2016通州潞河中学高一(上)期末数学
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2016通州潞河中学高一（上）期末数学
一、选择题．本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．把正确选项的序号填在答题卡上．
1．（5分）在0到2π范围内，与角终边相同的角是（）
A．B．C．D．
2．（5分）sin150°的值等于（）
A．B． C．D．
3．（5分）sin20°cos40°+cos20°sin40°的值等于（）
A．B． C．D．
4．（5分）已知，且，那么sin2A等于（）
A．B．C．D．
5．（5分）函数y=tan4x的最小正周期为（）
A．2πB．πC．D．
6．（5分）要得到函数y=sin（2x﹣）的图象，应该把函数y=sin2x的图象（）
A．向左平移B．向右平移C．向左平移D．向右平移
7．（5分）函数f（x）=在（0，+∞）内（）
A．没有零点B．有且仅有一个零点
C．有且仅有两个零点D．有无穷多个零点
8．（5分）已知函数f（x）=πcos（），如果存在实数x1、x2，使得对任意实数x，都有f（x1）≤f（x）≤f（x2），则|x1﹣x2|的最小值是（）
A．8πB．4πC．2πD．π
二、填空题．本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案写在答题纸上．
9．（5分）已知扇形所在圆的半径为8，弧长为12，则扇形的圆心角为弧度．
10．（5分）已知sinα=，且α是第二象限角，那么tanα的值是．
11．（5分）已知tanα=﹣1，且α∈[0，π），那么α的值等于．
12．（5分）已知函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，|φ|＜π）的一段图象如图所示，则函数的解析式为．
13．（5分）关于函数有下列命题：
①f（x）的表达式可改写为；
②f（x）的图象关于点对称；
③f（x）的图象关于直线对称；
④f（x）在区间上是减函数；
其中正确的是．（请将所有正确命题的序号都填上）
14．（5分）设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0）若f（x）在区间[，]上具有单调性，且f（）=f（）=﹣f（），则f（x）的最小正周期为．
三、解答题．本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（12分）已知角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点．（Ⅰ）求sinα，cosα，tanα的值；
（Ⅱ）求的值；
（Ⅲ）求的值．
16．（13分）已知函数．
（Ⅰ）在给定坐标系中，用“五点法”作出函数f（x）在一个周期上的图象（先列表，再画图）；（Ⅱ）求f（x）的对称中心；
（Ⅲ）求直线与函数y=f（x）的图象交点的横坐标．
17．（13分）已知函数．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期T和单调增区间；
（Ⅱ）若，求f（x）的最大值和最小值．
18．（14分）已知函数．
（Ⅰ）求f（x）的定义域及最小正周期T；
（Ⅱ）求使f（x）≥0时，x的取值范围；
（Ⅲ）是否存在最小正实数m，使得函数f（x）的图象向左平移m个单位后成为偶函数？若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．
19．（14分）已知函数f（x）=sinx+cos2x．
（Ⅰ）若α为锐角，且，求f（α）的值；
（Ⅱ）若不等式|f（x）﹣m|≤2在上恒成立，求实数m的取值范围．
20．（14分）函数f（x）的定义域为D，函数g（x）的定义域为E．规定：函数
（Ⅰ）若函数，写出函数h（x）的解析式；
（Ⅱ）判断问题（Ⅰ）中函数h（x）在（1，+∞）上的单调性；
（Ⅲ）若g（x）=f（x+α），其中α是常数，且α∈（0，π），请设计一个定义域为R的函数y=f（x），及一个α的值，使得h（x）=cos4x，并给予证明．
参考答案与试题解析
一、选择题．本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．把正确选项的序号填在答题卡上．
1．【解答】与角终边相同的角是2kπ+（），k∈z，令k=1，可得与角终边相同的角是，
故选C．
2．【解答】sin150°=sin30°=
故选A．
3．【解答】sin20°cos40°+cos20°sin40°
=sin60°
=
故选B．
4．【解答】∵已知，且，∴sinA=，∴sin2A=2 sinA cosA=2×=，
故选D．
5．【解答】函数y=tan4x的最小正周期T=，
故选：D．
6．【解答】要得到函数y=sin（2x﹣）=sin[2（x﹣）]的图象，需要将函数y=sin2x的图象，向右平移单位即可．
故选：D．
7．【解答】作函数y=与y=cosx的图象如下，
，
∵函数y=与y=cosx的图象有且只有一个交点，
∴函数f（x）=在（0，+∞）内有且仅有一个零点，
故选B．
8．【解答】∵函数表达式为f（x）=πcos（），
∴函数的周期T==8π
∵对任意实数x，都有f（x1）≤f（x）≤f（x2），
∴f（x1）是函数的最小值；f（x2）是函数的最大值
由此可得：|x1﹣x2|的最小值为=4π
故选：B
二、填空题．本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案写在答题纸上．9．【解答】设这个扇形的圆心角的度数为n，
根据题意得n==，
即这个扇形的圆心角为．
故答案为：．
10．【解答】∵α是第二象限角
∴cosα=﹣=﹣
∴tanα==﹣
故答案为：﹣
11．【解答】∵已知tanα=﹣1，且α∈[0，π），故α的终边在射线y=﹣x （x≤0）上，故α=，故答案为：．
12．【解答】由图可知，A=2，T=，
∴ω=．
由五点作图的第二点可知，2×φ=．
解得：φ=．
∴函数解析式为：f（x）=2sin（2x+）．
故答案为：f（x）=2sin（2x+）．
13．【解答】关于函数，f（x）的表达式可改写为f（x）=4cos[﹣（2x+）]=4cos（﹣2x）=4cos（2x﹣），故①正确．
由于当x=﹣时，f（x）=0，可得f（x）的图象关于点对称，故②正确．
当x=时，求得f（x）=0，不是最值，可得f（x）的图象不关于直线对称，故排除③．
在区间（﹣，）上，2x+∈（﹣，），函数f（x）为增函数，故排除D，
故答案为：①②．
14．【解答】由f（）=f（），可知函数f（x）的一条对称轴为x=，
则x=离最近对称轴距离为．
又f（）=﹣f（），则f（x）有对称中心（，0），
由于f（x）在区间[，]上具有单调性，
则≤T⇒T≥，从而=⇒T=π．
故答案为：π．
三、解答题．本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．【解答】（Ⅰ）由三角函数的定义知，角α终边与单位圆相较于点，
∴sinα=y=，cosα=x=﹣，tanα==﹣．
（Ⅱ）原式====﹣11．
（Ⅲ）cos2α=2cos2α﹣1=2•﹣1=，tan（α+）==﹣．
16．【解答】（Ⅰ）列表：
函数图象如下图所示：
（Ⅱ）∵y=sinx的对称中心为（kπ，0）（k∈Z），
∴由知：，
∴f（x）的对称中心为
（Ⅲ）由知：或（k∈Z），
∴或
即直线与函数y=f（x）的图象交点的横坐标为或
17．【解答】由三角函数公式化简可得，
（Ⅰ）由周期公式可得函数f（x）的最小正周期，
由可得，
∴函数f（x）的单调增区间为；
（Ⅱ）∵，∴，
∴当时，，
当时，．
18．【解答】（Ⅰ）∵
=，
∴由sinx≠0知，x≠kπ（k∈Z），
∴f（x）的定义域为{x|x∈R且x≠kπ（k∈Z）}，
f（x）的最小正周期．
（Ⅱ）由f（x）≥0知，即，
∴，即，
∴f（x）≥0时，x的取值范围为：．
（Ⅲ）函数f（x）的图象向左平移m个单位后得到的函数为，即，
若要使该函数为偶函数，则需满足，
∴，
∴存在最小正实数，使得函数f（x）的图象向左平移m个单位后为偶函数．
19．【解答】（Ⅰ）∵α为锐角，∴，则
∵，∴，则，
∴；
（Ⅱ）∵|f（x）﹣m|≤2，∴m﹣2≤f（x）≤m+2，
∵不等式|f（x）﹣m|≤2在上恒成立，
∴，
而，
∵，∴sinx∈[]，
∴当时，；当时，，
∴，∴．
∴实数m的取值范围为．
20．【解答】（Ⅰ）∵f（x）的定义域为（﹣∞，1）∪（1，+∞），g（x）的定义域为R，
∴
（Ⅱ）当x＞1时，
任意取x1＜x2∈（1，+∞），则，
∵
①当x1＜x2∈（1，2）时，x1x2﹣（x1+x2）＜0，即h（x1）﹣h（x2）＞0，
∴h（x1）＞h（x2），故，h（x）在（1，2）上单调递减．
②当x1＜x2∈（2，+∞）时，x1x2﹣（x1+x2）＞0，即h（x1）﹣h（x2）＜0，
∴h（x1）＜h（x2），故，h（x）在（2，+∞）上单调递增．
综上，h（x）在（1，2）上单调递减，h（x）在（2，+∞）上单调递增．
（Ⅲ）由函数y=f（x）的定义域为R，得g（x）=f（x+α）的定义域为R，
∴对于任意x∈R，都有h（x）=f（x）g（x）
即对于任意x∈R，都有cos4x=f（x）f（x+α），
∴我们考虑将cos4x分解成两个函数的乘积，
而且这两个函数还可以通过平移相互转化cos4x=cos22x﹣sin22x=（cos2x+sin2x）（cos2x﹣sin2x）=
，
∴可取，即可．（答案不唯一）
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