2021届百校联盟旧高考高三上学期9月联考数学(文)试卷及答案

卜人入州八九几市潮王学校毛坦厂2021届高三数学上学期9月联考试题〔应届〕文本套试卷分第一卷(选择题)和第二卷(非选择题)两局部．总分值是150分．考试时间是是120分钟．第一卷(选择题一共60分)一、选择题(本大题一一共12个小题，每一小题5分，一共60分)1.{}35A x Z x =∈-<<，211B x x ⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，那么()R AC B 中的元素个数为〔〕A.1B.2C.6D.82.**∈∈∀N n f N n )(,或者n n f ≤)(〞的否认形式是〔〕 A.,()n Nf n N **∃∉∉或者n n f >)( B.,()n N f n N **∃∉∉且n n f >)(C.**∉∈∃N n f N n )(,或者n n f >)( D.**∉∈∃N n f N n )(,且n n f >)(3．以下函数中不是偶函数的是〔〕A.()sin 2f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B.()tan f x x = C.()ln f x x =D.()2xf x x e -=+4．函数()log 42a y x =++〔0a >，且1a ≠〕的图象恒过定点A ，且点A 在角θ的终边上，那么sin 2θ=〔〕A.513-B.513C.1213-D.12135.函数f (x )=2sin cos x x x x ++在[-π，π]的图像大致为()A ．B ．C ．D ．6．在△ABC 中，2BDDC =，E 为AD 的中点，那么EB =〔〕A.5163AB AC - B.5163AB AC + C.2136AB AC - D.3144AB AC - 7．函数()()sin 3cos 0f x x x ωωω=>的零点构成一个公差为2π的等差数列，把函数f (x )的图象 沿x 轴向右平移6π个单位，得到函数g (x )的图象．关于函数g (x )，以下说法正确的选项是() A.在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数 B.其图象关于直线2x π=对称C.函数g (x )是偶函数D.在区间2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为3,2⎡⎤⎣⎦ 8．数列{}n a 满足11(n 2)n n n a a a +-=-≥，12,a m a n ==，S n为数列{}n a 的前n 项和，那么S2019的值是()A ．2mB ．2nC ．2019n m -D ．2019n m -9．假设向量a ，b 的夹角为3π，且||2a =，||1b =，那么向量2a b +与向量a 的夹角为〔〕 A.6πB.3πC.23π D.56π10．在△ABC 中，tan A 是以-2为第三项，6为第七项的等差数列的公差，tan B 是以19为第二项， 27为第七项的等比数列的公比，那么这个三角形是〔〕 A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形11.在我国古代著名的数学专著九章算术里有一段表达：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里，良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：相逢时良马比驽马多行〔〕 A.1125里B.920里C.820里D.540里12.函数f (x )的定义域为R ，11()22f =-，对任意的x R ∈满足()4f x x '>. 当[0,2]απ∈时，不等式(sin )cos 20f αα+>的解集为()A.5,66ππ⎛⎫⎪⎝⎭ B.2,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭C.45,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭D.711,66ππ⎛⎫⎪⎝⎭第二卷(非选择题一共90分)二、填空题(本大题一一共4个小题，每一小题5分，一共20分)13.数列{}n a 的前n 项和为n S ，且231122n S n n =++，那么数列{}n a 的通项公式n a =__________.14．tan 2=-θ，那么2sin 2cos -=θθ．15.函数2cos ,112()1,1x x f x x x π⎧-≤≤⎪=⎨⎪->⎩，那么关于x 的方程2()3()20f x f x -+=的实根的个数是___. 16．函数4y x =++。

2021年高三上学期9月月考数学试卷（文科）含解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设等差数列{an }的公差为非零常数d，且a1=1，若a1，a3，a13成等比数列，则公差d=（）A．1 B．2 C．3 D．52．已知各项均为正数的等比数列{an }中，lg（a3•a8•a13）=6，则a1•a15的值等于（）A．10000 B．1000 C．100 D．103．已知数列{an }，an=2n+1，则=（）A．B．1﹣2n C．D．1+2n4．已知数列{an }中a1=1以后各项由公式an=an﹣1+（n≥2）给出，则a4=（）A．B．﹣C．D．5．已知数列﹣1，a1，a2，﹣4成等差数列，﹣1，b1，b2，b3﹣4成等比数列，则的值是（）A．B．C．或D．6．已知Sn 为等比数列{an}的前n项和，a1=2，若数列{1+an}也是等比数列，则Sn等于（）A．2n B．3n C．2n+1﹣2 D．3n﹣17．数列{a n}满足a1=1，a2=，且（n≥2），则a n等于（）A． B．（）n﹣1C．（）n D．8．若S n为等差数列{a n}的前n项和，S9=﹣36，S13=﹣104，则a5与a7的等比中项为（）A． B． C． D．329．设{a n}（n∈N*）是等差数列，S n是其前n项的和，且S5＜S6，S6=S7＞S8，则下列结论错误的是（）A．d＜0 B．a7=0C．S9＞S5D．S6与S7均为S n的最大值10．某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产．已知该生产线连续生产n年的累计产量为f（n）=n（n+1）（2n+1）吨，但如果年产量超过150吨，会给环境造成危害．为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是（）A．5年B．6年C．7年D．8年二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.请把答案填在题中横线上）11．已知数列{a n}的前n项和S n和通项a n满足S n=（1﹣a n），则数列{a n}的通项为．12．已知{a n}为等差数列，且a3=﹣6，a6=0．等比数列{b n}满足b1=﹣8，b2=a1+a2+a3，则{b n}的前n项和S n=．13．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，若n≥2时，a n是S n与S n的等差中项，则S5=．﹣1=f（a n），则a xx=．14．已知函数f（x）对应关系如表所示，数列{a n}满足a1=3，a n+1x 1 2 3f（x） 3 2 12=p（n≥2，n∈N×，p为常数），则称{a n}为“等方差数列”，15．在数列{a n}中，若a n2﹣a n﹣1下列是对“等方差数列”的判断；①若{a n}是等方差数列，则{a n2}是等差数列；②{（﹣1）n}是等方差数列；③若{a n}是等方差数列，则{a}（k∈N，k为常数）也是等方差数列；+④若{a n}既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列．其中正确命题序号为．（将所有正确的命题序号填在横线上）三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）=4a n﹣2，且a1=2．16．已知数列{a n}的前n项和为S n，S n+1﹣2a n为常数C，并求出这个常数C；（Ⅰ）求证：对任意n∈N*，a n+1（Ⅱ）如果，求数列{b n}的前n项的和．17．在等比数列{a n}中，a n＞0（n∈N*），且a1a3=4，a3+1是a2和a4的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；+log2a n（n=1，2，3…），求数列{b n}的前n项和S n．（Ⅱ）若数列{b n}满足b n=a n+118．设{a n}是等差数列，{b n}是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13．（Ⅰ）求{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和S n．19．已知数列{a n}的前n项和为S n，对任意的n∈N*，点（a n，S n）都在直线2x﹣y﹣2=0的图象上．（1）求{a n}的通项公式；（2）是否存在等差数列{b n }，使得a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n =（n ﹣1）•2n +1+2对一切n ∈N *都成立？若存在，求出{b n }的通项公式；若不存在，说明理由． 20．已知数列{a n }满足a 1=3，a n +1﹣3a n =3n （n ∈N +）．数列{b n }满足b n =3﹣n a n ． （1）求证：数列{b n }是等差数列；（2）设S n =+++…+，求满足不等式＜＜的所有正整数n 的值． 21．已知等差数列{a n }的前5项和为105，且a 10=2a 5． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）对任意m ∈N *，将数列{a n }中不大于72m 的项的个数记为b m ．求数列{b m }的前m 项和S m ．xx学年山东省潍坊市临朐中学高三（上）9月月考数学试卷（文科）（1）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设等差数列{a n}的公差为非零常数d，且a1=1，若a1，a3，a13成等比数列，则公差d=（）A．1 B．2 C．3 D．5【考点】等比数列的性质；等差数列的通项公式．【分析】由a1，a3，a13成等比数列，利用等比数列的性质列出关系式，又数列{a n}为等差数列，利用等差数列的通项公式化简所得的关系式，把a1的值代入得到关于d的方程，根据d不为0，即可得到满足题意的d的值．【解答】解：∵a1，a3，a13成等比数列，∴a32=a1•a13，又数列{a n}为等差数列，∴（a1+2d）2=a1•（a1+12d），又a1=1，∴（1+2d）2=1+12d，即d（d﹣2）=0，由d≠0，可得d=2．故选B2．已知各项均为正数的等比数列{a n}中，lg（a3•a8•a13）=6，则a1•a15的值等于（）A．10000 B．1000 C．100 D．10【考点】等比数列的性质．【分析】由等比数列和对数可得a8=100，进而可得a1•a15=a82=10000【解答】解：由题意可得lg（a3•a8•a13）=lg（a83）=3lga8=6，解得lga8=2，a8=100，∴a1•a15=a82=10000故选：A3．已知数列{a n}，a n=2n+1，则=（）A． B．1﹣2n C． D．1+2n【考点】等比数列的前n项和．【分析】先求出数列的第n项=，然后根据等比数列的求和公式进行求解即可．【解答】解：a n﹣a n=2n+1+1﹣（2n+1）=2n+1∴=∴=++…+=故选C．4．已知数列{a n}中a1=1以后各项由公式a n=a n+（n≥2）给出，则a4=（）﹣1A． B．﹣C． D．【考点】数列递推式．【分析】因为，由此可知，，．【解答】解：∵，∴，，．故选A．5．已知数列﹣1，a1，a2，﹣4成等差数列，﹣1，b1，b2，b3﹣4成等比数列，则的值是（）A． B． C．或D．【考点】等比数列的性质；等差数列的性质．【分析】由等差数列的通项公式可得﹣4=﹣1+3d，求得公差d=a2﹣a1的值，由等比数列的通项公式可得﹣4=﹣1q4，求得q2的值，即得b2的值，从而求得的值．【解答】解：∵数列﹣1，a1，a2，﹣4成等差数列，由﹣4=﹣1+3d，求得公差d=a2﹣a1==﹣1．∵﹣1，b1，b2，b3，﹣4成等比数列，由﹣4=﹣1q4，求得q2=2，∴b2=﹣1q2=﹣2．则==，故选A．6．已知S n为等比数列{a n}的前n项和，a1=2，若数列{1+a n}也是等比数列，则S n等于（）A．2n B．3n C．2n+1﹣2 D．3n﹣1【考点】等比数列的性质；数列的求和．【分析】根据{a n}为等比数列可知a1a3=a22，由数列{a n+1}也是等比数列可知（a1+1）（a3+1）=（a2+1）2，两式联立可得a1=a3，推断{a n}是常数列，每一项是2，进而可得S n．【解答】解：{a n}为等比数列，则a1a3=a22，数列{a n+1}也是等比数列，则（a1+1）（a3+1）=（a2+1）2得：a1+a3=2a2∴（a1+a3）2=4（a2）2=4（a1a3）∴（a1﹣a3）2=0∴a1=a3即{a n}是常数列，a n=a1=2{a n+1}也是常数列，每一项都是3故S n=2n故答案选A7．数列{a n}满足a1=1，a2=，且（n≥2），则a n等于（）A． B．（）n﹣1C．（）n D．【考点】数列递推式．【分析】将递推公式变形，得到一个新的等差数列，再求它的通项公式，然后求a n．【解答】解：∵（n≥2），∴∵a1=1，a2=，∴∴数列{}是以1为首项，以公差的等差数列，∴=∴故答案选A8．若S n为等差数列{a n}的前n项和，S9=﹣36，S13=﹣104，则a5与a7的等比中项为（）A． B． C． D．32【考点】等差数列的前n项和；等比数列的性质．【分析】利用等差数列的求和公式及S9=﹣36，S13=﹣104可求首项及公差d，进而可求a5与a7，等比中项为A，则A2=a5•a7，代入可求【解答】解：设等差数列的首项为a1，公差为d由题意可得，解可得，a1=4，d=﹣2设a5与a7的等比中项为A，则A2=a5•a7=（﹣4）×（﹣8）=32所以，故选：C9．设{a n}（n∈N*）是等差数列，S n是其前n项的和，且S5＜S6，S6=S7＞S8，则下列结论错误的是（）A．d＜0 B．a7=0C．S9＞S5D．S6与S7均为S n的最大值【考点】等差数列的前n项和．，易推出a6＞0，a7=0，a8＜0，然后逐一分析各【分析】利用结论：n≥2时，a n=s n﹣s n﹣1选项，排除错误答案．【解答】解：由S5＜S6得a1+a2+a3+…+a5＜a1+a2++a5+a6，即a6＞0，又∵S6=S7，∴a1+a2+…+a6=a1+a2+…+a6+a7，∴a7=0，故B正确；同理由S7＞S8，得a8＜0，∵d=a7﹣a6＜0，故A正确；而C选项S9＞S5，即a6+a7+a8+a9＞0，可得2（a7+a8）＞0，由结论a7=0，a8＜0，显然C 选项是错误的．∵S5＜S6，S6=S7＞S8，∴S6与S7均为S n的最大值，故D正确；故选C．10．某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产．已知该生产线连续生产n年的累计产量为f（n）=n（n+1）（2n+1）吨，但如果年产量超过150吨，会给环境造成危害．为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是（）A．5年B．6年C．7年D．8年【考点】函数模型的选择与应用．【分析】先化简得到第n年的产量函数，再令第n年的年产量小于等于150，即可求得该厂这条生产线拟定最长的生产期限．【解答】解：第n年的年产量y=∵∴f（1）=3，当n ≥2时，，∴f （n ）﹣f （n ﹣1）=3n 2． n=1时，也满足上式， ∴第n 年的年产量为y=3n 2． 令3n 2≤150， ∴n 2≤50， ∵n ∈N ，n ≥1 ∴1≤n ≤7∴n max =7． 故选C ．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.请把答案填在题中横线上） 11．已知数列{a n }的前n 项和S n 和通项a n 满足S n =（1﹣a n ），则数列{a n }的通项为 a n =（）n ．【考点】数列递推式．【分析】由S n =（1﹣a n ）知，当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=﹣a n +a n ﹣1，整理可得=，由S 1=a 1=（1﹣a 1）⇒a 1=，从而可知数列{a n }是首项为，公比为的等比数列，于是可求得数列{a n }的通项．【解答】解：因为S n =（1﹣a n ），所以，当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=（1﹣a n ）﹣（1﹣a n ﹣1）=﹣a n +a n ﹣1， 化简得2a n =﹣a n +a n ﹣1，即=．又由S 1=a 1=（1﹣a 1），得a 1=，所以数列{a n }是首项为，公比为的等比数列． 所以a n =×（）n ﹣1=（）n ．故答案为：a n =（）n12．已知{a n }为等差数列，且a 3=﹣6，a 6=0．等比数列{b n }满足b 1=﹣8，b 2=a 1+a 2+a 3，则{b n }的前n 项和S n = 4（1﹣3n ） ． 【考点】等比数列的前n 项和．【分析】利用等差数列与等比数列的通项公式与求和公式即可得出． 【解答】解：设等差数列{a n }的公差为d ， ∵a 3=﹣6，a 6=0，∴， 解得a 1=﹣10，d=2，∴a n =﹣10+（n ﹣1）•2=2n ﹣12．设等比数列{b n }的公比为q ，∵b 2=a 1+a 2+a 3=﹣24，b 1=﹣8， ∴﹣8q=﹣24，即q=3，∴{b n }的前n 项和为S n ==4（1﹣3n ）． 故答案为：4（1﹣3n ）．13．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，若n ≥2时，a n 是S n 与S n ﹣1的等差中项，则S 5= 81 ．【考点】数列的求和．【分析】根据已知条件推知数列{a n }的通项公式，从而易求S 5的值． 【解答】解：由题意知n ≥2时，2a n =S n +S n ﹣1，①∴2a n +1=S n +1+S n ，②由②﹣①得：2a n +1﹣2a n =a n +1+a n ， ∴a n +1=3a n （n ≥2），又n=2时，2a 2=S 2+S 1， ∴a 2=2a 1=2，∴数列{a n }中，a 1=1，a 2=2，a n =2×3n ﹣2（n ≥2）， ∴S 5=81．故答案是：81．14．已知函数f （x ）对应关系如表所示，数列{a n }满足a 1=3，a n +1=f （a n ），则a xx = 3 ． x 1 2 3 f （x ） 3 2 1 【考点】函数的对应法则．【分析】根据表格中给出的值，归纳得到f （x ）的函数式，把a n 和a n +1代入后得到递推式以a n +1=﹣a n +4，把n 换成n +1得另外一个式子，两式作差后得出数列{a n }的规律，从而求出a xx ．【解答】解：由表可知：f （1）=3，f （2）=2，f （3）=1， 所以f （x ）=﹣x +4， 因为a n +1=f （a n ），所以a n +1=﹣a n +4① 则a n +2=﹣a n +1+4②②﹣①得：a n +2=a n ，则a xx =a 2011=…=a 1=3． 故答案为3．15．在数列{a n }中，若a n 2﹣a n ﹣12=p （n ≥2，n ∈N ×，p 为常数），则称{a n }为“等方差数列”，下列是对“等方差数列”的判断；①若{a n }是等方差数列，则{a n 2}是等差数列； ②{（﹣1）n }是等方差数列；③若{a n }是等方差数列，则{a }（k ∈N +，k 为常数）也是等方差数列； ④若{a n }既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列． 其中正确命题序号为 ①②③④ ．（将所有正确的命题序号填在横线上） 【考点】等差数列的性质．【分析】根据等差数列的性质及题中的等方差数列的新定义，即可判断出正确的答案． 【解答】解：①因为{a n }是等方差数列，所以a n 2﹣a n ﹣12=p （n ≥2，n ∈N ×，p 为常数）成立，得到{a n 2}为首项是a 12，公差为p 的等差数列；②因为a n 2﹣a n ﹣12=（﹣1）2n ﹣（﹣1）2n ﹣1=1﹣（﹣1）=2，所以数列{（﹣1）n }是等方差数列；③数列{a n }中的项列举出来是：a 1，a 2，…，a k ，a k +1，a k +2，…，a 2k ，…，a 3k ，… 数列{a kn }中的项列举出来是：a k ，a 2k ，a 3k ，…因为a k +12﹣a k 2=a k +22﹣a k +12=a k +32﹣a k +22=…=a 2k 2﹣a k 2=p所以（a k +12﹣a k 2）+（a k +22﹣a k +12）+（a k +32﹣a k +22）+…+（a 2k 2﹣a 2k ﹣12）=a 2k 2﹣a k 2=kp ， 类似地有a kn 2﹣a kn ﹣12=a kn ﹣12﹣a kn ﹣22=…=a kn +32﹣a kn +22=a kn +22﹣a kn +12=a kn +12﹣a kn 2=p 同上连加可得a kn +12﹣a kn 2=kp ，所以，数列{a kn }是等方差数列；④{a n }既是等方差数列，又是等差数列，所以a n 2﹣a n ﹣12=p ，且a n ﹣a n ﹣1=d （d ≠0），所以a n +a n ﹣1=，联立解得a n =+，所以{a n }为常数列，当d=0时，显然{a n }为常数列，所以该数列为常数列． 综上，正确答案的序号为：①②③④ 故答案为：①②③④三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）16．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n +1=4a n ﹣2，且a 1=2．（Ⅰ） 求证：对任意n ∈N *，a n +1﹣2a n 为常数C ，并求出这个常数C ； （Ⅱ）如果，求数列{b n }的前n 项的和． 【考点】数列递推式；数列的求和． 【分析】（Ⅰ） 利用S n +1=4a n ﹣2，与S n =4a n ﹣1﹣2，推出a n +1﹣2a n =（a 2﹣a 1）•2n ﹣1． 通过a 2+a 1=4a 1﹣2，a 1=2，推出a 2=4．得到C=0．（Ⅱ）利用，求出数列{b n }的通项公式，然后求出数列前n 项的和． 【解答】解：（Ⅰ）∵S n +1=4a n ﹣2，且S n =4a n ﹣1﹣2，相减得：a n +1=4（a n ﹣a n ﹣1）， a n +1﹣2a n =2（a n ﹣a n ﹣1），∴a n +1﹣2a n =（a 2﹣2a 1）•2n ﹣1． 又a 2+a 1=4a 1﹣2，∵a 1=2，∴a 2=4．∴a n +1﹣2a n =0． ∴C=0．… （Ⅱ）∵， ∴=． ，所以数列{b n }是等比数列， ∴=…17．在等比数列{a n }中，a n ＞0（n ∈N *），且a 1a 3=4，a 3+1是a 2和a 4的等差中项． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n }满足b n =a n +1+log 2a n （n=1，2，3…），求数列{b n }的前n 项和S n ． 【考点】等差数列与等比数列的综合；数列的求和． 【分析】（I ）求数列{a n }的通项公式，设出公比为q ，由a 1a 3=4，a 3+1是a 2和a 4的等差中项，这两个方程联立即可求出首项与公比，通项易求． （II ）若数列{b n }满足b n =a n +1+log 2a n （n=1，2，3…），由（I ）知求数列{b n }的前n 项和S n 要用分组求和的技巧． 【解答】解：（I ）设等比数列{a n }的公比为q ． 由a 1a 3=4可得a 22=4， 因为a n ＞0，所以a 2=2 依题意有a 2+a 4=2（a 3+1），得2a 3=a 4=a 3q 因为a 3＞0，所以，q=2.. 所以数列{a n }通项为a n =2n ﹣1 （II ）b n =a n +1+log 2a n =2n +n ﹣1 可得=18．设{a n }是等差数列，{b n }是各项都为正数的等比数列，且a 1=b 1=1，a 3+b 5=21，a 5+b 3=13． （Ⅰ）求{a n }、{b n }的通项公式； （Ⅱ）求数列的前n 项和S n ．【考点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和． 【分析】（Ⅰ）设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，根据等比数列和等差数列的通项公式，联立方程求得d 和q ，进而可得{a n }、{b n }的通项公式．（Ⅱ）数列的通项公式由等差和等比数列构成，进而可用错位相减法求得前n 项和S n ． 【解答】解：（Ⅰ）设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则依题意有q ＞0且 解得d=2，q=2．所以a n =1+（n ﹣1）d=2n ﹣1，b n =q n ﹣1=2n ﹣1．（Ⅱ）， ，① S n =，②①﹣②得S n =1+2（++…+）﹣， 则===．19．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意的n ∈N *，点（a n ，S n ）都在直线2x ﹣y ﹣2=0的图象上．（1）求{a n }的通项公式；（2）是否存在等差数列{b n }，使得a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n =（n ﹣1）•2n +1+2对一切n ∈N *都成立？若存在，求出{b n }的通项公式；若不存在，说明理由． 【考点】数列与函数的综合；数列的求和． 【分析】（1）由题意得2a n ﹣S n ﹣2=0可得当n ≥2时由2a n ﹣S n ﹣2=0，2a n ﹣1﹣S n ﹣1﹣2=0两式相减可得即a n =2a n ﹣1可证（2）假设存在等差数列b n ，使得a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n =（n ﹣1）•2n +1+2对一切n ∈N *都成立，则n=1时，b 1，当n ≥2时由a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n =（n ﹣1）•2n +1+2，a 1b 1+a 2b 2+a n ﹣1b n ﹣1=（n ﹣1﹣1）•2n +2，两式相减可求 【解答】解：（I ）由题意得2a n ﹣S n ﹣2=0 当n=1时，2a 1﹣S 1﹣2=0得a 1=2当n ≥2时由2a n ﹣S n ﹣2=0（1）得2a n ﹣1﹣S n ﹣1﹣2=0（2） （1）﹣（2）得2a n ﹣2a n ﹣1﹣a n =0即a n =2a n ﹣1 因为a 1=2所以，所以a n 是以2为首项，2为公比的等比数列 所以a n =2•2n ﹣1=2n（2）假设存在等差数列b n ，使得a 1b 1+a 2b 2++a n b n =（n ﹣1）•2n +1+2对一切n ∈N *都成立 则当n=1时，a 1b 1=（1﹣1）•21+2得b 1=1当n ≥2时由a 1b 1+a 2b 2++a n b n =（n ﹣1）•2n +1+2（3） 得a 1b 1+a 2b 2+a n ﹣1b n ﹣1=（n ﹣1﹣1）•2n +2（4） （3）﹣（4）得a n b n =n •2n 即b n =n 当n=1时也满足条件，所以b n =n因为为等差数列{b n }，故存在b n =n （n ∈N *）满足条件20．已知数列{a n }满足a 1=3，a n +1﹣3a n =3n （n ∈N +）．数列{b n }满足b n =3﹣n a n ． （1）求证：数列{b n }是等差数列；（2）设S n =+++…+，求满足不等式＜＜的所有正整数n 的值．【考点】数列递推式；数列与不等式的综合．【分析】（1）由b n =3﹣n a n 得a n =3n b n ，则a n +1=3n +1b n +1．由此入手，能够证明数列{b n }是等差数列；（2）因为数列{b n }是首项为b 1=3﹣1a 1=1，公差为等差数列，所以，a n =3n b n =（n +2）×3n ﹣1．由此能手能够求出满足不等式的所有正整数n 的值．【解答】（1）证明：由b n =3﹣n a n 得a n =3n b n ，则a n +1=3n +1b n +1． 代入a n +1﹣3a n =3n 中，得3n +1b n +1﹣3n +1b n =3n ，即得．所以数列{b n }是等差数列．（2）解：因为数列{b n }是首项为b 1=3﹣1a 1=1，公差为等差数列， 则，则a n =3n b n =（n +2）×3n ﹣1．从而有，故．则，由，得．即3＜3n ＜127，得1＜n ≤4．故满足不等式的所有正整数n 的值为2，3，4．21．已知等差数列{a n }的前5项和为105，且a 10=2a 5．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）对任意m ∈N *，将数列{a n }中不大于72m 的项的个数记为b m ．求数列{b m }的前m 项和S m ．【考点】数列的求和；等差数列的前n 项和；等差数列的性质．【分析】（I ）由已知利用等差数列的通项公式及求和公式代入可求a 1，d ，从而可求通项 （II ）由（I ）及已知可得，则可得，可证{b m }是等比数列，代入等比数列的求和公式可求【解答】解：（I ）由已知得：解得a 1=7，d=7，所以通项公式为a n =7+（n ﹣1）•7=7n ．（II ）由，得n ≤72m ﹣1，即．∵=49∴{b m }是公比为49的等比数列，∴．xx年11月30日35664 8B50 譐27542 6B96 殖-W(26288 66B0 暰36557 8ECD 軍/L`-823162 5A7A 婺(26372 6704 朄。

卜人入州八九几市潮王学校百校联盟2021届高三数学上学期九月联考试题文〔含解析〕第一卷〔一共60分〕一、选择题：本大题一一共12个小题,每一小题5分,一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的.,，那么的真子集个数为〔〕A.9个B.7个C.3个D.1个【答案】C【解析】【详解】依题意：，∴故，的真子集个数为3个.应选：C点睛：1.用描绘法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．3．在进展集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．2.〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】.应选：B3.分层抽样是将总体分成互不穿插的层，然后按照一定的比例，从各层HY地抽取一定数量的个体，组成一个样本的抽样方法；在九章算术第三章“衰分〞中有如下问题：“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱．欲以钱多少衰出之，问各几何？〞其译文为：今有甲持560钱，乙持350钱，丙持180钱，甲、乙、丙三人一起出关，关税一共100钱，要按照各人带钱多少的比例进展交税，问三人各应付多少税？那么以下说法错误的选项是〔〕A.甲应付钱B.乙应付钱C.丙应付钱D.三者中甲付的钱最多，丙付的钱最少【答案】B【解析】依题意：由分层抽样知识可知，，那么甲应付：钱；乙应付：钱；丙应付：钱.应选：B的首项，，，成等比数列，那么〔〕A.238B.C.D.【答案】D【解析】∵，，，成等比数列，∴，即，由此得到，或者，∴，.应选：D5.运行如下列图的程序框图，假设输入的〔〕分别为、、、、、、、、、7.0，那么输出的值是〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】依题意，该程序框图的作用是计算大于等于的数字的比例，故输出的的值是.应选:C点睛：算法与流程图的考察，侧重于对流程图循环构造的考察.先明晰算法及流程图的相关概念，包括顺序构造、条件构造、循环构造，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.6.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体的体积为〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】依题意，该几何体由一个四棱锥和一个圆锥拼接而成，故所求体积为.应选：A点睛：三视图问题的常见类型及解题策略(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的局部用实线表示，不能看到的局部用虚线表示．(2)由几何体的局部视图画出剩余的局部视图．先根据的一局部三视图，复原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下局部三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的局部三视图是否符合．(3)由几何体的三视图复原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图复原为实物图．7.，且，那么〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】由，可得：，又，∴，那么.应选：D函数，那么以下说法错误的选项是〔〕A.假设，那么函数无零点B.假设，那么函数有零点C.假设，那么函数有一个零点D.假设，那么函数有两个零点【答案】A【解析】作出函数的图象如下列图：观察可知：当时，函数有一个零点，故A错误.应选：A：的左、右焦点分别为，，直线过点且与双曲线的一条渐进线垂直，直线与两条渐进线分别交于，两点，假设，那么双曲线的渐进线方程为〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】∵，∴为的中点，又∵，∴，又∵，∴，∴双曲线的渐进线的斜率为=，即双曲线的渐进线方程为.应选：B与的夹角为,向量与的夹角为，那么〔〕A. B. C.或者 D.【答案】B【解析】依题意可得：，同理：，而，又向量与的夹角为，可知：，由此解得：或者，又,∴.应选：B11.如图,点是正方形外的一点,过点作直线,记直线与直线，的夹角分别为，，假设，那么满足条件的直线〔〕A.有1条B.有2条C.有3条D.有4条【答案】D【解析】∵故可知；由于平移不改变两直线的夹角，故题目可以转化为过点的直线与直线，的夹角为的直线有多少条；记直线，的夹角为，可以求得，故,故，即，故，，故过点的直线与直线，的夹角为的直线有4条，分别在这两直线夹角及补角的平分面上应选：D的不等式有唯一整数解，那么实数的最小值为〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】由，得：,令，∴，得到减区间为；得到增区间为，∴，，，且,∴要使不等式有唯一整数解，实数m应满足,∴实数的最小值为.应选：A点睛：不等式有唯一整数解问题可以转化为两个图像的位置关系问题，观察与的图象的上下关系，只要保证上方只有一个整数满足即可.第二卷〔一共90分〕二、填空题〔每一小题5分，总分值是20分，将答案填在答题纸上〕的一条直径为线段，为圆上一点，，，那么向圆中任意投掷一点，该点落在阴影区域内的概率为__________．【答案】【解析】不妨设，那么所求的概率故答案为：〔，〕的图象如下列图，其中，，那么函数__________．【答案】【解析】依题意，，解得：，故，将点A带入，得：，解得：.故答案为：，满足那么的取值范围为__________．【答案】【解析】作出可行域:观察可知：，易得：,故，故答案为：点睛：此题考察的是线性规划问题，解决线性规划问题的本质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目的函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进展比较，防止出错;三，一般情况下，目的函数的最大值或者最小值会在可行域的端点或者边界上获得.为数列的前项和，，假设〔〕，那么__________．【答案】【解析】当为奇数时，，那么，，，，当为偶数时，，那么，，，，又，∴故答案为：三、解答题〔本大题一一共6小题，一共70分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤.〕中，的面积为，角，，所对的边分别是，，，且，．〔1〕求的值；〔2〕假设，求的值．【答案】(1);(2).【解析】试题分析：〔1〕由，可得：，再利用同角关系易得，又，故；〔2〕由，得，由正弦定理，得，可得,联立二者可得的值.试题解析：〔1〕因为，得，得，即，所以，又，所以，故，又∵，故，即，所以，故，故．〔2〕，所以，得①，又，所以，在中，由正弦定理，得，即，得②，联立①②，解得．点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合条件灵敏转化边和角之间的关系，从而到达解决问题的目的.其根本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，施行边角之间的互化.第三步：求结果.18.如下列图，四棱锥中，平面平面，，，.〔1〕证明：在线段上存在一点，使得平面；〔2〕假设，在〔1〕的条件下，求三棱锥的体积.【答案】(1)见解析;(2).【解析】试题分析：〔1〕取的中点，易得：四边形是平行四边形，从而，所以平面；〔2〕∵是的中点，∴到平面的间隔等于到平面的间隔的一半从而易得三棱锥的体积.试题解析：〔1〕如图，取的中点，的中点，连接，，∵是的中位线，∴，依题意得，，那么有，∴四边形是平行四边形，∴，∵平面，平面，∴平面．〔2〕∵平面平面，平面平面，，平面，故平面，∵是的中点，∴到平面的间隔等于到平面的间隔的一半，且平面，，∴三棱锥的高是2，，在等腰中，，，边上的高为，，∴到的间隔为，∴，∴．点睛：求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解，注意求体积的一些特殊方法——分割法、补形法、等体积法.①割补法：求一些不规那么几何体的体积时，常用割补法转化成体积公式的几何体进展解决．②等积法：等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或者几何体)的面积(或者体积)通过条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或者几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过详细作图得到三角形(或者三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．19.某产品的历史收益率的频率分布直方图如下列图：〔1〕试计算该产品收益率的中位数；〔2〕假设该产品的售价〔元〕与销量〔万件〕之间有较强线性相关关系，从历史销售记录中抽样得到如表5组与的对应数据：售价〔元〕25 30 38 45 52销量〔万份〕据此计算出的回归方程为，求的值；〔3〕假设从上述五组销量中随机抽取两组，求两组销量中恰有一组超过6万件的概率．【答案】(1);(2)；〔3〕.【解析】试题分析：〔1〕利用频率分布直方图求出该产品收益率的中位数；〔2〕由表格易得：，，利用回归直线经过样本中心点，求出的值;(3)利用古典概型公式求出两组销量中恰有一组超过6万件的概率.试题解析：解：〔1〕依题意，所求中位数为．〔2〕，，∴．〔3〕依题意，所有销量情况为，，，，，，，，，，恰有一组超过6万件的情况为，，，，，，故所求概率．的前项和为，假设，，〔，且〕．〔1〕求数列的通项；〔2〕求数列的前项和．【答案】(1);(2).【解析】试题分析：〔1〕利用等差数列有关公式求得根本量，，从而得到数列的通项；〔2〕利用错位相减法求数列的前项和.试题解析：〔1〕由得，且，设数列的公差为，那么由，∴，由，得，即，∴，∴，故．〔2〕；下面先求的前项和，①；②；两式相减得，∴〔〕．故的前项和为．点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要擅长识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“S n〞与“qS n〞的表达式时应特别注意将两式“错项对齐〞以便下一步准确写出“S n－qS n〞的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，假设等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.：过点，点，是椭圆上异于长轴端点的两个点．〔1〕求椭圆的离心率；〔2〕直线：，且，垂足为，，垂足为，假设且，求中点的轨迹方程．【答案】(1);(2)点的轨迹方程为〔〕.【解析】试题分析：〔1〕点带入椭圆方程，解得，易得椭圆的离心率；〔2〕由，且，易得：.分类讨论直线AB的斜率情况，联立椭圆方程，易得：，借助韦达定理，易得〔〕.试题解析：〔1〕依题意，，解得，故椭圆的方程为，那么其离心率为．〔2〕设直线与轴相交于点，，，由于，即，且，得，〔舍去〕或者，即直线经过点，设，，的中点，①直线垂直于轴时，那么的重担为；②直线与轴不垂直时，设的方程为，那么整理得，，，，消去，整理得〔〕．经检验，点也满足此方程．综上所述，点的轨迹方程为〔〕．，．求函数的单调递增区间；假设，，且，，，务实数a的取值范围．【答案】(1)函数的单调递增区间为;(2).【解析】试题分析：〔1〕,解得,从而得到增区间；〔2〕，，等价于对恒成立，或者对恒成立，而，只需研究的符号情况即可.试题解析：〔1〕依题意，，令，解得，故函数的单调递增区间为．〔2〕当，对任意的，都有；当时，对任意的，都有；故对恒成立，或者对恒成立，而，设函数，．那么对恒成立，或者对恒成立，，①当时，∵,∴，∴恒成立，∴在上单调递增，，故在上恒成立，符合题意．②当时，令，得，令，得，故在上单调递减，所以，而，设函数，，那么，令，那么〔〕恒成立，∴在上单调递增，∴恒成立，∴在上单调递增，∴恒成立，即，而，不合题意．综上，故实数的取值范围为.。

高三上学期9月联考数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5 分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

1.已知集合A =x x 2-x -2≤0 ，B =x y =x -1 ，则A ∪B =()A.1,2B.-1,+∞C.-1,1D.1,+∞2.已知角θ的终边经过点P 32,-12，则角θ可以为()A.5π6B.2π3C.11π6D.5π33.已知A ，B 为两个随机事件，P A ，P B >0，则“A ，B 相互独立”是“P A B =P A B”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若f x 是f x 的导函数，f x 是f x 的导函数，则曲线y =f x 在点x ,f x 处的曲率K =fx1+fx 232.已知f x =ln x -cos x -1 ，则曲线y =f x 在点1,f 1 处的曲率为()A.0B.24C.22D.25.已知函数f x =2sin ωx +φ ω>0,0<φ<π2 的部分图象如图，f x 1 =f x 2 =-32，则cos π6x 2-x 1 =()A.-34B.-74C.34D.746.已知(mx +1)n n ∈N *,m ∈R 的展开式只有第5项的二项式系数最大，设(mx +1)n =a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a n x n ，若a 1=8，则a 2+a 3+⋯+a n =()A.63B.64C.247D.2557.已知tan α,tan β是方程ax 2+bx +c =0a ≠0 的两根，有以下四个命题：甲：tan α+β =-12；乙：tan αtan β=7:3；丙：sin α+β cos α-β =54；丁：tan αtan βtan α+β -tan α+β =5:3.如果其中只有一个假命题，则该命题是()A.甲B.乙C.丙D.丁8.已知函数f x =ax ln x -x 2+3-a x +1a ∈R ，若f x 存在两个极值点x 1，x 2x 1<x 2 ，当x 2x 1取得最小值时，实数a 的值为()A.0B.1C.2D.3二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。

2021年高三三校9月联考数学（文）试题含答案本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号填写在答题卡的密封线内。

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁。

第一部分选择题（共50分）一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知全集,集合,,则集合（）A．B． C．D．2.如果复数为纯虚数,则实数的值 ( )A. 等于1B. 等于2C. 等于1或2D. 不存在3．为假命题,则的取值范围为（）A． B. C. D.4．对某商店一个月30天内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的中位数、众数、极差分别是（）A．46，45，56 B．46，45，53C．47，45，56 D．45，47，535．设是两条不同直线,是两个不同的平面,下列命题正确的是（）A．且则B．且,则C．则D．则6.如图,三棱柱的棱长为2,底面是边长为2的正三角形,,正视图是边长为2 的正方形,俯视图为正三角形,则左视图的面积为（）A．4 B． C． D．27．若是2和8的等比中项，则圆锥曲线的离心率是（）A．B．C．或D．8．函数的图像大致是( )9．在平面直角坐标系中，若不等式组（为常数）所表示平面区域的面积等于2，则的值为（）A. -5B. 1C. 2D. 310．已知函数在点（1,2）处的切线与的图像有三个公共点，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．第二部分 非选择题（100分）二、填空题：本题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，共20分(一)必做题(11～13题)11．已知向量(3,1),(0,1),(,3),2,a b c k a b c k ===+=若与垂直则 .12．在中，角的对边为，若，则角= .13．数列满足表示前n 项之积,则=_____________.（二）选做题（14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分）14. （几何证明选讲选做题）如图所示，是⊙的两条切线，是圆上一点，已知，则= .15. （坐标系与参数方程选做题）已知曲线的极坐标方程为,曲线的极坐标方程为（，曲线、曲线的交点为，则弦长为 .三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（本小题满分12分）已知向量，函数·，且最小正周期为．（1）求的值；（2）设，求的值．17.（本小题满分12分）某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者。

2021年高三9月测试数学（文）试题含答案本试卷分选择题和非选择题两部分共24题，共150分，共2页.考试时间为120分钟.考试结束后，只交答题卡.第Ⅰ卷选择题（60分）一、选择题（共60分，每小题5分）1.设集合，，，则=A． B． C． D．2.下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是A. B. C. D.3．设函数，若，则A. B. C. D.4. 某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．其中，“累计里程“指汽车从出厂开始累计行驶的路程.则在这段时间内，该车每千米平均耗油量为A．升 B．升 C．升 D．升5. 下列命题，正确的是A. 命题“，使得”的否定是“，均有”B. 命题“存在四边相等的空间四边形不是正方形”，该命题是假命题C. 命题“若，则”的逆否命题是真命题D. 命题“若，则”的否命题是“若，则”6.已知，是两条不同直线，，是两个不同平面，则下列命题正确的是A.若，垂直于同一平面，则与平行B.若，平行于同一平面，则与平行C.若，不平行，则在内不存在与平行的直线D.若，不平行，则与不可能垂直于同一平面7. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是A. B.C. D.58. 设R，定义符号函数则函数的图象大致是正视图侧视图9．若函数图象上的任意一点的坐标满足条件，则称函数具有性质，那么下列函数中具有性质的是A． B． C． D．10. 如图，在正方体中，、分别是、的中点，则下列说法错误的是A． B．C． D．平面11．已知函数，，则是的A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．不是充分条件，也不是必要条件12.已知函数是定义在上的函数, 若存在区间，使函数在上的值域恰为，则称函数是型函数．给出下列说法：①函数不可能是型函数；②若函数是型函数, 则，；③设函数是型函数, 则的最小值为；④若函数是型函数, 则的最大值为．下列选项正确的是A．①③ B．②③ C．①④ D．②④第Ⅱ卷非选择题（90分）二、填空题（共20分，每小题5分）13. 函数的定义域为．14. 若定义在R上的可导函数是奇函数，且对，恒成立．如果实数满足不等式，则的取值范围是 .15. 三棱锥中，三条侧棱,底面三边,则此三棱锥外接球的表面积是 .16. 若函数有且只有一个零点，则的取值范围是 .三、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本小题满分12分）已知命题：“方程恰好有两个不相等的负根”；命题：“不等式存在实数解”．若为真命题，为假命题，求实数的取值范围．18.（本小题满分12分）已知函数.(Ⅰ)求函数的单调区间和极值；(Ⅱ)求函数闭区间上的最小值.19.（本小题满分12分）已知某公司生产某款手机的年固定成本为40万元，每生产1万只还需另投入16万元．设该公司一年内共生产该款手机万只并全部销售完，每万只的销售收入为万元，且(Ⅰ) 写出年利润(万元)关于年产量(万只)的函数解析式；(Ⅱ) 当年产量为多少万只时，该公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．20.（本小题满分12分）在三棱柱中，侧棱底面，为的中点，，，.(Ⅰ)求证：平面；（Ⅱ）求多面体的体积.21.（本小题满分12分）已知函数， (为常数)．(Ⅰ) 函数的图象在点)处的切线与函数的图象相切，求实数的值；(Ⅱ) 若函数在定义域上存在单调减区间，求实数的取值范围；(Ⅲ) 若，，且，都有成立，求实数的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，是⊙的一条切线，切点为，都是⊙的割线，(Ⅰ)证明：；(Ⅱ)证明：∥.23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程极坐标系与直角坐标系有相同的长度单位，以原点为极点，以轴正半轴为极轴，曲线的极坐标方程为，射线与曲线交于（不包括极点）三点.(Ⅰ)求证：；(Ⅱ)当时，求三角形的面积．24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲(Ⅰ) 求证：；(Ⅱ) 若是不全相等的实数，求证：.答案一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C D B BDDCCA A C D13. 14. 15. 16.19.解：(1) 当0<x ≤40，W ＝xR(x)－(16x ＋40)＝－6x 2＋384x －40；当x>40，W ＝xR(x)－(16x ＋40)＝－40 000x －16x ＋7 360.所以，W ＝⎩⎪⎨⎪⎧－6x 2＋384x －40，0<x ≤40，－40 000x －16x ＋7 360，x>40.(2) ① 当0<x ≤40，W ＝－6(x －32)2＋6 104，所以W max ＝W(32)＝6 104；② 当x>40时，W ＝－40 000x －16x ＋7 360，由于40 000x＋16x ≥240 000x×16x ＝1 600， 当且仅当40 000x ＝16x ，即x ＝50∈(40，＋∞)时，W 取最大值为5 760.综合①②知，当x ＝32时，W 取最大值为6 104. 20．(Ⅰ) 证明：连接B 1C 交BC 1于O ，连接OD ．∵ O ，D 分别为B 1C 与AC 的中点， OD 为△AB 1C 的中位线， OD//AB 1．又∵ AB 1平面BDC 1， OD 平面BDC 1，∴ AB 1//平面BDC 1．（Ⅱ）解：连接A 1B ，取BC 的中点E ，连接DE ，如图． ∵ A 1C 1=BC 1，∠A 1C 1B=60º， ∴ △A 1C 1B 为等边三角形． ∵ 侧棱BB 1⊥底面A 1B 1C 1， ∴ BB 1⊥A 1B 1，BB 1⊥B 1C 1， ∴ A 1C 1=BC 1=A 1B ==．∴ 在Rt △BB 1C 1中， B 1C 1==2，于是，A 1C 12= B 1C 12+A 1B 12， ∴ ∠A 1B 1C 1=90º，即A 1B 1⊥B 1C 1， ∴ A 1B 1⊥面B 1C 1CB ． 又∵ DE//AB//A 1B 1，∴ DE ⊥面B 1C 1CB ，即DE 是三棱锥D-BCC 1的高． ∴ = ==．∴ 321111111-⨯=-=∆--BB S V V V C B A C BC D ABC C B A =．21．解：(1) 因为f(x)＝lnx ，所以f ′(x)＝1x ，因此f ′(1)＝1，所以函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为y ＝x －1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，y ＝12x 2－bx ，得x 2－2(b ＋1)x ＋2＝0.由Δ＝4(b ＋1)2－8＝0，得b ＝－1± 2. (还可以通过导数来求b)(2) 因为h(x)＝f (x)＋g(x)＝lnx ＋12x 2－bx(x ＞0)，所以h ′(x)＝1x ＋x －b ＝x 2－bx ＋1x，由题意知h ′(x)＜0在(0，＋∞)上有解，因为x ＞0，设u(x)＝x 2－bx ＋1，因为u(0)＝1＞0， 则只要⎩⎪⎨⎪⎧b 2＞0，－b 2－4＞0，解得b ＞2，OE所以b的取值范围是(2，＋∞)．(3) 不妨设x1＞x2，因为函数f(x)＝lnx在区间[1,2]上是增函数，所以f(x1)＞f(x2)，函数g(x)图象的对称轴为x＝b，且b＞2.当b≥2时，函数g(x)在区间[1,2]上是减函数，所以g(x1)＜g(x2)，所以|f(x1)－f(x2)|＞|g(x1)－g(x2)|等价于f(x1)－f(x2)＞g(x2)－g(x1)，即f(x1)＋g(x1)＞f(x2)＋g(x2)，等价于h(x)＝f(x)＋g(x)＝lnx＋12x2－bx在区间[1,2]上是增函数，等价于h′(x)＝1x＋x－b≥0在区间[1,2]上恒成立，等价于b≤x＋1x在区间[1,2]上恒成立，所以b≤2. 又b≥2，所以b＝2；Z25554 63D2 插 r]38056 94A8 钨25108 6214 戔22875 595B 奛23684 5C84 岄29657 73D9 珙?24Y。

卜人入州八九几市潮王学校仁寿一中等西南四八校2021届高三数学9月份联考试题文〔含解析〕本卷须知：2.答复选择题时，选出每一小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目之答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选凃其它答案标号。

答复非选择题时，将答案在答题卡上，写在套本套试卷上无效。

3.在在考试完毕之后以后，将木试卷和答题卡一起交回。

一、选择题：此题一共12小题，每一小题5分，一共60分。

在每一小题给出的四个选项里面，只有一个选项是符合题目要求的。

{}0,1A =，{}1,0B =-，那么A B =〔〕A.{}0,1B.{}1,0,1-C.{}0D.{}1,0-【答案】B 【解析】 【分析】根据并集的定义写出A ∪B ． 【详解】集合A ＝{0，1}，B ＝{﹣1，0}，那么A ∪B ＝{﹣1，0，1}． 应选：B ．【点睛】此题考察了并集的概念及列举法表示集合的形式，是根底题． 2.()()131i i +-=〔〕A.42i +B.24i +C.22i -+D.22i -【解析】 【分析】把复数乘积展开，化简为a +bi 〔a 、b ∈R 〕的形式，可以判断选项． 【详解】∵〔1+3i 〕〔1-i 〕＝1+3+3i-i ＝4+2i 应选：A ．【点睛】此题考察复数代数形式的运算，是根底题．x ∈R ，那么“21x <〞是“31x <〞的〔〕A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】求出不等式的等价形式，结合充分条件和必要条件的定义进展判断即可． 【详解】由2x<1得x<0，由“x 3<1〞得x ＜1，x<0是x ＜1的充分不必要条件 那么“2x<1〞是“x 3<1〞的充分不必要条件， 应选：A ．【点睛】此题主要考察充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系是解决此题的关键．p ：0x ∀>，lg 0x >，那么p ⌝是〔〕A.0x ∀>，lg 0x ≤B.00x ∃>，0lg 0x < C.0x ∀>，lg 0x < D.00x ∃>，0lg 0x ≤【答案】D【分析】p ：∀x ＞0，总有lgx ＞0， p 为：∃x 0＞0，使得lg x 0≤0，应选：D ．{}n a 中，242a a +=，53a =，那么{}n a 的前6项和为〔〕A.6B.9C.10D.11【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列{a n }通项公式列方程组求出a 1，d ，由此能求出{a n }的前6项和． 【详解】∵在等差数列{a n }中，a 53=，a 2+a 4＝2，∴1111433242a d a d a d a d +=⎧⎨+++=+=⎩，解得a 11=-，d 1=， ∴{a n }的前6项和S 6的值：616562S a d ⨯=+=61⨯-+（）15×19=． 应选B ．【点睛】此题考察等差数列的前n 项和的公式，考察等差数列的通项公式的应用，考察运算求解才能，是根底题．0a >，0b >，2ab =，那么2+a b 的最小值为〔〕A. B.4C.D.6【答案】B【分析】由a +2b a +2b 的最小值．【详解】∵a ＞0，b ＞0，ab ＝2，∴a +2b 4=，当且仅当a ＝2b ＝2时取等号， ∴a +2b 的最小值为4． 应选：B ．【点睛】此题考察了根本不等式的应用，关键是等号成立的条件，属根底题．()()506f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的局部图像，假设AB 4=，那么()1f -=〔〕A.-1B.1C.32-D.32【答案】D 【解析】 【分析】由图可设A 〔a ，那么B 〔a 2T +，AB =〔2T ，，利用向量模的坐标运算，求得T 2πω==4，从而可得ω的值，代入x=-1计算可得结果．【详解】设A 〔a ，函数f 〔x 〕=〔ωx +56π〕的周期为T ，那么B 〔a 2T+，，∴AB =〔2T ，224T =+12=16， ∴T 2＝16， ∴T 2πω==4，解得：ω2π=．∴f 〔x 〕=〔2πx +56π〕，∴f 〔-1〕32=，【点睛】此题考察函数y ＝A sin 〔ωx +φ〕的图象解析式确实定及应用，涉及向量模的坐标运算及其应用，属于中档题．[]6,9-内任取一个实数m ，设()2f x x mx m =-++，那么函数()f x 的图像与x 轴有公一共点的概率等于〔〕 A.815B.35C.23D.1115【答案】D 【解析】 【分析】利用f 〔x 〕＝﹣x 2+mx +m 的图象与x 轴有公一共点，可得m ≤﹣4或者m ≥0，根据在[﹣6，9]内任取一个实数m ，以长度为测度，可求概率．【详解】∵f 〔x 〕＝﹣x 2+mx +m 的图象与x 轴有公一共点， ∴△＝m 2+4m ≥0，∴m ≤﹣4或者m ≥0，∴在[﹣6，9]内任取一个实数m ，函数f 〔x 〕的图象与x 轴有公一共点的概率等于4690119615-++-=+． 应选：D ．【点睛】此题考察概率的计算，确定以长度为测度是关键，是根底题． 9.()f x 是定义在R 上的奇函数，且在(),-∞+∞上是减函数，12f ，那么满足()232f x -<的实数x 的取值范围是〔〕 A.()1,1- B.()2,0-C.()2,2-D.()0,2【答案】C 【解析】根据题意，由函数奇偶性的性质可得f 〔﹣1〕的值，结合函数的单调性分析可得231x ->-，解可得x 的取值范围．【详解】根据题意，函数f 〔x 〕是R 上的奇函数，假设f 〔1〕＝﹣2，那么f 〔﹣1〕＝﹣f 〔1〕＝2，那么()232(1)f x f -<=-，又由函数在(),-∞+∞上为减函数， 那么有231x ->-，解可得：24x <，即x 的取值范围是〔-2，2〕； 应选：C ．【点睛】此题考察函数的奇偶性与单调性的综合应用，得出f 〔﹣1〕=2是关键．20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2222x y -+=上，那么ABP △面积的取值范围是A.[]26，B.[]48，C.D.⎡⎣【答案】A 【解析】分析：先求出A ，B 两点坐标得到AB ，再计算圆心到直线间隔，得到点P 到直线间隔范围，由面积公式计算即可详解： 直线x y 20++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点()()A 2,0,B 0,2∴--,那么AB =点P 在圆22x 22y -+=（）上∴圆心为〔2，0〕，那么圆心到直线间隔1d ==故点P 到直线x y 20++=的间隔2d 的范围为那么[]2212,62ABPSAB d ==∈ 故答案选A.点睛：此题主要考察直线与圆，考察了点到直线的间隔公式，三角形的面积公式，属于中档题。

2021届湖南省百校联考高三上学期9月月考数学试题一、单选题1．若sin1000a ︒=，则cos10︒=（ ）A ．a -B ．C ．aD【答案】A【解析】由1000360380︒=︒⨯-︒，利用诱导公式sin1000cos10︒=-︒，即可求值. 【详解】因为()()sin1000sin 360380sin 80︒=︒⨯-︒=-︒sin80cos10a =-︒=-︒=， 所以cos10a ︒=-. 故选：A 【点睛】本题考查三角函数的诱导公式，考查运算求解能力. 2．设集合2{|}A x x x =<，2}6{|0B x x x =+-<，则A B =（ ）A ．（0，1）B ．()()3,01,2-⋃C ．（－3，1）D ．()()2,01,3-⋃【答案】B【解析】化简集合A ，B ，根据交集运算即可求值. 【详解】因为2{|}A x x x =<(,0)(1,)=-∞⋃+∞，26{|}(32)0,B x x x =+-<=-所以()()3,01,2A B ⋂=-⋃. 故选：B 【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法，集合的运算，属于中档题. 3．下列四个数中，最大的是（ ） A ．0.1log 6 B ．2log 9C ．3log 12D ．4log 15【答案】B【解析】根据对数的性质，判断各选项对数值所在的区间即可知它们的大小关系.【详解】因为0.1log 60<，2log 93>，32log 123<<，41log 152<<，所以最大的是2log 9. 故选：B 【点睛】本题考查对数大小的比较，考查逻辑推理的核心素养. 4．若01b <<，则“3a b >”是“a b >”的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据充分条件、必要条件的概念即可求解. 【详解】因为01b <<，所以32(1)0b b b b -=->，即3b b >， 故a b >可推出3a b >， 而3a b >推不出a b >，（例如11,42ab ） 故“3a b >”是“a b >”的必要不充分条件. 故选：A 【点睛】本题主要考查了充分条件，必要条件，不等式的性质，属于中档题. 5．函数()2sin cos f x x x x x =-在[,]-ππ上的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】先判断函数的奇偶性，排除AC ，再由特殊值验证，排除B ，即可得出结果. 【详解】因为()2sin (cos )f x x x x x f x =-+=--，所以()f x 为奇函数，其图象关于原点对称，故排除A 与C.又因为2sin cos 3066666126f πππππππ⎛⎫⎛⎫⎛=⋅-⋅=< ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，所以排除B.故选：D. 【点睛】本题主要考查函数图像的识别，属于基础题型.6．设集合{}24A y y x x a ==-+，{}2sin 2sin B y y x x ==-+，若A B A ⋃=，则a 的取值范围是（ ） A ．(,5]-∞ B ．[1,)+∞ C ．(,1]-∞ D ．[5,)+∞【答案】C【解析】由二次函数的性质求出24y x x a =-+的值域，即可求出[4,)A a =-+∞，由二次函数的性质和正弦函数的性质即可求出[3,1]B =-，结合两个集合的关系，即可得到关于a 的不等式，从而可求出a 的取值范围. 【详解】因为224(2)44y x x a x a a =-+=-+-≥-，所以[4,)A a =-+∞.因为22sin 2sin (sin 1)1y x x x =-+=--+，因为[]sin 1,1x ∈-，所以[3,1]y ∈-，所以[3,1]B =-.因为A B A ⋃=，所以B A ⊆，则43a -≤-，即1a ≤. 故选:C.【点睛】本题考查集合的并集与二次函数的值域，考查运算求解能力.7．某艺术展览馆在开馆时间段（9：00—16：00）的参观人数（单位：千）随时间t （单位：时）的变化近似满足函数关系11()sin 5(0,916)36f t A t A t ππ⎛⎫=-+>≤≤⎪⎝⎭，且下午两点整参观人数为7千，则开馆中参观人数的最大值为（ ） A ．1万 B ．9千C ．8千D ．7千【答案】B【解析】利用当14t =时，()7f t =，求出4A =，由916t ≤≤，利用正弦函数的性质即可求解. 【详解】下午两点整即14t =，当14t =时，()7f t =. 即17sin576A π+=，∴4A =， ∵当916t ≤≤时，1136t ππ-∈77,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， ∴当115362t πππ-=时，()f t 取得最大值，且最大值为459+=. 故选：B 【点睛】本题考查了三角函数的性质求解析式、三角函数的应用，考查了基本运算求解能力，属于基础题.8．太阳是位于太阳系中心的恒星，其质量M 大约是30210⨯千克.地球是太阳系八大行星之一，其质量m 大约是24610⨯千克.下列各数中与mM最接近的是（ ） （参考数据：lg30.4771≈，lg60.7782≈） A ． 5.51910- B ． 5.52110-C ． 5.52510-D ． 5.52310-【答案】D【解析】根据题意，得到6310mM-=⨯，两边同时取以10为底的对数，根据题中条件，进行估算，即可得出结果. 【详解】因为6310m M -=⨯，所以6lg lg3lg100.47716 5.5229 5.523m M-=+≈-=-≈-. 故5.52310mM-≈. 故选：D. 【点睛】本题主要考查对数的运算，属于基础题型.二、多选题9．若tan 2tan 54x x π⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，则tan x 的值可能为（ ）A ．3-B ．2-C ．3D ．2【答案】BD【解析】先设tan x t =，再化简原式进行代换，解得t 值，即得tan x 的值. 【详解】 设tan x t =，22222tan tan 1212(1)tan 2tan 41tan 1tan 111x x t t t t x x x x t t t π++-+⎛⎫-+=-=-= ⎪-----⎝⎭222(1)1t t t -+=-22151t t +==-，232t ∴=，故tan 2x t ==±. 故选：BD. 【点睛】本题考查了换元法和三角恒等变换，属于基础题.10．设命题:(0,)p a ∃∈+∞，3()1f x x ax =-+在(1,)+∞上是增函数，则（ ） A ．p 为真命题B ．p ⌝为(0,)a ∀∈+∞，3()1f x x ax =-+在(1,)+∞上是减函数C ．p 为假命题D ．p ⌝为(0,)a ∀∈+∞，3()1f x x ax =-+在(1,)+∞上不是增函数 【答案】AD【解析】用特值可检验命题p 的真假；特称命题的否定改写即可. 【详解】当1a =时，2()310f x x '=->对(1,)x ∈+∞恒成立，故p 为真命题.因为“是增函数”的否定为“不是增函数”，所以p ⌝为“(0,)a ∀∈+∞，3()1f x x ax =-+在(1,)+∞上不是增函数”. 故选：AD. 【点睛】本题考查特称命题的否定与导数的应用，考查推理论证能力.11．已知函数()f x =，则（ ）A ．()f x 的极值点不止一个B ．()f x 的最小值为C ．()f x 的图象关于y 轴对称D ．()f x 在(],0-∞上单调递减【答案】BCD【解析】计算得出()f x =C 选项的正误；分析函数()f x 的单调性可判断A 、C 、D 选项的正误. 【详解】因为()2222424f x x x =++=++()0f x =>，所以()f x =函数()f x 的定义域为R ，()()f x f x -===，所以，函数()f x 为偶函数，它的图象关于y 轴对称，C 选项正确； 当0x ≥时，函数()f x 单调递增；当0x ≤时，函数()f x 单调递减. 所以，函数()f x 的极值点有且只有一个，A 选项错误，D 选项正确；由上可知，()()min 0f x f ==，B 选项正确. 故选：BCD. 【点睛】本题考查函数的综合，考查了函数的单调性、奇偶性、最值以及极值点个数的判断，化简函数()f x 的解析式是解题的关键，属于中等题.12．已知函数()f x 的导函数为()'f x ，若()()2()f x xf x f x x '<<-对(0,)x ∈+∞恒成立，则下列不等式中，一定成立的是（ ）A ．(2)(1)2f f > B ．(2)(1)2f f <C ．(2)1(1)42f f <+ D ．(2)1(1)42f f +< 【答案】BD【解析】根据题设的不等关系构造2()()f x x g x x -=，()()f x h x x=，并求得它们的导函数，即可联系已知不等关系确定函数的单调性，进而可知(2)f 、(1)f 的不等关系. 【详解】 设2()()f x xg x x -=，()()f x h x x=，(0,)x ∈+∞， 则[]243()12[()]()2()()f x x x f x x xf x f x x g x x x '---'-+'==，2()()()xf x f x h x x '-'=.∵()()2()f x xf x f x x '<<-对(0,)x ∈+∞恒成立，则()0g x '<，()0h x '>， ∴()g x 在(0,)+∞上单调递减，()h x 在(0,)+∞上单调递增， 则(1)(2)g g >，(1)(2)h h <，即22(1)1(2)212f f -->，(1)(2)12f f <， ∴(2)1(2)(1)422f f f +<<. 故选：BD 【点睛】本题考查导数与不等式的综合应用，考查构造函数的方法的灵活应用与推理论证能力.三、填空题13．已知函数453,0(),0x x f x x a x -≥⎧=⎨+<⎩且(1)(1)f f -=，则曲线()y f x =在点(2, (2))f --处的切线方程为________.【答案】32470x y ++=【解析】先根据条件求a 值，再求导利用导数几何意义得到切线斜率，求切点，根据点斜式写方程即可. 【详解】因为(1)1(1)2f a f -=+==，所以1a =. 因为当0x <时，3()4f x x ，所以(2)32f '-=-.又(2)17f -=，所以所求切线方程为1732(2)y x -=-+， 即3247y x =--，即32470x y ++=. 故答案为：32470x y ++= 【点睛】本题考查了导数的几何意义与分段函数求值，考查运算求解能力，属于基础题.14．已知曲线sin 6y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭关于直线1x =对称，则ω的最小值为________.【答案】3π【解析】由题意可得出ω的表达式，由此可求得ω的最小值. 【详解】因为曲线sin 6y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭关于直线1x =对称，所以()62k k Z ππωπ+=+∈，所以()3k k Z πωπ=+∈，当0k =时，ω取最小值为3π. 故答案为：3π. 【点睛】本题考查利用正弦型函数的对称性求参数的最值，考查计算能力，属于中等题. 15．不等式1345x x +<+的解集为__________. 【答案】（－1，1） 【解析】作出函数13x y +=，45y x =+的图象，求出两个图象的交点坐标，观察图象可得结果. 【详解】在同一直角坐标系中，作出函数13x y +=，45y x =+的图象，这两个图象的交点为（－1，1），（1，9），故由图可知不等式1345x x +<+的解集为（-1，1）. 故答案为：（－1，1）【点睛】本题考查利于数形结合解决不等式的解集问题，考查指数函数的图象，属于基础题. 16．关于函数()cos 22|cos |f x x x =-有如下四个命题： ①()f x 的最小值为32-； ②()f x 在2,3ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增； ③()f x 的最小正周期为π；④方程()2f x =(0,)π内的各根之和为2π. 其中所有真命题的序号是________. 【答案】①②③④【解析】应用三角恒等变换转化函数式，可得到含有余弦绝对值的二次函数式，结合二次函数最值、复合函数的单调性可求()f x 的最小值、在2,3ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调性，利用周期判定有()()f k x f x π+=即可知最小正周期，根据()()f x f x π-=知在(0,)π上关于2x π=对称即可求得各根的和.【详解】2213()2cos 12|cos |2|cos |22f x x x x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，当1|cos |2x =时，()f x 取得最小值且最小值为32-，当2,3x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，|cos |y x =单调递增且1|cos |,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()f x 在2,3ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增.由213()2|cos()|22f k x k x ππ⎛⎫+=+-- ⎪⎝⎭2132|cos |()22x f x ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭且k Z ∈，所以()f x 的最小正周期为π.因为213()2|cos()|22f x x ππ⎛⎫-=--- ⎪⎝⎭2132|cos |()22x f x ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，所以()f x 的图象关于直线2x π=对称，由()f x =得11)|cos |2x ±==，则方程()f x =(0,)π内有四个根，且各根之和为422ππ⨯=.故答案为：①②③④. 【点睛】本题考查三角函数的性质与复合函数问题，考查逻辑推理的核心素养.四、解答题17．在①112n n a a +=-，②116n n a a +-=-，③18n n a a n +=+-这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的n S 存在最大值，则求出最大值；若问题中的n S 不存在最大值，请说明理由.问题：设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且14a =，__________，求{}n a 的通项公式，并判断n S 是否存在最大值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】答案见解析【解析】若选①，求出数列{}n a 是首项为4，公比为12-的等比数列，求出通项公式和前n 项和，通过讨论n 的奇偶性，求出其最大值即可； 若选②，求出数列{}n a 是首项为4，公差为16-的等差数列，求出通项公式和前n 项和，求出其最大值即可；若选③，求出217242n n n a -+=，当16n ≥时，0n a >，故n S 不存在最大值.【详解】 解：选①因为112n n a a +=-，14a =，所以{}n a 是首项为4.公比为12-的等比数列， 所1211422n n n a --⎛⎫⎛⎫=⨯-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.当n 为奇数时，141281113212n n nS ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==+ ⎪⎝⎭+， 因为81132n⎛⎫+⎪⎝⎭随着n 的增加而减少，所以此时n S 的最大值为14S =. 当n 为偶数时，81132n n S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且81814323n n S ⎛⎫=-<<⎪⎝⎭ 综上，n S 存在最大值，且最大值为4. 选②因为116n n a a +-=-，14a =.所以{}n a 是首项为4，公差为16-的等差数列， 所以11254(1)666n a n n ⎛⎫=+--=-+ ⎪⎝⎭. 由125066n -+≥得25n ≤， 所以n S 存在最大值.且最大值为25S （或24S ）， 因为25252412545026S ⨯⎛⎫=⨯+⨯-= ⎪⎝⎭，所以n S 的最大值为50. 选③因为18n n a a n +=+-，所以18n n a a n +-=-， 所以217a a -=-，326a a -=-，…19n n a a n --=-， 则2121321(79)(1)171622n n n n n n n a a a a a a a a --+---+=-+-+=-+-=， 又14a =，所以217242n n n a -+=.当16n ≥时，0n a >， 故n S 不存在最大值. 【点睛】此题考查数列的通项公式和求和公式，考查等差数列和等比数列的性质，属于基础题 18．2020年3月，受新冠肺炎疫情的影响，我市全体学生只能网上在线学习.为了了解学生在线学习的情况，市教研院数学教研室随机从市区各高中学校抽取60名学生对线上教学情况进行调查（其中男生与女生的人数之比为2∶1），结果发现男生中有10名对线上教学满意，女生中有12名对线上教学不满意.（1）请完成如下2×2列联表，并回答能否有90%的把握认为“对线上教学是否满意与性别有关”；（2）以这60名学生对线上教学的态度的频率作为1名学生对线上教学的态度的概率，若从全市学生中随机抽取3人，设这3人中对线上教学满意的人数为X ，求随机变量X 的分布列与数学期望.附：参考公式22(),()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++其中n a b c d =+++.【答案】（1）列联表见解析；没有；（2）分布列见解析，期望为910. 【解析】（1）根据题中数据，直接完善列联表即可；再由公式求出2K ，结合临界值表，即可得出结论；（2）由题意，得到X 的可能取值为0，1，2，3，且3~3,10X B ⎛⎫⎪⎝⎭，求出对应的概率，进而可得分布列，由二项分布的期望计算公式，即可求出期望. 【详解】（1）由题意可知抽取的60名学生中男生有40人，女生有20人，则列联表如下：因为2260(1012308)101.4292.706184240207K ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯，所以没有90%的把握认为“对线上教学是否满意与性别有关” （2）X 的可能取值为0，1，2，3，由题意可知，3~3,10X B ⎛⎫⎪⎝⎭， 则37(0)103431000P X ⎛⎫= ⎪⎝⎭==，3214411037(100)0110P X C ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭==， 3221891037(2100)100P X C ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==，33(3)10271000P X ⎛⎫= ⎪⎝⎭== 所以随机变量X 的分布列为因此期望为：()31010E X =⨯=. 【点睛】本题主要考查完善列联表，考查独立性检验的思想，考查求二项分布的分布列和期望，属于常考题型.19．在ABC 中，cos 4cos A C =，sin 14C =. （1）求B ；（2）若ABC 的周长为5求ABC 的面积.【答案】（1）3π；（2）2. 【解析】（1）由同角间的三角函数关系求出cos ,cos ,sin C A A ，从而结合诱导公式可求得cos B 可得B 角；（2）由正弦定理可得三边长之比，结合周长可得三边长，再由三角形面积公式计算面积． 【详解】（1）因为sin 14C =，所以cos C ==.若cos 0C =<，则40cosA cosC =<，从而A ，C 均为钝角.这不可能，故cos C =，cos =A ，sin A =. 所以()cos cos cos cos sin sin B A C A C A C =-+=-+12==， 因为0B π<<.所以3B π=.（2）由（1）知sin :sin :sin 2:3A B C ==，由正弦定理得::23BC AC AB =.设3AB k =，则AC =，2BC k =，则ABC 的周长为(55k =解得1k =，从而2BC =，3AB =，故ABC 的面积1sin 2S AB BC B =⋅⋅⋅=. 【点睛】本题考查同角间的三角函数关系，考查两角和的正弦公式及诱导公式，考查正弦定理及三角形面积公式，旨在考查学生的运算求解能力，属于中档题．20．如图，已知AC BC ⊥，DB ⊥平面ABC ，EA ⊥平面ABC ，过点D 且垂直于DB的平面α与平面BCD 的交线为l ，1AC BD ==，BC =，2AE =.（1）证明：l ⊥平面AEC ；（2）设点P 是l 上任意一点，求平面PAE 与平面ACD 所成锐二面角的最小值. 【答案】（1）证明见解析；（2）60︒.【解析】（1）由题意可知BD ⊥平面α，则有BD l ⊥，又BD ⊥平面ABC ，则可得出BD AC ⊥，从而得出l //BC ，再证明BC ⊥平面AEC 即可证明l ⊥平面AEC ； （2）作CF //AE ，以C 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -，然后计算平面PAE 和平面ACD 的法向量，通过法向量夹角的余弦值来计算. 【详解】解：（1）证明：因为BD α⊥，BD ⊥平面ABC ， 所以α//平面ABC ， 又α平面BCD l =，平面ABC平面BCD BC =，所以BC //l .因为EA ⊥平面ABC ， 所以BC AE ⊥. 又BC AC ⊥，AEEA A =，所以BC ⊥平面AEC ， 从而l ⊥平面AEC .（2）作CF //AE ，以C 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -， 则()0,1,0A ，()0,0,0C ，)3,0,1D，()0,1,2E ，设(),0,1P a ，平面PAE ､平面ACD 的法向量分别为()111,,m x y z =，()222,,n x y z =， 则(),1,1AP a =-，()0,0,2AE =，()0,1,0AC =-，()3,0,1CD =.因为m ⊥平面PAE ，所以1111020ax y z z -+=⎧⎨=⎩，令11x =，得1y a =，10z =，即()1,,0m a =.同理22230yx z-=⎧⎪⎨+=⎪⎩，令21x=，得2y=，23z=-，即()1,0,3n=-.因为21cos,221m na=≤+，当且仅当0a=时取等号，所以平面PAE与平面ACD所成锐二面角的最小值为60︒.【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查考利用空间向量求解面面夹角，考查学生的基本运算能力与逻辑推理能力，难度一般.21．已知抛物线C的顶点为坐标原点O，对称轴为坐标轴，且C经过点()4,6A.（1）求A到C的焦点的距离；（2）若C的对称轴为x轴，过（9，0）的直线l与C交于M，N两点，证明：以线段MN为直径的圆过定点.【答案】（1）203；（2）证明见解析.【解析】（1）分抛物线C的对称轴为x轴与y轴进行讨论，可得抛物线C的方程，再根据抛物线的几何意义可得A到C的焦点的距离；（2）设直线l的方程为9x my=+，设()()1122,,,M x y N x y，线段MN的中点为()00,G x y，联立抛物线和直线，可得12y y+，12y y的值，可得以线段MN为直径的圆的方程，可得证明.【详解】（1）解：当C的对称轴为x轴时，设C的方程为()220y px p=>，将点A的坐标代入方程得2624p=⋅，即92p=，此时A到C的焦点的距离为25424p+=.当C的对称轴为y轴时，设C的方程为()220x py p=>，将点A 的坐标代入方程得2426p =⋅.即43p =. 此时A 到C 的焦点的距离为20623p +=. （2）证明：由（1）可知，当C 的对称轴为x 轴时，C 的方程为29y x =.直线l 斜率显然不为0，可设直线l 的方程为9x my =+， 设()()1122,,,M x y N x y ，线段MN 的中点为()00,G x y .由299y x x my ⎧=⎨=+⎩得29810y my --=， 则129y y m +=，1281y y =-，所以120922y y m y +==，212091822x x m x ++==，且MN ==以线段MN 为直径的圆的方程为22200||()()2MN x x y y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭即()2229290x m x y my -++-=，即()221890x x y m mx y -+-+=，令0mx y +=，则2180x x y +=2-，因为m R ∈.所以圆()221890x x y m mx y -+-+=过定点（0，0），从而以线段MN 为直径的圆过定点. 【点睛】本题主要考查抛物线的定义与几何性质，直线与抛物线的位置关系，考查学生的综合分析能力与计算能力，属于中档题22．已知函211()()().22xf x x e a x =-++ （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围. 【答案】（1）答案见解析；（2）()0,∞+.【解析】（1）求函数的导数，讨论0a ≥和0a <，分别解导数不等式即可得到函数的单调性.（2）由（1）的单调性，可求得函数的极值，由极值的正负和函数的单调性可得函数的零点个数，从而得到a 的取值范围. 【详解】 （1）()1()22xf x x e a ⎛⎫'=++ ⎪⎝⎭. 当0a ≥时，令()0f x '<，得1,2x ⎛⎫∈-∞-⎪⎝⎭， 令()0f x '>，得1,2x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭. 故()f x 在1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭单调递减，在1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭单调递增.当0a <时，令()0f x '=，得112x =-，2ln(2)x a =-.①当1ln(2)2a -=-即2a e=-时，()0f x '≥，()f x 在R 上单调递增.②当1ln(2)2a -<-即0a <<时，()f x 在1ln(2),2a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减，在()(),ln 2a -∞-，1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.③当1ln(2)2a ->-即a <时，()f x 在1,ln(2)2a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减， 在1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭，()ln(2)a -∞,+上单调递增. （2）当0a >时，由（1）可知()f x 只有一个极小值点12x =-.且102f e ⎛⎫-=-< ⎪⎝⎭，102f a ⎛⎫=> ⎪⎝⎭， 当x →-∞时，102x x e ⎛⎫-→ ⎪⎝⎭，212a x ⎛⎫+→+∞ ⎪⎝⎭， 从而()f x →+∞，因此()f x 有两个零点. 当0a =时，1()2xf x x e ⎛⎫=-⎪⎝⎭此时()f x 只有一个零点，不符合题意.当2a e=-时，()f x 在R 上单调递增，不可能有两个零点.当0a <<时，()f x 在1ln(2),2a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减， 在()(),ln 2a -∞-，1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， ()()()()2ln 211ln ln 222ln 22a a a a f e a -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-++⎣⎦⎢⎥⎢⎣⎦⎣--⎥⎦- ()()211ln ln 22222a a a a ⎡⎤⎡⎤=-++⎢⎥⎢⎣⎦⎣--⎥⎦-，其中()22n 01l 2a a ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦-<，()n 0221l a -<-，()1ln 0222a a ⎡⎤-<⎢⎥⎣⎦--， 则()2ln 0f a ⎡⎤<⎣⎦-，即函数的极大值小于0， 则()f x 在R 上不可能有两个零点；当a <时，()f x 在1,ln(2)2a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减，在1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭，()ln(2)a -∞,+上单调递增，102f e ⎛⎫-=-< ⎪⎝⎭，即函数的极大值小于0，则()f x 在R 上不可能有两个零点；综上，若()f x 有两个零点，a 的取值范围是()0,∞+. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的零点个数问题，考查分析问题的能力和计算能力，属于中档题.。

2021届百万联考高三9月联考数学试题一、单选题1．已知集合{}24120A x x x =--≤，{}440B x x =->，则A B =（ ）A ．{}12x x <≤ B ．{}2x x ≥- C ．{}16x x <≤ D ．{}6x x ≥-【答案】C【解析】根据不等式的解法，求得集合{}26A x x =-≤≤，{}1B x x =>，结合集合交集的运算，即可求解. 【详解】由题意，集合{}{}2412026A x x x x x =--≤=-≤≤，{}{}4401B x x x x =->=>，根据集合交集的概念与运算，可得{}16A B x x ⋂=<≤. 故选：C. 【点睛】本题考查集合的交集的概念及运算，其中解答中正确求解集合,A B ，结合集合的交集的概念及运算求解是解答的关键，着重考查运算求解能力，属于基础题. 2．已知复数1iz i=+，则=z （ ） A ．1122i + B ．1122i -C ．1122-+i D ．1122i -- 【答案】B【解析】利用复数的除法运算化简z ，由此求得z . 【详解】()()()1111111222i i i i z i i i i ⋅-+====+++⋅-，则1122z i =-. 故选：B 【点睛】本题考查复数的除法运算、共轭复数，考查运算求解能力.3．某年1月25日至2月12日某旅游景区A 及其里面的特色景点a 累计参观人次的折线图如图所示，则下列判断正确的是（）A．1月29日景区A累计参观人次中特色景点a占比超过了1 3B．2月4日至2月10日特色景点a累计参观人次增加了9700人次C．2月6日至2月8日景区A累计参观人次的增长率大于特色景点a累计参观人次的增长率D．2月8日至2月10日景区A累计参观人次的增长率小于2月6日到2月8日的增长率【答案】D【解析】根据折线图逐个计算各选项中的数据，从而得到正确的选项.【详解】1月29日景区A累计参观人次中特色景点a的占比为1717152513<=，故A错误；2月4日至2月10日特色景点a累计参观人次增加了980060003800-=人次，故B 错误；2月6日至2月8日特色景点a累计参观人次的增长率为0.880.7470.7437-=，2月6日至2月8日景区A累计参观人次的增长率为1.88 1.67211.67167-=，因为7212137111167=>，所以C错误；2月8日至2月10日景区A累计参观人次的增长率为2.09 1.88211.88188-=，因为2121188167<，所以D正确.故选：D.【点睛】本题考查统计图表及其应用，考查学生的数据处理能力和计算能力，本题属于基础题.4．“23sin sin cos 20ααα--=”是“tan 2α=”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】先解方程，再根据解的情况可判断两者之间的条件关系. 【详解】因为23sin sin cos 20ααα--=，所以22sin sin cos 2cos 0αααα--=，即()()sin 2cos sin cos 0αααα-+=，sin 2cos 0αα-=或sin cos 0αα+=，若cos 0α=，则sin 0α=，这与22sin cos 1αα+=矛盾，故cos 0α≠，所以tan 2α=或tan 1α=-，故“23sin sin cos 20ααα--=是“tan 2α=”的必要不充分条件. 故选：C. 【点睛】本题考查三角恒等变换与必要不充分条件，考查推理论证能力和运算求解能力，本题属于基础题. 5．函数()22sin 1x f x x -=的部分图象是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】首先判断出()f x 为偶函数，然后结合06x π<<时，()f x 为负数，确定正确选项. 【详解】因为()()()222sin 12sin 1x x f x f x x x ----===-，所以()f x 是偶函数，则()f x 的图象关于y 轴对称，排除C ，D ；当06x π<<时，()0f x <，排除B.故选：A 【点睛】本题考查函数图象，考查推理论证能力.6．在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为CD ，BC 的中点，则AE =（ ）A ．3142AD AF + B ．1122AD AF + C ．1324AD AF +D ．12AD AF +【答案】A【解析】根据平面向量的加法法则运算可得解. 【详解】由题意可得12AE AD DE AD AB =+=+，12AB AF FB AF AD =+=-， 则3142AE AD AF =+. 故选：A. 【点睛】本题考查平面向量的线性运算，考查运算求解能力.属于基础题.7．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”.下图是在“赵爽弦图”的基础上创作出的一个“数学风车”，其中正方形ABCD 内部为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的.我们将图中阴影所在的四个三角形称为同一片“风叶”的概率为（ ）A ．37B ．47C ．314D ．1114【答案】A【解析】由从“数学风车”的八个顶点中任取两个顶点，得到基本事件的个数为28C 种，这两个顶点取自同一片“风叶”的基本事件有234C 种，结合古典概型的概率计算公式，即可求解. 【详解】由题意，从“数学风车”的八个顶点中任取两个顶点的基本事件有2828C =种，其中这两个顶点取自同一片“风叶”的基本事件有234C 12=， 根据古典概型的概率计算公式，可得所求概率123287P ==. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了古典概型的概率计算，以及组合的概念及组合数的计算，其中解答中正确理解题意，根据组合数的计算公式求得基本事件的总数及所求事件所含有的基本事件的个数是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力.8．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，过原点的直线l 与双曲线C交于A ，B 两点，且120AFB ∠=︒，延长AF ，交双曲线C 于点M ，若2MF AF =，则双曲线C 的离心率为（ ） A．B ．73CD ．3【答案】B【解析】设AF m =，结合已知条件和双曲线的定义求得MF ，AF '，MF '，利用余弦定理列方程，解方程求得,a c ，由此求得离心率. 【详解】如图，设双曲线C 的左焦点为F '，连接AF '，BF '.设AF m =，则2MF m =，2AF a m '=+，22MF a m '=+.由双曲线的对称性可知四边形AFBF '是平行四边形，且60F AF '∠=︒，则2222222cos 2cos FF AF AF AF AF F AF MF AM AF AM AF F AM⎧=+-⋅⋅∠⎪⎨=+-⋅''''''⋅∠''⎪⎩，即()()()()()()222222422223232c m a m m a ma m m a m m a m⎧=++-+⎪⎨+=++-+⎪⎩，解得310710a mc m⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故73cea==. 故选：B【点睛】本题考查双曲线的离心率，考查运算求解能力.二、多选题9．下列不等式不一定成立的是（）A．若a b>，则22a b>B．若0a b>>，则b b ma a m+<+C．若4ab=，则4a b+≥D．若22ac bc>，则a b>【答案】ABC【解析】利用不等式的性质，用排除法逐项排除.【详解】对于A，当1a=-，2b=-时，22a b<，故A不一定成立；对于B，()()()()()b a m a b m b a mb b ma a m a a m a a m+-+-+-==+++，因为0a b>>，所以0b a-<，当0a m+>，0m<时，()()0b a ma a m->+，即b b ma a m+>+，故B不一定成立；对于C ，当0a <，0b <时，4a b +≤-，故C 不一定成立； 对于D ，因为22ac bc >，所以20c >，所以a b >，故D 一定成立. 故选：ABC. 【点睛】本题考查不等式的性质，考查推理论证能力.10．已知,M N 是函数())2cos 04f x x πωω⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭的图象与x 轴的两个不同的交点，若MN 的最小值是4π，则（ ） A ．2ω=B ．()f x 在5,08π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．()f x 的图象关于直线8x π=-对称D ．()f x 在[]0,3π上有6个零点 【答案】AC【解析】根据题设条件，结合三角函数的图象与性质，求得函数()2cos 24f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭.【详解】设()f x 的最小正周期为T ，由三角函数的图象与性质，可得min 1||4MN T =，即1244ππω⨯=，解得2ω=，则()2cos 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭由()222,4k x k k Z ππππ-≤+≤∈，解得()5,88k x k k Z ππππ-≤≤-∈， 当0k =时，588x ππ-≤≤-， 因为55,0,888πππ⎡⎤⎡⎤---⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以()f x 在5,08π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上不单调， 由()2,4x k k Z ππ+=∈，解得(),28k x k Z ππ=-∈， 即()f x 的对称轴方程是(),28k x k Z ππ=-∈， 当0k =时，8x π=-，则()f x 的图象关于直线8x π=-对称，因为[0,3]x π∈，所以252,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，由()0f x =，即2cos(2)42x π+=，可得244x ππ+=，7915172325,,,,,444444ππππππ， 即37110,,,,2,,3444x ππππππ=，故()f x 在[]0,3π上有7个零点. 故选：AC. 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的综合应用，其中解答中根据题意求得函数的解析式，熟练应用三角函数的图象与性质，逐项判定是解答的关键，着重考查推理论证能力，属于中档试题.11．在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD ⊥平面ABCD ，PD AB =，四边形ABCD 是正方形，点E 是棱PB 的中点，则（ ） A ．PD ⊥平面ABCD B ．//PD 平面ACE C ．2PB AE = D ．PC AE ⊥【答案】BC【解析】对于A ，因为PD 与AD 不一定垂直，所以PD 不一定垂直平面ABCD ，故A 错误.对于B ，根据//OE PD 可得//PD 平面ACE ，故B 正确.对于C ，根据侧面PAD ⊥平面ABCD ，可推得AB PA ⊥，从而可得2PB AE =，故C 正确.对于D ，通过计算可知，只有PD ⊥平面ABCD ，才能得到PC AE ⊥，故D 错误. 【详解】如图，对于A ，因为PD 与AD 不一定垂直，所以PD 不一定垂直平面ABCD ，故A 错误.对于B ，连接BD ，记ACBD O =，连接OE .因为四边形ABCD 是正方形，所以O为BD 的中点.因为,O E 分别为BD ，BP 的中点，所以//OE PD ，又PD ⊄平面ACE ，OE ⊂平面ACE ，则//PD 平面ACE ，故B 正确.对于C ，因为四边形ABCD 是正方形，所以CD AD ⊥，因为侧面PAD ⊥平面ABCD ，所以CD ⊥平面PAD .因为//AB CD ，所以AB ⊥平面PAD .因为PA ⊂平面PAD ，所以AB PA ⊥，则2PB AE =，故C 正确.对于D ，取BC 的中点F ，连接,EF AF .因为,E F 分别为BP ，BC 的中点，所以//EF PC .假设PC AE ⊥，则EF AE ⊥.设2PD AB ==，则1122EF PC ===AF ==.因为EF AE ⊥，所以AE ==PB =.因为2PD =，PB =，BD =222PD BD PB +=，所以PD BD ⊥，则PD ⊥平面ABCD .因为PD 与平面ABCD 不一定垂直，所以D 错误. 故选：BC. 【点睛】本题考查了直线与平面平行的判定定理，考查了平面与平面垂直的性质定理，空间两点之间的距离，考查空间想象能力与推理论证能力.属于基础题.12．若直线l 与曲线C 满足下列两个条件：（1）直线l 在点()00,P x y 处与曲线C 相切；（2）曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点P 处“切过”曲线C .下列结论正确的是（ ）A ．直线:l y x =在点()0,0P 处“切过”曲线:sin C y x =B ．直线:33l y x =-+在点()1,0P 处“切过曲线32:32C y x x =-+ C ．直线:l y x =在点()0,0P 处“切过”曲线:x C y xe =D ．直线33212:2l y x e e =-+在点32323,2P e e ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭处“切过”曲线ln : x C y x = 【答案】ABD【解析】分别求得曲线的导数，可得切线的斜率，得到切线方程，分别判断切点附近曲线的是否在直线两侧， 即可得到结论. 【详解】对于A ，由sin y x =，得cos y x '=，则01x y ='=从而可得曲线sin y x =在点()0,0P 处的切线为y x =. 当02x π-<<时，sin x x <，当02x π<<时，sin x x >，则曲线sin y x =在点()0,0P 附近位于直线l 的两侧，故A 正确.对于B ，由3232y x x =-+，得236y x x '=-，则13x y ='=-，从而可得曲线3232y x x =-+在点()1,0P 处的切线为33y x =-+.因为()()33232331x x x x -+--+=-，故当1x <时，323233x x x -+<-+，当1x >时，323233x x x -+>-+， 则曲线3232y x x =-+在点()1,0P 附近位于直线l 的两侧，故B 正确.对于C ，由x y xe =，得()1xy x e '=+，则01x y ='=，从而可得曲线x y xe =在点()0,0P 的切线为y x =.因为()10xxy xe x x e =-=-≥，所以x xe x ≥，则曲线xy xe =在点()0,0P 附近位于直线l 的同侧，故C 错误.对于D ，由ln x y x =得21ln x y x -'=，则32312x e y e ==-'，从而可得曲线ln x y x=在点32323,2P e e ⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭处的切线为332122y x e e =-+.令()33212ln 2x x F e ex x -+-=，则320F e ⎛⎫= ⎪⎝⎭且()3211ln 2x e F x x ---'=， ()3211ln 2x e x g x ---=，故33223311ln =02e e e e g ⎛⎫= ⎪⎝⎭---且()232ln g x x x -'=， 当320x e <<时，()0g x '>；当32x e >时，()0g x '<，故()g x 在320,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭为增函数，在32,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为减函数，故在320,e ⎛⎫⎪⎝⎭上，()0g x <，在32,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上，()0g x <故()0F x '<当且仅当32x e =时等号成立，故当320x e <<时，()0F x >，当32x e >时，()0F x <， 故当32x e<时，33212ln 2e e x x x -+>，当32x e >，33212ln 2e e x x x -+<，则曲线ln xy x =在点32323,2P e e ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭附近位于直线l 的两侧，故D 正确. 故选：ABD. 【点睛】本题考查导数的运用：求切线的方程，考查新定义的理解，考查转化思想与抽象思维能力，考查运算能力，属于综合题题.三、填空题13．若抛物线()2:20C y px p =>的焦点在直线:230l x y +-=上，则p =______.【答案】6【解析】将抛物线的焦点坐标代入直线方程可求得实数p 的值. 【详解】由题意可得抛物线C 的焦点F 的坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，则302p -=，解得6p.故答案为：6. 【点睛】本题考查利用抛物线的焦点坐标求参数，考查计算能力，属于基础题. 14．若()202022020012202012x a a x a x a x +=++++，则32020122320202222a a a a -+-++=______. 【答案】1-【解析】令()()202012f x x =+，利用赋值法可得()32020122320201022222a a a a f f ⎛⎫-+-++=-- ⎪⎝⎭，即可得解. 【详解】 令()()202012f x x =+，则()001a f ==，320201202320201022222a a a a a f ⎛⎫-+-++=-= ⎪⎝⎭，因此，()320201223202010122222a a a a f f ⎛⎫-+-++=--=- ⎪⎝⎭. 故答案为：1-. 【点睛】本题考查利用赋值法计算项的系数和，考查计算能力，属于基础题.15．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()()23log 1f x x x =++，若()5f m ≥，则m 的取值范围是______. 【答案】](),22,⎡-∞-⋃+∞⎣【解析】根据函数的奇偶性和对数函数的性质，得到函数()f x 在()0,∞+和(),0-∞上单调递增，且()25f =，()25f -=-，结合不等式()5f m ≥，即可求解. 【详解】由题意，当0x >时，()()23log 1f x x x =++，根据对数函数的性质，可得()f x 在()0,∞+上单调递增，且()25f =，因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()f x 在(),0-∞上单调递增，且()25f -=-， 又由()5f m ≥，即()5f m ≥或()5f m ≤-，所以2m ≥或2m ≤-. 即实数m 的取值范围是](),22,⎡-∞-⋃+∞⎣. 【点睛】本题主要考查了函数基本性质的应用，其中解答中熟记对数函数的单调性，以及函数的奇偶性，合理转化不等式是解答的关键，着重考查推理与运算能力.四、双空题16．已知长方体1111ABCD A B C D -的体积为144，点P 是正方形1111D C B A 的中心，点,,,,P A B C D 都在球O 的球面上，其中球心O 在长方体1111ABCD A B C D -的内部.已知球O 的半径为R ，球心O 到底面ABCD 的距离为2R，则R =______.过AB 的中点E 作球O 的截面，则所得截面圆面积的最小值是______. 【答案】4 6π【解析】根据长方体1111ABCD A B C D -的体积可求得4R =，分析可知，当OE ⊥截面时，截面面积达到最小，根据勾股定理求出OE =r =用圆的面积公式可求得结果. 【详解】由题意可知正方形ABCD 的对角线长为=，则正方形ABCD ，故长方体1111ABCD A B C D -的体积为2314422R⎛⎫= ⎪ ⨯⎪⎝⎭，解得4R =.当OE ⊥截面时，截面面积达到最小，此时OE ==则截面圆的半径r ==故截面圆的面积为26r ππ=. 故答案为：4；6π. 【点睛】本题考查简单几何体及其外接球，考查空间想象能力，考查了长方体的体积公式，属于基础题五、解答题17．在①18a =-，27a =-，()11,n n a ka n k ++=+∈∈N R ；②若{}n a 为等差数列，且36a =-，72a =；③设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()211722n S n n n +=-∈N 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.在数列{}n a 中，______.记123n n T a a a a =++++，求20T .【答案】选择①，102；选择②，102；选择③，102.【解析】若选择①，由递推公式求出通项公式；若选择②，有等差数列的性质求通项公式；若选择③，由1n n n a S S -=-求出数列通项公式，再根据通项公式得出()()()()2012389101120T a a a a a a a a =-+-+-++-+++++()()12389101120a a a a a a a a =-+++++++++由等差数列前n 项和的求法即可求解.【详解】 若选择①，因为11n n a ka +=+，所以211a ka =+，即817k -+=-，解得1k =， 则11n n a a +-=，从而数列{}n a 是首项为-8，公差为1的等差数列， 故()119n a a n d n =+-=-； 若选择②，因为36a =-，72a =-，所以126a d +=-，162a d +=-， 解得18a =-，1d =， 故()119n a a n d n =+-=-； 若选择③，因为211722n S n n =-，所以11117822a S ==-=-， 当2n ≥时，()()2211171191192222n S n n n n -=---=-+， 则()192n n n a S S n n -=-=-≥， 因为18a =也满足上式，所以9n a n =-. 由0n a ≥，得9n ≥故()()()()2012389101120T a a a a a a a a =-+-+-++-+++++()()12389101120a a a a a a a a =-+++++++++()()8180111222--⨯+⨯=-+102=.【点睛】本题主要考查数列通项公式的求法，以及等差数列的性质，考查学生的运算求解能力，和逻辑思维能力.18．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且22cos 32BB =. （1）求角B ；（2）若D 是AC 的中点，且b =BD =ABC 的周长.【答案】（1）3B π=；（2）周长为10+【解析】（1）根据22cos32B B +=，化简得sin 16B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即可求解；（2）分别在ABD △和BCD 中，应用余弦定理，结合cos cos 0ADB BDC ∠+∠=，求得2252a c +=，再在ABC 中，再结合余弦定理求得a c +的值，即可求解. 【详解】（1）由题意，因为22cos 32BB =，可得cos 13B B +=. 所以2sin 26B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即sin 16B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 因为0B π<<，所以62B ππ+=，所以3B π=.（2）因为D 为AC 的中点，所以AD CD ==在ABD △中，因为AD =BD =2cosADB ∠=.在BCD 中，因为CD =BD =2cosBDC ∠=因为ADB BDC π∠+∠=，所以cos cos 0ADB BDC ∠+∠=， 即227197190c a +-++-=，即2252a c += ①在ABC 中，由余弦定理可得222b a c ac =+-，即24ac =②联立①②，解得10a c +==.故ABC 的周长为10a b c ++=+【点睛】本题主要考查了三角恒等变换，以及正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键．通常当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.19．如图，在三棱锥P ABC -中，ABC 是等边三角形，PA PB =.（1）证明：AB PC ⊥.（2）若7PA PC =23AB =A PC B --的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（237. 【解析】（1）要证明AB PC ⊥，只需证明AB ⊥平面PCD ，将证明线线垂直转化为证明线面垂直，即可求得答案；（2）以D 为原点，DB ，DC 的方向分别为,x y 轴的正方向，垂直平面ABC 向上为z 轴的正方向，建立的空间直角坐标系D xyz -，分别求得平面PBC 的法向量n 和平面PAC 的法向量m ，根据cos ,n m n m n m⋅=，即可求得答案.【详解】取AB 的中点D ，连接PD ，CD .PA PB =， ∴AB PD ⊥.底面ABC 是等边三角形，∴AC BC =， ∴AB CD ⊥PD CD D ⋂=，∴AB ⊥平面PCD .PC ⊂平面PCD ， ∴AB PC ⊥.（2）由（1）可知AB ⊥平面PCD ，则以D 为原点，DB ，DC 的方向分别为,x y 轴的正方向，垂直平面ABC 向上为z 轴的正方向，建立的空间直角坐标系D xyz -.23AB =7AP =，∴3AD BD ==∴3CD =，732PD =-=.则4971cos 2232PDC ∠+-==⨯⨯，从而(3P ，()3,0,0A -，)3,0,0B，()0,3,0C ，故(0,2,3PC =-，)3,3,0AC =，()3,3,0BC =-.设平面PBC 的法向量为()111,,n x y z =，则1111230330n PC y z n AC x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令13x =，得()3,3,2n =--， 设平面PAC 的法向量为()222,,m x y z =，则2222230330m PC y z m BC x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令23x =，得()3,3,2m = 从而9341cos ,448n m n m n m⋅--===⨯.故二面角A PC B --的正弦值为378. 【点睛】本题主要考查了异面直线垂直和二面角的余弦值，解题关键是掌握将线线垂直转化为线面垂直的证法和向量法求二面角的步骤，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率是12，且椭圆C 经过点33,2P ⎫⎪⎪⎭，过椭圆C 的左焦点F 的直线l 与椭圆C 交于M ,N 两点. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若2MF FN =，求直线l 的方程.【答案】（1）22143x y +=；（220y ±+=. 【解析】（1）依题意得到方程组222221,2331,4,c a a b c a b ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=-⎪⎪⎩，解得即可； （2）设直线l 的方程为1x my =-，()11,M x y ，()22,N x y ，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，由2MF FN =，可得122y y -=，从而求出参数的值， 【详解】解：（1）设椭圆C 的半焦距为c .由题意可得222221,2331,4,c a a b c a b ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=-⎪⎪⎩解得24a =，23b =.故椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（2）由（1）可得()1,0F -当直线l 的斜率为0时，()2,0M -，()20N ，或()20M ，，()2,0N -， 此时2MF FN ≠，不符合题意.当直线l 的斜率不为0时，可设直线l 的方程为1x my =-，()11,M x y ，()22,N x y .联立221143x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()2234690m y my +--=，则1212229,63434y y y y m m m ==-+++， 因为2MF FN =，所以122y y -=.从而1222634my y y m +=-=+，21221222269,23434m y y y y y y m m +=-==-=-++， 则2226923434m m m ⎛⎫-⨯=- ⎪++⎝⎭，解得m =.故直线l 20y ±=. 【点睛】本题考查待定系数法求椭圆方程，直线与椭圆的综合应用，属于中档题.21．生活垃圾分类工作是一项复杂的系统工程，须坚持“政府推动､部门联运､全面发动､全民参与”原则.某小学班主任为了让本班学生能够分清干垃圾和湿垃圾，展开了“垃圾分类我最行”的有奖竞答活动.班主任将本班学生分为,A B 两组，规定每组抢到答题权且答对一题得1分，未抢到答题权或抢到答题权且答错得0分，将每组得分分别逐次累加，当其中一组得分比另一组得分多3分或六道题目全部答完时，有奖竞答活动结束，得分多的一组的每一位学生都将获得奖品一份.设每组每一道题答对的概率均为23，A 组学生抢到答题权的概率为12. （1）在答完三题后，求A 组得3分的概率；（2）设活动结束时总共答了X 道题，求X 的分布列及其数学期望()E X . 【答案】（1）127；（2）分布列答案见解析，数学期望509. 【解析】（1）算出A 组得1分的概率后可得答完3题后A 组得3分的概率.（2）X 的可能取值为3，4，5，6，利用二项分布可求X 的分布列，再利用公式可求数学期望. 【详解】（1）由题意可知每道题A 组得1分的概率为121233⨯=， 故答完3题后，A 组得3分的概率311327P ⎛⎫== ⎪⎝⎭（2）由A 组学生抢到答题权的概率为12，可知B 组学生抢到答题权的概率为11122-=， 则每道题的答题结果有以下三种： ①A 组得1分，B 组得0分，此时的概率为121233⨯=；②A 组得0分，B 组得1分，此时的概率为121233⨯=； ③A 组得0分，B 组得0分，此时的概率为1111333--=. 由题意可知X 的可能取值为3，4，5，6.()31232327P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，()223111242C 33327P X ⎛⎫==⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭， ()224231411111252C C 3333327P X ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯+⨯⨯=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，()2227612727279P X ==---=， 则X 的分布列为故222750345627272799EX =⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列、期望，计算分布列时要弄清随机变量取某值时对应的随机事件的含义并确定合理的概率计算方法.必要时可借助于常见的分布列来帮助计算（如0-1分布、二项分布、超几何分布等）. 22．已知函数()()21x f x e a x ex =---. （1）当0a =时，求()f x 的单调区间；（2）当0x ≥时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围. 参考数据： 2.72e ≈，ln 20.69≈.【答案】（1）减区间为(),1-∞，增区间为()1,+∞；（2）(],1-∞.【解析】（1）当0a =时，求得()xf x e e '=-，分析导数的符号变化，由此可求得函数()y f x =的单调递增区间和递减区间；（2）由()00f ≥可得1a ≤，可得出()()21xf x e x ex ≥---，构造函数()()21x g x e x ex =---，利用导数证明出()0g x ≥对一切0x ≥恒成立，由此可求得实数a 的取值范围.第 1 页 共 6 页 【详解】（1）当0a =时，()x f x e ex =-，则()xf x e e '=-. 令()0f x '<，得1x <；令()0f x '>，得1x >.故函数()y f x =的单调递减区间为(),1-∞，调递增区间为()1,+∞；（2）因为当0x ≥时，()0f x ≥恒成立，且()10f =，由()010f a =-≥，可得1a ≤.因为1a ≤，所以()()()2211x x f x e a x ex e x ex =---≥---，设()()21x g x e x ex =---，则()()21x g x e x e '=---. 设()()()21x h x g x e x e '==---，则()2xh x e '=-. 令()0h x '>，得ln 2x >；令()0h x '<，得0ln 2x <<.故函数()y h x =在()0,ln 2上单调递减，在()ln 2,+∞上单调递增，因为()()0030h g e '==->，()()ln 2ln 242ln 20h g e '==--<，()()110h g '==，所以存在()00,ln 2x ∈，使()00g x '=.当00x x <<或1x >时，()0g x '>；当01x x <<时，()0g x '<.则函数()y g x =在()00,x 上单调递增，在()0,1x 上单调递减，在()1,+∞上单调递增. 因为()()010g g ==，所以()0g x ≥对一切的0x ≥恒成立.故a 的取值范围为(],1-∞.【点睛】本题考查利用导数求解函数的单调区间，同时也考查了利用导数研究函数不等式恒成立问题，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.。

文科数学注意事项：1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。

2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置。

3.全部答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4.本试卷满分150分，测试时间120分钟。

5.考试范圃：必修1～5，选修1－1，1－2。

第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若z＝2－i，则|z2－z|＝A.3B.2C.10D.262.设集合A＝{x|(2x＋1)(x－3)>0}，B＝{－1，0，2，4}，则A∩B＝A.{－1，4}B.{2，4}C.{0，2}D.{0，2，4}3.我国古代的宫殿金碧辉煌，设计巧夺天工，下图(1)为北京某宫殿建筑，图(2)为该宫殿某一“柱脚”的三视图，其中小正方形的边长为1，则根据三视图可知，该“柱脚”的表面积为A.9π＋29B.18π＋2＋9C.18π＋2＋18D.18π＋2＋184.从3，5，7，9，10中任取3个数作为边长，不能够围成三角形的概率为A.310B.710C.15D.255.已知两个随机变量x，y呈现非线性关系。

为了进行线性回归分析，设u＝2lny，v＝(2x－3)2，利用最小二乘法，得到线性回归方程u＝－13v＋2，则A.变量y的估计值的最大值为eB.变量y的估计值的最小值为eC.变量y的估计值的最大值为e2D.变量y的估计值的最小值为e26.已知双曲线C 的渐近线方程为y ＝±52x ，且过点(3，8)，则双曲线C 的离心率为7.已知曲线y ＝4x 2－lnx ＋2的一条切线的斜率为7，则该切线的方程为A.y ＝7x ＋1B.y ＝7x －1C.y ＝7x －2D.y ＝7x －38.已知函数f(x)＝3cos(ωx ＋φ)(ω>0)，若f(－3π)＝3，f(3π)＝0，则ω的最小值为 A.12 B.34C.2D.3 9.已知a ＝239，b ＝()1310，c ＝21log 35，则a ，b ，c 的大小关系为A.c>a>bB.c>b>aC.a>b>cD.a>c>b10.已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点(1，m)，其中m>0；若tan2α＝－125，则cos(2α＋mπ)＝ A.－613 B.－1213 C.613 D.1213 11.已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n >0，且2n nS S ≤2，则等比数列公比q A.有最大值，无最小值 B.有最小值，无最大值C.有最大值也有最小值D.无最大值也无最小值12.已知三棱锥S －ABC 中，△SBC 为等腰直角三角形，∠BSC ＝∠ABC ＝90°，∠BAC ＝2∠BCA ，D ，E ，F 分别为线段AB ，BC ，AC 的中点，则直线SA ，SB ，AC ，SD 中，与平面SEF 所成角为定值的有A.1条B.2条C.3条D.4条第II 卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

2021届河南省百校联盟高三9月联合检测数学（文）试题注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置．3．全部答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．4．本试卷满分150分，测试时间120分钟．5．考试范围：必修1～5，选修1－1，1－2．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数212izi－＝＋，则复数z的虚部为A．－1 B．－i C．1 D．i2．已知集合M＝{x∈Z｜（x＋1）（x－4）＜0}，N＝{x｜3－x＞0}，则M∩N等于A．{0，1，2，3} B．{0，1，2}C．{2，3} D．{x｜－1＜x＜3}3．已知a＝log26，b＝log53，c＝20．8，则A．b＜a＜c B．a＜c＜bC．c＜a＜b D．b＜c＜a4．2019年7月1日，《上海市生活垃圾管理条例》正式实施，生活垃圾要按照“可回收物”、“有害垃圾”、“湿垃圾”、“干垃圾”的分类标准进行分类，没有垃圾分类和未投放到指定垃圾桶内等会被罚款和行政处罚．若某上海居民提着厨房里产生的“湿垃圾”随意地投放到楼下的垃圾桶，若楼下分别放有“可回收物”、“有害垃圾”、“湿垃圾”、“干垃圾”四个垃圾桶，则该居民会被罚款和行政处罚的概率为A．13B．23C．14D．345．设直线l为平面α外的一条直线，则l⊥α的充要条件是A．α内有无数条直线都与l 垂直 B．α内有两条相交直线都与l垂直C．l，α垂直于同一条直线 D．l，α垂直于同一平面6．教育部日前出台《关于普通高中学业水平考试的实施意见》，根据意见，学业水平考试成绩以“等级”或“合格、不合格”呈现．计入高校招生录取总成绩的学业水平考试的3个科目成绩以等级呈现，其他科目一般以“合格、不合格”呈现．若某省规定学业水平考试中历史科各等级人数所占比例依次为：A等级15％，B等级30％，C等级30％，D、E等级共25％．现采用分层抽样的方法，从某省参加历史学业水平考试的学生中抽取100人作为样本，则该样本中获得A或B等级的学生中一共有A．30人 B．45人 C．60人 D．75人7．设函数()2101x xf xx x⎧⎪⎨⎪⎩－－，≤＝＋，＞0，且f（2a）＝3，则f（a＋2）＝A．2 B．3 C．2或3 D．38．已知非零向量a，b满足｜a｜＝k｜b｜，且b⊥（a＋2b），若a，b的夹角为23π，则实数k的值为A．4 B．3 C．2 D．129．《周髀算经》向来被认为是中国最古老的天文学及数学著作，《周髀算经》的内容是以商高与周公的问答形式陈述而成，主要阐明当时的盖天说、四分历法．由《周髀算经》中关于影长的问题，可以得到从冬至起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气日影长依次构成等差数列，若冬至的日影长为13．5尺，现在我们用如图所示的程序框图来求解这十二个节气日影长的和，执行该程序框图，则输出的结果是A．94尺 B．95尺C．96尺 D．97尺10．函数()()2ln1xf xx－＝的图象大致是11．已知椭圆C：22221x ya b＋＝（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，点A是椭圆上一点，线段AF1的垂直平分线与椭圆的一个交点为B，若23AB F B＝，则椭圆C的离心率为A．13B．33C．23D．6312．已知四棱锥P－ABCD的五个顶点都在球O的球面上，AB＝AD＝CD＝23，BC∥AD，∠ABC＝60°，△PAB 是等边三角形，平面PAB⊥平面ABCD，则球O的表面积为A．56π B．54π C．52π D．50π第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．曲线y＝（2x＋1）lnx在点（1，0）处的切线方程为__________．14．若x ，y 满足约束条件4302901x y x y x ⎧⎪⎨⎪⎩－＋≤＋－≤≥，则z ＝3x －2y 的最小值为__________．15．函数()()5cos 2sin 26f x x x ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝＋＋＋（x ∈44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦－，）的最大值为__________． 16．已知双曲线C ：22221x y a b －＝（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F （c ，0），离心率为32，直线l ：yx－c ）与C 交于A ，B 两点（其中点A 在x 轴上方），△OAF 和△OBF 的面积分别记为S 1和S 2，则12S S ＝__________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）已知公差不为0的等差数列{n a }的前n 项和为n S ，且5S ＝25，2a 是1a 和5a 的等比中 项．（1）求数列{n a }的通项公式； （2）若k S ≥2020，求整数k 的最小值．18．（本小题满分12分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c22cos 2A CB ＋－＝0． （1）求角B 的大小；（2）若sin 2B ＝2sinAsinC ，且△ABC的面积为ABC 的周长．19．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝AA 1＝2，且AB ⊥AC ，点M 、N 分别为棱CC 1和BC 的中点． （1）证明：证明A 1C ∥平面ANB 1； （2）求点M 到平面ANB 1的距离．20．（本小题满分12分）已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，直线l ：y ＝x ＋1与抛物线C 相切于点P ， 过点P 作抛物线C 的割线PQ ，割线PQ 与抛物线C 的另一交点为Q ，A 为PQ 的中点．过 A 作y 轴的垂线与y 轴交于点H ，与直线l 相交于点N ，M 为线段AN 的中点． （1）求抛物线C 的方程；（2）求证：点M 在抛物线C 上． 21．（本小题满分12分）随着甜品的不断创新，现在的甜品无论是造型还是口感都十分诱人，有颜值、有口味、有趣味的产品更容易得到甜品爱好者的喜欢，创新已经成为烘焙作品的衡量标准．某“网红”甜品店生产有几种甜品，由于口味独特，受到越来越多人的喜爱，好多外地的游客专门到该甜品店来品尝“打卡”，已知该甜品店同一种甜品售价相同，该店为了了解每个种类的甜品销售情况，专门收集了该店这个月里五种“网红甜品”的销售情况，统计后得如下表格：（利润率是指：一份甜品的销售价格减去成本得到的利润与该甜品的销售价格的比值．） （1）从该甜品店本月卖出的甜品中随机选一份，求这份甜品的利润率高于0．2的概率；（2）假设每类甜品利润率不变，销售一份A 甜品获利x 1元，销售一份B 甜品获利x 2元，…，销售一份E 甜品获利x 5元，设123455x x x x x x ＋＋＋＋＝，若该甜品店从五种“网红甜品”中随机卖出2种不同的甜品，求至少有一种甜品获利超过x 的概率．22．（本小题满分12分）已知函数f （x ）＝12x （1－ax ）－lnx （a ∈R ）． （1）当a ＝－12时，求f （x ）的单调区间；（2）当x ∈（1，＋∞）时，()1ln 2f x ax x ＞－－恒成立，求实数a 的取值范围。

卜人入州八九几市潮王学校、一中2021届高三年级9月结合考试数学〔文科〕试题本套试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两局部，全卷总分值是150分，考试时间是是120分钟.第I 卷选择题〔一共60分〕一、选择题：本大题一一共12小题,每一小题5分,一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的. 1.i 为虚数单位，假设复数2)1(1i z -+=,那么=||z 〔〕 A.1B.2C.2D.52.集合{}{}12,1A x x B x x =-<<=>，那么AB =〔〕A ．()1,1- B ．()1,2 C ．()1,-+∞D ．()1,+∞3．假设()224ln f x x x x =--，那么()f x 的单调递增区间为〔〕A ．()2,+∞B ．()()1,02,-+∞C ．()1,+∞D ．()0,24．设,m n R ∈，那么“m n <〞是“112m n-⎛⎫> ⎪⎝⎭〞的〔〕A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5.()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在[)0,+∞内单调递减，那么〔〕A ．23(log 3)(log 2)(0)f f f -<<B ．32(log 2)(0)(log 3)f f f <<-C ．32(0)(log 2)(log 3)f f f <<-D ．32(log 2)(log 3)(0)f f f <-<6．(0,),2sin 2cos 212πααα∈=+，那么sin α=()A ．15B ．55 C ．33D ．2557.假设函数2()sin ln(14)f x x ax x =⋅++的图象关于y 轴对称，那么实数a 的值是〔〕A ．2B ．2±C ．4D ．4±8.我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.〞在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数21)(x exx f -=的图象大致是〔〕9.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3613，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为8010，那么以下各数中与M N最接近的是〔〕〔参考数据：lg30.48≈〕 A ．3310B ．5310C ．7310D ．931010.如图，点A 为单位圆上—点，3π=∠xOA ，点A 沿单位圆逆时针方向旋转角α到点B )22,22(-，那么sin α=〔〕 A.462+- B.462- C.462+D.462+-11.假设存在两个正实数,x y 使得等式(1ln )ln x x x y ay +=-成立〔其中ln ,ln x y 是以e 为底的对数〕，那么实数a 的取值范围是〔〕A ．21,e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．10,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．210,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦函数[]()f x x =〔[]x 表示不超过实数x 的最大整数〕，假设函数()2x xg x e e -=--的零点为0x ，那么[]0()g f x =〔〕A ．12e e -- B ．-2C ．12e e-- D ．2212ee-- 第II 卷非选择题〔一共90分〕二、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上．〕13.函数，假设[(0)]2f f =，那么实数a 的值是．14.函数|1|)(-+=x e x f x 的图象在点(0,(0))f 处的切线方程为．15.13sin10sin 80︒-︒的值是________． 16．定义函数(),y f x x I=∈，假设存在常数M，对于任意1x I∈，存在唯一的2x I∈，使得12()()2f x f x M+=，那么称函数()f x 在I上的“均值〞为M，那么函数20202()log ,1,2f x x x ⎡⎤=∈⎣⎦的“均值〞为.三、解答题：一共70分.解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤．第17～21为必考题，每个考生都必须答题．第22、23题选考题，考生根据要求答题． 〔一〕必考题：一共60分 17．(本小题总分值是12分〕:0,,1tan 3p x x m π⎡⎤∀∈+≤⎢⎥⎣⎦:q 关于x 的不等式2(1)40x m x +-+>在R 上恒成立．〔1〕假设p q ∧，务实数m 的取值范围； 〔2〕假设p q ∨，务实数m 的取值范围．18．(本小题总分值是12分〕函数1(=cos (3cos )+2f x x x x -）. 〔1〕求π()3f 的值； 〔2〕将函数()y f x =的图像向左平移6π后得到函数()y g x =，假设π[0,]2x ∈时，不等式()2c g x c <<+恒成立，务实数c 的取值范围．19.(本小题总分值是12分〕 幂函数223()()m m f x x m Z -++=∈为偶函数，且在区间(0,)+∞上是单调递增函数．(1)求函数()f x 的解析式；(2)设函数3219()()()42g x f x ax x b x R =++-∈，其中,a b R ∈.假设函数()g x 仅在0x =处有极值，求a 的取值范围． 20.(本小题总分值是12分〕 抛物线2:2C y px =经过点(1,2)P ,过点(0,1)Q 的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点,A B ,且直线PA 交y 轴于M ,直线PB 交y 轴于N .(1)求直线l 的斜率的取值范围；(2)设O 为坐标原点,,QM QO QN QO λμ==,求证:11λμ+为定值.21.(本小题总分值是12分〕 函数x x x x x x g x x x x f sin cos 3sin 3)(,sin cos 2)(2++-=+=.(1)证明:)(x f 在区间)0,(π-上存在唯一零点；(2)令)0>)(()()(ax g x af x h -=，假设),(ππ-∈x 时)(x h 有最大值，务实数a 的取值范围.〔二〕选考题：一共10分.请考生在第22、23题中任选一题答题，假设多做，那么按所做的第一题计分. 22．〔本小题总分值是10分〕选修4-4：坐标系与参数方程：在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为2cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩(t 为参数)，其中α为l 的倾斜角，且其中0,2πα⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程)(2R ∈=ρπθ，曲线2C 的极坐标方程82cos 2=θρ.(1)求1C 、2C 的直角坐标方程； (2)点(2,0)P -，l 与1C 交于点Q ，与2C 交于,A B 两点，且2||||||PQ PB PA =⋅，求l 的普通方程.23.(本小题总分值是10分)选修4—5:不等式选讲：c b a ,,为正数,且2=++c b a ,证明:(1)43≤++ac bc ab ； (2)8222≥-⋅-⋅-acc b b a .、一中2021届高三年级9月结合考试文科数学试题答案 一中审题人题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案DCACABBCDCAB1220y -=101012．解：因为，所以在R 上恒成立，即函数在R 上单调递增；又，所以()g x 在(0,1)上必然存在零点，即0(0,1)x ∈，因此，所以.应选B17.解：假设P 真，不等式1tan x m +≤对0,3x π⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦恒成立，又1tan y x =+在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，所以()max 1tan 13x +=+13m ≥假设q 真，()21160m ∆=--<，解得35m -<<……………………………4分（1） 由p q ∧为真，那么,p q …………………5分即1335m m ⎧≥+⎪⎨-<<⎪⎩，所以)31,5m ⎡∈⎣…………………8分（2） 由p q ∨为真，那么,p q …………………9分即3135m m m ⎧<⎪⎨≤-≥⎪⎩或，所以3m ≤-…………………………12分. 18.解：〔1〕21(=3cos cos +2f x x x x -312cos 22x x-π=sin(2)6x -，4分 所以π()13f =.………………………………………5分 〔2〕()()sin 2()sin(2)6666g x f x x x ππππ⎡⎤=+=+-=+⎢⎥⎣⎦，……………………6分710,,2,,sin(2),1266662x x x πππππ⎡⎤⎡⎤⎡⎤∈∴+∈∴+∈-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，……………….8分由()2c g x c <<+在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦恒成立，211,1122c c c +>⎧⎪∴∴-<<-⎨<-⎪⎩，所以实数c 的取值范围为1(1,)2--………………………………….12分 19.解：(1)∵()f x 在()0,+∞上是单调增函数，2230m m ∴-++>，即2230m m --<13m ∴-<<，………………….3分又m Z ∈，0,1,2m =，而0,2m =时，3()f x x =不是偶函数．1m =时，4()f x x =是偶函数，4()f x x ∴=……………………………………6分(2)43219()42g x x ax x b =++-，2()(39)g x x x ax '=++，………………7分 显然0x=不是方程2390x ax ++=的根．为使()g x 仅在0x =处有极值，那么2390x ax ++≥恒成立，………………….9分即有29360a ∆=-≤，解得[]2,2a ∈-．此时(0)g b =-是唯一极值．所以[]2,2a ∈-．………………………….12分20.解:〔1〕由抛物线22y px =经过点(1,2)P ,解得2p =，故抛物线C 的方程为24y x =………………………………………………………2分由题意知,直线l 的斜率存在且不为0,设直线l 的方程为1(0)y kx k =+≠,由241y x y kx ⎧=⎨=+⎩得22(24)10k x k x +-+=.依题意22(24)40k k =-->解得0k <或者01k <<………………………………4分又,PA PB 与y 轴相交,故直线l 不过点(1,2)-，从而3k ≠-.所以直线l 的斜率的取值范围是()()(,3)3,00,1-∞--………………5分(2)证明:设1122(,),(,)A x y B x y , 由(1)知121222241,k x x x x k k -+=-= 直线PA 的方程为1122(1)1y y x x --=--. 令0x=,得点M 的纵坐标为1111212211M y kx y x x -+-+=+=+--， 同理得点N 的纵坐标为22121N kx y x -+=+-………………………8分由,QM QO QN QO λμ==，得1M y λ=-,1N y μ=-………………9分所以11λμ+=11My -+11Ny -=121211(1)(1)x x k x k x --+=--1212122()11x x x x k x x -+⋅-=2222241211k k k k k -+⋅=-.所以11λμ+为定值2……………………………12分.21.解：〔1〕()sin cos ,()sin ,f x x x x f x x x '''=-+=-易知()0f x ''<在(),0π-上恒成立，那么()f x '在(),0π-单调递减，………2分. 所以()(0)0f x f ''>=，那么()f x 在(),0π-单调递增，又()20,(0=20,f f π-=-<>）那么()f x 在(),0π-必存在唯一零点……………5分.〔2〕2()()()(2cos sin )3sin 3cos sin h x af x g x a x x x x x x x x =-=++--，()()(sin cos )h x x a x x x '∴=--，…………………………………………7分.()sin cos x x x x ϕ=-，那么()sin cos ()x x x x f x ϕ'=-=-，由〔1〕知，那么()x ϕ在(),ππ-单调递增，又(0)0ϕ=，即()x ϕ在(),ππ-上有唯一零点0x =……………………………………8分1当απ≥时，由()0h x '=得0x =，所以()h x 在(),0π-单调递增，在()0,π单调递减，此时()h x 存在最大值(0)2h a =，满足题意；2当0απ<<时，由()0h x '=有两个不同零点0x =及(0)x a a =>，所以()h x 在()0,a 单调递减，在()(),0,,a ππ-单调递增，此时()h x 有极大值(0)2h a =，由()h x 有最大值，可得(0)2()32h a h aππ=≥=-，解得34a π≥，即34a ππ≤<；…………………………………………………11分 综上所述，当34aπ≥时，()h x 在(),ππ-有最大值。

卜人入州八九几市潮王学校2021届高三数学9月统一联考试题文〔含解析〕第一卷一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，在每一小题给出的四个选项里面只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的．〕A ={x |x <1}，B ={x |31x<}，那么A.{|0}A B x x =<B.A B R =C.{|1}A B x x =>D.AB =∅【答案】A 【解析】 ∵集合{|31}x B x =<∴{}|0B x x =<∵集合{|1}A x x =<∴{}|0A B x x ⋂=<，{}|1A B x x ⋃=<应选A2.i 为虚数单位，假设1i(,)1ia b a b =+∈-R ，那么b a =〔〕A.1C.2D.2【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的除法运算得到1112i a bi i +==+-，再由复数相等的概念得到参数值，进而得到结果. 【详解】i 为虚数单位，假设1(,)1a bi a b R i =+∈-，1112ia bi i +==+-根据复数相等得到1212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.1212().22b a ==故答案为：C.【点睛】这个题目考察了复数除法运算，以及复数相等的概念，复数a bi +与i c d +相等的充要条件是a c =且b d =．复数相等的充要条件是化复为实的主要根据，多用来求解参数的值或者取值范围．步骤是：分别别离出两个复数的实部和虚部，利用实部与实部相等、虚部与虚部相等列方程〔组〕求解． 3.5log 2a=，0.5log 0.2b =，0.20.5c =，那么,,a b c 的大小关系为〔〕A.a c b <<B.a b c <<C.b c a <<D.c a b <<【答案】A 【解析】 【分析】利用10,,12等中间值区分各个数值的大小。

浙江省2021届高三数学9月百校联考试题考前须知：1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答．答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、学号、姓名;2．本试卷分为第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部，共6页，全卷总分值150分，考试时间120分钟．参考公式： 球的外表积公式S =4πR 2球的体积公式V =43πR 3其中R 表示球的半径 锥体的体积公式V =Sh其中S 表示锥体的底面积, h 表示锥体的高柱体的体积公式V=Sh其中S 表示柱体的底面积, h 表示柱体的高台体的体积公式()112213V h S S S S =其中S 1, S 2分别表示台体的上、下底面积,h 表示台体的高第一卷〔共40分〕一、选择题〔本大题共10小题，每题4分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的〕1．集合{P x =13}x <<，{2<4Q y y =<}，那么PQ =〔 〕A ．{}12x x << B ．{}23x x << C ．{}14x x<< D ．φ 2．复数2z =3i -〔i 为虚数单位〕的虚部为〔 〕A ．2B ．3C ．3-D ．3i -3．假设实数x ，y 满足约束条件10x y x y ++>⎧⎨->⎩，那么z x y =+的取值范围是〔 〕A ．(1,)-+∞B ．(,1)-∞-C ．(1,)+∞D ．(,1)-∞4．函数2cos y x x =-的局部图象是( )A ．B ．C ．D ．5．一个空间几何体的三视图(单位：cm )如图所示，那么该几何体的体积为〔 〕3cm ．A ．163π+ B ．136π+ C ．166π+ D ．133π+ 〔第5题图〕侧视图俯视图正视图111116．“空间三个平面α，β，γ两两相交〞是“三个平面三条交线互相平行〞的〔 〕 A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．0m n >>，0a >且1a ≠，设=m m M a a -+，=n n N a a -+，那么〔 〕 A ．M N > B ．M N = C ．M N < D ．()()10M N a -->8．点P 是双曲线22221x y a b-=右支上一点，1F 是双曲线的左焦点，且双曲线的一条渐近线恰是线段1PF 的中垂线，那么该双曲线的渐近线方程是( )A．3y x =±B. y x =±C. y =D. 2y x =±9．数列{}n a ，2nn a =，2n a n b =，1231111=1111n M b b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，n ∈N *，那么 〔 〕 A ．1M < B. 43M >C. 2M <D. 2M >10．向量2=a ，3=b ，4=c ，4=d ，0a b c d +++=，那么()()a b b c +⋅+=〔 〕A ． 4B ．52C ．2D ．1第二卷〔共110分〕二、填空题 (本大题共7小题，单空每题3分，双空每题6分，共36分)11．数列{}n a 中,12a =,且点1(,)n n a a +在抛物线24x y =上,那么数列{}n a 的前4项和是． 12．二项式10(2)x -的展开式中,常数项为_____，假设1021001210(2)(1)(1)(1)x a a x a x a x -=+-+-++-，那么9a 等于______．13．角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合,终边经过点3(,44P -,那么tan α=_____,cos 2α=_______．14．在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中,点,,M N P 分别是棱11111,,CC C D A D 的中点,过点,,M N P 的平面截正方体1111ABCD A BC D -所得的平面多边形的周长为________，该截面与底面所成锐二面角的正切值为_______．15．在一袋中有20个大小相同的球,其中记上0的有10个，记上n 号的有n 个(n ＝1，2，3，4)，现从袋中任取一球，X 表示所取球的标号，那么(2)p X ==______，假设2Y X m =+，且()1E Y =，那么m =_____．16．函数2()()f x ax bx c a b c =-+<<有两个零点为1-和m ，那么实数m 的范围是▲．17．函数2()f x x a x b =+++，[]0,1x ∈，设()f x 的最大值为M ，假设min 1M =时，那么a 的取值范围为▲．三、解答题 (本大题共5小题，共74分．解容许写出文字说明、证明过程或演算过程) 18．(本小题总分值14分)在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2sin cos sin b A B a B =+． 〔I 〕求角B 的大小；〔II 〕设点D 是AC 的中点，假设BD =,求a c +的取值范围．19． (本小题总分值15分)如图，平面ABCD ⊥平面DBNM ，且菱形ABCD 与菱形DBNM 全等，且MDB DAB ∠=∠，G 为MC 中点.〔I 〕求证：平面//GBD 平面AMN ；〔II 〕求直线AD 与平面AMN 的所成角的正弦值.20． (本小题总分值15分)等比数列{}n a 的公比1q >，且13542a a a ++=，39a +是1a ，5a 的等差中项. 〔I 〕求数列{}n a 的通项公式；〔II 〕证明：3n n n n a b a =+，设{}n b 的前n 项的和为n S ，求证：2113nS <.21．(本小题总分值15分)设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点F 到抛物线准线的距离为2，假设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点也为F，离心率为12. 〔I 〕求抛物线方程和椭圆方程；〔II 〕假设不经过F 的直线l 与抛物线交于,A B 两点，且3OA OB =-(O 为坐标原点)，直线l 与椭圆交于,C D 两点，求CDF △面积的最大值.22．(本小题总分值15分) 函数2()e ( 2.718)x f x ax e =-=.〔I 〕假设()f x 在(0)+∞，有两个零点，求a 的取值范围； 〔II 〕2()e (()1)x g x f x ax x =+--，证明：()g x 存在唯一的极大值点0x ，且0321()4g x e <<.2021～2021金色联盟-浙江省百校联考数学试卷考前须知：1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答．答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、学号、姓名;2．本试卷分为第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部，共6页，全卷总分值150分，考试时间120分钟．参考公式：球的外表积公式 S =4πR 2球的体积公式V =43πR 3其中R 表示球的半径 锥体的体积公式V =13Sh其中S 表示锥体的底面积, h 表示锥体的高柱体的体积公式V=Sh其中S 表示柱体的底面积, h 表示柱体的高台体的体积公式()112213V h S S S S =++其中S 1, S 2分别表示台体的上、下底面积,h 表示台体的高一、选择题〔本大题共10小题，每题4分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的〕题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 CCADABADCB提示：8. D 解：如下图，因双曲线线的渐近线为by x a=±，对于1OF c =，直线1PF ：()ay x c b=+， 由原点(0,0)O 到直线1PF ：0ax by ac -+=的距离得22ac d a a b==+，因此1,OM a FM b ==， 那么根据几何图形的性质可得122,2F P b F P a==，x yO1F2FPM因此可得2b a =，那么双曲线的线近线为2y x =±．9．C 解：因2nn a =，222nn a n b ==，12311111111n b b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭232222111111112222n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭23222222111111111122222112n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++++ ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=-222112421312n ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=<<- 10．B 解：由222=cos 2AB AC BC AB AC AB AC AB ACAB ACθ+-⋅⋅=⋅⋅222=2AB AC BC AB AC +-⋅，那么()=AB CD AB CA AD AB AD AB AC ⋅⋅+=⋅-⋅ 22222222AB AD BD AB AC BC +-+-=-22222AD BC AC BD +--=； 那么问题转化为四边形ABCD 中，()()a b b c +⋅+=22221522DB AC CD AB AD BC ⋅=+--=（）二、填空题(本大题共7小题，单空每题4分，双空每题6分，共36分)11．2096412．1024；10-13．3-；1814．15．110；2-16．1,22⎛⎫⎪⎝⎭17．1[1,]8a ∈--提示：16．1,22⎛⎫⎪⎝⎭解：令22()(1)()((1))f x ax bx c a x x m a x m x m =-+=+-=+--， 那么(1)b a m =--，c am =-，因(1)0f a b c -=++=，又a b c <<，那么0a c <<，可得(1)a a m am <--<-，那么11m m >->-，即1,22m ⎛⎫∈⎪⎝⎭17．1[1,]8a ∈--解：22[0,1]max{||,||}x M x x a b x x b a ∈=+++-+- 1max{||,|2|,||,||}4a b a b b a b a =+++---，由题意得min 1M =的含义即：存在a ，对于任意的b ，M 的最小值为1，由于在数轴上的点2a --和点a -之间的距离恰为2，因此要使得M 的最小值为1，那么必有2a a --≤且14a a +≤-，解得1[1,]8a ∈--. 三、解答题 (本大题共5小题，共74分．解容许写出文字说明、证明过程或演算过程) 18．解：〔I 〕在ABC ∆中，由正弦定理sin sin a bA B=，可得sin sin b A a B =， 又由sin cos()6b A a B π=-，可得sin cos()6a B a B π=-， 即sin cos()6B B π=-，…………………………………………………………………3分即31sin cos sin 2BB B ，可得tan B = 又因为(0,)B π∈，所以3B π=．……………………………………………………7分〔II 〕法一：如图，延长BD 到E ，满足=DE BD ，连接，AE CE ，那么ABCE 为平行四边形，且223,,,3BE BAE AB c AE BC a π=∠====， 在BAE △中，由余弦定理得2222(23)2cos 3a c ac π=+-， 即2212a c ac ++=，可得2()12a c ac +-=，即2()12ac a c =+-，………………10分由根本不等式得：22()12()2a c ac a c +=+-≤， 即23()124a c +≤，即2()16a c +≤，可得4a c +≤ 〔当且仅当==2a c 取等号号〕………………………………………12分又由AE AB BE +>，即23a c +>，故a c +的取值范围是(23,4] .………………………………………………………… 14分 法二：也可以用中线向量+根本不等式解决，酌情给分.19．解：〔I 〕连接AC 交DB 于E ，连接GE ，易知//GE AM .因为GE ⊄平面AMN ，AM ⊂平面AMN ，所以//GE 平面AMN . …………………………3分又//MN BE ，同理可证//BE 平面AMN .又因为BE GE E =，所以平面//GBD 平面AMN . …………………………7分〔II 〕〔几何法〕连接ME ，由菱形ABCD 与菱形DBNM 全等且MDB DAB ∠=∠， 可得出AD AB BD ==，DM BD MB ==.所以ME BD ⊥，又平面ABCD ⊥平面DBNM 且相交于BD ，所以ME ⊥平面ABCD . 由ME BD ⊥，又AC BD ⊥且ACME E =，所以BD ⊥平面AMC ，平面GBD ⊥平面AMC ，过C 作CF GE ⊥，所以CF ⊥平面GBD ，连接BF ，由AD//BC ,所以CBF ∠即为直线AD 与平面GBD 的所成角. ………10分 由〔I 〕平面//GBE 平面AMN ,CBF ∠即为直线AD 与平面AMN 的所成角. ………………12分 由条件有AD AB BD ==，60DAB ∠=︒.在直角三角形MAE 中，ME AE =，所以45∠=︒MAE ，那么45GEC ∠=︒所以2CF CE =，又在直角三角形DEC ,60EDC ∠=︒,所以2CE BC =易知24CF BC ==，所以sin 4CF CBF BC ∠==. 那么直线AD 与平面AMN15分 〔II 〕〔坐标法〕连接ME ，由菱形ABCD 与菱形DBNM 全等且MDB DAB ∠=∠， 可得出AD AB BD ==，DM BD MB ==.所以ME BD ⊥，又平面ABCD ⊥平面MNBD 且相交于BD ，所以ME ⊥平面ABCD . 那么可以以CA 为x 轴，DB 为y 轴，EM 为z 轴，建立空间直角坐标系，令2AB =，那么)0A ，，()0,1,0D -，(M ，()0,1,0B，(0,N ， ………10分 设平面AMN 的法向量为(),,n x y z =，那么由00AM n AN n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得020x z y -+=⎧⎪⎨++=⎪⎩ 那么可令1x =，得0y =，1z =，平面AMN 的法向量为()1,0,1n =， …………12分 设直线AD 与平面AMN 的所成角为θ，sin cos ,AD n θ=<>==那么直线AD 与平面AMN15分 20. 解：〔1〕由39a +是1a ，5a 的等差中项得153218a a a +=+， 所以135a a a ++331842a =+=，解得38a =，……………………………3分 由1534a a +=，得228834q q +=，解得24q =或214q =， 因为1q >，所以2q. ………………………………6分 所以2n n a =. …………………………………7分 〔Ⅱ〕先证右边， 112()333()1()22n n n nb =<=+………………………………11分 3412324222()()()513333n n n S b b b b ∴=++++<++++24688221(),36599313n n -=+-⋅≤≥ 又有1222146215136513S S =<=<，，2113n S ∴<………………………………15分 21．解：(Ⅰ)由得，12,(1,0),1,,22c p F c e a a =∴===∴=，2223b a c =-=， 所以抛物线方程为24y x =，椭圆方程为22143x y +=.………………5分 (Ⅱ)设直线l 方程为：my x n =+，由24,,y x my x n ⎧=⎨=+⎩消去x 得，2440y my n -+=， 设1122(,),(,)A x y B x y ，那么12124,4,y y m y y n +=⎧⎨=⎩因为22212121212()164431616y y n OA OB x x y y y y n n n =+=+=+=+=-……………7分 所以3n =-或1n =-(舍去)，所以直线l 方程为：3my x =-. …………9分 由221,433,x y my x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去x 得，22(34)18150m y my +++=. 设(,),(,)C C D D C x y D x y ，那么2218,3415,34C D C D m y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩……………11分 所以11||||2||||22CDF C D C D C D S EF y y y y y y =⋅-=⨯⨯-=-△===.……………13分(0)t t =>，那么2253t m +=，所以2()9t S t t t t==≤=++，当且仅当3t =时，即m =.………………15分22．证明：〔I 〕设函数2()1x h x ax e -=-．()f x 在(0,)+∞有两个零点当且仅当()h x 在(0,)+∞有两个零点．〔i 〕当0a ≤时，()0h x >，()h x 没有零点；〔ii 〕当0a >时，()(2)e xh'x ax x -=-．当(0,2)x ∈时，()0h'x <；当(2,)x ∈+∞时，()0h'x >．所以()h x 在(0,2)单调递减，在(2,)+∞单调递增． 故24(2)1ea h =-是()h x 在[0,)+∞的最小值． ①假设(2)0h >，即2e 4a <，()h x 在(0,)+∞没有零点； ②假设(2)0h =，即2e 4a =，()h x 在(0,)+∞只有一个零点； ③假设(2)0h <，即2e 4a >，由于(0)1h =，所以()h x 在(0,2)有一个零点， 当0x >时，易证 21x e x >，所以33342241616161(4)11110e (e )(2)a a a a a h a a a=-=->-=->． 故()h x 在(2,4)a 也有一个零点，因此()h x 在(0,)+∞有两个零点． 综上，()f x 在(0,)+∞有两个零点时，2e 4a >． 注：采用别离参数进行求解也可以〔II 〕证明：()=(1)x x g x e e x --，故'()=(22)x x g x e e x --，令()=22x h x e x --，'()=21x h x e -，所以()h x 在1(,ln )2-∞上单调递减，在1(ln +)2∞，上单调递增， (0)=0h ，1ln 211(ln )=2e ln 2ln 21022h --=-<，222(2)=2e (2)2=0h e ----->， 1(2)(ln )02h h -<由零点存在性定理及()h x 的单调性知， 方程()=0h x 在1(2,ln )2-有唯一根， 设为0x 且0022=0x e x --，从而()h x 有两个零点0x 和0，所以()g x 在0(,)x -∞单调递增，在0(0)x ，上单调递减，在(0+)∞，单调递增， 从而()g x 存在唯一的极大值点0x 即证，由0022=0x e x --得00+2=2x x e ，01x ≠-， 002000000000222111()(1)(1)()(2)=224444x x x x x x g x e e x x x x ++-++∴=--=--=-+≤（） 取等不成立，所以01g()4x <得证， 又012ln 2x -<<，()g x 在0,x ∞（-）单调递增， 所以2242032g()(2)(2)1x g e e e e e ----⎡⎤>-=---=+>⎣⎦得证. 从而0321()4g x e <<.。