2018版 第1章 §5 正弦函数的图像与性质

§5 正弦函数的图像与性质5.1 正弦函数的图像 5.2 正弦函数的性质1．了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法．(重点)2．掌握“五点法”画正弦曲线的方法和步骤，能用“五点法”作出简单的正弦曲线．(难点)3．能用正弦函数的图像理解和记忆正弦函数的性质．(重点、难点)[基础·初探]教材整理1 “五点法”作正弦函数的图像阅读教材P 25～P 27“例1”以上部分，完成下列问题．在函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图像上，起着关键作用的有五个关键点：(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)， ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0)．描出这五个点后，函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图像就基本上确定了．因此，在精确度要求不太高时，我们常常先找出这五个关键点，然后用光滑曲线顺次将它们连接起来，就得到这个函数的简图．我们称这种画正弦函数曲线的方法为“五点法”．如图1-5-1.图1-5-1判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y ＝sin x 在[0,2π]和[4π，6π]上的图像形状相同，只是位置不同．( ) (2)函数y ＝sin x 的图像介于直线y ＝－1和y ＝1之间．( ) (3)函数y ＝sin x 的图像关于x 轴对称．( )(4)用“五点法”画函数y ＝sin x 在区间[－π，π]上的简图时，⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，－1是其中的一个关键点．( )【解析】 由函数y ＝sin x 的图像可知，y ＝sin x 的图像不关于x 轴对称，与y 轴只有一个交点，且图像介于直线y ＝－1和y ＝1之间，在[0,2π]和[4π，6π]上的图像形状相同，而位置不同．由于x ＝－π2是最小值点，所以(4)正确．【答案】 (1)√ (2)√ (3)× (4)√ 教材整理2 正弦函数的性质阅读教材P 28～P 29“例2”以上部分，完成下列问题.判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正弦函数y ＝sin x 的定义域为R .( ) (2)正弦函数y ＝sin x 是单调增函数．( )(3)正弦函数y ＝sin x 是周期函数．( )(4)正弦函数y ＝sin x 的最大值为1，最小值为－1.( )【解析】 由正弦函数性质知，(1)(3)(4)均正确，对于(2)，正弦函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )上是单调增函数，在R 上不具有单调性． 【答案】 (1)√ (2)× (3)√ (4)√[小组合作型]【精彩点拨】 借助于五点作图法按下列次序完成： 列表―→描点―→连线成图 【自主解答】 (1)列表，如下表所示：1．解答本题的关键是要抓住五个关键点．使函数中x 取0，π2，π，3π2，2π，然后相应求出y 值，再作出图像．2．五点法作图是画三角函数的简图的常用方法，这五点主要指函数的零点及最大值、最小值点，连线要保持光滑，注意凸凹方向．[再练一题]1．作出函数y ＝－1＋2sin x ，x ∈[0,2π]的简图． 【解】 按五个关键点列表：【精彩点拨】 先根据条件，求出sin x 的取值范围，再借助于单位圆或正弦函数的图像解决．【自主解答】 为使函数有意义，需满足 ⎩⎨⎧log 21sinx－1≥0，sin x >0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≤12，sin x >0.正弦函数和单位圆如图所示：∴定义域为⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2k π<x ≤2k π＋π6，k ∈Z ∪⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＋5π6≤x <2k π＋π，k ∈Z .1．求三角函数的定义域时，一般要解三角不等式，其主要方法是借助于三角函数的图像，关键有两点：(1)选取合适的一个周期；(2)确定边界值．2．当函数由几部分构成时，应取使每一部分有意义的x 取值范围的公共范围，即取它们的交集．[再练一题]2．求函数y ＝ 2 sin x ＋3的定义域.【导学号：66470014】【解】 要使函数有意义，只需2 sin x ＋3≥0.即sin x ≥－32，如图所示，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，3π2上，适合条件的x 的取值范围是－π3≤x ≤4π3.所以该函数的定义域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋4π3(k ∈Z )．(1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π5与sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－9π4； (2)sin 1，sin 2，sin 3，sin 4(由大到小排列)．【精彩点拨】 将所给角通过诱导公式化到同一单调区间内，然后利用y ＝sin x 的单调性比较大小．【自主解答】 (1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π5＝－sin 3π5，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－9π4＝－sin π4，sin 3π5>sin π4， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π5<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－9π4.(2)因为sin 2＝sin(π－2)，sin 3＝sin(π－3)， 且0<π－3k <π－2<π2.函数y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增加的，且sin 4<0，所以sin(π－2)>sin 1>sin(π－3)>0，即sin 2>sin 1>sin 3>sin 4.1．比较sin α与sin β的大小时，可利用诱导公式，把sin α与sin β转化为同一单调区间上的正弦值，再借助于正弦函数的单调性来进行比较．2．比较sin α与cos β的大小，常把cos β转化为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2±β后，再依据单调性进行比较．3．当不能将两角转到同一单调区间上时，还可以借助于图像或值的符号比较．[再练一题]3．比较sin 215π与sin 42π5的大小． 【解】 ∵sin 21π5＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋π5＝sin π5，sin 42π5＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π＋2π5＝sin 2π5.∵0<π5<2π5<π2.又y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增． ∴sin π5<sin 2π5，即sin 21π5<sin 42π5.[探究共研型]探究1 【提示】 先求内函数u ＝g (x )的值域，再求外函数y ＝f (u )的值域． 探究2 对于y ＝A sin 2x ＋B sin x ＋C 型的函数，怎样求值域？ 【提示】 利用换元法转化为二次函数求最值．求下列函数的值域． (1)y ＝3－2 sin x ； (2)y ＝－sin 2x ＋3sin x ＋54.【精彩点拨】 (1)利用|sin x |≤1即可求解． (2)配方求解，要注意|sin x |≤1这一情况． 【自主解答】 (1)∵－1≤sin x ≤1， ∴－1≤－sin x ≤1， 1≤3－2 sin x ≤5，∴函数y ＝3－2 sin x 的值域为[1,5]． (2)令t ＝sin x ，则－1≤t ≤1， y ＝－t 2＋3t ＋54＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －322＋2，∴当t ＝32时，y max ＝2.此时sin x ＝32，即x ＝2k π＋π3或x ＝2k π＋2π3，k ∈Z . 当t ＝－1时，y min ＝14－ 3.此时sin x ＝－1，即x ＝2k π＋3π2，k ∈Z .∴函数y ＝－sin 2x ＋ 3 sin x ＋54的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤14－3，2.此类求复合函数最大值、最小值问题关键在于依据函数值的计算过程，把原函数转化为两个基本初等函数的最大(小)值问题．解答过程要特别注意：内函数(本例中t ＝sin x )的值域恰好是外函数⎝ ⎛⎭⎪⎫本例中y ＝－t 2＋3t ＋54的定义域．[再练一题]4．求函数y ＝sin 2x －4 sin x －1的值域． 【解】 y ＝sin 2x －4 sin x －1 ＝(sin x －2)2－5.由－1≤sin x ≤1，得当sin x ＝－1时函数的最大值为4，当sin x ＝1时，函数的最小值为－4，所以函数的值域为[－4,4] .1．正弦函数y ＝sin x ，x ∈R 的图像上的一条对称轴是( )【导学号：66470015】A ．y 轴B ．x 轴C ．直线x ＝π2D ．直线x ＝π【解析】 结合函数y ＝sin x ，x ∈R 的图像可知直线x ＝π2是函数的一条对称轴．【答案】 C2．函数f (x )＝3＋sin x 的最小正周期是( ) A ．π2 B ．π C ．3π2 D ．2π【解析】 由3＋sin(2π＋x )＝3＋sin x 知f (x )的最小正周期为2π. 【答案】 D3．f (x )＝－2 sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上的最大值为 ．【解析】 f (x )＝－2 sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上是减少的，所以f (x )max ＝－2·sin π4＝－ 2.【答案】 － 24．函数f (x )＝sin 2x ＋1的奇偶性是 ．【解析】 f (－x )＝[sin(－x )]2＋1＝sin 2x ＋1＝f (x )，所以f (x )为偶函数． 【答案】 偶函数5．比较下列各组数的大小． (1)sin 2 016°和cos 160°； (2)sin 74和cos 53.【解】 (1)sin 2 016°＝sin(360°×5＋216°) ＝sin 216°＝sin(180°＋36°)＝－sin 36°，cos 160°＝cos(180°－20°)＝－cos 20°＝－sin 70°. ∵sin 36°<sin 70°， ∴－sin 36°>－sin 70°， 即sin 2 016°>cos 160°. (2)cos 53＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋53，又π2<74<π2＋53<3π2，y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2上是减少的，∴sin 74>sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋53＝cos 53，即sin 74>cos 53.。