2019年北京卷理数高考试题文档版有答案

2019年普通高等学校招生全国统一考试数 学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知复数z =2+i ，则z z ⋅=（A （B （C ）3（D ）5（2）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（A ）1 （B ）2 （C ）3（D ）4（3）已知直线l 的参数方程为13,24x t y t=+=+⎧⎨⎩（t 为参数），则点（1，0）到直线l 的距离是（A ）15（B ）25（C ）45（D ）65（4）已知椭圆2222 1x y a b+=（a ＞b ＞0）的离心率为12，则（A ）a 2=2b 2（B ）3a 2=4b 2（C ）a =2b（D ）3a =4b（5）若x ，y 满足|1|x y ≤-，且y ≥−1，则3x+y 的最大值为 （A ）−7（B ）1（C ）5（D ）7（6）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m 2−m 1=52lg 21E E ，其中星等为m k 的星的亮度为E k （k =1，2）．已知太阳的星等是−26.7，天狼星的星等是−1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（A ）1010.1 （B ）10.1 （C ）lg10.1 （D ）10−10.1（7）设点A ，B ，C 不共线，则“AB u u u r与AC uuu r 的夹角为锐角”是“||||AB AC BC +>u u u r u u u r u u u r”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（8）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C ：221||x y x y +=+就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C ； ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3． 其中，所有正确结论的序号是 （A ）①（B ）②（C ）①②（D ）①②③第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）函数f （x ）=sin 22x 的最小正周期是__________．（10）设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2=−3，S 5=−10，则a 5=__________，S n 的最小值为__________． （11）某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为__________．（12）已知l ，m 是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l ⊥m ；②m ∥α；③l ⊥α．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．（13）设函数f（x）=e x+a e−x（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a=________；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是___________．（14）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为__________．三、解答题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（15）（本小题13分）在△ABC中，a=3，b−c=2，cos B=12 -．（Ⅰ）求b，c的值；（Ⅱ）求sin（B–C）的值．（16）（本小题14分）如图，在四棱锥P–ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=3．E为PD的中点，点F在PC上，且13 PFPC=．（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAD；（Ⅱ）求二面角F–AE–P的余弦值；（Ⅲ）设点G在PB上，且23PGPB=．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由．（17）（本小题13分）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：（Ⅰ）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A ，B 两种支付方式都使用的概率；（Ⅱ）从样本仅使用A 和仅使用B 的学生中各随机抽取1人，以X 表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A 的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A 的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由． （18）（本小题14分）已知抛物线C ：x 2=−2py 经过点（2，−1）． （Ⅰ）求抛物线C 的方程及其准线方程；（Ⅱ）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y =−1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B ．求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点． （19）（本小题13分）已知函数321()4f x x x x =-+． （Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率为1的切线方程； （Ⅱ）当[2,4]x ∈-时，求证：6()x f x x -≤≤；（Ⅲ）设()|()()|()F x f x x a a =-+∈R ，记()F x 在区间[2,4]-上的最大值为M （a ）．当M （a ）最小时，求a 的值． （20）（本小题13分）已知数列{a n }，从中选取第i 1项、第i 2项、…、第i m 项（i 1<i 2<…<i m ），若12m i i i a a a <<⋅⋅⋅<，则称新数列12m i i i a a a ⋅⋅⋅，，，为{a n }的长度为m 的递增子列．规定：数列{a n }的任意一项都是{a n }的长度为1的递增子列．（Ⅰ）写出数列1，8，3，7，5，6，9的一个长度为4的递增子列；（Ⅱ）已知数列{a n }的长度为p 的递增子列的末项的最小值为0m a ，长度为q 的递增子列的末项的最小值为0n a ．若p <q ，求证：0m a <0n a ；（Ⅲ）设无穷数列{a n }的各项均为正整数，且任意两项均不相等．若{a n }的长度为s 的递增子列末项的最小值为2s –1，且长度为s 末项为2s –1的递增子列恰有2s -1个（s =1，2，…），求数列{a n }的通项公式．2019年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分） 1.【答案】D【解析】题先求得z ，然后根据复数的乘法运算法则即得. 【详解】∵z 2i,z z (2i)(2i)5=+⋅=+-=故选D. 【点睛】本容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查. 2.【答案】B【解析】根据程序框图中的条件逐次运算即可.【详解】运行第一次，=1k ，2212312s ⨯==⨯-，运行第二次，2k =，2222322s ⨯==⨯-，运行第三次，3k =，2222322s ⨯==⨯-，结束循环，输出=2s ，故选B .【点睛】本题考查程序框图，属于容易题，注重基础知识、基本运算能力的考查. 3.【答案】D【解析】首先将参数方程化为直角坐标方程，然后利用点到直线距离公式求解距离即可.【详解】直线l 的普通方程为()()41320x y ---=,即4320x y -+=,点()1,0到直线l 的距离65d ==,故选D. 【点睛】本题考查直线参数方程与普通方程转化,点到直线的距离,属于容易题,注重基础知识､基本运算能力的考查.4.【答案】B【解析】由题意利用离心率的定义和,,a b c 的关系可得满足题意的等式. 【详解】椭圆的离心率2221,2c e c a b a ===-,化简得2234a b =, 故选B.【点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质,属于容易题,注重基础知识､基本运算能力的考查.5.【答案】C【解析】首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义确定其最值即可. 【详解】由题意1,11yy x y-≤⎧⎨-≤≤-⎩作出可行域如图阴影部分所示.设3,3z x y y z x =+=-,当直线0:3l y z x =-经过点()2,1-时,z 取最大值5.故选C.【点睛】本题是简单线性规划问题的基本题型,根据“画､移､解”等步骤可得解.题目难度不大题,注重了基础知识､基本技能的考查.6.【答案】D 【解析】先求出12lgE E ，然后将对数式换为指数式求12E E ，再求12E E . 【详解】两颗星的星等与亮度满足12125lg 2E m m E -= , 令2 1.45m =-，126.7m =-，()1212221g( 1.4526.7)10.155E m m E =-=-+=， 10.110.112211010E EE E -=⋅=， 故选D.【点睛】考查考生的数学应用意识、信息处理能力、阅读理解能力以及指数对数运算.7.【答案】C【解析】由题意结合向量的减法公式和向量的运算法则考查充分性和必要性是否成立即可. 【详解】∵A ､B ､C 三点不共线,∴|AB u u u v +AC u u u v |>|BC uuu r |⇔|AB u u u v +AC u u u v |>|AB u u u v -AC u u uv |⇔|AB u u u v +AC u u u v |2>|AB u u u v -AC u u uv |2AB u u u r ⇔•AC u u u v >0AB u u u r ⇔与AC u u u v的夹角为锐角.故“AB u u u v 与AC u u u v 的夹角为锐角”是“|AB u u u v +AC u u uv |>|BC uuu r |”的充分必要条件,故选C.【点睛】本题考查充要条件的概念与判断､平面向量的模､夹角与数量积,同时考查了转化与化归数学思想. 8.【答案】C【解析】将所给方程进行等价变形确定x 的范围可得整点坐标和个数，结合均值不等式可得曲线上的点到坐标原点距离的最值和范围，利用图形的对称性和整点的坐标可确定图形面积的范围. 详解】由221x y x y +=+得,221y x y x -=-,2222||3341,10,2443x x x y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭厔, 所以x 可为的整数有0,-1,1,从而曲线22:1C x y x y +=+恰好经过(0,1),(0,-1),(1,0),(1,1),(-1,0),(-1,1)六个整点,结论①正确.由221x y x y +=+得,222212x y x y +++…,解得222x y +≤,所以曲线C 上任意一点到原点的距离都不. 结论②正确.如图所示,易知()()()()0,1,1,0,1,1,,0,1A B C D -, 四边形ABCD 的面积13111122ABCD S =⨯⨯+⨯=,很明显“心形”区域的面积大于2ABCD S ,即“心形”区域的面积大于3,说法③错误.故选C.【点睛】本题考查曲线与方程､曲线的几何性质，基本不等式及其应用,属于难题,注重基础知识､基本运算能力及分析问题解决问题的能力考查,渗透“美育思想”. 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）【9.【答案】2π 【解析】将所给的函数利用降幂公式进行恒等变形，然后求解其最小正周期即可. 【详解】函数()2sin 2f x x ==142cos x -,周期为2π【点睛】本题主要考查二倍角的三角函数公式､三角函数的最小正周期公式，属于基础题. 10.【答案】 (1). 0. (2). -10.【解析】首先确定公差,然后由通项公式可得5a 的值，进一步研究数列中正项､负项的变化规律,得到和的最小值.【详解】等差数列{}n a 中,53510S a ==-,得322,3a a =-=-,公差321d a a =-=,5320a a d =+=, 由等差数列{}n a 的性质得5n ≤时,0n a ≤,6n ≥时,n a 大于0,所以n S 的最小值为4S 或5S ,即为10-. 【点睛】本题考查等差数列的通项公式､求和公式､等差数列的性质,难度不大,注重重要知识､基础知识､基本运算能力的考查. 11.【答案】40.【解析】画出三视图对应的几何体，应用割补法求几何体的体积. 【详解】在正方体中还原该几何体，如图所示 几何体的体积V=43-12（2+4）×2×4=40【点睛】易错点有二，一是不能正确还原几何体；二是计算体积有误.为避免出错，应注重多观察、细心算. 12.【答案】如果l ⊥α，m ∥α，则l ⊥m .【解析】将所给论断，分别作为条件、结论加以分析.【详解】将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个命题： （1）如果l ⊥α，m ∥α，则l ⊥m . 正确；（2）如果l ⊥α，l ⊥m ，则m ∥α.不正确，有可能m 在平面α内； （3）如果l ⊥m ，m ∥α，则l ⊥α.不正确，有可能l 与α斜交、l ∥α.【点睛】本题主要考查空间线面的位置关系、命题、逻辑推理能力及空间想象能力.13.【答案】 (1). -1; (2). (],0-∞.【解析】首先由奇函数的定义得到关于a 的恒等式，据此可得a 的值，然后利用导函数的解析式可得a 的取值范围.【详解】若函数()xxf x e ae -=+为奇函数,则()()(),xx x x f x f x eae e ae ---=-+=-+，()()1 0x x a e e -++=对任意的x 恒成立.若函数()xxf x e ae -=+是R 上的增函数,则()' 0xxf x e ae-=-≥恒成立,2,0x a e a ≤≤.即实数a 的取值范围是(],0-∞【点睛】本题考查函数的奇偶性､单调性､利用单调性确定参数的范围.解答过程中,需利用转化与化归思想,转化成恒成立问题.注重重点知识､基础知识､基本运算能力的考查. 14.【答案】 (1). 130. (2). 15.【解析】（1）将购买的草莓和西瓜加钱与120进行比较，再根据促销规则可的结果；（2）根据120y ＜、120y ≥分别探究. 【详解】（1）x =10，顾客一次购买草莓和西瓜各一盒， 需要支付（60+80）-10=130元.（2）设顾客一次购买水果的促销前总价为y 元，120y ＜元时，李明得到的金额为y ×80%，符合要求.120y ≥元时，有（y -x ）×80%≥y ×70%成立，即8（y -x ）≥7y ，x ≤8y ，即x ≤（8y）min =15元. 所以x 的最大值为15.【点睛】本题主要考查不等式的概念与性质、数学的应用意识、数学式子变形与运算求解能力，有一定难度.三、解答题（共6小题，共80分）15.【答案】(Ⅰ) 375a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩；(Ⅱ)【解析】(Ⅰ)由题意列出关于a ,b ,c 的方程组，求解方程组即可确定b ,c 的值； (Ⅱ)由题意结合正弦定理和两角和差正余弦公式可得()sin B C -的值.【详解】(Ⅰ)由题意可得：2221cos 2223a c b B ac b c a ⎧+-==-⎪⎪⎪-=⎨⎪=⎪⎪⎩，解得：375a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩.(Ⅱ)由同角三角函数基本关系可得：sin B ==， 结合正弦定理sin sin b c B C =可得：sin sin c B C b == 很明显角C为锐角，故11cos 14C ==， 故()sin sin cos cos sin B C B C B C -=-=【点睛】本题主要考查余弦定理、正弦定理的应用，两角和差正余弦公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 16.【答案】(Ⅰ)见解析；(Ⅱ)(Ⅲ)见解析. 【解析】(Ⅰ)由题意利用线面垂直的判定定理即可证得题中的结论；(Ⅱ)建立空间直角坐标系，结合两个半平面的法向量即可求得二面角F -AE -P 的余弦值；(Ⅲ)首先求得点G 的坐标，然后结合平面AEF 的法向量和直线AG 的方向向量可判断直线是否在平面内. 【详解】(Ⅰ)由于P A ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，则P A ⊥CD ， 由题意可知AD ⊥CD ，且P A ∩AD =A ， 由线面垂直的判定定理可得CD ⊥平面P AD .(Ⅱ)以点A 为坐标原点，平面ABCD 内与AD 垂直的直线为x 轴，AD ,AP 方向为y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，易知：()()()()0,0,0,0,0,2,2,2,0,0,2,0A P C D ，由13PF PC =u u u r u u u r 可得点F 的坐标为224,,333F ⎛⎫⎪⎝⎭，由12PE PD =u u u r u u u r可得()0,1,1E ，设平面AEF 的法向量为：(),,m x y z =u r，则()()()224224,,,,0333333,,0,1,10m AF x y z x y z m AE x y z y z u u u v v u u u v v ⎧⎛⎫⋅=⋅=++=⎪⎪⎝⎭⎨⎪⋅=⋅=+=⎩， 据此可得平面AEF 的一个法向量为：()1,1,1m =-u r，很明显平面AEP 的一个法向量为()1,0,0n =r，cos ,3m n m n m n⋅<>===⨯u r ru r r u r r ，二面角F -AE -P 的平面角为锐角，故二面角F -AE -P的余弦值为3. (Ⅲ)易知()()0,0,2,2,1,0P B -，由23PG PB =u u u r u u u r 可得422,,333G ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则422,,333AG ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r ，注意到平面AEF 的一个法向量为：()1,1,1m =-u r， 其0m AG ⋅=u r u u u r且点A 在平面AEF 内，故直线AG 在平面AEF 内.17.【答案】(Ⅰ)25；(Ⅱ)见解析；(Ⅲ)见解析. 【解析】(Ⅰ)由题意利用古典概型计算公式可得满足题意的概率值；(Ⅱ)首先确定X 可能的取值，然后求得相应的概率值可得分布列，最后求解数学期望即可. (Ⅲ)由题意结合概率的定义给出结论即可.【详解】(Ⅰ)由题意可知，两种支付方式都是用的人数为：1003025540---=人，则： 该学生上个月A ，B 两种支付方式都使用的概率4021005p ==. (Ⅱ)由题意可知，仅使用A 支付方法的学生中，金额不大于1000的人数占35，金额大于1000的人数占25， 仅使用B 支付方法的学生中，金额不大于1000的人数占25，金额大于1000的人数占35， 且X 可能的取值为0,1,2.()32605525p X ==⨯=，()22321315525p X ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()32625525p X ==⨯=，X 分布列为：其数学期望：()61360121252525E X =⨯+⨯+⨯=. (Ⅲ)我们不认为样本仅使用A 的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化.理由如下：随机事件在一次随机实验中是否发生是随机的，是不能预知的，随着试验次数的增多，频率越来越稳定于概率。