2019届高三数学(文)一轮复习导学案及达标训练：第19讲三角函数的图象与性质

第三章三角函数 (1)第一节角的概念与任意角的三角函数 (2)第二节同角三角函数的基本关系式与诱导公式 (9)第三节三角函数的图象与性质 (16)第四节函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的应用 (24)第五节和角公式 (37)第六节倍角公式与半角公式 (45)第七节正弦定理和余弦定理 (53)第八节正弦定理、余弦定理的应用举例 (61)第三章三角函数知识网络：学习重点：三角函数是高考命题的重点，分值约占10%～15%，一般是一个小题和一个大题，以中低档题为主．1．主要考查三角函数的图象与性质，简单的三角恒等变换，正、余弦定理及其应用，且题目常考常新．2．客观题主要涉及三角函数的求值，函数的图象及性质，解答题主要以三角变换为工具，综合考查函数的图象与性质；或以正、余弦定理为工具，结合三角变换考查解三角形的有关知识．3．高考命题中，本章常与平面向量相结合，既可以考查平面向量的运算，又可以考查三角函数式的化简和三角函数的性质，符合高考命题“要在知识点的交汇处命题”的要求.学法指导：1.立足基础，着眼于提高．立足课本，牢固掌握三角函数的概念、图象和性质；弄清每个公式成立的条件，公式间的内在联系及公式的变形、逆用等．要在灵、活、巧上下功夫，切不可死记硬背．2．突出数学思想方法．应深刻理解数与形的内在联系，理解众多三角公式的应用无一不体现等价转化思想．在解决三角函数的问题时仔细体会拆角、切化弦、三角函数归一的方法技能．3．抓住关键，三角函数的化简、求值中，要熟练掌握三角变换公式的应用，其中角的变换是解题的关键，注意已知与待求中角的关系，力争整体处理．4．注意三角函数与向量等内容的交汇渗透，这也是命题的热点之一.第一节 角的概念与任意角的三角函数学习目标：1.了解任意角的概念，了解弧度制的概念． 2．能进行弧度与角度的互化．3．理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义 考点梳理：1．角的有关概念(1)从运动的角度看，角可分为正角、负角和零角． (2)从终边位置来看，可分为象限角与轴线角．(3)若β与α是终边相同的角，则β用α表示为β＝2k π＋α(k ∈Z )． 2．弧度与角度的互化 (1)1弧度的角长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角． (2)角α的弧度数在半径为r 的圆中，弧长为l 的弧所对圆心角为αrad ，则α＝lr. (3)角度与弧度的换算①n °＝n π180rad ；②α rad ＝(180απ)°.(4)弧长、扇形面积的公式设扇形的弧长为l ，圆心角大小为α(rad)，半径为r ，则l ＝rα，扇形的面积为S ＝12lr ＝12r 2α.3．任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x.(2)三角函数在各象限的符号一全正，二正弦，三正切，四余弦． 4．单位圆与三角函数线(1)单位圆：半径为1的圆叫做单位圆． (2)三角函数线． (3)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)． 思考：1．“角α为锐角”是“角α为第一象限角”的什么条件？ 【提示】 充分不必要条件．2．终边在直线y ＝x 上的角的正弦值相等吗？【提示】 当角的终边一个在第一象限，一个在第三象限时，正弦值不相等． 学情自测：1．已知锐角α终边上一点A 的坐标是(2sin π3，2cos π3)，则α弧度数是( )A ．2 B.π3 C.π6 D.2π3【解析】 点A 的坐标为(3，1)． ∴sin α＝132＋1＝12，又α为锐角，∴α＝π6.【答案】C12．(2012·江西高考)下列函数中，与函数y＝定义域相同的函数为( )3xA ．y ＝1sin x B ．y ＝ln x xC ．y ＝x e xD ．y ＝sin x x【解析】 函数y ＝13x的定义域为{x |x ≠0}，选项A 中由sin x ≠0⇒x ≠k π，k ∈Z ，故A 不对；选项B 中x >0，故B 不对；选项C 中，x ∈R ，故C 不对；选项D 中由正弦函数及分式型函数的定义域确定方法可知定义域为{x |x ≠0}，故选D.【答案】 D3．若sin α＜0且tan α＞0，则α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角【解析】 由sin α＜0，得α在第三、四象限或y 轴非正半轴上，又tan α＞0，∴α在第三象限．【答案】 C4．弧长为3π，圆心角为135°的扇形半径为________，面积为________．【解析】 ∵l ＝3π，α＝135°＝3π4，∴r ＝l α＝4，S ＝12lr ＝12×3π×4＝6π.【答案】 4 6π5．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴．若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________.【解析】 由三角函数的定义，sin θ＝y16＋y2，又sin θ＝－255＜0，∴y ＜0且y 16＋y2＝－255， 解之得y ＝－8. 【答案】 －8 典例探究：例1（角的集合表示）(1)写出终边在直线y ＝3x 上的角的集合； (2)已知α是第三象限角，求α2所在的象限．【思路】(1)角的终边是射线，应分两种情况求解．(2)把α写成集合的形式，从而α2的集合形式也确定．【解答】 (1)当角的终边在第一象限时，角的集合为{α|α＝2k π＋π3，k ∈Z }，当角的终边在第三象限时，角的集合为{α|α＝2k π＋43π，k ∈Z }，故所求角的集合为{α|α＝2k π＋π3，k ∈Z }∪{α|α＝2k π＋43π，k ∈Z }＝{α|α＝k π＋π3，k ∈Z }．(2)∵2k π＋π＜α＜2k π＋32π(k ∈Z )，∴k π＋π2＜α2＜k π＋34π(k ∈Z )．当k ＝2n (n ∈Z )时，2n π＋π2＜α2＜2n π＋34π，α2是第二象限角， 当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，2n π＋3π2＜α2＜2n π＋74π，α2是第四象限角，综上知，当α是第三象限角时，α2是第二或第四象限角,变式训练1：若角θ的终边与π3角的终边相同，则在[0,2π)内终边与角θ3的终边相同的角为________．【解析】 ∵θ＝π3＋2k π(k ∈Z )，∴θ3＝π9＋23k π(k ∈Z )，当k ＝0,1,2时，θ3＝π9，7π9，13π9.【答案】 π9，7π9，13π9例2（弧度制的应用）已知扇形的圆心角是α，半径为R ，弧长为l .(1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长l . (2)若扇形的周长为20 cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？(3)若α＝π3，R ＝2 cm ，求扇形的弧所在的弓形的面积．【思路】(1)可直接用弧长公式，但要注意用弧度制；(2)可用弧长或半径表示出扇形面积，然后确定其最大值时的半径和弧长，进而求出圆心角α；(3)利用S 弓＝S 扇－S △，这样就需要求扇形的面积和三角形的面积．【解答】 (1)l ＝10×π3＝10π3(cm)．(2)由已知得：l ＋2R ＝20，所以S ＝12lR ＝12(20－2R )R ＝10R －R 2＝－(R －5)2＋25，所以R ＝5时，S 取得最大值25，此时l ＝10，α＝2 rad. (3)设弓形面积为S 弓．由题知l ＝2π3cm ，S 弓＝S 扇－S △＝12×2π3×2－12×22×sin π3＝(2π3－3)(cm 2)变式训练2：已知半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10，(1)求弦AB 所对的圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形弧长l 及弧所在的弓形的面积S . 【解】(1)在△AOB 中，AB ＝OA ＝OB ＝10，∴△AOB 为等边三角形．因此弦AB 所对的圆心角α＝π3.(2)由扇形的弧长与扇形面积公式，得l ＝α·R ＝π3×10＝103π，S 扇形＝12R ·l ＝12α·R 2＝50π3.又S △AOB ＝12·OA ·OB ·sin π3＝25 3.∴弓形的面积S ＝S 扇形－S △AOB ＝50(π3－32).例3（三角函数的定义）(1)已知角α的终边经过点P (m ，－3)，且cos α＝－45，则m 等于( )A ．－114 B.114C ．－4D ．4(2)已知角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，求sin α，cos α，tan α的值．【思路】(1)求出点P 到原点O 的距离，根据三角函数的定义求解．(2)在直线上设一点P (4t ，－3t )，求出点P 到原点O 的距离，根据三角函数的定义求解，由于点P 可在不同的象限内，所以需分类讨论．【解答】 (1)点P 到原点O 距离|OP |＝m 2＋9，∴cos α＝m m 2＋9＝－45，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝16m ＜0，∴m ＝－4.【答案】 C(2)在直线3x ＋4y ＝0上任取一点P (4t ，－3t )(t ≠0)， 则x ＝4t ，y ＝－3t ，∴r ＝|PO |＝x 2＋y 2＝4t 2＋－3t 2＝5|t |， 当t ＞0时，r ＝5t ，sin α＝y r ＝－3t 5t ＝－35，cos α＝x r ＝4t 5t ＝45，tan α＝y x ＝－3t 4t ＝－34；当t ＜0时，r ＝－5t ，sin α＝y r ＝－3t －5t ＝35，cos α＝x r ＝4t －5t ＝－45，tan α＝y x ＝－3t 4t ＝－34.综上可知，当t ＞0时，sin α＝－35，cos α＝45，tan α＝－34.当t ＜0时，sin α＝35，cos α＝－45，tan α＝－34.变式训练3：设90°＜α＜180°，角α的终边上一点为P (x ，5)，且cos α＝24x ，求4sin α－3tanα的值．【解】 ∵r ＝x 2＋5，∴cos α＝xx 2＋5， 从而24x ＝xx 2＋5，解得x ＝0或x ＝± 3. ∵90°＜α＜180°，∴x ＜0，因此x ＝－ 3.则r ＝22，∴sin α＝522＝104，tan α＝5－3＝－153.故4sin α－3tan α＝10＋15.小结：一条规律三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 两个技巧1.在利用三角函数定义时，点P 可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点．2．利用单位圆和三角函数线是解简单三角不等式的常用技巧． 三点注意1.第一象限角、锐角、小于90°的角是三个不同的概念，前者是象限角，后两者是区间角．2．角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．3．注意熟记0°～360°间特殊角的弧度表示，以方便解题．课后作业(十六) 角的概念与任意角的三角函数一、选择题图3－1－21．(2013·宁波模拟)如图3－1－2，在直角坐标系xOy 中，射线OP 交单位圆O 于点P ，若∠AOP ＝θ，则点P 的坐标是( )A ．(cos θ，sin θ)B ．(－cos θ，sin θ)C ．(sin θ，cos θ)D ．(－sin θ，cos θ)【解析】 设P (x ，y )，由三角函数定义知sin θ＝y ，cos θ＝x ，故点P 的坐标为(cos θ，sin θ)．【答案】 A2．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是( )A ．2B ．sin 2 C.2sin 1D ．2sin 1【解析】 由题设，圆弧的半径r ＝1sin 1，∴圆心角所对的弧长l ＝2r ＝2sin 1.【答案】 C3．(2013·海淀模拟)若α＝k ·360°＋θ，β＝m ·360°－θ(k ，m ∈Z )，则角α与β的终边的位置关系是( )A ．重合B ．关于原点对称C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称【解析】 由题意知角α与角θ的终边相同，角β与角－θ的终边相同，又角θ与角－θ的终边关于x 轴对称，故选C.【答案】 C4．若角α的终边在直线y ＝－2x 上，且sin α＞0，则cos α和tan α的值分别为( )A.55，－2 B ．－55，－12 C ．－255，－2 D ．－55，－2【解析】 由题意知，角α的终边在第二象限，在角α的终边上取点P (－1,2)，则r ＝5，从而cos α＝－15＝－55，tan α＝2－1＝－2，故选D.【答案】 D5．(2013·昆明模拟)设α是第二象限角，P (x,4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan α＝( )A.43B.34 C ．－34 D ．－43【解析】 由题意知x ＜0，r ＝x 2＋16，∴cos α＝x x 2＋16＝15x ，∴x 2＝9，∴x ＝－3，∴tan α＝－43.【答案】 D6．已知点P (sin 3π4，cos 34π)在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( )A.π4B.3π4C.5π4D.7π4 【解析】 由已知得P (22，－22)，∴tan θ＝－1且θ是第四象限角，∴θ＝7π4. 【答案】 D二、填空题7．(2013·潍坊模拟)若角120°的终边上有一点(－4，a )，则a 的值是________． 【解析】 由题意知－a4＝tan 120°，∴－a4＝－3，∴a ＝4 3.【答案】 438．已知角α的终边落在直线y ＝－3x (x ＜0)上，则|sin α|sin α－|cos α|cos α＝________.【解析】 因为角α的终边落在直线y ＝－3x (x ＜0)上， 所以角α是第二象限角，因此sin α＞0，cos α＜0， 故|sin α|sin α－|cos α|cos α＝sin αsin α－－cos αcos α＝1＋1＝2. 【答案】 29．点P 从(1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为________．【解析】 由题意知点Q 是角2π3的终边与单位圆的交点，设Q (x ，y )，则y ＝sin2π3＝32，x ＝cos 2π3＝－12，故Q (－12，32)． 【答案】 (－12，32)三、解答题10．已知角θ的终边上有一点P (x ，－1)(x ≠0)，且tan θ＝－x ，求sin θ＋cos θ的值．【解】 ∵θ的终边过点(x ，－1)(x ≠0)，∴tan θ＝－1x，又tan θ＝－x ，∴x 2＝1，∴x ＝±1.当x ＝1时，sin θ＝－22，cos θ＝22， 因此sin θ＋cos θ＝0；当x ＝－1时，sin θ＝－22，cos θ＝－22，因此sin θ＋cos θ＝－ 2.11．已知扇形OAB 的圆心角α为120°，半径长为6， (1)求AB 的长；(2)求AB 所在弓形的面积．【解】 (1)∵α＝120°＝2π3，r ＝6，∴AB 的长l ＝2π3×6＝4π. (2)∵S 扇形OAB ＝12lr ＝12×4π×6＝12π，S △ABO ＝12r 2·sin2π3＝12×62×32＝93， ∴S 弓形＝S 扇形OAB －S △ABO ＝12π－9 3.12．角α终边上的点P 与A (a,2a )关于x 轴对称(a ＞0)，角β终边上的点Q 与A 关于直线y ＝x 对称，求sin α·cos α＋sin β·cos β＋tan α·tan β的值．【解】 由题意得，点P 的坐标为(a ，－2a )， 点Q 的坐标为(2a ，a )．所以，sin α＝－2a a 2＋－2a 2＝－25，cos α＝a a 2＋－2a 2＝15， tan α＝－2aa＝－2，sin β＝a 2a 2＋a 2＝15， cos β＝2a 2a 2＋a 2＝25， tan β＝a 2a ＝12，故有sin α·cos α＋sin β·cos β＋tan α·tan β ＝－25·15＋15·25＋(－2)×12＝－1.第二节 同角三角函数的基本关系式与诱导公式学习目标：1.理解同角三角函数的基本关系式：sin 2x ＋cos 2x ＝1，sin x cos x＝tan x .2．能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.考点梳理：1．同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1.(2)商数关系：tan α＝sin αcos α(α≠π2＋k π，k ∈Z )．组数 一 二 三四五 角 α＋2k π(k∈Z ) －αα＋(2k ＋1)π(k ∈Z )α＋π2－α＋π2正弦 sin α －sin_α －sin_α cos_α cos_α 余弦 cos α cos_α －cos_α －sin_α sin_α正切 tan α－tan_α tan_α口诀函数名不变符号看象限思考：1．有人说sin(kπ－α)＝sin(π－α)＝sin α(k∈Z)，你认为正确吗？【提示】不正确．当k＝2n(n∈Z)时，sin(kπ－α)＝sin(2nπ－α)＝－sin α；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，sin(k π－α)＝sin(2n π＋π－α)＝sin(π－α)＝sin α. 2．sin(－π－α)如何使用诱导公式变形？【提示】 sin(－π－α)＝－sin(π＋α)＝sin α.学情自测：1．已知cos(α－π)＝－513，且α是第四象限角，则sin α＝( )A ．－1213 B.1213 C.512 D ．±1213【解析】 ∵cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cos α＝－513，∴cos α＝513，又α是第四象限角，∴sin α＜0，则sin α＝－1－cos 2α＝－1213.【答案】 A2．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|＜π2，则θ等于( )A ．－π6B ．－π3 C.π6 D.π3【解析】 由sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)得 －sin θ＝－3cos θ， ∴tan θ＝3，又|θ|＜π2，∴θ＝π3，故选D.【答案】 D3．sin 585°的值为( )A ．－22 B.22 C ．－32 D.32【解析】 sin 585°＝sin(360°＋225°)＝sin 225°＝sin(180°＋45°)＝－sin 45°＝－22.【答案】 A4．若cos α＝－35且α∈(π，3π2)，则tan α＝( )A.34B.43 C ．－34 D ．－43【解析】 ∵cos α＝－35，且α∈(π，3π2)，∴sin α＝－1－cos 2α＝－1－－352＝－45，∴tan α＝sin αcos α＝43.【答案】 B5．(2012·辽宁高考)已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则sin 2α＝( )A ．－1B ．－22 C.22 D ．1【解析】 因为sin α－cos α＝2，所以1－2sin αcos α＝2，即sin 2α＝－1.【答案】A典例探究：例1（同角三角函数关系式的应用）(1)(2013·潍坊模拟)已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则sin 2α－sin αcos α的值是( )A.25 B ．－25C ．－2D ．2 (2)(2013·银川模拟)已知α∈(π，3π2)，tan α＝2，则cos α＝________.【思路】 (1)先根据已知条件求得tan α，再把所求式变为用tan α表示的式子求解；(2)切化弦，结合sin 2α＋cos 2α＝1求解．【解答】 (1)由sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，得tan α＋33－tan α＝5，即tan α＝2.所以sin 2α－sin αcos α＝sin 2α－sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－tan αtan 2α＋1＝25. (2)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧tan α＝sin αcos α＝2，sin 2α＋cos 2α＝1，由此解得cos 2α＝15；又α∈(π，3π2)，因此cos α＝－55.【答案】 (1)A (2)－55, 变式训练1：(2012·大纲全国卷)已知α为第二象限角，sin α＝35，则sin 2α＝( )A ．－2425B ．－1225 C.1225 D.2425【解析】 ∵α为第二象限角且sin α＝35，∴cos α＝－1－sin 2α＝－45，∴sin 2α＝2sin α·cos α＝2×35×(－45)＝－2425.【答案】 A例2（诱导公式的应用） (1)已知tan α＝2，sin α＋cos α＜0，则sin 2π－α·sin π＋α·cos π＋αsin 3π－α·cos π＋α＝________.(2)已知α为第三象限角，f (α)＝sin α－π2·cos 3π2＋α·tan π－αtan －α－π·sin －α－π，①化简f (α)；②若cos(α－3π2)＝15，求f (α)的值．【思路】(1)先利用诱导公式对原式进行化简，再根据tan α＝2，结合α的范围和同角三角函数关系式求解；(2)①直接利用诱导公式化简约分．②利用α在第三象限及同角三角函数关系的变形式得f (α)．【解答】 (1)原式＝－sin α·－sin α·－cos α－sin α·cos α＝sin α，∵tan α＝2＞0，∴α为第一象限角或第三象限角．又sin α＋cos α＜0，∴α为第三象限角，由tan α＝sin αcos α＝2，得sin α＝2cos α代入sin 2α＋cos 2α＝1，解得sin α＝－255.【答案】 －255(2)①f (α)＝sin α－π2·cos 3π2＋α·tan π－αtan －α－π·sin －α－π＝－cos α·sin α·－tan α－tan α·sin α＝－cos α.②∵cos(α－3π2)＝15，∴－sin α＝15，从而sin α＝－15.又α为第三象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－265，∴f (α)＝265.变式训练2：(1)(2013·烟台模拟)sin 600°＋tan 240°的值等于( )A ．－32 B.32 C.3－12 D.3＋12(2)(2013·台州模拟)已知f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)＋4(a ，b ，α，β为非零实数)，若f (2 012)＝5，则f (2 013)＝( ) A ．3 B ．5 C ．1 D ．不能确定【解析】 (1)sin 600°＋tan 240°＝sin(360°＋240°)＋tan(180°＋60°)＝sin(180°＋60°)＋tan 60°＝－sin 60°＋tan 60°＝－32＋3＝32.(2)∵f (2 012)＝a sin(2 012π＋α)＋b cos(2 012π＋β)＋4 ＝a sin α＋b cos β＋4＝5， ∴a sin α＋b cos β＝1，∴f (2 013)＝a sin(2 013π＋α)＋b cos(2 013π＋β)＋4＝－a sin α－b cos β＋4＝－(a sin α＋b cos β)＋4＝－1＋4＝3. 【答案】 (1)B (2)A例3（sin α±cos α与sin α·cos α的关系）(2013·扬州模拟)已知－π＜x ＜0，sin x ＋cos x ＝15.(1)求sin x －cos x 的值； (2)求sin 2x ＋2sin 2x1－tan x的值．【思路】(1)利用平方关系，设法沟通sin x －cos x 与sin x ＋cos x 的关系；(2)先利用倍角公式、商数关系式化为角x 的弦函数，再设法将所求式子用已知表示出来．【解答】(1)由sin x ＋cos x ＝15，平方得sin 2x ＋2sin x cos x ＋cos 2x ＝125，整理得2sin x cos x ＝－2425.∵(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ＝4925.又∵－π＜x ＜0，∴sin x ＜0，又sin x ＋cos x ＞0， ∴cos x ＞0，sin x －cos x ＜0，7 5.故sin x－cos x＝－(2)sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x ＝2sin x cos x ＋sin x 1－sin xcos x＝2sin x cos x cos x ＋sin x cos x －sin x ＝－2425×1575＝－24175.变式训练3：已知－π2＜x ＜0，sin x ＋cos x ＝15.(1)求sin x －cos x 的值； (2)求tan x 的值．【解】(1)由sin x ＋cos x ＝15，平方得sin 2x ＋2sin x cos x ＋cos 2x ＝125，即2sin x cos x ＝－2425，∵(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ＝4925.又∵－π2＜x ＜0，∴sin x ＜0，cos x ＞0，sin x －cos x ＜0，故sin x －cos x ＝－75.(2)由(1)得sin x －cos x ＝－75，故由⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＋cos x ＝15sin x －cos x ＝－75，得sin x ＝－35，cos x ＝45，∴tan x ＝sin x cos x ＝－3545＝－34.小结：一个口诀诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限． 两个防范1.利用诱导公式进行化简求值时，要注意函数名称和符号的确定．2．在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要注意判断三角函数值的符号．三种方法在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝sin αcos α进行弦、切互化．(2)和积转换法：利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化．(3)巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ＝cos 2θ(1＋tan 2θ)＝tan π4等．课后作业(十七) 同角三角函数的基本关系式与诱导公式一、选择题1．(2013·郑州模拟)记cos(－80°)＝k ，那么tan 100°＝( )A.1－k2kB ．－1－k2kC.k1－k 2 D ．－k1－k2【解析】 由cos(－80°)＝k ，得cos 80°＝k ，∴sin 80°＝1－k 2，∴tan 100°＝tan(180°－80°)＝－tan 80°＝－1－k2k.【答案】 B2．(2013·温州模拟)若cos(π2＋θ)＝32，且|θ|＜π2，则tan θ＝( )A ．－ 3 B.33 C ．－33D.3 【解析】 ∵cos(π2＋θ)＝32，∴－sin θ＝32，即sin θ＝－32， ∵|θ|＜π2，∴θ＝－π3，∴tan θ＝tan(－π3)＝－ 3.【答案】 A3．(2013·济南模拟)已知α∈(－π2，0)，sin(－α－3π2)＝55则sin(－π－α)＝( )A.55B.255 C ．－55 D ．－255【解析】 ∵sin(－α－3π2)＝－sin(3π2＋α)＝cos α＝55，且α∈(－π2，0)，∴sin α＝－1－cos 2α＝－1－525＝－255， ∴sin(－π－α)＝－sin(π＋α)＝sin α＝－255.【答案】 D4．(2013·保定模拟)已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝( )A ．－43 B.54 C ．－34 D.45【解析】 sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ ＝tan 2θ＋tan θ－2tan 2θ＋1＝4＋2－24＋1＝45. 【答案】 D5．(2013·普宁模拟)若sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，则sin θcos 3θ＋cos θsin 3θ的值为( ) A ．－81727 B.81727 C.82027 D ．－82027【解析】 ∵sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，∴sin θ＝3cos θ，∴sin θcos 3θ＋cos θsin 3θ＝3cos 2θ＋127cos 2θ＝8227cos 2θ由⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝3cos θ，sin 2θ＋cos 2θ＝1得cos 2θ＝110，∴sin θcos 3θ＋cos θsin 3θ＝82027. 【答案】 C6．若sin α是5x 2－7x －6＝0的根，则sin －α－3π2sin 3π2－αtan 22π－αcos π2－αcos π2＋αsin π＋α＝( )A.35B.53C.45D.54【解析】 方程5x 2－7x －6＝0的两根为x 1＝－35，x 2＝2，则sin α＝－35.原式＝cos α－cos αtan 2αsin α－sin α－sin α＝－1sin α＝53.【答案】 B 二、填空题7．已知sin(π4＋α)＝32，则sin(3π4－α)的值为________．【解析】 sin(3π4－α)＝sin[π－(π4＋α)]＝sin(π4＋α)＝32.【答案】328．(2013·青岛模拟)已知tan α＝2，则7sin 2α＋3cos 2α＝________.【解析】 7sin 2α＋3cos 2α＝7sin 2α＋3cos 2αsin 2α＋cos 2α＝7tan 2α＋3tan 2α＋1＝7×22＋322＋1＝315. 【答案】 3159．已知sin(x ＋π6)＝14，则sin(7π6＋x )＋cos 2(5π6－x )＝________.【解析】 原式＝－sin(π6＋x )＋cos 2(π6＋x )＝－14＋(1－142)＝1116.【答案】 1116三、解答题10．已知函数f (x )＝1－sin x －3π2＋cos x ＋π2＋tan 34πcos x.(1)求函数y ＝f (x )的定义域；(2)设tan α＝－43，求f (α)的值．【解】 (1)由cos x ≠0，得x ≠π2＋k π，k ∈Z ，所以函数的定义域是{x |x ≠π2＋k π，k ∈Z }．(2)∵tan α＝－43，∴f (α)＝1－sin α－3π2＋cos α＋π2＋tan 34πcos α＝1－cos α－sin α－1cos α＝－cos α－sin αcos α＝－1－tan α＝13.11．已知tan(α＋87π)＝a .求证：sin 157π＋α＋3cos α－137πsin 207π－α－cos α＋227π＝a ＋3a ＋1. 【证明】 由已知得左边＝sin[π＋α＋87π]＋3cos[α＋8π7－3π]sin[4π－α＋87π]－cos[2π＋α＋87π]＝－sin α＋87π－3cos α＋87π－sin α＋87π－cos α＋87π＝tan α＋87π＋3tan α＋87π＋1＝a ＋3a ＋1＝右边，所以原等式成立．12．在△ABC 中，若sin(2π－A )＝－2sin(π－B )，3cos A ＝－2cos(π－B )，求△ABC 的三个内角．【解】 由已知得⎩⎨⎧sin A ＝2sin B ， ①3cos A ＝2cos B ， ②①2＋②2得2cos 2A ＝1，即cos A ＝22或cos A ＝－22.(1)当cos A ＝22时，cos B ＝32， 又A 、B 是三角形的内角，∴A ＝π4，B ＝π6，∴C ＝π－(A ＋B )＝712π.(2)当cos A ＝－22时，cos B ＝－32. 又A 、B 是三角形的内角，∴A ＝34π，B ＝56π，不合题意．综上知，A ＝π4，B ＝π6，C ＝712π.第三节三角函数的图象与性质学习目标：1.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性．2．理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x 轴的交点等)，理解正切函数在区间(－π2，π2)内的单调性.考点梳理：1．周期函数和最小正周期对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得定义域内的每一个x 值，都满足f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期．若在所有周期中，存在一个最小的正数，那么这个最小的正数叫做f (x )的最小正周期．y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan xπ1．是否每一个周期函数都有最小正周期？【提示】 不一定．如常数函数f (x )＝a ，每一个非零数都是它的周期．2．正弦函数和余弦函数的图象的对称轴及对称中心与函数图象的关键点是什么关系？ 【提示】 y ＝sin x 与y ＝cos x 的对称轴方程中的x 都是它们取得最大值或最小值时相应的x .对称中心的横坐标都是它们的零点． 学情自测：1．函数y ＝tan 3x 的定义域为( )A ．{x |x ≠32π＋3k π，k ∈Z }B ．{x |x ≠π6＋k π，k ∈Z }C ．{x |x ≠－π6＋k π，k ∈Z }D ．{x |x ≠π6＋k π3，k ∈Z }【解析】 由3x ≠π2＋k π，k ∈Z 得x ≠π6＋k π3，k ∈Z ，故选D.【答案】 D2．函数f (x )＝2cos(x ＋5π2)是( ) A ．最小正周期为2π的奇函数B ．最小正周期为2π的偶函数C ．最小正周期为2π的非奇非偶函数D ．最小正周期为π的偶函数【解析】 f (x )＝2cos(x ＋52π)＝2cos(x ＋π2)＝－2sin x ，故f (x )是最小正周期为2π的奇函数．【答案】 A3．(2012·福建高考)函数f (x )＝sin(x －π4)的图象的一条对称轴是( ) A ．x ＝π4 B ．x ＝π2C ．x ＝－π4D ．x ＝－π2【解析】 法一 ∵正弦函数图象的对称轴过图象的最高点或最低点，故令x －π4＝k π＋π2，k ∈Z ，∴x ＝k π＋3π4，k ∈Z . 取k ＝－1，则x ＝－π4. 法二 x ＝π4时，y ＝sin(π4－π4)＝0，不合题意，排除A ；x ＝π2时，y ＝sin(π2－π4)＝22，不合题意，排除B ；x ＝－π4时，y ＝sin(－π4－π4)＝－1，符合题意，C 项正确；而x ＝－π2时，y ＝sin(－π2－π4)＝－22，不合题意，故D 项也不正确． 【答案】 C 4．比较大小：sin(－π18)________sin(－π10)． 【解析】 ∵－π2＜－π10＜－π18＜0， ∴sin(－π18)＞sin(－π10)． 【答案】 ＞5．函数y ＝2－3cos(x ＋π4)的最大值为________，此时x ＝________. 【解析】 当cos(x ＋π4)＝－1时，函数有最大值5， 此时，x ＋π4＝π＋2k π，k ∈Z ， 即x ＝34π＋2k π，k ∈Z . 【答案】 5 34π＋2k π，k ∈Z 典例探究：例1（三角函数的定义域和值域）(1)(2012·山东高考)函数y ＝2sin(πx 6－π3)(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( ) A ．2－ 3 B ．0C ．－1D ．－1－3(2)函数y ＝1tan x －1的定义域为________． 【思路】(1)先确定πx 6－π3的范围，再数形结合求最值； (2)由tan x －1≠0且x ≠k π＋π2，k ∈Z 求解． 【解答】 (1)∵0≤x ≤9，∴－π3≤π6x －π3≤7π6， ∴sin(π6x －π3)∈[－32，1]． ∴y ∈[－3，2]，∴y max ＋y min ＝2－ 3.(2)要使函数有意义，必须有⎩⎪⎨⎪⎧ tan x －1≠0，x ≠π2＋k π，k ∈Z ，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ≠π4＋k π，k ∈Z ，x ≠π2＋k π，k ∈Z .故函数的定义域为{x |x ≠π4＋k π且x ≠π2＋k π，k ∈Z }． 【答案】 (1)A (2){x |x ≠π4＋k π且x ≠π2＋k π，k ∈Z }, 变式训练1：(1)函数y ＝2sin x －1的定义域为________．(2)当x ∈[π6，7π6]时，函数y ＝3－sin x －2cos 2x 的最小值是________，最大值是________． 【解析】 (1)由2sin x －1≥0得sin x ≥12，∴2k π＋π6≤x ≤2k π＋5π6，k ∈Z ， 故函数的定义域为[2k π＋π6，2k π＋56π](k ∈Z )． (2)∵x ∈[π6，76π] ∴－12≤sin x ≤1， 又y ＝3－sin x －2cos 2x ＝2sin 2x －sin x ＋1＝2(sin x －14)2＋78， ∴当sin x ＝14时，y min ＝78， 当sin x ＝1或－12时，y max ＝2. 【答案】 (1)[2k π＋π6，2k π＋5π6](k ∈Z ) (2)782 例2（三角函数的单调性）(2012·北京高考)已知函数f (x )＝sin x －cos x sin 2x sin x. (1)求f (x )的定义域及最小正周期；(2)求f (x )的单调递减区间．【思路】(1)求定义域时考虑分母不为零，然后对f (x )解析式进行化简，转化成正弦型函数的形式，再求周期；(2)求单调递减区间时利用整体代换，把ωx ＋φ当作一个整体放入正弦的减区间内解出x即为减区间，不要忽略对定义域的考虑．【解答】(1)由sin x≠0得x≠kπ(k∈Z)，故f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ，k∈Z}．因为f(x)＝sin x－cos x sin 2xsin x＝2cos x(sin x－cos x)＝sin 2x －cos 2x －1＝2sin(2x －π4)－1， 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)函数y ＝sin x 的单调递减区间为[2k π＋π2，2k π＋3π2](k ∈Z )． 由2k π＋π2≤2x －π4≤2k π＋3π2，x ≠k π(k ∈Z )， 得k π＋3π8≤x ≤k π＋7π8(k ∈Z )． 所以f (x )的单调递减区间为[k π＋3π8，k π＋7π8](k ∈Z )． 变式训练2:(2013·武汉模拟)已知函数y ＝sin(π3－2x )，求： (1)函数的周期；(2)求函数在[－π，0]上的单调递减区间．【解】由y ＝sin(π3－2x )可化为y ＝－sin(2x －π3)． (1)周期T ＝2πω＝2π2＝π. (2)令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z . 所以x ∈R 时，y ＝sin(π3－2x )的减区间为[k π－π12，k π＋5π12]，k ∈Z . 取k ＝－1,0可得函数在[－π，0]上的单调递减区间为[－π，－7π12]和[－π12，0]. 例3（三角函数的奇偶性、周期性和对称性）设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2)，给出以下四个论断： ①它的最小正周期为π；②它的图象关于直线x ＝π12成轴对称图形； ③它的图象关于点(π3，0)成中心对称图形； ④在区间[－π6，0)上是增函数． 以其中两个论断作为条件，另两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题________(用序号表示即可)．【思路】本题是一个开放性题目，依据正弦函数的图象及单调性、周期性以及对称性逐一判断．【解答】若①、②成立，则ω＝2ππ＝2；令2·π12＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，且|φ|＜π2，故k ＝0，∴φ＝π3.此时f (x )＝sin(2x ＋π3)，当x ＝π3时，sin(2x ＋π3)＝sin π＝0，∴f (x )的图象关于(π3，0)成中心对称；又f (x )在[－5π12，π12]上是增函数，∴在[－π6，0)上也是增函数，因此①②⇒③④，用类似的分析可得①③⇒②④.因此填①②⇒③④或①③⇒②④.【答案】①②⇒③④或①③⇒②④,变式训练3：已知函数f (x )＝sin(πx －π2)－1，则下列说法正确的是( ) A ．f (x )是周期为1的奇函数B ．f (x )是周期为2的偶函数C ．f (x )是周期为1的非奇非偶函数D ．f (x )是周期为2的非奇非偶函数【解析】周期T ＝2ππ＝2，f (x )＝sin(πx －π2)－1＝－cos πx －1，因此函数f (x )是偶函数，故选B.【答案】 B小结：两条性质1.若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω≠0)，则(1)f (x )为偶函数的充要条件是φ＝π2＋k π(k ∈Z )； (2)f (x )为奇函数的充要条件是φ＝k π(k ∈Z )．2．对称性：正、余弦函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形且最值点在对称轴上，正切函数的图象只是中心对称图形．三种方法求三角函数值域(最值)的方法：(1)利用sin x 、cos x 的有界性；(2)化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，逐步分析ωx ＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；(3)换元法：把sin x 或cos x 看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题．课后作业(十八) 三角函数的图象与性质一、选择题1．(2013·银川模拟)下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线x ＝π3对称的函数是( )A ．y ＝2sin(2x ＋π3)B ．y ＝2sin(2x －π6)C ．y ＝2sin(x 2＋π3) D ．y ＝2sin(2x －π3) 【解析】根据函数的最小正周期为π，排除C ，又图象关于直线x ＝π3对称，则f (π3)＝2或f (π3)＝－2，代入检验知选B. 【答案】 B2．函数y ＝tan(π4－x )的定义域是( ) A ．{x |x ≠π4} B ．{x |x ≠－π4} C ．{x |x ≠k π＋π4，k ∈Z } D ．{x |x ≠k π＋3π4，k ∈Z }【解析】y ＝tan(π4－x )＝－tan(x －π4)，由x －π4≠π2＋k π，k ∈Z ，得x ≠n π＋3π4，k ∈Z ，故选D.【答案】 D3．函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为( )A ．[－1,1]B ．[－54，－1]C ．[－54，1]D ．[－1，54] 【解析】 f (x )＝(sin x ＋12)2－54， ∵sin x ∈[－1,1]，∴－54≤f (x )≤1， ∴f (x )的值域为[－54，1]． 【答案】 C4．(2013·日照质检)函数y ＝sin 2x 的图象向右平移φ(φ＞0)个单位，得到的图象关于直线x ＝π6对称，则φ的最小值为( ) A.5π12 B.11π6 C.11π12D ．以上都不对 【解析】 函数y ＝sin 2x 的图象平移后所得图象对应的函数解析式为y ＝sin 2(x －φ)＝sin(2x －2φ)，其图象关于x ＝π6对称，所以2·π6－2φ＝k π＋π2(k ∈Z )，解得φ＝－k 2π－π12(k ∈Z )，故当k ＝－1时，φ的最小值为5π12. 【答案】 A5．(2013·北京模拟)已知函数f (x )＝sin x ＋3cos x ，设a ＝f (π7)，b ＝f (π6)，c ＝f (π3)，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＜b ＜c B ．c ＜a ＜bC ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a【解析】 ∵f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2sin(x ＋π3)， ∴函数f (x )的图象关于直线x ＝π6对称，从而f (π3)＝f (0)， 又f (x )在[0，π6]上是增函数，∴f (0)＜f (π7)＜f (π6)，即c ＜a ＜b . 【答案】 B6．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω＞0，－π＜φ≤π.若f (x )的最小正周期为6π，，且当x ＝π2时，f (x )取得最大值，则( ) A ．f (x )在区间[－2π，0]上是增函数B ．f (x )在区间[－3π，－π]上是增函数C ．f (x )在区间[3π，5π]上是减函数D ．f (x )在区间[4π，6π]上是减函数【解析】 ∵T ＝6π，∴ω＝2πT ＝2π6π＝13， ∴13×π2＋φ＝2k π＋π2， ∴φ＝2k π＋π3(k ∈Z )． ∵－π＜φ≤π，∴令k ＝0得φ＝π3.∴f (x )＝2sin(x 3＋π3)． 令2k π－π2≤x 3＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，则6k π－5π2≤x ≤6k π＋π2，k ∈Z .易知f (x )在区间[－2π，0]上是增函数． 【答案】 A 二、填空题7．(2013·延吉模拟)已知f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，f (α)＝A ，f (β)＝0，|α－β|的最小值为π3，则正数ω＝________.【解析】 由|α－β|的最小值为π3知函数f (x )的周期T ＝43π，∴ω＝2πT ＝32.【答案】 328．已知函数f (x )＝3sin(ωx －π6)(ω＞0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同，若x ∈[0，π2]，则f (x )的取值范围是________．【解析】 依题意得ω＝2，所以f (x )＝3sin(2x －π6)．因为x ∈[0，π2]，所以2x －π6∈[－π6，56π]，所以sin(2x －π6)∈[－12，1]，所以f (x )∈[－32，3]．【答案】 [－32，3]9．已知函数f (x )＝cos x sin x (x ∈R )，给出下列四个命题： ①若f (x 1)＝－f (x 2)，则x 1＝－x 2； ②f (x )的最小正周期是2π；③f (x )在区间[－π4，π4]上是增函数；④f (x )的图象关于直线x ＝3π4对称．其中真命题是________．【解析】 f (x )＝12sin 2x ，当x 1＝0，x 2＝π2时，f (x 1)＝－f (x 2)，但x 1≠－x 2，故①是假命题；f (x )的最小正周期为π，故②是假命题；当x ∈[－π4，π4]时，2x ∈[－π2，π2]，故③是真命题；因为f (3π4)＝12sin 32π＝－12，故f (x )的图象关于直线x ＝34π对称，故④是真命题．【答案】 ③④ 三、解答题10．已知函数f (x )＝sin x cos x ＋sin 2x ，(1)求f (π4)的值；(2)若x ∈[0，π2]，求f (x )的最大值及相应的x 值．【解】 (1)∵f (x )＝sin x cos x ＋sin 2x ，∴f (π4)＝sin π4cos π4＋sin 2π4＝(22)2＋(22)2＝1.(2)f (x )＝sin x cos x ＋sin 2x ＝12sin 2x ＋1－cos 2x 2＝12(sin 2x －cos 2x )＋12＝22sin(2x －π4)＋12， 由x ∈[0，π2]得2x －π4∈[－π4，3π4]，所以，当2x －π4＝π2，即x ＝38π时，f (x )取到最大值为2＋12.11．设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π＜φ＜0)，y ＝f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝π8， (1)求φ；(2)求函数y ＝f (x )的单调增区间．【解】 (1)∵直线x ＝π8是函数f (x )图象的一条对称轴，∴2×π8＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，即φ＝π4＋k π，k ∈Z ，又－π＜φ＜0，∴φ＝－34π.(2)由(1)知f (x )＝sin(2x －34π)，令－π2＋2k π≤2x －34π≤π2＋2k π，k ∈Z ，得π8＋k π≤x ≤5π8＋k π，k ∈Z . 因此y ＝f (x )的单调增区间为[π8＋k π，58π＋k π]，k ∈Z .12．(2013·潍坊模拟)已知向量a ＝(A sin ωx ，A cos ωx )，b ＝(cos θ，sin θ)，f (x )＝a ·b ＋1，其中A ＞0，ω＞0，θ为锐角．f (x )的图象的两个相邻对称中心的距离为π2，且当x ＝π12时，f (x )取得最大值3. (1)求f (x )的解析式；(2)将f (x )的图象先向下平移1个单位，再向左平移φ(φ＞0)个单位得g (x )的图象，若g (x )为奇函数，求φ的最小值．【解】 (1)f (x )＝a ·b ＋1＝A sin ωx ·cos θ＋A cos ωx ·sin θ＋1＝A sin(ωx ＋θ)＋1，∵f (x )的图象的两个相邻对称中心的距离为π2，∴T ＝π＝2πω，∴ω＝2.∵当x ＝π12时，f (x )的最大值为3，∴A ＝3－1＝2，且有2·π12＋θ＝2k π＋π2(k ∈Z )．∴θ＝2k π＋π3，∵θ为锐角，∴θ＝π3.∴f (x )＝2sin(2x ＋π3)＋1.(2)由题意可得g (x )的解析式为g (x )＝2sin[2(x ＋φ)＋π3]，∵g (x )为奇函数，∴2φ＋π3＝k π，φ＝k π2－π6(k ∈Z )，∵φ＞0，∴当k ＝1时，φ取最小值π3.第四节 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及三角函数模型的应用学习目标：1.了解函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的物理意义；能画出y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，了解参数A ，ω，φ对函数图象变化的影响．2．了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题. 考点梳理：1．2.3.由(1)先平移后伸缩 (2)先伸缩后平移思考：1．五点作法作y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，首先确定哪些数据？【提示】 先确定ωx ＋φ，即先使ωx ＋φ等于0，π2，π，3π2，2π，然后求出x的值．2．在图象变换时运用“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”两种途径，向左或向右平移的单位个数为什么不一样？【提示】 可以看出，前者平移|φ|个单位，后者平移|φω|个单位，原因在于相位变换和周期变换都是针对变量x 而言的，因此在用这样的变换法作图象时一定要注意平移与伸缩的先后顺序，否则会出现错误． 学情自测：1．已知简谐运动f (x )＝2sin(π3x ＋φ)(|φ|＜π2)的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为( )A ．T ＝6，φ＝π6B ．T ＝6，φ＝π3C ．T ＝6π，φ＝π6D ．T ＝6π，φ＝π3【解析】 由题意知f (0)＝2sin φ＝1，∴sin φ＝12，又|φ|＜π2，∴φ＝π6，又T ＝6，故选A.【答案】 A2．把y ＝sin 12x 的图象上点的横坐标变为原来的2倍得到y ＝sin ωx 的图象，则ω的值为( )A ．1B ．4 C.14D ．2【解析】 横坐标变为原来的2倍，则x 变为12x ，故得到的函数解析式为y ＝sin 14x ，故选C.【答案】 C3．将函数y ＝sin x 的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把所π10个单位，得到图象的函数解析式为( )得图象上所有的点向右平行移动A ．y ＝sin(2x －π10)B ．y ＝sin(2x －π20)C ．y ＝sin(12x －π10)D ．y ＝sin(12x －π20)【解析】 将y ＝sin x 的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到的图象解析式为y ＝sin 12x ，再把所得图象上所有点向右平移π10个单位，得到的图象解析式为y ＝sin 12(x －π10)＝sin(12x －π20)．【答案】 D4．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图3－4－1所示，则( )图3－4－1A ．ω＝1，φ＝π6B ．ω＝1，φ＝－π6C ．ω＝2，φ＝π6D ．ω＝2，φ＝－π6【解析】 由图象知A ＝1，T ＝4(712π－π3)＝π，∴2πω＝π，ω＝2，排除A ，B ，再由2×π3＋φ＝π2，得φ＝－π6. 【答案】 D5．(2012·安徽高考)要得到函数y ＝cos(2x ＋1)的图象，只要将函数y ＝cos 2x 的图象( )A ．向左平移1个单位B ．向右平移1个单位C ．向左平移12个单位D ．向右平移12个单位【解析】 ∵y ＝cos(2x ＋1)＝cos 2(x ＋12)，∴只要将函数y ＝cos 2x 的图象向左平移12个单位即可，故选C.【答案】 C 典例探究：例1（函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象变换）(1)(2012·浙江高考)把函数y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是( )(2)(2013·大连模拟)设ω＞0，函数y ＝sin(ωx ＋π3)＋2的图象向右平移4π3个单位后与原图象重合，则ω的最小值是( )A.23B.43C.32D ．3 【思路】(1)写出变换后的函数解析式，再根据图象变换找图象；(2)平移后与原图象重合，则平移量是周期的整数倍． 【解答】(1)y ＝cos 2x ＋1――→横坐标伸长2倍纵坐标不变y ＝cos x ＋1――→向左平移1个单位长度y ＝cos(x ＋1)＋1――→向下平移1个单位长度y ＝cos(x ＋1)．结合选项可知应选A.(2)设函数的周期为T ，由题意知kT ＝43π，k ∈Z ，∴T ＝4π3k ，∴ω＝32k ，k ∈Z ，又ω＞0，∴k ＝1时，ω有最小值32，故选C.【答案】 (1)A (2)C 变式训练1：(1)(2013·济南模拟)要得到函数y ＝sin(2x －π3)的图象，只需将函数y ＝sin 2x 的图象( )A ．向左平移π12个单位B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π6个单位D ．向右平移π6个单位(2)(2013·青岛质检)将函数y ＝sin(x －π3)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得图象向左平移π3个单位，则所得函数图象对应的解析式为( )A ．y ＝sin(12x －π3)B ．y ＝sin(2x －π6)C ．y ＝sin 12xD ．y ＝sin(12x －π6)【解析】 (1)∵y ＝sin(2x －π3)＝sin 2(x －π6)，∴只需将函数y ＝sin 2x 的图象向右平移π6个单位即可．(2)将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到y ＝sin(12x －π3)的图象，然后。

考点1三角函数的定义、同角三角函数的基本关系式和诱导公式题组一 利用三角函数的定义求三角函数的值 调研1 已知角α的终边经过点()3,4-,则1sin cos αα+= A ．15-B ．3715C ．3720D ．1315【答案】D【解析】因为角α的终边经过点()3,4-,所以5r ==,则43sin ,cos 55αα=-=,即113sin cos 15αα+=.故选D ．☆技巧点拨☆任意角的三角函数值的求解策略（1）确定三个量 角的终边上异于原点的点的横、纵坐标及该点到原点的距离；（2）若已知角的大小，只需确定出角的终边与以坐标原点为圆心的单位圆的交点的坐标，即可求出该角的三角函数值；（3）检验时，注意各象限三角函数值的正号规律 一全二正弦，三切四余弦.题组二 利用同角三角函数的基本关系式和诱导公式化简求值调研2 已知()0,πα∈,且sin cos αα+,则sin cos αα-的值为 .【解析】因为21(sin cos )12sin cos 2αααα+=+=,所以12sin cos 2αα=-， 又()0,πα∈，所以sin 0,cos 0αα><,则sin cos 0αα->.因为()23sin cos 12sin cos 2αααα-=-=,所以sin cos αα-. 调研3 若πsin 4x ⎛⎫-⎪⎝⎭=15-,则5πcos 4x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值等于A ．B ．15-C ．15D 【答案】C 【解析】因为5ππ3π442x x ++-=,所以5π3ππ424x x ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭.所以5π3ππcos cos 424x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=π1sin 45x ⎛⎫--= ⎪⎝⎭.故选C ．☆技巧点拨☆1．应用诱导公式，重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断．求任意角的三角函数值的问题，都可以通过诱导公式化为锐角三角函数的求值问题，具体步骤为“负角化正角”→“正角化锐角”→求值．2．巧用相关角的关系能简化解题的过程． 常见的互余关系有π3α-与π6α+，π3α+与π6α-，π4α+与π4α-等； 常见的互补关系有π3θ+与2π3θ-，π4θ+与3π4θ-等.考点2 三角函数的图象题组一 已知三角函数的图象求函数的解析式调研1 某函数的部分图象如图所示,则它的函数解析式可能是A ．y =sin(B ．y x-C ．y x+)D ．y =-cos(x+【答案】C【解析】方法一 不妨令该函数解析式为y =A sin(ωx+φ)(A >0,ω>0),由题图知A 即ω是函数的图象递减时经过的零点,于是+φ=2 π+π, ∈ ,所以φ方法二由图象知过点⎝⎛⎭⎫π3，0，代入选项可排除A 、D ．又过点⎝⎛⎭⎫34π，－1，代入B ，C 知C 正确．学 题组二 三角函数的图象变换 调研2函数f (x )=A sin(ωx+φ)(A >0,ω>0,0<φ<π)的图象如图所示,为了得到g (x )=-A cosωx 的图象,可以将f (x )的图象A ．向右平移π12个单位长度 B ．向右平移5π12个单位长度 C ．向左平移π12个单位长度D ．向左平移5π12个单位长度【答案】B【解析】由题图知A =1,7π412T =-ππ34=,所以T =2πω=π,所以ω=2.故f (x )=sin(2x+φ). 因为f (π3)=0,0<φ<π,所以2×π3+φ=π,解得φ=π3, 所以f (x )=sin(2x+π3). 又g (x )=-cos 2x =sin(2x-π2)=sin[ 2(x-5ππ)]123+,所以要想得到g (x )的图象,只需将函数f (x )的图象向右平移5π12个单位长度.故选B. 调研3 若将函数y =3sin(2x+π3)+的图象向右平移π6个单位长度,则平移后图象的对称中心为A ．(π2k +π4,12)( ∈ ) B ．(π2k +π4,0)( ∈ ) C ．(π2k ,12)( ∈ )D ．(π2k ,0)( ∈ )【答案】C 【解析】y =3sin(2x+π3)+12的图象向右平移π6个单位长度得到y =3sin[2(x-π6)+π3]+=3sin 2x+12的图象, 由2x = π, ∈ 得x =π2k , ∈ ,所以对称中心为(π2k ,12)( ∈ ),故选C ．学☆技巧点拨☆作三角函数图象左右平移变换时，平移的单位数是指单个变量x 的变化量，因此由y ＝sin ωx (ω＞0)的图象得到y ＝sin(ωx ＋φ)的图象时，应将图象上所有点向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移|φ|ω个单位，而非|φ|个单位．考点3 三角函数的性质题组一 三角函数的单调性 调研1. (1)求的表达式；(2)(3)的最大值.【解析】(1)由题意得是它的一个对称中心，，, ∴(2)由,的单调递增区间为(3)又在上是减函数, 学，即☆技巧点拨☆1．求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性“同增异减”的规律.2．对于三角函数的定义域有范围限制时，在求单调区间时应给予关注，一定要在定义域范围内研究其单调区间．3．已知三角函数的单调区间求参数的问题，一般先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解.题组二三角函数的值域与最值调研2 求函数f(x)=2sin2x+2sinx∈[π6,5π6]的值域.【解析】令t=sin ,因为x∈[π6,5π6],≤sin ≤1,t≤1.则g(t) =2t2+22-1,t∈[且该函数在,所以g(t)的最小值为g)=1,最大值为g即函数f(x)的值域为[1,学☆技巧点拨☆求解三角函数的值域（最值）的类型与方法（1）形如sin cos y a x b x c =++的三角函数，可先化为()sin y A x ωϕ=+的形式，再求解；（2）形如c x b x a y ++=sin sin 2的三角函数，可先设sin =t ，转化为关于t 的二次函数求解.（3）形如sin cos (sin cos )y a x x b x x c =+±+的三角函数,可先设sin cos ,t x x =±得212sin cos t x x =±,把原解析式化为关于t 的二次函数，再求解.题组三 三角函数的奇偶性、周期性、对称性调研3 已知函数f (x )=sin(ωx x ∈R ,ω>0)的最小正周期为π,将()y f x =的图象向左平移|φ|个单位长度,所得图象关于y 轴对称,则φ的一个值是A ．π2B ．3π8 C ．π4D ．π8【答案】D【解析】由最小正周期为π得ω=2,于是f (x )=sin(2x 其图象向左平移|φ|个单位长度后所对应的函数的解析式为y =sin(2x φ|),由于该函数的图象关于y 轴对称,所以它是偶函数,所以φ|= π ∈ ,所以|φ, ∈ ,故选D ．学调研4 已知函数f (x )＝2sin 2 ＋b sin cos 满足f ⎝⎛⎭⎫π6＝2. (1)求实数b 的值以及函数f (x )的最小正周期；(2)记g (x )＝f (x ＋t )，若函数g (x )是偶函数，求实数t 的值． 【解析】(1)由f ⎝⎛⎭⎫π6＝2，得2×14＋b ×12×32＝2， 解得b ＝2 3.则f (x )＝2sin 2 ＋23sin cos ＝1－cos 2x ＋3sin 2x ＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6， 所以函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)由(1)得π()2sin[2()]16f x t x t +=+-+，所以g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2t －π6＋1， 又函数g (x )是偶函数，则对于任意的实数x ，均有g (－x )＝g (x )成立．所以sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2t －π6＋2x ＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2t －π6－2x ，整理得cos ⎝⎛⎭⎫2t －π6sin 2x ＝0. 则cos ⎝⎛⎭⎫2t －π6＝0，解得2t －π6＝ π＋π2， ∈ ， 所以t ＝kπ2＋π3， ∈ .☆技巧点拨☆1．整体思想在三角函数性质中的应用在求解y ＝A sin(ωx ＋φ)的奇偶性、单调性、对称性及已知区间上的最值问题时往往将ωx ＋φ看作整体，利用y ＝A sin 的图象与性质进行求解．2．三角函数最小正周期的变化仅与自变量x 的系数有关，与其他因素无关. 3．研究三角函数性质时注意数形结合思想的运用．1．（2017-2018学年安徽省六安市第一中学高三上学期第二次月考）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B2．（2017-2018学年福建省德化一中、永安一中、漳平一中高三上学期三校联考）已知ABCD 【答案】B所以2π1cos 2π1sin212cos 42210ααα⎛⎫++ ⎪-⎛⎫⎝⎭+=== ⎪⎝⎭.学 3．（2017-2018学年广东省广州市华南师范大学附属中学高三综合测试）为了得到函数1π3sin 25y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象,只要把13sin 2y x =图象上所有的点A ．向右平移π5个单位长度 B ．向左平移π5个单位长度 C ．向右平移2π5个单位长度D．向左平移2π5个单位长度【答案】C4．（2017-2018学年广西柳州市高三毕业班上学期摸底联考）同时具有以下性质 “①②;③;④的一个函数是AB C D．【答案】C【解析】由最小正周期可排除A;,函数值为0的只有C,排除B,D ．故选C ． 5．(2017河西五市联考)将函数y ＝3cos＋sin(x∈R )的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是A ．π12B ．π6C ．π3D ．5π6【答案】B 【解析】y ＝sin＋3cos＝2sin(x ＋π3)，将其图象向左平移m 个单位后，得到的图象对应的函数解析式为y ＝2sin(x＋m ＋π3)，由题意得m ＋π3＝π2＋ π， ∈ ，则m ＝π6＋ π， ∈ ，故取 ＝0时，m min ＝π6，故选B ．学6．（2017-2018学年辽宁省大连市旅顺中学、旅顺第二高级中学、大连市第三中学高三第二次联考）若函数,则关于正确的是A ．()f x 在5ππ,1212⎛⎫-⎪⎝⎭上是减函数 B ．()f x 在π5π,36⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数C ．()f x 在5ππ,1212⎛⎫-⎪⎝⎭上是增函数 D ．()f x 在π5π,36⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数 【答案】C7．（2018届江苏省泰州中学高三10月月考）__________.【答案】【解析】依题意,4cos 5α==-学8．（2017-2018学年上海市师范大学附属中学高三上学期期中考试）化简()()5πsin πtan 2πcos 2πcot 2αααα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=⎛⎫-- ⎪⎝⎭__________． 【答案】【解析】()()5πsin πtan sin cot 2cot πcos tan cos 2πcot 2ααααααααα⎛⎫-+ ⎪-⎝⎭==-⎛⎫-- ⎪⎝⎭.9．（2017-2018象的一条对称轴是__________．【答案】10．（2017-2018学年河北省衡水中学高三上学期二调考试）已知1211sin π2sin π0510θθ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,__________.∴.学11．（2017-2018学年天津市南开中学高三上学期第一次月考）已知函数()2sin 2(0y x ϕ=+π)ϕ≤<,,则ϕ的值是__________.【解析】由题可得2π2sin 13ϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭,所以2π15πsin sin 326ϕ⎛⎫+== ⎪⎝⎭,解得ϕ12．（2017-2018学年江苏省南京市多校高三上学期第一次段考）的部分图象如图所示,__________．13．（2017-2018学年河北省邢台市高三上学期第二次月考）设函数.(1);(2)当π,π3x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时,.【答案】(1) ()12π3sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；(2) ()332f x -≤≤-.14．（2017-2018学年天津市南开中学高三上学期第一次月考）已知函数()2sin cosf x x x x=+⋅.(1);(2)的所有.【答案】(1) 最小正周期T为π，单调递增区间为5πππ,π,1212k k k⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z.(2)13π3.15．（2017-2018学年黑龙江省佳木斯市第一中学高三上学期第五次调研）已知函数(1)若,求函数图象的对称轴方程;(2)2,最大值是4,.【答案】(1)π5π()212kx k=+∈Z；(2)1,3,ab=⎧⎨=⎩或1,3.ab=-⎧⎨=⎩16．（2017-2018学年广东省中山市第一中学高三第二次统测）已知函数()21cos 2f x x x =-+. (1)当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,求函数()f x 的取值范围;(2)将()f x 的图象向左平移π6个单位得到函数()g x 的图象,求()g x 的单调递增区间. 【答案】(1)1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦;(2)πππ,π,36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z .【解析】(1)()211πcos cos2sin 2226f x x x x x x ⎛⎫=-+=-=- ⎪⎝⎭, 因为π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,ππ5π2,666x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦, 所以π1sin 2,162x ⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,所以函数()f x 的取值范围为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.(2)因为()ππππsin 2sin 26666g x f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦, 所以令πππ2π22π,262k x k k -≤+≤+∈Z ,得ππππ,36k x k k -≤≤+∈Z ， 故()g x 的单调递增区间为πππ,π,36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z . 17．（2017-2018学年江苏省苏州市高三上学期期中调研）已知函数()π1242f x ax ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭(0,0)b a b >>的图象与x 轴相切,且图象上相邻两个最高点之间的距离为π2． (1)求,a b 的值;(2)求()f x 在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．【答案】(1)2a =，12b =-；(2) 最小值为0．∵π0,4x⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,∴ππ5π4,444x⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦,∴当π5π444x+=,即π4x=时,()f x;当ππ442x+=,即π16x=时,()f x取得最小值，为0．1．（2017新课标全国Ⅰ理）已知曲线C1y=cos ，C2y=sin (2x+2π3)，则下面结论正确的是A．把C1上各点的横坐标伸长到原的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2 【答案】D2．（2016新课标全国Ⅲ理）若3tan4α=，则2cos2sin2αα+=A ．6425B ．4825C ．1D ．1625【答案】A【解析】22222cos 4sin cos 14tan 1364cos 2sin 29cos sin 1tan 25116ααααααααα++++====+++.故选A ．3．（2016新课标全国Ⅱ理 ）若将函数y =2sin 2x 的图像向左平移12π个单位长度，则平移后图像的对称轴为A ．x =26k ππ-( ∈ ) B ．x =26k ππ+( ∈ ) C ．x =212k ππ-( ∈ ) D ．x =212k ππ+( ∈ ) 【答案】B4．（2015新课标全国Ⅰ理 ）函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图象如图所示，则()f x 的单调递减区间为A ．13(π,π),44k k k -+∈Z B ．13(2π,2π),44k k k -+∈ZC ．13(,),44k k k -+∈Z D ．13(2,2),44k k k -+∈Z 【答案】D【解析】由图象可知，1π++2π42()53π++2π42m m m ωϕωϕ⎧=⎪⎪∈⎨⎪=⎪⎩Z ，解得=πω，π=+2π()4m m ϕ∈Z ，所以ππ()cos(π+2π)=cos(π)()44f x x m x m =++∈Z ， 令π2ππ2ππ,4k x k k <+<+∈Z ，解得124k -<x <324k +，k ∈Z ，故单调减区间为(124k -，324k +)，k ∈Z ，故选D ． 【名师点睛】本题考查函数cos()y A x ωϕ=+的图象与性质，先列出关于ωϕ，的方程，求出ωϕ，，或利用图象先求出周期，用周期公式求出ω，利用特殊点求出ϕ，再利用复合函数单调性求其单调递减区间，是中档题，正确求出ωϕ，是解题的关键.5．（2016新课标全国I 理 ）已知函数ππ()sin()(0),24f x x+x ，ωϕωϕ=>≤=-为()f x 的零点，π4x =为()y f x =图像的对称轴，且()f x 在π5π()1836，单调，则ω的最大值为 A ．11 B ．9 C ．7 D ．5【答案】B。

高三一轮复习导学案《三角函数》第1课三角函数的概念考试注意：理解任意角的概念、弧度的意义．能正确地进行弧度与角度的换算．掌握终边相同角的表示方法．掌握任意角的正弦、余弦、正切的意义．了解余切、正割、余割的定义．掌握三角函数的符号法则．知识典例：1．角α的终边在第一、三象限的角平分线上，角α的集合可写成．2．已知角α的余弦线是单位长度的有向线段，那么角α的终边( ) A．在x轴上B．在y轴上C．在直线y=x上D．在直线y=－x上．3．已知角α的终边过点p(－5，12)，则cosα} ，tanα= ．4．tan(－3)cot5cos8的符号为．5．若cosθtanθ＞0，则θ是( ) A．第一象限角B．第二象限角C．第一、二象限角D．第二、三象限角【讲练平台】例1 已知角的终边上一点P（－ 3 ，m），且sinθ= 24m，求cosθ与tanθ的值．例2 已知集合E=｛θ｜cosθ＜sinθ，0≤θ≤2π}，F=｛θ｜tanθ＜sinθ}，求集合E∩F．例3 设θ是第二象限角，且满足｜sinθ2|= －sinθ2，θ2是哪个象限的角?【知能集成】注意运用终边相同的角的表示方法表示有关象限角等；已知角的终边上一点的坐标，求三角函数值往往运用定义法；注意运用三角函数线解决有关三角不等式．【训练反馈】1．已知α是钝角，那么α2是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第一与第二象限角D．不小于直角的正角2．角α的终边过点P（－4k，3k）(k＜0}，则cosα的值是（）A．35B．45C．－35D．－453．已知点P(sinα－cosα，tanα)在第一象限，则在［0，2π］内，α的取值范围是( ) A．(π2，3π4)∪(π，5π4) B．(π4，π2)∪(π，5π4)C．(π2，3π4)∪(5π4，3π2) D．(π4，π2)∪(3π4，π)4．若sinx= －35，cosx =45，则角2x的终边位置在( ) A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5．若4π＜α＜6π，且α与－2π3终边相同，则α= ．第 1 页共 14 页第 2 页 共 14 页6． 角α终边在第三象限，则角2α终边在 象限．7．已知｜tanx ｜=－tanx ，则角x 的集合为 ． 8．如果θ是第三象限角，则cos(sin θ)²sin(sin θ)的符号为什么？9．已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形中心角是1弧度，求该扇形面积．第2课 同角三角函数的关系及诱导公式【考点指津】掌握同角三角函数的基本关系式：sin 2α+cos 2α=1，sin αcos α=tan α， 掌握正弦、余弦的诱导公式．能运用化归思想（即将含有较多三角函数名称问题化成含有较少三角函数名称问题）解题 ． 【知识在线】1．sin 2150°+sin 2135°+2sin210°+cos 2225°的值是 ( ) A ． 14 B ． 34 C ． 114 D ． 942．已知sin(π+α)=－35，则 ( )A ．cos α= 45B ．tan α= 34C ．cos α= －45D ．sin(π－α)= 353．已tan α=3，4sin α－2cos α5cos α＋3sin α的值为 ．4．化简1+2sin(π-2)cos(π+2) = ．5．已知θ是第三象限角，且sin 4θ+cos 4θ= 59，那么sin2θ等于 ( )A ．2 23 B ．－2 2 3 C ．23 D ．－ 23【讲练平台】例1 化简 sin(2π-α)tan(π+α)cot(-α-π)cos(π-α)tan(3π-α) ．例2 若sin θcos θ= 18 ，θ∈(π4 ，π2)，求cos θ－sin θ的值．变式1 条件同例， 求cos θ+sin θ的值． 变式2 已知cos θ－sin θ= －32， 求sin θcos θ，sin θ+cos θ的值．例3 已知tan θ=3．求cos 2θ+sin θcos θ的值．【知能集成】第 3 页 共 14 页1．在三角式的化简，求值等三角恒等变换中，要注意将不同名的三角函数化成同名的三角函数．2．注意1的作用：如1=sin 2θ+cos 2θ．3．要注意观察式子特征，关于sin θ、cos θ的齐次式可转化成关于tan θ的式子． 4．运用诱导公式，可将任意角的问题转化成锐角的问题 ．【训练反馈】 1．sin600°的值是 （ ） A ．12 B ．－ 12 C ． 3 2 D ．－ 322． sin(π4+α)sin （π4－α）的化简结果为 （ ）A ．cos2αB ．12cos2αC ．sin2αD ． 12sin2α3．已知sinx+cosx=15，x ∈［0，π］，则tanx 的值是 （ ）A ．－34B ．－ 43C ．±43D ．－34或－434．已知tan α=－13，则12sin αcos α+cos 2α = ．5．1－2sin10°cos10° cos10°－1－cos 2170°的值为 ．6．证明1+2sin αcos α cos 2α－sin 2α =1+ tan α1－tan α．7．已知2sin θ+cos θsin θ－3cos θ=－5，求3cos2θ+4sin2θ的值．8．已知锐角α、β、γ满足sin α+sin γ=sin β，cos α－cos γ=cos β，求α－β的值．第3课 两角和与两角差的三角函数（一）【考点指津】掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，能运用化归思想（将不同角化成同角等）解题．【知识在线】 1．cos105°的值为 （ ） A ．6 ＋ 2 4 B ． 6 － 2 4 C ． 2 － 6 4 D ． － 6 － 242．对于任何α、β∈（0，π2），sin(α+β)与sin α+sin β的大小关系是 （ ） A ．sin(α+β)＞sin α+sin β B ．sin(α+β)＜sin α+sin β C ．sin(α+β)=sin α+sin β D ．要以α、β的具体值而定 3．已知π＜θ＜3π2，sin2θ=a ，则sin θ+cos θ等于 （ ）A ． a+1B ．－ a+1C ． a 2+1D ．±a 2+1 4．已知tan α=13，tan β=13，则cot(α+2β)= ．5．已知tanx=12，则cos2x= ．【讲练平台】第 4 页 共 14 页例1 已知sin α－sin β=－ 13 ，cos α－cos β=12，求cos(α－β)的值 ．例2 求 2cos10°-sin20°cos20°的值 ．例3 已知：sin(α+β)=－2sin β．求证：tan α=3tan(α+β)．【知能集成】审题中，要善于观察已知式和欲求式的差异，注意角之间的关系；整体思想是三角变换中常用的思想． 【训练反馈】1．已知0＜α＜π2＜β＜π，sin α=35，cos(α+β)=－45，则sin β等于 （ ）A ．0B ．0或2425C ． 2425D ．0或－24252． sin7°+cos15°sin8°cos7°－sin15°sin8°的值等于 （ ）A ．2+ 3B ．2+ 32 C ．2－3 D ． 2－ 3 23． △ABC 中，3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，则∠C 的大小为 （ ）A ．π6 B ． 5π6 C ． π6或5π6 D ． π3或2π34．若α是锐角，且sin(α－π6)= 13，则cos α的值是 ．5．cos π7cos 2π7cos 3π7= ．6．已知tan θ=12，tan φ=13，且θ、φ都是锐角．求证：θ+φ=45°．7．已知cos(α－β)=－45，cos(α+β)= 45，且（α－β）∈（π2，π），α+β∈（3π2，2π），求cos2α、cos2β的值．8． 已知sin(α+β)= 12，且sin(π+α－β)= 13，求tan αtan β．第4课 两角和与两角差的三角函数（二）【考点指津】掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式；能灵活运用和角、差角、倍角公式解题． 【知识在线】第 5 页 共 14 页求下列各式的值1．cos200°cos80°+cos110°cos10°= ． 2．12（cos15°+ 3 sin15°）= ． 3．化简1+2cos 2θ－cos2θ= ．4．cos(20°+x)cos(25°－x)－cos(70°－x)sin(25°－x)= ． 5．11－tan θ－ 11＋tan θ= ． 【讲练平台】 例1 求下列各式的值（1）tan10°＋tan50°+ 3 tan10°tan50°；(2) （ 3 tan12°-3）csc12° 4cos 212°-2．例2 求证1+sin4θ-cos4θ2 tan θ = 1+sin4θ+cos4θ1-tan 2θ ．例3 已知cos(π4+x)= 35，17π12＜x ＜ 7π4，求sin2x ＋sin2xtanx 1-tanx的值．【知能集成】在三角变换中，要注意三角公式的逆用和变形运用，特别要注意如下公式：tanA+tanB=tan(A+B)［1－tanAtanB ］； asinx+bcosx=22b a sin(x+φ)及升幂、降幂公式的运用． 【训练反馈】1．cos75°+cos15°的值等于 （ ） A ． 6 2 B － 6 2 C ． － 2 2 D ． 2 2 2．a=2 2（sin17°+cos17°），b=2cos 213°－1，c= 2 2，则 （ ） A ．c ＜a ＜b B ． b ＜c ＜a C ． a ＜b ＜c D ． b ＜a ＜c 3．化简1+sin2θ-cos2θ1+sin2θ+cos2θ= ．4．化简sin(2α+β)－2sin αcos(α+β)= ．5．在△ABC 中，已知A 、B 、C 成等差数列，则tan A 2+tan C 2+ 3 tan A 2tan C2的值为 ．6．化简sin 2A+sin 2B+2sinAsinBcos(A+B)．7 化简sin50°(1+ 3 tan10°)．第 6 页 共 14 页8 已知sin(α+β)=1，求证：sin(2α+β)+sin(2α+3β)=0．第5课 三角函数的图象与性质（一）【考点指津】了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质，能运用数形结合的思想解决问题，能讨论较复杂的三角函数的性质． 【知识在线】1．若 3 +2cosx ＜0，则x 的范围是 ． 2．下列各区间，使函数y=sin(x+π)的单调递增的区间是 （ ）A ．[π2，π]B ． ［0，π4］C ． ［－π，0］D ． [π4，π2]3．下列函数中，周期为π2的偶函数是 （ ）A ．y=sin4xB ． y=cos 22x －sin 22xC ． y=tan2xD ． y=cos2x 4．判断下列函数的奇偶性（1）y=xsinx+x 2cos2x 是 函数；（2）y=｜sin2x ｜－xcotx 是 函数； （3）y=sin(7π2+3x)是 函数． 5．函数f(x)=cos(3x+φ)是奇函数，则φ的值为 ． 【讲练平台】例1 （1）函数y=xx sin 21)tan 1lg(--的定义域为(2)若α、β为锐角，sin α＜cos β，则α、β满足 （ ）A ．α＞βB ．α＜βC ．α+β＜π2D ． α+β＞π2例2 判断下列函数的奇偶性： (1)y=x x x cos 1cos sin +-； (2)y=.cos sin 1cos sin 1xx xx +--+例3 求下列函数的最小正周期：（1）y=sin(2x －π6)sin(2x+ π3) ；(2)y= .)32cos(2cos )32sin(2sin π++++x x x x第 7 页 共 14 页例4 已知函数f(x)=5sinxcosx －53cos 2x+235 (x ∈R) ．(1)求f(x)的单调增区间；（2）求f(x)图象的对称轴、对称中心．【知能集成】讨论较复杂的三角函数的性质，往往需要将原函数式进行化简，其目标为转化成同一个角的同名三角函数问题．讨论三角函数的单调性，解三角不等式，要注意数形结合思想的运用．注意函数性质在解题中的运用：若一个函数为周期函数，则讨论其有关问题，可先研究在一个周期内的情形，然后再进行推广；若要比较两个角的三角函数值的大小，可考虑运用三角函数的单调性加以解决． 【训练反馈】1．函数y=lg(2cosx －1)的定义域为 （ ） A ．{x ｜－π3＜x ＜π3} B ．{x ｜－π6＜x ＜π6｝C ．{x ｜2k π－π3＜x ＜2k π+π3，k ∈Z}D ．{x ｜2k π－π6＜x ＜2k π+π6，k ∈Z}2．如果α、β∈（π2，π），且tan α＜cot β，那么必有 （ ）A ．α＜βB ． β＜αC ． α+β＜3π2 D ． α+β＞3π23．若f(x)sinx 是周期为π的奇函数，则f(x)可以是 （ ）A ．sinxB ． cosxC ． sin2xD ． cos2x 4．下列命题中正确的是 （ ）A ．若α、β是第一象限角，且α＞β，且sin α＞sin βB ．函数y=sinxcotx 的单调递增区间是（2k π－π2，2k π+π2），k ∈ZC ．函数y=1－cos2xsin2x的最小正周期是2πD ．函数y=sinxcos2φ－cosxsin2φ的图象关于y 轴对称，则φ=k π2＋π4，k ∈Z5．函数y=sin x 2+cos x2在（－2π，2π）内的递增区间是 ．6．y=sin 6x+cos 6x 的周期为 ．7．比较下列函数值的大小：（1）sin2，sin3，sin4；(2)cos 2θ，sin 2θ，tan 2θ（π4＜θ＜π2）．8．设f(x)=sin(k 5x+π3) (k ≠0) ．(1)写出f(x)的最大值M ，最小值m ，以及最小正周期T ；（2）试求最小的正整数k ，使得当自变量x 在任意两个整数间（包括整数本身）变化时，函数f(x)至少有一个M 与m ．第 8 页 共 14 页第6课 三角函数的图象与性质（二）【考点指津】了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+φ)的图象，理解参数A 、ω、φ的物理意义．掌握将函数图象进行对称变换、平移变换、伸缩变换．会根据图象提供的信息，求出函数解析式．【知识在线】1．将y=cosx 的图象作关于x 轴的对称变换，再将所得的图象向下平移1个单位，所得图象对应的函数是 （ ） A ．y=cosx+1 B ．y=cosx －1 C ．y=－cosx+1 D ．y=－cosx －1 2．函数f(x)=sin3x 图象的对称中心的坐标一定是 （ ） A ． (12k π，0)， k ∈Z B ．（13k π，0）， k ∈ZC ．（14k π，0）， k ∈ZD ．（k π，0），k ∈Z3．函数y=cos(2x+π2)的图象的一个对称轴方程为 （ ） A ．x=－－π2 B ．x=－ π4 C ．x= π8 D ．x=π4．为了得到函数y=4sin(3x+π4)，x ∈R 的图象，只需把函数y=3sin(x+π4)的图象上所有点（ ） A ．横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变B ．横坐标缩短到原来的13倍，纵坐标不变C ．纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变D ．纵坐标缩短到原来的13倍，横坐标不变．5．要得到y=sin(2x －π3)的图象，只需将y=sin2x 的图象 （ ）A ．向左平移π3个单位B ． 向右平移π3个单位C ．向左平移π6个单位D ． 向右平移π6个单位【讲练平台】 例1 函数y=Asin （ωx+φ)(A ＞0，ω＞0，｜φ｜＜π2)的最小值为－2，其图象相邻的最高点和最低点横坐标差3π，又图象过点（0，1），求这个函数的解析式． 例2 右图为某三角函数图像的一段 （1）试用y=Asin （ωx+φ)型函数表示其解析式；（2）求这个函数关于直线x=2π对称的函数解析式．例3 已知函数y=12cos 2x+32sinxcosx+1 (x ∈R)． (1)当y 取得最大值时，求自变量x 的集合；（2）该函数图象可由y=sinx(x ∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？第 9 页 共 14 页【知能集成】已知三角函数y=Asin(ωx+φ）的图象，欲求其解析式，必须搞清A 、ω、φ和图象的哪些因素有关；y=sin ωx 和y=sin(ωx+φ)两图象间平移变换的方向和平移的单位数量极易搞错，解题时要倍加小心． 【训练反馈】1．函数y= 12sin(2x+θ)的图象关于y 轴对称的充要条件是 （ ）A ．θ=2k π+π2B ．θ=k π+π2C ．θ=2k π+πD ．θ=k π+π(k ∈Z)2．先将函数y=sin2x 的图象向右平移π3个单位长度，再将所得图象作关于y 轴的对称变换，则所得函数图象对应的解析式为 （ ）A ．y=sin(－2x+π3 )B ．y=sin(－2x －π3)C ．y=sin(－2x+ 2π3 )D ． y=sin(－2x －2π3)3．右图是周期为2π的三角函数y=f(x)的图象，那么f(x)可以写成 （ ）A ．sin(1+x)B ． sin(－1－x)C ．sin(x －1)D ． sin(1－x)4．y=tan(12x －π3)在一个周期内的图象是 （ ）5．已知函数y=2cosx(0≤x ≤2π)的图象与直线y=2围成一个封闭的平面图形，则该封闭图形面积是 ．6．将y=sin(3x － π6)的图象向（左、右） 平移 个单位可得y=sin(3x+π3）的图像．7．已知函数y=Asin(ωx+φ)，在同一个周期内，当x=π9时取得最大值12，当x=4π9时取得最小值－ 12，若A ＞0，ω＞0，｜φ｜＜π2，求该函数的解析表达式．8．已知函数y= 3 sinx+cosx ，x ∈R ．(1)当y 取得最大值时，求自变量x 的取值集合；（2）该函数的图象可由y=sinx(x ∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？A C D第 10 页 共 14 页9．如图：某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+b ．（1）求这段时间的最大温差； （2）写出这段曲线的函数解析式．第7课 三角函数的最值【考点指津】掌握基本三角函数y=sinx 和y=cosx 的最值，及取得最值的条件；掌握给定区间上三角函数的最值的求法；能运用三角恒等变形，将较复杂的三角函数的最值问题转化成一个角的一个三角函数的最值问题． 【知识在线】1．已知（1）cos 2x=1.5 ；(2)sinx －cosx=2．5 ；(3)tanx+1tanx =2 ；(4)sin 3x =－ π4．上述四个等式成立的是 （ ）A ．（1）（2）B ．（2）（4）C ．（3）（4）D ．（1）（3）2．当x ∈R 时，函数y=2sin(2x+π12)的最大值为 ，最小值为 ，当x∈〔－5π24， π24〕时函数y 的最大值为 ，最小值为 .3．函数y=sinx － 3 cosx 的最大值为 ，最小值为 ． 4．函数y=cos 2x+sinx+1的值域为 ． 【讲练平台】例1 求函数f(x)=sin 2x+2sinxcosx+3cos 2x 的最大值，并求出此时x 的值．例2 若θ∈［－π12, π12］，求函数y=cos(π4+θ）+sin2θ的最小值．例3 试求函数y=sinx+cosx+2sinxcosx+2的最大值和最小值．【知能集成】较复杂的三角函数的最值问题，往往通过需要恒等变形，转化成形如y=f(sinx)或y=g(cosx)型或y= Asin(ωx+φ)+k 型的三角函数的最值问题，运用三角函数的有界性、单调性求三角函数的最值．用换元法解题，特别要注意sinx+tcosx 与sinxcosx的关系，令sinx+cosx=t ，则sinxcosx=t 2－12．【训练反馈】 1．函数y =12+sinx+cosx的最大值是 （ ）第 11 页 共 14 页A ．2 2 －1 B ． 2 2 ＋1 C ． 1－ 2 2 D ． －1－ 2 22．若2α+β=π，则y=cos β－6sin α的最大值和最小值分别为 （ ）A ．7，5B ． 7，－112 C ． 5，－112D ． 7，－5 3．当0≤x ≤π2时，函数f(x)= sinx+1cosx+1的 （ ）A ．最大值为2，最小值为12B ．最大值为2，最小值为0C ．最大值为2，最小值不存在D ．最大值不存在，最小值为04．已知关于x 的方程cos 2x －sinx+a=0，若0＜x ＜π2时方程有解，则a 的取值范围是（ ）A ．［－1，1］ B ．（－1，1） C ．［－1，0］ D ．（－∞，－54）5．要使sin α－ 3 cos α=4m －64－m有意义，则m 的取值范围是 ．6．若f(x)=2sin ωx(0＜ω＜1），在区间［0，π3］上的最大值为 2 ，则ω= ． 三、解答题7．y=sinxcosx+sinx+cosx ，求x ∈［0，π3］时函数y 的最大值．8．已知函数f(x)=－sin 2x －asinx+b+1的最大值为0，最小值为－4，若实数a ＞0，求a ，b 的值．9．已知函数f(x)=2cos 2x+ 3 sin2x+a ，若x ∈［0，π2］，且｜f(x)｜＜2，求a 的取值范围．第8课 解斜三角形【考点指津】掌握正弦定理、余弦定理，能根据条件，灵活选用正弦定理、余弦定理解斜三角形．能根据确定三角形的条件，三角形中边、角间的大小关系，确定解的个数．能运用解斜三角形的有关知识，解决简单的实际问题． 【知识在线】1．△ABC 中，若sinAsinB ＜cosAcosB ，则△ABC 的形状为 ． 2．在△ABC 中，已知c=10，A=45°，C=30°，则b= ．3．在△ABC 中，已知a= 2 ，b=2，∠B=45°，则∠A 等于 （ ）A ．30°B ．60°C ．60°或120°D ．30°或150° 4．若三角形三边之比为3∶5∶7，则这个三角形的最大内角为 （ ） A ．60° B ． 90° C ． 120° D ． 150°5．货轮在海上以40千米/小时的速度由B 到C 航行，航向的方位角∠NBC=140°，A 处有灯塔，其方位角∠NBA=110°，在C 处观测灯塔A 的方位角∠N ′CA=35°，由B 到C 需航行半小时，则C 到灯塔A 的距离是 （ ） A ．10 6 km B ．10 2kmC．10( 6 － 2 ) km D．10（ 6 ＋ 2 ）km 【讲练平台】例1 在△ABC中，已知a=3，c=3 3 ，∠A=30°，求∠C及b ．例2 在△ABC中，已知acosA=bcosB，判断△ABC的形状．例3 已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2，BC=6，CD=DA=4，求四边形ABCD的面积．．．例4下端距水平视线a米，问观察者距墙壁多少米时，才能使观察者上、下视角最大．【知能集成】运用正弦定理或余弦定理，有时将有关式子转化成仅含有边的或仅含有角的式子，然后进行代数或三角恒等变形，问题往往可以得解．在解决较复杂的几何问题时，要注意两个三角形公用边的运用．【训练反馈】1．△ABC中，tanA+tanB+ 3 = 3 tanAtanB，sinAcosA=34，则该三角形是（）A．等边三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等边三角形或直角三角形2．在△ABC中，已知（b+c）∶(c+a)∶(a+b)=4∶5∶6，则此三角形的最大内角为（）A．120°B．150°C．60°D．90°3．若A、B是锐角△ABC的两个内角，则点P（cosB－sinA，sinB－cosA）在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．在△ABC中，若sinA∶sinB∶sinC=5∶12∶13，则cosA= ．5．在△ABC中，3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，则∠C的大小为．6．已知a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，S是△ABC的面积，若a=4，b=5，s=5 3 ，求c的长度．7．在△ABC中，sin2A－sin2B+sin2C=sinAsinC，试求角B的大小．第 12 页共 14 页第 13 页 共 14 页8．半圆O 的直径为2，A 为直径延长线上一点，且B 为半圆上任意一点，以AB 为边向外作等边△ABC ，问B 点在什么位置时，四边形OACB 的面积最大，并求出这个最 大面积．单元练习（三角函数）（总分100分，测试时间100分钟）一、选择题：本大题共12小时，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若角α满足sin2α＜0，cos α－sin α＜0，则α在 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．若f(x)sinx 是周期为π的偶函数，则f(x)可以是 （ ） A ．sin2x B ． cosx C ． sinx D ． cox2x3．若sinx=m －3m+5，cosx=4－2 m m+5，且x ∈［π2，π］，则m 的取值范围为 （ ）A ．3＜m ＜9B ． m=8C ． m=0D ． m=0或m=8 4．函数f(x)=log 13(sin2x+cos2x)的单调递减区间是 （ ）A ．（k π－π4，k π+π8）(k ∈Z)B ．（k π－π8，k π+π8）(k ∈Z)C ．（k π+π8，k π+3π8）(k ∈Z)D ．（k π+π8，k π+ 5π8）(k ∈Z)5．在△ABC 中，若2cosBsinA=sinC ，则△ABC 的形状一定是 （ ）A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形6．△ABC 中，∠A=60°，b=1，其面积为 3 ，则a+b+csinA+sinB+sinC 等于 （ ）A ．3 3B ．239 3C ．26 3 3D ．3927．已知函数y= 2 cos(ωx+φ)(0＜φ＜π2）在一个周期内的函数图象如图，则 （ ）A ．T=6π5，φ= π4B ．T=3π2，φ=π4C ．T=3π，φ=－ π4D ．T=3π，φ= π48．将函数y=f(x)sinx 的图象向右平移π4个单位后，再作关于x 轴的对称变换，得到函数y=1－2sin 2x 的图象，则f(x)可以是（ ） A ．cosx B ．2cosx C ．sinx D ．2sinx9．函数f(x)=Msin(ωx+φ)(ω＞0)在区间［a ，b ］上是增函数，且f(a)=－M ，f(b)=M ，则函数g(x)=Mcos(ωx+φ)在区间［a ，b ］上 （ ） A ．是增函数 B ．是减函数C ．可以取得最大值MD ．可以取得最小值－M10．在△ABC 中，∠C ＞90°，则tanA ²tanB 与1的关系适合 （ ）A ．tanA ²tanB ＞1 B ．anA ²tanB ＜1C ．tanA ²tanB=1D ．不确定 11．设θ是第二象限角，则必有 （ A ）A ．cot θ2＜tan θ2B ．tan θ2＜cot θ2C ．sin θ2＞cos θ2D ．sin θ2＜cos θ212．若sin α＞tan α＞cot α(－π2＜α＜π2}，则α∈ （ ）A ．（－π2，－ π4 ）B ．（－π4，0）C ．（0，π4）D ．（π4，π2）第 14 页 共 14 页二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分，把答案填在题中横线上． 13．sin390°+cos120°+sin225°的值是 ． 14．sin39°－sin21°cos39°－cos21°= ．15．已知sin θ+cos θ= 15，θ∈（０，π），cot θ的值是 ．16．关于函数f(x)=4sin(2x+π3)(x ∈R)，有下列命题：（1）y=f(x)的表达式可改写为y=4²cos(2x －π6)；(2)y=f(x)是以2π为最小正周期的周期函数； （3）y=f(x)的图象关于点（－π6，0）对称； （4）y=f(x)的图象关于直线x=－π6对称． 其中正确的命题序号是 （注：把你认为正确的命题序号都填上）． 三、解答题：本大题共6小题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步 17．（本小题8分）已知角α的顶点与直角坐标系的原点重合，始边在x 轴的正半轴上，终边经过点P （－1，2），求sin(2α+2π3)的值．18．（本小题8分）已知sin 22α+sin2αcos α－cos2α=1，α∈(0，π2)，求sin α、tanα的值．19．(本小题9分)设f(x)=sin 2x －asin 2x2，求f(x)的最大值m ．20．(本小题9分)已知α、β∈（0，π4），且3sin β=sin(2α+β)，4tan α2 =1－tan 2α2，求α+β的值．21．（本小题9分）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ． 若b 2=ac ，求y=1+sin2BsinB+cosB的取值范围．。

CABD2019-2020年高三数学第一轮复习教案三角函数新课标人教版一、知识要点：三角函数基本概念、三角函数的恒等变形(化简,求值,等式的证明)、三角函数的图象和性质1、三角变换基本解题方法：切割化弦，异名化同名，异角化同角，高次化低次，无理化有理． 常用的技巧：升幂降幂法、辅助元素法，“1”的代换法、利用倍角公式建立2α与α、α与的关系、角的配凑等2、对三角函数性质的考查总是与三角变换相结合．一般解题规律是先对三角函数关系式进行三角变换，使之转化为一个角的三角函数的形式，再利用换元法转化为对基本三角函数性质的研究．3、易错点：要注意正切函数定义域的限制；在三角变形过程中要注意自变量取值区间的变化，以防出现增根或失根；凡遇到参数或字母时，注意分情况进行讨论。

4、主要数学思想：化归思想、函数思想、数形结合思想、分类讨论思想 二、主干知识点、基本方法回顾练习： 1. 若是第三象限的角，且，那么的值为（ C ）A. 23B. －23C. 223D. －2232. 已知函数在［，］上单调递增，则实数的取值范围是（ A ） A ．（0， B ．（0，2 C ．（0，1 D ．3．先将的图象沿轴向右平移个单位，再将图象上每一个点的横坐标伸长为原来的2倍，而保持它们的纵坐标不变，得到的曲线与的图象相同，则的解析式是（ C ） A ． B ． C ．D ．4．若为第二象限的角，则下列各式恒小于0的是（ B ） A ． B ． C ． D ． 5．已知，，则（ A ）A 、 2B 、 3C 、1D 、无法确定6. 如图是由三个相同的正方形相接，在△ABC 中，锐角∠ACB=，则=（C ） A ． B ． C ． D ．7．函数x x x y 2cos 3sin cos +=相邻两条对称轴的距离为（ C ）A ．2B ．C ．D ．8. 函数的递减区间是_____5,1212k k k Z ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭_______，递增区间是______________，511,1212k k k Z ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭9.函数()3sin()(0)53kx f x k π=+≠有一条对称轴为，则_5_______。