概率统计第八章 假设检验

第八章假设检验﹡第六章假设检验§1假设检验的基本思想一. 引例二. 假设检验的一般步骤三. 两类错误§2 单个正态总体参数的假设检验一. U检验法二. t检验法2检验第22、23 次课 4 学时第八章假设检验一. 教学基本要求1．理解显著性检验的基本思想，了解假设检验可能产生的两类错误。

知道两类错误概率，并在较简单的情况能计算两类错误概率，掌握假设检验的基本步骤。

2．了解单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验。

3．了解总体分布假设的拟合优度检验法。

本章重点：正态总体的参数的假设检验。

二. 内容提要1．假设检验的基本概念假设检验是基于样本判定一个关于总体分布的理论假设是否成立的统计方法。

方法的基本思想是当观察到的数据差异达到一定程度时，就会反映与总体理论假设的真实差异，从而拒绝理论假设。

原假设与备选假设是总体分布所处的两种状态的刻画，一般都是根据实际问题的需要以及相关的专业理论知识提出来的。

通常，备选假设的设定反映了收集数据的目的。

检验统计量是统计检验的重要工具，其功能在用之于构造观察数据与期望数之间的差异程度。

要求在原假设下分布是完全已知的或可以计算的。

检验的名称是由使用什么统计量来命名的。

否定论证是假设检验的重要推理方法，其要旨在：先假定原假设成立，如果导致观察数据的表现与此假定矛盾，则否定原假设。

通常使用的一个准则是小概率事件的实际推断原理。

2．两类错误概率。

第一类错误概率即原假设成立，而错误地加以拒绝的概率；第二类错误概率即原假设不成立，而错误地接受它的概率。

3．显著水平检验。

在收集数据之前假定一个准则，即文献上称之为拒绝域，一旦样本观察值落入拒绝域就拒绝原假设。

若在原假设成立条件下，样本落入拒绝域的概率不超过事先设定的，则称该拒绝域所代表的检验为显著水平的检验，而称为显著水平。

由定义可知，所谓显著水平检验就是控制第一类错误概率的检验。

4．单正态总体参数检验我们以单正态总体均值检验为例，即假定总体。

(1) 列出问题，即明确原假设和备选假设。

先设已知，检验其中已知。

(2) 基于的估计，提出检验统计量满足如下要求：(a) 在下，的分布完全已知，此处；(b) 由可诱导出与背离的准则，此处当偏大时与背离。

(3) 对给定水平，构造水平检验的拒绝域其中为标准正态分布的-分位点。

(4) 基于数据，算出的观察值，如则拒绝，否则只能接受.因此检验使用统计量，称之为-检验。

当未知时，改检验统计量为其中为修正样本标准差。

相应的拒绝域为为自由度的分布的-分位点。

其他的检验步骤相同。

5 两个正态总体参数的检验设是取自正态总体的样本，是取自正态总体的样本，且，相互独立。

记，。

（1）。

当已知时，拒绝域为；当未知，但时，拒绝域为（2）。

当已知时，拒绝域为其中。

当未知时，拒绝域为其中。

6值和值检验法值是在原假设成立条件下检验统计量出现给定观察值或者比之更极端值的概率，直观上用以描述抽样结果与理论假设的吻合程度，因而也称值为拟合优度。

例如在正态总体参数检验的情况，检验统计量为，观察值为，则值为.值检验法的原则是当值小到一定程度时拒绝，通常约定：当称结果为显著；当，则称结果为高度显著。

学习要点本章内容涉及概念及方法两大部分，要求理解和掌握假设检验的一些基本概念，如两类错误概率，否定论证原理，显著水平。

弄清显著水平检验的确切含义，掌握单正态总体检验的基本方法。

习题解答1. 在一个假设检验问题中，当检验最终结果是接受时，可能犯什么错误？在一个假设检验问题中，当检验最终结果是拒绝时，可能犯什么错误？解(1) 犯拒真的错误，即第一类错误；(2) 犯采伪的错误，或者说第二类错误。

2.某厂生产的化纤纤度服从正态分布，测得25根纤维的纤度，其样本均值，试用值法检验总体均值是否为1.40.解原假设，统计量，观察值，所以值为因此不能拒绝，即可以认为3.某印刷厂旧机器每周开工成本服从正态分布，现安装一台新机器，观测到九周的周开工成本的样本平均元，假定标准差不变，试用值法检验周开工平均成本是否为100的假设。

解，统计量，观察值，故值为：故拒绝是高度显著，即4.设是取自的一个样本观察值，要检验假设：试给出显著水平的检验的拒绝域.解5.某纤维的强力服从正态分布，原设计的平均强力为6g，现改进工艺后，某天测得100个强力数据，其样本平均为6.35g，总体标准差假定不变，试问改进工艺后，强力是否有显著提高（）？解设原假设，备选假设，统计量，临界值，拒绝域为今计算值为因而拒绝，即认为改进工艺后强力有显著提高。

6.监测站对某条河流的溶解氧(DO)浓度（单位：mg/l）记录了30个数据，并由此算得，，已知这条河流每日的DO浓度服从，试在显著水平下，检验假设，.解统计量，拒绝域为今. 计算值为：因而不能拒绝.7.从某厂生产的电子元件中随机地抽取了25个作寿命测试，得数据（单位：h）：，并由此算得，，已知这种电子元件的使用寿命服从，且出厂标准为h以上，试在显著水平下，检验该厂生产的电子元件是否符合出厂标准，即检验假设，.解首先所以修正样本标准差的观察值，统计量的观察值为临界值因，不落入拒绝域，不能拒绝8.随机地从一批外径为1cm的钢珠中抽取10只，测试其屈服强度(单位:kg)，得数据，并由此算得，，在显著水平下分别检验：(1) ；.(2) .解(1) 拒绝域，其中. 的观察值为所以拒绝.(2) 拒绝域，其中，今的观察值为，因而不能拒绝.9.一卷烟厂向化验室送去两种烟草，化验尼古丁的含量是否相同，从中各随机抽取质量相同的五例进行化验，测得尼古丁的含量为：：24，27，26，21，24：27，28，23，31，26假设尼古丁含量服从正态分布，且种的方差为5，种的方差为8，取显著水平，问两种烟草的尼古丁含量是否有差异？解设的含量为，的含量为，且，，检验假设，. 拒绝域为：其中，.今计算，，故因而不能拒绝，即认为两种烟草的尼古丁含量没有差异。

10.某厂铸造车间为提高缸体的耐磨性而试制了一种镍合金铸件以取代一种铜合金铸件，现从两种铸件中各抽一个样本进行硬度测试，其结果如下：镍合金铸件（）：72.0，69.5，74.0，70.5，71.8铜合金铸件（）：69.8，70.0，72.0，68.5，73.0，70.0根据以往经验知硬度，，且，试在水平上比较镍合金铸件硬度有无显著提高。

解假设，，检验统计量拒绝域为今，，，因此不能拒绝，即不能认为镍合金铸件的硬度有提高。

11.用两种不同方法冶炼的某种金属材料，分别取样测定某种杂质的含量，所得数据如下（单位为万分率）：原方法（）：26.9，25.7，22.3，26.8，27.2，24.5，22.8，23.0，24.2，26.4，30.5，29.5，25.1新方法（）：22.6，22.5，20.6，23.5，24.3，21.9，20.6，23.2，23.4假设这两种方法冶炼时杂质含量均服从正态分布，且方差相同，问这两种方法冶炼时杂质的平均含量有无显著差异？取显著水平为0.05.解设，，检验假设为，，检验统计量为拒绝域为，其中今，，，，，，所以因此拒绝，即认为二种方法有显著差异。

12.随机地挑选20位失眠者分别服用甲、乙二种安眠药，记录他们的睡眠延长时间（单位：h），算得，，，，问：能否认为甲药的疗效显著地高于乙药？假定甲、乙二种安眠药的延长睡眠时间均服从正态分布，且方差相等，取显著水平解设，，检验假设，，拒绝域为其中，今计算，故因此应拒绝，即认为甲药的疗效显著高于乙药。

13灰色的兔与棕色的兔交配能产生灰色、黑色、肉桂色和棕色等四种颜色的后代，其数量比例由遗传学理论是9:3:3:1，为了验证这个理论，作了一些观测，）问：关于兔子的遗传理论是否可信（）.解检验假设，，，.统计量的值为：临界值，因此不能拒绝，即遗传学理论是可信的。

14某电话交换台在一小时（60min）内每分钟接到电话用户的呼唤次数有问：统计资料可否说明：每分钟电话呼唤次数服从泊松分布？解检验假设，未知，其极大似然估计为，先求期望数，，，，再计算值：临界值，因此不能拒绝，即认为每分钟呼唤次数服从泊松分布。

课外练习1 设总体，已知，对于检验，，写出拒绝域；对于给定数据，若在水平下不能拒绝，问在水平下能否拒绝？2 设为来自总体的样本，和均未知，记，，试写出对于假设的检验统计量（用表示）。

3 设有6台计算机，为受到病毒侵袭的台数，是未知参数。

为检验假设，从6台中随机选取2台作检查，为2台中有病毒的台数，如检验的拒绝域为，求时的第一类错误概率以及时的第二类错误概率。

4 设样本（容量为1）来自具概率密度的总体，今有关于总体的假设：检验的拒绝域为，试求该检验的两类错误概率及.5 设某次考试考生的成绩服从分布，从中随机抽取36位考生的成绩，算出（分），（分），问在显著水平下可否认为考生的平均成绩？6 某化工厂为了提高化工产品的得率，提出甲乙两种方案，为比较它们的好）？答案和提示12.1 (1)(2) 不能拒绝12.212.3 ，12.4 ，（提示：；）.12.5 可以认为平均成绩为70分。

12.6 可以认为乙方案比甲方案提高得率。

第八章 假设检验第一节 假设检验的基本概念总体参数既可以用一个数来估计（点估计），又可以用一个区间来估计（区间估计）．然而实际中经常遇到的问题是面对关于参数的两个矛盾的命题，如何抉择？如，某一天要检查一个工厂的产品次品率是否低于5%，某药品的疗效是否在90%以上等等．这些问题就需要我们首先给出一个假设，然后根据已知的数据进行推证，从而做出没有充分理由拒绝原来的假设或有充分证据拒绝原来的假设的决定．这是另一类重要的统计推断问题——假设检验(Test of hypothesis ）．一 假设检验的提法及基本思想引例 根据长期的经验和资料的分析，某砖瓦厂所生产的砖的“抗断强度”服从正态分布，方差σ2=1.21．今从该厂生产的一批砖中，随机抽取6块，测得抗断强度（㎏/cm 2）如下：32.56 29.66 31.64 30.00 31.87 31.03问这一批砖的平均抗断强度可否认为是32.50㎏/cm 2？我们关心砖的平均抗断强度是否为32.50㎏/cm 2．回答有两种可能：不能拒绝砖的平均抗断强度μ =32.5, 或拒绝μ =32.5．为此，我们提出这样的假设——H 0：可以认为砖的平均抗断强度是32.50㎏/cm 2（μ=32.5）．与之对立的假设——H 1：不能认为砖的平均抗断强度是32.50㎏/cm 2（μ≠32.5）．我们的任务是利用所获得的样本16,,x x ⋅⋅⋅, 去判断命题H 0是否成立．上面的例子是要根据实际问题，提出一个假设，然后以观测数据（即样本）为依据，采取一定的方法，去推证提出的假设是否成立．用统计学的语言描述如下：有一个总体X ．即所考察的那一大批砖的抗断强度, 并X ~ N (μ, 1.21)．根据需要, 提出一个命题（假设）H 0．H 0：砖的平均抗断强度可以认为32.50㎏/cm 2（μ=32.5）．这个命题的正确与否完全取决于总体的未知参数μ的值． 从总体中抽取样本．即抽出的那6块砖所测得的抗断强度126,,,x x x ⋅⋅⋅． 利用样本去判断（检验）命题H 0是否成立．这就是假设检验问题．假设检验（Hypothesis testing ）指的是依据样本信息判断或检验关于总体的某个假设是否正确．我们的做法是，先假设H 0是正确的，在此假设下，构造一个小概率事件．经过一次试验（样本）后，若此小概率事件发生了，则拒绝(Reject )H 0，否则不拒绝（Fail to reject ）或“接受”H 0．理论依据是小概率事件原理(或实际推断原理)．二 假设检验的基本概念1 原假设和备择假设原假设（Null hypothesis ）：根据需要而设立的假设．原假设是作为检验前提的假设． 备择假设（Alternative hypothesis ）：当原假设被拒绝后而接受的假设．在假设检验问题中，不仅要明确原假设是什么，而且要明确备选假设是什么．给定0H 和1H 就等于给定一个检验问题：01(,)H H ．注1原假设通常应该是受到保护的，没有充足的证据是不能被拒绝的（维持原样！）．备择假设可能是我们真正感兴趣的，作为做检验的人，你的关心（信念或所希望的结局）被表达在备择假设中（故又称研究性假设）．一旦建立了原假设和备择假设，我们将在原假设正确的前提下进行工作，直到有充分的证据拒绝它．这正像审判，被告被假定是无罪的，直至充分的证据来证明无罪是完全不可信的（无罪推定）．统计学家Fisher 是这样解释的：有一个命题，称之为“原假设”，其含义是所关心的效应不存在．设计试验的唯一目的是寻求否定原假设的证据．Fisher 强调原假设不能被证明，只能被否定． 2 单、双边检验问题0010:,:H H θθθθ=≠——双边检验0010:,:H H θθθθ≥<——左边检验 等号永远出现在H 0中！0010:,:H H θθθθ≤>——右边检验3 检验（法）、检验的拒绝域与检验统计量对于给定的检验问题，作出判断的依据只能是样本．关键的问题是你不能等到试验结果已经得知后再来制定接受或拒绝的准则，而是应该事先规定好这种准则——检验法（或检验）．所谓检验（法）就是对样本空间的一个划分，并规定当观察值落入其中一部分时，就拒绝原假设；当观察值落入另一部分时，就不拒绝原假设．两部分分别称为检验的拒绝域（Rejection rejoin ）与接受域（Acceptance rejoin ）．检验法对应拒绝域．给出了拒绝域就定出了检验法．构造合理的检验法的通常思路找到适当的、从实际背景或理论上有说服力的统计量，使得在原假设成立时和在备择假设成立时，该统计量的值有差异．从而使得我们能够根据这个统计量的值的大小来决定是否拒绝原假设．称这个统计量为检验统计量(Test statistic )．如引例，由于要检验的假设涉及总体均值μ, 而X 是μ的无偏估计, 可以用X 出发来考虑问题．如果0H 为真, 那么x 与0μ的偏差x μ-就不应太大（差异不显著）．反过来,若x 与0μ的偏差0x μ-很大, 自然就怀疑H 0的正确性而拒绝H 0（差异显著）X 以作为检验统计量．这样, 从定性的角度去分析, 就得到了一个在直观上合理的检验：当k<时, 就没有充分理由拒绝原假设, k≥时就拒绝原假设．k ——临界点（Critical point ）．之所以说是定性的，是因为这里k 值究竟取多大尚未明确．这要看你的要求如何——“小概率”到底有小到什么程度． 4 两类错误及其发生的概率假设检验中，无论你作出拒绝原假设或接受原假设的判断，都有可能犯错误．这个结论可能把你吓一跳：无论采取什么样的决策都可能是正确的，同时也都可能是错误的．既然如此，那还要假设检验干什么．请注意，概率论本身就是研究随机现象的，因此它的结论无不带有随机性．正如我们说“小概率事件在一次试验中几乎不可能发生”，这“几乎”就带有随机性．我们对原假设作出否定还是接受的判断都是根据小概率事件原理，因此犯错误和不犯错误的可能性都是存在的．若两者的可能性各占一半，那么“假设检验”确实没有任何价值．事实上，犯错误的概率是很小的．这样，“假设检验”才成为检验某种猜想可靠程度的一种优良方法．第一类错误——（Type I error ）—“弃真”：当0H 为真时，拒绝0H ．犯第一类错误的概率00{}P H H α拒绝为真．第二类错误——（Type II error ）“取伪”：当0H 为假时，不拒绝0H ．犯第二类错误的概率00{}P H H β不拒绝为假．我们当然希望犯两类错误的概率越小越好．遗憾的是，对给定的样本量n 来讲，一般而论，犯第一类错误的概率小时，犯第二类错误的概率就大，反之亦然（画图解释）．因而不能做到犯两类错误的概率都任意小．只控制犯第一类错误的概率α（称为显著性水平（Significance level ）），而不限制第二类错误的概率的检验称为显著性检验（或水平α检验(level αtest ））． 显著性水平是事先选定的．通常0.1,0.05,0.01α=．根据以往的经验，非常相信原假设是真的，而犯第二类错误又不会造成大的影响或后果，此时α就可以取得小一些．如果第二类错误带来的影响较大，需要严格控制犯第二类错误的概率，此时α可以选得适当大一些．三 假设检验的主要步骤问题：2~(,)X N μσ（2σ已知）．12,,,n X X X 为样本，12,,,n x x x 样本观察值．判断是否0μμ=．第一步：提出假设（原假设和备择假设）．（H 0：0μμ=，H 1：0μμ≠）第二步：选取检验统计量．（Z~(0,1)H N ——Z 检验（法））第三步：对于给定的显著性水平α（0.05α=），依00{}P H H α=拒绝成立确定拒绝域．（2k z α=/2z α≥）第四步：计算检验统计量的值，并作出判断．3≈0.0251.96z >=．不能认为砖的平均抗断强度是32.50㎏/cm 2）四 假设检验与置信区间的关系检验统计量与枢轴变量一致，置信区间↔接受域．例如，正态总体N (μ, σ2)（σ2已知），检验问题00:μμ=H , 01:μμ≠H ．我们知道，上述问题的水平α2z α<，此不等式可记为202x z x ααμ-<<+，对应区间22,x x z αα⎛⎫⎪⎝⎭．而μ的α-1 C.I.为22,X X αα⎛⎫⎪⎝⎭ 或22,x x αα⎛⎫+⎪⎝⎭．两个区间相同．可以看出，若0μ在CI 外，则拒绝0H ；而落在CI 内时则接受0H ．或者说没有被拒绝的0μ的全体构成此参数的CI ．结论具有普遍性．当然从实际应用看，区间估计与假设检验是不同的： 目的不同．态度不同．作区间估计时，应该有相当大的把握，即较大的概率α-1；而假设检验是要在已经给出的关于未知参数的某个说法（假设）条件下，确定不能接受这个说法的容忍界限，从而制造一个小概率事件．第二节 正态总体均值的假设检验一 单个正态总体均值μ的检验情形1 2σ已知时关于μ的检验(Z 检验法)（表8.1）(叙述检验过程)情形2 2σ未知时关于μ的检验(t 检验法)（表8.2）(叙述检验过程)表8.1 正态总体方差已知时均值的水平α检验表8.2 正态总体方差未知时均值的水平α检验例1 一种元件, 要求其使用寿命不得低于1000 h ．现从一批这种元件中随机抽取25件, 测得其寿命平均值为950 h ．已知该种元件寿命服从标准差100=σh 的正态分布N (μ, σ2)．试在显著性水平05.0=α下确定这批元件是否合格?解 提出假设:0H 1000μ≥, :1H 1000<μ．检验统计量~(0,1)X Z N ．拒绝域为=z X z α≤-．代入观测值得0.052.5 1.645z z =-<-=-．拒绝0H , 认为这批元件不合格．例2 某厂生产乐器用合金弦线，其抗拉强度服从均值为10560(kg/cm 2)的正态分布．现从一批产品中抽取10根，测得其抗拉强度为 (kg/cm 2)10512 10623 10668 10554 10776 10707 10557 10581 1066610670问这批产品的抗拉强度有无显著变化？（05.0=α）解 提出假设:0H 10560μ=, :1H 10560μ≠．检验统计量~(1)X t t n =-．拒绝域为/2(1)t t n α=≥-．代入观测值：t =2.788．因为262.2788.2>=t 0.025(9)t =，所以拒绝0H , 认为这批产品的抗拉强度有显著变化．注1 若取0.01α=,查表得0.005(9) 3.25t =, 于是25.3788.2<=t , 接受H 0, 认为这批产品的抗拉强度没有显著变化．（解释）课堂练习 甲、乙两厂生产同一种产品，其质量指标都服从正态分布，标准规格为120．分别抽取5件产品，结果如下：甲：119 120 119.2 119.7 119.6； 乙：110.5 106.3 122.2 113.8 117.2 问两厂产品是否符合标准？（05.0=α）甲：119.5,0.4x s ==，0.0252.795 2.776(4)t t =>=，拒绝H 0 乙：114, 6.105x s ==，0.0252.198 2.776(4)t t =<=，不拒绝H 0注2如何决策？统计上的显著性（明察秋毫，0.4s =稳定， 6.105s =不稳定）不同于应用上的显著性。