2019年《·高考总复习》数学：第三章 第3讲 三角函数的图象与性质

解析： f(x)＝1－cos24x－π2＝12－12sin 4x， ∴T＝24π＝π2.
答案：
π 2
3．(2010·北京卷)已知函数f(x)＝2cos 2x＋sin2x－4cos x.
(1)求fπ3的值； (2)求f(x)的最大值和最小值．
解析： (1)fπ3＝2cos23π＋sin23π－4cosπ3 ＝－1＋34－2＝－94.
∴f(x)为奇函数，∴f(x)的图象关于原点对称．
答案： B
4．比较大小，sin－1π8________sin－1π0.
解析： 因为y＝sin x在－π2，0上为增函数且－1π8＞－1π0， 故sin－1π8＞sin－1π0. 答案： ＞
5．函数y＝sinx＋π3，x∈0，π3的值域是________．
【变式训练】 3.(1)求函数y＝sin π3－ห้องสมุดไป่ตู้x ，x∈[－π，π]的单调递减 区间；
(2)求y＝3tanπ6－4x的周期及单调区间．
解析： (1)由 y＝sinπ3－2x得 y＝－sin2x－π3， 由－π2＋2kπ≤2x－π3≤π2＋2kπ 得 －1π2＋kπ≤x≤152π＋kπ，k∈Z. 又 x∈[－π，π]， ∴－π≤x≤－172π，－1π2≤x≤152π，1112π≤x≤π. ∴函数 y＝sinπ3－2x，x∈[－π，π]的单调递减区间为－π，－172π， －1π2，152π，1112π，π.
D.x|x≠kπ＋34π，k∈Z，x∈R
解析： ∵x－π4≠kπ＋2π，∴x≠kπ＋34π，k∈Z. 答案： D
3．(2010·陕西卷)对于函数f(x)＝2sin xcos x，下列选项中正确的是 ()
A．f(x)在π4，π2上是递增的 B．f(x)的图象关于原点对称 C．f(x)的最小正周期为2π D．f(x)的最大值为2 解析： ∵f(x)＝2sin xcos x＝sin 2x，

考点2 三角函数的对称性
例2：(1)函数y＝cos2x＋π3图象的对称轴方程可能是(
)
A．x＝－π6
B．x＝－1π2
C．x＝6π
D．x＝1π2
解析：(1)令2x＋
π 3
＝kπ(k∈Z)，得x＝
kπ 2
－
π 6
(k∈Z)，令k＝
0，得该函数的一条对称轴为x＝－6π.
答案：A
(2)函数y＝sin3x－4π的图象的一ห้องสมุดไป่ตู้对称中心是(
(0,0)，π2，1，(π，0)，32π，－1，(2π，0)． (2)y＝cosx的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (0,1)，π2，0，(π，－1)，32π，0，(2π，1)．
2．三角函数的图象和性质
函数
y＝sinx
y＝cosx
定义域
R
R
y＝tanx
x|
xk2,kZ
图象
值域
[－1,1]
2．使 cosx＝1－m 有意义的 m 值为( C )
A．m≥0
B．m≤0
C．0≤m≤2
D．－2≤m≤0
3．(2013 年上海)既是偶函数又在区间(0，π)上单调递减的
函数是( B )
A．y＝sinx
B．y＝cosx
C．y＝sin2x
D．y＝cos2x
4．函数 y＝5tan(2x＋1)的最小正周期为( B )
【规律方法】本题主要考查函数 y＝Asin(wx＋φ)的图象特 征，正弦函数的值域与最值.解题关键在于将已知的函数表达式 化为三角函数模型，再根据此三角函数模型的图象与性质进行 解题即可.
【互动探究】 3．已知函数 f(x)＝2cos2x＋sin2x－4cosx.

(2)函数 y＝sin(－3x＋ 4 )，x∈R 在什么区间上是增函数？
第九页，共18页。
(2015·重庆卷)已知函数 f(x)＝sinπ2 －xsin x－ 3cos2x. (1)求 f(x)的最小正周期和最大值； (2)讨论 f(x)在π6 ，23π上的单调性．
第十页，共18页。
解：(1)f(x)＝sinπ2 －xsin x－ 3cos2x
答案：(1)A (2)B
第十五页，共18页。
1．判断三角函数的奇偶性和周期性时，一般先将三角函数式化 为一个角的一种三角函数，再根据函数奇偶性的概念与规律、三角函 数的周期公式求解．
2．对于函数 y＝Asin(ωx＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点 或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线 x＝x0 或点 (x0，0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验 f(x0)的值进行 判断．
第五页，共18页。
(2015·课标全国Ⅰ卷) 函数 f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则 f(x)的单调递减 区间为( )
第六页，共18页。
A.kπ－41，kπ＋34，k∈Z B.2kπ－14，2kπ＋34，k∈Z C.k－14，k＋34，k∈Z D.2k－14，2k＋34，k∈Z 命题立意：本题考查余弦函数的图象与单调性；求函数解析式的 过程考查了推理论证能力，求单调区间则考查了运算求解能力．
)
A．2 或 0
B．－2 或 2
C．0
D．－2 或 0
第十四页，共18页。
解析：(1)y＝2cos2x－π4 －1＝cos2x－π2 ＝sin 2x 为奇函数， 最小正周期 T＝2π 2 ＝π.
(2)因为函数 f(x)＝2sin(ωx＋φ)对任意 x 都有 fπ6 ＋x＝fπ6 －x， π

������ ������ ������
y=Asin(ωx+ φ) + k 的最小正周期 T=|������|
( 3) 函数 y=Asin( ωx+ φ)+ k 的最大值是| A| + k, 最小值是-| A| + k. 3.余弦型函数 y=Acos(ωx+ φ)+ k 的图象与性质类似 y=Asin(ωx+ φ)+ k 的图象 与性质. 4.正切型函数 y=Atan(ωx+ φ)+ k 的最小正周期是 T=|������|.
������ ������
������
在[ -������ + 2kπ, + 2kπ] k∈Z 在[ -π+ 2kπ, 2kπ] k∈Z 上 ������ 上递增; 单调 递增; ������ ������������ 性 在[������ + 2kπ, + 2kπ] 在[ 2kπ, π+ 2kπ] k∈Z 上
( 3) 由 y=3sin2x-4cos2x=5sin( 2x-φ)
������������ ∴T= ������ =π
【点评】 用辅助公式将函数转化为正弦型函数 y=Asin(ωx+ φ) , 然后求最大、最小值和周期.
【例 3】 函数
������ ������ y=cosx(-������≤x≤������)的值域为
【解】 列表如下:
( 3) y=sin2x
������ ������ 2 -1 ������ ������ ������ ������ ������ ������ 1
( 4) y= sinx
������ ������
x