∵//PA 平面EFGHM ，∴//EF PA ，//MN PA ，//GH PA ， ∴1EF BF AB AFPA AB AB λ-===-，////EF GH MN ，∴()21EF λ=-， ∵//BD 平面EFGHM ，连接EH ，∴//FG BD ，//EH BD ， ∴AN FG AF AO BD AB λ===，//FG EH ，2122MN CN AO AN AP AC AO λ-===-， ∴四边形EFGH 为矩形，22FG BD λλ==，2MN λ=-，MN FG ⊥， ∴MEH EFGHM EFGH S S S ∆=+截面矩形()()()12122222212λλλλλ=-⨯+⨯---⎡⎤⎣⎦ 22423233λ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，∴当23λ=时，()max 423EFGHM S =截面. 故答案为：42.【点睛】本题主要考查立体图形中的最值问题，动态最值的确定的关键是明确目标的关系式，侧重考查直观想象和数学运算的核心素养.三、解答题17．已知a ，b ，c 分别是ABC ∆内角A ，B ，C 所对的边，1sin cos sin 2cos 2a A C c A A +=.（1）求角A ；（2）已知D 是AB 上一点，2AB AD AC =<，CD =3AC =，求BDC ∆的面积.【答案】（1）3A π=；（2）4BDC S ∆=【解析】（1）利用正弦定理化边为角，可得tan A =A ； （2）利用余弦定理求出1AD =，进而利用面积公式可求. 【详解】（1）∵1sin cos sin 2cos 2a A C c A A +=，∴sin cos sin cos cos a A C c A A A +=，由正弦定理得()sin sin cos cos sin cos A A C A C B A +=，∴()sin sin cos A A C B A +=，即sin sin cos A B B A =，∵0B π<<，∴sin 0B ≠，∴sin A A =，显然cos 0A ≠，∴tan A = ∵0A π<<，∴3A π=.（2）在ADC ∆中，由余弦定理知，2222cos DC AD AC AD AC A =+-⋅，即22213232AD AD =+-⨯⨯⨯，解得1AD =或2AD =（舍）， ∵2AB AD =，∴1BD AD ==，∴1132BDC ACD S S ∆∆==⨯⨯=【点睛】本题主要考查利用正弦定理和余弦定理求解三角形，三角形中边角进行转化是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.18．在如图所示的多面体中，四边形ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=︒，DM ⊥平面ABCD ，//AN DM ，2DM =，1AN =.（1）证明：//AC 平面BMN ；（2）求直线MC 与平面BMN 所成角的正弦值. 【答案】（1）见解析；（2）14【解析】（1）作辅助线，证明线线平行，从而得到线面平行； （2）建立直角坐标系，求出平面的法向量，结合线面角的公式可求. 【详解】（1）证明：设AC 与BD 的交点为Q ，则Q 为BD 的中点，取BM 的中点P ，连接PQ ，则//PQ DM ，又//AN DM ，所以//PQ AN ， 因为112PQ DM ==，1AN =， 所以四边形PQAN 是平行四边形，则//AQ PN ， 因为PN ⊂平面BMN ，AQ ⊄平面BMN ， 所以//AQ 平面BMN ，即//AC 平面BMN .（2）取AD 的中点O ，连接BO ，则BO AD ⊥，易得3BO =因为DM ⊥平面ABCD ，所以平面ADMN ⊥平面ABCD ， 所以BO ⊥平面ADMN .建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0O，()3,0,0B ，)3,2,0C ，()0,1,2M ，()0,1,1N -.所以)3,1,2MB =--u u u r ，()0,2,1MN =--u u u u r，)3,1,2MC =-u u u u r .设平面BMN 的一个法向量为(),,m x y z =u r， 则00MB m MN m ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v vu u u u v v ，即32020x y z y z ⎧--=⎪⎨--=⎪⎩，取1y =-，得3x =，2z =，所以()3,1,2m =-u r.设直线MC 与平面BMN所成角为θ，则sin cos ,MC m MC m MC mθ⋅==u u u u r u r u u u u r u r u u uu r u r 3141488--==⋅.【点睛】本题主要考查空间线面平行的证明及线面角的求解，线面平行一般利用线线平行或者面面平行来证明，线面角一般利用法向量进行求解，侧重考查数学运算的核心素养. 19．某教辅公司近年重点打造出版了一套高考一轮复习资料，为了调查读者对这套教辅的满意程度，该公司组织了免费送书活动，并邀请了部分接受赠送的读者参与了问卷调查，其相关评分（满分100分）情况统计如下图所示：为了判断今年该套教辅的销售情况，公司将该教辅前五年销售数量和年份情况统计如下： 年份代码t12 3 4 5 销售量y （万册） 5.6 5.766.26.5（1）求参加问卷调查的读者所给分数的平均分；（2）以频率估计概率，若在参加问卷调查的所有读者中随机抽取3人，记给分在[)40,50或[]80,100的人数为X ，求X 的分布列及数学期望；（3）根据上表中数据，建立y 关于t 的线性回归方程$$y bta =+$.附：对于一组数据(),i i t y ，1,2,3,,i n =⋅⋅⋅，其回归直线$$y bta =+$的斜率和截距的计算公式：()()()121niii nii tty y b tt==--=-∑∑$，a y bt =-$$.【答案】（1）65；（2）X 的分布列见解析，()910E X =；（3）$0.23 5.31y t =+ 【解析】（1）利用频率分布直方图区间中点代表区间平均数进行求解； （2）利用二项分布的概率求解可求分布列，结合二项分布期望公式可求期望; （3）根据公式，分别求解相关量，然后可得直线方程. 【详解】（1）依题意，所求平均分350.025450.15550.2650.25x =⨯+⨯+⨯+⨯750.225850.1950.05+⨯+⨯+⨯0.875 6.751116.2516.8758.5 4.7565=++++++=.（2）随机抽取1人，给分在[)40,50或[]80,100的概率310p =，故33,10X B ⎛⎫⎪⎝⎭:，则()373430101000P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()21373441110101000P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()122373189210101000P X C ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()33273101000P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， 故X 的分布列为：故()3931010E X =⨯=. （3）由题意可知：1234535t ++++==， 5.6 5.76 6.2 6.565y ++++==， ()()()()()()5120.410.3iii tty y =--=-⨯-+-⨯-∑010.220.5 2.3++⨯+⨯=，()()()52222212101210i i t t=-=-+-+++=∑，()()()515212.30.2310iii ii t t y y btt==--=-==∑∑$，$60.233 5.31ay b t =-⨯==-⋅$， ∴y 关于t 的线性回归方程为$0.23 5.31y t =+. 【点睛】本题主要考查二项分布的分布列期望及回归直线方程的求解，综合性较强，难度适中，回归直线求解时要计算准确，侧重考查数据处理的核心素养.20．抛物线C ：()20x py p =>的焦点为()0,1F ，直线l 的倾斜角为α且经过点F ，直线l 与抛物线C 交于两点A ，B . （1）若16AB =，求角α；（2）分别过A ，B 作抛物线C 的切线1l ，2l ，记直线1l ，2l 的交点为E ，直线EF 的倾斜角为β.试探究αβ-是否为定值，并说明理由. 【答案】（1）3πα=或23πα=；（2）为定值，理由见解析 【解析】（1）先根据抛物线的焦点确定抛物线的方程，联立方程组，结合韦达定理和弦长公式可求角α；（2）通过导数，表示出切线的斜率，得到点E 的坐标，结合斜率公式求出EF 的斜率，进而可得αβ-为定值. 【详解】（1）由抛物线()20x py p =>的焦点为()0,1F ，可得4p =，所以抛物线C 的方程为24x y =.设直线l 的方程为()1tan y kx k α=+=，代入24x y =，消去x ，得()222410y ky -++=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则21224y yk +=+，所以212242162pAB y y k =++=++=， 得23k =，k =tan α=3πα=或23πα=. （2）设直线l 方程为()tan 4py kx k α=+=，211,x A x p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,x B x p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，将直线l 的方程4p y kx =+代入2x py =，消去y ，得2204p x pkx --=，则12x x pk +=①，2124p x x =-②. 由2x y p=求导，得2y x p '=， 所以直线1l ，2l 的斜率分别为112x k p =，222x k p=， 则1l ，2l 的方程分别为2112x x y x p p =-③，2222x x y x p p=-④， 解③④组成的方程组，结合①，②，得2pk x =，4p y =-，即,24pkp E ⎛⎫-⎪⎝⎭， 因为0,4p F ⎛⎫⎪⎝⎭，所以1442EF p p k pk k --==-，所以1EFk k ⋅=-，所以EF l ⊥.所以90αβ-=︒为定值. 【点睛】本题主要考查抛物线中的定值问题，设出直线，联立方程，结合韦达定理，表示出目标式，是这类问题的常用求解方向，侧重考查数学运算的核心素养.21．已知函数()314f x x ax =++，()ln g x x =-. （1）若函数()f x 的极小值不小于14a +，求实数a 的取值范围；（2）用{}max ,m n 表示m ，n 中的最大值，设()()(){}()max ,1h x f x g x x =≥，讨论()h x 零点的个数.【答案】（1）2704a -≤<；（2）见解析 【解析】（1）求解导数，讨论a ，求出极小值，进而可得实数a 的取值范围；（2）分类讨论a 的值，确定()()(){}()max ,1h x f x g x x =≥的表达式，结合单调性，得出零点个数. 【详解】（1）2()3f x x a '=+，当0a ≥时，()0f x '≥，函数()f x 在R 上单调递增，无极值，不满足题意；当0a <时，令()0f x '>，解得x >x <-令()0f x '<，解得x -<<故函数()f x 在区间,⎛-∞ ⎝上单调递增，在区间⎛ ⎝上单调递减，在区间⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增，故函数()f x 有极小值f ，∴11344a a a -≥+， 解得2704a -≤<. （2）①当1x =时，()10g =， 若()5104f a =+≤，即54a ≤-，则()()(){}()1max 1,110h f g g ===，则1x =是()h x 的零点；若()5104f a =+>，即54a >-，则()()(){}()1max 1,110h f g f ==>，则1x =不是()h x 的零点；②当()1,x ∈+∞时，()ln 0g x x =-<，故只需研究()f x 在()1,+∞上的零点个数，即只需研究方程214x a x+=-在()1,+∞上的解的个数问题. 设()214t x x x =+，则()223842114t x x x x x=-'=-， 当()1,x ∈+∞时，()0t x '>，()t x 在()1,+∞上单调递增，所以()()514t x t >=. 当54a -≤，即54a ≥-时，方程214x a x+=-在()1,+∞上无解，所以函数()h x 在()1,+∞上无零点； 当54a ->，即54a <-时，方程214x a x +=-在()1,+∞上有一个解，所以函数()h x 在()1,+∞上有一个零点.综上，当54a <-时，函数()h x 有两个零点；当54a =-时，函数()h x 有一个零点；当54a >-时，函数()h x 无零点. 【点睛】本题主要考查导数的应用，利用导数研究极值问题时，要注意单调性的判定，利用导数研究零点问题时，一般是利用导数得出函数图象的变化趋势，借助图象变化研究零点，侧重考查数学抽象的核心素养.22．在平面直角坐标系中，已知直线l 的参数方程为2412x ty t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22413sin ρθ=+.（1）将直线l 的参数方程化为普通方程，曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）已知M 是直线l 上的动点，N 是曲线C 上的动点，求MN 的最小值.【答案】（1）240x y +-=，2214x y +=；（2）minMN = 【解析】（1）消去参数t 得直线l 的普通方程，利用极坐标和直角坐标的转化公式可得直角坐标方程；（2）设出N 的参数坐标形式，利用点到直线的距离结合三角函数知识可得MN 的最小值. 【详解】 （1）由2412x ty t=+⎧⎨=-⎩（t 为参数）消去参数t 得直线l 的普通方程为240x y +-=，∵22413sin ρθ=+，∴2223sin 4ρρθ+=， ∴2244x y +=，∴曲线C 的直角坐标方程2214x y +=.（2）设()2cos ,sin N θθ，则点N 到直线l的距离d ==，∴当sin 14πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，min 5d =，∴min minMNd ==.【点睛】本题主要考查直线的参数方程与普通方程的转化，极坐标方程与直角坐标方程的转化，利用参数方程求解最值问题，熟记转化方法是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.23．已知函数()2f x x =-.（1）求不等式()()23f x f x +>的解集；（2）若不等式()()2f x f x m +≤有解，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）{|3x x <-或7}3x >；（2）[)1,-+∞【解析】（1）利用分类讨论的方法去掉绝对值，转化为一次不等式求解；（2）利用分类讨论的方法去掉绝对值，转化为分段函数，求解分段函数的最小值即可. 【详解】（1）不等式()()23f x f x +>，即2223x x -+->，化为12223x x x <⎧⎨--+>⎩或12223x x x ≥⎧⎨-+->⎩，解得3x <-或73x >，∴不等式()()23f x f x +>的解集为{|3x x <-或7}3x >. （2）设()()()2222h x f x f x x x =+=-+-222,1,1222,134,1x x x x x x x x x x ⎧--+<-<⎧==⎨⎨-+-≥-≥⎩⎩，∴函数()h x 在区间(),1-∞上是减函数，在区间()1,+∞上是增函数， ∴()()min 11h x h ==-， 由题知，()min 1m h x ≥=-， ∴实数m 的取值范围为[)1,-+∞. 【点睛】本题主要考查含有绝对值不等式的解法，含有绝对值的不等式求解一般是利用分类讨论去掉绝对值，转化为普通不等式进行求解，侧重考查数学运算的核心素养.。