2020版高考数学一轮复习第3章三角函数、解三角形第3讲三角函数的图象和性质学案

第3讲三角函数的图象和性质板块一知识梳理·自主学习[必备知识]考点正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质[必会结论]1．函数y＝A sin(ωx＋φ)和y＝A cos(ωx＋φ)的最小正周期为T＝2π|ω|，函数y＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为T ＝π|ω|. 2．正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14周期．而正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半周期．3．三角函数中奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx 的形式，而偶函数一般可化为y ＝A cos ωx ＋b 的形式．[考点自测]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)y ＝cos x 在第一、二象限内是减函数．( )(2)函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2是偶函数，最小正周期为π.( ) (3)函数y ＝sin x 的对称轴方程为x ＝2k π＋π2(k ∈Z )．( )(4)函数y ＝tan x 在整个定义域上是增函数．( ) 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×2．[课本改编]若函数f (x )＝－cos2x ，则f (x )的一个递增区间为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0 B.⎝⎛⎭⎪⎫0，π2C.⎝⎛⎭⎪⎫π2，3π4D.⎝⎛⎭⎪⎫3π4，π答案 B解析 由f (x )＝－cos2x 知递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2，k ∈Z ，故只有B 项满足．3．[2018·福建模拟]函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4的图象的一条对称轴是( )A ．x ＝π4B ．x ＝π2C ．x ＝－π4D ．x ＝－π2答案 C解析 由x －π4＝π2＋k π，得x ＝k π＋3π4，当k ＝－1时，x ＝－π4.4．[2018·厦门模拟]函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1的图象的一个对称中心的坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8，0B.⎝⎛⎭⎪⎫3π8，1C.⎝⎛⎭⎪⎫π8，1D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8，－1 答案 B解析 对称中心的横坐标满足2x ＋π4＝k π，解得x ＝－π8＋k π2，k ∈Z .当k ＝1时，x＝3π8，y ＝1.故选B. 5．[课本改编]函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的定义域是( ) A ．{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠π4B ．{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠－π4C ．{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π＋π4，k ∈ZD ．{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π＋3π4，k ∈Z答案 D解析 y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4，由x －π4≠π2＋k π，k ∈Z ，得x ≠k π＋3π4，k∈Z .故选D.6．函数y ＝3－2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的最大值为________，此时x ＝________.答案 53π4＋2k π(k ∈Z ) 解析 函数y ＝3－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的最大值为3＋2＝5，此时x ＋π4＝π＋2k π(k ∈Z )，即x ＝3π4＋2k π(k ∈Z )．板块二 典例探究·考向突破 考向三角函数的定义域、值域例 1 (1)[2018·烟台模拟]函数y ＝cos x －32的定义域为( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π6 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π6(k ∈Z ) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋π6(k ∈Z ) D ．R 答案 C 解析 ∵cos x －32≥0，得cos x ≥32，∴2k π－π6≤x ≤2k π＋π6，k ∈Z . (2)函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为________．答案 2－ 3解析 ∵0≤x ≤9，∴－π3≤π6x －π3≤7π6，∴－32≤s in ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3≤1，故－3≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－π3≤2. 即函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3(0≤x ≤9)的最大值为2，最小值为－ 3.所以最大值与最小值的和为2－ 3.本例(2)中的函数换为“y ＝3－sin x －2cos 2x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6”，如何解答？解 ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，∴sin x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1.又y ＝3－sin x －2cos 2x ＝3－sin x －2(1－sin 2x ) ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －142＋78， ∴当sin x ＝14时，y min ＝78；当sin x ＝－12或sin x ＝1时，y max ＝2.故函数的最大值与最小值的和为2＋78＝238.本例(2)中的函数换为“y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x ，x∈[0，π]”，又该如何解答？解 令t ＝sin x －cos x ，又x ∈[0，π]，∴t ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4，t ∈[－1，2]．由t ＝sin x －cos x ，得t 2＝1－2sin x cos x ， 即sin x cos x ＝1－t22.∴原函数变为y ＝t ＋1－t22，t ∈[－1，2]．即y ＝－12t 2＋t ＋12.∴当t ＝1时，y max ＝－12＋1＋12＝1；当t ＝－1时，y min ＝－12－1＋12＝－1.故函数的最大值与最小值的和为1－1＝0.触类旁通三角函数定义域、值域的求解策略(1)求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，也可借助三角函数线或三角函数图象来求解．(2)求解三角函数的值域(最值)，首先把三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再求最值(值域)，或用换元法(令t ＝sin x ，或t ＝sin x ±cos x )化为关于t 的二次函数求值域(最值)．(3)换元法的应用：把sin x 或cos x 看作一个整体，转化为二次函数，求给定区间上的值域(最值)问题．此时注意所换元的取值范围．【变式训练1】 (1)函数y ＝2sin x －1的定义域为( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π6，2k π＋5π6(k ∈Z ) C.⎝⎛⎭⎪⎫2k π＋π6，2k π＋5π6(k ∈Z ) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋5π6(k ∈Z ) 答案 B解析 由2sin x －1≥0，得sin x ≥12，所以2k π＋π6≤x ≤2k π＋5π6(k ∈Z )．(2)函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的值域是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32解析 x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3，∴y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32.考向三角函数的单调性例 2 已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π4(ω＞0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调性．解 (1)因为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π4的最小正周期为π，且ω＞0.从而有2π2ω＝π，故ω＝1.(2)因为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.若0≤x ≤π2，则π4≤2x ＋π4≤5π4.当π4≤2x ＋π4≤π2，即0≤x ≤π8时， f (x )单调递增；当π2＜2x ＋π4≤5π4，即π8＜x ≤π2时，f (x )单调递减． 综上可知，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π8上单调递增，在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤π8，π2上单调递减．触类旁通三角函数单调性问题的解题策略(1)求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中，ω>0)的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．(2)已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．【变式训练2】 (1)设ω是正实数，函数f (x )＝2cos ωx 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上是减函数，那么ω的值可以是( )A.12 B ．2 C ．3 D ．4答案 A解析 因为函数f (x )＝2cos ωx 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，T 2上单调递减，所以要使函数f (x )＝2cos ωx (ω>0)在区间 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上单调递减，则有2π3≤T 2，即T ≥4π3，所以T ＝2πω≥4π3，解得ω≤32.所以ω的值可以是12.故选A.(2)函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3－2x 的递增区间是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋5π12，k π＋11π12(k ∈Z ) 解析 ∵y ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，∴2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2∴k π＋5π12≤x ≤k π＋11π12(k ∈Z )．考向三角函数的奇偶性、周期性及对称性命题角度1 三角函数的周期性与奇偶性例 3 [2018·长沙模拟]设函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ＋π4⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为π，且是偶函数，则( )A ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2内单调递减B ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4内单调递减 C ．f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2内单调递增 D ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4内单调递增 答案 A解析 由条件，知ω＝2.因为f (x )是偶函数，且|φ|<π2，所以φ＝π4，这时f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos2x . 因为当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，2x ∈(0，π)，所以f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2内单调递减． 命题角度2 三角函数的周期性与对称性例 4 已知ω>0,0<φ<π，直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ等于( )A.π4 B.π3 C.π2D.3π4答案 A解析 由题意得2πω＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4－π4，∴ω＝1，∴f (x )＝sin(x ＋φ)， ∴π4＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )， ∴φ＝π4＋k π(k ∈Z )．又∵0<φ<π，∴φ＝π4.故选A.命题角度3 三角函数的奇偶性与对称性例 5 [2018·揭阳模拟]当x ＝π4时，函数f (x )＝sin(x ＋φ)取得最小值，则函数y＝f ⎝⎛⎭⎪⎫3π4－x ( )A ．是奇函数且图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0对称B ．是偶函数且图象关于点(π，0)对称C ．是奇函数且图象关于直线x ＝π2对称D ．是偶函数且图象关于直线x ＝π对称 答案 C解析 ∵当x ＝π4时，函数f (x )取得最小值，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝－1，∴φ＝2k π－3π4(k ∈Z )， ∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2k π－3π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3π4，∴y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－x ＝sin(－x )＝－sin x ，∴y ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫3π4－x 是奇函数，且图象关于直线x ＝π2对称．触类旁通函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的奇偶性和对称性(1)若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则有φ＝k π＋π2(k ∈Z )；若f (x )＝A sin(ωx＋φ)为奇函数，则有φ＝k π(k ∈Z )．(2)对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断．核心规律1.讨论三角函数性质，应先把函数式化成y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的形式．2.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|.3.对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t ＝ωx ＋φ，将其转化为研究y ＝sin t 的性质．满分策略1.闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响．2.要注意求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时ω的符号，尽量化成ω>0时的情况．3.三角函数的最值可能不在自变量区间的端点处取得，直接将两个端点处的函数值作为最值是错误的.板块三 启智培优·破译高考数学思想系列4——三角函数中的分类讨论思想[2018·龙岩模拟]已知函数f (x )＝2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋a ＋b 的定义域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，值域是[－5,1]，求a ，b 的值．解题视点 ①先求出2x ＋π6的范围，再求出sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的值域；②系数a 的正、负影响着f (x )的值，因而要分a >0，a <0两种情况讨论；③根据a >0或a <0求f (x )的最值，列方程组求解．解 因为0≤x ≤π2，所以π6≤2x ＋π6≤7π6，－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≤1. 所以当a >0时，⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－5，3a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝－5.当a <0时，⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，3a ＋b ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1.因此a ＝2，b ＝－5或a ＝－2，b ＝1.答题启示 (1)对此类问题的解决，首先利用正弦函数、余弦函数的有界性或单调性求出y ＝A sin (ωx ＋φ)或y ＝A cos (ωx ＋φ)的最值，但要注意对A 的正负进行讨论，以便确定是最大值还是最小值；(2)再由已知列方程求解；(3)本题的易错点是忽视对参数a >0或a <0的分类讨论，导致漏解. 跟踪训练已知a 是实数，则函数f (x )＝1＋a sin ax 的图象不可能是( )答案 D解析 当a ＝0时，f (x )＝1，即图象C ；当0<a <1时，三角函数的最大值为1＋a <2，且最小正周期为T ＝2πa>2π，即图象A ；当a >1时，三角函数的最大值为a ＋1 >2，且最小正周期为T ＝2πa<2π，即图象B.板块四 模拟演练·提能增分[A 级 基础达标]1．[2018·石家庄模拟]函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )B.⎝⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) C.⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) 答案 B解析 由k π－π2＜2x －π3＜k π＋π2(k ∈Z )得，k π2－π12＜x ＜k π2＋5π12(k ∈Z )，所以函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )．故选B. 2．[2018·桂林模拟]若函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝( ) A.π2 B.2π3 C.3π2D.5π3答案 C解析 ∵f (x )为偶函数，关于y 轴对称，x ＝0为其对称轴．∴x ＋φ3＝π2＋k π，令x＝0，φ＝3k π＋3π2，当k ＝0时，φ＝3π2.选C 项．3．[2018·福州模拟]下列函数中 ，周期为π，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上为减函数的是( ) A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2答案 A解析 对于选项A ，注意到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos2x 的周期为π，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上是减函数．故选A.4．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻两支截直线y ＝1所得的线段长为π4，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12的值是( )A ．0 B.33C ．1 D. 3答案 D解析 由条件可知，f (x )的周期是π4.由πω＝π4，得ω＝4，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫4×π12＝tan π3＝ 3.5．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x (x ∈[0，π])的增区间是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π答案 C解析 ∵y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，由π2＋2k π≤2x －π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得π3＋k π≤x ≤5π6＋k π，k ∈Z ，即函数的增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3＋k π，5π6＋k π，k ∈Z ，∴当k ＝0时，增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6. 6．[2018·深圳模拟]函数y ＝log 12 cos x 的一个单调减区间是( )A ．(－π，0)B ．(0，π)C.⎝⎛⎭⎪⎫0，π2D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0答案 D解析 首先应保证cos x ＞0 ①；函数y ＝log 12cos x 的单调减区间，即函数μ＝cos x的单调增区间 ②.易知只有选项D 符合①②.7．[2018·郑州模拟]如果函数y ＝3sin(2x ＋φ)的图象关于直线x ＝π6对称，则|φ|的最小值为( )A.π6B.π4C.π3D.π2答案 A解析 由题意，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝±1.所以π3＋φ＝π2＋k π，即φ＝π6＋k π(k ∈Z )，故|φ|min ＝π6.8．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3的值域为________，并且取最大值时x 的值为________．答案 [－1,1]π12解析 ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，∴2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3∈[0,1]，∴y ∈[－1,1]． 当2x ＋π3＝π2时，即x ＝π12时y 取得最大值1.9．[2018·江苏模拟]函数y ＝lg sin2x ＋9－x 2的定义域为________． 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－3，－π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2解析 由⎩⎪⎨⎪⎧sin2x ＞0，9－x 2≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧k π＜x ＜k π＋π2，k ∈Z ，－3≤x ≤3.∴－3≤x ＜－π2或0＜x ＜π2.∴函数y ＝lg sin2x ＋9－x 2的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－3，－π2∪⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.10．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，0成中心对称，那么|φ|的最小值为________．答案π6解析 依题意得3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π3＋φ＝0，8π3＋φ＝k π＋π2，φ＝k π－13π6(k ∈Z )，所以|φ|的最小值是π6.[B 级 知能提升]1．[2017·全国卷Ⅲ]设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则下列结论错误的是( )A ．f (x )的一个周期为－2πB ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称C ．f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6D ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递减 答案 D解析 A 项，因为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的周期为2k π(k ∈Z )，所以f (x )的一个周期为－2π，A 项正确．B 项，因为f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3图象的对称轴为直线x ＝k π－π3(k ∈Z )，所以y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称，B 项正确．C 项，f (x ＋π)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4π3.令x ＋4π3＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π－56π，当k ＝1时，x ＝π6，所以f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6，C 项正确．D 项，因为f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋2π3(k ∈Z )，递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋2π3，2k π＋5π3(k ∈Z )，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，2π3是减区间，⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π是增区间，D项错误．故选D.2．[2018·宁夏模拟]已知ω＞0，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 D ．(0,2)答案 A解析 由π2＜x ＜π，ω＞0得，ωπ2＋π4＜ωx ＋π4＜ωπ＋π4，又y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2上递减，所以⎩⎪⎨⎪⎧ωπ2＋π4≥π2，ωπ＋π4≤3π2，解得12≤ω≤54.故选A. 3．已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π3，其中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，m ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ∈R 且m ＞π6，若f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－32，则m 的最大值是________．答案5π18解析 由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，m ，可知5π6≤3x ＋π3≤3m ＋π3， ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝cos 5π6＝－32，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π9＝cosπ＝－1，∴要使f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－32，需要π≤3m ＋π3≤7π6，解得2π9≤m ≤5π18，即m 的最大值是5π18.4．[2018·广东模拟]设函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3.(1)求函数f (x )的定义域、周期和单调区间； (2)求不等式－1≤f (x )≤3的解集．解 (1)由x 2－π3≠π2＋k π(k ∈Z )，得x ≠5π3＋2k π(k ∈Z )，所以函数f (x )的定义域是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ∈R ，且x ≠5π3＋2k π，k ∈Z. 因为ω＝12，所以周期T ＝πω＝2π.由－π2＋k π<x 2－π3<π2＋k π(k ∈Z )，得－π3＋2k π<x <5π3＋2k π(k ∈Z )．所以函数f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋2k π，5π3＋2k π(k ∈Z )．(2)由－1≤tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3≤3，得－π4＋k π≤x 2－π3≤π3＋k π(k ∈Z )．解得π6＋2k π≤x ≤4π3＋2k π(k ∈Z )．所以不等式－1≤f (x )≤3的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪π6＋2k π≤x ≤4π3＋2k π，k ∈Z. 5．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(0<ω<1,0≤φ≤π)是R 上的偶函数，其图象关于点M ⎝⎛⎭⎪⎫3π4，0对称．(1)求φ，ω的值； (2)求f (x )的单调递增区间；(3)x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π2， 求f (x )的最大值与最小值．解 (1)因为f (x )＝sin(ωx ＋φ)是R 上的偶函数，所以φ＝π2＋k π，k ∈Z ，且0≤φ≤π，则φ＝π2，即f (x )＝cos ωx .因为图象关于点M ⎝⎛⎭⎪⎫3π4，0对称，所以ω·3π4＝π2＋k π，k ∈Z ，且0<ω<1，所以ω＝23.(2)由(1)得f (x )＝cos 23x ，由－π＋2k π≤23x ≤2k π且k ∈Z 得，3k π－3π2≤x ≤3k π，k ∈Z ，所以函数f (x )的递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤3k π－3π2，3k π，k ∈Z .(3)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π2，所以23x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π3，当23x ＝0时，即x ＝0，函数f (x )的最大值为1， 当23x ＝－π2时，即x ＝－3π4，函数f (x )的最小值为0.。