北京师大附中2020届上学期初中九年级期中考试数学试卷

首都师大附中2024－2025学年第一学期期中练习初二语文命题人：于浩渺林丹欧阳苗姜晓艳王微审核人：欧阳苗第I卷（共60分）一、基础·运用（共18分）年级开展“人无信不立”综合性学习活动。

请你参与本次活动，并完成下列任务。

演讲话诚信小文要参加综合性学习活动的演讲比赛，下面是她演讲稿的节选部分。

请你阅读演讲词，完成1-4题。

“信”，即诚信，是中华民族的传统美德之一。

古往今来，诚信一直被人们看作立身之本、交友之道、经商之魂、为政之要。

对诚信的执着与坚守，已深深juān□刻于中国人的精神血脉。

商鞅立木的记载．妇孺皆知，“千金一诺”的佳话不绝于史，“民无信不立”的教诲．深入人心。

中央宣传部每年发布的“诚信之星”名单生动展现了当代中国人守信重诺、躬行不chuò□的精神风貌。

_____。

近年来，“失信人黑名单”的公布掐住了“老赖”的逃债命脉，使“老赖”们（杳无消息/无处遁形），半年之内就有万名“老赖”主动还钱，这就是制度的威力。

只要激励与惩戒措施双管齐下，建设诚信社会、诚信国家的目标就一定能够实现。

1.根据拼音，请用楷书把填入□处的两个汉字依次书写在“田”字格内。

（2分）2.给加点字注音和括号处填入词语，全都正确的一项是（2分）A.zài huì杳无消息B.zài huǐ无处遁形C.zǎi huǐ杳无消息D.zǎi huì无处遁形3.结合语境，填入文段横线处的语句，最恰当的一项是（2分）A.诚信精神的树立，与其通过道德教化，不如依靠制度保驾护航B.诚信精神的树立，与其通过制度保驾护航，不如依靠道德教化C.诚信精神的树立，不仅要通过道德教化，还须依靠制度保驾护航D.诚信精神的树立，不仅要通过制度保驾护航，还须依靠道德教化4.为了弄清“为政之要”的含义，同学们查阅了《古代汉语词典》和《现代汉语词典》，其中“要”的释义可归纳为：①重要；②关键，要领；③希望得到，索取；④请求；⑤需要；⑥将要。

2020-2021学年师大附中北校区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题2分，共16分。

在每小题所列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的）1．（2分）抛物线y＝（x﹣1）2+2的对称轴是（）A．直线x＝﹣1B．直线x＝1C．直线x＝﹣2D．直线x＝22．（2分）下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．（2分）若将抛物线y＝5x2先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线的表达式为（）A．y＝5（x﹣2）2+1B．y＝5（x+2）2+1C．y＝5（x﹣2）2﹣1D．y＝5（x+2）2﹣14．（2分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，根据图象可得a，b，c与0的大小关系是（）A．a＞0，b＜0，c＜0B．a＞0，b＞0，c＞0C．a＜0，b＜0，c＜0D．a＜0，b＞0，c＜05．（2分）如图，在⊙O，AB为⊙O直径，C为上一点，若∠CAB＝23°，则∠ABC的度数为（）A．23°B．46°C．57°D．67°6．（2分）如图，在△ABC中，∠B＝40°，将△ABC绕点A逆时针旋转，得到△ADE，点D恰好落在直线BC上，则旋转角的度数为（）A．70°B．80°C．90°D．100°7．（2分）已知一次函数y1＝kx+m（k≠0）和二次函数y2＝ax2+bx+c（a≠0）部分自变量与对应的函数值如下表x……﹣10245……y1……01356……y2……0﹣1059……当y2＞y1时，自变量x的取值范围是（）A．﹣1＜x＜2B．4＜x＜5C．x＜﹣1或x＞5D．x＜﹣1或x＞48．（2分）如图，点A，B，C，D，E为⊙O的五等分点，动点M从圆心O出发，沿线段OA→劣弧AC→线段CO 的路线做匀速运动，设运动的时间为t，∠DME的度数为y，则下列图象中表示y与t之间函数关系最恰当的是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分.）9．（2分）请写出一个开口向上且与y轴交点坐标为（0，1）的抛物线的表达式：．10．（2分）若扇形的半径为3，圆心角120°，为则此扇形的弧长是．11．（2分）点A（﹣3，y1），B（2，y2）在抛物线y＝x2﹣2x上，则y1y2．（填“＞”“＜”或“＝”）12．（2分）如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣2，4），B（1，1），则关于x的方程ax2﹣bx+c＝0的解为．13．（2分）如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB＝90°，∠A＝25°，过点C作圆O的切线，交AB的延长线于点D，则∠D的度数是．14．（2分）如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，其半径为3．图中阴影部分的面积是．15．（2分）如图，在平面直角坐标系中，过格点A、B、C作以圆弧，则圆心的坐标是．16．（2分）已知抛物线y＝x2﹣2x﹣1，点P是抛物线上一动点，以点P为圆心，2个单位长度为半径作⊙P．当⊙P 与x轴相切时，点P的坐标为．三、解答题（本大题共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27、28题每题7分.）17．（5分）已知抛物线的顶点坐标为（3，﹣4），且过点（0，5），求抛物线的表达式．18．（5分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB＝8，CD＝6，求BE的长．19．（5分）已知：如图，△ABC内接于⊙O，∠C＝45°，AB＝2，求⊙O的半径．20．（5分）如图，点D是等边△ABC的边BC上的点，以AD为边作等边△ADE，连接CE．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）若∠BAD＝20°，求∠AEC的度数．21．（5分）如图，点C是半圆O上的一点，AB是⊙O的直径，D是的中点，作DE⊥AB于点E，连接AC交DE于点F．求证；AF＝DF下面是小明的解法，请帮他补充完整（包括补全图形）解：补全半圆O为完整的⊙O，连结AD，延长DE交⊙O于点H（补全图形）∵D是AC的中点；∴＝；∵DE⊥AB，AB是⊙O的直径；∴＝（）（填推理的依据）；∴＝；∴∠ADF＝∠F AD（）（填推理的依据）；∴AF＝DF（）（填推理的依据）；22．（5分）二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：x…﹣4﹣3﹣2﹣101…y…50﹣3﹣4﹣3m…（1）写出m的值；（2）在图中画出这个二次函数的图象；（3）当y≥5时，x的取值范围是；（4）当﹣4＜x＜1时，y的取值范围是．23．（6分）如图是抛物线型拱形桥，当拱顶离水面8m时，水面宽AB为12m．当水面上升6m时到达警戒水位，此时拱桥的水面宽度是多少m？下面给出了解决这个问题的两种方法，请补充完整：方法一：如图1，以A点为原点，AB为所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy，此时B点的坐标为．可求这条抛物线所表示的二次函数解析式为．当y＝6时，求出此时的自变量x的取值，即可解决这个问题．方法二：如图2，以抛物线顶点为原点，对称轴为以y轴，建立平面直角坐标系xOy，这条抛物线所表示的二次函数解析式为．当水面到达警戒水位，即y＝时，求出自变量x的取值为，从而得水面宽为m．24．（6分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．，AM是△ACD的外角∠DAF的平分线．（1）求证：AM是⊙O的切线；（2）若∠D＝60°，AD＝2，射线CO与AM交于N点，请写出求ON长的思路．25．（6分）有这样一个问题：探究函数y＝的图象与性质．小美根据学习函数的经验，对函数y＝的图象与性质进行了探究．下面是小美的探究过程，请补充完整：（1）函数y＝的自变量x的取值范围是；（2）下表是y与x的几组对应值．x﹣2﹣﹣1﹣1234…y0﹣﹣1﹣m…求m的值；（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；（4）结合函数的图象，写出该函数的一条性质：．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2ax+a2﹣的对称轴与x轴交于点A．（1）求点A的坐标（用含a的代数式表示）；（2）若抛物线与x轴交于P，Q两点，且PQ＝2，求抛物线解析式；（3）点B的坐标为（0，），若该抛物线与线段AB恰有一个公共点，结合函数图象直接写出a的取值范围．27．（7分）△ABC中，∠ABC＝45°，AB≠BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D．（1）如图1，作∠ADB的角平分线DF交BE于点F，连接AF．求证：∠F AB＝∠FBA；（2）如图2，连接DE，点G与点D关于直线AC对称，连接DG、EG①依据题意补全图形；②用等式表示线段AE、BE、DG之间的数量关系，并加以证明．28．（7分）对于平面直角坐标系xOy中的图形P和直线AB，给出如下定义：M为图形P上任意一点，N为直线AB上任意一点，如果M，N两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形P和直线AB之间的“确定距离”，记作d（P，直线AB）．已知A（2，0），B（0，2）．（1）求d（点O，直线AB）；（2）⊙T的圆心为T（t，0），半径为1，若d（⊙T，直线AB）≤1，直接写出t的取值范围；（3）记函数y＝kx，（﹣1≤x≤1，k≠0）的图象为图形Q．若d（Q，直线AB）＝1，直接写出k的值．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分.在每小题所列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的.）1．【解答】解：∵抛物线的顶点式为y＝（x﹣1）2+2，∴对称轴是x＝1．故选：B．2．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项正确；B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误．故选：A．3．【解答】解：y＝5x2先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线的表达式为y＝5（x﹣2）2+1，故选：A．4．【解答】解：由抛物线的开口向下知a＜0，与y轴的交点为在y轴的负半轴上，∴c＜0，∵对称轴为x＝＞0，∴a、b异号，即b＞0．故选：D．5．【解答】解：∵AB为⊙O直径，∴∠ACB＝90°，∵∠CAB＝23°，∴∠ABC＝67°，故选：D．6．【解答】解：由旋转的性质可知，∠BAD的度数为旋转度数，AB＝AD，∠ADE＝∠B＝40°，在△ABD中，∵AB＝AD，∴∠ADB＝∠B＝40°，∴∠BAD＝100°，故选：D．7．【解答】解：∵当x＝0时，y1＝y2＝0；当x＝4时，y1＝y2＝5；∴直线与抛物线的交点为（﹣1，0）和（4，5），而﹣1＜x＜4时，y1＞y2，∴当y2＞y1时，自变量x的取值范围是x＜﹣1或x＞4．故选：D．8．【解答】解：根据题意，分3个阶段；①P在OA之间，∠DME逐渐减小，到A点时，为36°，②P在之间，∠DME保持36°，大小不变，③P在CO之间，∠DME逐渐增大，到O点时，为72°；又由点P作匀速运动，故①③都是线段；分析可得：B符合3个阶段的描述；故选：B．二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分.）9．【解答】解：∵抛物线开口方向向上，且与y轴的交点坐标为（0，1），∴抛物线的解析式为y＝x2+1．故答案为y＝x2+1．10．【解答】解：∵扇形的半径为3，圆心角为120°，∴此扇形的弧长＝＝2π．故答案为：2π11．【解答】解：当x＝﹣3时，y1＝x2﹣2x＝（﹣3）2﹣2×（﹣3）＝9+6＝15；当x＝2时，y2＝x2﹣2x＝22﹣2×2＝0，所以y1＞y2．故选＞．12．【解答】解：把A（﹣2，4）代入抛物线解析式得：4＝4a，即a＝1，把a＝1代入得：y＝x2，把A（﹣2，4）与B（1，1）代入直线解析式得：，解得：，即直线解析式为y＝﹣x+2，可得方程x2+x+2＝0，∵△＝1﹣8＝﹣7＜0，∴此方程无解．故答案为：无解．13．【解答】解：连接OC，如图所示．∵OA＝OC，∠A＝25°，∴∠OCA＝∠A＝25°．∵CD为⊙O的切线，∴∠OCD＝90°，∴∠ACD＝∠ACO+∠OCD＝25°+90°＝115°，∴∠D＝180°﹣∠A﹣∠ACD＝180°﹣25°﹣115°＝40°．故答案为：40°．14．【解答】解：∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝60°，∴∠BOC＝2∠A＝120°，∴图中阴影部分的面积＝＝3π，故答案为：3π．15．【解答】解：分别作AB、BC的垂直平分线，交于点P，点P即为圆心，由图知，圆心P的坐标为（2，1），故答案为：（2，1）．16．【解答】解：当y＝2时，得：x2﹣2x﹣1＝2，解得：x＝﹣1或3，则P的坐标是（﹣1，2）或（3，2）；当y＝﹣2时，x2﹣2x﹣1＝﹣2，∴x＝1，则P的坐标是（1，﹣2）则P的坐标是：（1，﹣2），（﹣1，2），（3，2），故答案是（1，﹣2），（﹣1，2），（3，2）．三、解答题（本大题共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27、28题每题7分.）17．【解答】解：设二次函数的表达式为y＝a（x﹣h）2+k（a≠0），∵抛物线的顶点坐标是（3，﹣4），∴y＝a（x﹣3）2﹣4，又∵抛物线经过点（0，5）∴5＝a（0﹣3）2﹣4，∴a＝1，∴二次函数的表达式为y＝（x﹣3）2﹣4，化为一般式y＝x2﹣6x+5．18．【解答】解：如图，连接OC．∵弦CD⊥AB于点E，CD＝6，∴CE＝ED＝CD＝3．∵在Rt△OEC中，∠OEC＝90°，CE＝3，OC＝4，∴OE＝＝，∴BE＝OB﹣OE＝4﹣．19．【解答】解：连结OB，OA，∵∠BCA＝45°，∴∠BOA＝90°，∵OB＝OA，∴∠OBA＝∠OAB＝45°，∵AB＝2，∴OB＝OA＝．20．【解答】解：（1）证明：∵△ADE与△ABC都是等边三角形，∴AC＝AB，AE＝AD，∠DAE＝∠BAC＝60°，∴∠DAE+∠CAD＝∠BAC+∠CAD，即∠CAE＝∠BAD，在△CAE与△BAD中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）；（2）∵△ABD≌△ACE，∴∠ACE＝∠B＝60°，∠BAD＝∠CAE＝20°，∴∠AEC＝180°﹣60°﹣20°＝100°．21．【解答】解：补全半圆O为完整的⊙O，连结AD，延长DE交⊙O于点H（补全图形）．∵D是AC的中点；∴＝；∵DE⊥AB，AB是⊙O的直径；∴＝（垂径定理），∴＝；∴∠ADF＝∠F AD（等弧所对的圆周角相等），∴AF＝DF（等角对等边），故答案为垂径定理，等弧所对的圆周角相等，等角对等边．22．【解答】解：（1）由图表可知抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣4），∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，∵（﹣3，0）关于直线x＝﹣1的对称点是（1，0），∴m＝0，故答案为：0；（2）函数图象如图所示；（3）∵（﹣4，5）关于直线x＝﹣1的对称点是（2，5），由图象可知当y≥5时，x的取值范围是x≤﹣4或x≥2，故答案为x≤﹣4或x≥2；（4）由图象可知当﹣4＜x＜1时，y的取值范围是﹣4≤y＜5，故答案为﹣4≤y＜5．23．【解答】解：方法一：B（12，0），O（6，8），设二次函数的解析式为y＝a（x﹣6）2+8，把B点的坐标代入得，a＝﹣，∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+x；当y＝6时，6＝﹣x2+x；解得x1＝9，x2＝3此时自变量x的取值为3、9；方法二：设二次函数的解析式为y＝ax2，把B（6，﹣8）代入得，a＝﹣，∴二次函数的解析式为y＝﹣x2；y＝﹣2时，求出此时自变量x的取值为±3，从而得水面宽度为6m．故答案为6．24．【解答】解：（1）∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∴AB垂直平分CD，∴AC＝AD，∴∠BAD＝CAD，∵AM是△ACD的外角∠DAF的平分线，∴∠DAM＝∠F AD，∴∠BAM＝（∠CAD+∠F AD）＝90°，∴AB⊥AM，∴AM是⊙O的切线；（2）设AB与CD交于G，∵AC＝AD，∠D＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴CD＝AD＝2，∴CG＝DG＝1，∴OC＝OA＝，∵∠ANO＝∠OCG＝30°，∴ON＝2OA＝．25．【解答】解：（1）由题意得：，解得：x≥﹣2且x≠0．故答案为：x≥﹣2且x≠0．（2）当x＝2时，m＝＝1．（3）图象如图所示．（4）观察函数图象发现：当﹣2≤x＜0或x＞0时，y随x增大而减小．故答案为：当﹣2≤x＜0或x＞0时，y随x增大而减小．26．【解答】解：（1）函数的对称轴为：x＝a，则点A（a，0）；（2）△＝4a2﹣a（a2﹣）＝＞0，解得：a＞0，x2﹣2ax+a2﹣＝0，x1+x2＝2a，x1x2＝a2﹣，PQ＝＝＝2，解得：a＝1，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x；（3）若该抛物线与线段AB恰有一个公共点，则抛物线与y轴的交点应该在点B的上方，即：≤a2﹣，解得：a≥或a≤．27．【解答】证明：（1）如图1中，∵AD⊥BC，∠ABC＝45°，∴∠BAD＝45°，∴AD＝BD，∵DF平分∠ADB，∴∠1＝∠2，在△ADF和△BDF中，，∴△ADF≌△BDF．∴AF＝BF，∴∠F AB＝∠FBA．（2）补全图形如图2中所示，数量关系是：GD+AE＝BE．理由：过点D作DH⊥DE交BE于点H∴∠ADE+∠ADH＝90°，∵AD⊥BC，∴∠BDH+∠ADH＝90°，∴∠ADE＝∠BDH，∵AD⊥BC，BE⊥AC，∠AKE＝∠BKD，∴∠DAE＝∠DBH，在△ADE和△BDH中，，∴△ADE≌△BDH．∴DE＝DH，AE＝BH，∵DH⊥DE，∴∠DEH＝∠DHE＝45°，∵BE⊥AC，∴∠DEC＝45°，∵点G与点D关于直线AC对称，∴AC垂直平分GD，∴GD∥BE，∠GEC＝∠DEC＝45°，∴∠GED＝∠EDH＝90°，∴GE∥DH，∴四边形GEHD是平行四边形∴GD＝EH，∴GD+AE＝BE．28．【解答】解：（1）如图1中，作OH⊥AB于H．∵A（2，0），B（0，2），∴OA＝OB＝2，AB＝2，∵×OA×OB＝×AB×OH，∴OH＝，∴d（点O，直线AB）；（2）如图2中，作TH⊥AB于H，交⊙T于D．当d（⊙T，直线AB）＝1时，DH＝1，∴TH＝2，AT＝2，∴OT＝2﹣2，∴T（2﹣2，0），根据对称性可知，当⊙T在直线AB的右边，满足d（⊙T，直线AB）＝1时，T（2+2，0），∴满足条件的t的值为2﹣2≤t．（3）如图3中，当直线经过点D（2﹣，0）与直线AB平行时，此时两直线之间的距离为1，该直线的解析式为y＝﹣x+2﹣，当直线y＝kx经过E（1，1﹣）时，k＝1﹣，当直线y＝kx经过F（﹣1，3﹣），k＝﹣3+，综上所述，满足条件的k的值为﹣3+或1﹣．。

北京师范大学朝阳附属中学初三上期中数学1．下列各图中，不是中心对称图形的是（ ）．A ．B ．C ．D ． 【答案】B【解析】观察可知，只有图B 不是中心对称图形．2．经过点 的双曲线的解析式是ff80808149608ac601496fc0a08622303．一个袋子中装有6个红球，3个白球，这些球除颜色外，形状、大小、质地等完全相同 ff8080814a39795c014a3d94cd750ed94．抛物线22(2)5y x =--的顶点坐标是ff8080814a39795c014a3d94ce920edb5．下列一元二次方程中没有实数根的是（ ）． A ．2240x x +-= B ．2440x x -+= C ．2250x x --= D ．2340x x ++= 【答案】D【解析】2340x x ++=中，91670∆=-=-<， ∴2340x x ++=没有实数根．6．要得到函数 的图象，应将函数 的图象ff8080814a39795c014a3d94d0cb0edf7．在平面直角坐标系中，如图⊙O是以原点为圆心，以10为半径的圆，那么点ff8080814a39795c014a3d94d1e60ee18．已知二次函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是ff808081488ce0b7014896f3c31d15629．圆锥的母线长是3，底面半径是1，则这个圆锥侧面展开图圆心角的度数为8aac4907511483070151331652a3469e10．如图，点是以O为圆心，为直径的半圆的中心，AB=2，等腰直角三角板ff80808145cc51010145d0aa18bb029e11．当m=__________时，函数3=-是反比例函数．(2)my m x-【答案】2-m-=-，【解析】由题意，得20m-≠，31解得2m=-．12．请写出一个开口向上且经过的抛物线的解析式8aac4907508d5d3d0150d19e195777a013．如图，将绕点A按顺时针方向旋转某个角度得到，使，，的延长线相交于点，8aac50a74e724b3f014e9f75c22321e414．为了改善市区人民的生活环境，某市建设污水管网工程，某圆柱型水管的直径为100cm，截面如图所示，若管内的污水的面宽60cmAB=，则污水的最大深度为__________．【答案】10cm【解析】连接OA，过点O作OE AB⊥，交⊙O于F．∵圆柱型水管的直径为100cm，∴50cm==．AO FO∵60cmAB=，∴30cmAE=，∴2222503040=-=-=，OE OA AE∴504010cmEF=-=．15．如图，⊙O 是等边三角形ABC 的外接圆，点P 在劣弧AB 上 ff808081488cdd6d014895e6a227153e16．如图，在平面直角坐标系 中，四边形 是正方形，点 的坐标为 ff8080814d043c29014d099b18fa26d717．计算：1112(π3)232-⎛⎫--+-- ⎪⎝⎭．【解析】1112(π3)232-⎛⎫--+-- ⎪⎝⎭231223=-+- 1=．18．已知2340x x +-=，求代数式 的值． ff808081477bd84c0147a01d70f8535619．已知点 在抛物线 上，求此抛物线的对称轴．e52d9ed77cf349a7818978baf984bf3420．已知关于x 的一元二次方程2220x x k ++-=有两个不相等的实数根．ff8080814d2ed395014d319399e309f721．已知：如图，⊙O 的半径为5，AB 为直径，CD 为弦，CD AB ⊥于E ．若2AE =，求CD 的长．【解析】连接OC ．∵⊙O 的半径为5，AB 为直径， ∴5OA OC ==． ∵2AE =，∴523OE OA AE=-=-=． ∵AB 为直径，CD 为弦，CD AB ⊥，O E DCBAOE DCBA∴12CE CD =，90OEC =︒∠．在Rt OEC △中，222OE EC OC +=， ∴22235EC +=，解得4EC =， ∴28CE EC ==．22．已知(,2)A n -，(1,4)B 是一次函数1y kx b =+的图象和反比例函数2my x=的图象得两个交点，直线AB 与y 轴交于点C ．（1）求反比例函数和一次函数的关系式． （2）求AOC △的面积．（3）求不等式0mkx b x+-<的解集（直接写出答案）．【解析】（1）将(1,4)B 代入反比例函数2my x=中，得4m =． 将(,2)A n -代入反比例函数24y x=得，2n =-． 将(2,2)A --，(1,4)B 代入一次函数1y kx b =+中， 得224k b k b -=-+⎧⎨=+⎩，解得22k b =⎧⎨=⎩，∴122y x =+．（2）当0x =时，12y =， ∴点C 的坐标为(0,2)， ∴12222AOC S =⨯⨯=△．（3）由图象可知，0mkx b x+-<的解集为2x <-或01x <<．23．为贯彻政府报告中“全民创新，万众创业”8aac50a74ebadfde014ebda35a55083b24．实践与操作：如图，ABC △是直角三角形，90ACB =︒∠．（1）尺规作图：作⊙C ，使它与AB 相切于点D ，与AC 相交于点E ，保留作图痕迹，不写作法，请标明字母．（2）在你按（1）中要求所作的图中，若3BC =，30A =︒∠，求»DE的长． yxOC B A【解析】（1）如图所示：（2）如图，∵90ACB =︒∠，30A =︒∠， ∴60B =︒∠．∵AB 为⊙C 的切线，D 为切点， ∴90BDC =︒∠， ∴323sin 6032BC CD ===︒． ∵9060ACD A ∠=︒-∠=︒， ∴DE 弧的长60π2323π1803l ⨯⨯==．25．已知：如图，在ABC △中，D 是AB 边上一点，⊙O 过D 、B 、C 三点，290DOC ACD ==︒∠∠． （1）求证：直线AC 是⊙O 的切线．（2）如果75ACB =︒∠，⊙O 的半径为2，求BD 的长．【解析】（1）∵290ACD =︒∠， ∴45ACD =︒∠．∵90DOC =︒∠，且DO CO =， ∴OCD △是等腰直角三角形，∴454590ACO ACD DCO =+=︒+︒=︒∠∠∠， 又∵点C 在⊙O 上， ∴直线AC 是⊙O 的切线． （2）连接BO ．CBAEDCBA∵75ACB =︒∠，45ACD =︒∠， ∴30DCB =︒∠， ∴60DOB =︒∠． ∵DO BO =，∴BDO △为等边三角形，∴2BD OB ==．26．利用函数y=(x-1)(x-2)的图象（如图1）和性质，探究函数 的图象与性质．8aac4907508d5d3d0150d2654c877bcc27．在平面直角坐标系 中，抛物线 与 轴交于点 ，顶点为点 ，点 与点 关于抛物线的对称轴对称． ff8080814d043c29014d28365e8a129f28．已知：如图，OAB △与OCD △为等腰直角三角形，90AOB COD ==︒∠∠． （1）如图2，在图1的基础上，将 绕点O 逆时针旋转一个角度 ．ff80808146233e16014624548cbb01ee29．点O 是坐标原点，将线段OA 绕O 点顺时针旋转30 得到线段OB ，判断点 8aac490751148307015124613e533462。

2019-2020学年北京师大附属实验中学九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的1．抛物线2(1)3y x =-+-的顶点坐标是( ) A ．(1,3)-B ．(1,3)C ．(1,3)-D ．(1,3)--2．已知23x y =，则下列各式错误的是( ) A ．32x y = B ．32x y = C ．23x y = D ．69x y =3．在一个不透明的口袋中装有7个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5，6，7从中随机摸出一个小球，其标号是偶数的概率为( ) A ．27B ．37C ．47D ．574．如图，AB 为O 的直径，点C 在O 上，若50ACO ∠=︒，则B ∠的度数为( )A ．60︒B ．50︒C ．40︒D ．30︒5．点1(2,)A y -、2(1,)B y 在二次函数221y x x =+-的图象上，1y 与2y 的大小关系是( ) A ．12y y >B ．12y y =C ．12y y <D ．无法判断6．已知圆锥的底面半径为2cm ，母线长为3cm ，则该圆锥的侧面积为( ) A ．18??B ．12??C ．6??D ．3??7．如图，O 是正六边形ABCDEF 的外接圆，点P 在O 上(P 不与A ，B 重合），则APB ∠的度数为( )A ．60︒B ．60︒或120︒C ．30︒D ．30︒或150︒8．已知有且仅有一个正实数满足关于x 的方程(1)(3)x x k --=，则k 不可能为( ) A ．1-B ．1C ．3D ．5二、填空题（本题共16分，每小题2分）.9．若抛物线开口向下，且与y 轴交于点(0,1)，写出一个满足条件的抛物线的解析式： ． 10．已知Rt ABC Rt ∆∽△A B C '''，且90C C ∠=∠'=︒，若3AC =，4BC =，10A B ''=，则A C ''= ．11．图1中的三翼式旋转门在圆形的空间内旋转，旋转门的三片旋转翼把空间等分成三个部分，图2是旋转门的俯视图，显示了某一时刻旋转翼的位置，根据图2中的数据，可知AB 的长是 m ．12．将抛物线22(2)2y x =++经过适当的几何变换得到抛物线222y x =-，请写出一种满足条件的变换方法 ．13．如图，四边形ABCD 内接于O ，140AOC ∠=︒，则四边形ABCD 的外角CDM ∠= ︒．14．某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一事件发生的频率，绘制了如图所示的折线图．该事件最有可能是 （填写一个你认为正确的序号）． ①掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上一面的点数是2； ②掷一枚硬币，正面朝上；③暗箱中有1个红球和2个黄球，这些球除了颜色外无其他差别，从中任取一球是红球． 15．排水管的截面为如图所示的O ，半径为5m ，已知现在水面位于圆心O 下方，且水面宽6AB m =，如果水面上涨后，水面宽为8m ，那么水面上涨了 m ．16．如图是抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的部分图象，其顶点坐标为(1,)n ，且与x 轴的一个交点在点(3,0)和(4,0)之间．则下列结论：①0abc >；②30a b +=；③0a b c -+>；④24()b a c n =-， 其中，正确的是 （填上所有满足题意的序号）．三、解答题（本题共68分，第17、20-24题，每小题5分，第18、19、25、26题，每小题5分，第27、28题，每小题5分）17．如图，在O 中，OC AB ⊥，交AB 于点D ，交O 于点C ， （1）求证：AOC BOC ∠=∠；（2）若点D 是OC 的中点，且6AB =，求O 的半径．18．已知二次函数的解析式是223y x x =-++．（1）用配方法将该二次函数化成2()y a x h k =-+的形式，并写出顶点坐标； （2）在图中画出该二次函数的图象（不需要列表），并写出该图象与x 轴的交点； （3）当03x <…时，直接写出y 的取值范围．19．如图，已知AB 为O 的直径，PA 是O 的切线，点C 是O 上异于点A 的一点，且PC PA =．（1）求证：PC 是O 的切线；（2）若30BAC ∠=︒，6AB =，求P ∠的度数及PA 的长．20．下表是二次函数2(y ax bx c =++0)a ≠图象上部分点的横坐标()x 和纵坐标()y ．（1）观察表格，直接写出m = ；（2）其中1(A x ，1)y 、2(B x ，2)y 在函数的图象上，且110x -<<，223x <<，则1y2y （用“>”或“<”填空）；（3）求这个二次函数的表达式．21．甲、乙两人进行摸牌游戏．现有十张形状大小完全相同的牌，正面分别标有数字1~10．从中选出一些牌，将这些牌背面朝上，洗匀后放在桌子上．甲从中随机抽取一张牌，记录数字后放回洗匀，乙再随机抽取一张．若两人抽取的数字和为2的倍数，则甲获胜；其余情况，乙获胜．（1）若选出三张分别标有数字2、3、5的牌，这个游戏公平吗？请利用树状图或列表法来解释说明．（2）乙说：“若我在2、3、5三张牌外再选一张牌，共四张牌进行游戏，则我可以让自己获胜的可能性比甲大”，请判断乙的说法是否正确，若正确，请写出乙可以再选哪些牌让自己获胜的可能性比甲大；若不正确，请说明理由．22．如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，拱桥的跨度为10m，桥洞与水面的最大距离是5m，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m的景观灯，求两盏景观灯之间的水平距离（提示：请建立平面直角坐标系后，再作答）．23．已知点A、(2)B AB<，现没有直尺，只有一把生锈的圆规，仅能做出半径为1的圆，能否在平面内找到一点F，使得ABF∆是等边三角形？小天经过探究完成了以下的作图步骤：第一步：分别以点A、B为圆心，1为半径作圆，两圆交于点C；第二步：以C为圆心，1为半径作圆交第一步中的两圆于点D、E；第三步：分别以D、E为圆心，1为半径作圆，两圆交于点C、F，（1）请将图补充完整，并作出ABF∆．（2）以下说法中，①点C在线段AB的垂直平分线上；②CAD∆都是等边三角形；∆和CBE③点C在线段AF的垂直平分线上；④ABF∆是等边三角形，正确的有．（填上所有正确的序号）24．函数232y x x =++的图象如图1所示，根据图象回答问题： （1）当x 满足 时，2320x x ++>；（2）在解决上述问题的基础上，探究解决新问题： ①函数y =x 的取值范围是 ； ②下表是函数y =的几组y 与x 的对应值．如图2，在平面直角坐标系xOy 中，描出了上表中各对对应值为坐标的点的大概位置，请你根据描出的点，画出该函数的图象：③利用图象，直接写出关于y 的方程4232x x x =++的所有近似实数解 ．（结果精确到0.1)25．如图，在ABC ∆中，135B ∠=︒，端点为A 的射线//l AB ，点A 绕射线l 上的某点D 旋转一周所形成的图形为F ，点B 在图形F 上． （1）利用尺规作图确定点D 的位置；（2）判断直线BC 与图形F 的公共点个数，并说明理由；（3）若2AD =，15C ∠=︒，求直线AC 被图形F 所截得的线段的长．26．抛物线21:1(1)F y ax bx a =+->与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），与y 轴于点C ，已知点A 的坐标为1(a-，0)， （1）直接写出b = （用含a 的代数式表示）； （2）求点B 的坐标；（3）设抛物线1F 的顶点为1P ，将该抛物线平移后得到抛物线2F ，抛物线2F 的顶点2P 满足12//PP BC ，并且抛物线2F 过点B ，①设抛物线2F 与直线BC 的另一个交点为D ，判断线段BC 与CD 的数量关系（不需证明），并直接写出点D 的坐标；②求出抛物线2F 与y 轴的交点纵坐标的取值范围．27．（7分）如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC BC CD ==，ACD α∠=，将线段CD 绕点C 顺时针旋转90︒得到线段CE ，连接DE ，AE ，BD ． （1）依题意补全图形；（2）判断AE 与BD 的数量关系与位置关系并加以证明；（3）若60110α︒<︒…，4AB =，AE 与BD 相交于点G ，直接写出点G 到直线AB 的距离d 的取值范围．28．（7分）对于给定的图形G 和点P ，若点P 可通过一次向上或向右平移(0)n n >个单位至图形G 上某点P '，则称点P 为图形G 的“可达点”，特别地，当点P 在图形G 上时，点P 为图形G 的“可达点”．（1）如图1，在平面直角坐标系xOy 中，点(1,1)A ，(2,1)B ， ①在点O 、A 、B 中，不是直线2y x =-+的“可达点”的是 ；②若点A 是直线l 的“可达点”且点A 不在直线l 上，写出一条满足要求的直线l 的表达式： ；③若点A 、B 中有且仅有一点是直线2y kx =+的“可达点”，则k 的取值范围是 ．（2）如图2，在平面直角坐标系xOy 中，O 的半径为1，直线:l y b =+． ①当2b =-时，若直线m 上一点(N N x ，)N y 满足N 是O 的“可达点”，直接写出N x 的取值范围 ；②若直线m 上所有的O 的“可达点”构成一条长度不为0的线段，直接写出b 的取值范围 ．2019-2020学年北京师大附属实验中学九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的1．抛物线2(1)3y x =-+-的顶点坐标是( ) A ．(1,3)-B ．(1,3)C ．(1,3)-D ．(1,3)--【解答】解：抛物线2(1)3y x =-+-的顶点坐标是(1,3)--． 故选：D ．2．已知23x y =，则下列各式错误的是( ) A ．32x y = B ．32x y = C ．23x y = D ．69x y =【解答】解：A 、变成等积式是：23x y =，不符合题意； B 、变成等积式是：23x y =，不符合题意； C 、变成等积式是：32x y =，符合题意；D 、变成等积式是：23x y =，不符合题意．故选：C ．3．在一个不透明的口袋中装有7个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5，6，7从中随机摸出一个小球，其标号是偶数的概率为( ) A ．27B ．37C ．47D ．57【解答】解：在1，2，3，4，5，6，7中，偶数有2，4，6，共3个， 则标号是偶数的概率为37； 故选：B ．4．如图，AB 为O 的直径，点C 在O 上，若50ACO ∠=︒，则B ∠的度数为( )A ．60︒B ．50︒C ．40︒D ．30︒【解答】解：AB 为O 的直径，90ACB ∴∠=︒． 50ACO ∠=︒，905040BCO ∴∠=︒-︒=︒． OC OB =， 40B BCO ∴∠=∠=︒．故选：C ．5．点1(2,)A y -、2(1,)B y 在二次函数221y x x =+-的图象上，1y 与2y 的大小关系是( ) A ．12y y >B ．12y y =C ．12y y <D ．无法判断【解答】解：当2x =-时，21211y x x =+-=-； 当1x =时，22212y x x =-+=； 12-<， 12y y ∴<，故选：C ．6．已知圆锥的底面半径为2cm ，母线长为3cm ，则该圆锥的侧面积为( ) A ．18??B ．12??C ．6??D ．3??【解答】解：底面半径是2cm ，则底面周长4cm π=，圆锥的侧面积214362cm ππ=⨯⨯=． 故选：C ．7．如图，O 是正六边形ABCDEF 的外接圆，点P 在O 上(P 不与A ，B 重合），则APB ∠的度数为( )A ．60︒B ．60︒或120︒C ．30︒D ．30︒或150︒【解答】解：连接OA ，OB ，如图所示：六边形ABCDEF 是正六边形，360606AOB ︒∴∠==︒， 当点P 不在BA 上时，1302APB AOB ∠=∠=︒， 当点P 在AB 上时，1180180301502APB AOB ∠=︒-∠=︒-︒=︒， 故选：D ．8．已知有且仅有一个正实数满足关于x 的方程(1)(3)x x k --=，则k 不可能为( )A ．1-B ．1C ．3D ．5【解答】解：如图，二次函数(1)(3)y x x =--与x 轴的两个交点坐标是(1,0)，(3,0)． 又因为22(1)(3)43(2)1y x x x x x =--=-+=--，则该抛物线与y 轴的交点坐标是(0,3)，顶点坐标是(2,1)-．所以当抛物线(1)(3)x x =--与直线y k =的交点横坐标是正数时，k 的取值范围是3k …或1k =-．观察选项，只有选项B 符合题意．故选：B ．二、填空题（本题共16分，每小题2分）.9．若抛物线开口向下，且与y 轴交于点(0,1)，写出一个满足条件的抛物线的解析式： 答案不唯一，例如21y x =-+ ．【解答】解：抛物线解析式为21y x =-+（答案不唯一）．故答案为：21y x =-+（答案不唯一）．10．已知Rt ABC Rt ∆∽△A B C '''，且90C C ∠=∠'=︒，若3AC =，4BC =，10A B ''=，则A C ''= 6 ．【解答】解：3AC =，4BC =，90C ∠=︒，5AB ∴===，Rt ABC Rt ∆∽△A B C '''， ∴A C A B AC AB''''= 10365A C ''∴=⨯=， 故答案为6．11．图1中的三翼式旋转门在圆形的空间内旋转，旋转门的三片旋转翼把空间等分成三个部分，图2是旋转门的俯视图，显示了某一时刻旋转翼的位置，根据图2中的数据，可知AB 的长是 3．【解答】解：根据题意，可得AB BC AC ==，∴223()3AB m ππ=÷=， 即AB 的长是23m π． 故答案为：23π． 12．将抛物线22(2)2y x =++经过适当的几何变换得到抛物线222y x =-，请写出一种满足条件的变换方法 向右平移2个单位，向下平移4个单位（方法不唯一） ．【解答】解：22(2)2y x =++的顶点坐标为(2,2)-，222y x =-的顶点坐标为(0,2)， ∴将抛物线22(2)2y x =++向右平移2个单位，再向上平移4个单位，可得到抛物线222y x =-，故答案为：向右平移2个单位，向下平移4个单位．13．如图，四边形ABCD 内接于O ，140AOC ∠=︒，则四边形ABCD 的外角CDM ∠= 70 ︒．【解答】解：180B ADC ∠+∠=︒，180ADC CDM ∠+∠=︒，B CDM ∴∠=∠， 1702B AOC ∠=∠=︒， 70CDM ∴∠=︒，故答案为70．14．某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一事件发生的频率，绘制了如图所示的折线图．该事件最有可能是 ③ （填写一个你认为正确的序号）．①掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上一面的点数是2； ②掷一枚硬币，正面朝上；③暗箱中有1个红球和2个黄球，这些球除了颜色外无其他差别，从中任取一球是红球．【解答】解：由折线统计图知，随着试验次数的增加，频率逐渐稳定在0.33，即13左右， ①中向上一面的点数是2的概率为16，不符合题意； ②中掷一枚硬币，正面朝上的概率为12，不符合题意； ③中从中任取一球是红球的概率为13，符合题意， 故答案为：③．15．排水管的截面为如图所示的O ，半径为5m ，已知现在水面位于圆心O 下方，且水面宽6AB m =，如果水面上涨后，水面宽为8m ，那么水面上涨了 1或7 m ．【解答】解：过O 点作OC AB ⊥，连接OB ，如图所示：2AB BC ∴=，在Rt OBC ∆中，222BC OC OB +=，5OB m =，3BC m =，4OC m ∴===，//MN AB ，OC MN ∴⊥于D ，连接ON ，同理3OD ===，1CD ∴=，当MN 与AB 在圆心的两侧时，347CD =+=，故水面上涨了1m 或7m ，故答案为：1或7．16．如图是抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的部分图象，其顶点坐标为(1,)n ，且与x 轴的一个交点在点(3,0)和(4,0)之间．则下列结论：①0abc >；②30a b +=；③0a b c -+>；④24()b a c n =-，其中，正确的是 ③④ （填上所有满足题意的序号）．【解答】解：抛物线开口向下，0a ∴<， 对称轴直线12b x a=-=， 20b a ∴=->， 抛物线交y 的正半轴，0c ∴>，0abc ∴<，所以①错误；2b a =-，3320a b a a a ∴+=-=<，所以②错误；抛物线与x 轴的一个交点在点(3,0)和(4,0)之间，而抛物线的对称轴为直线1x =， ∴抛物线与x 轴的另一个交点在点(2,0)-和(1,0)-之间．∴当1x =-时，0y >，即0a b c -+>，所以③正确；抛物线的顶点坐标为(1,)n ，∴244ac bna-=，2444() b ac an a c n∴=-=-，所以④正确；故答案为③④．三、解答题（本题共68分，第17、20-24题，每小题5分，第18、19、25、26题，每小题5分，第27、28题，每小题5分）17．如图，在O中，OC AB⊥，交AB于点D，交O于点C，（1）求证：AOC BOC∠=∠；（2）若点D是OC的中点，且6AB=，求O的半径．【解答】（1）证明：OA OB=，OD AB⊥，AOC BOC∴∠=∠（三线合一）．（2）解：在Rt AOD∆中，2OA OD=，30OAD∴∠=︒，OD AB⊥，3AD DB∴==，cos30ADOA∴===︒18．已知二次函数的解析式是223y x x=-++．（1）用配方法将该二次函数化成2()y a x h k=-+的形式，并写出顶点坐标；（2）在图中画出该二次函数的图象（不需要列表），并写出该图象与x轴的交点；（3）当03x<…时，直接写出y的取值范围．【解答】解：（1）2223(1)4y x x x =-++=--+，所以抛物线的顶点坐标为(1,4)；（2）当0y =时，2230x x -++=，解得11x =-，23x =，抛物线与x 轴的交点坐标为(1,0)-，(3,0)，如图，（3）当03x <…时，y 的取值范围为04y <…．19．如图，已知AB 为O 的直径，PA 是O 的切线，点C 是O 上异于点A 的一点，且PC PA =．（1）求证：PC 是O 的切线；（2）若30BAC ∠=︒，6AB =，求P ∠的度数及PA 的长．【解答】（1）证明：PA 是O 的切线，90PAB ∴∠=︒，OA OC =，OAC OCA ∴∠=∠，PC PA =，PAC PCA ∴∠=∠，90PCO PCA ACO PAC OAC PAB ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒，PA AB ∴⊥，PC ∴是O 的切线；（2）解：连接BC ，30BAC ∠=︒，60PAC ∴∠=︒，PAC ∴∆是等边三角形，60P ∴∠=︒， AB 为O 的直径，90ACB ∴∠=︒，PA AC ∴===20．下表是二次函数2(y ax bx c =++0)a ≠图象上部分点的横坐标()x 和纵坐标()y ．（1）观察表格，直接写出m = 3 ；（2）其中1(A x ，1)y 、2(B x ，2)y 在函数的图象上，且110x -<<，223x <<，则1y2y （用“>”或“<”填空）； （3）求这个二次函数的表达式．【解答】解：（1）观察表格，可知3m =．故答案为：3；（2）1(A x ，1)y 、2(B x ，2)y 在函数的图象上，且110x -<<，223x <<， 12y y ∴>．故答案为：>；（3）顶点是(2,1)-，∴设二次函数顶点式解析式为2(2)1y a x =--，由图可知，函数图象经过点(1,0)，2(12)10a ∴--=，解得1a =．∴二次函数的解析式为2(2)1y x =--，即243y x x =-+．21．甲、乙两人进行摸牌游戏．现有十张形状大小完全相同的牌，正面分别标有数字1~10．从中选出一些牌，将这些牌背面朝上，洗匀后放在桌子上．甲从中随机抽取一张牌，记录数字后放回洗匀，乙再随机抽取一张．若两人抽取的数字和为2的倍数，则甲获胜；其余情况，乙获胜．（1）若选出三张分别标有数字2、3、5的牌，这个游戏公平吗？请利用树状图或列表法来解释说明．（2）乙说：“若我在2、3、5三张牌外再选一张牌，共四张牌进行游戏，则我可以让自己获胜的可能性比甲大”，请判断乙的说法是否正确，若正确，请写出乙可以再选哪些牌让自己获胜的可能性比甲大；若不正确，请说明理由．【解答】解：（1）所有可能出现的结果如图：从图中看出，总共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，其中两人抽取的数字和为2的倍数的有5种， 所以甲获胜的概率为59，乙获胜的概率是49， 则不这个游戏公平；（2）当选择的牌是奇数时，()58p =甲获胜， 当选择的牌是偶数时，()12p =甲获胜， 因此，乙不可以让自己获胜的可能性比甲大．22．如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，拱桥的跨度为10m ，桥洞与水面的最大距离是5m ，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m 的景观灯，求两盏景观灯之间的水平距离（提示：请建立平面直角坐标系后，再作答）．【解答】解：建立如图所示的平面直角坐标系，由题意知点(5,0)A -、(5,0)B 、(0,5)C ，设抛物线解析式为25y ax =+，将点(5,0)A -代入，得：2550a +=，解得：15a =-，则抛物线解析式为2155y x =-+，当4y =时，21545x -+=，解得：x =，则两盏景观灯之间的水平距离．23．已知点A 、(2)B AB <，现没有直尺，只有一把生锈的圆规，仅能做出半径为1的圆，能否在平面内找到一点F ，使得ABF ∆是等边三角形？ 小天经过探究完成了以下的作图步骤：第一步：分别以点A 、B 为圆心，1为半径作圆，两圆交于点C ； 第二步：以C 为圆心，1为半径作圆交第一步中的两圆于点D 、E ； 第三步：分别以D 、E 为圆心，1为半径作圆，两圆交于点C 、F ， （1）请将图补充完整，并作出ABF ∆． （2）以下说法中，①点C 在线段AB 的垂直平分线上； ②CAD ∆和CBE ∆都是等边三角形； ③点C 在线段AF 的垂直平分线上； ④ABF ∆是等边三角形，正确的有 ①②④ ．（填上所有正确的序号）【解答】解：（1）如图，连结AF ，BF ，AB ，则ABF ∆是等边三角形；（2）分别以点A 、B 为圆心，1为半径作圆，两圆交于点C ，AC BC ∴=，∴点C 在线段AB 的垂直平分线上，故①正确；分别以点A 、B 为圆心，1为半径作圆，两圆交于点C ；以C 为圆心，1为半径作圆交第一步中的两圆于点D 、E ；1AD AC DC ∴===，1BC CE BE ===， CAD ∴∆和CBE ∆都是等边三角形，故②正确，由作图可知1AC =，而1CF ≠， ∴点C 不在线段AF 的垂直平分线上，故③错误；由①知点C 在线段AB 的垂直平分线上， ∴点F 在线段AB 的垂直平分线上，AF BF ∴=，同理AB BF =， ABF ∴∆是等边三角形，故④正确． 故答案为：①②④．24．函数232y x x =++的图象如图1所示，根据图象回答问题： （1）当x 满足 2x <-或1x >- 时，2320x x ++>； （2）在解决上述问题的基础上，探究解决新问题： ①函数y =x 的取值范围是 ； ②下表是函数y =的几组y 与x 的对应值．如图2，在平面直角坐标系xOy 中，描出了上表中各对对应值为坐标的点的大概位置，请你根据描出的点，画出该函数的图象：③利用图象，直接写出关于y 的方程4232x x x =++的所有近似实数解 ．（结果精确到0.1)【解答】解：（1）观察图象可知： 0y >，即图象在x 轴的上方的部分，所以2x <-或1x >-． 故答案为2x <-或1x >-． （2）①根据（1）的结论可知： 自变量x 的取值范围是2x -…或1x -…． ②如图即为画出的函数图象．③根据所画的图象可知：所有近似实数解为0.8(0.9~0.6)---和1.8(1.6~1.9)． 故答案为0.8(0.9~0.6)---和1.8(1.6~1.9)．25．如图，在ABC ∆中，135B ∠=︒，端点为A 的射线//l AB ，点A 绕射线l 上的某点D 旋转一周所形成的图形为F ，点B 在图形F 上． （1）利用尺规作图确定点D 的位置；（2）判断直线BC 与图形F 的公共点个数，并说明理由；（3）若2AD=，15∠=︒，求直线AC被图形F所截得的线段的长．C【解答】解：（1）如图，点D即为所求．（2）直线BC与图形F的公共点个数为1个．理由：直线//l BC，DAB ABC∴∠+∠=︒，180∠=︒，ABC135DAB∴∠=︒，45=，DA DB∴∠=∠=︒，45DAB DBA∴∠=︒，ADB90∠=∠，DBC ADB∴∠=︒，90DBC∴⊥，DB BC∴直线BC是D的切线，∴直线BC与图形F的公共点个数为1个．（3）设直线AC交D于E，连接BE，作BH AE⊥于H．AD BC，//15∴∠=∠=︒，DAC CDAB∠=︒，45BAC∴∠=︒-︒=︒，451530==，2AD DBAB ∴==12BH AB ∴==，AH ==， 1452AEB ADB ∠=∠=︒，90BHE ∠=︒，EH BH ∴==，AE AH BH ∴=+=+．26．抛物线21:1(1)F y ax bx a =+->与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），与y 轴于点C ，已知点A 的坐标为1(a-，0)， （1）直接写出b = 1a - （用含a 的代数式表示）； （2）求点B 的坐标；（3）设抛物线1F 的顶点为1P ，将该抛物线平移后得到抛物线2F ，抛物线2F 的顶点2P 满足12//PP BC ，并且抛物线2F 过点B ，①设抛物线2F 与直线BC 的另一个交点为D ，判断线段BC 与CD 的数量关系（不需证明），并直接写出点D 的坐标；②求出抛物线2F 与y 轴的交点纵坐标的取值范围．【解答】解：（1）点A 的坐标为1(a-，0)， 将点A 的坐标代入抛物线表达式并整理得：1b a =-， 故答案为：1a -；（2）抛物线的表达式为：2(1)1y ax a x =+-- 令0y =，则1x =或1a-，故点(1,0)B ；（3）①从图象可以看出：BC BD =，即2CD BC =；则点B 是C 、D 的中点，由中点公式得：点(2,1)D ； ②平移后的图象过点(1,0)B ，点(2,1)D ，将点B 、D 的坐标代入抛物线表达式：2y ax b x c =+'+得：0421a b c a b c +'+=⎧⎨+'+=⎩，解得：22c a =>，抛物线2F 与y 轴的交点纵坐标的取值范围为：2c >．27．（7分）如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC BC CD ==，ACD α∠=，将线段CD 绕点C 顺时针旋转90︒得到线段CE ，连接DE ，AE ，BD ． （1）依题意补全图形；（2）判断AE 与BD 的数量关系与位置关系并加以证明；（3）若60110α︒<︒…，4AB =，AE 与BD 相交于点G ，直接写出点G 到直线AB 的距离d 的取值范围．【解答】解：（1）补全图形如图1所示，（2）如图1，由旋转知，CE CD =，90DCE ACB ∠=︒=∠， ACE BCD ∴∠=∠， AC BC CD ==， AC BC CE CD ∴===，()ACE BCD SAS ∴∆≅∆，AE BD ∴=，CAE CBD ∠=∠，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC BC =， 45ABC BAC ∴∠=∠=︒，90BAG ABG BAC CAE ABG BAC CBD ABG BAC ABC ∴∠+∠=∠+∠+∠=∠+∠+∠=∠+∠=︒， 90AGB ∴∠=︒，AE BD ∴⊥，即：AE BD =，AE BD ⊥；（3）由（2）知，90AGB ∠=︒， ∴点G 在以AB 为直径的圆上，如图2，60110α︒<︒…，∴点G 在GCG '上（不包括点G ，包括点)G '，AC BC =，∴点C 到直径AB 的距离为2，即：点G 到AB 的最大距离为2， 当60α=︒时，即：60ACD ∠=︒， 由旋转知，90DCE ∠=︒，6090150180ACD DCE ∴∠+∠=︒+︒=︒<︒， ∴点G 在AC 左侧，6090150ACE ∴∠=︒+︒=︒，由（2）知，AC CE =， 1(180)152CAE ACE ∴∠=︒-∠=︒， 60BAG BAC CAE ∴∠=+∠=︒，9030ABG BAG ∴∠=︒-∠=︒，4AB =， 2AG ∴=，过点G 作GH AB ⊥于H ， 90AHG ∴∠=︒，cos 2GH AG BAG ∴=∠== 当110α=︒时，即：110ACD '∠=︒， 由旋转知，90D CE ''∠=︒，200ACD D CE '''∴∠+∠=︒，此时，点G '在BC 右侧， 360200160ACE '∴∠=︒-︒=︒，1(180)102CAE ACE ''∴∠=︒-∠=︒， 45103530BAG '∴∠=︒-︒=︒>︒，过点G '作G H ''于H '， G H GH ''∴>，∴点G 到直线AB 的距离d 2d <…．28．（7分）对于给定的图形G 和点P ，若点P 可通过一次向上或向右平移(0)n n >个单位至图形G 上某点P '，则称点P 为图形G 的“可达点”，特别地，当点P 在图形G 上时，点P 为图形G 的“可达点”．（1）如图1，在平面直角坐标系xOy 中，点(1,1)A ，(2,1)B ， ①在点O 、A 、B 中，不是直线2y x =-+的“可达点”的是 B ；②若点A 是直线l 的“可达点”且点A 不在直线l 上，写出一条满足要求的直线l 的表达式： ；③若点A 、B 中有且仅有一点是直线2y kx =+的“可达点”，则k 的取值范围是 ．（2）如图2，在平面直角坐标系xOy 中，O 的半径为1，直线:l y b =+． ①当2b =-时，若直线m 上一点(N N x ，)N y 满足N 是O 的“可达点”，直接写出N x 的取值范围 ；②若直线m 上所有的O 的“可达点”构成一条长度不为0的线段，直接写出b 的取值范围 ．【解答】解：（1）①如图11-中，由题意，点O，点A是直线2y x=-+的“可达点“，=-+的“可达点”，点B不是直线2y x故答案为B．②如图12-中，点A是直线3y x=-+的“可达点”且点A不在直线l上（答案不唯一，直线在点A的上方即可）．故答案为3y x=-+．③如图13-中，当直线2y kx =+经过点B 时，12k =-， 当直线2y kx =+经过点A 时，1k =-， 观察图象可知：当点A 、B 中有且仅有一点是直线2y kx =+的“可达点”， k 的取值范围是112k -<-…． 故答案为112k -<-…．（2）①如图21-中，过点(0,1)和点(0,1)-作x 轴的平行线分别交直线2y =-于1(N -，1)，2(N ，1)-，过点(1,0)和点(1,0)-作y 轴的平行线分别交直线2y =-于3(1,2)N ，4(2)N --，观察图象可知：N 是O 的“可达点”， N x 的取值范围N x -11N x -剟．故答案为N x -11N x -剟．②如图22-中，①当2N 与3N 重合，坐标为(1,1)--时，1b -=+，1b ∴=-，②当直线y b =+与O 相切时，设切点为E ，交y 轴于F ． 由题意在Rt OEF ∆中，90OEF ∠=︒，1OE =，30EOF ∠=︒，cos30OE OF ==︒，观察图象可知满足条件的b 的值为1--<。