2020年全国普通高等学校招生统一考试理科数学试卷 全国Ⅲ卷(含答案)

2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（含答案解析）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合2{1,0,1,2}{|1}A B x x =-=≤，，则A B = A ．{}1,0,1-B ．{}0,1C ．{}1,1-D ．{}0,1,2【答案】A 【难度】容易 【点评】本题考查集合之间的运算关系，即包含关系.在高一数学强化提高班上学期课程讲座1，第一章《集合》中有详细讲解，其中第02节中有完全相同类型题目的计算.在高考精品班数学（理）强化提高班中有对集合相关知识的总结讲解. 2．若(1i)2i z +=，则z = A ．1i -- B ．1+i -C ．1i -D ．1+i【答案】D 【难度】容易【点评】本题考查复数的计算。

在高二数学（理）强化提高班下学期，第四章《复数》中有详细讲解，其中第02节中有完全相同类型题目的计算。

在高考精品班数学（理）强化提高班中有对复数相关知识的总结讲解。

3．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为A ．0.5B ．0.6C ．0.7D ．0.8【答案】C 【难度】容易【点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第十四章《概率》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。

一、选择题1.已知集合*{(,)|,,}A x y x y N y x =∈≥，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B 中元素的个数为（ ）A.2B.3C.4D.6【答案】C【解析】{(4,4),(3,5),(2,6)(1,7)}A B =，有4个元素，故选C.2.复数113i -的虚部是（ ）A.310-B.110-C.110D.310【答案】D【解析】1131313(13)(13)10i ii i i ++==--+，故选D. 3.在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为1p ，2p ，3p ，4p ，且411i i p ==∑，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是 （ ）A.14p p ==30.1=C.14p p ==30.2= 【答案】B等，都为选项中，大部分数4.Logistic 0.23(53)()1t KI t e --=+，其中K *t 约为 （ ）（ln193≈A.60 69 【答案】C1319≈-，∴*66t ≈. 5.设O 为坐标原点，直线2x =与抛物线C ：22(0)y px p =>交于D ，E 两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为 （ ） A.1(,0)4 B.1(,0)2 C.(1,0) D.(2,0)【答案】B【解析】不妨设(2,4)D p ，(2,E ，∵OD OE ⊥，∴440OD OE p ⋅=-=，解得1p =，故抛物线C 的方程为22y x =，其焦点坐标为1(,0)2.6.已知向量a ，b 满足||5a =，||6b =，6a b ⋅=-，则cos ,a a b <+>=（ ）A.3135-B.1935-C.1735D.1935【答案】D【解析】由2()||25619a a b a a b ⋅+=+⋅=-=，又22||27a b a a b b +=+⋅+=，所以()1919cos ,5735||||a a b a a b a a b ⋅+<+>===⨯⋅+，故选D.7.在ABC ∆中，2cos ,4,33C AC BC ===，则cos B = （ ）A.19B.13C.12D.23【答案】A【解析】由余弦定理可知：2222222||||||34||cos 32||||234BC AC AB AB C BC AC +-+-===⋅⨯⨯，可得|| 3 AB =，又由余弦定理可知222222||||||3341cos 2||||2339AB BC AC B AB BC +-+-===⋅⨯⨯. 故选A.8.如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是 （ ）A.6+ B. C. D.4+【答案】C棱PC ⊥底面ABC 606=+︒C.9.已知2tan tan()74πθθ-+=，则tan θ= （ ）A.2-B.1-C.1D.2 【答案】D【解析】由题可知1tan 2tan 71tan θθθ+-=-，化解得：22tan 2tan 1tan 77tan θθθθ---=-，解得tan 2θ=.故选D.10.若直线l 与曲线y 和圆2215x y +=都相切，则l 的方程为 （ ）A.21y x =+B.122y x =+C.112y x =+ D.1122y x =+ 【答案】D【解析】由y =得y '=假设直线l与曲线y =相切于点0(x ， 则直线l的方程为0)y x x =-，即00x x -+=.由直线l 与圆2215x y +==，解得01x =，故直线l 的方程为210x y -+=，即1122y x =+. 11.设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F.P 是C 上一点，且12F P F P ⊥.若12PF F ∆的面积为4，则a = （ ） A.1D.8 【答案】 A【解析】法一：设1PF m =，则12142PF F S mn ∆==，又ce a=a 所以24tan 45b ︒=又因为c e a ==12.已知5458<，45138<.设5，8，13，则 （ ）A.a b c <<B.b a c <<C.b c a <<D.c a b <<【答案】A【解析】易知,,(0,1)a b c ∈，由2225555558log 3(log 3log 8)(log 24)2log 3log 8log 54144a b +==⋅<==<知a b <， 因为8log 5b =，13log 8c =，所以85,138b c ==，即554485,138b c ==， 又因为544558,138<<，所以445541385813c b b =>=>，即b c <， 综上所述：a b c <<.故选：A. 二、填空题13.若x ，y 满足约束条件0201x y x y x +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩，则32z x y =+的最大值为________.【答案】7【解析】作出可行域如图所示，由32z x y =+知3122y x z =-+，由图可知，当目标函数过点(1,2)A 时，取得最大值，即max 7z =.14.262()x x+的展开式中常数项是________（用数字作答）.【答案】240【解析】因为2(6)123r r r r r r r ---240.15.________.【答案】3锥的母线长为，可得OD BCOS BS =322r -23316.关于函数1()sin sin f x x x=+. ①()f x 的图像关于y 轴对称； ②()f x 的图像关于原点对称；③()f x 的图像关于直线2x π=对称；④()f x 的最小值为2.其中所有真命题的序号是________. 【答案】②③【解析】对于①，由sin 0x ≠可得函数的定义域为{|,}x x k k Z π≠∈，故定义域关于原点对称，由11()sin()sin ()sin()sin f x x x f x x x-=-+=--=--，所以该函数为奇函数，关于原点对称，①错②对；对于③，11()sin()sin ()sin()sin f x x x f x x xπππ-=-+=+=-，所以()f x 关于2x π=对称，③对；对于④，令sin t x =，则[1,0)(0,1]t ∈-，由双勾函数1()f t t t=+的性质，可知()(,2][2,)f t ∈-∞-⋃+∞，所以()f x 无最小值，④错.三、解答题17.设数列{}n a 满足13a =，134n n a a n +=-. （1）计算23,a a .猜想的通项公式并加以证明；（2）求数列{2}n n a 的前n 项和n S .【解析】（1）由13a =，134n n a a n +=-，21345a a =-=﹐323427a a =-⨯=，… 猜想{}n a 的通项公式为21n a n =+. 利用数学归纳法证明：（i ）当1,2,3n =时，显然成立；（ii ）假设()n k k N *=∈时猜想成立，即21k a k =+，则1n k =+时，1343(21)42(1)1k k a a k k k k +=-=+-=++， 所以1n k =+时猜想也成立， 综上（i ）（ii ），所以21n a n =+. （2）令2(2n n n b a ==则12n n S b b b =+++2323252n S =⨯+⨯+由①-②得，1322(21)2n n n S n +-=+⨯+⨯，化简得(21)2n S n =-⨯18.某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻的人次，整理数据得到下表（单位：天）：（1）分別估计该市一天的空气质量等级为1,2,3,4的概率；（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的值计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”，根据所给数据.完成下面的22⨯列联表.并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，.【解析】（1）根据上面的统计数据，可得：该市一天的空气质量等级为1的概率为2162543100100++= 该市一天的空气质量等级为2的概率为5101227100100++=，该市一天的空气质量等级为3的概率为67821100100++=， 该市一天的空气质量等级为4的概率为7209100100++=. （2）由题意，计算得1000.203000.355000.45350x =⨯+⨯+⨯=， 即一天中到该公园锻炼的平均人次的值计值为350. （3）22⨯列联表如下：由表中数据可得：22100(3383722)K ⨯⨯-⨯所以有95%. 19.如图，在长方体1上且112,2DE ED BF FB ==（1）证明：点1C （2）若12,1,3AB AD AA ===，求二面角1A EF A --的正弦值.【解析】（1）在1AA 上取一点M ，使得12A M AM =，分别连接EM ，1B M ，1EC ， 1FC .在长方体1111ABCD A B C D -中，有111////DD AA BB ，且111 DD AA BB ==， 又12DE ED =，12A M AM =，12BF FB =，所以1DE AM FB ==， 所以四边形1B FAM 和四边形EDAM 都是平行四边形. 所以1//AF MB 且1AF MB =，//AD ME 且AD ME =，又在长方体1111ABCD A B C D -中，有11//AD B C ，且11AD B C =，所以11//B C ME 且11B C ME =，则四边形11B C EM 为平行四边形， 所以11//EC MB ， 所以1//AF EC ，所以点1C ，在平面AEF 内.（2）在长方形1111ABCD A B C D -中，以1C 为原点，11C D 所在直线为x 轴，11C B 的直线为y 轴，1C C 2AB =，1AD =，13AA =所以(2,1,3)A ，E (2,1,0)，则(2,1,EF =-(0,1,1)=--，1(0,1,2)A E =-1111(,,)n x y z =，则1100n EF n AE ⎧⋅=⎧⎪⇒⎨⎨⋅=⎩⎪⎩，取法向量1(1,1,1)n =-，设平面1A EF 22(,n x =，则2222210200n EF z y z n A E ⎧⋅==⎪⇒⎨-+=⋅=⎪⎩，取法向量2(1,4,n =所以121212142cos ,||||321n n n n n n ⋅+-<>==⋅⋅设二面角1A EF A -为θ，则42sin 7， 即二面角1A EF A -的正弦值为20.已知椭圆222:1(05)25x y C m m +=<<，A ，B 分别为C 的左、右顶点.（1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ ∆的面积.【解析】（1）c e a ==22516m =，∴C 的方程：221612525x y +=. （2）设直线BP ：(5)y k x =-，与椭圆C 联立可得：2222(116)160400250k x k x k +-+-=.设00(,)P x y ，则202400255116k x k -=+，∴202805116k x k-=+，∴0210||5|116PB x k =-+. ∵BP BQ ⊥，∴直线BQ ：1(5)y x k=--.令6x =，1y k =-，∴1(6,)Q k -，||BQ =∵||||BP BQ =，∴214k =或2164k =. 根据椭圆的对称性，只需讨论12k =和18k =的情况，当12k =时，03x =，||PQ =PQ 点A 到直线PQ 11122APQ S PQ d ∆=.||⋅=当18k =时，03x =-||PQ =∴点A 到直线PQ ∴21|2APQ S PQ d ∆=.|⋅综上52APQ S ∆=.21.设函数3()f x x bx c =++，曲线()y f x =在点11(,())22f 处的切线与y 轴垂直.（1）求b ；（2）若()f x 有一个绝对值不大于1的零点，证明：()f x 所有零点的绝对值都不大于1.【解析】（1）2()3f x x b '=+，又曲线()y f x =在点11(,())22f 处的切线与y 轴垂直，∴13()024f b '=+= ，解得34b =-.（2）设0x 为()f x 的一个零点，且011x -≤≤，由题意可知30034c x x =-+，令33()(11)4x x x x ϕ=-+-≤≤，则11()3()()22x x x ϕ'=-+，此时1(1,)2x ∈--，()0x ϕ'<，()x ϕ单调递减；11(,)22x ∈-，()0x ϕ'>，()x ϕ单调递增；1(,1)2x ∈，()0x ϕ'<，()x ϕ单调递减，则1(1)4f -=，11()24f -=-，11()24f =，1(1)4f =-，此时1144c -≤≤，再设1x 为()f x 的零点，则31113()04f x x x c =-+=，311131444x x -≤-+≤，整理得2111211(1)(1)01(1)()0x x x x x ⎧-++≤⎪⎨+-≥⎪，解得111x -≤≤， 则()f x 四、选做题（2选1）22.在直角坐标系xOy 1t ≠），C 与坐标轴交于,A B （1）求||AB ；（2的极坐标方程. 【解析】（1）当x =,求得12y =;当0y =时,求得2t =或t (0,12)和(4,0)-,||AB （2）由（1）得直线3120x y -+=,故直线AB 23.设a ，b ，c R ∈，（1）证明：ab bc ++（2）用max{,,}a b c 表示a ，b ，c的最大值，证明：max{,,}a b c ≥. 【解析】（1）∵0a b c ++=，∴()c a b =-+，222()()2cb bc ca ab a b c ab a b ab a b ab ++=++=-+=---223()024b a b =-+-<.（2）∵0a b c ++=，∴()c a b =-+，∵1abc =，∴()1ab a b -+=，即：2210ba b a ++=，∵0b ≠，则440b b ∆=-≥. 不妨设b 为max{,,}a b c ，则340b -≥，即b ≥，∴max{,,}a b c ≥。

2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A=(){}*,,,x y x y N y x ∈≥，B=(){},8x y x y +=，则A B 中元素个数为A. 2B. 3C. 4D. 6解：有下列（1，7）（2，6）（3，8）（4，4）2.复数113i -的虚部是 A. 310- B. 110- C. 110D. 310解：1131313101010i z i i +===+-3.在一组样本数据中，1,2,3,4出现的频率分别为1p ，2p ，3p ，4p ，且411i i p ==∑，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是 A. 14230.1,0.4p p p p ==== B ．14230.4,0.1p p p p ==== C ．14230.2,0.3p p p p ==== D ．14230.3,0.2p p p p ==== 解：B4. Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数()t I （t 的单位：天）的Logistic 模型：()()0.23531--=+t K I t e，其中K 为的最大确诊病例数.当()0.95I t K *=时，标志着已初步遏制疫情，则t *约为（ln19≈3）A.60B.63C.66D.69()()()()()0.23530.23530.2353-10.951100511====1995951930010.2353=3,53132323153136623解：则，则------==++--===+≈t t t KI t Kee e t t t5. 设O 为坐标原点，直线2x =与抛物线2:2(0)=>C y px p 交于D ，E 两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为A. (14,0)B. (12,0)C. (1,0)D. (2,0)1212222122212124y y 0又由点在曲线2上y =4,y =4(y y )16,y y 44,1OD OEOD OE y px p p P p p →→⊥•=+====-=-=6. 已知向量a,b 满足5a =，6b =，·6a b =-，则cos(,)a a b += A. 3135-B. 1935-C. 1735D. 1935222解：（）=++2253612497()19cos(,)5735a b a b a b a b a a b a a a ba ab a a b+•=+-=+=•+•+•+===⨯+7. 在△ABC 中，2cos =3C ，4AC =，3BC =,则cos B =A. 19B. 13C. 12D. 23222222222解：由余弦定理得：AB =AC +BC -2AC BC cos 216924393AB 3由余弦定理得：AB AC3341cosB=23392AB BCC BC=+-⨯⨯⨯==+-+-==⨯⨯8. 右图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是 A. 6+42 B. 442+ C. 623+ D. 423+表面积122221222sin 602323S VAB S VAC S ABC S VBC S ∆∆∆∆===⨯⨯==⨯⨯⨯= 9.已知2tan tan()74πθθ-+=，则tan θ=A. -2B. -1C. 1D. 222221tan 解：原式=2tan 71tan 则2tan -2tan -1-tan 77tan 则2tan -8tan +8=0则tan -4tan +4=（tan 2)0则tan 2θθθθθθθθθθθθθ+-=-=--==10.若直线l 与曲线y x =2215x y +=都相切，则l 的方程为 A. 21y x =+ B. 122y x =+ C. 112y x =+ D. 1122y x =+设00000000000设的切点P(x ,x )(x 0)111,,则切线方程为：y-x (x )222化为：-2x 0x 1又与圆相切则：d=x 114x 511直线方程为：y=22y x y k x 解：xx x x x y x =>'===-+==⇒=+∴+11. 设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F , 2F ，离心率为5. P 是C 上一点，且12F P F P ⊥.若△12PF F 的面积为4，则a=A ．1B ．2C ．4D ．82222121212121222212121212222222222解：,则+=（2c)414,82又-=2a,-24164,4又5,54,1,1PF PF PF PF cS PF F PF PF PF PFPF PF PF PF PF PF PF PFc a c ace c a a a a aa∆⊥=====+-=-=-===⇒=-===12. 已知5458<，45138<，设5a log3=，8b=log5，13c log8=，则A. a b c<<B. b a c<<C. b c a<<D. c a b<<5445544588131381381325822222解;58,138,则log5log8,log13log8445log54,45log8;log5,log8,则55lg3lg5lg3lg8lg5log3log5lg5lg8lg5lg8lg3lg8lg24lg252lg5lg30,lg80,lg3lg8()()()()lg52222c ba b<<<<<<<>>•--=-=-=•+>>•<=<== 0,a b a b-<<二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年普通高等学校招生全国统一考试（III 卷） 理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A=(){}*,,,x y x y N y x ∈≥，B=(){},8x y x y +=，则A B 中元素个数为 A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 2.复数113i-的虚部是 A. 310-B. 110-C. 110D. 3103.在一组样本数据中，1,2,3,4出现的频率分别为1p ，2p ，3p ，4p ，且411i i p ==∑，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是 A. 14230.1,0.4p p p p ==== B ．14230.4,0.1p p p p ==== C ．14230.2,0.3p p p p ==== D ．14230.3,0.2p p p p ====4. Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数()t I （t 的单位：天）的Logistic 模型：()()0.23531t K I t e--=+，其中K 为的最大确诊病例数.当()0.95I t K *=时，标志着已初步遏制疫情，则t *约为（ln19≈3） A.60 B.63 C.66 D.695. 设O 为坐标原点，直线2x =与抛物线2:2(0)C y px p =>交于D ，E 两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为A. (14,0)B. (12,0)C. (1,0)D. (2,0)6. 已知向量a,b 满足5a =，6b =，·6a b =-，则cos(,)a a b +=A. 3135- B. 1935-C. 1735D. 19357. 在△ABC 中，2cos =3C ，4AC =，3BC =,则cos B =A. 19B. 13C. 12D. 238. 右图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是 A. 6+42 B. 442+ C. 623+ D. 423+9.已知2tan tan()74πθθ-+=，则tan θ=A. -2B. -1C. 1D. 210.若直线l 与曲线y x =和圆2215x y +=都相切，则l 的方程为 A. 21y x =+ B. 122y x =+ C. 112y x =+ D. 1122y x =+11. 设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F , 2F ，离心率为5. P 是C 上一点，且12F P F P ⊥.若△12PF F 的面积为4，则a=A ．1B ．2C ．4D ．812. 已知5458<，45138<，设5a log 3=，8b=log 5，13c log 8=，则 A. a b c << B. b a c << C. b c a << D. c a b <<二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。