高中数学第2章数列2.2.1等差数列的概念课件苏教版必修5

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【解】 用{an}表示梯子自上而下各级宽度所成的等差数列，由已知， 得 a1＝33，a12＝110，n＝12. 由通项公式，得 a12＝a1＋(12－1)d， 即 110＝33＋11d，解得 d＝7. 因此，a2＝33＋7＝40，a3＝40＋7＝47，a4＝54，a5＝61，a6＝68，a7＝75，a8 ＝82，a9＝89，a10＝96，a11＝103. 所以梯子中间各级的宽度从上到下依次是 40 cm,47 cm,54 cm,61 cm,68 cm,75 cm,82 cm,89 cm,96 cm,103 cm.
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等差数列(děnɡ chā shù liè)的通项公式
已知数列{an}是等差数列，且 a5＝10，a12＝31. (1)求{an}的通项公式； (2)若 an＝13，求 n 的值． 【精彩点拨】 建立首项 a1 和 d 的方程组求 an；由 an＝13 解方程得 n. 【自主解答】 (1)设{an}的首项为 a1，公差为 d，则由题意 可知aa11＋＋141dd＝＝1301，， 解得ad1＝＝3－，2， ∴an＝－2＋(n－1)×3＝3n－5. (2)由 an＝13，得 3n－5＝13，解得 n＝6.
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4．设数列{an}的公差为 d，则数列 a3，a6，a9，…，a3n 是________数列，其 公差为________.
【导学号：91730025】 【解析】 a3n－a3(n－1)＝3d. 【答案】 等差 3d
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5．梯子的最高一级宽 33 cm，最低一级宽 110 cm，中间还有 10 级，各级的宽 度成等差数列，计算中间各级的宽度．
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判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)一个数列的每一项与它的前一项的差都等于常数，这个数列就叫等差数 列．( × ) (2)一个数列的每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这个数列就叫等 差数列．( × ) (3)一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于常数，这个数列就 叫等差数列．( × ) (4)一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这个 数列就叫等差数列．( √ )

n
n
n d＞0
d＜0
一、等差数列
5. 用什么方法推导等差数列前n项和公式 的?公式内容? 使用时需注意的问题? 前n 项和公式结构有什么特点?
Sn＝An2＋Bn (A∈R)
注意: d＝2A !
一、等差数列
6. 你知道等差数列的哪些性质?
等差数列{an}中，(m、 n、p、q∈N+): ①an＝am＋(n－m)d ； ②若 m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq ； ③由项数成等差数列的项组成的数列仍 是等差数列； ④ 每n项和Sn , S2n－Sn , S3n－S2n … 组成的数列仍是等差数列.
二、等比数列 8. 等比数列的前n项和的性质
(1)在等比数列中，若项数为2n(n∈N*)， S偶 则 q. S奇
(2)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列.
方法总结
1．数列是特殊的函数，有些题目可结合函数知 识去解决，体现了函数思想、数形结合的思想． 2．等差、等比数列中，a1、an、n、d（q） n“知 、S 三求二”，体现了方程（组）的思想、整体思想， 有时用到换元法． 3．求等比数列的前 n 项和时要考虑公比是否等 于 1，公比是字母时要进行讨论，体现了分类讨 论的思想． 4．数列求和的基本方法有公式法、化归法、倒 序相加法、错位相减法、并项求和法、分步求和 法、裂项相消法等．
二、等比数列
5. 等比数列的性质 (1)当q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0时， {an}是递增数列； 当q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0时， {an}是递减数列； 当q＝1时，{an}是常数列； 当q＜0时，{an}是摆动数列.
二、等比数列
5. 等比数列的性质 (1)当q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0时， {an}是递增数列； 当q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0时， {an}是递减数列； 当q＝1时，{an}是常数列； 当q＜0时，{an}是摆动数列. (2)an＝am·n－m(m、n∈N*). q

#43;a6+a7=56，a4a7=187，求公差d.
2．在等差数列{an }中，a2 a8 10，
log2 a3 log2 a7 4，求an.
拓展提高：
已知
f
(x)
3x x3
，数列 an
满足 1
an
f
( 1 )(n 2) an 1
，且
a1
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复习回顾
①等差数列定义：即 an an1 d (n≥2)
②等差数列通项公式：an a1 (n 1)d (n≥1)
推导出公式： an am (n m)d
d an am
nm
还有其他 性质吗？
探究
1，3，5，7，9，11，13，15，……
取出数列中的奇数项，组成一个新的数列， 这个新数列是等差数列吗？
2an ank ank (n k 0)
探究
1，3，5，7，9，11，13，15，……
a1 a5 a2 a4 ? a2 a5 a3 a4 ? 猜想若m n p q,则am an ap aq
在等差数列an中，若m n p q,
则am an ap aq 即下标和相等，对应项之和相等
例题分析 例1 .在等差数列{an}中: (1)已知 a6+a9+a12+a15=20，求a1+a20 (2)已知 a3+a11=10，求 a6+a7+a8
例题分析
例2.三个数成等差数列，它们的和为12， 首尾二数的积为12，求此三数.
例 3：已知数列{bn }和{an }是正数项等差数列，
满足bn aan (n N * )，又 b2 b6 38，b3 15，求a2007 .

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2．已知等差数列{an}中，首项a1＝4，公差d＝－2，则通项公式为 ________． 解析：∵a1＝4，d＝－2， ∴an＝4＋(n－1)×(－2)＝6－2n. 答案：an＝6－2n
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3．已知等差数列{an}的前三项依次为a－1，a＋1,2a＋3，则实数a 的值为________． 解析：由题意知：a＋1－(a－1)＝2a＋3－(a＋1)， 即2＝a＋2，∴a＝0. 答案：0
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等差数列通项公式的综合应用
题点一：求通项公式中的未知项 1．在等差数列{an}中，首项a1＝1，公差d≠0，若7ak＝a1＋a2＋…
＋a7，则k＝________. 解析：因为a1＋a2＋…＋a7＝7a1＋21d＝7＋21d， 而ak＝1＋(k－1)d，所以7ak＝7＋7(k－1)d， 所以7＋7(k－1)d＝7＋21d，即k＝4. 答案：4
1≤m≤100， 所以共有25对相同项．
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等差数列通项公式的应用主要使用的是方程思想，要注意 公式使用时的准确性与合理性，更要注意运算的准确性，遇到 一些复杂的方程组时，要注意整体代换思想的运用，使运算更 加便捷．
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又∵b1＝a1－1 2＝12，
∴数列{bn}是首项为12，公差为12的等差数列．
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要判定或证明一个数列{an}是等差数列，主要是利用等差数 列的通项公式，证明an＋1－an＝d(常数)．
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[活学活用] 判断下列数列是否为等差数列． (1)在数列{an}中an＝3n＋2； (2)在数列{an}中an＝n2＋n. 解：(1)an＋1－an＝3(n＋1)＋2－(3n＋2)＝3(n∈N*)， 由n的任意性知，这个数列为等差数列． (2)an＋1－an＝(n＋1)2＋(n＋1)－(n2＋n)＝2n＋2，不是常数， 所以这个数列不是等差数列.