第六章+单元和插值函数的构造

现代科学工程计算基础课后答案《现代科学与工程计算基础》较为详细地介绍了科学与工程计算中常用的数值计算方法、基本概念及有关的理论和应用。

全书共分八章，主要内容有误差分析，函数的插值与逼近，数值积分与数值微分，线性代数方程组的直接解法与迭代解法，非线性方程及非线性方程组的数值解法，矩阵特征值和特征向量的数值解法，以及常微分方程初、边值问题的数值解法等。

使用对象为高等院校工科类研究生及理工科类非“信息与计算科学”专业本科生，也可供从事科学与工程计算的科技工作者参考。

《现代科学与工程计算基础》讲授由浅人深，通俗易懂，具备高等数学、线性代数知识者均可学习。

基本信息出版社: 四川大学出版社; 第1版 (2003年9月1日)平装: 378页语种：简体中文开本: 32ISBN: 7561426879条形码: 9787561426876商品尺寸: 20 x 13.8 x 1.6 cm商品重量: 399 g品牌: 四川大学出版社ASIN: B004XLDT8C《研究生系列教材:现代科学与工程计算基础》是我们在长期从事数值分析教学和研究工作的基础上，根据多年的教学经验和实际计算经验编写而成。

其目的是使大学生和研究生了解数值计算的重要性及其基本内容，熟悉基本算法并能在计算机上实现，掌握如何构造、评估、选取、甚至改进算法的数学理论依据，培养和提高读者独立解决数值计算问题的能力。

目录第一章绪论§1 研究对象§2 误差的来源及其基本概念2.1 误差的来源2.2 误差的基本概念2.3 和、差、积、商的误差§3 数值计算中几点注意事项习题第二章函数的插值与逼近§1 引言1.1 多项式插值1.2 最佳逼近1.3 曲线拟合§2 Lagrange插值2.1 线性插值与抛物插值2.2 n次Lagrange插值多项式2.3 插值余项§3 迭代插值§4 Newton插值4.1 Newton均差插值公式4.2 Newton差分插值公式§5 Hermite插值§6 分段多项式插值6.1 分段线性插值6.2 分段三次Hermite插值§7 样条插值7.1 三次样条插值函数的定义7.2 插值函数的构造7.3 三次样条插值的算法7.4 三次样条插值的收敛性§8 最小二乘曲线拟合8.1 问题的引入及最小二乘原理8.2 一般情形的最小二乘曲线拟合8.3 用关于点集的正交函数系作最小二乘拟合8.4 多变量的最小二乘拟合§9 连续函数的量佳平方逼近9.1 利用多项式作平方逼近9.2 利用正交函数组作平方逼近§10 富利叶变换及快速富利叶变换10.1 最佳平方三角逼近与离散富利叶变换10.2 快速富利叶变换习题第三章数值积分与数值微分§1 数值积分的基本概念1.1 数值求积的基本思想1.2 代数精度的概念1.3 插值型求积公式§2 等距节点求积公式2.1 Newton—CoteS公式2.2 复化求积法及其收敛性2.3 求积步长的自适应选取§3 Romberg 求积法3.1 Romberg求积公式3.2 Richardson外推加速技术§4 Gauss型求积公式4.1 Gauss型求积公式的一般理论4.2几种常见的Gauss型求积公式§5 奇异积分和振荡函数积分的计算5.1 奇异积分的计算5.2 振荡函数积分的计算§6 多重积分的计算6.1 基本思想6.2 复化求积公式6.3 Gauss型求积公式§7 数值微分7.1 Taylor级数展开法7.2 插值型求导公式习题第四章解线性代数方程组的直接法§1 Gauss消去法§2 主元素消去法2.1 全主元素消去法2.2 列主元素消去法§3 矩阵三角分解法3.1 Doolittle分解法（或LU分解）3.2 列主元素三角分解法3.3 平方根法3.4 三对角方程组的追赶法§4 向量范数、矩阵范数及条件数4.1 向量和矩阵的范数4.2 矩阵条件数及方程组性态习题第五章解线性代数方程组的迭代法§1 Jacobi迭代法§2 Gauss-Seidel迭代法§3 超松弛迭代法§4 共轭梯度法习题第六章非线性方程求根§1 逐步搜索法及二分法1.1 逐步搜索法1.2 二分法§2 迭代法2.1 迭代法的算法2.2 迭代法的基本理论2.3 局部收敛性及收敛阶§3 迭代收敛的加速3.1 松弛法3.2 Aitken方法§4 New-ton迭代法4.1 Newton迭代法及收敛性4.2 Newton迭代法的修正4.3 重根的处理§5 弦割法与抛物线法5.1 弦割法5.2 抛物线法§6 代数方程求根6.1 多项式方程求根的Newton法6.2 劈因子法§7 解非线性方程组的Newton迭代法习题……第七章矩阵特征值和特征向量的计算第八章常微方分程数值解法附录参考文献欢迎下载，资料仅供参考!!!资料仅供参考!!!资料仅供参考!!!。

第六章 多项式插值理论一、区间[a , b ]上的一般插值理论 (从有限维子空间出发的逼近方法)① 对无限维函数空间的一个元素f (x ) 进行逼近，关于f (x ) 的情况仅知道一部分(1、若干点的函数值或导数值已知； 2、满足一些控制方程)② 选择一个由固定基函数张成的有限维函数子空间 基函数性质: ⎪⎩⎪⎨⎧、线性无关、完备的条件、满足基本的函数已知321③ 选择n X 中的元素)()(~x P x f n 或，在一定的约束条件下，使)(~x f 良好的逼近()x f ,即 令)(~x f = n n c c c φφφ+++ 2211关于()x f 在插值区间上有不大的误差（包括一定的光滑性逼近）。

④ 良好逼近的判断ε<-f f ~e .g . Tchebycheff 范数，|| f || = |)(|max x f bx a ≤≤ 称为一致逼近。

⑤ 约束条件: （依据对()x f 的了解来确定）i / 插值约束)()(~i i x f x f = 1n i ≤≤ i x ∈ (a , b ) 且i x 互不相同；ii / 插值与光滑性混合约束(1)、 )()(~i i x f x f = 1k i ≤≤ i x ∈(a , b ) 且i x 互不相同(2)、 )()(~i i x f x f '=' 1k i ≤≤ i x ∈(a,b) 且互不相同(3)、 )(~x f 的二阶导数存在iii / 变分约束 （以下两种约束不再具有严格的插值含义，这里可能仅知道被插函数满足某些控制方程）依据|| f -f ~||在n X 中为最小的条件，即确定常数n c c c 21, 使f ~的解由下列形式的极小化问题得到：|| f -0f ~|| = min{|| f -f ~||：f ~n X ∈}Note ：这里的||·|| 不局限于切比雪夫范数和2－范数，可能是某种内积定义的范数；这也是固体力学求近似解的基本方法（如，有限元就是能量的变分）。

插值函数构造插值函数是一种数学函数，它可以通过已知的一些数据点来构造出一个函数，使得这个函数在这些数据点上的取值与已知数据点的取值相同。

插值函数在数学、物理、工程等领域中都有广泛的应用，例如在数值计算中，插值函数可以用来近似计算某些函数的值；在图像处理中，插值函数可以用来对图像进行放缩、旋转等操作。

插值函数的构造方法有很多种，其中比较常用的有拉格朗日插值法、牛顿插值法、分段线性插值法等。

下面我们将分别介绍这些方法的原理和应用。

1. 拉格朗日插值法拉格朗日插值法是一种基于拉格朗日多项式的插值方法。

它的基本思想是，通过已知的n个数据点(x1,y1),(x2,y2),...,(xn,yn)，构造一个n次多项式P(x)，使得P(xi)=yi(i=1,2,...,n)。

具体地，P(x)可以表示为：P(x)=Σ(yi*li(x))其中，li(x)是拉格朗日基函数，它的表达式为：li(x)=Π((x-xj)/(xi-xj))(i≠j)通过这个公式，我们可以得到一个n次多项式P(x)，使得P(xi)=yi(i=1,2,...,n)。

这个多项式就是拉格朗日插值函数。

拉格朗日插值法的优点是简单易懂，计算量小，但是当数据点数量较多时，多项式的次数会很高，导致插值函数的精度下降。

2. 牛顿插值法牛顿插值法是一种基于差商的插值方法。

它的基本思想是，通过已知的n个数据点(x1,y1),(x2,y2),...,(xn,yn)，构造一个n次多项式P(x)，使得P(xi)=yi(i=1,2,...,n)。

具体地，P(x)可以表示为：P(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+...+f[x0,x1,...,xn](x-x0)(x-x1)...(x-xn-1)其中，f[xi]表示xi对应的函数值，f[xi,xj]表示xi和xj对应的函数值的差商，f[xi,xj,xk]表示xi、xj和xk对应的函数值的三阶差商，以此类推。

母单元插值坐标函数
在数学和计算机图形学中，“母单元“（Master
element）指的是用于表示插值函数的基本几何形状。

插值函数是一种用于近似曲线、曲面或体积的数学函数，母单元是其中的一部分，用于构建整个插值函数。

“插值“（Interpolation）是一种通过已知数据点之间的计算来估算未知数据点的方法。

插值在图像处理、计算机图形学、数值分析等领域有着广泛的应用。

“坐标“（Coordinates）是描述空间中点位置的数值系统。

在二维平面中，通常使用笛卡尔坐标系，其中的点通过水平轴（x轴）和垂直轴（y轴）的数值组合来表示。

在三维空间中，通常使用三维笛卡尔坐标系，其中的点通过x、y和z轴的数值组合来表示。

“函数“（Function）是一种数学对象，它将一个输入值映射到一个输出值。

在插值中，函数通常用于描述已知数据点之间的关系，并通过计算来估算未知数据点。

综合起来，当我们谈论“母单元插值坐标函数“时，它可能指的是在插值过程中使用的基本几何形状（母单元），该形状用于构建插值函数，并且该函数通过坐标来描述已知数据点之间的关系以及估算未知数据点的方法。

这些概念在数学、计算机图形学、科学计算等领域中经常被使用。

第六章单元和插值函数的构造6．1 引言在前章的内容中，我们了解到在一个给定问题的分析中、决定性的步骤之一是选择适当的单元和插值函数。

在前四章的讨论中，我们已经了解了广义坐标有限元方法的特点，即首先将场函数表示为多项式的形式，然后利用结点条件，将多项式中的待定参数表示成场函数的结点值和单元几何的函数，从而将场函数表示成由它结点值插值形式的表达式。

无疑这一过程比较麻烦，且有时会遇到困难。

同时我们在高阶三角形单元的讨论中，也已看到如果利用面积坐标(自然坐标)，可以方便地直接建立起单元的插值函数，可以避免广义坐标有限元方法的麻烦和困难。

本章的目的就是着重系统地讨论利用适合各自单元形式的自然坐标直接建立不同类型单元插值函数的方法。

一般说来，单元类型和形状的选择依赖于结构或总体求解域的几何特点、方程的类型及求解所希望的精度等因素，而有限元的插值函数则取决于单元的形状，结点的类型和数目等因素。

例如在图6.1.1上，一个二维域利用一系列三角形或四边形单元进行离散，即将总体求解域理想化为由很多子域(单元)所组成。

图6.1.1二维域的有限元离散 (a)三角形单元(b)四边形单元在一般情况下，总体域也可能是一维或三维的，在图6.1.2上分别给出只具有端结点或角结点的一维、二维和三维单元的几种可能形式。

一维单元可以简单地是一直线，二维单元可以是三角形、矩形或四边形，三维单元可以是四面体、五面体、长方体或一般六面体。

具有轴对称几何形状和轴对称物理性质的三维域能用二维单元绕对称轴旋转形成的三维环单元进行离散。

222223(a)一维单元 (b)二维单元 (c)轴对称单元 (d)三维单元图6.1.2各种形状只有角结点的单元从结点参数的类型上区别，它们可以是只包含场函数的结点值，也可能同时包含场函数导数的结点值。

这主要取决于单元交界面上的连续性要求，而后者又由泛函中场函数导数的最高阶次所决定。

如果泛函中场函数导数的最高阶为1次，则单元交界面上只要求函数值保持连续，即要求单元保持C 。

公式号 6.1 图6-1第六章 单元形函数的讨论在有限单元法的基本理论中，形函数是一个十分重要的概念，它不仅可以用作单元的内插函数，把单元内任一点的位移用结点位移表示，而且可作为加权余量法中的加权函数，可以处理外载荷，将分布力等效为结点上的集中力和力矩，此外，它可用于后续的等参数单元的坐标变换等。

根据形函数的思想，首先将单元的位移场函数表示为多项式的形式，然后利用结点条件将多项式中的待定参数表示成场函数的结点值和单元几何参数的函数，从而将场函数表示成结点值插值形式的表达式。

在本节中，重点讨论几种典型单元的形函数插值函数的构造方式，它们具有一定的规律。

然后以平面三角形单元为例，讨论了形函数的性质，在此基础上分析了有限元的收敛准则。

6.1形函数构造的一般原理单元的类型和形状决定于结构总体求解域的几何特点、问题类型和求解精度。

根据单元形状,可分为一维、二维、三维单元。

单元插值形函数主要取决于单元的形状、结点类型和单元的结点数目。

结点的类型可以是只包含场函数的结点值，也可能还包含场函数导数的结点值。

是否需要场函数导数的结点值作为结点变量一般取决于单元边界上的连续性要求，如果边界上只要求函数值保持连续，称为C0型单元，若要求函数值及其一阶导数值都保持连续，则是C1型单元。

在有限元中，单元插值形函数均采用不同阶次的幂函数多项式形式。

对于C0型单元，单元内的未知场函数的线性变化仅用角（端）结点的参数来表示。

结点参数只包含场函数的结点值。

而对于C1型单元，结点参数中包含场函数及其一阶导数的结点值。

与此相对应，形函数可分为Lagrange 型（不需要函数在结点上的斜率或曲率）和Hermite 型（需要形函数在结点上的斜率或曲率）两大类，而形函数的幂次则是指所采用的多项式的幂次，可能具有一次、二次、三次、或更高次等。

另外，有限元形函数[N ]是坐标x 、y 、z 的函数，而结点位移不是x 、y 、z 的函数，因此静力学中的位移对坐标微分时，只对形函数[N ]作用，而在动力学中位移对时间t 微分时，只对结点位移向量作用。