第3讲 等比数列及其前n 项和基础知识整合1．等比数列的有关概念 (1)定义如果一个数列从第□012项起，每一项与它的前一项的比等于□02同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的□03公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为□04a n ＋1a n＝q . (2)等比中项如果a ，G ，b 成等比数列，那么□05G 叫做a 与b 的等比中项，即G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇒□06G 2＝ab (ab ≠0)． 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝□07a 1q n －1.等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ·qn －m(n ，m ∈N *)．(2)若m ＋n ＝p ＋q ＝2k (m ，n ，p ，q ，k ∈N *)，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2k .(3)若数列{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n (λ≠0)仍然是等比数列．(4)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n＋3k，…为等比数列，公比为q k.(5)公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n.(6)等比数列{a n }满足⎩⎪⎨⎪⎧a 1>0，q >1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1<0，0<q <1时，{a n }是递增数列；满足⎩⎪⎨⎪⎧a 1>0，0<q <1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1<0，q >1时，{a n }是递减数列．1．(2019·四川成都检测)在等比数列{a n }中，已知a 3＝6，a 3＋a 5＋a 7＝78，则a 5＝( ) A ．12B ．18答案 B解析 由题意，a 3＋a 5＋a 7＝a 3(1＋q 2＋q 4)＝78，所以1＋q 2＋q 4＝13，解得q 2＝3，所以a 5＝a 3q 2＝18.故选B.2．已知{a n }是等比数列，且a n >0，a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，那么a 3＋a 5的值为( ) A ．5 B ．10 C ．15 D ．20答案 A解析 根据等比数列的性质，得a 2a 4＝a 23，a 4a 6＝a 25， ∴a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝a 23＋2a 3a 5＋a 25＝(a 3＋a 5)2. 而a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，∴(a 3＋a 5)2＝25， ∵a n >0，∴a 3＋a 5＝5.3．(2019·广西柳州模拟)设等比数列{a n }中，公比q ＝2，前n 项和为S n ，则S 4a 3的值为( )A.154B.152C.74D.72答案 A 解析 S 4＝a 1－q 41－q＝15a 1，a 3＝a 1q 2＝4a 1，∴S 4a 3＝154.故选A.4．若等比数列{a n }满足a n a n ＋1＝16n，则公比为( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．16答案 B解析 由a n a n ＋1＝16n，得a n ＋1·a n ＋2＝16n ＋1.两式相除得，a n ＋1·a n ＋2a n ·a n ＋1＝16n ＋116n ＝16，∴q 2＝16.∵a n a n ＋1＝16n，可知公比为正数，∴q ＝4.5．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n >0，q >1，a 3＋a 5＝20，a 2a 6＝64，则S 5＝( ) A ．31 B ．36 C ．42 D ．48答案 A解析 由等比数列的性质，得a 3a 5＝a 2a 6＝64，于是由⎩⎪⎨⎪⎧a 3＋a 5＝20，a 3a 5＝64，且a n >0，q >1，得a 3＝4，a 5＝16，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝4，a 1q 4＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2.所以S 5＝－251－2＝31.故选A.6．(2019·长春模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列，且a 2＝－2，则a 7＝( )A ．16B ．32答案 C解析 由题意得S n ＋2＋S n ＋1＝2S n ，得a n ＋2＋a n ＋1＋a n ＋1＝0，即a n ＋2＝－2a n ＋1，∴{a n }从第二项起是公比为－2的等比数列，∴a 7＝a 2q 5＝64.故选C.核心考向突破考向一 等比数列的基本运算例1 (1)(2019·汕头模拟)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 3＝3a 1＋a 2，则S 4S 2＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案 B解析 设等比数列的公比为q ，由题意a 1＋a 2＋a 3＝3a 1＋a 2得a 3＝2a 1(a 1≠0)，∴q 2＝a 3a 1＝2，∴S 4S 2＝1－q 41－q2＝1＋q 2＝3.故选B.(2)(2018·全国卷Ⅲ)等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝4a 3. ①求{a n }的通项公式；②记S n 为{a n }的前n 项和．若S m ＝63，求m . 解 ①设{a n }的公比为q ，由题设得a n ＝qn －1.由已知得q 4＝4q 2，解得q ＝0(舍去)，q ＝－2或q ＝2. 故a n ＝(－2)n －1或a n ＝2n －1.②若a n ＝(－2)n －1，则S n ＝1－－n3.由S m ＝63得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解． 若a n ＝2n －1，则S n ＝2n－1.由S m ＝63得2m＝64，解得m ＝6. 综上，m ＝6.触类旁通等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)所求问题可迎刃而解．解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关公式，并灵活运用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算的过程．即时训练 1.已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2018＝3S 2017＋2018，a 2017＝3S 2016＋2018，则公比q 等于( )A ．3B ．13C ．4D ．14答案 C解析 由a 2018＝3S 2017＋2018，a 2017＝3S 2016＋2018，得a 2017q －3S 2017＝2018，a 2017－3S 2016＝2018，∴a 2017q －3S 2017＝a 2017－3S 2016，∴a 2017(q －1)＝3(S 2017－S 2016)＝3a 2017，∴q ＝4.故选C.2．等比数列{a n }中，a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝30，则数列{a n }的前5项和S 5＝( ) A ．81 B ．90 C ．100 D ．121答案 D解析 ∵等比数列{a n }中，a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝30， ∴公比q ＝a 2＋a 4a 1＋a 3＝3010＝3，∴a 1＋9a 1＝10，解得a 1＝1，∴数列{a n }的前5项和S 5＝－351－3＝121.故选D.3．(2019·安徽皖江名校联考)已知S n 是各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和，若a 2·a 4＝16，S 3＝7，则a 8＝________.答案 128解析 ∵a 2·a 4＝a 23＝16，∴a 3＝4(负值舍去)，∵a 3＝a 1q 2＝4，S 3＝7，∴q ≠1，S 2＝a 1－q 21－q＝4q 2＋q －q1－q＝3，∴3q 2－4q－4＝0，解得q ＝－23或q ＝2，∵a n >0，∴q ＝－23舍去，∴q ＝2，∴a 1＝1，∴a 8＝27＝128.考向二 等比数列的性质角度1 等比数列项的性质例 2 (1)(2019·四川绵阳模拟)等比数列{a n }的各项均为正数，且a 1＋2a 2＝4，a 24＝4a 3a 7，则a 5＝( )A.116B.18 C ．20 D.40答案 B解析 设等比数列的公比为q .由a 24＝4a 3a 7，得a 24＝4a 25，所以q 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 5a 42＝14，解得q ＝±12.又因为数列的各项均为正数，所以q ＝12.又因为a 1＋2a 2＝4，所以a 1＋2a 1q ＝a 1＋2a 1×12＝4，解得a 1＝2，所以a 5＝a 1q 4＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝18.故选B.(2)在等比数列{a n }中，公比a 1＋a m ＝17，a 2a m －1＝16，且前m 项和S m ＝31，则项数m ＝________.答案 5解析 由等比数列的性质知a 1a m ＝a 2a m －1＝16，又a 1＋a m ＝17，q >1，所以a 1＝1，a m ＝16，S m ＝a 1－q m1－q＝a 1－a m q 1－q ＝1－16q 1－q＝31，解得q ＝2，a m ＝a 1q m －1＝2m －1＝16.所以m ＝5.触类旁通在等比数列的基本运算问题中，一般是利用通项公式与前n 项和公式，建立方程组求解，但如果灵活运用等比数列的性质“若m ＋n ＝p ＋q m ，n ，p ，q ∈N*，则有a m a n ＝a p a q ”，则可减少运算量，解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形.即时训练 4.(2019·福建三明模拟)已知数列{a n }是各项均为正值的等比数列，且a 4a 12＋a 3a 5＝15，a 4a 8＝5，则a 4＋a 8＝( )A ．15 B. 5 C ．5 D ．25答案 C解析 ∵a 4a 12＋a 3a 5＝15，∴a 24＋a 28＝15，又a 4a 8＝5，∴(a 4＋a 8)2＝a 24＋a 28＋2a 4a 8＝25，又a 4＋a 8>0，∴a 4＋a 8＝5.故选C.5．(2019·江西联考)在等比数列{a n }中，若a 2a 5＝－34，a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝54，则1a 2＋1a 3＋1a 4＋1a 5＝( ) A ．1 B ．－34C ．－53D ．43答案 C解析 因为数列{a n }是等比数列，a 2a 5＝－34＝a 3a 4，a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝54，所以1a 2＋1a 3＋1a 4＋1a 5＝a 2＋a 5a 2a 5＋a 3＋a 4a 3a 4＝54－34＝－53.故选C. 角度2 等比数列和的性质例3 (1)已知各项都是正数的等比数列{a n }，S n 为其前n 项和，且S 3＝10，S 9＝70，那么S 12＝( )A ．150B ．－200C ．150或－200D ．400或－50答案 A解析 解法一：由等比数列的性质知S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9是等比数列，∴(S 6－10)2＝10(70－S 6)，解得S 6＝30或－20(舍去)，又(S 9－S 6)2＝(S 6－S 3)·(S 12－S 9)，即402＝20(S 12－70)，解得S 12＝150.故选A.解法二：设等比数列前n 项和为S n ＝A －Aqn，则⎩⎪⎨⎪⎧A －q 9＝70，A－q3＝10，两式相除得1＋q 3＋q 6＝7，解得q 3＝2或－3(舍去)，∴A ＝－10.∴S 12＝－10(1－24)＝150.故选A.(2)已知等比数列{a n }的前10项中，所有奇数项之和为8514，所有偶数项之和为17012，则S ＝a 3＋a 6＋a 9＋a 12的值为________．答案 585解析 设公比为q ，由⎩⎪⎨⎪⎧S偶S奇＝q ＝2，S奇＝a 1[1－q 25]1－q2＝8514，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝14，q ＝2，∴S ＝a 3＋a 6＋a 9＋a 12＝a 3(1＋q 3＋q 6＋q 9)＝a 1q 2(1＋q 3)(1＋q 6)＝585.触类旁通等比数列前n 项和的性质主要是若S n ≠0，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列. (2)注意等比数列前n 项和公式的变形．当q ≠1时，S n ＝a 1－q n1－q＝a 11－q －a 11－q·q n，即S n ＝A －Aq n(q ≠1)．利用等比数列的性质可以减少运算量，提高解题速度.解题时，根据题目条件，分析具体的变化特征，即可找到解决问题的突破口.即时训练 6.(2019·云南玉溪模拟)等比数列{a n }中，公比q ＝2，a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 97＝11，则数列{a n }的前99项的和S 99＝( )A ．99B ．88C ．77D ．66答案 C解析 解法一：由等比数列性质知a 1，a 4，a 7，…，a 97是等比数列且其公比为q 3＝8，∴a 1－8331－8＝11，∴a 1(1－299)＝－77，∴S 99＝a 1－q 991－q＝77.故选C.解法二：令S 0＝a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 97＝11，S ′＝a 2＋a 5＋a 8＋…＋a 98，S ″＝a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99.由数列{a n }为等比数列，q ＝2易知S 0，S ′，S ″成等比数列且公比为2，则S ′＝2S 0＝22，S ″＝2S ′＝44，所以S 99＝S 0＋S ′＋S ″＝11＋22＋44＝77.故选C.7．各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2，S 3n ＝14，则S 4n 等于( ) A ．80 B ．30 C ．26D ．16答案 B解析 由题意知公比大于0，由等比数列性质知S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，S 4n －S 3n ，…仍为等比数列．设S 2n ＝x ，则2，x －2,14－x 成等比数列．由(x －2)2＝2×(14－x )，解得x ＝6或x ＝－4(舍去)．∴S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，S 4n －S 3n ，…是首项为2，公比为2的等比数列．又∵S 3n ＝14，∴S 4n ＝14＋2×23＝30.故选B.考向三 等比数列的判定与证明例4 (1)(2018·全国卷Ⅰ)已知数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝2(n ＋1)a n ，设b n ＝a n n. ①求b 1, b 2, b 3；②判断数列{b n }是否为等比数列，并说明理由； ③求{a n }的通项公式． 解 ①由条件可得a n ＋1＝n ＋na n .将n ＝1代入，得a 2＝4a 1，而a 1＝1，所以a 2＝4. 将n ＝2代入，得a 3＝3a 2，所以a 3＝12. 从而b 1＝1，b 2＝2，b 3＝4.②{b n }是首项为1，公比为2的等比数列．由题设条件可得a n ＋1n ＋1＝2a nn，即b n ＋1＝2b n ，又b 1＝1，所以{b n }是首项为1，公比为2的等比数列．③由②可得a n n＝2n －1，所以a n ＝n ·2n －1.(2)(2019·安徽江南十校联考)已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且满足S n －2a n ＝n －4. ①证明：{S n －n ＋2}为等比数列； ②求数列{S n }的前n 项和T n .解 ①证明：当n ＝1时，a 1＝S 1，S 1－2a 1＝1－4，解得a 1＝3.由S n －2a n ＝n －4可得S n －2(S n －S n －1)＝n －4(n ≥2)，即S n ＝2S n －1－n ＋4，所以S n －n ＋2＝2[S n －1－(n －1)＋2]．因为S 1－1＋2＝4，所以{S n －n ＋2}是首项为4，公比为2的等比数列． ②由①知S n －n ＋2＝2n ＋1，所以S n ＝2n ＋1＋n －2，于是T n ＝(22＋23＋…＋2n ＋1)＋(1＋2＋…＋n )－2n ＝－2n1－2＋n n ＋2－2n ＝2n ＋3＋n 2－3n －82.触类旁通判定一个数列为等比数列的常用方法(1)定义法：若a n ＋1a n＝q (q 是常数)，则数列{a n }是等比数列．等比中项法：若a 2n ＋1＝a n a n ＋2n ∈N *，则数列{a n }是等比数列.通项公式法：若a n ＝Aq nA ，q 为常数，则数列{a n }是等比数列.即时训练 8.(2019·柳州模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝2a n －2n (n ∈N *)．(1)证明：{a n ＋2}是等比数列，并求{a n }的通项公式； (2)数列{b n }满足b n ＝log 2(a n ＋2)，T n 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋1的前n 项和，若T n <a 对任意正整数n 都成立，求a 的取值范围．解 (1)证明：因为S n ＝2a n －2n (n ∈N *) ①， 所以a 1＝S 1＝2a 1－2，得a 1＝2.当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－2(n －1) ②.由①②两式相减得a n ＝2a n －1＋2，变形得a n ＋2＝2(a n －1＋2)．又因为a 1＋2＝4，所以{a n ＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列，所以a n ＋2＝4×2n－1，所以a n ＝4×2n －1－2＝2n ＋1－2(n ≥2)．又a 1＝2也符合上述表达式，所以a n ＝2n ＋1－2(n ∈N *)．(2)因为b n ＝log 2(a n ＋2)＝log 22n ＋1＝n ＋1，1b n b n ＋1＝1n ＋n ＋＝1n ＋1－1n ＋2， 所以T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋2＝12－1n ＋2<12，依题意得a ≥12，即a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.。
