有限元课件2-单元位移模式与形函数n

a1
1 2A
ui uj
xi xj
yi yj
um xm ym
1
a2
1 2A
1
ui uj
yi yj
1 um ym
（2-14）
1
a3
1 2A
1
xi xj
ui uj
1 xm um
式中， A为三角形单元的面积，有
1 A 11
2
xi xj
yi yj
（2-15）
1 xm ym
y
m（7）
i（2）
j（1）
x
特别指出：为使求得面积的值为正值，本单元节点号
（2-16）
1 2A
[(ai
bi
x
ci
y)
i
(a
j
b
j
x
c
j
y)
j
(am
bm
x
cm
y)
m
]
令
Ni
1 2A
(ai
bi x ci y)
(i, j, m)
（2-18）
位移模式（2-16）可以简写为
u Niui N ju j Nmum Ni i N j j Nm m （2-19）
式（2-19）中的Ni、Nj、Nm是坐标的函数，反应 了单元的位移形态，称为单元位移函数的形函数。数
Ni 0
0 Ni
Nj 0
0 Nj
Nm 0
0 Nm
u v
j j
缩写为
um
vm
{ f } [N ]{ } （2-20）
[N]为形函数矩阵，进一步写成分块形式：
[N ] [[ Ni ] [N j ] [Nm ]]

r , s 1, 2,3, 4
04
制作：南昌航空大学————贺红林，2014
实践表明，与三结点单元相比，四结点矩形单元精度明显 高于三结点单元，但它的弱点是灵活性差，不适于曲线边界和 斜边界。 单元采用自然坐标ζ、η后，形函数的形式变得非常规矩，与单 元中心、单元尺寸无关，是 一种非常标准的两个方向的线性拉 格郞日插值函数相乘的结果。 四结点矩形单元形函数具有以下性质： 1. 形函数Ni在i结点的函数值为1,在其它结点的函数值为零。
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制作：南昌航空大学————贺红林，2014
一、单元位移场
矩形单元有4个结点，共有8个位移，故可取8个待定参数的 位移模式 a1 a5
T a2 u 1 x xy y = Φa1 , v 1 x xy a3 a4 a Φ 0 1 ue a 0 Φ 2 y
1 , 1 i i b 1 1 i i a 0
i 1, 2,3, 4
K1 E1t K 4ab 1 12 K 3
e rs
K2 K4
r , s 1, 2,3, 4
04
i 1, 2, 3, 4
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制作：南昌航空大学————贺红林，2014
三、单元内的应力
e e D e DB e S e e S 1
e S2
e S3
e e S4
i i 1 1 i i 1 a b E1 i i 1 Sie 1 1 i i a b 4 1 12 1 1 i 1 i 1 1 i 1 i 2 a 2 b

Ui , Vi
e
e
结点i从周围各单元移置的结点荷载为
Pi
e
Pi e


Xi Yi

U i X i , Vi Yi
e
e
Fi Pi
e
以 Fe k e 代入
K P
整体刚度矩阵的集成
结点平衡法
F2 Fj1 Fi2 Fm3

y

E
1 2
(
x
y)
xy

2(1 E
)

xy

E
1 2
1
2

xy



x y


xy


E
1 2
1

0

1 0
1
0
0

xxyy


2
D
DBe Se Si S j Sm e
0 ci bi
bj 0 cj
0 cj bj
bm 0 cm
0 cm bm

vi


u

v
j j
u
m


1 2A
b0i ci
0 ci bi
bj 0 cj
0 cj bj
bm 0 cm
0
cm e B e
bm
vm
2.2 变分原理
泛函 如果对于某一类函数y(x)中的每一个函数y(x)，变量 I 有一个值和它对应，则变量
I 称为依赖于函数y(x)的泛函。记为 I I[ y(x)]

y i a1 yj a 2 a ym 3
第3章 单元位移模式及插值函数的构造
二、位移模式和插值函数表示方法
令
1 xi 1 x j 1 x m
yi yj T ym
则有
a1 ui 1 a T u 2 j a u 3 m
2 2
第3章 单元位移模式及插值函数的构造
二、位移模式和插值函数表示方法
多项式中包含的项数越多，就越接近实际的位移分布，越 精确。具体取多项，由单元形式来确定。即以结点位移来 确定位移函数中的待定系数。
如图所示的3结点三角形单元，结点I、J、M的坐标分别 为(xi,yi)、(xj,yj)、(xm,ym)，结点位移分别为ui、vi、uj、 vj、um、vm 。
第3章 单元位移模式及插值函数的构造
二、位移模式和插值函数表示方法
将水平位移分量和结点坐标代入（1）第一式，
u i a1 a 2 xi a3 yi u j a1 a 2 x j a3 y j u m a1 a 2 xm a3 y m
写成矩阵形式，
u i 1 xi u j 1 x j u 1 x m m
第3章 单元位移模式及插值函数的构造
二、位移模式和插值函数表示方法
位移只能确定六个多项式的系数，所以3结点三角形单 元的位移函数如下，
u a1 a2 x a3 y v a 4 a5 x a 6 y
（1）
将 3 个结点上的坐标和位移分量代入（ 1 ）式就可以 将六个待定系数用结点坐标和位移分量表示出来。
T
xm x j xi x m x j xi